Геометрия в целом поверхностей в полуевклидовом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

• езнистврство высшего и среднего специального образования.

республики _узбекистан/ - - ТзпЕваювий гзеударсзздппкй.уаяворсазаг - --------- -

Ез правах рунописи

Дргсакбаов Абдуяззагаз

ГЕОМЕТРИЯ 3 ЦЕЛО У ПОВЕРХНОСТЕЙ В-

ПОЛУЕВКЖЗОЗОЦ ПГССТРАНСТЕ

OI.QÏ.G2 - дифференциальные уравнеаия 01.01,04 - гввмвгриз и аопологая

А з 2 о р в ö е р a .з

•глсозртацш: па соьакзаиз учецеЯ cíonsaa ■ дпазвра щианко-математических наук

Таете вт - IS33

Pßöesc выпрнеоЁб в Ts ша и тек as ордове пудового Краевого ЗааиеЕи ebctetjss евхмвврвв «влевводороаяогс травспорта ИИ. i.EEpeiîOBS

Офзадапьява оппоаозтя: акаденпв АН Таджикистана, двктср

физнко-веюкатичееввх bbje, npv-фвссер а.Ж.УСМАНОВ (йБсмтуг usss-

B8SEKH С ВЦ âH ТВДИКЙСТЭ88).

члав-кэрр. АН PJs, доктор фИЕЕКО-аатенвтаческЕХ шзув, npefacccp

Й.АЛЖЗШВ.

gßssep фи8ЯЕо-аа*вматическЕГ паук, профессор Б.В.ВЙККН (ИГУ).

Векуцзя ергэвквзцзй: еввкт-ПагероургсЕга педагогпчееккг;

увквароигет ш. А.й.ГерцбЕг;-

batgitb яиссерьуцеи состзется в « /Г® час» б ауянторзяД " ¿^^ъъ заседании спецкали-еирзванвого совета S 067.02.21 при Ташкентской гесударст-вавсоз увивэрси58тв па вдресу: 700095. Тзткеат.Byвгарпдок, ïbeïït,•кегаиагЕческвВ фекугыет.

С даесертвцпей «oesо оапаквмпться в оибляотвке из.Ъ.Й.РсиавоБского взгенагического факультете ТосГУ.

Авгерсферо* ревеелав ■ /9 и 1993 г.

Увввы! сспретарь „у'

СйЗГШВЕЕВЕрбВЗВБСГа CDBSfß w tnßf1

. делая* с.Р.УИлРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТУ

аптуэлъчэсть пройлпчч _

В классической ди$5еренциил2яоЗ геометрии евклидова пространства выделяются два изпрэвлегла. Одно из аих, называемое геометрией "в малон", изучает локэльаые свойства геоаотрпчос-кшг объектов, а второе исследует геометрические объекта ;:з зсй.'з их протяжении и называется гаоззтрия "в целом".

Геоаетрия "з целоа", по-вядшоыу, бзрет сзое азчалз от зяэиекитов теореиы О.Коил о том, что дза замкнутых зыяукзгая мяэгограапикз, одинаково состзвнеан?за из разных тропой, ровны, 3 своей развита геометрия ;:з целоа" сгнззиО с .^зиа-а цихся иатеаатаков таких, как Д.Гильберт, Г.Уинковский, Г.Вейль, С.Коа-5оссен я другие.

Истоки совреаеаяого зтапа развития гооиетрли !,в цаяом1' сзяааав со саавиаая вине классическими работами А.З.Алвасавя-роза 7*'* ' » А.В.Пз1'-1>г'023 ? я н:: маогочяоланнч:: ученикоз.

йаогпе рэзулмагя гчсаегрии яз цсяоа", полу-^тчлз з аг.а-лидозоа прзстравсгве. ойобпвая вз с луча? поворот,в пространствах постоянной кривизны.

Прежде всего, изучен случай поверхностей а эллшггячесяса пространства и в пространства Лобачевского»Геометрические не-тодв, развитые в евклидовом пространства я в пространствах постоянной кривизны, дала вззиэанэсть обобщить эти розультзкз па поверхзостц общих римзаовых пространств. В настоящее время сравнительно хороао изучены основные- вопроса гвоиахрки "в целой" 2 псевдоэвклидово» яространстзэ.

1.Алексапд^оз Д.Дд!Ва^тсвнйяя гаоизария выпуклых поверхностей-

2. Але;:сеп-ров Д.Д. Выпуклые изогограаииди. М.-Л.: Г->с?в"-' пзлот5 '1550,с......... .........

3. Погсрелов й.З» Взепвяя геометрия звпуклыз: аовстхчо'Г'е'!

3»: ааухз, 1929.- 759 о. * *

3

Однако дарвчнсдеввыа выше' пространстве являются лишь чэ-С1вви случаен г. общей схеме Евпи-КлеЁнв. Имеются 2? трехыер-вкх пространств с проективамыи ьетрикэыи, в которых кроме перечисленных выов пространств иыептся галилеево, изотропное, флаговое, ивазнвлйЕпгическое и другие пространства.

Общая теория в_иалои поверхностей этих пространств приведена в монографии Б.А.Ровевфельда . ''Неевкаидовц пространства'.'

В сваей с вагэивлоЕЗвнаа приобретает актуальность постз-еобеэ следующего_вопросв; возмоЕиа ли содержательная постановка в реванш задач геометрий "в целом" в пространствах с вроективвшш метриками, го естьз пространствах с вырокдеаной ИвЗрй!гс2? .....

Подчерняем, что изучение геоыетрпи гэлилеевэ пространства представляет безусловный интерес, и с точки зрения теоретической фшшй Дело. в.тоа, чго это. пространство представляет со- -бой прострааство-врамя классической механики, и, сравнивая его гесыотрк» с геометрией ксевдоввклидовой, т более глубоко понимай« соотношение релятивистической и ве релятивистической ди-ваалкЕ^ ■ _ „ '

Г?елв работа ^ , _ .......

ОсноввоЯ целью работы является изучение основных задач геэиетрки "в целоы", поверхностей в полуевкнидовом пространстве. В экой связи появилась необходимость изучения теории по-вврзкоехп полуввкдЕДОвэ пространства и построения теории поверхностей, пригодной к постановками решении задач по геометрия "в целой". £иасекть, какие из задач гесметрил "в целоа" вогасшго обобщать да пояуевкдядоввх пространств, а также

вп^едеажгвешзе содзча, приводящие к изучение поверхности . " •"

X. Розсвфельд Б.&.Неевгдац-овк пространства.И.:Нзука,1959,547 с.

- 7 • 4

ва-зсам её-промЕоааа.

Нэучаая. новкзва , '

В работе получило разгчтнэ аозое направление - геометрия пз долей" в пояуовхяидовзз п^готранстзо. йссаодозааа таория -поверхностей пэлуезклидэвых пространств»- Посгрозяэ цалипдря-чвсяов отображение выпуклых поверхностей полуазклидовз пространства. Получены основана- урзвзезкя теории■ поззрх'аоствй гз."тале ева пространства. Определена и изучоно заеияяя 8ривязаэ_зы-вуклой поззрхвостя полуавкяидзва пространства. Задача ввпстз-аозлзяая поверхности по вааензй криввзаа тишанааа н раяеяия пнрззогэ класса уразаваиЗ Монаа-Липерз. Рзссйотреан азалэгп основных задач геометрии "з полон" в галнлвавзм пространство. Введено понятие внутренней кривизна зыпукяой поверхности в гаааяеввем пространства п язучзяы езяззаяыз с виа вопросы.

Зссладовввв седповва повархаосгп гзлплеозз ярвогравез&ч-и рассматрвнн '.'""'""ермз згдп1% сзазччазя с ^гозгсуяз тю'зэт.л-яоекш»

.*ст> тйпчя,

По. дотерпел*» досергащщ сдаггапя докяазд -.з сладуздяг этайорспцлях: БсесоззноЗ но.а§зреацаа по геометрии "в целен" (Новосибирск,138?), Всесхиэзаой коафврзвциа по гэоаетриа и анализу (Новосибирск,1989),_Зсасоизаэа совещании володнх учеанхпо дифференциальной геэяетрии, посвяценаса 80-лвгпэ й.В.В1пиоза (Ростоз-ва-Дону, 1990), Нвззцгвэродяой ваучаой конззрввции "Лобачевский а сзвреыензэя геометрия" (Кэзаз54 1992).

Крэма того, сделана доклада на сзааиарззс: семинарах Московского _ государсгввзяого уакверситэм (рук.Фоыанас- А я

Н.В.2фвяов). соыиаара Лэяиагрздского пздагогичзсяого уа^-

BspoiiTssa Д.П.ГарцвЕз (рук. Д.Л.Варвар), семипаре ыагонати-чэсеого ивсгктугв иьуВ.Д.Стаклова Ленинградское отделение (JIOISI), свшааре Новосибирского ивституга ыатоиахики СО РАН, сеииквре Ташкентского государственного университета.

Структура й обьёк рзбэт

Лиссертшуаоаеая робота, ввяожеин&я на 175 страницах мкгк-вописи, состоять введения, четырех глав и четырех рисувков. БкСлаьЕрофгл высчитывает 66 наименований.

Краткое.соперта нив работы _ .

Во вводеакк дается ебщзя характеристика работы и обзор диссерхБЩитпо главен.

В первой главе диссертации излагаются осзовяыо определения гаоиатрпи поауевкдидова пространства, а такае формулируются

некоторые из результатов диссертации, ааобходимые для реиевия задач es готгвгрип "в целой". Эти результаты приведены для лвлуевклвдсвз пространства произвольной размерности ( § X). Конкретные водросы, связзвЕые со овойстваыи многообразий, рассмотрены в храхмернок случае ( § 2). Коротко излокеан факты ' гзваетрии полуевгшщовой плоскости - плоскости Галилея-Нызтонв. Еояее детально ыы рассматриваем дифференциальную геометрий трехмерных полуевклидовьгх пространств - изотропного и галилеева. В частности, окрвделевы первая и вторая квадратичная форма поверхности v. получевы аналоги формул Петереоиа-Кодзции и Гаусса.

Специальное'рвсснотреане трехмерных полуевклидовых пространств необходим, потощ что при взучевки пространств прояа-воеьной pasuapsocss ga.выявляются конкретные геометрические своСствэ навергвости. В чостаостй, при избрав^ езня сдосзбе рзссиогрзвЕЯ сгоцовягся занекюга следувцяа аятерасвые с точки

зрения геометрии "в дезой" факты. Гауссова яризизаэ поверхности и геодезическая кривизна кривой аэ поверхности не выраяаэт-ся через коэ'ЗДяц^еаза первой квадратичной фориы, _чо есть зэ являются объектами ваугреянзЗ гаовзтряи поверхности;

Кроме того, во всех-задачах, связанных с метрикой, возая-кают специфические черта,"га?'?сящив- эт-размерности пространства и порядка внрондеяности аз метрики. Это ощутимо, в частности, при изучении изометрш поверхаостоЗ з полуевклидовоу пространстве. Оказывается» что необходимо различать два вида язомет-рии: полуизометрию а собственно изонетрий.

Полуиэзаетричвши называется поверхности, соответствующие ¡то изоаетрии, точки которых кмев-г раза*:- чсслоязил по первой метрике поверхности, а чзоыетэичпиыя - та^'.з, у которых расстояния меаду соответствующими точками раваа я ааеаг одинаковый порядок. К сожалению» полукзомвтрия и изомвтрип надо характеризуют поверхности. 3 полуевклидовоы пространстве воаыоаев «лезущий факт, созерпеано яевозиоянвй в евклидовом пространств. Выпуклая noBep;-:i:--:ь aoseï быть азоаагрпчй-'^ седгэвой пззер:;-ностыо. этот }акт показывает, что изоыетрнчкссгь поверхаостзй недостаточна для определения геометрической позерхзост t.

Позтоиу ш ззодиа поаятие зполне изометричяшс аозерхвостей, ,-j котором требуются дополнительные условия, кроае условия изс-метричности, -

В § 4 главы I мы рассматриваем допустимые преобразования сети яа поверхности пояуевхдидова пространства,1 азучасш некоторые споцаальаке виды координатных линий (асишгеогачееяяе9 яиаяи кривизна). В качестве примера рассматриваются' повэрхяости зра-цония я приводятся примера поверхностей врэщеяая постояняоЗ отрицательной крявазвн. Прваврои полорхностз врачезия постоянной

7

положительной крквизвн является поверхность, образованная вращав иен дуги кривой , которая является аналогом сферы евклидова пространства в галилеввои пространстве.

Ыы анализируем также нетривиальный вопрос' о понятий полноты поверхностей в галилеевом пространстве. В полуевклидовом пространстве полноту невозможно понимать как полноту метрического пространства. Поэтому ыы назовем полными те поверхности пояуиЕкнадова пространства, которые являются полными в сыысле евклидова пространства.

Б галЕяеевом пространстве также полными га называем поверхности, шевдие эдну обязую точку с особыми плоскостями пространстве. Гзкиы образоа, поверхность вращения пзлогителькой постоянной кривизны ш считаем пояазй поверхность® в гаякле-евоы пространстве.

Хотя вв все_полуевкл1:довы пространства иыеют характерные физические приложения, среди них существуют те, которые успешно используится в решении технических задач. Об этом мы коротко говорки в § 5 главы I.

Во второй главе изложен основвой аппарат исследования поверхностей в полуевклидовом пространстве. Геометрические методы, изложенные в зтой главе, применяются к кзнкратнш задачам по геометрии яв целом" в последующих главах.

Обычно в изучении свойств поверхностей полуевклидова пространства пояьзуэтся ее двойственным отображением, то есть повврхносгьв в проекмвно двойственном пространстве, Полуевк-якдову пространству Н'Ц проекхавно двойсгвевко пространство

^ . Исследование свойств двойственного

" " ................пт

отобракевин подуввкладова пространства пп показало, что

ваесто двойственного образа выпуклых поверхностей мокно рас-

Б

сматривать её проекции на плоскости общего положения пространст-

-п-т-! - .

ва , Полученное отображение мы назовем цилиндричес-

ким згобрэяеняви выпуклой погорхяости в пояуевялидэвом яростро не тзе .

■ -й-м-л

Плоскость общего положения простоавства ¿эп

аожао интерпретировать как сферу в пространстве . Таким

образоа, мы язгдой опорной плоскости выпуклой поверхности по-луевклидовз пространства И^ будем сопоставлять точку на сфере пространства ц ^ . При этом уменьшается раззэрг яоеть пространства, и это отбраковав дзет возможность легче изучать сзойства выпуклой поверхности полуозоидова прострзн-ства.

Известные сферическое а нормальнее изобраяепия выпуклой поверхности евклидова пространства являются частными случаями цилиндрического отображения выпуклой поверхности. Пря этоь циляздрическое пт-^эаавяе выпукло" позерхвзотл «бдздае* всс-ми свойствами сферй'.;ского отображения выпуклой поверхности евклидова простроиссза.

Цюмщричваков зтобрвзгвыге выпуклей паверхк-.^гз гаааяе-ева пространства Я3 реализуется на с$ере изотропного пространства , С поиощью цилиндрического отображения наш определена внешняя кривизна выпуклой поверхности. Внзааяя кривизна множества разна площади её цилиндрического отобрзг.знкяг

Знзааяя крявазва выпуклой поверхности галилаевз пространства, которая обладает всеми замечательными свойствам заеаязй кразязиы_выпуклой поверхности евклидова .пространства, иаеез сзойства, специфические для галилеевз пространстве, В частности, когда выпуклые поверхности с обэди краем, не нцещпм особах опораых плоскостей» приближаются к поверявосза с особой опои-

вой плоскостью, то ех ввеввяя кривизва наограаичевна (особыми вазываак евклидовы плоскости гвлилеевэ пространства).

Часто в исследованиях свойств выпуклых поверхностей иы будеи пользоваться методом приближения выпуклых многогранников к выпуклой поверхности, развитыми в рв'ботвх А.Д.Алексавдрова. Однако б лолуевклкдовоы пространстве этот яетод также требует уточнения ( § 2). Эти уточнений, в основной, связаны с Есланм-ем сохранить порядок ыетркк ыежду точкаик сходящихся поверхностей.

Зэаченио угла ыаяду векторави существенно зависит от рас-полоезвие их 5 пространстве, Подобно метрика пространства, мера угла также вырожденная. Особенно ато влияет на вычисление полного угла вокруг вернини ковуса. В § 3 второй главы иы проводим_определение полного угла вокруг вераины конуса в некоторых полуевклидовых пространствах. Особо веоЕкдзнкый результат получав в определении полного угла вокруг зервивы конуса в гзлилеевоы пространстве.

Для определения угла моед? кривыми ва выпуклой поверхности в гэлидеевом пространстве мы используем углы иекду образующий нвсательеыии, которые, в свов очередь, выражаются через пол вы!! угол вокруг зераины конуса. Таким образом, внутреннее понятие угла мокду кривыми иы определяем с поыоцхэ внешней геонетричес-кой величины. Этот вынужденный наг связав с тем, что метрика поверхности галаяоева пространства не пригодна для определения внутренней геометрии поверхности в галилеевом пространстве.

Петрам поверхности галвлвзвв пространства имеет своеобразное свойство, состоящее в том, что длина пути цезду точками, яогэдиии ве регшг особых плоскостях, не зависит от пути, со-одивящзго вяа то чей. Это свойство метрики эзтруайкет опреде-

10

ление кратчайшей на поверхности, так как все кривые, соединяющие эти точки, инезт одинаковые длины. Поэтому выбор линии, аналогичной кратчайшей, должен определяться по другим свойствам, отличным от её длины. Мы предпочитаем определять крат-чзйиуп между точками нэ поверхности галилеева пространства как кривую, соедивякщув даяние точки и имеющую аэименыпув вариация поворота. Некоторые свойства • кривых ограниченной вариации поворота изучены в § 5 главы 2.

Изучение геометрии полуевклидовэ пространства позволяет по-новому взглянуть нз некоторые вопросы евклидовой геометрии. Примером этого является понятие обобщенного с^ерл-:еекого отображения ь'пуялых пов'ерхноитейг приз&деянсе 2 кояцг 7—г"-* главы.

3 третьей главе излозевы принципиально новые результата, полученные при применении методов теории выпуклых поверхностей галилеева пространства для исследования уравнения 11ов*е~ Дилера. Эти результату изложены подробно и осноззтельно.

Общая теория геометрического методз уравнения Уэзжа-Аыпз-ра разработана АЛ.Александровым, А.З.Погэрелзвнм и Й.Я.Бз-кельиэвои.*

Геометрически» подход к реяенив аналитической звдзчи для уравнения аэпаз-Акязро позволяет использовать геоаеарическув задачу о существовании и единственности зыпуклнх позергностей с зэдэввзй внепней кривизной для исследования аналитических 38дэч дифференциальных урэввеаиЕ.

Решение урввнаний-Мойва-Ампера аы проездим для уравнений с конкретно з&дзнной правой чдотьв,- з именно

I Бзкзльмэн И.Я. ГоэметричвскйЗ аетодк решения эллиптически -уравнений. ,4.: Наука, 1965.- С.

Ьаделеаиг эгях урзззвЛй о.^зэвэ с теа, что исследование задачи Дирихле для этих уравнений наиболее просто. Кроме того, с поыощыо этих уравнений и топологических методов функционального анализа эти результата можно обобщить не только для про-зтейшого уравнения Монза-Акгарэ, но и для сильно эллиптических уравнений Моака-Ампера, а о помощью аппарата условной кривизны, развитой И.Я.Бакельманоы, ыоепо рассматривать аналогичные задачи для функции общего вида.

Геометрическая задача, приводящая к этим уравнениям, является задачей построения выпуклой поверхности в гэлилеевоы пространстве, у которой знеашнн кривизна представляет собой данную функцию проекции точки поверхности на плоскость общего положения я на особую плоскость.

Задача Дирихле дян уравнения Нонза-Аыперз решена с разжигала усяогипчр й в различных областях плоскости и нэ срере. Особенно надо отметить результаты для неодносвязных и невнпук-енх областей аа плоскости,. В частности, для вводзосвязгой получен сладуйВДЙ результат. Пуол па особой плоскости задана замкнутая выпуклая кривая ^ и выпуклая замкнутая кривая , леаащая внутри . Область, заключенную ыеаду и л Р^03®8.?11? Ч8Раз К , Пусть внутри К задана вполне аддитивная неотрицательная функция множества р~>{А1) ц пространственная замкнутая кривая Д , одзоэначао проектирующаяся на , заданная в пространстве \ус>о уравнением

Ш) £

ТЗОгВ'Ц. Вели вполне аддитивная неотрицательная

функция борелеЕоких иногеств М , ограниченная для всехМсД' для которых М ^ , то существует "реаввао задачи Дирихле

для уравнения («) с крвевыи условней

Аналогичные задачи не были решены с помощью теории поверхностей в евклидовом пространстве.

Доказательство теорем основано за методе А.В.Погорелова, в котором используется монотонность внешней кривизны, а тэкеб на свойстве цилиндрического отображения выпуклой поверхности гзлилеевз пространства.

Кяячевой момент доказательства состоит в геометрической конструкции знеиней кривизны в гэлилеевом пространства. В дальнейшей исследование общего случая уравнения Ноааэ-Ампера эллиптического типа в галилссвои пространство рассматривалось Х.Н.Ыв-гамедовкы в § 4 трстзе!! глаз» коротко излЬгааы эти результаты, относящиеся к общему случаю.

В конце главы показывается возможность получения векоторых результатов о восстановлении поверхности по внешней кривизне с помощью обобщенной условной кривизной и развитых методоь геометрии полуэвклидовэ пространства.

Внутренняя геометрия выпуклой поверхности галилеева пространства строится ^ г.оуоздю её внешних геометрических величин. Результатом этого подхода является аналог заутренней кривизна выпуклой поверхности галилеева пространства, приведенной в начале четверто;; глазу.

Знутреянкя кркзиззэ вначале определяется для осноз:;ьх множеств: открытых треугольников, открытых кратчайших и точел. Для произвольных борелезских множеств на выпуклой поверхности

I Чэгэмедов Х.М. Обобщенная задача восстановления выпуклых поверхностей по внешней кривизне в полуевклидовых пространствах. //Исследования по теории рлизаовсквх многообразий к иг приложений. Мезхвуз.сб.изучи.тр.Л.,1985.- О. 53-5Б.

13

внутренне» кривизну получим прваель нш переходом от выпуклых ынзгограаникав.

Вауй-раввяя кривизна випукязЦ поверхности, как и её внеш-цяя крйвиава, аишоюя пздозктедьво определенной и вполне аддитивной фувадией борелевских множеств на выпуклой поверхности.

В этой же-главе получен аналог теоремы Гаусса-Еонне для допустиынх областей.

Допустимыми считэе1' области на выпуклой повервхсоти, кзсэ-тельаые к краям, области которых не параллельны особой плоскости.

Одной из классических задач геометрии "в целом" является задача Иивковского. В ней рассматривается существование замкнутой выпуклой поверхности, у которой гауссова крчвкзнэ является заданной функцией единичного вектора внешней нормали. Однако единичная нормаль поверхности гадилеева пространства всегда параллельна особой плоскости. Поэтому не удается задавать Ъунк-щш кривизны относительно этой нормали и её.приходится связывать с одиййчй^ вектором цилиндрического отображения в изотропном пространстве. Это дает возможность получения аналога теоремн йгаковсжого в.галилзззоа пространстве. формулировка георсан одинакова с евклидовы« вариеатоы этой теоремы. В доказательстве теоремы используется метод налозеиного пространства.

. Отаоиевие изоиетрии в силу вырвзденвости метрики мало характеризует поверхность в галилеевов пространстве. Несмотря на Э20, удается получить ряд теорем, связанных с изоаетрией поверхности в гэлилвевои пространстве.

Выявлен ряд рздзч4 содорЕзтельное обобце-оне которых на рассматриваемый наш случай, аезоааоашз, Нзпркыер, лаобая по-

верхность, элнозйзчаэ прозктирущэяся нэ плоскость общего полз-хения, пзометрично ¿лаговзй плоскости. Эта показывает, что изо-ыетрия поверхности не определяет её однозначно. Однако в классе поверхностей врэщевяя такое обобщение вознояно. Показано, что изоиетричпыб поверхности вращения равны.

Далее получена теорена о равенстзе вполне язоиетричних поверхностей в галилеевом пространстве. Здесь кроме изометрич-нзсти поверхностей требуется рзвенстзо угла видимости изоыет-ричных точек поверхности. Полученная теорейз епр?*едлкзз для поверхностей, которые видвв из некоторой точки изкутри. Поверхность зазываем видной изнутри, если любой луч, выхоллдий нз данной точки, пересекается с поверхзэстьэ ве более чем в одной точке. Угол видяаосгп равен углу ыегду радпуеоч ?ечторов точек нэ поверхность. Теорема получезз з классе ггбэтх выпуклых поверхностей.

Поверхности в евклидово« пространство по знаку кривизны разделяются нэ два класса. Поверхности полокательвой. крнвязнн реализуются в виде выпуклой поверхности, а поверхность отрицательной кривизны - седловыии поверхностями. Знаки гауссовой кривизны поверхности галилеева пространства и этой же поверхности, рассматриваемой в евклидовой прзстрэнстве, одинаков». Поэтому седлзвыс поверхности галилеева пространства являвтея седловыии и в евклидовом пространстве.

3 евклидопгы пространстве оезбзе место закипают поверхности постоянной отрицательной кривизны, которые связаны с реализацией плоскости Лобачевского. 3 отличие от евклидова пространство в»галилеевом пространстве суцествуег- полные поверхности, иыеюцие постоянные отрицательные ггривизта. Примеров этого макет служить поверхность вращения постоянной отрица-

тельной кривизны*. Существует тэкке поверхность,, однозначно про-вкткруадояся ьз плоскость збчого яэлсзйаин и акезцвп постоянную зграцьтааьаув ьрмяизву.

Для произвольной отрицательной функции нзаао построить поверхность, однозначно проаятирущуюся на всю плоскость общего положения, кривизна которого равна заданной фуакции.

3 конца четвертой глава иы рассматриваем аналог задачи реализация в галилеевзы пространстве.

'Задачу реализации в гелилзевза пространстве мы понимаем в следуюцеы: задана первая квадратичная $эрыз и функция, опра-деак:оцэя её дефактн'кривизны. Рассмотрим вэцрос, при каких условиях сущзстзузт поверхность, первая квадратичная фэриа которой будет задзнаая фораа, гауссова кривизна которой определяется дефектом и коэффициентом первой квадратичной Ззрмы.

Доказательство этой теореыы оснззано аа технике решения спстевы дифференциальных уравнений в риаановнх инвариантах.

Публикации, Основные результаты диссертации опубликованы в следуазунс статьях, а такна.в. книге, написанной в соавторстве ■ с.д.д.сзн5лззыа. ¿горен часть кивта "Гоз-четрия прзстравств с Екроздсавваа ыетр»а!оНн" явльетс-а результатом исследований автора диссертации.

СПИСОК РАБОТ

1. Артыкбаев А. Восстановление выпуклых поверхностей по внешней кривизна в пространствах с проективнкш метриками// Доклады АН-УзССР, § 10, 1576. С.6-?.

2. Лреткбаав А. Восстановление выпуклых поверхностей по внешней кривизне в голилеавоц пространства// Матеы.сб.М СССР, 1Э82. т.119(161), Й 2(10). С.204-224.

3. Артыкбэев A.,Bep;sep А.Л. НеэдвосЕЯзаыз выпуклые поверхности с заданной интегральной условной внеивей кривизной// Вопросы дифференциальной геоиотрии ."в цело«". Сб.статей. JI.I983.

4. Аргакбавв А. К проблеме Минковскзго в галилеевом пространстве // Доклады АН УзСС?, 1985. й З.С.II-I2.

5. Артыкбэев А. Классификация точек поверхности в галилеевом пространстве // Исследование по теории поверхностей я многообразиях знакопостоянной крквкзвы.. Л.,1987. C.II-I5.

6. Артыкбзев А. Полный угол вокруг варпнны конуса в таяяяеевэи пространстве// Мзтен.заметки, I988.T.43. fe 3. С.657-661.

7. Артыкбэев А» О геодемческях крлвкх на позеихн'.стк г-алиле-евз пространства // Тезке«-- Всесстано«, конференции по геометрии и анализу. Новосибирск, 1989.

8. Артыкбэев А. Изометрические выпуклые поверхности в галилеевом пространстве // Тезисы докладов Всесоюзного совзщэаия

молодых ученых -по дифференциальной геометрии, посвященного ВО-летив Н.В.Е^имова. Росто-вз-Дэну, 1990.

9. Артыкбэев А., Соколов Д.Д. Геометрия "в целом" в плоской

пространстве-врьиопи. Ташкент "Фан", I99X. 180 с.

10. Артыкбзев А. Седлозые поверхности в гзлилеевои пространстве // Тезисы ^огчумзродпой конференции ''Лобачевский и современная геемзтрпл". Казань, I9S2. - С.6-7.

[I. Артыкбаез А. Аналог внутренней кривизны на выпуклой поверхности в галилеевом пространстве // Узбекский математический нурнзл. Ташкент. 1993. T.I - С.35-44.

к H H О T А Ц И Я Яр;« сгклид фьй'одаридс. гуха сартларнинг геометрияси.

Дифференциал геометрия сиртларни урганиш усулига кура ик-нига ажралади. Шулардан бири сиртни каралаётган куктаиинг кичик атрофяда, нккинчиси эса сиртни буту}! борича (туда сиртни) урга-кадн. йяхинчи булакни ту*.- - !'стлар геометриям деймиз.

Евклид фазосида тула сиртлар геометрияси геометрия фанининг рявожланган со^аларидан биридир, Евклид фазосида олинган натика-лар эллиптик фазода ва Лобачевский фазосида курилган.

Диссертацияда тула сиртлар гегметриясининг асосиЧ часалала-ридан ба-ъзилари ярил езклкд чотрикали фазоларда курилади.

Ярим евклид фазолар куп улчовли псевдоевклид фазоларнинг чисм фазолари сифатвда яосил булади.

Тула геометрия маеалаларини курия учун ярим евклид фазола-рида сиртларнпнг уяуэдй назарияси курилган ва уларнинг бу фазога хоо ;:оссаяари урганилгак, Сиртнинг цилиндрик аг:си 'тчунвдса ки-ритилиб, у ёрдамкда сирт та щда згр;шгти аник лантан. Тапщи эгри-яик хоссалари тектгшраягаи»

Гнилей фазоспда сиртни тащт, эгрияиги О'уЗича тиклаа маса~. ласи, хусусий хосиласи эллиптик дифференциал тентлама булган , Монж-Ампер тенгламасининг ечими мавжуд ва ягоналиги -таартларини курсатишга тадбик эталган.

' Бундан тавадри Галилей фазосида сиртни берилган Гаусс эгри-лиги буйича тиклащ, изометрик сиртларнинг тент лиги масаласи, эг-рилиги манфий с;фтлорни тулалигнча тлклаш масалалари хал цилин-ган. Сиртнинг ички эгрияиги тушунчлси киритилган» ^аглда Гаусс -Бонне таоремасига нос келувчи тенглик ^осил вдиинган.

Ярил езклид фазо метрик булмаган фаэодир, бундай фазолар учун тулз геометрия масалалари аввал курилган эаас.

18

"iffiKARY

GEOMETRY OF SURFACES IH TIE GLOBAL IH THE T3IIEUCLIDEAH SPACE

There exist two directions ir. the differential ceonetry: ^crretry "in the local" and geometry "in the global". The geonst-~y "in the local" ntueJiws p^nifolds in a r»i£hbcurho»«i of the x.'int and f ¡^ geo!*etry "ir> tike global'.* studies manifolds in all its extent.. In Euclidean spaces so« questions have ccaplete solutions. Soae of tiieis are considered also in the elliptic space rnd in the Lobachevski's space.

In the dissertation sox of the problems of the georetry "in ise global" in the'sejiîiEiicI i dean space, i.e. in the space with an ssoiroj-'lc «ftrios e»-*- «.».»»idHred. SemfEuclidean spaces arise as .he i-'-'isj:«'»?'.- ÎM p^'.'ooci.»: lic'ean »pHoes.

At first ba«?ic que^tioisj of the theory of tin? nan If aids in •lie semiEuclidean sp-aw «le studied. Cylindrical t'f

owx surfaces a'« c*?reilrsK:t*»d. Tiie external curvattn^e of tJw owx surfed»* «c if"» or. its cy) irv'.. leal «-f*p ».s <<efiised.

Fife prohiè.- of i^-lence of .vrnvex smiffto* with given

■ui¥aiu-»v in Galileo spao* is sol Vtd. This solution applies to fie solving of the M^ntie-A?npei~e equation of elliptic type. Tise olution of E'irichlet's problem in the non convex and on-connected dosnain of the p?ar>e is obtained.

*n analogue of Mînkowscki'y tfworei* of th~ existence of Ute urface with given Gauss curvature in Galileo space is also ht Pined.

I-.- vr J'io •».'¡'id'-cs art? studied end theorems

ego=»lity <u' : Its.« s»ur ff«oes are proved The rv>' i'« ,-i Mi»- inl^riii-1 aiute of the surface in

alileo spao» i.- mt r c«iv-ve'J. Analogic* of the Gauss Bonne thecrer

S ffrfr tiieo?-"«-. ,-».. Ur' of the surfaces with negative

ii-.-v-i iir«-. vf î t;i giver; 1 hc^s sr-itrio are pr <"."eci