Гармонические функции на некомпактных римановых многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АлА№л>1 ШК СССР ОДИРСКОВ отдшйй^ ЙНЙШТ ВДВШШ

Па прр^ах рукописи УДК 5X7.95

Лосев Александр Гооркспич

ГАЫШШйШ ОУНКЦ^й! КА !;йССл!1ШС.ТШХ К|ДОЯЗДХ ШЖООЪРЛ^Ж

01.91.01 - штенатичэский анализ

Авторе ф^о р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-здтематических наук

Новосибирск - 1591

Работа выполнена на кафедре математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор В.М.Ышшжов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук А.П.Копылов,

кандидат физико-математических наук, доцент С.К.Водопьянов..

Ведущая организация - Институт прикладной математики

к механики АН УССЕ.

Защита состоится

1391 г. в

час.

на заседании специализированного совета К 002.23.02 в Институте математики СО АН СССР / 630020, Новосибирск, Университетский проспект, 4 /. •

С диссертацией могло ознакомиться в библиотеке Института математики СО /Л СССР.

Автореферат разослан

1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н.,доцент

В.В.Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТШЮГйКА РАБОТЫ

Актуальность темы, ъднок из основных проблем теории функций на римановых многообразиях является проблема взаимосвязи ыезду геометрией многообразия и свойства;.® решений уравнения Лапласа-Бель тра'.ш на этом многообразии. Данкш вопросам посвящены работы А.АД'ригорьяна, В.М.шклюкова, З.В.Ькшахина, С.А.Молчанова, Г.доннелли, П.Ли, С.Т.Яу, Р.&оена, М.Авдерсона и других советских и зарубежных матема-тшеов. Истоки указанной проблематики восходят к классификационной теории римакоЕых поверхностей, основанной на изучении некоторых функциональных классов на поверхностях и развитой в работах л.Альфорса, А.Еейрлинга, Л.Сарио и других математиков.

Классическая теорема лжувюыя утверждает, что всякая ограниченная гармоническая в ¡¡С" функция является тождественной постоянной. Спрааед, .ивы также следующие утверждения, которые косят название теорем лиузиллева типа:

1/ если гармоническая функция U. в //Z^ тлеет конечный интеграл Дирихле, то и. a co/is é- ;

2/ если и & l£(- гармоническая функция, где

р < ОО , то и. а О .

Теоремам лиузгдлева типа на риманоЕкх многообразиях посвящена монография Л.Сарио, М.Накаи, Ш.Еонга, Л.О.Ченга

VSectio Lt УсскаС Af.t С., CAunf I. О.

CUssifîcaito«. tAeoy о/ тлпф^Ж//

Lea. JVoies Ma-U. - - и ¿o<r.

К числу наиболее ярких результатов относится теорема О.Я.Ченга н С.Т.йу ^ утвервдающая, что если объем геодезического шара радиуса /2 на полном многообразии растет не быстрее ¡¿г при £©<=> , то ка' этом многообразии всякая положительная супергармоническая функция является константой.

Вместе.с тем класс многообразий,- на которых существуют нетривиальные ограниченные гармонические щункции, достаточно обжарен и включает, например, многообразия строго отрицатель- • ной секционной кривизны. Б последнее время в связи с развитием теории случайных процессов и теорией потенциала на Романовых многообразиях наметилась тенденция к более общему подходу к теоремам лиувкллева типа, а именно, оценивается размерность пространств гармонических функций на многообразиях.

Цель работы - дальнейшее исследование связей мевду геометрическим строением некомпактных рамановых многообразий к поведешем гармонических (р -гармонических) функций на этих многообразиях.

Католика исследования. Б работе широко применяется . емкостная техника оценок решений уравнения Лапласа-Бельтрами, используются теоретико-функциональные, дифференциально-геометрические и другие методы.

С ¿ел п $. У^ Усш. Х77 оп. £сетй.лпсал -¿/ге£ г ¿¿с

// ¿'о™*,. рихе - /¿ЯГ. -

- л^З - /о. ¿33 -¿Я*

Научная нозизна, Следующие результат диссертации являются НОВЫЙ!.

X. Получени точная оценка сверху сункции Грина оператора Лапласа и теорема о среднем на многообразиях от ица-тельной секционной кривизны.

2. доказаны различные достаточные условия существования предела р -гармонической функции на ршановом многообразии " трубчатого " типа.

3. Установлены точные оценки размерностей некоторых пространств гармонических функций ¿"ограниченных, положительных, растущих не быстрее заданной функции ) на римановых многообразиях специального вида.

Апробация работы'. Оснознне результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции со геометрии и анализу (г.Новосибирск, 19Ь9г.) , на научных семинарах МГУ ( март КаОг.) и Ш СО АН СССР ("ноябрь, 1989г.г! , на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета ('1987,1988,

. Бее результаты подробно докладывались на семинаре по нелинейному анализу Волгоградского государственного унпззреитета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [*■]- [5] •

Содержание диссертации. •"...-•

оо

Пусть М - гладкое С т. е. класса С / связное риманово многообразие с краем или без края. Пусть -Л. - открытое подмножество многообразия М . Тогда р -гармонической

функцией в йудш называть всякую фушодш <-С 6 С ,

.Л

»йушадюй в .1?. йудш называть всякую фушодш <-С £ <-аеироргП'.ну» вместе с первш.а произво.г цыи ышоть до края '¿У'*/ П -П- и удовлетворяющую в -И.\1)М уравнение

Ар * -о,

¿'ДО

£С - М V ( / Vи.¡^'^ ГЫ.) } ^ >/,

и Уи. - градиент ¿V, в .метрике многообразия.

Зсюду шше будем предполагать, что на крае "2>Л//7_0. екпшшено уоаовяо Не&анг

'Ту " У *

где V - нормаль к 1>М .

Ясно»-.что при р =2 указанное уравнэнае является уравнением'Далласа на многообразии М .

функция . Р(Х) е С называется функцией

исчерпяния-многообразия М , если при любом л & множество

является ¡компактом и /Т7£( 4 1 >

Пусть ~ возрастающая последовательность лред-

компактнык: открытых подмножеств М , имеющих гладкие границы-ж-лстарпнвашюс М ¿ т.е. ^ Зс если ' <с/' . и 0 ~ Д; Тогда функцией Грина с полюсом в точка

О €1*1 г; , где А/ » \ , будем называть функции

такую, что

-Ту/ = /ЭЛ7

и

¿V £(*)

• к-* »=■

где Л - оператор Лапласа на многообразии

■м, ¿у*;-

дельта-функция Дирака с особенность» з точке О , & к. -предкомпакище открытие псдмяокестга М , п продел берется по предкойпантноыу исчерпалшэ.

3 первой глаЕе диссертационной работы рассматривается полное, лине2но сдноспязнсе (т.е. (М) = <Э/ многообразие /V , отрицательной секционной кривизны и размерности п. . Вначале дается точная оценка сверху функции Грирл. 4. кменкс, справедливо следузмее утвер.-здение..

Теоро.-за 1.1. Пусть секционная кривизна полного одно-:вяг;юго риманова многообразия М не превосходит - К2, , >де Кг > о - константа. Пусть С- (х) - положительная . ункция Грина многообразия А? с полюсом О е- М огда справедливо неравенство

- о ..

[ Ум

с-ы <■ -яг 1 ОТ '

1С*)

Х'де X. (х) - геодезическое, расстояние от точки О до точки X , С^п. - мовдь поверхности единичной сферы в № и П = сЬ-'/п А/ .

Для многообразии постоянной секционной кривизны, данное неравенство обращается в равенство. Такшл образом приведенная; оценка функции Грина точна.

При доказательстве этой теоремы используется явный вид функции Грина многообразия постоянной секционной кривизны -к\

Далее в первой главе доказывается теорема о среднем для положительных гармонических функций на многообразии Л/ . Именно, имеет место следующая

Теорема 1.2. Пусть секционная кривизна полного односвяз-ного многообразия М не превосходит - К *, где К1 > О -постоянная, и и(Х) - неотрицательная гармоническая функция в геодезическом шаре радиуса / с центром в точке

_ с

О & /V , где £>0 - произвольно. Тогда

"(У* -Дг-ззгаг

8 'К

где й (Ъ-) - геоде^ическяя с^ера радауса £ с центром в ; .очке О е М .

¿ля многообразий постоянно« отрицательной секционной кривизны данное неравенство обращается в равенство.

С.'/.Яу показал, что, если на полном рныановоь; многообразии /Ц rai юническал функция и. & , где

р < с*о , то = co/rsé . Случай р =1 полностью не Lj/чен. Однако есть примеру полны/, .многообразии. с -гармоническими функциями, не равными константе. Кроме того, 11.Ли и Р.И'оен ^ показали, что если на полном односвязном многообразии M неполояителънои секционной кривизны гармоническая функция и. 6 L (М) для р «? (of , то и. в cons é . ъ зтой связи представляет интерес следующее утвервдзниз, вытеглщее кз теоремы 1.2.

Следствие I. пусть секционная кривизна паяного одно-связного многообразия M не превосходит -К*, где К**>0 -константа. Тогда, если гармоническая -на M функция cceL' (М) , то изо .

с

Бс- второй главг рассматриваются р -гармонические функции на полком, связном, некомпактном римановом многообразии.

пусть ряманово многоооразиа /V таково, что множество

[ Хб M : ?(х) >о}

^ Y&u S.T. Some ^unCti'oa -t/tcoteéîi fгоре tic es

с/ COmpâeée /na/tifoùt.» -èiieci

ypùcct^j //¿/л£„. X

— f-J. 6i У ~ 6 J.

n P.L с t Л. s/юсм . astci p-topet*:^

A cf. M^- ~ -/>.

- 1С -

состоит из едкой компоненты связности и для достаточно больших £

- связное компактное множество. Как следует из теоремы Сарда, • при почти всех £ Л (*) - гладкая гиперповерхность.

Пусть А- к Ь - предкемпактныз подмножества риманова многообразия М такие, что А с 3 .В этом случае р -емкостью (р > 1 ) множества А относительно $ будем называть число

(А, 3) = 11 ,

• У .м

где шшняя грань берется по всем лшлшщевым функциям на М , для которых

и - элемент объема на многообразий М . Так как

р -емкость А относительно & убывает при возрастании £ , то существует предел

ca.fr А = сл/>, (А, £„),

где предел берется по произвольному исчерпанию многообразия предао!, ттншш открытыми множествами Вк •

Число А будем называть р -емкостью множества А .

Пусть, далее, ^ - .'эгулярное значение (функции исчерпания , V с. £(4) - открытое множество с непустым

краем 9 V и

где тсчнач нияняя грань бг^ется но всем йунвдшй: ^ класса таким, что

ту /

—п о'/

и

V

а у^/ - мера Хаусдорфа размерности л - / на 2 . З.М.Миклюковым была введена величина

где нижняя грань взята,по всевозможным семействам { -А/ - непустых открытых подмножеств V таких, что

Ц- ПК- = при С?/ .

Величину (I/, А/) будем называть /V-средним для р -лапласиана на V .

^Гжпоков В.М. Асимптоти1 зские свойства убрешений к-язи-линейных уравнений эдщпггаческого типа и отобране: ¡й с ограниченны!»! искакекием// Глат. <"г>,- 111/153/.- № с.42-60.

- 1л -

Предел см ¿ушщак по области будем

казпзал число

¿?>л. / = /А ;

Г Г1*/;

ее ч последние предел существует, °

Б леркой части ь.ороИ гласи зшсяяется вопрос существования продела р -гармонической зне некоторого компакта ¡¿ущеци:; с известном ростом интеграла ,1ирпхле. Именно, справедливо слодуицее утверждение.

Теорема 2,1. Пусть выполнено условие

Оо ' < £ Г '

,sCOK.il , ¿(¿) = ¡Х£-М \ ?(к) < /¿)

I 1 Г/-0 -9х ' / 1 ^

/д | - У

р

с(?)=1

I П ^

Л-^ при

а - р -гармоническая вне некоторого компакта функция.

Тогда олекцпя ¿с имеет конечный предал ¿¿/V .

А/

¿а;лет:-а.:, что условие существования предка уо -гармоническом некоторого компакта функции с кокечним интегралом

аиГ'Нл.-к.' принимает вид

/ Яр ( ,?(+), 2) Ж » —

Ил

Лалее получено достаточное условие существованья предела р -гармонической в М йункцкл с заданный роста:.: модуля функции ^ в частно. :и, для ограниченных /'-гармонических функций^ ,

3 третьей главе рассматриваются кьохзстка гар:-:ош1чзскж; функций на мнс.ообразиях специального вида. Л именно, пусть = (О/ *<х>) - положительная полуось, й ( где I =1,..., т) - компактнее ркжшозы многообразия, а к (Х) - некоторые полояитальзые, гладхкэ ка £;унк:до:.

Пусть многообразие А/ устроено следующим образом: внешность некоторого компакта £ в состоит из /п компонент связности 9)/ , , кавдая из которых изометрична прямому произведений Л/. * & с метрикой

где

- метрика на /¿^ . Введем обозначения

Хо <-о

И

Оо

где '£0 =СО/1$£ , >1 =(^1*1 /Ц

Рассмотрим простр нство ограниченных гармонкчьски.

функда! ка М . Справедливо следующее утверддеайв.

Тс-_.5е:/л 3.1. Пусть полное римаковэ многообразие /V такого, что выполнены следующие условия:

а,! для Есех ¿-I,...,'* выполнено = ,

о) для ¿'=1 ,...,£ , где i. ^ / , выполнено 0-v . Тогда расл;е. юс-гь пространства ограниченных гармонических на Н функций равна £ .

i-ia устроенных указанным Всше образов многообразиях «зперагор ¿аздаса-^еяьтраки икеот специальный вид. Используя с здакекяе переменных, и исследуя ..коэффициенты разложения гар:,:оп::ч-эсксй функция по собственным пункциям оператора лалласа на колгпакт.чых ¿шсгообразкях ¡¿¿ , получаем, что в предасаокенигх теоремы S.I всякая ограниченная гармоническая на М функция :weerr конечны!: Йредел на каждом . ¿.ок&за'гельо-гво завершается построению!.: _ базисных шуккцкй прсатрзнстьа ограниченных гармонических функции, на М .

Дагпе расияатривается ккскество полокйтелькых гармони-ческ/х ¿янкцкй на М . Справедливо утвераденке.

"Iсорока 3.2. Пусть А/ - такое рикаково многообразие, что выполнена сь'сдуасгде условия:

aj д-Vi всех С -I,___,т выполнено с*=> f

6) дгл С-!,...,£ , где £> / , выполнено £•'< «=« . Тогда размерность конуса полол® тьяьнкх г? рмонкч е ских на М фуккцдй равна Ю .

Пользуясь случаев, цркноау глубокую ' дагодаркость моему научному руководителя профессору З.й.йъ.яжову- за постоянное

г.г.т-ггг'З к работе, а та::;е Л.Л.Гр::горъ;::-:у :г 'ЗЛ'ЛУл-Х'Тг/ г. г. ипогсч/гслешгкв дагезкве обоуздеапя.

?аботи автора по тг:® диссертации

1. Яосав А,Г, Г£р:.;о"йчео',с:э ('¡уНгда; :•:.■. :.-:■:; отрицательно;:; кривизн:! //' ¡¿лч згилотк;:.- .' о.-- ^.Ъ:;.--

2. Лосев А.Г. Сб одно:! теореме лктвпяяеэа га ггкого-ооразнях ■.легального вида // II Ьс';пс;:зпач гэо;.:эо екая аок&зрекцзя. лшшев. Kl.Br. ¿зг/.с!-;

о, Лосев А.Г. О "зупугссвозгазак продела р -гарглспаческях. фушщий на яекашактнах ркмановгх ¡.'логосбразнях // 19оУ.~ 17сРукоиксь представлена Баягоградс:с:м ун-те:.:. ,1,оп. з Е-ЕГХЫ б мая 1339г. .¿2990-389.

4. Лосев А.Г. О пределе р -гармонической функции на некомпактном ркмаловсм многообразии // Тезисы докладов школы-семинара " Актуальные вопросы комплексного анализа ". Ташкент. Изд. Таш.ГУ.- 1939,- с.68.

5. Лосев А.Г. Об одной теореме лиувиллева типа на многообразиях специального вэда // Всесоюзная конференция по геометрии и анализу. Новосибирск. 1989. Тезисы докладов.- с.48.