Геометрия открытых многообразий неотрицательной кривизны тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 од

■'•¡¡i РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

на правах рукописи УДК 517.772

МАРЕНИЧ Валерий Борисович

ГЕОМЕТРИЯ ОТКРЫТЫХ МНОГООБРАЗИЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

01.01.04 — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 1994

Работа выполнена в отделе геометрии и топологии Института математики Сибирского отделения РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Д. В. Алексеевский доктор физико-математических наук, профессор В. Н. Берестовский доктор физико-математических наук, профессор Ю. Ф. Борисов

Ведущая организация: Харьковский государственный университе

'Защита состоится ""___________" 1994 г. в "часов на

заседании специализированного совета Д 002. '23. 02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте матема-шкп СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, 90. Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН Университетский проспект, 4.

Автореферат разослан "____________" 1994 г.

Ученый секретарь ('пецнали шрованного сове та доктор физико-математических наук, профессор

В. А. Шарафутдинов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В рнмановой геометрии важное место занимают исследования по геометрии открытых многообразий неотрицательной кривизны. Начатые работами Кон-Фоссена (1935 г.), эти исследования стали одшгм из наиболее актуальных направлений римановой геометрии "в целом" после знаменитой работы Нигера и Громола (1972 г.), в которой кроме известной структурной теоремы (зоиГконструкции), описывающей топологическое строение рассматриваемых многообразий, была выдвинута гипотеза о геометрическом строении открытых римановых многообразий неотрицательной кривизны (гипотеза Чигера—Громола). Значительным вкладом в изучение геометрического строения открытых многообразиц являются работы В.А.Топоногова (в частности, теорема о расщеплении открытого многообразия, содержащего прямую линию, в прямое произведение), а также В.А.Шарафутдннова (в особенности, построение метрической ретракции, являющейся эффективным инструментом исследования геометрии открытых многообразий неотрицательной кривизны). Многочисленные работы разных авторов последних лет были так или иначе связаны с попытками доказательства гипотезы Чигера— Громола (или несколько более общей гипотезы В.А.Топоногова), а также с нахождением условий, при которых открытое многообразий неотрицательной кривизны несет дополнительную геометрическую пли топологическую структуру, например, разлагается в прямое произведение.

Цель работы состоит в построении основ теории метрического строения открытых римановых многообразий неотрицательной секционной кривизны, а также в установлении и изучении связи их тополог ического строения (свойств оператора голономии, а также топологии идеальных границ) с метрическими свойствами.

Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1). Доказательство инфинитезималыюго аналога гипотезы Чигера— Громола (Теорема 2), утверждающего вырожденность смешанных кривизн гладкого открытого многообразия неотрицательной секционной кривизны.

2). Доказательство гипотезы Чигера—Громола для аналитических многообразий (Теорема 1).

3). Теорема о прямом произведении (Теорема А), утверждающая,.что

из тривиальности оператора голономии нормального расслоения души следует распадение всего многообразия в прямое произведение.

4). Доказательство тривиальности оператора голономии в случае, когда обращаются в ноль кривизны в направлениях, нормальных к душе (Теорема С).

5). Доказательство тривиальности оператора голономии в случае, когда секционная кривизна имеет более высокий порядок стремления к нулю при приближении к душе многообразия, чем квадрат расстояния (Теорема D).

Два последних результата получаются с помощью предложенной в работе геометрической "Призм"-конструкдии, связывающей свойства оператора голономии в векторном расслоении с неотрицательной кривизной с поведением некоторых секционных кривизн.

6). Установлен топологический аналог известного в теории открытых многообразий метрического феномена пробела. Показано, что односвяз-ное открытое многообразий неотрицательной кривизны диффеоморфно евклидову пространству, если его кривизна на бесконечности стремится к нулю (Теорема Е о топологическом пробеле).

7). Исследованы общие свойства идеальных границ открытых многообразий неотрицательной кривизны, а также установлены неко торые зависимости между геометрией открытого многообразия и топологией его идеальных границ (Теоремы 3.1U, 4.5, 5.1).

Все перечисленные результаты являются новыми.

Методика исследования основана на оригинальных геометрических конструкциях и аналитических оценках функций расстояния, основанных на формулах первой и второй вариаций функционала длины.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в римановой геометрии "в целом", а также при изучении геометрии и топологии открытых многообразий.

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на Всесоюзных конференциях по римановой геометрии (Новосибирск 1982 г. и 1987 г., Москва, МГУ 1985 г., Кишинев 1988 г.), Сибирских школах по алгебре и анализу (Кемерово 1987 г., Томск 1988 г.), конференции по геометрии памяти Лобачевского (С.- Петербург 1992 г.), конференции по римановой геометрии в целом (Обервольфах, ФРГ 1989 г.), а также на геометрических семинарах Курантоиского института, Колумбийского университета, (Нью-Йорк, США), Нью-Йоркского универси-

тета (Стони Брук, США), Мерилендского университета (Колледж Парк, США), Университета Северной Каролины (Чейпел Хилл, США), Дьюк университета (США), Университета Пеннсильвании (Филадельфия, США) во время поездки по США в 1991 году, а также в 1993 году во время геометрической конференции по теоремам сравнения в Исследовательском Институте Математических Наук (Беркли, США).

Публикации. Содержание диссертации полно отражено в 24 статьях автора, опубликованных в журналах "Доклады АН СССР", "Сибирский математический журнал", "Труды Института математики СО РАН", "Украинский геометрический сборник", "Siberian Advances in Mathematics", а также в сборниках тезисов докладов Всесоюзных и Международных конференций, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Вторая глава состоит их двух частей, а также приложения. В списке цитированной литературы 51 наименование. Объем диссертации — 210 страниц.

Прежде чем перейти к изложению содержания работы, охарактеризуем кратко распределение материала по главам.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель и дается обзор результатов диссертации.

В первой главе доказывается сильная вырожденность тензора кривизны таких многообразий (Теорема 2), из которой следует' справедливость известной гипотезы Чигера — Громола для вещественно аналитических многообразий (Теорема 1).

Во второй главе вводится геометрическая конструкция с призмой, с помощью которой и с использованием результатов первой главы, мы получаем теоремы о прямом произведении (Теорема А), теоремы о зависимости оператора голономии нормального расслоения души многообразия от асимптотики его тензора кривизны вблизи души (Теоремы С и D), а также (во второй части этой главы) теорему о топологическом пробеле (Теорема Е), утверждающую топологическую тривиальность многообразия при условии стремления его кривизн к нулю на бесконечности.

В приложении ко второй главе приводится построение метрики неотрицательной секционной кривизны на двумерной сфере, дается геометрическое доказательство теоремы О'Нейлао неубывании кривизны при

римамовых субмерсиях, а также вычисляется тензор кривизны построенной метрики. Приведенные вычисления подтверждают также, что условия теорем, доказанных во второй главе являются точными.

В последней главе рассматриваются идеальные границы открытых многообразий неотрицательной кривизны, изучаются их общие свойства, а также некоторые зависимости между геометрией всего многообразия и топологией его идеальных границ.

В конце работы, в качестве приложения, приводится обзор статей по открытым многообразиям, появившимся до 1992 года.

Дадим более побробное описание упомянутых результатов по главам.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Открытым многообразием называется полное некомпактное многообразие. В настоящей работе изучается геометрическое строение открытых римановых многообразий неотрицательной секционной кривизны. Пусть Vn — открытое многообразие неотрицательной секционной кривизны Ка. Согласно известному результату Чигера — Громола 1 Vn содержит компактное вполне геодезическое подмногообразие S без границы, (называемое душой К") такое, что все многообразие Vй диффео-морфно i/S — пространству нормального расслоения S в Vn. В двумерном случае ориентированная поверхность V2 либо плоская, либо диф-феоморфна плоскости Л2; причем второе справедливо, если V2 содержит точку строго положительной кривизны. 2 Чигер и Громол предположили, что аналогичное утверждение справедливо и для размерностей больших двух:

Гипотеза Чигера — Громола. Предположим, что на. полном и некомпактном многообразии V" неотрицательной секционной кривизны Ка > О, найдется точка, в которой секционные кривизны строго больше нуля

'Clicegur J., Gromoll D., On the structure of complete manifolds of nonneyaltve curvature, Ann. of Matii. 96 (1972), 413-443.

"Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии ь целом, М., 1959.

по всем двумерным направлениям. Тогда душа многообразия V" является точкой, а V" дпффеоморфно эвклидову пространству Rn.

Эта гипотеза доказана для n = 3, 3 для п = 4, 4 а также для многообразий специального вида 5 Ниже приводятся основные этапы доказательство гипотезы Чигера — Громола для аналитических многообразий.

ТЕОРЕМА 1. Если аналитическое открытое многообразие Vn неотрицательной секционной кривизны К„ > 0 содержит точку, в которой все секционные кривизны строго положительны, то V" дпффеоморфно Rn.

На самом деле, теорема 1 является непосредственным следствием приводимой ниже теоремы 2 для гладких многообразий, утверждающей, ч то так называемые смешанные кривизны стремятся к нулю быстрее, чем любая положительная степень расстояния р — р(., S), при р —> 0. Чтобы гфивести точное утверждение понадобятся следующие определения:

1. Пусть р точка на S, е — вектор касательный к 5 в точке р, v — вектор нормальный к S в точке р. Обозначим через /„(/>) = expp(pv) геодезическую, выходящую из р в направлении v, а через е(р), v(p) — два поля параллельных векторов вдоль lv(p) таких, что е(0) = е и и(0) = v. Пусть также cr(p,v,e,p) — двумерное направление, порожденное векторами е(р) и v{p). Основной результат формулируется следующим образом.

ТЕОРЕМА 2. Для каждого гладкого открытого многообразия V" неотрицательной секционной кривизны, произвольных p,e,v как указано выше и любого положительного целого числа N

при р —* 0, или, эквивалентно,

dN ,

3Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Выпуклые множества в римановыг пространствах неотрицательной кривизны, Усп. мат. наук, 32:3 (1977), 3-55.

4МареничВ. Б., Метрическое строение четырехмерных открытых аналитических многообразий неотрицательной кривими, Спб. мит. жури., 21 (1980), 101-165.

5Elerath D., An improved Topotiogov comparison theorem for nonnegalively curved manifolds, J. Differential Geom. 15:2 (1980), 187-217.

(Секционные кривизны вида /С(р,к,е,/>) называются сме шанными кривизнами многообразия V").

Кратко опишем основные шаги доказательства теоремы 2.

2. Если утверждение теоремы 2 неверно, то найдется наименьшее число 2Ь такое, что

Л26

^2Ь^(р,и,е,р)|р=о Ф О-

Как следует из ранее упомянутой работы Нигера и Громола и неравенства Ка > 0, число Ъ целое и положительное.

Б есть предел семейства абсолютно выпуклых эквидпстант С1 \ Б — Си, аэ / —» 0; т.е.,

1. Для некоторого Т > 0, гпЛС'т 'ф Й,

2. Для некоторого разбиения 0 = ¿о < ¿1 • • • < ¿т = и для каждого

1 < I < и

Се = {р е СЛ..)

3. сПт < сПт

4. С0 = 8

Пусть ^(¿),г;(0) = V параллельное поле вдоль -у(4) = ехрр(<е), где и не касателен к С1т_х. Рассмотрим функцию

Ш = />(7(*)>{ехр1(0Ы<))1* > 0} п дС1т_1+т).

Первым основным техническим шагом в доказательстве теоремы 2 является

Лемма А. Существует константа К\ такая, чти для всех р, и, е

. Ш < к(/г(0)4+1+1/г,

где через /¿(¿) обозначено произвольное производное число, вообще говоря, негладкой функции /т(<).

3. На втором основном техническом шаге в доказательстве теоремы 2 мы рассматриваем отображения фс.: Уп —* С(, (см. 6). Для заданной точки ц линия может рассматриваться как интегральная кривая

6Шарафутдинсш В. А., Теорема Погорелова-Клингенберга для многообразий гомеоморфных Я", Сиб. мат. журн., 18 (1977), 915-925.

векторного поля нормалей поверхностей дС\. Основным свойством отображений ф1 является то, что они "короткие", т.е. не увеличивают расстояние.

Лемма В. 7 Для некоторой константы для произвольной точки д длина Ь(ф((<?)) кривой ф^д) удовлетворяет неравенству:

4. Теорема 2 выводится из лемм А и В следующим образом. Пусть 7т(£) = ехр7(,)(тг;(£)),0 < í < Ь для поля параллельных векторов v(t) вдоль 7. С помощью формулы второй вариации длина ут может быть оцёнена следующим образом:

Ч ¿¿ь

о

Из лемм А и В следует, что кривая фо(7т{1)) лежит в Кту/т6+1-окрестности геодезической 7(£), 0 < 2 < Ь. Поэтому, пользуясь формулой второй вариации, несложно получить оценку:

¿(7) - ¿(&Ы) < {Кту^)2.

Так как отображение фг "короткое", т.е. не увеличивает длин, то

ЩоЫ) < Мъ)-

Откуда, полагая Ь = т~ь, получаем:

' <РЬ

1 [ <Р

о

при L —> оо. Отображение, переводящее (р, и,е) в (7(£), и(£),7(£)), как и геодезический поток, сохраняет форму объема иБ. Следовательно по теореме Биркгофа — Хинчина левая часть (*) для почти всех р, и,е

7Майник И. Ф., К оценке длины кривой спуска, Слб. мат. журн., 33:4 (1992), 215-218.

стремится к среднему значению подынтегральной функции, которое согласно (*), равно нулю. Так как по определению функция

<1гь

^¡26-^(Р.и.е.р) 1*>=0

неотрицательна, то последнее означает, что она тождественно равна нулю, что противоречит определению числа N = 26. Полученное противоречие доказывает теорему 2.

Во второй главе основным объектом изучения является оператор го-лономпн нормального расслоения души, а именно: мы рассмотрим некоторые отношения между геометрией всего многообразия V" п топонимией этого расслоения. Если Vп изометрично прямому произведению V" = Б х IV (где И7 есть открытое многообразие неотрицательной кривизны, диффеоморфиое евклидову пространству), то оператор голоно-мии — тождественный; т.е. для каждой замкнутой кривой ^(я) С 5, О < 5 < I параллельный перенос 1Ш вдоль этой кривой переводит вектор УрБ, где р = о>(0) в себя. Поэтому ]и = г с/ для любой замкнутой кривой ы на 5", и в этом случае мы будем говорить, что расслоение и Б имеет тривиальную голономию. Одним из основных результатов этой главы является теорема, утверждающая справедливость обратного утверждения:

ТЕОРЕМА А. Если у Б имеет тривиальную голономию, то Vй нюме-т\шчно прямому произведению: V'1 = Б X ИЛ

Для п — 4 рассуждения из доказательства теоремы А показывают, что гак называемые смешанные кривизны в открытом многообразии обращаются в ноль, что, в свою очередь, дает доказательство гипотезы Чигера-Громола в размерности 4:

ТЕОРЕМА В. Если в четырехмерном открытом многообразии V4 неотрицательной секционной кривизны существует точка, в которой все секционные кривизны строго больше нуля, то V ' диффеоморфно евклидову просз ранству.

Во втором параграфе мы приводим "Р111БМ"-конструкцию, с помощью которой оценивается оператор голономип через асимптотическое поведение кривизны вблизи Б. С помощью этой конструкции в третьем параграфе получены:

ТЕОРЕМА С. Если в каждой точке р на S во всех двумерных направлениях a в этой точке ортогональных S, т.е. для a С vpS выполнено:

Ka = О,

то lw = id для любой стягиваемой кривой ш на S. п универсальное накрытие Vn многообразия V'" пзометрпчно прямому произведению.

Одним из основных примеров открытого многообразия неотрицательной кривизны является пространство касательного расслоения TS" сферы Sn: Для О(п-Н) с биинвариантной метрикой неотрицательной кривизны, и группы 0(п), действующей на плоском евклидовом пространстве R" вращениями, метрика на 75" может быть выбрана так. что отображение

7г : 0{n + 1) х Я" —> 0(n + 1) х RnJO(ri) = TS"

является римановой субмерснен. Поэтому, из теоремы О'Нейла 8 следует, что это метрика неотрицательной кривизны. При этом душа S пространства TSn единственна, голономня ее нормального расслоения тривиальна, а смешанные кривизны обращаются в ноль.

В приложении ко второй главе мы показываем, что для п = 4 эти направления являются единственными направлениями пулевой кривизны. Например, для произвольного двумерного направления а(р. с. и. ш, р). полученного параллельным переносом направления а(р, и, е) в точке р на 5, порожденного векторами е - касательным к S и и - нормальным к S: вдоль геодезической, выходящей из точки р в направлении ги ф v нормальном к S мы имеем:

Для прпзвольного открытого многообразия Vn неотрицательной секционной кривизны справедливо:

Л<7(р,е,и,ш,и) = 0.

Поэтому, вообще говоря

K„(Pte,v,m,p) — 0(р2).

^O'Neill В., The fundamailal equations of a submersion. Mich. Math. J. 13 (196(i). ■1.VJ-169.

Возможно ли для некоторого многообразия, чтобы кривизны указанного типа имели больший порядок по pi Следующая теорема параграфа 4 показывает, что в некотором смысле, это невозможно, так как приводит к тождественному обращению в ноль рассматриваемых кривизн:

ТЕОРЕМА D. Если в каждой точке р на S и любых е, v и w

Ka(p,e,v,w,p) = о(р2)

при р —> 0, то = id для любой стягиваемой кривой и на S, а универсальное накрытие V многообразия V" изометрично прямому произведению и

Ko(p,e,v,w,p) — 0.

Во второй части второй главы мы рассматриваем зависимость оператора голономии от поведения секционных кривизн на бесконечности, а именно: "PRISM"-конструкция позволяет также оценивать кривизну многообразия Vn на бесконечности по кривизне S и голономии, так что справедлив следующий результат о топологическом пробеле: Пусть р - фиксированная точка, и

Цр) = sup{A'^|cr С TqVn, p(p,q) = p}

- функция, оценивающая поведение секционных кривизн многообразия V" на бесконечности.

ТЕОРЕМА Е. Если k(p) —> 0 при р -+ oo, то душа S является плоским многообразием, и универсальное накрытие Vn многообразия Vn диффео-морфно евклидову пространству Лп.

Из последней теоремы следует в частности, что если Vn односвязно и к(р) —♦ 0 при р —» оо, то Vn диффеоморфно евклидову пространству; т.е. эта теорема может рассматриваться как топологический вариант известной теоремы о метрическом пробеле, 9 у тверждающей, что если многообразие Vn имеет полюс и р2к(р) —> 0 при р —> оо, то V" изометрично евклидову пространству Л".

9Greene R. Е., Wu Н., Gap theorem for noncompact riemannian manifolds, Duke Math. J. 49 (1982), 731-756.

В третьей главе рассматриваются идеальные границы открытых многообразий неотрицательной секционной кривизны. В отличие от случая неположительной кривизны, такие известные определения идеальной границы как пространства орофункций, функций Буземана пли пространства классов эквивалентных лучей могут приводить к негомео-морфцым пространствам. Соответствующий пример приводится в третьем параграфе. Кроме этого, изучаются лучи, являющиеся линиями градиента орофункций, и доказываются неравенства, связывающие оро-фушсцин и функции Буземана. На пространстве функций Буземана вводится метрика (угол на бесконечности) и находятся дбстаточные условия для того, чтобы функция Буземана была исчерпывающей. Вводится также обобщение орофункций — ¿¡-функции и доказывается топологическая тривиальность соответствующей идеальной границы. Используя полученное описание идеальных границ Х(оо), В{X), О(Л') и ОЬ{Х) открытого многообразия Л', доказывается также, что четырехмерное открытое многообразие неотрицательной кривизны и не гомеоморфное евклидову пространству изометрично прямому произведению, если одна из указанных идеальных границ не является точкой.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ТО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Маренич В. Б., Метрическое строение четырехмерных открытых аналитических многообразий неотрицательной кривизны, Сиб. мат. журн., 21 (1980), 161-165.

2. Маренич В. Б., Метрическое строение открытых многообразий неотрицательной кривизны, Докл. АН СССР 261:4 (1981), 801-804.

3. Маренич В. Б., Метрическое строение открытых многообразий неотрицательной кривизны, Укр. геом. сб., 26 (1982), 79-96.

4. Маренич В. Б., Топологическое и метрическое строение открытых многообразий неотрицательной кривизны, Канд. дисс., Новосибирск, 1982.

5. Маренич В. Б., Две теоремы о разложении открытых многообразий в прямое произведение, Труды коиф. по геометрии "в целом", Новосибирск, 1982, 75-77.

6. Маренич В. Б., Строение тензора криьизны. открытого многообразия неотрицательной кривизны. Докл. АН СССР. 273:5 (1963). 1057-1002.

7. Маренич В. Б., Топологический феномен пробела для открытых многообразий неотрицательной кривизны, Докл. АН СССР 284:3 (1985), 528-531.

8. Маренич В. В., Топоногов В.А., Открытые многообразия неотрицательной ыриьизны Риччи с быстро растущим объемом, С'иб. мат. жури.. 26:4 (1985), 191-194.

9. Маренич В. Б., Метрика неотрицательной кривизны на касательном расслоении к двумерной сфере. Спб. маг. журн.. 27:2 (1986). 127-138.

10. Маренич В. Б., О структуре открытии многообразий неотрицательной криьизны. Труды конф. но геометрии "в целом", Новосибирск. 1987. 77.

11. Маренич В. Б., Строение, открытых многообразий неотрицательной криьизны. Докл. АН С ССР, 305:6 (1989). 1311-1314.

12. Маренич В. Б., Строение открытых многообразий неотрицательной криьизны I, Препринт 2, Институт математики СО АН СССР, Новосибирск. 1988.

13. Маренич В. Б., Топоногов В. А., Открытые многообразия 1К отрицательной криьилш. Проблемы геометрии», 21 (1989), 67-91. ВИНИТИ, Москва.

11. Маренич В. Б., Оператор го.юномии ь открытых многообразиях неотрицательной кривизны. Препринт 27, Институт математики СО ЛИ СССР. Новосибирск, 1990.

15. Маренич В. Б., Строение открытыг многообразий неотрицательной криьизны II. Препринт С, Институт математики С'0 АН СССР, Новосибирск. 1991.

16. Маренич В. Б., Строение открытых многообразий неотрицательной криьизны Ш, Препринт 25. Ипоптут математики СО РАН. Новосибирск. 1992.

17. Маренич В. Б., Строение открытых многообразий неотрицательной криьизны, Труды И-та Математики, 21 (1992), 131-162.

18. Маренич В. Б., Орофункции, функции Буземана и идеальные границы открытых многообразий неотрицательной кривизны, С'иб. мат. жури., 34:5 (1993). 103-119.

19. МаренИч В. Б., О зависимости геометрии ие.тырелли рного открытого многообразия от топологии его идеальных границ. С'иб. мат. жури., 35:2 (199-1),

20. Marenich v., On Hit Chttger-Oroinoll conjiclurt. Abstracts of International Topology conference, Baku, 2 (1987).

21. Marenich V., The geometric structure of open manifolds of uonneg-ative sectional curvature, Abstracts of the seminar ''Differential Geometry im Grossen", Oberwolfacli 36, 1989.

22. Marenich V., Toponogov V., Open inanifolds of nonntgatici curvature, Journal of Soviet Mathematics, 55:6 (1991). 2115-2130.

23. Marenich V., Structure of open manifolds of поп negative curvntun

I, Siberian Advances in Mathematics 2:1 (1992). 10-1-146;

24. Marenich V., Struct ure of open manifolds of nonnegative curvature

II, Siberian Advances in Mathematics 3:1 (1993). 129- 151.

Подписано к печати -f0.O3.94 Формат бумаги 65 х 84 1/16. Объем 1 п.л., 1 уч.-изд. л. Заказ 2.0 Тираж

Отпечатано на ротапринте Института математики СО РАН, г. Новосибирск