Некоторые интегральные характеристики уровней гладких отображений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Предварительные сведения и обозначения

Глава I. £ -выпуклые области

§1. £ -прямые пути и £ -выпуклые области.

§2. Разрезание ограниченной области цилиндрической поверхностью.

§3. Многочлены и результанты.

§4. Доказательство теоремы 8.

Глава 2. Полиномиальные отображения

§1. Окрестность регулярного уровня.

§2. Некоторые множества в пространствах многочленов

§3, Доказательство теоремы 9.

§4. Образ алгебраической области при полиномиальном отображении

Глава 3. Некоторые сведения из линейной алгебры.

§1.Углы между плоскостями в конечномерном пространстве

§2. Якобианы отображений, действующих меяду пространствами разных размерностей.

§3.Некоторые свойства линейно независимых систем векторов в конечномерном эвклидовом пространстве.

§4. Некоторые оценки снизу значений линейных отображений

Глава 4. Доказательство основной теоремы.

§1. Три вспомогательных леммы.

§2. Доказательство теоремы.

Глава 5. Другие результаты.

§1. Случай

§2. Интегрирование площади сферического отображения уровня гладкой функции.

§3. Отображения из R/ в R/*\.

§4. Пример.

Индикатрисой Банаха числовой функции f называется функция , значение которой в точке J равняется числу корней уравнения . Известная теорема Банаха об индикатрисе утверждает, что если £ - непрерывная функция, то

VCiHjvU^ ще V(^) - вариация функции f . В частности, если f - непрерывно дифференцируема на R. и имеет компактный носитель, то

I)

Легко доказать, что для любого р>Д и для любой функции класса С/ с компактным носителем справедливо неравенство:

Понятие индикатрисы можно обобщить. Именно, если отображение £ действует из Я в R. , то через обозначим число компонент связности уровня E(-fiJj)r f&o-jjj • Заметим, что при rt= ft, и регулярном значении tj, число компонент связности уровня Ну,^) совпадает с числом решений уравнения -[(х)^ . Возникает вопрос о том, можно ли обеспечить выполнение неравенств (I) и (2) требованием £ £ С на отображение £ с компактным носителем. Введём в связи с этим следующее обозначение. Пусть <| -натуральное число, » М и f -положительные числа. Дудем говорить, что отображение -f принадлежит классу if) Л

C0 (л, M, f) , С- <f + t , если оно действует из R, в

ЯК , имеет частные производные порядка <f , удовлетворяющие условию Гёльдера порядка £ с константой М , и, наконец, если носитель отображения f содержится в шаре радиуса f . Если точные значения констант М и f для нас несущественны, / Q. s то ш будем писать вместо

Интерес к вопросу о сходимости интеграла (2) возник в 50х годах в связи с введением А. С. Кронродом и А. Г. Витушкиным понятия вариаций функции нескольких переменных. Так, Витушкин доказал, что при К = 1 и 1ъп интеграл (I) сходится ( qhl.CZ]). Л. Д. Ивановым было доказано, что при К - 1 и произвольном ръ 1 требование /у> является достаточным для сходимости интеграла (2) (см. [5]).

В работе [8] А. Б. Мерковым было доказано, что интеграл (2) сходится при К = п , ръ 4 и t>Zn(p-i) . В работе [3] был получен более точный результат, обеспечивающий сходимость интеграrn.p-n+4)f>>i ла (2) при (С=п. и С ' 1 . Там же была доказана

L л сходимость интеграла (I) при произвольном ti ± и

В работе [15] И. Иовдину удалось доказать сходимость интеграла (2) при произвольных п , п. и ръ 1 при условии I > (f>+4.)n - ьс + i . Он вывел этот результат из оценки £-энтро-пии множества критических значений отображения / (см. С14]). Тот факт, что требование на гладкость у Иовдина не является оптимальным, в то время как оценка энтропии у него наилучшая, показывает, что связь между энтропией множества критических значений отображения / и сходимостью интеграла (2) носит довольно сложный характер.

Интересным является вопрос о минимальном требовании на гладкость, обеспечивающем сходимость интеграла (2). Определим lO^t^iP) как точную нижнюю грань множества тех чисел I , для которых условие £ £ С0 является достаточным для сходимости интеграла (2). Простой пример (см. §4 гл. 5) позволяет оценить величину снизу ( р>, I ): р) (п-К+l)р (3)

Перечисленные выше результаты позволяют оценить константу l(ri'f6>p) сверху, что в сочетании с неравенством (3) даёт: U^^'P) ~ ( Витушкин, Иванов). р < 1(*>,плр) < Zn(p-i) ( Мерков). njр)=р при и р* 4 при 1Улевич). С(ъ £ ( Иовдин).

Основным результатом настоящей диссертации является доказательство следующей теоремы. р

Теорема!. Пусть /б Ц . t>р * .

Тогда

Доказательство этой теоремы опубликовано в работе [Q. Теорема I позволяет установить точное значение константы в случае п - к. : - f3 . Таким образом, для этого случая остаётся пока открытым вопрос о достаточности условия t~для сходимости интеграла (2). Однако, если р £ Z , то положительный ответ на этот вопрос даёт уже упоминавшийся результат из работы [3J:

Теорема 2. Пусть fC С f t j4 2, .

Тогда [l^ih^Y1^

Приведём некоторые соображения, поясняющие интерес к исследуемому вопросу. Так как величина может стремиться к бесконечности лишь при приближении tj ко множеству критических значений отображения -f , то можно трактовать как некоторую характеристику регулярности уровня В• Определим некоторые другие величины, которые такяе характеризуют регулярность уровня Е •

1) d(f,tj) = jzfy, Qf) - расстояние от точки £ до множества критических значений отображения -f

2) mQ,^) - минимальное значение Якобиана отображения f в точках уровня £(-ft<g)

3) Щ) = Нл -к (E(-fjjJ) - (п-/г) -мерная мера Хаусдор-фа уровня £(-fjj) .

Какова связь между этими величинами?

- /i

В работе £157 доказывается оценка ft]

Если П = hС и g - ре1улярное значение отображения f , то

Следующая теорема устанавливает связь между и М(fg) при /г- К .

Теорема 3. Пусть - произвольное число, t> р , f € Cffort-) • Пусть ос±). - произвольный набор решений уравнения . Товда среди точек х*/ найдётся точка х такая что JltS-fC*) 6 J/F1 .

Следствие.

Теорема 3 допускает следующую интерпретацию.

Теорема 3*. В условиях теоремы 3 справедлива оценка:

При рассмотрении величины встаёт вопрос о том, какое требование на гладкость отображения -f обеспечивает выполнение неравенства: < ^ (4)

К этому вопросу впервые обратились А. С. Кронрод и Е. М. Ландис. Кронрод дал его решение при ri~ I , к,= р = 1 (см. Ландис - при yi~ Z , 1 , 1 - произвольном (см. [7]).

Впоследстви выяснилось, что используя понятие вариаций ( а именно то обстоятельство, что т.-мерный объём ^чяерной поверхности совпадает с её wi-й вариацией), задачу о сходимости интеграла (4) легко свести к частному случаю отображения, действующего из 11 в И . Впервые такого рода доказательство дал Витушкин в работе {.2]. Но так как в случае п= функция совпадает с функцией то простым следствием теоремы I является следующий результат: с

Теорема 4. Пусть ^ £ С0 (и 1 $ р <: Ь

Тоща J ^ оо .

Простые примеры показывают, что при > t эта теорема неверна.

Ещё одно соображение, быть может самое главное, которое стимулирует интерес к случаю чь- К, .А именно, хорошо известна формула J МШ 9 (/(*)) d* = f ЯЫ

UL Q ° являющаяся обобщением формулы замены переменных для случая невзаимнооднозначного отображения £ (см. [13], теорема 3.2.5). В связи с использованием этой формулы иногда возникает вопрос об интегрируемости функции со степенью р . Следствия, приведённые в главе 5 настоящей работы, могут дать некоторое представление о возможных применениях основного результата. Перечислим эти следствия.

Теорема 5. Пусть $ Q. С0(^> 1) , и

Определшл ^СЦ) как площадь сферического отображения поверхности ( ^ - регулярное значение ).

Тогда J6^) ^ ^ 00

Теорема 6. Пусть £ € С^Чи-, 1) , l> ^

Тогда <

Заметим, что теорема 6 - это несколько ослабленный результат Витушкина, упоминавшийся выше.

Теорему 5 удаётся обобщить на случай отображения £ , действующего из ЙЛ в (см. теорему 5.3 ). Следствием этой теоремы является следующий результат.

Теорема 7. Пусть | £ Cj , t> ^i.

Тогда схз

Завершая разговор о применении понятия индикатрисы Банаха, укажем на работу [9], в которой изучается классический случай функции одного переменного. Там же можно обнаружить ссылки и на другие работы, касающиеся этого случая.

Основным техническим средством, используемым для доказательства теоремы I, являются следующие две теоремы, которые, на наш взгляд, интересны и сами по себе.

Теорема 8. Пусть - многочлен от и- переменных с действительными коэффициентами, d - положительное число,£"-{*:С? Тогда найдётся многочлен , удовлетворяющий условиям:

1. Степень GL зависит только от \п~ , £ и степени многочлена Q,

2. .

3. Для каждой ограниченной компоненты множества N Е" каждая из компонент множества Я^л \ '• 0.6с) = оказывается -выпуклой вСЗ , т. е. любые две её точки можно соединить -путём, лежащим в и обладающим тем свойством, что множество касательных направлений к этому пути образует в единичной сфере множество диаметром не больше %t .

Теорема 9. Пусть GL - многочлен от rt переменных с действительными коэффициентами, й - ограниченная компонента множества : , А - . х^} с ^

Тогда для почти всех полиномиальных отображений Ч'-С'Т .Тп), не имеющих на Q критических точек, найдётся многочлен Q. , степень которого зависит лишь от кг и степеней многочленов Ф, Т1! . ТЛ и для которого выполнены следующие условия: а. | •

1. ДО (х: §(х.)-о) = 0 .

2. I4m[||x: х j] для всех j = d,. а/

3. Отображение Т однолистно на каждой компоненте множества

• О, (х) ^ 0 ^г , содержащейся в

В настоящее время за рубежом появилось довольно много работ, посвящённых изучению свойств полуалгебраических множеств (см.

12]). Интересно взглянуть на теоремы 8 и 9 в свете этих работ.

Приведём теперь расположение материала по главам. В главе I доказывается теорема 8. В главе 2 доказывается теорема 9.

В главе 3 строится некоторая техническая конструкция, используемая при доказательстве основной теоремы. В главе 4 доказываются теоремы I, 3, З1. В главе 5 доказываются теоремы 2, 4 - 7 и строится пример.

Подводя итог вышесказанному, хочется отметить, что результаты диссертации могут быть использованы в различных областях теории функций нескольких действительных переменных а также при изучении полу алгебраических множеств и полиномиальных отображений.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах в Калининском, Московском и Ленинградском Университетах, а также на конференциях в Калининском государственном университете.

В заключение автор хочет выразить благодарность своему научному руководителю Л. Д. Иванову и всем, кто принимал участие в обсуждении результатов диссертации.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОБЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

В диссертации без дальнейших ссылок используются следующие факты.

1. Теорема Сарда, утверждающая, что множество критических значений отображения ft С , t>r*w«.(il»t-x.+i) , имеет меру нуль (см. [10]).

2. Следствие из теоремы Петровского - Олейник, утверждающее что разность двух алгебраических множеств в R.*1 не может иметь число компонент связности, превосходящее некоторую константу, зависящую лишь от к, и степеней многочленов, задающих это множество.(см. [12]).

3. Некоторые сведения из алгебраической геометрии (см. [I], [II]) и полилинейной алгебры (см. [13]) в минимальном объёме.

Перечислим обозначения, используемые наиболее часто. означает модуль определителя матрицы Якоби отображения

Lj^.-.e^ -подпространство, натянутое на векторы . . — vyv -мерная мера Хаусдорфа. {\-сужение отображения £ на множество А Р^ - ортогональная проекция на подпространство U .

- компонента связности множества А , содержащая связное множество Ь .

L1 - ортогональное дополнение к множеству L , при этом вместо ly^1 будем писать u ^ .

- единичная сфера в Я^ с центром в начале координат.

1. Брёкер Т. Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977.

2. Витушкин А. Г. О многомерных вариациях. М.: ГТТИ, 1955.3. 1улевич С. А. О достаточном условии интегрируемости индикатрисы Банаха гладкого отображения.- Изв. АН СССР. Сер. матем., 1983, т. 47, й 5, с. III4-II34.

3. Гулевич С. А. Об интегрируемости индикатрисы Банаха гладкого отображения.- Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т. 48, № 4, с. 676-704.

4. Иванов Л. Д. Вариации множеств и функций, М.: Наука, 1975.

5. Кронрод А. С. О функциях двух переменных. УМН, 1950 , 5, J6 I, с. 24-134.

6. Ланд и с Е. М. О длине линий уровня функций двух переменных.-ДАН СССР, 1951, 79, В 3, с. 393-396.

7. Мерков А. Б. О некоторых свойствах гладких отображений.-Вестник МГУ. Сер. матем., 1979, $2, с. 63-69.

8. Севастьянов Е. А. Наилучшая кусочно-монотонная аппроксимация и индикатриса Банаха. Мат. заметки, 1979, 26, М,с. 77-87.

9. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

10. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии, т. I -3. М.: ИЛ, 1954, 1955.

11. Cos-te, М , ЕV4.Sе»" iUs Semi. яХ^еъ rlc^weS. -Ucl. Volt's Maik.; ig#Z9 3f9j i03

12. F^cLer-er* \\. Greome-irix ifvceo-sure, -LKeor'j. fteftin.:SprW^r, И 69.

13. Yo*ioLvu V. TWe (jeowie-trij crCtlca^ an<k nAxxf-orCtlca?, vaunts o^- cU-f-fere^-LCa&Le. ma|»pCiags. bW^-AwS ШЪ, Zfe^, 495"-515.

14. Vo*vcU/i Y. Grto feat louvicLS -for -bke веШ /ил^гь Max- Ptay^X-- Us-tctu-t Jjar Ma-fcViema-U*, 13*3, preprintМРТ/ьрь яь-зъ.