Геометрия и топология слоений c неотрицательной кривизной в смешанных направлениях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Институт Математики СО РАН Р Г 6 Оспецйайшшроранныи совет Д 002.23.02

а н ? р

на правах рукописи УДК 514

Ровеаский Владимир Юоефович

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ СЛОЕНИЙ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНОЙ В СМЕШАННЫХ НАПРАВЛЕНИЯХ

01.01.04- геометрия и топология

Автореферат диссертации на г.онскашге ученой степени доктора фзозЕО-математипесхих наук

Новосибирск -1994

Работа выполнена в Нргскояроком педагогическом университете

Научный консультсггг: доктор фазшсо-штеиатнческих наук,

профессор Б.А. Топоногое

СКчщаадьше оппонента: доктор фазпко-иатематичэсгага неук,

профессор В.Н. Береетовский,

доктор фазгко-ыатематическшс наук, профессор к.А. Борисекко,

доктор фззико-иатематическнх наук, зг»офгооор Ю. Ф. Борисов

Ведущая оргэтизьцдя Санкт,- Петербургское отделение

.¡¿атеиатсгзаскога Института ш. В.А. Стеяловв

Занята состоится щ20? 1994 г. в п/5~« чаС03

на заседании СпиргднэяраЕниного Совета Д 00?..ЯЗ.02 по защит диссертаций зга соискание гчцной степени доктора физико-цятеиа 'тических наук при йжтетуто Математики СО РАН по адресу:

630090,. ИоЕосибарох-ЭО, Университетский проспект, 4

С дасс8р'1«зщз& мокко шкакошться х

в библиотеке Института Математики СО РАН

Авторферат разослан я 9 " М^^а* 5994 г<

>

*

Ученый секретарь Сишрагизираванного Совета доктор фЕзико-маТЕматаческих наук,

профессор (В.А. Шарэфувдинов

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Слоение, как и риланаЗалтршез, на гладком огообразии является фундаментальной геометрической структурой, ртинэ развития дифференциальной и алсеОратзской таполовш сло-ifl от 1800 г. (А. Пуанкаре) до 1Э80-х годов представлена в 171, 3] и др. В 1980-е года тавде офэршализь в отдельный р-здел гео-грии исследования сдоекпй на ¡Ливановых лногообразияз: [251Д311, I), При этом новое звучание приобрели проблемы римановой геоме-га в целом: харокгеризация топологических в метрических свойств >гоо8раэий римановой кривизной, существование и классификация >эний о дополнительные требованиями на касательную шла транс-юальктв геометрии в т.д. На ива взгляд» следующие клшевыв гросы методологического характера позволяют лучше понять смысл дакство многих результатов о слоенадх;

1робЛвиа 1 ■ Сущзапйут ли для гладкого многообразия со слсениел ноя риланоба лешрша, обеспечи&яяря веданные геолеяринеснив йсгпва сменим (вполне геодезихнсстъ, вполне олОимпноань, илалькость, рилановастъ или конформность и др.)?

Проблема 2» Существует ли на даннол рилансвол хнагоабразии. яиепрлнол» однородное, и др.) слоение с указанными ?еолегсриче-ш сеойсявсии и разлермссть»; если да, то описать класс гааяиг

№ одкошрннх геодезических слоений эти проблема исследовал шов.

Вполне геодезические и риыановы едленкя в определенной смысле йотавкны в твт наиболее простые касательную и трвнсверсаль-теюютраа, Их теории oes учета, знака щмбижы развивают Jarato, Б. Рейнхар?, Э. 1ис, И. Карьер, а. Кямбер, 4. *1ондер, Санрню» Р. Влтенталь и другие. Указанные слоения применяются только в катеиатике, ко и в квантовой физике, термодинамике, itroto в другях областях наука. . Вполне геодезические слоеная, [щиеоя расиредгланий дефектности специальных тешо; )в и диф-ищаалыш форц нэ риканових многообразиях, изучала Р. Мальтц, згнтадь, Д.Грай, П.ДомбровскЛ, А. Еорксгнад [33, £4}, 116J, , [241. Интерес к слоениял ш псалногообразша усилился в ж о изучением некоторых классов пегрухишй в пространственные я о шроадэнкой второй основной формой: линейчатых и трубчь-поверхноотей, С/г-иодикогообразий, (ою£ько-)пар8боличес1ШТ,

КЕПолсхЕЕ'тедькоа БКЙЕКЙ криедзна (з частязсха, сздазюгойОд, тпко5 пз крисззни) взлой коразизриости С31, [111» [101, [; С2С1 , Е£33. Указанные сяоешя кзучалпсь локально (вбязБи одю ласта) о по^одьа г^зтричного'даффереидаадыюго ура&ц&шр. Ршса которое в сзихатрЕгчнои случае девкз прияниется в рзшгдогой : изтрзз. '

Нссладоввщя ртагановнх щ'лгссбраэгц о тащящ^юльной кроша оЗобщащах-с локаяькой точки зрекгя прэстранотвешше Форш, в стоящае врет далеко прсдвануты 15], иакавани яаигэтся теоре; о сфере,' о щшшдре» о ресслоенЕй'над дсошактно2 "душой.". Яок. 1ше исслвдэзавйа слоений с несярицшельмзй кривизной В слегаг направлениях -(плоскость, содержащая касательный и ортогонел. ОЕСБШ» векторы, называется ешзшшной) наше систематически как аро£2.чо, связа.л с гссткныа допошштелышш ограняченвяка раьЕкство единица (ко)разиерносхи, внтегроруеибсгь нормаль.

раСПрвДеЯвЫИ, рШШЮВОСТЬ СЛОЗШЯ, ПОСТОЯНСТВО Кр2В23Ш ело

иш внешнего пространства в сдучаз слоекин на нодшогооЗр 111], 114], [16], ПОЗ, [23], [301.

Отиеткн наиболее нктерегане ргзультз'ш, иоалуззйио отпранн тодаш работа.

1. Клзневуш связь кривизны Е тосологш шюгооЗраззя со сж ем Ш раскрнЕавт асиюаъшр. теорема Д. Соруса [10]: ~Saj.ii суирагЗущ полная геоЗезирущар. ¿дарима с сслзг

(см. Проблему 1), то разлвршет слоев жиа Ь < р(сосИи где р(п)-1 число Векторных полей на (п-1)-лзркоО сфере. (Так как р(0чГЧ2Т)24М'с) я 8Ъ +2°, (й » О, О г: с С 3), (123 (зпрРЕадашБО. нераванство р(п) < гю^уг +2) . Кз втего-результ следует оцрнки . й- нулыщдвжеа (й > 0) рзщанова цногссЗрзк внешнзго иульвндекса пагруяенай в 3й пли СР", прэтап оцзк Д. Серуся точна [373. В. Топоиотов преддологал суцзствозанае ран фзруесвокаго шю дяя' слоонай с более сяяйни тргбозз ''емгы > Е НЯИЗК рвботвг ' [373-СЗЗЗ показано, что в га 2сыги > С баз дсшолкЕталышх ЕфздахпэзекЕй ецгкка Д. взвзрна б проведено локальное взучоние сгсзкпй с тггсга уса на шдаюгообразпях Б1" п С г"'. В работая £11], [143 доказзкг орэиа мала'да Раиа о нвтрегазеюп рссаздгкан сгоапй.с иготрп

•дыюй крнвнзной з шгишншх дагфяпвдапият: пра дщюшетеяьаоа ч

. Ц

(Зоващт пнтеграруецостя ортогонального распределения.

Полученные в работах [61, [301, 1351, шж?грх!ыскз фарлулы для слоений (распределений) содерзат ; теешзшше кригозны Еяччп (шш скалярнув кривизну) и лишь, подчярипзаит пробел в исследования локальной ситуации, где переход от Я > 0 к HI ? О очень деля-катец ввиду.контрпримера (си. 1131} даяа к тсаслопгчосютху распадению окрестности кратчайшей, • ; , . ' :

2« Б последнее время' шгхерсо гескетров к Впаляэ гссдезичесшл слсешял ееклрдаеъа:' сфер усилился в связи с лнагосбразшшх Бляшке [91, [321, 1363 и aKcmpQjaAbKX-m тесрелали [201, £221. В работах [321, £361 доказано, что такие слоеная гохва&орфнн расслоениям Хопфа. В работе 181 доказано, что одкосвязныа четкоыериые раывно-ем многообразия с 0 < !(о 1 я экстремальный даакетрои и представляют собой идем случай шогОоОразиЭ Бдяте, которым отвечает класс 7ч знслятяческзх слоенй касательной на еполкс гео-

дезические с£*ари, опнсшге5Щй з тершнзз; тензора кривизны. В..Тспсногсв 191 высказал гпястаоу о тсы, что укгюсзына сложит хапфсбскиэ, a ccc^BcncmB'jx^ia ¿нсгообразия JUzasse - КК)СП.

. Поэтому шстуэльно-устранение отшчзншгг- пробелов, изучение гипотез а построакзз доколькей гяорйц слсекий рижпю&ьх многообразий, и подмногообразий. а неаг.рлуггеиъней icpidusKad 0 c-zzixsvaz направлениях, з'частности, изучение строения слоения с неравенство« dim L 5p(ccd£n L), поиск усхсвггД узтрнчЕсетто распадения оясенпл.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ« Построить основы локальней теории слоений на рй&зноккг кнотссбрлзаях и псдунсгосбразпях а нготргцательней кра-Бпзисй э снёзгкннх направлениях, продолгать развитие теория- дяке-йчатше п параболзческлх (по А. Бсрисенко) поверхностей..

I. Установить кзоблодашз. а достаточные условия' лвтртескаао распадения слоений, v,vMn>i:pu?>.vx>arox а распадения тта Сегрз линейчатых з параболических поверхностей в рзмадазон пространстве неотрицательной кршшаш..:; •

II. Ввести в характеризовать шйнэ кяэссн хешджпшя слоений и исследовать введенные А. Зшоногсвыи адщн кг~сс кнотообразай Близка п езлзвнннз С1;1Ш ояоекш Уд ев2иядовой сферы.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ» Зработе црадшшзд новые »азтоды, ссчвтащие сшггетвческиг, тдаояогаческвэ и варшящаинне подхода, а такие получал рвзвзтие траддаоншА ддя ржановоа геометрии в

целом истод ивтргршого дифференциального уравнения Ршасатп.

Уравнение Рееосетй наведено для пары взаиино дополнительных р пределенпй, используется в поляризованном виде бдоль ннтеграль кривой распределения или кравей ортогональной слоении, не обяз тельно геодезической (2.2, 3.1, 3.4, 4.4). Введенные"аналитик кие п топологические методы (2.3, 2.4, 3.2, 3.3) основаны на и: дивидуальних характеристиках индуцированных слоением горизонта, пых полей: периодичность, выпуклость функции длины, внутрем однозначная проектируеыость, площадь.

В случае слоеный на подмногообразиях в римановоы пространся с £о > □ эти метода сочетаится с внеше геометр^чесгаш, основ; ним не связи условия Ксиеа 5 0 (ш соответствующего ограииче) нв вторую основную форму) с введенным понятием (:~)сднознсч> проектщ/елоевщ. вдоль образующей.

Получили развитие методы исследования геодезических слое] евклидовой сферы (4.1, 4.2), многообразий Бляшке (4.3).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА, ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Все результаты диссертации являются новыш, некоторш обобщат соответствующие теоремы,Д.Ферусв, А..Ворясенхо, К.ЭйОь; Ц,Берге. Еыявлена и обоснована Еаноналерностъ, связыващая пош тае числа линейно независш&х венторньа полей кс сфере со слоез яыя! неравенство (11т Ь > р(сосИи I) (для келеровнх нногообраза! й1о I > 2)

- в случае неотрицательной, сквшанясй кривизны 'приводит к экст] шзлыю4; ситуации в при дополнительных щзадполовениях в целом -метрическому распадении ¿шэения,

- служит основным топологическая препятствием к существовав полной геодезарувдей метрики с 2смещ >0.

Главные результаты работы содаргатся в главах Р., 3, где гоервь изучаются слозкия на риманоЕКХ (под)ыногообразиях с усло^а; й!ш Ъ р(сой!т Ъ) ив предаолокенша неотрицательной кривизна скапанных направлениях получена сисяела дзаилссбязаюсыз: пео£ типа дй Райе о метрической расавдакш, цвлвкдрачности и погруз нпях типа Сегре (¥еореш 2.3, 2.б, 2.7, 2.8, 3.1, 3.2, 3.3, З.Е 3.8, 3.3, 3.10), а Т8КЕ8 иг аадствий сб сценках размерности а, п признаках. васише ^одазнчзкзатс.

В.удава 4Л;:Сэазв с одаш шшвеза ишхгообразсй о аамкнутын

одезическиш введеш п характеризуются kocjïo расслоения Хопфз м+1 )-парной сферы. Доказана гипотезя В. Топстюгова о тон, что кие иногообрапил ■ Бдягпсп изояетрлчтг KPGQI, и, сседоватеяьно, тноиврное односвязное нксгосбрззпо с 0 < >(с 1 п даанетрса ti гсыетрв'зга КРОШ. '

Результате работа имеет теоретическое значение п иогут слутать кованием для дальнейшего развития локальной п глобальной теория юений, линейчатых и параболических подмногообразий.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работа докладавалпсь на: ."Г неждунарсдксй конференции по алгебра (секция применения алге-зы х ге oise трет ), посвященной па ил та М.И.Каргаполова (Красноярск, 393), мездуннродной конференции "Лобачевский и совремезшая гео-зтрин" (Казань, 1992), II международной конференции по алгебре ;екция применения алгебра к геометрия), посвященной памяти .И.'йирповв (Барнаул, 1991), Всесоюзной школе "Оптимальное упра-аение, геометрия и анализ" (Кексрово,, 1938), Всесоюзной конфере--Сяи по геометрии "в целей" (Новосибирск, 1S87), Всессэзной конвенции по геокетрии и анализу (Новосибирск, IS89), Всесспзной неметрической конференции (Кишинев, 1983), 3, 5 и 7 Сибирских колах по алгебра и анализу (Омск, 1930; Иркутск, 1991 и 1993), овыестных расширенных заседаниях сенинара по геоиэтрна в целой а аучного секзлера кафедри иагеиатэтеского анализа посвящен-ах 75-лэтикз со дая рождения Н.В. Ефгмова (Москва, 1985), секции еометрш Герцековеких Чтений при РГПУ им'. АЛ1, Герцена (Санкт-атербург, 1932), семинаре по геоиетрия' "в цйяоу" ЖГУ и ФТЙНГа, укол. акядгит A.B. Погорелбв (Харьков, 1S38), Казахстанских аучно-практичеекзх конференциях (секция ыатеиатшоз) (Кчрагонда, S85, 1987, 19G8), геометрических сешнарше: ШХИ (Санкт-етербург, 1992), m СО РАН, НГУ я др.

ПУБЛИКАЦИИ« Основные результаты дассертадип (посла 984 г.) опубликована в 16 стчтьях и 11 тсеесох. Рзбота [Ров16, Роб]ш выполнена согмзс'пга с ' В.Тспонсгозш; н нх рззультаты [рянадлеяат евтврги в равно.1 глра»

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ'» Работа ccdîoht пз шзгдазня и-четырех •лав, содергт'г 224 страниц, С^Олюгрзйтл содетшгг 104 ■ штгековакш!.

г

С О ДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава содераит краткий обзор необходимых понятий и ^ак тов о слоеныях. В 1.1 приведены оснозные apzuepa слоений на глад ках многообразиях, в частности, конструкции Хопфа, векторных по лей на сфере. В 1.2 рвссиотрены слоекия на риматовых шюгообрвза ях а подмногообразиях без учета знака кривизны.

Вторая глава посвящена слоениям на ршзановых иногообразиях неотрицательной кривизной (с газонной шя Риччн) в слеианны напро&лекиях и является центральной. Геоггетричёский сшсл Кси„ обусловлен теп, что у вполне геодезического слоенпя соответствуй щае коипоквнтц тензора кривизны входят в уравнение у'' +f?ty = О для 1-параллельшх полей Якоба п в уравнение Рикката В' + 5s + R - О дяя структурного тензора.

В случае KCKfeff > 0 для локально заданного' вполне геодезическог кошактнохо (то есть с,кошакч^шги сладша) слоения верна груба оценка din L < п [333, ко неравенство dim Г < p(codim I) нору вшется С371. Нозтсиу в глрваг 2 а 3 условие К = > 0 дополняет ся соотношениями (тша неравенств) на крзаазш, вторуп осковку е структурные тензоры сдо^лия.,

- В 2.1 анализируются вахныа для локальтой теории слоений тшо-логичесете утверпдекая о связи понятий собственней бетар линейного семейства операторов 3:' Rv '- _Rn, —• ,.ЙГ"' .п чисхо бешясрнх полей на сфере, дополняются шпзчевае хвмт Д. Феруса н К. ЭйСа.

Б 2.2. изучается слсазшн о неотрицательной смешанной кривизне (Ж или Hi) и ортегональнш^ распредалениеи "близким" к вполз геодезетещеоцу (2.Н.З). Гшш" шггегрпруег.слу (2.2.2), Найдез нвобходаша и достаточнее усазвая ваоош геодозичкоста слоешя распределения, шзтрического расямявния слоекая. йяструмакп исследования слудаг иатрйчиое даффереюдаалыюе уравнение Ришкт ■ Новш я2ляйтся БКЕод указанного уравнения душ лзйой пары взашн» доооднитедьшь рашредшюний и. его рассютренае в полярмоввшсй вида в вдоль 1ф2шх (Еа обязательна геодезических) ортогональны: сяоелив. .. "..V 7' Г. /

Для иары ваазмзо доскххштельлих я ортогональна распределена Я,,.. Хг с ТЫ т римановш аюогообразаа X опредшдщ струвдтрк; тензора В,s'Г2..* I,'-г* -Г, "щ\ В£» Г, ж Г2 —» t?;.йо формулам

P^VJJ), B2(z,y)= ; (1>

где T{: TH —>Т{ ортопроехторц. Равенство Bt= 0 означает, что Tt тксаатсл вполне геодезического слоения, Вг = 0 см. з 116], [18], [26]. ' ' ЛЕММА 2.1. Тензоры (1) удавлетпорахж дифферещшиъно.щ уравнению ( (v332)(u,i/>,2) + {Вг(и,Вг1х,у)),г) + (lvyB,)(z,z)tu) +

(В1 (2,3, (У,.т)),и> + {R(y,x)u.z) » 0. ' (2)

ОПРЕДЕЛЕНИИ. Векторное полэ t/(f)c ?г (7) вдоль "¡Г -геодезической 7 (то есть 7' с , у^, 7' с тг) называется -тюраллельти, если = Вг(7',ь'). 7 (3>

Для поля с условием (3) справедлив аналог уравнения Якобя

(F2V7'^ + Ay = О, ' (4)

где (Ay,z)= (й(у,7' )7' ,3)+((vyB,) (2,7' >»Г >+(3, (z.B, (у,Г )>.Г >• С учетом (1) - (4) требовение вполне геодевичносш теш дяется лань для упрощения формулировок. (Распределение с условием v^y 1 Т{, (ус í{) называется вполне геодезичесшлл, в этой случае любал Т{~геодезическая является геодезической в U ).

Пусть В{4 - (косо)сюшегрнчзекая по ?t часть оператора Bt,

IB^i * aupílB^íu.y)!: |u|= Jy|= 1J, Rlt(x)= £ íCi.y,), re

сиешанняя кривизна Рюта, где iyp - ортонорнярованный локальный бвзнс г{, г^п) S infmi^a:): i£í(№)}.

Рассиотрин слоение Ш с ортогональный распределением ?г

"бшзкгш" к интегрируемому, то есть Ъ~ шеет налую норму.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть Uv+T' полное риидаобо .moгообразив a Вполне геодезических v-seprntí роспрейелениел T1, (Тг = Г^) и условиел (v-DIB,!® + п|В2"|® «г^и), . (я « И).. ^ (5)

Тогда &cusmW= W/n ц Гг вполне геодевияеекое распределение.

Случай слоеипя ÍX1 с TL = 2"г в теореиа 2.2 см. в [231.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть {£*> вполне геодезическое слоение на ггашол-риланоВол многообразии Й"4' с условием

IP^y.s])2 « ^(m), (y,z С 2'ebV Iy|» и* 1). (5')

Тогда, если v > p(n), (v > 2 яри п кратол 4 б вшеробол случае), то И локально изолтрично L * Iх.

Есла многообразие И в теореме 2.3 в теорешж мою одиосзязно,

та вдго глобально изоыетртцр проаззеденгз I * X1. В :«;дароаоц случае неравенство для v в теороие 2.3 п hsss точное зваду суй-керсия S* с 0р2п+1 «_, н?"- «71. . '

Рюгановы слоения характеризуются свойством, что ортогональное

распределение вполне геодезическое-, то есть В +а о. Рассмотрим • j,

такое слоение, у которого оператор имеет малув норку.

IcOPEMA Е.4. пусшь if*1 полное рмшоВо мюгообразие. с бшзлхе геоЗезикескил раофедехекиел 'Т , Т2 a Т1А и усмбиел

lBt !г +1Вг+|г s яю1пг (Г с зу, и € V (б>

гб& Еш1п - жинилул сл&взнноЦ секционной кривизны. Тогда, если v > Р(П), (V > 2 при П щхтноА 4 Зля «елеробого ¿i и инвариантного Тх), то Тг • вполне геодевическое распределения.

Если в (б) строгач неравенство, то получаем следствие - теорему Ферусовского тша.

В 2.3 вводится понятие однозначна прсеюшруелое векторное поле и доказана теорема ферусовского типа для компактного слоения с гсмеш * исследования в отличие о? 2.2 топологический.

Поля Якоби в ДР*1 обладают свойствами, любое из которых для преодоления отмеченной вше- трудности естественно требовать от //-полей:

а) лножестВа лишлу.чоб дхинн L-поля связно,

а') точки локального лшшуш б дина L-поля либо невырожденные,

либо сосгюблят весь L. Заметан, что для соля Яасоба у вдоль геодезической L с яг*1 плоскость От У Л Y' стационарна. Ослабим ато свойство и получим 0ПРЕЯВШИЕ. Векторное поле у. L —► il1 вдоль геодезической кратчайшей Ъг 10,—» И назовем однозначна проекщуе.аи^ ест сгоаствует такая 2-мерная плоскость a(t/) с TZL(0)f содержащая fsktop i/(0), что векторы y(f). «/' (г), с ^ i < ? при параллельном переносе в точку 1(0) вдоль Ъ и затем проекции на о (у)'составляют базис этой плоскости.

ЛЕША 2.6 (достаточное условие однозначней проектируеиости). Поле Якоби у: L — ТЪ1 постоянной длины вдоль геодезической Is [Dill Ji однозначно прсешяируепся, если выполнены условия fe2 » Я(х,у) > ft, > D, ( х С !£•£, у € Т1А ), (8)

21 « -,___ - . ' (9)

vHÇ - -Гй^

7ЕСРША 2.5. йусжь if14"1 - риеаново многообразие о С2-регулярный слоениел на замоц/яив геодезические Ш и уелоRvsusu а) iuu а' ),

Ъ) L-псла, хизвщие постоянную длину, однозначно проештрупжа

и > О. Тогда п чешое число.

cvsm

Хотя дополнительное предполскеняе а) регулярности* длин Ь-полей вдаль кратчайших иекее конструктивно, но в теореце 2.5 не является лшанш*. Аналогичная теореиа верна для либого v a dim I.

В 2.4 изучается строение ршинова многообразия со слоениеи <!*} и неравенство« fil® Ъ » р(еой1ш I), доказана 3 теорема тша де Рема о распадении в пряиое произведение кошакткого слоенпл с йс(£еи & 0 (гешг приведена одна из них). Следствие с оптимальней шенклй размерности слоения с &CUSB >0 обобщает теорему Д. Феруса [181. Метод исследования ровый я каяется нам перспективным, так как позволяет преодолевать трудности, езязанные с непостоянством cuemaiíKoñ кривизны, кепнтегрпруеиостья ортогонального распределения: рассматривается не уравнение Риккати на геодезических, а такие индивидуальные характеристики Ь-полей, как длина, ти.ацодъ параллелогролш на веююрах y(t) ц у* (í). Результаты 2,4 применены в главе 3.

йазовен турбулентностью вдаль слоя bQ (сы. 1231, 1231 ) число

û(I0)= aup{(B(x,s),2)s г € TL0% у,г е TL0l, у l z, |z|»|y|B|i|*iî

ТЕОРЕмА 2.6. Пусть риланово многообразие о «олпаюпнги

вполне гесдезичеснил слоениел il"} v. условчлт v > р(п), (v > 2 при п кратном, 4 для келеройых Я и Ш), (8) и

(ftg-^ )шаж{а(Х0)г,й1 С 0.3ís2&, (10)

где ft=>(^+^>/2, Lq - некоторый слоП. Тогда /г1 »¡¡г*1! и U лошльно mojtsmpiiHHa произбеЗекгло L « Ь1.

СЛЕДСТВИЕ 2.10. Яусть Я"1** - ршвзново многообразие с вполне геодезически слсенивА CL') и сущастЗут твоя точна m е И, что Вдоль яахОой геодезической T.lO,rJV~jT] — (7(0) « я) выполнена условия (10) с > ■ (ïe1+ft£)/2, .

Й2 Ж(Г.У) » »,> 0, (у € ТТЬ1 ). (8')

ТогЗс v < p(n), (v = 2 и п кратко 4 Аде кеиеро&а *, Ш).

з7

Без условия (10), пвтоизтпческх: выполненного прп !:, = кг, теоре-иа 2.6 к сдздотнпз 2.10 неверии, коэффициент 0.3 обусловлен техникой докЕзатйлЗьстса.

Задачу систематического изучения локального в глобального етроегая !шого1!ерных поверхностей в евклидовой, сферической и раэличннх- (псевдо-)римзнознх пространствах (связь внутренних и внеинкх стойста, условия .вполне геодэзичкооти, даяиндричностп, оценка коразмерности к др.) рассматривала: Ю.Ашнов, й.Борисекко, К. Эйб, Б. Чен п другие геоиетрн. В 3-ей глава нзучаотся класса подмногообразий с дополнительной структурой слоения в рзмановоя пространства неотрицательной кривизны. •

В 3.1 докззаш три пе-орелы. гриичдричнояш в ринвновои пространстве с: дев из них основаны на кзтоде 2.4 исследования слоеной, третья - на традиционном уравнении йгнкзтс.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейчатой поверхность®' называется Сг-гл2дзсоо подмногообрззие ¡Г**; [п,у> 0), риманова пространства У вместе с С1-слоением (!} на г-мсрные полные вполне геодезические в И листы (сб-хь-уз^-ие). В случае келеровв многообразия И будем н&знвать Л5"4""' келсророй данейчсгаоа поверхность®, если Ш кзлерэзы

подонсгсобрззпя. Лнноачатуп поверхность назовем разберпаЗсщейся, зсля нормальное пространство ТЫ1 стационарно вдоль обраэуедах. Если такал поверхность внутренне локально пзокетрична произведешь 17 * И , то она начинается щиикЗрическйй. ,

Для подмногообразия М1 с К с второй основной формой ?и ТН * ти —► ТИ1 и точки теМ с условней р.(и)= ц(У)>-0 (ц(!Я)= т1л ИтаСу е Т.К: 7г(у, •)= 0} - внесена нуль-индекс в точке п, р.(Ь')= 1п1 ^(н) } рассиотрии нносаство Г (т,?г) - связку геодезических 7: [О.и/тПГ'З —♦ Н, (7(0)= ш, 7' (0) € кег К). Определим число а(а,?1)= вирЦ^зл'}: у, г 1 кег ¡1, у I г,' |у1»12И» Т£ Г(В1,Л)>.

Величина Т07 {х/, (х е ТМ) внчвеляетод по той не форпула, что г М(х), но с поиощыа секционных кривизн У, ¡-(и) - цаксшаяънш; ранг вторых квадратичных форм в точке и, г(М)= аир г (и). 1аз; ко е лабой точке выполнено кег п = П кег Л,, то й±в М -г{ш},

ТЕОРЕМА 3.1. Яускъ Ы1 с м полное аншшинесгоа подлногооОра-вив с уалодияли. 0 < г(й) < I,

7(г > К(х,у) $ й, » О, (х. у е TU), (11)

R[x,y)z 1 = Ок (х, у, г. г ГУ), • (12)

су^еспбуся г.счг-х1 .т4 с if г-огал,

М(х) Ri^z), {% £ ТВИ>, (13)

(ft2-ft, )rax{a(mt/i)2,/¿> « 0.3й2&; (гбе й5(й(+йг)/2 ). (14)

fe^ ftg- 0 и Н1 vjuuHfipmec.Koe подмногообразие с плоской '} -.серной образ.уххцей.

ЗАМЕЧАНИЕ. Подкнотообразиа с условней (12) называется инвариа-рыв относительно оператора ¡срибизки п тазет строение линейчатой шертиващзйся поверхности с ц(Ю-ш?рной образующей [24].

ТЕО?3.1ч 3.2. %сиь J1 с й полной снсишагческоэ яо&еногооора->, принел И .«ибо i? кс.такгло, I > ц.(Й) > v(Z) = max{í: £ < .-i)> и выяолнтси условия (12), (14) в случае -¿(т) = ц(Й),

иг & íu.y) ¿ л, о, (г, у s i!? ). (ir)

•Ла = = О и ,'fl - цилиндрическое псд.*ногообразиэ с ютй у.(П)-лерясй сбразхро^-эй.

СЛЕДСТВИЕ 3.1. Пусти М1 с полисе пад.чнагасбразив с усло-иги- (11) с й1 > 0, (12), (14) и с na следухщих сбойспб:

(i(lf) > v(I), (б нелеровол случав |i(2/)> 0), б некоторой шзчйэ я е ¡1 ранга г(п)-= г(/!)< 1 выполнено (13), внеиашл q-лерная кривизна 7qCíí) < □ и

- \ + + (р< - | + 6 нелеравол случав).

да Н1 - вполне геодезическое . яЗ.еяогаобравие. ЗлЧЕЧАНШ. Для g-иэрной плоскости" У с Г i?, натянутой, на кичные взашшо перпендекулярнне векторн íe1,. ••£'q>, числа V) определяется по формула

* ' _ .. Г. 1% Г, Р-

2-2 ( 2 "««jW,;,/^-

т» г t,J€&

1 р ч

( А р Л р - А Я ■ Ар )1 >

"V-i^a-i *V<2 V«r-í

_ J.™^ когтТ^шшкжл втерта нзздратггчнш:. .форя позериноста сситзльш-иртояормирсвзишго бгвнса шризлей*»-"S^ - множество х подстановок стгвенв qf et - аггак подигяткияш £ а (С1,

а , -

tq). Б сдучсо 7q(H)4 0 подмногообразие с-малой коразмерностьи является (сильно-)параболическим (21.

3.3. Пустоъ fi1 с к полюе аншижсчеысое подлно г о образш услибшии (12), «г 0, (о с TJi),

Ri(x) ^ RiTU), (it Til), (1!

Тогда, если 0<l<r{H), то У1 локально изслеярихно T1_T"tV>» DrU и является цилиндрикести под.гногообразиел с оОразуащей Иг~г12/

Ограничения на топологии лз"ейчзто2 поверхности Ип+* в сфе] SNtk) пояаш jtch при kJJioa коразмерности Г293 или дополкительнь требованиях на кривизну 138), £39]. В риыаковоы пространстве : Ед > 0, ввиду отсутствия цилиндров, эталонов линейчатой поверхнс сти, являющейся метрическим произведением, на наш взгляд, слухи! подмногообразие типа Сегре, В 3.2 введен и изучен класс ликейчя тых подмногообразий с Кси ■» 0, доказаны две основные теоремы лещричзсхол распадении, типа Сегре при dim L 2 p(codlm I) с оцеп кой снизу коразмерности в рнмвновоы пространстве с Кэ> О. Пи рва теорема основана на новом локальном синтетическом методе в прост ранстэах с тензором кривизны как у SN шла CP7, на изучении связ условия Кду^ст > О с введенным п- штпеи i-сднознанной проеяпируе .гост вдоль ойразуххцэй. Следствием является оптимальная оценк размерности образующей в случае £сиел > 0« а такие новый признак подмногообразия Сегре в S7* или, CP*. Вторая теорема сочетае1 описанный внешне геометрический метод с идеями 2.4 о слоениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Регулщмув поверхность if с И назовем t-однозначш празахируеяой вдоль образующей ь с М, если t - наименьшее дело» число такое, что для некоторой точки те Ъ существует пространстве V с rjf1 размерности codlm Н - t, которое при v-аарвллельно» переносе по любоиу пути в L остается трансверсальнцм' к М. Пр i * 0 ПОвучаек однозначную проетируелостъ U вдоль £,

В случае поверхности в пространстве постоянной кривизны наше определение равносильно классическому. В рвмановом прос.^анстве кошт не сучеьггавать тол в геодезическое поданогообразие, на которое проекция реализуется геометрически.

ТЕОРЕМА ,3.5. Еуаяь If*** с Й - линеОчаяая поверхность с полной v-лернай образующей Ш и а условшии

Я(х,у)2= П, (г с TL,

у € £ l X А У),

т' -

(1 &п)

кадровом случав '

й(1,у)2 II 1Гг, (х с И. у £ ?И, г 1 X Л у Л Л Л ./у)], (1бЬ)

* Юс2!/, (х е И, . у « ТЬ1 ). (17)

(л{х)г+(л?и)г £ к, (X, 14 е ГЬ, X 1 и, |Х|= |И| = 1) (18)

существует. такое цейсе т £ t1.nl, что ;сривизнп Риччи ^ Я(м > л ¿Г -(гл +1). Тогда, если И (-однозначно проектируется вдоль с I £ ш, то М локально изолетрична произведения ¡¡}п « и Йг лияейчапая раэвертхвапцраси ЬОоль (I) повертноспл. ЗАМЕЧАЛИ?, Из (18), (17) а уравнения Гаусса следует неравенство г О. В частности, яингйчатая поверхность Ней со свойстве (1б>, (17) п > 0 вдоль образующей I однозначно пробируемая, а угювие V вах Ср (I) г гс-т < { с >г) достаточно для ■го, чтобы линейчатая поверхность Лей со свойствами (16) -8) была I- однозначно проектируемой вдоль I с *. > гта. Многообразие Сегре Уп+"= /(5*«5п)с задано правилом МЫ /! (и0,...,ит,и0,...,ип) — Си0иа.....и^.....«уп>.

;а (1^} координаты точек единичных сфер 5", £п. Образуп-

е многообразия Сегре можно выбрать двумя каноническими способа:. Аналогично задается комплексное многообразие Сегре в СР".

Сочетанием идеи теоремы 2 .6 о слоениях с методом исследования неЭчошх подмногообразие* теорема 2.5 получается

ТШ>£МА 3.6. Пусть с у линейчаяюя поверхность с полной

мерной образующей Ш и с условиями (16),

йг > К{х,у) » Ьл > 0 . (х е ГЬ, у е И*), (19)

/и?2)г+(/{и)г < УТ'а-БИ- +1)Ь (10 - некоторая

разупцэя, х, и с ГБ, х 1 и, |х|=|и|»и1а Ь й=(йг+^)/2). (20) гда, если V £ р(п)= шх{р(4): ( иди в кедеробод случае

2, по 2гг= и и лояально из<~ ютрична произведению I" * ичел сой1т ¡1 » ш. 3 случав И » Б* иди С?" (то есть кг £ выполнено (16) ) и сос11ш М = т поверхноса И есть область огообразия Сегре. ' Соответствущяй результат в псевдоротшгавом случае.

В кашах работах [371-(391 для параболических поверхностей (по

и

Д. Борисенко) tí с 5г изучена связь условия Ка > 0 с локши понятием однозначной. проантируелоапи. В 3.3 запечено, что пода гооОразие Сегре является тянет параболической поверхностью и : заш необходимые я достаточные условия метрического распад* тша Сегре параболической поверхности с Км > С в римаковол i стракстве с Е6 > 0. Доказательства теорем основаны на синтеп схоы методе 3.2 в сочетании с вариационным методом 2.4.

Для И1 с а з-ыарнсго подорссч-ранстза U с Т^М1 рассно' билнкСинуи форму M¿7o) = Ph: TIf * TJÍ — Ub, где г. - ьг< основная фориз поверхности Ы, F: Г^К —<> ü - ортопроектор. известно, з-нулъиндекс ¡S задается формулой,mlníüla fc'(Lru) с Г^У1, я £ К ), где tf(í/0) - нулъпросщхтапво формы Заметки, что = ц.р р.г $ = 1 - r(¿').

Л?1Ш Я.З. Многообразие Сегре ¡fn+* = /(Sv » Sn) с S77 tí сд] и ¿ n и&лявтея пщх1боли\еской поверхностью ранга riU)= 2alní' с условие* р., = ц +1.

7E0PEL1A 3.8. Пусть Мг с Ml+F полное подмногообразие с условиг R{x,y)z =0, (z, у € TU, z i х Л у),

R(y,x)x = kr2;/, (г, у € ?¡l)

и с uxxftu из следующих условий'. - dei

a). = trace(¿{г) С 22г, (Ш=1),

b) 2L > С 1

c) ^>1-2 ] 12

Тогда, если. 0 < r{U) 4 l-p(l), ко Ul локально изолетримна а), Ъ) s^íin/a „ src*)/2f с) Si-1 к Mit r(if)= 2>

причел codim М ¿ (г(И)/2)(1-г(1Г)/2). Для 5 = S* (когда уел . (21), (22) выполнены автоматически) u codla íf =(r(lf)/2) (í-r(¡f поверхность Jfl есть лногаобразив Сегре.

ЗАМЕЧАНИЕ. Распадение келеровых параболических поЕерхност происходит при меньших требованиях как на ранг г (И), так i кривизну. Условие" (21) с z е ТМ1 (выполненное, например, в обеспечивает наличие (din И -г (Ю)-мерных образущих С32. Из и Í 25 ввиду уравненая_Гаусса следует неравенство Кы

Дня подмногообразия Иг с ir с условием r (lí) < 1 и точки

1С

У рассмотрим !шхкзстбо ГСп»?5» (гда 2Ч'Х1единцчная нормаль)

- связку всех геодэвачесхзх у: 10,гУ-/ & ] —« 1', (7(0) - п, 7' (0) е кег Л£). Определим число • \

о(£)- зир-:- .

где .'у, 2 х ксг У 1 2, |у|= 1, |(0)п Vх О,

7 б Г(яД). '

Сочетанием идеи теорвкн 2.6 о слоениях с методом исследования параболических подмногообразий теоремы 3.8 "¿случается ,'

ТЕОРЕМА 3.9. Пусть И1 с М полное псдлногосбразие с условиями (21), (11) с > 0 и либо

? У23Г[1 -5(1- +1)), (|5|= 1), (24)

либо

_ - •■ ' л, ас!п>

|Л(г,у)|/(11|.|у|)« >НГС1-о(1 -+1>1

с р2 -И (б кедеродол случае без ограничений на |л{), (24') где к* (к^+кг)/2, £0 — „некоторой едимлчяая . нормаль ранга г{М). Тогда, если 0< г*(1Г}$ 1-р(1) или д келеровол случав 0 < г(М) < I, то кг - и иг локально иволетримна произведению *

Й2СМ>/2 •причел сойЗш и г (г(Й)/2)* (1-г(М)/2).

■ЗАМЕЧАНИЕ. Если в условиях (24), (24') теорема 3.9 потребовать строгое неравенство, то получатся признает вполне геодезических повзрзсостзй в риыановог» пространстве.

Четвертая глава посвящена пзученЕн» гипотеза 3. Топоногова, что слоения Тр вЗляхжя хапфовстим {г0) * а соапветствухщий класс лногоодразий Блягшз состоим из КР0131.

В 4.1 введен класс Т% косих рааслогний Хопфа нечетажерной сферы, получен новий признак (Э3),-доказано равенство = Т , означающее отрицательный ответ на предаодожеигз 191 о равенстве

V .' ■

- 'ОПРЕДЕЛЕНИЕ.' - Почти котлеиснпя структура . ¿У —» Д2п+г (лингйний оператор с условием «7гя -2) определясь косое расслоение Хспфа -г-- геодезиягское олоенве- ,52п*!'1, .оссжишег- по - пересечений Б2*1"1"1 с голоморфными шюскоетяш {с» х А Ш. (прп я=1 см. 1193),

Клэсад жшфовских а косых хепфазсаш рассяоахгЗ а2"*1 обозка-

1? ", ' .

ЯШ через и г,^). Юшвшгадмвд-

ких слоений- сфера 52"4"1 обозначив через ).

ОПРЕДЕЛЕНЕН. Класс соашт ив миих слогнии^ / с

^ когаорыг существует полилинейная дунхция Н: а « к , „ Н1 сб следугщимх условиям!-.

Р.) й(г,у,г,ш) - ' -й^.Ь'.^.г).

1 . Щх,у,в,п>) 4- Щг,х,у,ш) + В(у,г,х,ю) = 0,

р.2) псти для каждого х е йгп+г найдется единственная плоскость о $ х, дш ксторой К[х,у,х,у)- 1- (у € а,- у * х,. |г| = |у|=1).

Н^) если плоскость а содержит слой /, яю

К(х,у,х,у) = 1, ( х, у б о, у 1 г, |х| = |уМ>-

ТЕОРЕМА 4,1. Класс ^к(52тг+1}, (п= 2й) содер-хипся классе Г., (52п+1 ) и не совпадаем с ), а при 1 ^ (53).

ТЕОРЕМА 4.2. Яусмъ / е ^(З2^1), п - 2&, аналипинеские слоения со свойство*

(/Ц): для любой пары, ортогональных слоев содержался их 3-лэрноя большая сфера в згп+1 наследует (косое) ¡хю'слоение Хопфа. Тогда / - (косое) расслоение Хопфа.

Оказывается, слоеная и? .7Г.,(5гп+1), (п > 1) обладают свойством (Л,). Поэтом? теорема 4.1 при п > * следует из теорега 4.2.

В 4.2 доказана теорема 4.2 о хзрактерпзации Т л ьндужившл своСиап>вол1 на первый езг.чяд "линейно-алгебраическое" утверждение потребовало метода дафферэнцяяльнрй топологии.

В 4.3 путем расширения глобальных методов И. Берае и Д. Кэзденв [1] докчзана экстретльная теорем об сбьелах тех многообразий Бляшке, которые рассматривал В. 'Лопонотое. Следствием, с учетоц таккз извесшля фактов, является экстремальная теореиа о иногооб-рйоиях с условие« 0 < К0 ? 1, обобщающая теореыу жесткости Бе--рнз [4], где секционная кривизна 1/4-защеияена.

.Пусть У~п(1) полное односвязное риманово многообразие четной размерности с 0 < К^ £ 1. Известно, что радиус икьективностп та-крго многообразия У2п(1) не меньше а и, следовательно, давиетр токе к° мзкьшз к [43. В экстремальном случае, когда дааматр кно-тообразия М = ?сп(1) ривен" тс, либо М изометрично сфера Бгп кривгзны 1, лзбо геодезические линза Еедут себя так [83:

для. каждой кочки т е И и любого вектора К с: Т'Н

т.

сун&ствует а-лврчая ( а 2, 4, ü и вали а* О, то tila i! = 1G) плоскость й(Х) с н, (1< а < т), такая, адш все геодезические 7 с а, (7(0) = и,. 7' (0) е d(A.) ) образут вполне геодезическое под.оюгообразие Р{т,Х), ило.гетричпое сфере Sa кривизны. 1;

F3: ü.'.a лххЗих ненулевых к,, \г t TJ! подмногообразия Р(я,й. ), Р{т,\?) jlv6c не xi&exm oóvtux почек, кроле т, либо ссЗтгадат.

Многообразия с условиями Р1, Р? является тзкне многообразиями Бляшке. Гипотеза 2. Бляшке (1921 г.) состоит в тем, что многообразие Бляшке язоиетричио своему модельному НРССП: Sn, ñP", CP™, НРп, CalВ 197"' г. она доказана для случаев Sn, HP™ и поэтому выглядит правдоподобной £1]. Тая как слоение S!1 на больше - сфера голоморфно рзсслоению Хопфа, то многообразие Вляске гоыео-иорфко ыодельноиу КРОСП [32]. К. Ян сформулировал слабую гипотезу i Бляшке, что такие ютогообразия шдеот "правильные" овьет, которэя доказана для CFn, и з предположении гомеоиорфнэстн - для ШIa и ' Са2с

ТЕСРША 43. Если pu-toHo&o .тогообразие йап удовлетворяет условиям -F , F,, то его объел не .пеньте объема КРп{ 1), (din К = а) и равен елу кальке тогда, когда íí0" изолетрично ЙРП(1).

СЛЕДСТВИЕ 4.2* Романова, многообразие Иап с условиями Р1, Р2 ^олетпрично соаг&етапбущелу КРОШ.

В итоге доказана гипотеза В. Юпоноговз о той, что

риланова многообразие 72т1(1) dvjxs.em.pa и изолеарыно КРССП.

В 4.4 изучается связь локальных св-йств касательной а смешанной кривизны для BnojTra геодезических слоений! доказано, что при некоторих дополнительных предположениях свойство

Ь) се:-сционхая кривизна слоев постоянная и равна 1 или 4 следует нз

а) секционная кривизна в c.tevaxKnx направлениях равна 1, (обоими свойствами обладают', например, расслоения Хопфа), построен пример, когда свойство Ь) не вытекает из п). Введено понятге пзрюдической ф["иеции на ршаноаси шюгобрззяи и.доказано, что однородное ршяново шогоойразне, допускающее' тзкуа функцию, изодатргчно КРОСП. Этот результат применен к вполне геодезический

слоенвиш с = const > 0.

■ cusa

Шракаа благодарность иаещ нзучноиу консультанту профессору д.ф.-м.н. В.А.Тсттогову.

Í9 '

Р А БОТ Ы AB?ОРАЙ О ТЕ ИЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ровенский В. ,; О линейчатое поверхностях в сфаре// Сиб. иатеи. Еурн., 19J34," -1Г'-;С. 141-152;- у.ч;л,>л.;

2. Ровенский В. Функцаи периодичеекпе вдоль геодезических линий // Тезисы per. раучпо-оракг. ко!£ф. Караганда, 1285, с. 113-114

3. Ровенский В. . Локальные свойства кривизны расслоений Хопфз// И.,- 1985. - Дел. а ВШШ 7,03.05, Ё 59D3, 17о, ;-Vv г . .

4. Ровенский В. Периодические функции на рииановых иногообрззиях //Всес,ЕЯ. "Оптим.упр.,геои.а ан.п, тезасн, Кеиерово, 1S8Ô, с.109

5. Ровенский Б.■ Геодезические слоения на трекерной сфера// Сб. Теор. и цршеа, вопросы ййф5.уравнв1шй. Караганда, 1S06, с.115-119

6. Ровенский В., Тойоногов В. Геометрические характеристики кон-плексного проективного пространства//, Вестник МГУ, сер. штеи. иех., 1986, й 5, с 95-96

7. Ровенский В. Геометрические характеристики кошлексного проективного пространства// Сб. "Всес. конф. по геоизтрш в целой", таэшзы, Коаооабцрск, 1SS7, с. 102

3. Ровенский В. Иетрическоз строезше линейчатых, поверхностей в сфере // там ке, с. 103

Ровенский В. Замечания о полных параболических поверхностях // Укр. reoäiSTp. сб., 1287, вып. 30, С. 87-89. 10. Ровенский В., Топонсгоэ В,Д. Геомзтрические хараетерветшеп кошлексного проективного пространства //Сб. "Геонетрия и топология однородных пространств", Барнаул, 1S88, с. 98-104 . 11« Ровенский В. Псездоргшнова линейчатые поверхности // Кн.' "5 Бсес. геодатр. конф.", тезисы, Кеешше, 19S8, с. 267-263

12. Ровенский В. Косые, расслошшя Хоцфа печетнойгрных сфер// Кн. "Иол. учеше наук^ Казахстана", тезисы, Караганда, 1988; с. 70-71

13. Ровенский В. : Однородашв ртдаюзы шогообразия, допуекднцке периодические фрщт/./Саб,натек,-8урн,,1585,, т. 30, с. ?.02-205

14. Ровенский В..Метрическое строение линейчатых и параболических поверхностей в"çS? и^СР® //Саб.иат.Еурн., ;1989,-т.Зи, с. 153-1 бй

15. Ровенский В. Условия разложения линейчатых и параболических поверхностей в Sa и (^//У^р,,геоз12тр.сб. , 198Э," в. 32, с. 103-И5 15. Ровенский В. Раааховшв линейчатых и парабояеческих поверхностей// Доклада АН ССОР, ï. 305. Jt 5,1589, с. 1049-1051

17, Ровенский В. Васшш теодааэтескЕэ слоения с щгтттлыти р£спредедавием «лизкаи к иитег^аруеиому // Кн. "Всес. конф. по

'гесиетрцц и анализу*, tgüucu,,¡швссиСпрск, 1SS9, о.,63 13. Ровахский В. Косна расслоения Zcrrja // Укр. гаоизтр. с0., в<т. 33," 1SSQ, с. 101-114

13. Ровешясай Б. Еполиа геодасшесг.г.г слоения с ортотснплыпп распределением близки к £ЩТ0грпрусшгл5'//Сиб. матем. зурн., 1551, •т. 32¿ Í3 1, с. 1S9-203

20. Рсвсясипа В. 1Цзвдор2«аговн лшвйчатне я параболотескп^ поверхности// сб. "Геометрия многадаркнх пространств", Барнаул, 1991, с. 54-66

21. Роевксний В. Криьизна а топология штогообразая с вполне геодззйческяи- рчспредележей // Кн. "Цатазиародаая кои5. памяти Д.Я.(Й5рпова", тезяси,, Барнаул, 1331, с. 74

22. Ровенский В. Вполне геодезггезсхяо сдзешя близкие it римзно-тз:гг // Укр. геомэтр. сб., 1992, сип. 35, а. 114-113

23. Розекскай В. _Дааиатр слоев-п райиврность слоения с пояоетте-льисй стесанной cafëssoimoa крявпзной // конф. "Лебэтевскпй п соврзмешзл гсс'готргщ", tsehcu, Казань, 1992, с. 84

24. Розекскяй В. Вполне тоодезпчЕстаю олсзкзя с полЕсатеяышг «яяжзнной секционной кривизной // Укр. гос::этр. сб., 1993, в. 36

25. Ровэккша В. Tsopara о вползш геодезических слоениях с по-лсттзльпсй сиешняой секционной кривизной я ее црилояенкл// Сб. "Гзокагрпя-одаородншс пространств", Барнаул, 1993

26. Розекскпй В. Слоеная на агтпиутнэ гаодезячасхве с положите. льной сггззшзшой секционной кршзнзной// Сб. "5-я Сибирская пкола

по алгебра и анализу", тезиса, Иркутск, ¡LS33, с. 25-26 27., Ровекскпа В. Гйфрическся разкоганпа слоений с неотрицательной кривизной // Доклада РАН, 129-1, т. 334, й б

БИБЛИОГРАФИЯ

1. »soco Л. Кногсо0раззл с ззшздушз! гаелзватескиии. U.: Науке, 1931, 325 с.

2. Воргсаихо А.Д. СО з:гстрзизльгкг ето2оа;?лг кошажпшх парабо-.¡шекси повзрзазготсЗ о рвтшсвс'л врсстапгсгва // Uai-eu. сб., 1SS7, г. 133(175), й 1(5), с. 112-126,

3. Псрпсзя:;о д., Д.'£ая*е:чЕй А. -, Ргшшосл зяойвтрвя расслоений // •í : 'а ; 10318 Т. 43, ï'JZU б(2£3>, с. ai-С; 5

4. ЕСсЗзясз EI., Eo^vr.sy S. бсконп геоазгриа, 1-2, "i.s Наука, 1S3.S

U ■

5. Маревдгч В., Тепонэгев Б, Отк^гтые «ногообраздя неотрвдятгль-ной кривизна// Сгеога наука в технйрщ, сер. Проблемы геометрии,

т. 21, U.I ВИНИТИ, 1939, с. 67-91

6. Степанов С. Техника Бохнера в теории римановых структур почти произведения'/ Ыатеы. заметки, 1990, т. 48, в 2, с. 93-98

7. Тамура И. Топология слоений. - Ы.: Мир, I979, 317 с.

8. Топоногоа й.А, Экстремальные теореад дай римановых пространств с кривизной, ограниченной сверху // Саб. явтем. журнал, 1974,

т. 15, J¡ б. О, 1348-1371

?. Топокогов В. А, Одно харяктвраотнчвакэе свойство четырехмерного симметрического пространства рв) а 1// Саб, ыатеи, куриал, 1972, т. 13, Л 4, о, 884-ЭР?

10. Фуко Д. Слое шш//Итога наука и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, 13, 1931, H.t ВИНИТИ, с. 151-213 и. Abe К. Application oí a Rieeati type üillerentlal equation to Я1еадгт1ш ssniíolds with totally geodesic distributions // Tohoku Math. J,, ma, v. 25, p. 425-444

12' ДДеш J, Vector fields on spheres// Ami. Hath., 1962, v. 75, p. 603-632

13. Anderson li. Baualori perturbations oí Rlcci-Ilát manifolds and splitting theorem// Duke Hath. J., 1992, v. 68, £ 1. p. 67-82 '14. Brito F., t/alcsak P. Totally geodesic foliations with Integrable nonml bundle//Bol. Soc. Bras.Hat., 1986, v. 17, p. 41-44

15. Chen В.У. Geometry ol suhoanilolds and its applications. Tokyo, 1901, 96 p.

16. Dombrowski P. Jacob! fields, totally geodesic loliations and geodesic differential f orms/ZResult. Math.. 1979, v, 1, p.156-194

17. Escóbales R. Ulemnnian submersion froa conplex projective space// J, Dili. Geoa., 1978, v. 13, p. 93-107

18. Perua D. Totally geodesic loliations // Math. Ann., 1970, » V. 138. й 4. p. 313-315

19. C-lucK П.. Warner P. Great circle lifcrations oi the thrse sphere// Duke «ath.. J. 1983. v. 50. И 1. p. t(77-132

-¿0. Sluch H., Warner P., Ziller W. Pibrations ol spheres by " parallel great spheres and Berger's ridigity theorem// Ann. ol Global Analysys and Gecm.,1987, v. 5, й 3, p. 53-92 21. Gray A. Pseudo-Hlemannian almost product aanilolds and submersions // J. ol Hath. endLMech., 1967, v. 16, p. 715-737 - ■ ¿Z

22. GrtJcnUL D., Grove K. A generallzatioa of Berger'a rigidity theorea îor positively curved manliolto // Ann. Scl. Be. norm, super., 1937, v. 20, p. 227-239

23. Kin В., Tondeur P. Riemannlan ioliationa cm assnliolds with nonnegatlve curvature// Eianuacrlpta Math., 1992, v. 74, p. 39-45

24. Malts H. Use nullity зрасез oi curvature-llXe tenaara // J. DH.t. Gecoetry.. 1972. v. 7, p. 519-525

25. Molino P. Rieeannian folIatiOhS. Progr. lftMath., v. 73, .

Birichauacr, 1583, 339 p. ' .

26. O'Selll В., Stlel S. Iaonetric irajeraions oi constant curra- _ ture œanlîolds /7 Mich. Math. J., 1963, V. 10, Я 4, p. 335-339

27. 0'He ill B. The fundamental equations oi autanersicns /Mich. Math. J.*, 1966, v. 13, p. 459-469

28. O'Helll B. Sub'saraidns ar.d goctleaics // Duke, fist h. J., 1967, v. 34, p. 363-3-73 k .

29. Petro J. Great sphère ilbrationa of œniiolda // Rtfcky Mountain J. oi ¡¿3th•, V, 17, Й 4, 1987, p. 855-885

30. Ran Jan a. Structural -oquaStoa and an Integral icrsuia for ' foliated »anlieIda // Goes. Dedloats, 1586, v. 20, p. 85-91

31. Rsinhart 3. Differential geonatry of felistlona. 2rgsb. Math, v. 99, 1?33, Sprins^r-Vsrlag, lim York

32» Sato H. On topological-îîlascKa conjecture, HI// beet. 2ote3 toth., 1986, V. 1201, p. 242-253

33. Тепло S. totally geodesic lollatlcns with compact leaves // Hokkaido Math. J., 1972, v. 1, p. 7-11

34. ïcudaur P. Foliations on Rie'saxmisn гаэтИоМз. Нет York: Springer, 1938 , 247 p. ;

35. Walc23li P. Дп Integral icrsuia 1èr a Riesannlan zsniîold with two orthogonal coicplea»ntory distributions // Coliog. ?,{ath., 7. ira I, A 2, '1990, p. 243-252

36. Yang G. iny BlaachKs ranliold oi the heaotopy type oi CP11 has the right volms//PacJLTic J. Math., 1991, v. 151, S 2, p. 379-394 .

37. Размокай В. Вполне геодвзяческяз слоеная // Саб. мзтеи. ЯЗфИ., 1982, 2. 23» M 3, с. 217-219

30. Реванш^ В, Кзазиразиертаваюцяесл в параболические поверхности" В Сфяра // дан СССР, 1934, т. 278, JS 2, с, 2SS-268 39. Ровишшй В. ХзреглерЕаациь вполне гводеоичаслшх водшютосС-развЗ 3n g CP*1 // Tiep» гооиэтр. сб., 1S85, вив. 2D, о. 1С6-116

2S