Геометрия римановых многообразий, кривизна которых ограничена снизу в интегральном смысле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

о* ц о ^ J

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕ! И2 ИНСТИТУТ ШШТШ

На правах рукописи

АКБАРОВ Сайипли Аскэрогшч

УДК 511.77

ГЕО;ДЕТРИЛ РИ.ЛЛН0ШТ ¡/¡НОГООВРА^ЛЙ, КРИВИЗНА КОТОРЫЕ ОГРАНИЧЕНА СНИЗУ В ИНТЕГРАЛЬНО:.! СЛЮДЕ

01.01.04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кет якдата физико-математических наук

Новосибирск 1991

) (

Работа выполнена на кафедре гепметрии и топологии Ташкентского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Топоногоь В.Л.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук

В.Л.Шарафугдинов,

кандидат физико-математических наук, доцент И.Ф.Майник

Ведущая организация: ХарьковскиЯ государственный университет

Защита состоится "__" _ 1991 г. в

__ часов на заседании специализированного Совета

К 002.23.02 в Институте математики СО АН СССР по адресу: 63Э0УЭ, г. Новосибирск, У0, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "__" _____ 1991 г.

Ученый секретарь специализированного Совета

кандидат физико-математических наук

ВЛИЙЬанов

Т

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАШТЫ

Актуальность Одна из проблем римаксвой геометрии "в

целом" является изучение связи ме?кду кривизной л топологическими свойствами полных римановьк многообразий. Во всех исследованиях по reot.iL рии римановых многообразий /Л кривизны ограниченной снизу числом к0 , главным инструментом ока-залг -ь - теорема сравнения углов треугольника Александрова-Топоногова^. С помощью этой теоремы различными авторами были получены интересные и очень важные результаты, такие как'.теорема о диаметре, теорема о цилиндре, теорема о сфере, теорема о строении открытых многообразий и другие. Заметим, что во всех вше перечисленных случаях риыаново многообразие /Л имеет знакопостоянную секционную кривизну - строго положительную или неотрицательную. Геометрия римановых многообразий знакопеременной кривизны исследована значительно хуже.

В совместной работе^ автора с В.А.Топоногопым была получена теорема сравнения углов треугольника длл более широкого класса ЛА (¡c0>l^) римановых многообразий, чем клчсс AV/CJ, Наглядно ото расширение, класса AV (>'.,) до класса М"(к„, I„) можно описать так. Для рж/.ановых многообразий /Ц^е /Л'л(к*) нормальная кривизна сферы любого радиуса ъ в fA"~ не превосходит геодезической кривизны окружности того жч радиуса в плоскости постоянной кривизны к0 , если знак

кривизны определяется относительно внутренней нормали. Для ргалановьк многообразий класса M'V*/, справедливо то же утверждение, но только для сфер, чей радиус не. меньше,чем Хо > ¿ ■ Ясно, что отот класс римановьк многообразий 1%\л ¿, I „ )■ даже при рг а ? о содержит римановы многообразия знакопеременной секционной кривизны. Поэтому изучение геометрии таких римановьк многообразий класса M^Y к ,, г

* Топоногов В.А. Римановы пространства кривизны, ограниченной снизу // Успехи матем. наук. 1959. Т. 14. № I. С. 87-130.

2 п

Акбаров O.A., Топоногов В.А. Теорема сравнения углов треугольника для одного класса рти-ювык многообразий // Тр. Ин-та математики. - АН СССР. Сиб. отд-ние. 1987. Т. 9. С. 16-25. .

представляется актуальным.

Цель диссертационной работы - г1* изучение геометрии риыа-кових многообразий класса ЛЧ'1"^^ ^^ )

б) исследование вопроса об экстремальном случее теоремы сравнения углов треугольника для римановых многообразий класса .

Методы исследования. В диссертации использованы некоторне результаты А.Л.Александрова и В.А.Топокогова, применяются таете стандартные георемы вариационной теории геодезических линий и главным инструментом доказательств основных результатов является теорема сравнения углов треугольника*^. Основные результата расоты. В работе доказаны Теорема ¿.1.1. Если риманово односвязное многообразие , <с>С и < -г//^ то 1)

диаметр А\" не превосходит чг//<и и 2) диаметр //)"" равен

тогда и только тогда, когда /Ч" изометрично 11 -мерной сфере радиуса I / /^Т -

Теорема ¿.2.1. Если риманово односвязное многообразие

, 11 ^ • то 1) периметр

любого треугольника в М" , составленного из кратчайших, не превосходит и 2) если в /Л существует треугольник,

периметр которого равен лТ//>7^ , то тогда /Л"" изометрич-но сфере ¿Г *' радиуса ( ¿м - радиус инъективности

лг).

Теорема 2.3.1. Если риманова односвязная поверхность Мге мя(к„га) л * < , где -

фокальный радиус /и\ , то -I) длина любой замкнутой геодезической в /Л"2 не превосходит и 2) если в /Ц*" существует замкнутая геодезическая длины Л.Т//7Г7 , то ыно-. гообразие АЛ1, изометрично двумерной сфере радиуса { //¿7 . Теорема 2.4.1. Если в аналитическом ршановом многообразии А^бМ^^Ь) прч < / ?м , ыМ } Существует треугольник ^ % С- , составленный из кратчайших, допустимый, по крайней мере, относительно двух своих вершин и у которого, хотя бы, один из углов равен соответствующему углу треугольника сравнения /} 'б 'С ' в , то в /Ц ^ существует двумерная вполне геодезическая поверхность, содержащая точки /} ; /3 ч С > гауссова кривизна которой пос~

тоянна и равна

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Идеи и синтетические конструкции, разработанные автором, могут быть использованы чри изучении геометрии более широкого класса римановых многообразий, чем класс А\Л(К* , ,

Апробация работы. Результаты диссертации доклэдые лись на семинаре по геометрии подмногообразий Института математики СО АН СССР (рук. доктор физико-математических наук Топоногов В.А.); на семинаре кафедры геометрии и топологии ТаиГУ;-на II конференции молодых ученых Сибири .и Дальнего Востока (г. Новосибирск, 1988 г.), докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании по дифференциальной геометрии, посвященного ВО-ти летию Н.В.Ефимова (п. Абрау-Дюрсо, 1990 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы (список которых приведен в конце автореферата). Результаты автора в работе^ не входят в диссертация.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка литературы (17 наименований) и содержания. Зна изложена на 62 страницах машинописного текста.

КРАТШИ ООДЬРЯАНИЕ РАШТИ .

Во введении кратко излагается история вопрос?, приводится основные результаты и дяется обзор основного содержания диссертации.

Первая глава состоит из шести параграфов и называется "Основные определения и вспомогательные леммы".

В первом пункте & I дается список обозначения и сформулированы некоторые утверждения, нужные в работе, иэ книги Милно-за*^. Во втором пункте приведено определение координат Ферми, зполне геодезических поверхностей и пленки Синга. А также приводится определение класса /ЛЛ(< ,, Г„)• ■ ркмэнсвых многообразия. Приведем кратко основные определения.

Пусть полное бесконечно дифференцируемое риманово

лногообразие размерности п. и X - произвольная кратчайшая в /Л , параметризованная с поиощь'кГ длины дуги i ¡,

^ шилнор Дж. Теория ^орса: Пер. с англ. - М.-: 1дир, 1965.

О £ f. y l ~ t [ ) - длина У . Введем обозначе-

ния: € - рлу.г.а кривой, - ркма.ювэ метрика, к ¡1} ~ Ktj (t) - секционная кривизна Д\л в точке f (t) ив двумерном направлении (Г , определенном векторами У ({) и Х(1)} где Я К) - получен параллельным'переносом vi ненулевого вектора

Я Ф + I) в точке У(£) вдоль ГИ).

Пусть Г(Ц ) - решение уравнения '/" К f (k) — О с начальными условиями f t " й , ~ й и

I к«

=/ t" ПРИ ^

'(/JUt) =ри < -

Определение. Полное риманово многообразие /м принадлежит классу Ai'Y^ j, г,,) , если для любой кратчайшей сГ длины, не меньшей чем ъ., , и любого вектора Л Л — справедливо неравенство:

^HKlD-K.WtibjUM * о-

Во втором параграфе призедена формулировка условия выпуклости А.Д.Александрова*^, к теорема сравнения углов треугольника для римановых многообразий классов А\п( К 0 , и

М (С, .Приводим

из них следующую основную

(невдаосимую на защиту) теорему.

Теорема 1.2.3. Если в многообразии М* <£ /А*'(К 0, 10) треугольник. {\ßC- , составленный из кратчайших, является допустимым относительно одной из -своих вершин, то его углы при двух других вершинах не меньше соответствующих углов треугольника сравнения А'&'С'.

Треугольник А В С называется допустимым относительно вершины h ) если J> 1 fl, ßC-) % и просто допусти-

мым, если допустимым относительно всех своих вершин.

Параграф 3 посвящен изучению геометрического смысла условия U)[ ){, А; к с) О при t(Y) .В этом парагрг fe доказана

Теорема 1.3.1. ilyc-ть Jr - регулярная точка сферы $г радиуса Ъ в многообразия М"' <£ А \ • ^лк

t^ , то нормальная кривизна а точке Р

и в любом направлении не превосходит геодезической кривизны окружности Сг того же радиуса г. в ПЛОСКОСТИ

А также до: зана монотонность ^ . ¿ по пос"

леднему аргументу, то есть по к ы .

В параграфе 4 дано определение выпуклых и геодезически выпуклых областей в рикановсм многообразии . В частности, доказаны следующие утверждения.

'Георема 1.4,1. Если граница геодезически выпуклой области Q- есть регулярная (n-i\ -мерная поверхность то все нормальные кривизны поверхности Т и "1 в любой её точке р не отрицательны. Знак нормальных кривизн поверхности п-1 определен направлением внутренней нормали.

Теоре. а 1.4.2. Если область & с: /Ч "" - есть геодезически выпуклая область, то любая её 0 -кратчайшая есть дуга ■ геодезической многообразия. .

В параграфе 5 определяются радиус инъектйвности ЛГ -фокальный радиус - ~,п и доказываются две ваченые леммы.-

В нашей работе дается следующей определение-фокального радиуса.

^ л/ л

Фокальным радиусом области tr многообразия¡ Al назовем такое максимальное число. » что любой шаргс центром в области и радиусом меньшем чем является геодезически строго выпуклой областью. Если (г ~ ..то- '£м называется фокальным радиусом многообразия

Дежа I.d.I. Еели в односвязном, компактном римвиозом многообразии ¡л3-'1 секционная кривизна в каждой точке и в-каждом двумерном направлении строго больше нуля», то в /М*гл существует две точки р и % •, стоящие друг от. друга на расстояние и такая кратчайшая ¡>.с ,, что-' р и ¿р

сопряжены друг другу вдоль f ? .

Лемма I.Ó.2. Б условиях леммы L5.-I. выполняется ¡неравенство $ íс'д, . .

В шестом параграфе доказана лемма о диаметре-выпуклоЯ"'кривой «а выпуклой поверхности, имеющая,, на наш взглядсамостся-

тельнъгё интерес.

Лемма 1.6.1. Пусть у - выпуклая кривая, длины Ь , ка полной выпуклой поверхности Л\1 , тогда её диаметр не меньше, чем \./т.

Остальные ле&мн этого параграфа посвящены формулировкам различного рода фактов из элементарной геометрии плоскости постоянной кривизны.

Во второй главе даны формулировки и доказательства основных результатов.

В первом параграфе приведено доказательство теоремы 2.1.1. Предварительно доказываются следующие утверждения:

(<■<) Пусть р к £ концы диаметра /Л^ , тогда для произвольной точки е /А} ^ 4= , р , -

кривая V с- и р есть диаметр /и^ , если £ ^ или

р строго меньше, чем { ) ~ .

' (р) Каждый диаметр М"" есть часть замкнутой геодезической длины Л .

( $ ) Пусть (Г( Ь) - замкнутая геодезическая, содержащая диаметр р С1 Р ^ " длина дуги; <Г( о) — р ^ 0~( Г//Г,) -ъ ; (г7 £ + ) = (г , - -I < ы> ^

то для всех о £ ^ 7тг//г1 выполняется равенство: (ГЦ) (Г (I .

Из (о<) ,ЦЗ) и (у) выводится

Г Каждая точка ре есть конец диаметра многообразия М*" и каждой точке р соответствует единственная точка р * такая, что все геодезические, выходящие из точки р приходят в точку р * и длина дуг геодезических между р. и р* равна . ^

Таким образом, из (У) видно, что многообразие М оказывается многообразием Бляшке и 2) утверждение теоремы 2.1.1 теперь следует из теоремы Д.I работы4.

Во втором параграфе приводится доказательство теоремы 2.2.1.

Теорема 2.2.1 доказывается от противного, при этом клвче-

4 Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981.

о

вым моментом доказательства утверждения I) является доказательство того факта, что область С- ~ /Л '' ч- ¿В/Д язля-ется геодезически выпуклой Стастьа, когда радиус !\С а меньше ^/(¿/О Далее до стандартной схеме1, с г моцьв теоремы сравнения^, построгал многоугольник и" ка который является либо -I) замкнутым геодезическим дяини ^-//<7 ) либо 2) двуугольником периметра ; з обоих слу-

чаях доказательство теоремы 2.2.1 следует ;;з теоремы 2.1.1.

В параграфе третьем получена оценка длккы замкнутой геодезической на выпуклой поверхности класса /ЛА *'{ г. ^ г ) при условии < ? т •

Идея доказательства теоремы 2.3.1 заключается в тем, что геодезическую У последовательностью точек ) Д, • ■ /У,.. > Апц ~ АI разбивая? на дуги // , где

I = 1 л- так, что выполняются условия:

1) качедая дуга + 1 , ^ ~ 1> ■ • , геодезической У есть кратчайшая;

2) ка-зднй треугольник /(¿Дг , С - ... , является треугольником, допустимым, по крайней мере, относи-" тельно двух своих вершин.

Сначала доказывается следующая Лемма 2.3.1. Пусть <Х. > О _ произвольное число, г^Щ^Ть ) - дуга замкнутой геодезической У ,

дополнительной к дуге у(Ь -о.) у(£) на У

при -¿^[о^гтг). . Определим функции > по~

лагая /и) = Р(У(Ь), ) ) . , '

Если а, удовлетворяет неравенствам о ^ ^ '•м >

то

Из этой леммы следует, что земкнутой геодезической У можно разбить точками /} 1 так, чтобы треуголь-

ники + 1 ЯР15 ^ являются до-

пустимыми треугольниками относительно вершины

В случае ¿АЛ $ ^"//¿/л^ ) доказательство теоремы 2.3.1 очень просто. Возьмем на у точки Л у

тан, чтобы = ЛлА3 ~ Й^ Й^ = Т/Г-/г:'} .

Из леммы 2.3.1 следует, что, во-первых, ^ ^ ^ )

и, во-вторых, треугольники /¡¡¡^^ и

ЯВЛЯЕТСЯ ДОПуCTX'.'VIMH ТреуГОЛЬНИКЕМИ относительно вершины .

применяя теорему сравнения^, построим на /ß.Kj вы-пукЛгН чг-гутрсхугсльп'/.у. Г1е1>и:/.етра fVir) и, следовательно, теэрзма 2.3.1 следует из теорему 2.I-I.

Дале? риссметриБагтся случай ¿Ал < ft/i"/*-' . В' слйдукггах трог ленкзх дэкэзияретек, что угол f fr Ii) р" строго бсльле Г-/Х. для всех f , где и р*

конца д^а.-.ет^ч Г и /J<Z ~ есть длина дуги i' (i)

от до - ' . Из йхих легим следует» что чагть замкнутой

геодезической > длины f¡_ , между t и р* , можно раабэть точки.;:! , . . так, чтобы угол A^^'f i при i был бн больше тг/х . Потом следувд??. вспомогательная Лъъха 2.3..'/. ¿ели у треугольника /? ¡1 С , -составленного из кря'счайг.'х поверхности , углы при кершинах /? и С. острые, 1грч зерзине /3 болыг ъ/z у. 7 < ßC <. то /' С . ///j ) Z /л .

Из отои лемм™ следует, что. рззб».ение ^ лри

.4, — ;; и /-/,. — р * удовлетворяет наши требования I) v. 2), с и^гоико: треугольники. /ft/$c , t' - х ..« - i 7

лБлдэтсл допус?кнь«и треугольниками относительно двух верпин. Применяя теоремы 2 работы^ к труегояьникам //^ 4,.• , L при l - 2. , ... .г ~i и учитывая тот факт, что Лг ¡). - ость д;. мегр $ , nticipo».' на /А!^ выпуклый многоугольник р/ периметра рр-* * . далее, повторяя гее зыге сказанные рассу—еуия относительно дуги - vV ст р ' до

р ДЛМНЧ t / jri - i'i построим HS /R к выпуклый многоугольник .р ' периметра f f *fi.Yl ~ ..Прикладывая многоугольники р,' я О' по разным сторонам дпи-1:ы 'ff , получаем выдуклый многоугольник периметра t «/I

Далей доказательство теоремы 2.3.1 легко выводится.из теоремы 2.1.I.

параграф четкро главк 2 поевяден изучения вопроса ьхечрв-мального случая б теореме сравнения углов треугольника для аналитических римаковых знэгсоСрозкП

Скачала приводим нохото^це определения

Треугольник //¿6'. нас-сео'.: окст-рс 5льнь:-.г треугольником

относительно вершины /1 , если он является строго до;?;;стя-мым треугольником относительно вера/ны /1 г. В - I 'I ',

/ С - / С ' где /. /3' л ¿С угль: треугольника сравнения А'&'С' "а .

Треугольник $ ЕС назовомс стандартным треугольником относительно вершины /\ , если оч - экстр (альнкй сгтсеи» теяьмо и выполняется неравенство _/' / /; 1 £ ) > ,

где я, = г^ип ! г/л , /х ) .

Треугольник /? назовем празильнга треугольником от-

носительно верякны ,4 и точки ,0 , ес.лк он является экстремальным откосительн. всех своих вератам, ¿С с ¿,%,)

и если на /.5 С существует точка 2 такая, '-то треугольники /1 3/3 и С яеляютсл экстремальными относительно вершин А и в , соответственно, /! и С Доказана следующая

Леша 2.4.6. Если & А ВС- является стандартным треугольником относительно вершины ¡\ и экстремальным относительно вершины С . то существует А 31 Сх , который тэляется правильным треугольником относительно вершины й} , ' В следующих леммах доказывается, что если треугольник (~,С является правильным треугольником, то

1) поверхность (А, &С) , образованную всеми крат-1айшими Й К . где X <§ ВС. есть поверхность, регуляр-:ая в точке /I и её касательная' плоскость в этой точке одержит веткоры, касательные к /¡С п (\ 6 ;

2) существует такое число 8 > о . , что кратчайшая У2 принадлежит Р/^вС) , где

' Н е А С , С 2 < Г . -Из 2) уже выводятся 3) и 4):

3) гауссова кривизна поверхности (Ц £С) рав-а к 0 в точках кратчайшей /3 С ;

4) г1верхность (А} в с) есть вполне геодезическая зверхность, гауссова кривизна которой постоянна и равна .

Из условия теоремы 2.4.1 следует, что для треугольника А 8 С выполняться условия леммы 2.4.6 и, следовательно, >жно построить правильный треугольник вJ С1 . Теперь 1 аналитичности /Ц"" следует утверждение теоремы 2.4.1.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Л.-сбаров С. А. Сиенка углов треугольника в теореме сравнения // Тезис, докл. молодых у^-еных Сибири и Дальнего Востока. - Новосибирск, 1988.

2. А'хбароз С.А. Геометрия римаяозух многообразий, кривизны ограг 'чеккоз снизу з "интегральном" смысле // Преп^нт

3. АкбарсЕ С.А. Некоторые следствия из теоремы сравнения углов треугольника для одного класса римаковых многообразий // Оиб. кат- дури. - 19^1. Т. 32 . V 3 . С. З-П,

4. Акбаров С.А. Экстремальный случай г. теореме сравнения углов треугольн/.ка дая аналитических римановых многообразий

А'\л{ '■:^ ) // Ред. журн. "Сиб. мат. журн.". - Новосибирск, 1У30. - 10 с. Дэпп. в ВИ.Ш7, с №243~В91 от 15.01.91.

Автор выряжает искренних) благодарность научному руководителю нрсфегесру В.А.Тспоногсву за постоянное внимание к работе к полезнее обсуждения. , •

Повдимиз к печати 3.07.91 Формат >'>учъгя о- х 31 1/13 оакаэ 166

Отпечатано на ротапринте Института математик»' СО А!! СССР 6300-Э, Новосибирск,