Геометрия простов.. Lp. Аппроксимация и резонансные теоремы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НИЦ ТОНАЛЬНА АКАДЕМИЯ НАУК УКРАШ < • иста ТУТ МАТЕМАТИКИ ,

Йа правах рукопису

ИЧУГОВ Сергей ^ Олеко'!йтакч

. v таетяпя'- <й?«ошчь Ьр

АТРОКСЙМЛЦ4Я II РБЗОНАНОЯ'1 ТОРЕШ

01.01.01 - «ате'натичнкй анализ

АВТОР Е Е Р Л Т

ДкоертШ'Н на эдобуття вченэго стуши доктора знко - математкчккх наук

. "КиШа - ТЮН

Л

ДкзертадЧвв е рухопио. . '

Робота викопЪяа в Дч1пропе»ровоькоыу двряавзоиу ' .) уи1версптет1 * .

л - » *

Ч ' 1 ' . '

0ф1ц1Ен1 опов&^я) доктор ф! эаг.о-матеиатячннх наук, " • врофеоор КОВЯПИ О.Б.

доктор, ф! эико-шиематжчннх наук, .профосор ЛИГУН А.О.

доктор ф ? зи к о-мат е иати чв и хн а у к,

•врофвоор -ШЕВЧУК 1,0.

Цроа!дна уотанова ** Сдтоькяй двржашшй уя1геронтвг

Захиот в<дбудэгьрд " /^Дд-ЯЦ 199^}). о /3 . годин! иа 5ао1дани1 окед1ал!9оазяё! ^адя Д 016.50.01 при [истйтут! «амматики АН Укра!й* ва адрезс©» 232601, 1Си1в-4, ГСП, ву*Лере!яевЕ1в«ке(

' / ~ - ' . • ' ' ■" ( - Л .

3 дкоертац 1еп иоя»а ознбйошдаоь в 61да1отец(

"ч.' - , - 1иотв1уту.

- * » '

Ав-.тсрефзрат роздано *...... * • . , ' р.

в .

ВчвяиИ овкретар . <твваЬгя!зоваяо1 .ради . \ ГУСАК Л.В.

ЗАГАЛЫЦ ХАРАКТЕРИСТИКА РОБО'Ш

АктуалыМоть В рсо'сгг доо л £ д-^у и'П-о к 3 кола

задач 5___________________________________________________

Г. Отчисления констант Ьчга ¿а -лрсеторГЕ,

2, Рзаоканси! теорема ддз ::огл1змнзвтей. соа-тчепкях зэ •Ирог оператор!в.

3. К - (¡терпиляц!.: а задачах равцои1рного иаЗливення (¿/¡1ЯЦ1й,

Для обнесено! иагхят а кормонзвого аре,втору йоге ч^шозс7.кап рзд1угон ааьняат точа/ пиана пол} рад{уо«е ео!х куль, як1 м1отять у ооб1 ци ццокиау, а кечетаптов

цеау цих коиотант по во!х обие*еэт.х штииах з цього прос- : тору. Це' а ванлива геометрична характеристика простору.

Що о Т901 р. Г.Юнг обчлолав «I констант« для скучал* новин(рпих еикл!дозах проотср(г, а в 1952 р, А.Гаутледя обчяолив к.Ю простору . О.Б.Отечен дав1в, що к.Г простору ¿рГцигЗ т!сно пов'язаяа з точной конставтов в теорем! Джексона длл ацропсииацП функц1Э коиотантами, За г.споногоя «ьпгс факту В,!.Бердисзв а 1967 р. одержав оц!н-38 зчизу К.Ю простор 1б ¿р £0 2<гЗ , ир* , котр I у в» -папках ¿о сп!зпали э точтши значеаняии к,С, Ча-

ге;!.! чипом, ос'чиолзцня констант- Гига простор 1з 'Мене

гов'яьанс; як а екзтроиаяьшшн гсоиетричтши задачами в ци* просторах, так I з задачаш: таопН апрокоииац!! :)>уысц!й, ! актуальнее е задача отворення иеюд1в обчиолекня цкх коня-таз -.

Задач( п,2 ваникли у зз'язку а доол<дкеннкии зб1а -пест! за и!рсю кратпих ряд(в Фур'а. В1доиа теореиа А.И.Кол-ЫОГ«/]К'в<* 6 Шг.рДЕ/в, ЩО для "^'¿ЬШМ [уИ1',Ц(' й //10, ¿К 1

и ряд ■Тур'с. кЯглеп-ся за м!ров. еднак длс ГуикиЛ ^аггиь ох зм!нних це вяр яе так. Результата, отр:шан( за останя* роки Р.Д.Гецадзе та С.В.КоняНким, покагусть, що 1снувп. функцП з I ! Т"х щ.7 1, чаоткоп! сума $ур'е котрих роз-б1гаптьсй за «¡рог» (спектра часткошх суыи ькз^одяпон в

я

гомотетах опуклого центр,1льно-скмегричного т!ла). Тому Ечникае потреба в лЫйннх методах п1дсуиовува!шя кратнкх ряд!в Фур'в, як! б гарантуваля зб!га!сть за м!ров для !н-тегрошшх функц(й. А для цього актуальней е знаходження кратер Ив зб!яност! за м(рою посл!довностей значень опе-ратор!в, визначених на просторах вин1рпих функц!й.

8адач1 п.З пов'язан! з равном1рною апроксимац1еэ неперервних функцШ. Для пер!одичннх функц1й одн!е1 зм!н-но! М.П.Корн(йчуком у 1963 р. був побудований метод точ -иого обчислення найкравдх паближень тригонометричними по-л!номами клас1в функц1й, що задасться опукяою вгору мажорантою 1х модул(в неперервност!« Цей метод грунтуеться на Гфом1жному наближенн! даного класу 1ншим класом fyнкцtй, для котрого найкраще наближення пол1номами вже в!доме. П!зн1ше Я.Петре эапропояував 1нтерпретац1ю цього методу у терн!нах теорН 1нтерполяц1! оператор1в за допомогоп введенного ним поняття К-фуяюНоналу.

В теорИ апроксимздП неперервних функц!й, вязваче-них на дов!Льних ыетричних компактах, на цей час в багато нерозв'язаних екстремальних задач. Тому винпвае потреба в узагальнешП методу прои(кного каблиаення на випадок функ* ц!й, вкзначених на дов(льних метричних компактах.

• Мета роботи. I. Обчислити константи Юнга ¿р -простор 1в.

II. Знайти хритер( Г. поточково! обмеженост! за м(ров посл(-довност! значень оператор!в. Застосувагн отриман! критврН до задач досл(дження эб1жност1 за и (рос кратних фуякц1ональ них ряд!в.

И. Довести точи! 1нтерполяц1йн1 теореми для оператор!в, що д!ють у просторах фунтИА, неперервних на ыетрячних компактах» Вастосувати ц! теореми до задач наближення одного кхасу функц1й 1ншими.

, Методика доол!дження.' Для обчиолення к.Ю ¿р -простор) в доводиться деях! спец!альн! ¿р -нер!вност1 типу нер1вностей Кларявона I Шенберга. При доведенн! резонаио-иих теорем для неперервних за м!ров оператор 1в застооову-еться метод усереднення по эсувая фунмМй та ус!ляких роз-

под!лах анак1в, Для ¡тро«1жного наб.мжешц фувп$1й, задания на ыегричних компактах, точно обчиалюетьол К—3>ункц Юнал

в!дпов1дних пар простор!в. ______ ______ _______._____

Кр1м цього, об' елиуе воI ц! задач! рил-ематичие зшГ« тосуввння при 1х роэв'язаяя! 1де{-. та погод 1в теорМ 1итер поляд II оператор1в.

Иаукова новизна. В робот} одержан! так! результата X) обчиелен'1 констг.-ти Юнга простор!» (глава I);

2) отрицай! двосторон«! оц!нля коясмнт Юнга ск!нченноаи -Шрних простор 1в ¿р , коур! для даяких впПрностей да»

^ ют: »оч«п значения к.О (глава I)?

3) ТЙЧН! доагатв!'тотв* явпх шю» хин г1перплоциною в ¿р у знгляд! аер{за"!«гг м»* д1ы-иетраии 1 в I дотай! и1> циии иножииаии (глава 1))

¿0 одержан! крияерИ поточкояо! ойиеженоо*! за м!рос лосл!«-довйост! оператор!в (глава П)|

5) дсол1джена зб!*нЬть з^ м!рйп вврвдн!х Бохяера-р>оа ряд'Ч по власййх функц!ях оя?рйторг Ланлаоа (глава И);

6) довйден! точн! 1втерполвц1йй1 морей« для дперат6р1в, щеп дЬфь у просторах фуикп Iй, нв№»рврвних «а иенричяих коя--, пактах (глава Ш).

Теоретична I практична зяачии1сть. Результат» ройотн иають теоретячний характер, Щ результати, а також иетоди 1х ©держания, ионуть бути эаотосован! в тгорП фувкцЩ та функцI опальному айал!з(,

Апрабац!я роботи. Оиновя! результат« дшсергыШ доцо-в!далиоь на сем1нарзх по теарП функц!й Дн1 пропетроваькагв ун1взрснтвту (В.П.Моторйий), 1пзтитуту математики $ Укря1од (М.П.Корй1Ячук, 0* |,С?епайець), а також на оеи!й1рах С.Б.СгН-к1яа в ?4&темАтичнйиу 1потйтут! РАН (м.В.О.О^вйлйэй, В.М.7*х<<-ц!рова ! П.Л,Ульянова в ЦЙУ.

Кр!и цього, з результатами доол1дж8йь автор лютуиав э д6пов!дяия I лекц>яии

- на 1|1жяароднйх, ввеооозинх I ре(ЗПуйл1«аноькя« икзлах I. кЬвУ ференц»й* (Саратов, 1985,1992 рр.^уньк, 1ч89 р.,0дее4,1991; 1992 рр., Шв, 1990 р.,Дн1проттрсвськ, 1986,1990, Т9-3 рр., Каи'янець-ШяНяьоький, Воройе«, 1992,199^ р.);

- в М1*народному иатеыатичтюму центр! !м.С.Банаха, Варшава, 1969 р.

Цубл:<кацЦ. По тем! дисертацП опубл!ковано 18 роб!т, 9 в них склали основу диоертац!!. Список цех роб!т приведений в к(яи1 автореферату.

Структура I об*см роботи. Робота окладавтьоя 1з всту-пу, трьох глав I описку ци'-'оваяо! л!тератури. Об* ем робота -190 оторИт маяинопиоу.

7 вступ! приведен! постановки задач, сформульотвн! оо-новн! результата ( аказан! зв'ямш з доол!д*енияш! 1нших автора, . ,

Перша глава склада етьо я Га вступу, 8 параграф!» 1 щто-вячена' константам Юнга ¿р -простор!в та оум1жняи екстре -дальним падачам.

В | I доводиться деях! точи! ¿¡, ~нер!вноот!, як! в анал!тичнои основос подаль пи х результат!». Дал! для числа «) позначимо р'-р(р-*}'г , & - »к* р'} .

Ггорема 1.1 НехаЙ ( /»

елеыенти комплексного гростору ¿л т * *

ОПВДД а»СТ7 ЛИСЕРТАЦ11

к е

' /Л'

» -

* *

* 4

У випадну реТ^АЗ для неок(нчг ггого набору значень 4 I иокливо так виЛрати чиола , ^ ( елементи :» Iр , що в них не^Явноотяк буде викоиузатио^ ггак р!вное-

В перше нер1вноот,1 такого тепу дэол1 джуюь Шзнберг,

Доведения цих нер1вноогей грун?уетьоя на ¡нтерпалл-Ц1йя18 теореи! Р1йа-ТУзр1на.

В £ 2 вивчаотьоя дооты'М умзви отроге'! »1докрамле--ноог! итх шсегяп я.»пш1п»ов в гк|нченновим1рноиу1лроотор!

¿р , а л | 3 ± ъя ш мц&чн 'д^и'ягок!пчеянввим<рких ,--, дроотор!в,

Теорема 2.1. Нехай в п ~зии|рвому п1дщ)озтор! д,чо.-иого простору Л чдан I шожиа» А I В так!, цо для 1х д (аыиг-р!в ¿<4)р I с1(Ь)р виконан! уж>ви , * (¿х

Тод1, якщо для дов {ль них ** А ' X* Э для в!ддчл( и ¡к кимд (¿Ш^р янхонуеться вв5>'вн|оть; ' ' « :

то !онув г1.перпло1дина, хогра'строго виокремлич нчож.ики А 1 В, I ^

' Р нАшкц 1 * 1 5 *

1г \ у

При цьешу показано, цо у випадку р< Д цк ууоиа иСлок-реи лен ост! в наЗкращоп иокливог! у тому рсг>ум1нн I, то ал|! ввок1иченного набору значень Л константу вменит

иеложяиво» , • 1 ' ,

Теорема ЭЛ. НехпА в чвак1нченнозчи1рнсму д! Йеной}' простор! .¿^ дан) мамиии А I б. ТздI, адщо для Лудь якмх

Xf A f It В виконувться нер!вн1сть

d*(Wf> г- р., (с6\А)р +dl(B)p),

то

<i( oOvt-4, сонлг %)p 70j I ion ye Нпершвдина, яка строго в!докремлва А I В. Якщо

¿*СЩ9 >0,

то сенм-rf f} сснл^В *

1онупть так1 иножини А ! В в ¿^[qi], що

С0*3*Д f\ С^мг В Ф 0 \

. d V А, в)р р.< (d ЬЩ d *(В)р) 7 О.

Рая1ше у вяпадку рг£ Ш результат»' були отримаи) В.Л.ЯолыНковим.

В § 4 аналог!чна задача розгладаеться для дов!льн»х ск!кченяоввм!рких яормованих простор1в.

Теорема 4.1. Нехай А I В - ыпояини з д!йоного нор -мованого простору X , ¿¿я^ Хк* и>} , так! що d(А) * d< , dcß) Тод! якщо для будь яких х« A I it В викояу-еться нер!вн1с?ь

dttrfT КАК ( ^ fühl J )

то 1снуе rf перплощина, яка отрого в!докремлюв иножини ,А ! В Якио ж виконуеться р!вн!оть

di^ßj * ж

•tone, вэагал! каадчи, не гаранту в строго! в!докремленоот! множив А I В.

Основя! результата першо! главв пов*язаи( з обчиолен-ням констант Гига -простор !в.

у

Для обмелено! мнояини А кчриовачом «рос гору X вада-•а »У Ъ(/1\- Щ //« - «./

/KÍ Л <ЫЛ

иазававть чебишовлькиц рад I уст/ uvrm.fA А; «< ~ На м//

5 «í Vf

- в!днооняи чебимовоьким pi«tycí¡¿ А,,

J( h А) - M) J

- константою Шга (в i;,поено» ргнгогоито» Шгс) жоданч h

Butf/CX3TOpl X,

v'X?" ^pVJ(A) : /?- ùtniiKtei), 7scX) iuf> Ui(/*); A ~ ma-win j /мун, j

- в1дпов1дяо коястантоо J »(дцочною коэст ji'nw Шга Простору X.

В $ 5 глави I ци д|к OKlp'iraiCBiwlpwx npc jt opl? Sp доводимо оц1нкй зверху хонстант tura J( Çfi) I J< ( ,<?{,' í , ' »tl у вяпадку pt[i,i) да деяксх вин1уноот<{П (nl»na-» давть s точшшв значегаякя в1диов1днях воазтант.

Теорена 5.1 Для ие.четчкт Плга д(Йоних rpanoplB 1(f><¿¿ . викояуотюя KfsplHHOOTl

hiïxbitp* fr

У вяпадку п, таких, n¡o (окув матриця Адьиара пер.уку при р([<,1) мапть ulcus р1вг.оат1

. i*

V

В / 6 дсол!дауатьоя надс.ча: як отрачати ои1нку даерг ху конотанти Вига леоя1нчв!шовимгркого прэогоу/, лщо *1д<ь tit конотанти для його 0к1аченяоаим1рних пЦпроото^¡и, Шкаь-шш рвзули&том' в теорема б.З, в як!Я Для дЩзник npw voph' If I ¿ptOfíl • i£' 0(5ч«^;лeR, конотднт* iHnu

& \ (, Щцп) * \ ирщг] ¿-р]

Сл!л в 1«эначиги, то к! значения сп!впадають з оц!акаии шизу В, 1Л>ердииеэа, сама тону папой основною метою буде огво-рення методу оц!нок цих кояотант вверху.

В ) 7 для могричних проотор!в ¿г -пер!одичнкх функ -

Ц!й 'тг

и>а)-всоанГ) = ///{, *¡^Щсми*«*ь

де ы -функц!я типу модул« веперервноот?, отримана точна константа в теорем! Джексона для паближення фупкц!й конотан-теши

фсс^

Зз допомогою цього факту в теорем! 7.2 обчяслена коно -гайта Снга цих проотор!в:

8апропонева«ий в глав! I метод розв'язування деяких екстре-малытх гаоы?тричпих (Задач а ¿р , яяяй грунтусться на спе-ц!алыгех точних нер!вностях, отрякаяих за допологою творП 1нтерполяцН, виягиися корионим I в задачах теорП апрокои-ыацН функц!й. Так, в § В ш використовуемо ц| в !де! в ?адач! набляяення пер!одичних функц!Й двох зм!нних сумою функц1й в!д одн!е1 эм1нно!.

В теорем! 8.1, зокрема, доведена пер!вн!оть

в котр 1й константу £ ^'одразу для в'о!х ) зменшпти не-моЖливо.

Тут ^Ф/ ЦУ) -значения зм(шаногй модуля неперервноо-т| фуякч»* руу) в "'я*1 (Ц 1*) •

$

В глав! II досл!даувгьок поол1яознорт{ сиПкиеьти за и!рос оператор1п. |

Поол!довн)оть оператор 1в (Т,ь) , д!»чи* а банаховог> простору X .в прост(р-¿¡, & 10(^унмНЯ «а,

1ыов1рноекому гфостор! (Л, гоцслггГз» аКгноот) я,ч— _______

м!рою, назвеио догочхово о4ме*енсо к?, ».(рос, hj.ec й ,< цнояина { Тн/ ■ н -- } обивхсъ-г я /,с, . ,

Якщо ггой цьбиу опер*тори, 7Н цо о л1н(йншш I о.меае^.ни, то дудемо говорите, яэ поол!л^.в(С1д с пк.кн. ть клг-оу

ВП/Х) (1Г*)«В11(Х))

0 _

Якщо ^¡пвчии за мМст :1а »ота.и.нЫ

в а е«««пит!п Л } ( 8Н (/) то год( д-м

оудь ягогз .V - /*/• з$ »г/. •■»« и<-

рою. Тону дослЦжегня з41«к6от! Ирсы поззщ» чень оператор!в еводитьоя д? вув'шяяя клазу . Ни.»

ва иета е доол!д*еиня умоэ налетим М цьоиу кл:су,.

В § I за допомогос отакдаргиих мнркумиь,' эноиояаьчг: на теореи! Вера про категор|?> .'г.овоцитьол даитнч .1!внон!у-до! оОмекеноот! для ( Т&) уэипддгу, ко,»* оп^тго^ц д! -вгь в проот!р ¿е .

Лапа Т.Т (ПринцгД Б&иахр для чсзд1доля(;: г1 гшгеч -ково о^меаених за и!р)п чпумих оператор ¡в), ПипЯ V -ховнй прост 1р, -> - Iг;ук.!! Смчиеи! 'лг--

ратори. Поол1довн1оть (Тк) б^аз поточ.мйа об»нймни па■ рою тод! ! т1льки тодI, моли звэйдеться ньв!д"|;миа а чадна функц!я Сое) ( ¿асе,(] , такв що

Уп у/б х Ухе 1*0,12 Р(Тн£х) * См !(р1к>

до Р( х) - я) «синя опедгого пвреатавлекне |у{пс(|<!

/7^/ в 7044,1 х.

В /2 отр маний |ф1?ер|г1 ные^ноит! (Г*} .

ВН (Хр) > И13 Хр - прхт)о типу р , рсца,,

Теорема 2,1 Оооч'доътМт- (7^) ла.шкхгг. ».и*,

зу ВМ I\'р) '№! 1 т( '.ьк;' 0л1, *«олн для г:удь « -.ого

1 зньЙлуоьок кокс г шта С^М г.ги ус(х« взгоб!

>

■¡о

як! задовольняють уиовп

%/(lu)Jft ?f'f}

di

так!, то виконуютьсн aepiBHOoiJ

S t,(<u>& * Щ) /////;.

ШЛ-. i г

t випадку ¡¡¡£7", toóío для 1ндив1 дуального оператора, ця теорема дае критерМ! foro иеперервност! за и!рою I довалена Е.М.1Ик!шяним. Пря доведена! да зяачною н!роо використовуемо як !де! Н1к!шлна, так 1 принцип равиом!р-но! обнеженсст!.

Побудовапо приклад, який подаэуе, що взагая1 каяучи йеможливо побудувати едину вагову функц!в ^ одр азу для yclx' и. .

Заотосування теоремн 2.1 в коикретних задачах иоле бути складням тому, що т маеыо мало !нформац!1 про ва -гов! функц!!. Тому ми гилучаеио вакливий окремий внпадок, роли вагов! ^унки!! прийыапть лиое два значения: нуль та один с я.

, Наол!док 2.1 Нехай для кодпого к »1,2,...

<<*> . Ход! (7kU вН тод! I т!ль-

ки тод!, холи VírO ЗС(£) Ун 3 $,<()£ Jl Vfitp V*«9,1)

Tjт -оператор множення яа'характеристику функц!»

Люкини .

. Насл1док 2.1 показуе, що при эроблених припутденнях для кожного ф!хсованого ё слабк1 ¿р -нории оператор!» %ф Т* равном!рно по ц обмвжея!.

4i

В той кб час можляво навести приклад, а,о для операто-р5в Тц 5х слабк! ¿р -пории при цик ее умовах мотуть

--------врос там, тгричому як зазгодно ивидно.

Насл<док 2Д даз *.южлгаз1сть'яри досл!дкеянГ клаоу-----------------

ФЯ/Y} загтосуватл теорЗ« 1ягерполяц!I оператора. В f 3 вгя зас? ос стаута? Tsopf» Интерпол® У для оператор?в. д!вчлх з слиетригчяяк горост-отах.

Фязрема З.т Ее хай для деякого pt íí,¡)

<Тн}с Bfít¿p)

I 'f Тц j¡ при кояному M. . Год! :

. , ■ V * / V

fu -У -7- / ,

б) to*? ^ j 4,cJl/tf,4,>f-s ,

itttjn:¿r¿p íf< Ссе)(1Н&*яТн#р¥ел

Тзкя» "mea, в акал! просторов ¿^ иаено сл!дуючу сукуп-

îîicïb властивостей; якио

для деякого

ft íf,i) i // Тп ;¿p //¿ , то для будь якого i«? порта в1д..ов?дяях оператор^ 7й , no-пзрше, равно-isípño обыезен! з слтуглН для Z*(p,J) , по-дру-

ге, равнои!рно od «с кет ï в октуадП ¿р для г (Огр)}

I по-трете, у випадду ¿р ¿р в ои?шга saepxy ыокливо! сга!дкост1 зроотаяпя нора.

Tcnsp нехай Е-доэ1льнин сисетрх'кгай проет1р вкм!ряих Çyimuta з фундаментальной функц!оо f¿- . Сл!дуючнй ре -гу.тьтэ? отрииапо за допомогою К-1ятерпояяцН оператор)в. Теорема 3.2 Нсхай (Tu)í ü/'ií/i,) ! Ун

9 7к : ¿f -г и <г »о. '

тад! Vt-ro 3 Ca? J Л, А ? f-f} ¿9V <r

и i

?с\ M л сю i ; f/Ъ))^

ж

Ае t

/ J s

e

>

g $ k главк II ми розглядаецо с»туад1ъ, коли опера-Tit вад1лан» доаагкоикмк властивоотями в»днооно де-яквх перетаоревь t ¡ SI -»■«# , «о отаорюють ергодичну oIm'd f . Toôïo кехзйг

1) прост lp Xa. склада етьал s auulpwfX иа (¿IjZjjt) фувкЛ «i»,

2) faéf üfrt^iilp^,,

3) оператора зедовальяяшь уыову: №rüf Vfsfy Уп едя майк? Bolx It* &

tlTH»J(Tu)l4 I (Jü^rXufK

. HI yuca» вй*о«увтьоя, ваприклад, для опзрагоЯ» згорудв на косогорах ¿р ( Vй) пвр1од«чвих ssívitra* na пг -

mufpwow f°Pt У* •

Ир» цих ушгеах доведечI с*»дуюч! îeopeiw. Теорема '».Г Явдо Г £ ) f fy) , го 3 б hi

Теорема 4,2 Якщо для деякого j>ft-tj¡£) C%t)fBHl¿^) tot1 I) Уг i (f>,4 ) 3 и У* ИТьЧъ Ii S ¿ V ;

г) якщо И Ти. ) , *û Я С ft-

«Tvijfi^fí/CCft ÙSl<T«{tpy„ fi

Teovem О Явдо С7ц )í ) . то Y-feE

Vf* tP,#0

Р(Ц /1 (] (/'м/ж)'* '

" ----------* < ----------

де константа А 1 3 не залегать в!д и. , £ , х •

В § 5 ми покаоусмо, як з доведэккх критерПв могша вивеоти в!дом! результата Р.Д.Гецадзе I С.В.Коняг1на про « «¡поп ко&чиьХ

3 | б из зззгоооауььг сгртгг?*ттт* «яяудьтата д::.?*** являя зб!жяост! за м!роп середп!х Бох;1ера-Р1са ряд!в пз аласкях функциях оператора Лапласа. 3<Ижа1сть майае скр!зь цях середн!х ран!ше досл!дкували Е.Стейп, Е.И.Н1к!смя, К.КБабенко та !ип!,

Нехай {ихсю} -система власних функц!й оператора Лапласа з будь яков з трьох хласичяих крайових умов в облает!

® 3 £щ (т-г{), -в!дпов!дн! Злйсп! значения,

¡4 = 5 /о; ,

- середа! Бохнера-Р'са порядку X .

'йорсма 6.Т Нехай 0 -к1-зяц!рна область з обмз-пэверхиевоо н!ро» Шнкозського. Год! для будь яких

) зяапдетьоя фупкц!я з /,е<Ц для яко! ссредн! Бохнсра-?!;^ ро^Игяадьоя за м1роп.

3 | 7 для функц!3, визпачених на компактп1й абелевШ груп! О, з и!роп Хаара « , роэглядавться проатори Орде, яя зэичаЯпо, Нм -опухла ! ненульова при ч?0 фупвПя, Мю)-0 , яка зядовольяяв А^ -умову. Ми вводимо пе одну умову: II а опукла в гор у $ункц1я эшп-ко| у, . Прикладом тахо! фуниШ в фуггкц!я

яка породжус простíp ¿p ( £»**¿-tc)

Теорема 7.1 Нехай jH¡ , H:f,tr.. -*!-

Hfñuí не перерви! отрагори, як! пзреотавк! з! зсувами на rpyni С- . Тод! СТн)£вМ тод! I т!лъки тод!,

коли 3 ¡¿£¿¿#(6-) fy é i»,i)

Дойл1джекяя Л.В,*!*!ая»!л1, Р.Д.Гоцадзе, О.В,Коняг!на «Ижност! за ы1роп кратних ряд!в Фур'о по тригоноиетричн!й систем! 3Í спектром у куб! для $уккц(й з простор(в ¿(á*¡*¿tc/ í Т*) показали, що в1дпоя!дь оуттево за-

лежись показнкка ¡¿ , Touy виникао по«реба в критер!ях нал«*аостI гласу ВНМм) , як! б вЗаховували олециф!ку иетрщси. Теореаа 7.1 дав в!дпов(дь на но питапнч, '

ОакШш верев!рка уирви 0) для простора 0р/4ча . в конкретк!й оитредП може эаэдати велик! трудноц'!, ми вяводи-uo s теорем* 7,1 необх!дн1 умовн поточково! обиежеиозт! за м|ро» для »впадку яроотор!в ¿p (Я*) ! опе-

ратор*» »ИДУ

l7Hfhu)* jf^ Kní^rtfMct/is.

ВехяЯ ь?( * *«/> 0+tíhKnC )Йа /W*<0 -зкачвчня

нодудя яеяерервност! в iietpHu! ¿flifH) ядра A* ® точг

Теория 7.? Вохйй t<,i) , М Тн ' ■ -оператор згорткк з ядро* ¿'н ' /f'v. ft'-

gf з»£йде»ьая кокстанта А, яка не ппяежпп, в!д м ! <Г , *ака, що для будь якого , то задоиодьме умещу

&~м у g Л ^ ,t до»!льного П вакй1<угтьея но ~ DÍBHodri

45 -я А/

аир * а«* ыск„/) + г <"к»п т).

Для конкретпих ядер в ио*лив(сть параметр' вибрати оптимально. Наприклад, пехай Тц. -А1п1 йний метод п!дсу-новування ряд1в <Т>;/р'а по тригоиолетричн!й оистем! з1 спектром в , дс гВ -обиежена центрадьно-спметрична область

а А" I

г тфт=1 К,ш-^ф,. - I с

К ли)'

ьшг* ' ;

I мйожияя*п1дсумовування б^д ■ равномерно обмежея! по модулв. '

Наел!док 7.1 Якщо ( Тл)е 8М(/,р (

, ¿.-г,О , то ядра при дов!льних Й?о повин

я! задозольяяти умову

йХяиг < с г',

де константа ¿. пе задекить в!д (I

В заключному § 8 главк II розглядаяться оператсри з! зпачеяня>.з1 в иетричних проотопах , де из -

фупкц!я типу модуля неперервноот!, - компактна абелева група. Шкала цях простор!в включаа ¿р(£) при р((0/1'3

\ ¿с (£) .

Теорема 8.1 Пехай р(-16,',<) , ФУНлЩя и> эадо-в!льняо укояу ^

Г Ш

7ЫР саФ -л1н!йний, переставяий з! зеуваюг опе-

ратор. Тод! Т бу.'.е негорервним тод( ! т!лькп тод(, коли

ЗС ^{(¿г

РЩп)** .

Теорема 6,2 Нехай £ , / Л , А -опря- •

цована иноянна !ндеко!в, р((е,!/) -узагальнена воол!дов-н(сть неперервннх оператор 1в, пераоталиих з! зоувами, I

«ИЗ

! {

Тод1 посл1довн!оть (7} ) буде поточхово обмеженою тод1 I

т1льхи коли ЗС УХ({0,П УЛ*

; р( сцц*.

Дал! роэглядаиться оператор« . як! д!сть э простору

чшур в , I г/рзот1р Уа(£) аклаца?

етьоя » дежхо! оукупност! вм»1рних на б- функц!й та норма 1явар1антна' в!днооно ^уву на груп! <£ .

Теорема 8.3 НехаЙ в випадху у г* СО -до»|л4на фуккц!я тяну модуля неперервиос*!, а дрн /»«У -така, «о аб!гаоться 1нтеп5ал »Пехай, дал!, Т I

I ~я!н!йнив оператор, герадтавний е! эс/ва-

ми, Тод! опера.ор Т Нуда иеперарвкки тод! I т!лыт тод1,

холи эе Цеур Уища

Теорема 8,4 Нехай о I со эадовольнюп уиова тео-рвми 6.3. 5." . , ~ уаагальнена &оех1жоЯи1сть

неперервяих, переотавних 81 аоувами оператор!*. ( буде поточково обмеженою «од! I т1лькя тод!,. коля 36

1&етя глава прясВ'ячена' К-1нгерпйляц!I в задачах. р!ваон1р-ногб наблияевяя функц!«.

$ I йоайть ДбпомЬтиЙ характера В ньтеу швча#гкья

•моцул! чеперйрвкозт! фуггкцIй 8 С(&) , Де йе?^ичкиЛ

л

компакт»

В теорем! 1.1 доведено, що ииожина таких модул!в не-перервноот! оп!впадав з множнпою $ункц!й типу модуля непе-рервност! таких, що Лат в) Ук ъ (¿¿от &,

тод! I т1льки тод(, коли компакт & е метрично опуклим. Цей результат бгв одеряаний сум!сно з В.^.Бабеикоц.

Для даного модуля неперервност! ¿¿7 розглянемо простоР* ' ' ¿}

Зокрема, якщо С4(к) ~ К" , ¿¿е щГх , то мзсуз

(Щ * М^ СЩ(к) к } к.

-в1дпов(дно л!пв1цеву норму та простора ^ункц!й, як! задо-вольнквть умову Л!пш1ця порядку

Нехай со/(') -найменша опукла вгору мажоранта фунхц!! ,

-значения К-функц!оналу Петре на функц!I £ в точц! для пари простор!в ( , С ^сбК

В f 2 ойчиалеио значения К-функц!оналу для ц!в1 пари. Теорема 2.1 Нехай ¿2 -дов!льний метричний коппакт, СО -такий модуль неперервност!, що для дейкого ^((.^¿атО! Ы1к) -отрого зроотае при к£1С,{) ' ыси при

к* СЬ 'Ьл** ¿У, функц!я {е Сф така, до = для во!х 4 • маю» м!еив р!вност!:

Ш'СС*)

У випадку 61- Е-Т,г1 чей факт дов!в Я.Петре, для до-в! ль но го 9- I - В.А.БруДниЙ.

Пей результат використовуеться для вквчення норм суб-

л!в1йиих (тобто нап!вадитивиих та однор!дних) оператор (в 77 С С ' Нехай Н^ -одинична куля простору С^ . Для ск!нченноот1 нормк - (ИЦИС) Н

необх!дно, щоб для будь яко! виконувалааь умо-

ва Т{=0 . Да*' вва«аеио, що ця умова для оператор 1в * ви-. хонана.

Теорема 2,2 Нехай & ~дов1льний иетричнийкоипахт, а фуикцП и> I f : задовольняють умовя таореия 2.1. Тод! для дов!льного оубл1я1й«ого обиежааого оператора 77 С(й}-* С(&) викопуаться нер<вн1оть

Для кожного оператора Т ця вер!вн!оть в точное. Це означав, «о в право! чаотия» в! константу , я! агруыен* * НТ{/С?С функа11 одраау для »о1х

¿¿С эменият* неиожливо. ■ ' ...

Наотупна 1втерполяц1йна теорема е корионою д«я роав'яз-ку деяхих гнпових Задач теорП набдяиень.

Теорема 3.1 Нехай ¿2 -дов1лы1ий иетрнчний компакт, I

рля Д081льййх Нйб) \

Йахай Дал! модул! иепорервноо*! ¿<><(к) I сд^к) строго &роотамь при Ае I поот»ва» при афункц!я «тукла »гору« Тод! я ля обиеяейого суйл!-ЙМкого оператора Т: 6{&\ Сей) вяковуетя яер<вй!сть

& г-изтрйчйо ьпуклкб кокпакт, то ця Нер1ай1ать й точ-«¿ю* чШо 1вйують ойератор* Т, длй йоч'ри» войа пг.реиорйеть-сй на рЬяЮгь.

В1дЗйачямд ййол!дбк для простер!в Й1пшця: ййцо

>lTit.z j ííal%-,c.í " Ц 77/ *

fi-*c.

В 4 til результата засЮо-ОБувгьсл до аадзч наблажен-пя функц1й. Ц i застосування грунтуитьсл на тому, оам!е~ь оператора I ас^яна влятп оператор , до -опе-

ратор метрячпоТ проезд П па я!дяро»т!р А, чи оператор , яя c¿ -л!н!йкиЯ i/втод ваблтелпя ?ункп1П п1дпрооторок А

3 Cifi) .

--i-4vnn ¿ya /f¡ -пайкраще naf-тяення елемента £ nfд-

■)/ ,, . . i

—«. « я, . ; ""'-«•««о i

л1гг1йпе (методой ¿ ) яаблпження хласу // ~ .*.

Год! викояувться точн! на простор! С(&) ncpisnocTlj

Л/-Я f / &4 (¿¿(//'¡л»,

Яка о 0- в кетрячво опуклим, то для будь якого

f((,*)< У a>f ( lllfAJ):

Так! точн! нер1впост1 вперше дум одержан! М.П.Корн(йчукои 7 випздху наЯкращого иаближенпя грягопомегричгоши пол1пс«а~ ш пер!одичяизс функц!й.

дал!, яхво ь)< ! Oft задовольнявть умови теорем* 3.1, а $ -д?в!льний иетричний компакт, то

U>f"(tf(V4}4))* LO^llfCH^A)),

-i{ MtH^/t) ^

со,1 i^HL^AÍ \

( j 1 I

Zö

Ц! сп!вв1дношецнл дозводяють пор1вия?и наближеннн да-юш п!дпроотором plsmu клас!в ft10 . Для пер!одичних фуцк-ц!й одк1е! sutimol ця задача досл!дя;увалаоь U.R.Корн 1йчукои, Д.О.Л1гуиоц та 1ниш5*..

В заключноыу J 5 наведен! оц!ихи К-функц1оналу пари (tt-r.Ki) Сгс-г,*3 ) , Д2 /ff//ct » ilfllb . 1 sa !х допоиогов одерзан! оц!нки зверху для ttTjOtü в тери!нах иоду ля гладкоат! а>г ф.).

Теореиа 5.2 Яхцо Т-обмекеиив оублМйнай оператор, 50 b'f 6 Сг-т,т

УНс < /-Т&. Obtf,

Дла будь якого энайдутьоя Т I ^ так!, щв

im Aimi^-s) (£} }

I tu IL . . J*

Оовова! водо*еввя дигертаиН опубл|кован! в такая роботах:

I. Пачугов- С. А» Коаатанта Рига пространства ¿. //Мат.заиет-

Z. Шчугов СЛ. Точные оценки приближения в ¿р ¡'уншисьш ■ вида //SKp,uaiyRyptf.~t989.~y,iä б.-С.815-818.

Ъ, Пачугов СЛ. Относительная константа Шга пространства

¿р //jfcp.uaWPH.-1990,-1)2,Jg 1,-С,122-125. ft. Пичутов O.A. Об отделимости множеств гиперплоскоотью в ¿rJ( А*лfyU О1931,-17,Й 1.-0.21-33.,

5. Вичугов С.А, Сценки норм операторов, непрерывных по мере// Ват. заметки .-Ш! .-50,1 1.-с.Ш-1<!а,

6. ftciaißm- i. А, ТшмЯл&к büxuuaivt уиы&и, ¿¡0J

пчёиг ifAUi // Анй&Жд UläJhmA teca , „

- (8 ,#5.- А

Гичугов O.A. ^интерполяция в'задачах р&йионь-ш'Л'о кфисЬ лижеяпя ^ункций//Укр.мат.яурн.-1992,<t...жЭ^Т, -Пичугов С.А. Последовательности ограр.ичышчч гч itfpé ьпе-ратсров//Докл. рЪ.-Т<т;-33<|',№',...л ... Пичугов С.Л. Последовательности ограничению nu i cot> tis-PAÍOPOB// Мат,Ort.-1^94,-165,.'5 I,G.ft3-?2. ч •

'Г

Шдп. до друку t5*<'3 'М . Оормат 60x24/16. lîanip ц>уи. Друк. Ум. док. щъ.ХЗУ ■ Ум faptío-BiíO.'^iy . Ce';; niv../^ Тираа/£'0 лр. Sau.J/0 Беэкошточни.-

Вхдцрукованс я 1нстятуп- математики Ali УкраХкк ' .. ... 252601 íftrtB 4. ГОЛ, - вуя.Тарешвюйваька, 3 ..