Геометрия римановых многообразий, кривизна которых ограничена снизу в интегральном смысле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Л ■ Г^4-'

АКАДЕМИЯ НАУК СССР сибирское отделение институт ¡аате.мтики

ГБОЖ1РИЯ РАШОШХ МНОГОСВРАЗИЙ»

кривизна которых огршченл снизу в интегрально;« с..11сле

01.01.04 - геочсгркя и топология

Автореферат диссертации на сочетание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

АКБАРОВ Сайитали Аскарович

У.ДК 514.77

Новосибирск 1991

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии Ташкентского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ТопонОгоь В.А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В.А.Шарафутдинов,

кандидат физико-математических наук, доцент И.Ф.Майник

Ве.цущая организация: Харьковский государственный университет

Защита состоится " $ " р^' &'• I г. в _ часов на заседании специализированного Совета

К 002.23.02 в Институте математики СО АН СССР по адресу: 63ЭОУЭ, г. Новосибирск, УЭ, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

;лан "к " 0(>,и ?1

Автореферат разослан РРф! Т, ¿г?( г

Ученый секретарь специализированного Совета '

кандидат физико-математических наук

О

^Иванов

:гзгг:

. г;;*."' 1 ОЩАН ХАГШЕРИСТИЙА РАБОТЫ

.-1.,,,,. ч ,<

Актуальность тс^ы. Одна из проблем ршаясвой геометрии "в целом" является изучение связи между кривизной л топологическими свойствами полных римановых многообразий. Во всех исследованиях по гео»л рии римановых многообразий /А {кривизны ограниченной снизу числом кв , главным инструментом оказал? -ь - теорема сравнения углов треугольника Александрова-Тогсоногова^. С помощью этой теоремы различными авторши были получены интересные и очень важные результаты, такие как .-теорема о диаметре, георема о цилиндре, теорема о сфере, теорема о строении открытые многообразий и другие. Заметим, что ео всех вше перечисленных случаях риманово многообразие М имеет знакопостоянную секционную кривизну - строго положительную или неотрицательную. Геометрия римансвых многообразий знакопеременной кривизны исследована значительно хуже.

В совместной работе^ автора с В.А.Топоноговкм была получена теорема сравнения углов треугольника для более широкого класса /Л римановьтс многообразий, чем клэсс

Наглядно ото расширение класса М'/-'.,) до класса ДУ7К„ '!„) мс:кно описать так. Для рлмановых многообразий нормальная кривизна сферы любого радиуса % в Л\к не превосходит геодезической кривизны окружности того же радиуса в плоскости ЯУ постоянной кривизны . к0 , если знак кривизны определяется, относительно рнутренкей нормели. Для римановых многообразий класса /lA"(-KJ, ?„) справедливо то же утверждение, но только для сфер, чей радиус не. меньше,чем ' X > ^ . Ясно, что этот класс римановых многообразий

А""; ДОх^ при у. 0 ? а содержит римановы многооб-

разия знакопеременной секционной кривизны. Поэтому изучение геометрии таких римановых многообразий класса -/У[к(К, I

^ Топоногов В.А, Римзковы пространства кривизны, ограниченной снизу // Успехи ттем. наук. 1959. Т.. 14. № I. С.. 37-130.

2 „

Акбаров С.А., Топоногов В.А. Теорема сравнения углов треугольника для одного класса римь^овых многообразий // Тр. Ин-та математики. - АН СССР. Сиб. отд-ние. 1987. Т. 9. С. 16-25.

представляется актуальным.

Цель хук.сертяцкоино й работы - г*> изучение геометрии рима-иовьк многообразий класса A\n{K.J)

б) исследование вопроса об экстремальном случае теоремы сравнения углов треугольника для римановых многообразий класса .

Методы исследования. В диссертации использованы некоторые результаты А.Д.Александрова и В.А.Топоногова, применяются также стандартные теоремы вариационной теории геодезических линий и главным инструментом доказательств основных результатов является теорема сравнения углов треугольника^. Основные результаты £асотч. В работе доказаны Теорема 2.1 Л. Если риманово одаосвязноз многообразие

диаметр Л\Л не превосходит чг//<^ и 2) диаметр равен

wZ/kT тогда и только тогда, когда /Ч'г изометрично 11 -мерной сфере радиуса 1 /.

Теорема 2.2.1. Если риманово односвязное многообразие MV», Ы , н 7с < ¿л\ • ™ V периметр

любого треугольника в /v\" , составленного иа кратчайших, не превосходит ivr/fT, и 2) если в Л\ существует треугольник, периметр которого равен. А'Г , то тогда М" изометрич- • но сфере S радиуса 1 //* ~ ( ¿^-радиус инъективности М"-). ■ '

Теорема 2.3.1. Если риманова односвязная поверхность О и г0 < , где

фокальньй радиус /v\ , то -I) длина любой замкнутой геодезической в не превосходит ¿V/'/¡Г^ и 2) если в /Ц*" существует замкнутая геодезическая длины ¿1г//5ЕТ . то многообразие изометрично двумерной сфере радиуса i /Je7 . Теорема 2.4.1. Если в аналитическом риыановом многообразии

при 7„ * (?м , ) существует треугольник 4 в £- , составленный из кратчайших, допустимый, по крайней мере, относительно двух своих вершин и у которого, хотя бы, один из углов равен соответствующему углу треугольника сравнения h'&'C в /R*l0 , то в /Ц*1" существует двумерная вполне геодезическая поверхность, содержащая точки fi , б и С , гауссова кривизна которой пос-

тоянна и равна

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Идеи и синтетические конструкции, разработанные автором, могут быть использованы лри изучении геометрии более широкого класса римановых многообразий, чем класс Ь\л(КЛ) 1и) .

Апробация работы. Результаты диссертации доклэдые лись на семинаре по геометрии подмногообразий Института математики СО АН.СССР (рук. доктор физико-математических наук Топоногов В.А.); на семинаре кафедрн геометрии и топологии ТашГУ;-на И конференции молодых учекнх Сибири и Дальнего Востока (г. Новосибирск, 1988 г.), докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании по дифференциальной геометрии, посвященного 80-ти летим Н.В.Ефимова (п. Абрау-Дюрсо, 1990 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы (список которых приведен в конце автореферата). Результаты автора в работе^ не входят в диссертацию.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, цвух глав, списка литературы (IV наименований) и содержания!. .)на изложена на 82 страницах машинописного текста.

¿{РАТКи^ СОДЕРММ; ?АШ1'Ц

Во введении кратко излагается история вопрос?; приводится эсновные результаты и дяется обзор основного содержания диссертации.

Первая глава состоит из-шести параграфов и называется "Основные определения и вспомогательные леммы".

В первом пункте § I дается список обозначений и сформулированы некоторые утверждения, нужные е. работе, иэ книги Милно-за^. Во втором пункте приведено определение координат Ферми, зг.олне геодезических поверхностей и пленки Синга. А также при-зодится определение класса /Лл(к^ , [,)■ ркменовых многооб-зазиЯ. Приведем кратко основные определения.

Пусть ЛЯ'" полное бесконечно дифференцируемое римянова !ногообразие расмернсати и. и X - произвольная крат-?айаая в /Л , параметризованная с попощью длины дуги t >

* .,1клнор Теория ;-1орса: Пер. с англ. - М.: Мир, 1965.

& Ь £ } I ~ & I У) - длина У . Введем обозначения: С - длина кривой, - римьлове метрика, к ¡0 - '<¡¿■(1) - секционная кривизна /^л'1 в точке ив двумерном нап-

равлении ¿Г' , определенном векторами У И) и ЛШ,где "АН) - получен параллельным переносом т ненулевого вектора

Я ± ¥(£) в точке У [С! вдоль У (I) .

Пусть '¡Ц\ - решение уравнения V " К Ц)'^ Ц) ~ О с начальными условиями ^ (•'/) = с? ? '(о) = ^ и

{(УД-^Ч.'к'О п?и

=/ * п.ри ^ - ^

при К, < 0. .

Определение. Полное ршансво многообразие АГ принадлежит классу /'1"( ^ о,?I если для любой кратчайшей ¿Г длины, не меньшей чей ъ„ , и любого вектора Л ; Л справедливо неравенство:

т

Во второй параграфе призедена формулировка условия выпуклости А. Д. Александрова^", к теорема сравнения углов треугольника для римановьк многообразий классов и

/А ¿«С, га) . Приводим

из них следующую основную

(невыносимую на защиту) теорему.

Теорема 1.2.3. Если в многообразии /Ц^е М^ К 0, го) треугольник вС , составленный из кратчайших, является допустимым относительно одной из своих вершин, то его углы при двух других вершинах не меньше соответствующих углов треугольника сравнения ¡\ '6 'С '.

Треугольник /} В С называется допустимым относительно вершины Л если ( Д, в С ) > и просто допусти-

мым, если допустимым относительно всех своих вершин.

Параграф 3 посвящен изучению геометрического смысла условия Н>(}Г,Л,1с9) ^ О при • В этом парагр: фе доказана

Георема 1.3.1. Пусть р - регулярная точка сферы $ 7 радиуса 1 в многообразии <£ ¡> , •

Ъ » то нормальная кривизна ¿'-г Б точке Р

и в любом направлении не превосходив геодезической кривизны окружности ¿Г^ того же радиуса в плоскости

А также до: зана монотонность 1<}( у Л Кпо последнему аргументу, то есть по « „ .

В параграфе 4 дано определение выпуклых и геодезически выпуклых областей в римановсм многообразии . В частности, доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.4.1. Если граница геодезически выпуклой области £ есть регулярная (п.-*) -мерная поверхность . ~Т " '1 то все нормальные кривизны поверхности У'1 в любой её течке Р не отрицательны. Знак нормальных кривизн поверхности ^ п '1 определен направлением внутренней нормали.

Теоре. :а 1.4.2. Если область - б с /4 м" . есть геодезически выпуклая область, то любая её (} -кратчайшая есть дуга геодезической и и многообразия А\л ,

В параграфе 5 определяются радиус инхектиености /Ч' -фокальный радиус - .и доказывается две важные леммы.-

В нашей работе дается следующее определение'фокального радиуса. . ^ л

Фокальным-радиусом области & многообразия; М назовем такое максимальное число. 7.. , ^то любой шар"с'центром в' области и радиусом меньшем чем. г^ является геодезически строго выпуклой областью. Если (< — /Ц'" ,,то- на-

зывается фокальнюл радиусом многообразия

Дежа 1.5.1. Если в односвязном, компактном римановом многообразии /л5-''" секционная кривизна в каждой-точке и в каждом двумерном направлении строго больле нуля,, то в су-. щестЕует две точки р и -, стоящие друг от. друга на расстояние ¿(М и такая кратчайшая, ..чтет р и сопряжены друг другу вдоль р у. .

Лемма 1.0.2. В условиях леммы 1-5.1. выполняется¿неравенство .

В шестом параграфе доказана лемма.о диаметре выпуклой"кривой «я зыпуклой поверхности, имеющаяна наш взгляд;, сэмосфоя-

тельный интерес.

Лемма 1.6.1. Пусть у - выпуклая кривая, длины I , на полной выпуклой поверхности /А'1' , тогда её диаметр, не меньше, чем /тг .

Остальные лемми этого параграфа посвяцены формулировкам различного рода фактов из элементарной геометрии плоскости постоянной кривизны.

Во второй главе дгны формулировки и доказательства основных результатов.

В первом параграфа приведено доказательство теоремы 2.1.1. Предварительно доказываются следующие утверждения-.

(с<) Пусть р к концы диаметра М, тогда

для произвольной точки /И >г" ; ^ Ф ч, / ^ ^ р ; -

кривая £ £ С ^ р есть диаметр , если ^ или

с^ р строго меньше, чем '(тг/у<~,) — 2 0 .

' { Р ) Каждый диаметр есть часть замкнутой геодези-

ческой длины Л /'/*Т . .

(%) Пусть Т(Ь) - замкнутая геодезическая, содержащая диаметр р ¿^ £ - длина дуги; <Г( о) — р ^ 0~( ТГ/4Г,) - I. \ <Г( 'ГГ//Г,) = ¡Г а) , - ^ то для всех о < 6 < 2ТГ//Г, выполняется равенство: 0~(1)<Г(6 +7Г//П) — .

Яз («),({>) и (у} выводится

( $) Каждая точка ре есть конец диаметра многообразия М11 V. каждой точке р соответствует единственная точка р у такая, что все геодезические, выходящие из точки р приходят в точку р * и длина дуг геодезических между р и р* равна </~ //х7 . л

Таким образом, из видно, что многообразие /Л ока-

зывается многообразием Бляшке и 2) утверждение теоремы 2.1.1 теперь следует из теоремы ДЛ работы^.

Во втором параграфе приводится доказательство теоремы 2.2.1.

Теорема 2.2.1 доказывается от противного, при этом югаче-

^ Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981.

о

вым моментом доказательства утверждения I) является доказательство того факта, что область С- " /''Л ч- .^В/ Д;/, -) является геодезически выпуклой о''тастью, когда радиус /¡С э меньше ^/^/О Далее по стандартной схеме1, с г мощью теоремы сравнения , построим многоугольник ¿Г ка /л к „ который является либо I) замкнутым геодезическим дяипи >

либо 2) двуугольником периметра ; з обоих слу-

чаях доказательство теоремы 2.2Л следует из теоремы 2.1.1.

В параграфе третьем получена'оценка длины замкнутой геодезической на выпуклой поверхности класса гЛ^,'¡г. г.) яри

условии < гд^ .

Идея доказательства теоремы 2.3.1 заключается в том, что геодезическую У последовательностью точек ) ¡и, ..//..., - ^ разбивают на дуги Л,- . где

£ = 1 ,. . ., гь так, что выполняются условия:

1) каждая дуга ¿¡¿_ /¡¿^^ , - I, , .п- > геодезической ¡у есть кратчайшая;

2) каждый треугольник /?1 /] - , о ~ X } ... ,п -л , является треугольником, допустимым, по крайней мере, относительно двух своих вершин.

Сначала доказывается следующая

Лемма 2.3.1. Пусть СС > О - произвольное число, & ((-) Я- > " дуга замкнутой геодезической У ,

дополнительной к дуге %[Ь -й ) У(1) + на У при -Ь £ э у л тг ). . Определил функцию / (¿г) , полагая = жуп), .

Если <я_ удовлетворяет неравенствам с <- й- ^ 1-м , то /ЛП = А. .

Из этой леммы следует, что замкнутой геодезической ^ можно разбить точками (\ ¡_ ) А^ так, чтобы треугольники А1 ЛI + ^ при I = д , ..., п-1 являются допустимыми треугольниками относительно вершины к 1

В случае ^ Т/(л /Г~0 ) доказательство теоремы

2.3.1 очень просто. Возьмем на у точки Лц

так, чтобы = ^ А3 = <Му - 7Г/,' - .

Из леммы 2.3.1 следует, что, во-первых, у} ^ ^ £"//>/¿7) и, во-вторых, треугольники и А., А1 /}{

явллстся допустимыми треугольниками относительно вершины /¡if. Далге, ггрименяя теорему сравнения^, построим на , вы-пуклгл четырехугольник периметра и, следовательно,

теорзу.а 2.3.1 следует из теорему 2.I*I. _

£&лег рассматривается cjjyvafl ¿Лл .

В следук:гих трег лемм:е; дэказтг>етск, что угол р строго бельке гух для всех где ¿ и

конца дпЕкет^т и >,'<' /J<Z - есть длина дуги

от р до ' . '/.з ьтих лемм следует, что чагть замкнутой геодезической >• длины {¡_ , ме:?.ду f и р* , можно разбить точками пах, чтобы угол при г - - < был бк больше «г/х . йотой дскгл:-5Б5А?гя еяедукцея вспомогательная Лемма 2.3.Ь. ¿оли у треугольника /]/1 С , составленного »a кратчайших погерхкости /»']'■ , углц ::ри вершинах /! и С остры-:, прч sep2i!He /3 болыг т</х v. <: ЦС < 1[Л; то / с, Л в} i.-- г .

йз это?, леммй следует, vio ргзб».ение /;, , .. ., при

.4, ^ и р ' удовлетворяет нази требования I)

v: ¡с), и к:.-сико: траугольнужи. ^^"¿-и ; '' ~ * > • ■ •> п '1 г являются допустимыми треугольниками относительно двух веракн. Применяя теорекк 2 работы*1 к труегсльникам /I, А,- ^ t при t - ¿ , ,. ,t - i и учитывая тот факт, что ¡in - ость д;. метр , построим на выпуклый многоуго-

льник р/ перкибтра ЯР*-»- íx . Далее, повторяя все зыге сказанные рассу-^-еиил относительно д/гк / от р' до

р длккч t-V)') - псстрож н8 /Х ic .. выпуклый

многоугольник г*' периметра ^/-"-f Íí,Y)~ • Прикладывая многоугольники • и о' по равным сторонам дглики ff , получаем вылуклкй многоугольник периметра {:./)

Далее доказательство теоремы 2.3.1 легко выводится из теорема 2.1.1.

параграф четыре глаз к 2 посеядун изучьнпз вопроса ькстре-малъного скучая в теореме сравнения углов треугольника для аналитических ригдаковых многообразий

Сначала приводим некоторые эпт-еде.'¿(¡и

Треугольник fil>C наос зам экстр--.- ¿¿ж; треугольником

i О

относительно вершины 1\ , если сн является строго до:Чтимым треугольником относительно вершины Л и /1 S - L & ,

¿С - Z С\ где ¿6' л 1С' угль: треугольника сравнения й' &' С' на ,

Треугольник .4 S С назовемс стандартным треугольником относительно вершины [\ , если оч - гкстр 1альнкй относительно $ и выполняется неравенство J> ( к , в- С ) > & , где et. ~ frUn ( г,л , C^/z) .

Треугольник l) Ц С назовем правильхьтл треугольником относительно вершины /I я точки D , если он является экстремальным относительн. всех своих ьершмн, ¿С с. ¿,„)

я если на h С существует точка 2 такая, т-то треугольники /г 2/3 и fi ÙC. являются экстремальными огно-:ительно вершин fi и в , соответственно, /I и С

Доказана следующая

Лемма 2.4.6. Если & fi & С является стандартным треу-'ольником относительно вершины /} и экстремальным стноси-'ельно вершины С , то существует Л 8tC ± > который галяется правильным треугольником относительно вершина

В следующих леммах доказывается, что если треугольник 1\ /~>С является правильным треугольником, то

1) поверхность Т(А, ВС) , образованную всеми краг-■айшими Й X » где X <s есть поверхность, регулярен в точке /I и её касательная'плоскость в этой точке одержит веткоры, касательные к f\t и JI в> ;

2) существует такое число ¡Г > о . , что кратчайшая У 2 принадлежит ^¡Д гв>С) » где У^ЙВ

■ г е А С , С 2 < Г . -

Из 2) уже выводятся 3) и 4):

3) гауссова кривизна поверхности ¿Г(Ц } gt) рав-а к „ в точках кратчайшей S С ;

4) говерхность ? { & , в С) есть вполне геодезическая эверхность, гауссова кривизна которой постоянна и равна к, .

Из условия теоремы 2.4.1 следует, что для треугольника ¡\ 8С выполняются условия леммы 2.4.6 и, следовательно, жно построить правильный треугольник At6iCi . Теперь ) аналитичности Л^ следует утверждение теоремы 2.4.1.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Акбаров С.А. Сценка углов треугольника в теореме сравнения // Тезис, докл. молодьп ученых Сибири и Дальнего Востока. - Новосибирск, 1983,

2, Акйароз С.А. Геометрия рименоБчх многообразий, кривизны огрйг -ченкоя снизу з "интегральном" смысле // Препринт

3. Акберов СЛ. Некоторые следствия из теоремы сравнения углов треугольника для одного класса римановых многообразий // Сиб. мат. аурк. - Ш1. Т. 52 . !.- 3 . С.З-П.

4, Акбаров С.А. Экстремальный случай г. теореме сравнения • углов треугольника да я аналитических римановых многообразий

} } // Ред. кури. "Сиб. мат. журн.". - Новосибирск, 1У93. - с. Дзпп. в ВИ&Ж с .»243-В91 от 15.01.91.

Автор аыряяаег искренни» благодарнпть научному руководителю профессору В.А.'Голоногову за постоянное внимание к работе у. полезные обсуждения. , ; .,

Л А1!! -и-'- ;

к печати э.07.91 ворчат >'у.чаги -3,? х 31 I/13 Заказ 16б

Отпечатано на ротапринте Иисгитус-а. математики СО .У! СССР оЗОЭ-'О, НовосиС^.рик, 'Л