Геометрия псевдооктавных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи Кузуб Наталья Михайловна

ГЕОМЕТРИЯ ПСЕВДООКТАВНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Специальность: 01.01.04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ 2004

Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Иркутского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Павел Яковлевич Грушко Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Вадим Васильевич Шурыгин, кандидат физико-математических наук, доцент Владимир Иванович Паньженский Ведущая организация: Московский государственный университет

имени М.В. Ломоносова, механико-математический факультет

Защита состоится 2 декабря 2004 г. в 12.30 час. на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при Казанском ордена Ленина и Трудового Красного Знамени государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул.Кремлевская, 18, КГУ, механико - математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан ^ 2004 года'

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.ф.-м.н., доцент уМ-т ^__ Малахальцев М.А

2005-4 2Ш2>

914115

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время структурными группами G-¡ интересуются как у нас в стране, так и за рубежом, например, работы Th. Friedrich и его соавторов 1, F. M. Cabrera2, D. Joyse3, A. Gray4, I. Kath5 и другие.

В семимерном пространстве эта геометрия наиболее подходящая для исследования, так как в случае маленьких структурных групп касательные пространства многообразий и подмногообразий чрезмерно неизотропны. В то же время в случае большой структурной группы, например SL(7), имеется мало инвариантов. В случае произвольной размерности ортогональная и конформная группы наиболее оптимальны в этом смысле. Но в семимерном пространстве исключительное значение имеют компактная форма и нормальная некомпактная форма группы Ли . Эта группа удобна также с точки зрения использования необходимых компьютерных вычислений потому, что другие особые группы (такие как размерности 52 со стандартным представлением размерности 26) требуют значительно более долгих и сложных вычислений.

В большинстве случаев -структуры рассматриваются на семимерных римановых многообразиях. Значительно реже эти структуры рассматриваются на псевдоримановых многообразиях. Например, в работе

1 Th. Friedrich, I. Kath, Л. Мотали, V. Semmelmami. On nearly parallel Go-structures. // J. Geom.

Phys. 23,1997.- no. 3-4, p. 259-286.

-F. M. Cabrera. On Riemannian manifolds with GVstruuture. // Bolletino U.M.I. (7) 10-A, 1996,- p.

99-112.

3D. Joyse. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy Gj. // I, J. Differential Geom. 43,1996.-p. 291-375.

4M. Fernande:, A. Graj. Rimanniam Manifolds with Structure Group C?. // Ann di Math. Pura ed Appt. 32, 1982- p. 19-45.

57. Kath. £?j-Stuctures on pseudo-Riemanuian manifolds. //J.Geom.Phys., 27, 1998.-p. 155-177.

I. изучаются почти параллельные С-2-структуры на псевдорпма-

новых многообразиях сигнатуры (3,4).

Дифференциальная геометрия семимерных многообразий и различных подмногообразий (кривых, поверхностей, гиперповерхностей и так далее) в пространствах со структурной группой очень богата по сравнению даже с обычной октавной геометрией. Это связано с тем, что стандартное семимерное представление этой группы имеет более сложную структуру пространства орбит из-за наличия изотропных векторов и изотропных подпространств. Тем более это относится к линейным многообразиям различных размерностей.

Поэтому вполне естественным является изучение пространств не только с фундаментальной группой , но и с фундаментальной группой

Основной целью работы является изучение геометрии подмногообразий в семимерном пространстве, структурной группой которого является особая некомпактная группа Ли (нормальная форма комплексной группы Ли

Методы исследования. В исследовании использованы методы классической дифференциальной геометрии, включая метод внешних форм Картана и метод подвижного репера, а также техника линейной и полилинейной алгебры и теории групп Ли.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми: рассматривается и обобщается на случай произвольного нечетномерно-го пространства с изотропным базисом матричная реализация алгебры развивается теория подмногообразий различных размерностей в семимерном пространстве со структурной группой

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории подмногообразий семимерных пространств, снабженных структурами октавного типа.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Всероссийской молодежной научной школе-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре (Казань, 1998 г.), на вузовской конференции "Студент и научно - технический прогресс"(Иркутск, 1998 г.), на Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе (Иркутск, 1999 г.), на Международном конгрессе по дифференциальной геометрии памяти Альфреда Грея (Spane, Bilbao, 2000 г.), на Всесибирском конгрессе женщин-математиков (к 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2000 г.), на международной конференции "Математика в Восточных регионах Сибири: социокультурный аспект, ведущие тенденции развития, научные коммуникации и подготовка кадров"(Улан-Удэ, 2000 г.), на четвертом Международном математическом симпозиуме "Symbolic computations. New horizons"(Japan, Tokio, 2001 г.), на международной конференции по геометрии и топологии (Украина, Черкассы, 2001 г.), на Международном конгресс математиков (China, Beijing, 2002 г.), на II Всесибирском конгрессе женщин - математиков ( в день рождения СВ. Ковалевской) (Красноярск, 2002 г.), на международной конференции-школе по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова (Новосибирск, 2002 г.), на Второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе

(Иркутск, 2003 г.), на семинарах кафедры алгебры и геометрии ИГУ (199б-2004гг.), на геометрическом семинаре Казанского государственного университета (2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из 103 наименований и приложений. Работа изложена на 136 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении делается исторический обзор основных идей и методов, которые впоследствии и привели к возможности рассмотрения геометрии псевдооктавного пространства. Также ставится цель исследования, обосновывается актуальность и научная значимость работы, кратко характеризуется ее содержание.

В первой главе рассматривается алгебра октав, элементами которой являются гиперкомплексные числа (числа Кэли). Группа автоморфизмов этой алгебры есть особая компактная группа Ли б^,, размерность которой равна четырнадцати. Алгебру октав можно представить в виде прямой суммы: Л • 1 ф V, где V - ортогональное дополнение к единице. Тогда V — Я7 является антикоммутативной алгеброй без единицы. При этом, в V существует базис {е^... ,£7} с таблицей умножения классической алгебры Кэли. В дальнейшем будем называть именно пространство V алгеброй Кэли.

В параграфе 1.1 рассматриваем таблицу умножения алгебры Кэли и допускаем в ней некоторый произвол, то есть варьируем знаки произведений, сохраняя предположение об антикоммутативности. В результате

получаем, что, если в таблице умножения алгебры Кэли варьировать знаки произведений, сохранив предположение об антикоммутативности, то существует 2' = 128 таких алгебр.

В параграфе 1.2 исследуется вопрос об изоморфизме полученных алгебр. При этом, предполагается, что изоморфизмы обязаны сохранять градуировку. По предположению, в таблице умножения алгебры Кэли знаки произведений не зафиксированы, то есть где

коэффициенты а функция определяется по прежнему

закону из таблицы умножения. Рассматривается множество параметров: остальные коэффициенты через них выражаются. На это множество действует группа, являющаяся полупрямым произведением групп подстановок базисных векторов и смены их направлений. В результате, получены две орбиты.

В параграфе 1.3 выясняем, чем отличаются симметричная билинейная форма .В(х,у) — Тг{ад.£,айу) для полученных выше двух алгебр.

Для первой орбиты скалярное произведение имеет сигнатуру (3,4) и индуцирует метрику семимерного псевдоевклидова пространства.

Зафиксировав знаки произведений в таблице умножения, получили алгебру, не изоморфную классической алгебре Кэли, со следующей таблицей умножения:

Эта таблица умножения соответствует обобщенной алгебре Кэли-Диксона.

Аналогично, рассматривая вторую орбиту, получаем с точностью до знака евклидову метрику семимерного пространства. Зафиксировав знаки произведений, определяем таблицу умножения, которая совпадает с таблицей умножения классической алгебры Кэли.

Таким образом, существует только две неизоморфных между собой алгебры. Первая алгебра является классической алгеброй Кэли. Вторая алгебра менее известна. Это алгебра Кэли-Диксона. Умножение в этой алгебре индуцирует векторные и скалярные произведения в семимерном псевдооктавном векторном пространстве, то есть получаем псевдооктавную геометрию. В работе рассматривается только алгебра Кэли-Диксона. Группой её автоморфизмов является группа Ли размерности 14. Ей соответсвует алгебра Ли

В параграфе 1.4 рассматривается матричная реализация алгебры Ли д% как в ортогональном, так и в изотропном базисах.

Базис пространства V, полученный следующим образом:

будем называть изотропным, в том смысле, что = 0, \ ф 4. При этом, т\ = —1, (ть т^) = 2, (тц, та) = 2, (тз, т7) = 2, остальные произведения равны нулю.

Матричную реализацию алгебры в изотропном базисе обозначим д<1- Доказана

Теорема 1.1. Алгебра Ли может быть представлена тройками (В, А, ц) такими, что\, ¡л, £ В 6 5/(3), причем закон умножения

задается формулой:

[№, Ль /ч), (В2, А2, /¿г)] = = ([Вь Вг] + 3(А1 © /£) - 3(А2 0 - (Аь ^ + (Л2, 2[Ц2, /11] + В1А2-Я2Аь 2[Аь А■2)~В1цг + В1ц1).

В параграфе 1.5 выясняем, как далеко можно обобщить эту конструкцию в случае произвольного нечетномерного пространства.

Рассматривается (2n+1)-мерное пространство V, которое разлагается в прямую сумму подпространств - две копии n-мерного пространства с невырожденной симметричной билинейной формой (,), так что и* можно считать пространством, сопряженным к U. Предполагается также, что в U, а потому и в V*, задан антикоммутативный закон умножения [,], для которого выполняется тождество Якоби. Я - одномерное пространство. Элемент пространства V представляет собой тройку элементов (и, 1, V), где и £ V, < £ Й, V £ I/* Предполагаем, что оператор V действует на элементы пространства V следующим образом:

где О, Я, С - некоторые константы, В - эндоморфизм линейного пространства и,\,ц - линейные функции на и.

Доказана

Теорема 1.2. Пусть множество таких матриц, в котором векторы \,ц пробегают все пространство и, а матрица В пробегает некоторое подмножество Б, образует алгебру Ли. Тогда

1) при п = 1 возможны следующие случаи алгебр матриц вида

a) присоединенное представление алгебры «/(2) :

'по1

ц О А ,

^ -к

b) трехмерная разрешимая алгебра:

'по1 О сь о , ,0 ц -Ь,

где С - константа.

2) если алгебра Ли II некоммутативная, а п = 3, то имеем алгебру Ли матриц вида

В А — айц ецТ 0 еЛг , кайл ц -Вт у где е = ±2, В пробегает алгебру «/(3). При этом умножение [,] является векторным произведением евклидова или псевдоевклидова пространств, а умножение {,) - скалярным произведением в этих пространствах.

3) если алгебра и некоммутативная, то для любого п > 1 матрицы вида

В А —айц ООО, к ас¡х р. -ВТ ;

образуют алгебру Ли. при условии, что в алгебре Ли и выполня-

ются следующие условия:

H*,tM = О,

[Вх, у] + [х, Ву) + ВТ[х, у] = О,

где x,y,z £ U.

4) если алгебра U коммутативная, то для любого п > 1 алгебру Ли образуют только матрицы вида

'в X о N

О С-Тг{В) О

[о „

где В пробегает все множество gl(n), С = const.

Дифференциальная геометрия семимерных многообразий и различных подмногообразий (кривых, поверхностей, гиперповерхностей и так далее) в пространствах со структурной группой очень богата по сравнению даже с обычной октавной геометрией. Это связано с тем, что стандартное семимерное представление этой группы имеет более сложную структуру пространства орбит из-за наличия изотропных векторов и изотропных подпространств. Тем более это относится к линейным многообразиям различных размерностей. Например, к трехмерным подмногообразиям, касательные пространства которых образуют подалгебры. Также имеются двумерные подмногообразия, чьи касательные пространства вполне изотропны. Конечно, простейший случай - это одномерный случай (теория кривых).

Во второй главе развивается теория одномерных многообразий семимерного псевдооктавного пространства, то есть кривых.

При исследовании кривых используется метод внешних форм Карта-на для фиксации репера. Далее находятся инварианты, определяющие

кривую и доказываются основные теоремы для различных типов кривых.

В параграфе 2.1 рассматриваются неизотропные кривые. Производится канонизация репера, находятся вычислительные формулы, доказывается основная теорема, описываются некоторые кривые с постоянными кривизнами; рассматриваются проекции пространственных кривых в трехмерное соприкасающееся подпространство для того, чтобы охарактеризовать некоторые инварианты в классических терминах.

Канонический неизотропной репер кривой полностью выражается через первые три производные вектор-функции, задающей данную кривую. Все инварианты, в свою очередь, определяются тремя первыми производными.

Основная теорема 2.1. .5 семимерном псевдооктавном пространстве с сигнатурой (3,4) задание произвольных гладких функций 01(5), а2(3)>аз(5)>а4(®)|а5(3)> аб(®) определяет кривую, удовлетворяющую условиям:

(гЧз))2ф 0 « О,

для которой коэффициенты а,- деривационных формул канонического репера совпадают с этими заданными функциями. Эта кривая определяется с точностью до преобразований, сохраняющих псевдооктав-ную структуру.

В параграфе 2.2 аналогично рассматриваются кривые, касательные к которым изотропны. В этом случае также справедлива основная теорема, но кривая определяется уже не шестью, а пятью гладкими функциями: а1(з),а2(5),аз(з),а4(в),а5(з).

В параграфе 2.3 производится канонизация репера кривой в изотроп-

ном базисе, находятся вычислительные формулы. В этом параграфе изучаются кривые, для которых

1) касательный вектор изотропен,

2) двумерная соприкасающаяся плоскость изотропна,

3) трехмерная соприкасающаяся плоскость изотропна, в частности, изотропны векторы

Для каждого случая доказывается основная теорема. Первый случай аналогичен случаю параграфа 2.2. Во втором случае также справедлива основная теорема, и кривая определяется четырьмя гладкими функциями: 01(4),0г(-5))аз(®)| 14(5). В третьем случае кривая определяется тремя гладкими функциями: а^), 63(5),

Полное и исчерпывающее построение теории кривых не является нашей целью. По причине неизотропности изучаемого пространства число существенно различных случаев достаточно велико.

Полученные результаты представляют определенный интерес сами по себе, но более важную роль они могут играть при изучении строения подмногообразий большей размерности, в частности, гиперповерхностей.

В третьей главе рассматриваются шестимерные многообразия, скалярный квадрат нормали которых всюду положителен, либо всюду отрицателен. Таким образом, случай изотропной нормали нами не рассматривается.

В параграфе 3.1 рассматриваются шестимерные подмногообразия с положительно определенной нормалью. Проведена канонизация репера с использованием метода внешних форм Картана.

В этом случае вектор нормали задает эндоморфизм при

X 6 Тм, касательного пространства такой, что /2 = - 1 . Поэтому на гиперповерхности можно ввести почти комплексную структуру. Более того, поскольку эндоморфизм сохраняет метрику, на гиперповерхности реализуется псевдоэрмитова геометрия.

Дано описание канонического репера. Справедливы следующие утверждения:

Утверждение 1. Кривизна нормального сечения гиперповерхности двумерной плоскостью вдоль фиксированного базисного вектора ер выражается через коэффициенты второй квадратичной формы гиперповерхности.

Утверждение 2. В сечении шестимерной гиперповерхности трехмерной плоскостью получаем двумерную поверхность, у которой первая, вторая, третья квадратичные формы, а также полная и средняя кривизны выражаются через коэффициенты второй квадратичной формы гиперповерхности.

Утверждение 3. При проектировании интегральной кривой г = г(а) такой, что г'(до) = ег^о) в фиксированной точке 50, из семимерного псевдоевклидова пространства V в трехмерное евклидово подпространство получаем кривую такую, что ее кривизна, кручение и репер Френе выражаются через коэффициенты деривационных формул: кривизна кривой к = ■/(¿и)2 + (С|з)2> кручение кривой

_ С22С232 ~ С23С222 ~ ^22 (^24^24 + ^25^25 + ^26^26 + 7^27)

(Ф' + Ш

репер Френе кривой

- с22е1 ~ ^'1зез , = С%е 1 + С^е 3

г_е2'" дасу' ТШ^Ш'

14

Вычислен тензор Нейенхейса и доказано Утверждение 4. Почти комплексная структура на гиперповерхности S является комплексной, если выполняются условия:

_Г'* 4- Г'4 4- Г'к —Гк— Гм 4- Г'3+1' л. Г,3+к — П

3+1 3+; + 3+. + 4} ~ Ч>1 + } ~ 3+( + Ч 3+; ~ °3+; » ~ - 27?, <?дя коэффициентов построенного канонического репера.

В параграфе 3.2 рассматриваются шестимерные подмногообразия с отрицательно определенной нормалью. В этом случае вводится изотропный базис псевдооктавного пространства и производится канонизация репера.

Вектор нормали задает эндоморфизм Зх, — [¿V, х], при х € Тм, касательного пространства такой, что = —ГО44.;, 1 = 1,3. Так как касательное пространство распадается на два трехмерных подпространства:

определяет структуру почти произведения на шестимерной гиперповерхности.

Вычислен тензор Нейенхейса и доказано Утверждение 5. Структура почти произведения на гиперповерхности S является интегрируемой, если выполняются условия:

ЬР — ТТЗ, для коэффициентов построенного канонического репера.

Специфика псевдооктавной геометрии состоит в том, что наряду с квадратичными формами ключевую роль в ней играют внешние дифференциальные формы, в частности, второй п третьей степени.

В параграфах 3.3 и 3.4 рассматривается погружение области в Д6, задающее гиперповерхность. В параграфе 3.3 исследуется гиперповерхность с положительно определенной нормалью, а в параграфе 3.4 - с отрицательно определенной нормалью.

Векторное произведение и скалярное произведение в семимерном пространстве образуют смешанное произведение, которое определяет антисимметричную трилинейную форму &(х,у,г) = ([х,у],г). Группой, сохраняющей форму является особая некомпактная группа Ли (нормальная форма комплексной группы Ли Пусть и С Л6 -

область и / : и —>• V - погружение такое, что 5 = /{Щ - гиперповерхность. Дифференциал индуцирует внешние дифференциальные формы ф,к второй и третьей степени на U, такие что

■ф{<1и,<1у!) = Ф(#(<Н- Ш{<1и),(11{<1и'),М),

N - нормаль гиперповерхности.

Будем называть форму Л (¿и, ¿и', ¿и"), которая является ограничением формы П на касательное пространство гиперповерхности, первой внешней фундаментальной формой третьей степени. Форму ^(¿и,(1и'), которая возникает после фиксации нормального вектора в форме и ее ограничении на касательное пространство гиперповерхности, будем называть второй внешней фундаментальной формой второй степени.

В каждой точке гиперповерхности возникает репер ,

где = - касательные векторы, N - нормаль гиперповерхности. Деривационные формулы имеют следующий вид:

Введем обозначения:

¿^Г = + Г°тНм + ТЦч]а + + Ъ]тфы + Ьктфц,

(1)

1) В параграфе 3.3 рассматривается некоторый октавный репер (неканонический) {е^,..., е7} в произвольной выбранной точке М такой, что вектор нормали N совпадает с вектором то есть N = 1. Обозначим: = П(е;,еяе*), Щ = Ф(е;,е;), где ¿, ^ к ф 1. Из таблицы умножения векторов

определены единственным образом: = 1, /¿347 = 1, /1355 —

условием кососимметричности, нулевые.

Векторы образуют репер (неканонический, неоктав-

ный) в точке гиперповерхности 5. Вводится матрица ОЬ(6), связывающая эти два репера, такая, что /,• = р°еа, а = 2,7. Таким образом, существует отображение р : II—>СЬ(6), что А (и) — ф{и) — (ф^У^ в каждой точке и поверхности 5". Группа действует естественным образом в пространстве размерность которого равна 35. Выясняем, что стационарной подгруппой, сохраняющей пару форм , является группа 5Щ1,2) размерности 8 и матрица р определяется с точностью до произвольного множителя из

2) В параграфе 3.4 репер {т(,..., т7} - некоторый изотропный репер (неканонический) в произвольной выбранной точке M такой, что вектор нормали N совпадает с вектором гтц, то есть N2 = — 1.

Обозначим h°ijk = П^т^тти), = Ф(т^,т;), где i,j,k ф 4. Из таблицы умножения векторов m;, константы е Л3Л6*, ф^ £ Л2/?6* определены единственным образом: h°m = 4, Ще7 = 4, ф^ = 2, ^26 = 2, ^зт = 2, а /i-д., V',", не связанные условием кососимметричности, нулевые.

Векторы {N = 77i4, fi} образуют репер (неканонический, неоктав-ный) в точке гиперповерхности S. Вводится матрица р = (pf) £ GL(6) такая, что fi=p°ma г,а = 1,2,3,5,6,7.

В этом случае, стационарной подгруппой, сохраняющей пару форм является группа SL(3) размерности 8, действующая в пространстве i?3® R3*, и матрица р определяется с точностью до произвольного множителя вида:

/ \ А О

О -Ат \ /

где матрица А £ sf(3), 0 - нулевая матрица.

В каждом случае построен алгоритм, позволяющий выделять представителя в каждом классе эквивалентности группы GL(б) по специальной унитарной подгруппе SU( 1,2) или по специальной линейной подгруппе SL(3). Это позволяет избавиться от произвола в выборе матрицы р. Справедлива

Лемма. Задание форм hiji, ф¡j, позволяет вычислить коэффициенты Гу, Ьу, cj из линейной системы уравнений (1).

Доказана

Теорема. Дифференциальные формы ф и Л, определенные в окрестности и произвольной выбранной точки М, удовлетворяющие структурным уравнениям и содержащиеся в орбите группы ОЬ(6). определяют погружение / окрестности точки М, образ которого является гиперповерхностью с положительно или отрицательно определенной нормалью. Это погружение определяется с точностью до изоморфизма Г(.к) = Ах + а, где А € х,а£У = й7.

Таким образом, в работе доказывается аналог теоремы Бонне для шестимерных гиперповерхностей: две внешние дифференциальные формы второй и третьей степени определяют погружение шестимерного многообразия в семимерное пространство с псевдооктавной структурой.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ:

1) Получено, что, если варьировать знаки произведений в таблице умножения классической алгебры Кэли, сохраняя предположение об антикоммутативности, то существует только две неизоморфные алгебры: классическая алгебра Кэли и менее известная алгебра Кэли-Диксона. Показано, что умножение в алгебре Кэли-Диксона индуцирует векторные и скалярные произведения в семимерном псевдооктавном векторном пространстве, то есть получаем псевдооктавную геометрию. Рассмотрена матричная реализация алгебры Ли как в ортогональном, так и в изотропном базисах.

2) Получено обобщение этой конструкции в случае произвольного нечетномерного пространства с изотропным базисом.

3) Описана теория одномерных многообразий семимерного псевдоок-тавного пространства, то есть кривых.

4) Рассмотрены шестимерные многообразия (гиперповерхности), скалярный квадрат нормали которых всюду положителен, либо всюду отрицателен.

5) Доказан аналог теоремы Бонне для шестимерных гиперповерхностей в октавнои геометрии: две внешние дифференциальные формы второй и третьей степени определяют погружение шестимерного многообразия в семимерное пространство с псевдооктавной структурой.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ;

1. Грушко П. Я., Кузуб Н. М. О псевдоевклидовом варианте алгебры октав. // Сб. научных трудов Иркутского государственного университета "Дифференциальная геометрия обобщенных пространств с фундаментальной группой".- Иркутск: ИГУ, 1998.- С. 15-29.

2. Кузуб Н. М. Кривые в псевдоевклидовом пространстве с изотропными касательными. // Сб. научных трудов Иркутского государственного университета "Дифференциальная геометрия обобщенных пространств с фундаментальной группой".- Иркутск: ИГУ, 1998.- С. 36-47.

3. Кузуб Н. М. Кривые в семимерном псевдооктавном пространстве. // "Студент и научно - технический прогресс". Сб. тезисов докладов студентов и аспирантов ИГУ.- Иркутск: ИГУ, 1998.- С. 54.

4. Кузуб Н. М. О геометрии в семпмерном пространстве с обобщенной октавнои структурой. // Материалы Всероссийской молодеж-

ной научной школы-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре.- Казань, 1998.- С. 185-192.

5. Кузуб Н. М. Репер изотропных кривых в псевдооктавных пространствах. // Труды Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе.- Иркутск: ИГПУ, 1999.- С. 182-185.

6. Грушко П. Я., Кузуб Н. М. Один класс поверхностей в октав-ном пространстве. // "Математика в Восточных регионах Сибири: социокультурный аспект, ведущие тенденции развития, научные коммуникации и подготовка кадров". Материалы международной конференции.- Улан - Удэ, 2000.- С. 151-152.

7. Кузуб Н. М. Обобщение алгебры дифференцирований октав. // Тезисы докладов Всесибирского конгресса женщин-математиков ( к 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской). - Красноярск, 2000.-С. 110.

8. Grushko P.Ja., Kouzoub N.M. About pseudohermitean submanifolds in octonion space. // International Congress on Differential Geometry in memory of Alfred Gray.- Spane, Bilbao, 2000.- p. 55-57.

9. Грушко П. Я., Кузуб Н. М. Структура почти произведения на шестимерных подмногообразиях алгебры обобщенных октав. // Тезисы докладов международной конференции по геометрии и топологии. -Украина, Черкассы: ЧИТИ, 2001.- С. 32-33.

10. Grushko P.Ja., Kouzoub N.M. About pseudohermitean submanifolds in octonion space. // Proceedings of the fourth International Mathema-

tical Symposium "Symbolic computations. New horizons". Japan, Tokio, 2001.- p. 269-276.

11. Кузуб Н. М. Шестимерные подмногообразия алгебры об- обыденных октав. // Тезисы докладов II Всесибирского конгресса женщин-математиков ( в день рождения СВ. Ковалевской).- Красноярск, 2002.- С. 115-116.

12. Грушко П. Я., Кузуб Н. М. Геометрические структуры, индуцированные на гиперповерхностях псездооктонионных пространств. // Тезисы докладов международной конференции-школы по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002.- С. 44.

13. Kouzoub N. М., Grushko P. Ja. Bonnet Theorem in Octonion Geometry. // Abstracts of short communications and poster sessions of International Congress of Mathematicians. -China, Beijing, 2002.- p. 66-67.

14. Кузуб Н. M. Аналог теоремы Бонне в псевдооктавном пространстве. // Труды Второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе.- Иркутск: ИГПУ, 2003.- С. 103-107.

15. П. Я. Грушко, Н. М. Кузуб. Геометрические структуры, индуцированные на гиперповерхностях псевдооктонионных пространств. // Труды по геометрии и анализу.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2003.-с. 242-255.

Подписано в печать 20.10.04. Бумага офсетная. Формат 60 х 84 1/16. Усл. -печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ

Издательство ГОУ ВПО «Иркутский государственный педагогический

университет», г. Иркутск, ул. Нижняя Набережная, 6.

»20 26 4

РНБ Русский фонд

2005-4 21683

Введение

1 Строение и геометрические свойства структурной группы

1.1 Тождество альтернативности

1.2 Изоморфизмы градуированных алгебр

1.3 Форма Киллинга.

1.4 Алгебра Ли д^.

1.5 Обобщенная алгебра.

2 Кривые в псевдооктавном пространстве

2.1 Неизотропные кривые псевдооктавного пространства

2.2 Кривые псевдооктавного пространства с изотропными касательными

2.3 Изотропные кривые псевдооктавного пространства с вполне изотропными соприкасающимися плоскостями.

3 Гиперповерхности в псевдооктавном пространстве

3.1 Шестимерные подмногообразия с положительно определенной нормалью.

3.2 Шестимерные подмногообразия с отрицательно определенной нормалью.

3.3 Погружение, задающее поверхность с положительно определенной нормалью

3.4 Погружение, задающее поверхность с отрицательно определенной нормалью

Еще в начале XIX века возникла идея о классификации геометрических дисциплин не только по типу исследуемых объектов или по аппарату исследования, но и по подлежащим изучению свойствам геометрических объектов. Однако точную формулировку эта идея получила лишь в так называемой ''Эрлангенской программе"Ф. Клейна, в которой устанавливается, что в каждой геометрической дисциплине должны изучаться те свойства фигур, которые инвариантны относительно соответствующей группы преобразований. Первоначально эта программа рассматривалась как основная программа развития дифференциальной геометрии. Но идеи Ф. Клейна не смогли охватить всех аспектов развития геометрии.

В своей знаменитой лекции '' О гипотезах, лежащих в основании геометрии" немецким математиком Б. Риманом была предложена плодотворная идея "'многообразия''. Этим было положено начало новой геометрии. Сейчас риманова геометрия является очень важной и достаточно разработанной частью дифференциальной геометрии многообразий. Дифференциальная геометрия многообразий изучает различные инфи-нитезимальные структуры на многообразии и их связи со структурой самого многообразия.

Работами С. Ли и В. Киллинга было положено новое перспективное направление в исследовании римановых пространств. Предметом исследования этих пространств становится изучение группы Ли, которая является группой движений этих пространств. Римановы пространства часто обладают достаточно богатой группой движений, и это оказывается очень полезным при их исследовании. Если группа движений действует транзитивно, то изучение геометрии этих пространств можно свести к вопросам теории групп Ли. В свою очередь, описание группы Ли в значительной части сводится к изучению соответствующей алгебры Ли инфинитезимальных движений, определяемых как поля скоростей однопараметрических подгрупп этой группы.

Хотя идея Ф. Клейна, когда рассматривается G-пространство, то есть множество вместе с заданной группой G его преобразований, оказалась недостаточно полной для описания различных геометрий - но она, в свою очередь, сыграла важную роль в дифференциальной геометрии многообразий. Если группа G действует транзитивно на каком-то множестве, то возникает однородное пространство. Изучение геометрии таких пространств, наиболее богатых различными геометрическими инвариантами, сводится к всестороннему описанию соответствующей группы Ли. Многие инфинитезимальные структуры на многообразиях, такие как тензорные поля различного типа, появились как инварианты группы движений того или иного однородного пространства.

Основы алгебраической теории групп Ли были заложены Э. Карта-ном, который построил теорию представлений полупростых групп Ли, еще теснее связал группы Ли с дифференциальной геометрией, создав так называемый метод внешних форм, который позволил ему разрешать проблему совместности уравнений Пфаффа. В дифференциальной геометрии многомерных пространств им дан метод подвижного репера, который в соединении с методом внешних форм является эффективным и в определенном смысле универсальным средством решения проблем локальной дифференциальной геометрии. Вопрос о существовании решения систем уравнений, рассмотренных Картаном, играет ключевую роль при доказательстве основных теорем, описывающих различные классы геометрических объектов.

Можно сказать, что развитие локальной дифференциальной геометрии пространств происходит уже около трехсот лет. В процессе ее развития усложняются изучаемые в ней геометрические объекты, совершенствуются ее методы. На ее основе путем обобщений и аналогий построены и современная "геометрия в целом", и, так называемая, глобальная геометрия. Глобальная геометрия изучает не только пространства произвольной размерности и многооборазия весьма сложного устройства, но и, более того, в ней происходит разрыв с принятым ранее соглашением ограничиться рассмотрением свойств пространств в достаточно малой окрестности точки (локальность). "Геометрия в целом" сводит до минимума требования гладкости, то есть дифференци-руемости функций, которыми она оперирует.

Тем не менее, классическая дифференциальная геометрия сохраняет большое значение и как отправная точка для обобщений и аналогий, и как объект для апробирования новых методов, поскольку она теснейшим образом связана с многочисленными прикладными проблемами. Вот почему и сейчас многие геометры во всем мире продолжают разработку проблем локальной дифференциальной геометрии.

При решении проблем локальной дифференциальной геометрии используется метод внешних форм Картана. Это метод, созданный Э. Кар-таном [35], [36], [37], [38], включает в себя использование внешних форм в теории подвижного репера. С. П. Фиников подробно описал его в своей монографии [75]. Эта монография и сейчас популярна среди геометров, использующих метод внешних форм Картана в своей работе. Позднее было предложено более современное изложение этого метода. Многие авторы, например, А. М. Васильев [10], [11], М. Haimovici [95], выделяли алгебраическую основу метода, другие, например, Г. Ф. Лаптев [52], [53], [54], расспространяя его на весьма общие геометрические теории, отказались при этом от первоначальной идеи - полной канонизации репера, немедленно приводящей к полной системе инвариантов, ограничились разысканием систем величин (геометрические объекты, тензоры и так далее), не являющихся инвариантами, но позволяющих конструировать последние, не проводя до конца канонизацию репера.

К сожаления эти исследования так и не получили монографического оформления.

Следует отметить, что наиболее полное и доступное изложение этой темы приведено в работах Р. Н. Щербакова [82], [83], [85], которые, с одной стороны, содержат более современное и более простое изложение основных идей метода Картана, а с другой - показывают его применение на сравнительно простом геометрическом материале.

В данной диссертационной работе метод внешних форм Э. Картана используется при канонизации репера наиболее важных геометрических образов - кривых и гиперповерхностей в семимерном пространстве, структурной группой которого является группа Группа является особой простой некомпактной группой Ли (нормальной формой комплексной группы Ли

Вообще говоря, интерес к структурным группам G2 проявляют во всем мире. В большинстве случаев &2-структуры рассматриваются на семимерных римановых многообразиях. Например, в работах Th. Fried-rich и его соавторов [92], а также в работах F. М. Cabrera [88], [89], D. Joyse [97], [98], A. Gray [91]. Значительно реже эти структуры рассматриваются на псевдоримановых многообразиях. Тем не менее в работе I. Kath [99] изучаются почти параллельные (?2структуры на псевдоримановых многообразиях сигнатуры (3,4).

В семимерном пространстве эта геометрия наиболее подходящая для исследования, так как в случае структурных групп малой размерности касательные пространства .многообразий и подмногообразий чрезмерно неизотропны. В то же время в случае большой структурной группы, например 5Х(7), имеется мало инвариантов и геометрия оказывается малосодержательной. В случае произвольной размерности ортогональная и конформная группы наиболее оптимальны в этом смысле. Но в семимерном пространстве исключительное значение имеют компактная форма и нормальная некомпактная форма группы Ли G2. Эта группа удобна также с точки зрения использования необходимых компьютерных вычислений потому, что другие особые группы (такие как F\ размерности 52 со стандартным представлением размерности 26) требуют значительно более долгих и сложных вычислений.

Поэтому вполне естественным является интерес к углубленному изучению пространств не только со структурной группой G2, но и со структурной группой GI

Целью диссертационной работы является изучение геометрии подмногообразий в семимерном пространстве, структурной группой которого является особая некомпактная группа Ли G£ (нормальная форма комплексной группы Ли G^)

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложений.

1. А. Барут, Р. Рончка. Теория представлений групп и её приложения. Т.1, М.: Мир, 1980.

2. А. Барут, Р. Рончка. Теория представлений групп и её приложения. Т.2, М.: Мир, 1980.

3. Р. Бишоп, Р. Криттенден. Геометрия многообразий. М.: Мир, 1967.

4. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Главы I—III. М.: Мир, 1976.

5. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Главы IV-VI. М.: Мир, 1972.

6. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Главы VII-VIII. М.: Мир, 1978.

7. Я. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. Глава IX. М.: Мир, 1986.

8. Я. Бурбаки. Элементы математики. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра. М., 1962.

9. Б. Л. Ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1979.

10. А. М. Васильев. Диффернциальная алгебра как аппарат дифференциальной геометрии. // Труды геометрического семинара ВИНИТИ, 1, 1966, 33-62.

11. А. М. Васильев. Инволютивные дифференциальные алгебры. // Сибирский матем. ж., 9, №4, 1968, 757-772.

12. М. В. Васильева. Бесконечные группы Ли и их геометрические приложения. М., 1975.

13. Е. Ю. Веремеенко, П. Я. Грушко. О некоторых геометрических объектах в семимерном пространстве с фундаментальной группой G1. // Известия вузов. Матем., №7, 1995.

14. Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: Эдиториал УРСС, 1995.

15. И. П. Волобуев, Ю. А. Кубышин. Дифференциальная геометрия и алгебры Ли и их приложения в теории поля. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

16. Р. М. Гейделъман. Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах. // Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965. М., 1967.- С. 323-374.

17. Г. Георгиев. Замечания в связи с Картановской теорией подвижного репера и с ее некоторыми приложениями. // An. stiint. Univ. Iasi, 13 sec. Ia, 1967, 329-348.

18. К. Годбийон. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 1998.

19. М. Гото, Ф. Гроссханс. Полупростые алгебры Ли. М.: Мир, 1981.

20. Ф. Гриффите. Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 1999.

21. П. Я. Грушко, Н. М. Кузуб. Геометрические структуры, индуцированные на гиперповерхностях псевдооктонионных пространств. // Труды по геометрии и анализу.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2003.-с. 242-255.

22. П. Я. Грушко, Н. М. Кузуб. О псевдоевклидовом варианте алгебры октав. // Сборник научных трудов Иркутского государственного университета "Дифференциальная геометрия обобщенных пространств с фундаментальной группой".- Иркутск: ИГУ, 1998.- С. 15-29.

23. П. Я. Грушко, Н. М. Кузуб. Структура почти произведения на шестимерных подмногообразиях алгебры обобщенных октав. // Тезисы докладов международной конференции по геометрии и топологии. -Украина, Черкассы: ЧИТИ, 2001.- С. 32-33.

24. Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия. М., 1956.

25. Н. Джекобсон. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

26. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения. T.l. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

27. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. Современная геометрия: Методы и приложения. Т.2. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

28. В. П. Дьяков. Mathematica 4. СПб: Питер, 2001.

29. К. А. Желваков, А. М. Слинько, И. П. Шестаков, А. И. Ширшов. Кольца близкие к ассоциативным. М.: Наука, 1978.

30. Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. М., 1970.

31. Д. П. Желобенко, А. И. Штерн. Представления групп Ли. М.: Наука, 1983.

32. А. Картан. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М., 1971.

33. Э. Картан. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М., 1962.

34. Э. Картан. Геометрия групп Ли и симметрические пространства. М., 1949.

35. Э. Картан. Риманова геометрия в ортогональном репере. М., 1960.

36. Э. Картан. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия, изложенные методом подвижного репера. М., 1963.

37. А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.

38. Г. В. Корнеев. Тензорное исчисление. М.: МФТИ, 2000.

39. А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Линейная алгебра. Ч II. М., 2000.-42. А. И. Кострикин. Введение в алгебру. Основные структуры алгебры. Ч III. М., 2000.

40. X. Крафт. Геометрические методы в теории инвариантов. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 2000.

41. Я. М. Кузуб. Аналог теоремы Бонне в псевдооктавном пространстве. // Труды Второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе.- Иркутск: ИГПУ, 2003.- С. 103-107.

42. Я. М. Кузуб. Кривые в семимерном псевдооктавном пространстве. // Студент и научно технический прогресс*'. Сборник тезисов докладов студентов и аспирантов ИГУ.- Иркутск: ИГУ, 1998.- С. 54.

43. Я. М. Кузуб. Обобщение алгебры дифференцирований октав. // Тезисы докладов Всесибирского конгресса женщин-математиков ( к 150-летию со дня рождения С.В. Ковалевской). Красноярск, 2000.-С. 110.

44. Я. М. Кузуб. О геометрии в семимерном пространстве с обобщенной октавной структурой. // Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции по математическому моделированию, геометрии и алгебре.- Казань, 1998,- С. 185-192.

45. Я. М. Кузуб. Репер изотропных кривых в псевдооктавных пространствах. // Труды Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе.- Иркутск: ИГПУ, 1999.- С. 182-185.

46. Я. М. Кузуб. Шестимерные подмногообразия алгебры обобщенных октав. // Тезисы докладов II Всесибирского конгресса женщин- математиков (в день рождения С.В. Ковалевской).- Красноярск, 2002.-С. 115-116.

47. А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

48. Г. Ф. Лаптев. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. // Труды Московского матем. общ-ва, 2, 1953.-С. 275-382.

49. Г. Ф. Лаптев. Основные инфинитезимальные структуры высших порядков на гладком многообразии. // Труды геометрического семинара ВИНИТИ, 1, 1966.- С. 139-189.

50. Г. Ф. Лаптев. Структурные уравнения главного расслоеного многообразия. // Труды геометрического семинара ВИНИТИ, 2, 1969.-С. 161-178.

51. С. Ленг. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. М.: Наука, 1970.

52. А. И. Мальцев. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.

53. Н. М. Остину. О канонизации репера погруженного многообразия. // Rev. roumaine math, pures et appl., 7, № 2, 1962.- C. 231-240.

54. А. В. Погорелое. Лекции по дифференциальной геометрии. Харьков, 1955.

55. Л. С. Понтрягин. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

56. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.

57. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988.

58. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. М.: Наука, 1982.

59. М. М. Постников. Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия. М.: Факториал, 1998.

60. П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1956.

61. П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Мир, 1967.

62. Б. А. Розенфельд. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966.

63. Б. А. Розенфельд. Неевклидовы пространства. М.: Наука, 1969.

64. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969.

65. С. Стернберг. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

66. Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 2000.

67. И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. T.l. М., 1948.

68. И. А. Схоутен, Д. Дж. Стройк. Введение в новые методы дифференциальной геометрии. Т.2. М., 1948.

69. Ж. Фае ар. Курс локальной дифференциальной геометрии. М., 1960.

70. Д. К. Фаддеев. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

71. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., 1948.

72. Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

73. П. Халмош. Конечномерные векторные пространства. М.: Физмат-гиз, 1963.

74. Д. Шварц. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Мир, 1970.

75. Л. Шварц. Комплексные аналитические многообразия. Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт, 2000.

76. К. Шевалле. Теория групп Ли. М., 1958.

77. Г. Е. Шилов. Математический анализ: функции нескольких вещественных переменных. Ч 1-2. М.: Наука, 1972.

78. Р. Н. Щербаков. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960.

79. Р. Н. Щербаков. Линейчатая дифференциальная геометрия трехмерного пространства. // Итоги науки. Алгебра. Геометрия. Топология. 1965, М., 1967.- С. 265-321.

80. P. H. Щербаков. Об исследованиях по дифференциальной геометрии, выполненных в Томске. // Итоги исследований по математике и механике за 50 лет. Томск, 1968, 71-79.

81. Р. Н. Щербаков. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск, 1973.

82. В. И. Шуликовский. Классическая дифференциальная геометрия в тензорном изложении. М., 1963.

83. Е. Вопап. Sur les varietes riemanniennes a groupe d'holonomie G2 ou Spin(7). // C.R.Acad.Sci.- Paris 262, 1966.- p. 127-129.

84. F. M. Cabrera. On Riemannian manifolds with (^-structure. // Bolletino U.M.I. (7) 10-A, 1996.- p. 99-112.

85. F. M. Cabrera, M. D. Monar, A. F. Swan. Classification of G2-Structures. // J. London Math. Soc. 53, 1996.- p. 407-416.

86. S. S. Chern. The geometry of G-structures. // Bull. Amer. Math. Soc., 72, p. 167-219.

87. M. Fernandez, A. Gray. Rimannian Manifolds with Structure Group G2. 11 Ann.di Math. Рига ed Appl. 32, 1982.- p. 19-45.

88. Th. Friedrich, I. Kath, A. Moroianu, U. Semmelmann. On nearly parallel G^-structures. // J. Geom. Phys. 23, 1997.- no. 3-4, p. 259286.

89. P.Ja. Grushko, N.M. Kouzoub. About pseudohermitean submanifolds in octonion space. // International Congress on Differential Geometry in memory of Alfred Gray.- Spane, Bilbao, 2000.- p. 55-57.

90. P.Ja. Grushko, N.M. Kouzoub. About pseudohermitean submanifolds in octonion space. // Proceedings of the fourth International Mathematical Symposium "Symbolic computations. New horizons''. Japan, Tokio, 2001.- p. 269-276.

91. M. Haimovici. Sur integration des systemes differentilles exterieurs. Anali di Matem. pura ed appl., 60, 1962.- p. 285-363.

92. N. Jacobson. Cayley numbers and normal simple Lie algebras of type G. // Duke Math. J., № 5, 1939.- p. 775-783.

93. D. Joyse. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy III, J. Differential Geom. 43, 1996.- p. 291-328.

94. D. Joyse. Compact Riemannian 7-manifolds with holonomy G<i. // II, J. Differential Geom. 43, 1996.- p. 329-375.

95. I. Kath. (j^-Stuctures on pseudo-Riemannian manifolds. // J.Geom.Phys., 27, 1998.- p. 155-177.

96. N.M. Kouzoub, P.J a. Grushko. Bonnet Theorem in Octonion Geometry. // Abstracts of short communications and poster sessions of International Congress of Mathematicians. -China, Beijing, 2002.- p. 66-67.

97. R. Reyes. Some special geometries defined by Lie groups. // Thesis, Univ. Oxford, 1993.

98. S. Sternberg, I. Singer. The infinite group of Lie and Cartan. // J. de Analyse Math.,1965.- v.15, p.1-114.

99. A. Svec. Cartan's Method of Specialization of Frames. // Чехословацкий матем. ж., 16(91), 1966.- p. 552-599.136