Гидродинамика волокнистых сред и ее применение в теории фильтрации тема автореферата и диссертации по химии, 02.00.04 ВАК РФ

Введение.

1 Метод Бюргерса

1.1 Введение.

1.2 Гидродинамическое взаимодействие двух сфер.

1.2.1 Формула Стокса для сопротивления сферы.

1.2.2 Гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых сфер.

1.2.3 Влияние инерционных членов на сопротивление сферы. . :

1.3 Гидродинамическое взаимодействие двух цилиндров.

1.3.1 Гидродинамическое сопротивление цилиндра.

1.3.2 Взаимодействие двух параллельных цилиндров.

1.3.3 Взаимодействие двух цилиндров, перпендикулярных потоку.

1.4 Гидродинамическое сопротивление тора.

2.2 Ряды цилиндрических волокон.38

2.2.1 Вывод системы уравненний для ансамбля волокон.38

2.2.2 Сопротивление случайного ансамбля полидисперсных волокон. . 40

2.2.3 Влияние дефектов на сопротивление однородного периодического ряда.43

2.2.4 Численные расчеты с логнормальным распределением волокон по радиусам.45

2.2.5 Бимодальное распределение волокон по радиусам.51

2.2.6 Сопротивление ряда со случайным расположением монодисперсных волокон.52

2.2.7 Диффузионное осаждение аэрозольных частиц на ряде случайно расположенных волокон.53

2.2.8 Приложение. Обратная матрица для периодической решетки. . . 55

2.3 Рост гидродинамического сопротивления аэрозольного волокнистого фильтра при осаждении жидкой дисперсной фазы.73

2.3.1 Сопротивление волокон с осесимметричными неоднородностями. 73

2.3.2 Численные расчеты и сравнение теории с экспериментом.78

2.3.3 Приложение. Вычисление функции С(г,Аз).79

2.4 Заключение.87

3 Гидродинамика вязкой жидкости при обтекании ряда полидисперсных волокон. 88

3.1 Введение.88

3.2 Общее решение уравнений Осеена для ряда полидисперсных волокон. . 89

3.2.1 Постановка задачи.89

3.2.2 Граничные условия.91

3.2.3 Силы, действующие на ряд полидисперсных волокон.94

3.2.4 Приближенное решение для нормально набегающего потока . 96

3.2.5 Силы, действующие на периодический ряд с двумя волокнами в элементарной ячейке.99

3.2.6 Функция тока.101

3.2.7 Диффузионное осаждение частиц при несимметричном обтекании волокон.103

3.2.8 Приложение 1. Преобразование сумм, входящих в уравнение (3.2.3)105

3.2.9 Приложение 2. Определение матриц и.108

3.2.10 Приложение 3. Матричные элементы в приближении малых скоростей течения.109

3.3 Гидродинамическое сопротивление периодического ряда полидисперсных волокон с учетом эффекта скольжения газа.120

3.3.1 Гидродинамическое сопротивление.120

3.3.2 Результаты численного моделирования.126

3.3.3 Приложение 1. Вычисление матричных элементов обратной матрицы.129

3.3.4 Приложение 2. Модель Келлера с учетом полидисперности волокон и эффекта скольжения газа.133

3.4 Осаждение аэрозольных частиц в режиме зацепления в ряду полидис-лерсных волокон.142

3.4.1 Эффективность осаждения в режиме зацепления.142

3.5 Заключение.145

4 Гидродинамическое сопротивление периодических решеток. 147

4.1 Введение.147

4.2 Функция Грина двухмерной периодической решетки.148

4.3 Гидродинамическое сопротивление периодических решеток, образованных параллельными цилиндрическими волокнами.150

4.3.1 Общая система уравнений.150

4.3.2 Рекуррентные соотношения.151

4.3.3 Сдвоенные волокна.153

4.4 Квадратная решетка со случайным бимодальным по диаметрам распределением волокон.162

4.4.1 Разреженная квадратная решетка.162

4.4.2 Плотная квадратная решетка.162

4.4.3 Применение теории перколяции.164

4.5 Трехмерные решетки.170

4.5.1 Постановка задачи и вывод системы уравнений.170

4.5.2 Сопротивление решетки при конечных углах поворота четных рядов относительно нечетных.177

4.5.3 Малые углы поворота четных рядов относительно нечетных. . . 179

4.6 Заключение.183

Течение жидкости через случайные трехмерные волокнистые среды 184

5.1 Введение.184

5.2 Гидродинамическая теория многократного рассеяния.185

5.2.1 Описание модели волокнистой пористой среды.185

5.2.2 Оператор рассеяния одиночного волокна.186

5.2.3 Ряды теории возмущений.189

5.2.4 С амосогласованная теория течения жидкости в волокнистых средах .190

5.2.5 Корреляционная функция скоростей в пористой волокнистой среде. 195

5.2.6 Диффузия пассивной примеси.196

5.2.7 Приложение. Вычисление оператора рассеяния.197

5.3 Влияние дальних корреляций в расположении и ориентации волокон на гидродинамическое сопротивление и диффузионное осаждение с1эро-зольных частиц в волокнистых фильтрах.211

5.3.1 Постановка задачи и вывод основных соотношений.211

5.3.2 Разреженный ряд волокон.215

5.3.3 Веерная модель фильтра.216

5.4 Гидродинамическое сопротивление шероховатого цилиндра в пористой среде.221

5.4.1 Общ;ее решение уравнения Бринкмана в цилиндрической системе координат.221

5.4.2 Сопротивление цилиндра ориентированного перпендикулярно потоку.222

5.4.3 Сопротивление цилиндра ориентированного вдоль потока . . . 226

5.4.4 Рост сопротивления волокон на начальной стадии фильтрации. . 229

5.5 Гидродинамическое сопротивление фрактального кластера.233

5.5.1 Исследование решений уравнения Бринкмана.233

5.5.2 Гидродинамический радиус фрактального кластера.239

5.6 Заключение.246

6 Диффузионное улавливание аэрозольных частиц в волокнистых фильтрах при малых числах Пекле. 247

6.1 Введение.247

6.2 Случайные волокнистые среды.248

6.2.1 Эффективность очистки газа от аэрозольных частиц.248

6.2.2 Самосогласованная теория для вычисления коэффициента поглощения .250

6.2.3 Ячеечная модель.252

6.2.4 Диффузионное осаждение частиц на модельных фильтрах . . . 254

6.3 Диффузионное улавливание аэрозольных частиц в периодической решетке цилиндрических волокон при малых числах Пекле.259

6.3.1 Постановка задачи и вывод дисперсионного соотношения . . . 259

6.3.2 Исследование дисперсионного соотношения.262

6.3.3 Результаты численных расчетов.265

6.3.4 Приложение. Вычисление суммы 8.265

6.4 Заключение.271

Заключение. 274

Литература 275

Введение. в различных областях науки и техники для тонкой очистки газов от аэрозольных частиц используются волокнистые фильтры. Волокнистые фильтры, в частности, широко применяются в атомной, электронной, фармацевтической промышленности для организации технологических процессов, охраны окружаюш;ей среды и для средств индивидуальной защиты. Фильтрация с помощью волокнистых материалов является наиболее экономичным способом очистки газов по сравнению с дрзгги-ми фильтруюшдми материалами, так как при одинаковых расходах газа и степени очистки требует наименьших затрат энергии. За время исследования и эксплуатации волокнистых фильтров накоплен большой объем экспериментальных данных, которые часто не могут быть объяснены на основе простейших моделей, используемых в теории фильтрации волокнистыми материалами. Обсуждение ранних работ по теории фильтрации можно найти в обзорах (Chen, 1955; Davies, 1973; Kirsch, Stechkina, 1978) и в книге (Ужов, Мягков, 1970). Дальнейшее развитие теории и эксперимента можно проследить по работам, опубликованным в книге (Chemical Industries V.27. Filtration: Principles and Practices., 1987), в которой особенно интересен подробный обзор Пиха (Pich, 1987). Последние результаты теоретических и экспериментальных работ по фильтрации можно найти в книгах (Brown, 1993; Advances in Aerosol Filration, 1998) и в статье (Кирш, 2001).

В теории фильтрации волокнистыми материалами, начатой работами (Albrecht, 1931; Kaufmann, 1936; Langmuir, 1942), существуют две основные задачи. Вычисление степени очистки газа от аэрозольных частиц и определение перепада давления на фильтре при заданном расходе газа. Помимо этого, теория фильтрации должна предсказывать изменение основных характеристик фильтров с течением времени и возможное полное время эксплуатации. Решению этих задач препятствует сложная трехмерная структура реальных волокнистых материалов и, как следствие, невозможность точного определения поля течения газа в фильтре. До последнего времени в теории фильтрации использовались простейшие модели для описания течения газа, отражающие некоторые особенности задач теории фильтрации. В работах (Albrecht, 1931; Kaufmann, 1936) для вычисления эффективности осаждения аэрозольных частиц использовалось поле течения идеальной жидкости вокруг одиночного цилиндра. Однако, условия, в которых эксплуатируются волокнистые фильтры, выходят за рамки применимости потенциального течения. Ленгмюр в своей теории (Langmnir, 1942) впервые использовал поле вязкого течения для уединенного цилиндра в неограниченном потоке, полученное Ламбом (Ламб, 1947). Его теория качественно правильно отражала закономерности, наблюдаемые в эксперименте, но количесвенно наблюдались расхождения. В частности, в фильтрах при малых скоростях течения газа сила сопротивления пропорциональна скорости в отличие от силы сопротивления, следующей из решения Ламба, в котором скорость входит под знаком логарифма. В дальнейшем Ленгмюр предложил для вычисления эффективности осаждения аэрозольных частиц в фильтрах ввести в решение Ламба гидродинамический фактор, который может быть определен из экспериментальных данных по перепаду давления. Фукс H.A. для учета взаимного гидродинамического влияния волокон фильтра предложил использовать в теории фильтрации модель периодического ряда параллельных волокон (Фукс, 1961). Математическая теория течения вязкой жидкости при обтекании периодического ряда параллельных волокон незадолго до этого была построена в работах (Tamada, Fudjikawa, 1957, 1959), которые основывались на общем решении уравнений Осеена для плоских течений, полученным в работе (Imai, 1954). При малых скоростях течения жидкости сопротивление ряда волокон было вычислено также в статье (Miyagi, 1958). Мияги сразу решал уравнения гидродинамики в приближении Стокса, полностью отбрасывая инерционные члены. В это же время была опубликована статья (Hasinioto, 1959), в которой рассматривалось сопротивление квадратной периодической решетки волокон в приближении Стокса. Несколько позже появилась очень интересная работа (Головин, Лопатин, 1968), в которой, используя эллиптические функции, вычислено гидродинамическое сопротивление квадратной и гексагональной решеток и найдены функции тока вблизи волокон. После появления этих моделей стало понятно, что сопротивление ансамбля волокон при малых скоростях течения газа действительно пропорционально скорости и зависит от геометрии расположения волокон. В середине шестидесятых годов в группе Фукса H.A. в Физико-химическом Институте им. Л.Я. Карпова Кирш A.A. выполнил большое число экспериментов с различными проволочными моделями фильтров, в которых подтвердились результаты для одномерных и двухмерных периодических моделей фильтров. Также были проведены эксперименты для случайного расположения волокон, в которых получались результаты близкие к наблюдаемым для реальных фильтров. Обзор этих работ можно найти в статье (Kirsch, Stechkina, 1978). В это же время в Институте физической химии АН СССР Радушкевич Л.В. и Колганов В.А. использовали модельные фильтры для изучения различных механизмов осаждения дисперсных частиц (Радушкевич, Колганов, 1968).

В теории развивались методы для вычисления сопротивления различных двухмерных периодических решеток для потока жидкости вдоль волокон (Sparrow, Loeffler, 1959; Drummond, Tahir, 1984) и для поперечных потоков (Sangani, Acrivos, 1982; Brown, 1984; Liu, Wang, 1996, 1997). Сопротивление случайного ансамбля параллельных волокон исследовалось в работах (Howells, 1974; Sangani, Yao, 1988; Ghaddar, 1995). Но эти задачи требуют уже большого объема вычислений, поэтому не было выполнено ни одной работы, где одновременно с силой сопротивления вычислялась бы и эффективность осаждения аэрозольных частиц в случайном ансамбле волокон.

Для вычисления сопротивления сред со случайным расположением параллельных волокон были сформулированы также приближенные ячеечные модели (Kuwabara, 1959; Happel, 1959), отличающиеся граничными условиями.

До последнего времени вычислению гидродинамического сопротивления в трехмерных волокнистых средах была посвящена только работа (Spielman, Goren, 1968), где использовался самосоглассованный подход, предложенный в работе (Brinkman, 1947). Недавно были выполнены численные работы по расчету гидродинамического сопротивления трехмерных решеток, образованных цилиндрическими волокнами, (Higdon, Ford, 1996; Brown, 1997), и работа (Черняков, Кирш, 1997), в которой получены аналитические формулы, для двухмерных и трехмерных периодических решеток, образованных бесконечно длинными волокнами. Общим вопросам течения жидкости в случайных трехмерных волокнистых средах посвящены работы (HoweUs, 1998; Черняков 1998).

Помимо учета конкретной структуры волокнистой среды, для правильного вычисления сопротивления и эффективности осаждения аэрозольных частиц необходимо принимать во внимание полидисперсность волокон реальных тонковолокнистых фильтров, в которых диаметры волокон могут отличаться в сотни раз. Часть волокон может иметь диаметры сравнимые с длиной свободного пробега, вследствие чего необходимо учитывать эффект проскальзывания молекул газа относительно наиболее тонких волокон. Теория полидисперсных фильтров плохо разработана до настоящего времени.

Диссертация посвящена исследованию общих закономерностей медленных течений жидкости в полидисперсных волокнистых средах и изучению влияния структуры этих сред на гидродинамическое сопротивление и эффективность улавливания аэрозольных частиц в таких средах. Диссертация состоит из шести глав.

В первой главе описывается метод Бюргерса, применимый для вычисления гидродинамического сопротивления разреженных дисперсных сред, и рассматриваются различные примеры его применения.

Во второй главе метод Бюргерса применяется для вывода системы уравнений, описывающей распределение сил сопротивления для ансамбля волокон, состоящего из ряда параллельных цилиндров, когда расстояния между цилиндрами много больше их радиусов. Положение каждого волокна и его радиус могут быть произвольны. Выведенная система уравнений применяется для вычисления гидродинамического сопротивления эквидистантных рядов с полидисперсными волокнами и для вычисления коэффициента захвата аэрозольных частиц при диффузионном механизме осаждения для рядов со случайным расположением волокон. Развитые методы применяются к задаче об определении гидродинамического сопротивления ряда параллельных волокон при осаждении на них жидкой дисперсной фазы.

В третьей главе система уравнений, выведенная для разреженных рядов в предыдущей главе, обобщается для описания рядов, расстояния между волокнами которых могут быть порядка их диаметра, с учетом эффекта проскальзывания молекул газа на поверхности тонких волокон. Полученная система уравнений применяется для вычисления гидродинамического сопротивления и эффективности осаждения дисперсных частиц в режиме зацепления.

Четвертая глава посвящена вычислению гидродинамического сопротивления двухмерных и трехмерных периодических решеток, образованных цилиндрическими волокнами. Выведено выражение для функции Грина двухмерной периодической решетки, удобное для вычисления на компьютере. Разработан метод рекуррентных соотношений, в котором связываются между собой гидродинамические сопротивления двух плоских решеток, различающихся между собой удвоением какого-либо периода. Этот метод применяется для вычисления гидродинамического сопротивления плоских решеток с различной геометрией. Вычислено сопротивление квадратной решетки, в узлах которой случайно расположены волокна с двумя возможными значениями радиуса. Выведена система уравнений для определения сил сопротивления, действу-юпщх на трехмерную периодическую решетку, образованную рядами параллельных цилиндрических волокон, в которой все четные ряды повернуты относительно нечетных на произвольный угол.

В пятой главе исследуются общие вопросы гидродинамики жидкости в случайных волокнистых средах. Вычислен оператор рассеяния для одиночного волокна. Выведена самосогласованная система уравнений для функции Грина в анизотропной волокнистой среде, которая в длинноволновом пределе приводит к уравнениям Бринкмана для средней скорости . Выведено выражение для перенормировки вязкости, найдена корреляционная функция скоростей для анизотропной волокнистой среды, получены выражения для коэффициентов диффузии пассивной примеси в волокнистой среде. Уравнения Бринкмана применяются для вычисления гидродинамического сопротивления и эффективности диффузионного осаждения трехмерной веерной модели фильтра. На основе уравнения Бринкмана вычислено сопротивление шероховатого цилиндра в пористой среде. Исследованы решения уравнения Бринкмана для пористой сферической частицы со степенным распределением проницаемости. Найдена подвижность больших и малых сферически симметричных фрактальных кластеров при произвольной размерности.

В шестой главе исследуется эффективность диффузионного осаждения аэрозольных частиц при малых числах Пекле для случайных трехмерных волокнистых сред и для двухмерных периодических решеток.

В конце диссертации сформулированы основные результаты.

Основные результаты

Сформулируем основные результаты полученные в данной работе:

1. Выведена система уравнений для определения гидродинамического сопротивления случайного ряда полидисперсных волокон с учетом эффекта проскальзывания газа. Получены аналитические выражения для гидродинамического сопротивления ряда волокон в случае слабой полидисперсности и в случае разреженного ансамбля дефектов при произвольной степени полидисперсности. Найдено выражение для функции тока вблизи каждого волокна. Методом Монте-Карло проведены расчеты гидродинамического сопротивления и эффективности диффузионного осаждения аэрозольных частиц для случайного монодисперсного ряда волокон. Для периодического ряда параллельных полидисперсных волокон проведены вычисления гидродинамического сопротивления и эффективности осаждения в предположении, что основным механизмом является зацепление.

2. Впервые выполнен расчет роста гидродинамического сопротивления ряда волокон при осаждении жидкой дисперсной фазы с учетом трехмерной структуры течения газа, возникающей при обтекании осажденной жидкости.

3. Для вычисления гидродинамического сопротивления двухмерных периодических решеток разработан метод рекуррентных соотношений, в котором связываются между собой сопротивления двух решеток, различающихся в два раза каким-либо периодом. Используя разработанный метод, выполнены расчеты гидродинамического сопротивления для решеток с различной геометрией.

4. Впервые получено аналитическое выражение для гидродинамического сопротивления трехмернысх периодических решеток, образованных цилиндрическими волокнами.

5. Теория многократного рассеяния применена для вывода уравнений Бринкмана, которым подчиняется скорость течения газа в трехмерной волокнистой среде. Получено выражение для функции Грина уравнений Бринкмана для анизотропных сред, к которым относятся большинство волокнистых фильтров. Вычислена перенормировка вязкости. Выведено уравнение Бете-Солпитера для корреляционной функции скоростей и найдено его решение. Полученная корреляционная функция использована для вычисления коэффициентов продольной и поперечной диффузии пассивной примеси в анизотропной волокнистой среде.

6. Решена задача о гидродинамическом сопротивлении периодического ряда параллельных волокон в пористой среде. Используя решение этой задачи, впервые выполнен расчет гидродинамического сопротивления и эффективности диффузионного осаждения для трехмерной веерной модели фильтра.

7. Найдено общее решение уравнений Бринкмана в цилиндрической системе координат. Полученное решение использовано для вычисления гидродинамического сопротивления шероховатого цилиндра, помещенного в изотропную пористую среду. Показано, что в начальной стадии фильтрации добавка к сопротивлению каждого волокна будет увеличиваться пропорционально числу осевших на нем аэрозольных частиц.

8. Для степенной зависимости проницаемости от радиуса получены решения уравнения Бринкмана в сферической системе координат в виде рядов. Найдены ангшитические выражения для подвижности больших и малых сферически симметричных фрактальных кластеров с произвольной размерностью.

9. Разработана самосогласованная теория для вычисления эффективности диффузионного осаждения аэрозольных частиц на трехмерных волокнистых фильтрах при малых числах Пекле.

10. Для двухмерных периодических решеток поглощающих волокон сформулирована задача о нахождении квазипериодических решений уравнения конвективной диффузии при малых числах Пекле. Найдены собственные значения и собственные функции для различных геометрий решеток.

Заключение

Развитые в диссертации методы вычисления гидродинамического сопротивления и эффективности осаждения аэрозольных частиц позволяют учесть трехмерность структуры высокопористых волокнистых фильтров, их локальную неоднородность и полидисперсность распределения волокон по диаметрам. В качестве моделей фильтров наиболее полно были рассмотрены случайные ряды полидисперсных волокон с учетом эффекта проскальзывания, что важно для современных тонковолокнистых фильтров. Одномерные и двухмерные модели фильтрующих сред, рассмотренные в диссертации, позволяют качественно понять влияние различных статистических неоднородностей и структурных особенностей на эффективность улавливания аэрозольных частиц в реальных фильтрах, чему в последнее время уделяется большое внимание (Vaughan, Brown, 1992; Brown, 1994; Dhaniyala, Liu, 2001). В частности, бьшо показано, что при течении газа через ансамбль волокон поле течения вблизи каждого волокна становится асимметричным и этот эффект нужно учитывать при вычисления эффективности диффузионного улавливания аэрозольных частиц при больших числах Пекле волокнистыми материалами.

Для трехмерных волокнистых сред в диссертации была рассмотрена самосогласованная теория с учетом дальних корреляций в расположение волокон, что важно для веерной модели волокнистых фильтров и некоторых реальных фильтрующих материалов (Purchas, 1996). Общее трехмерное решение уравнений Бринкмана в цилиндрической системе координат и метод вычисления корреляционной функции скоростей, изложенные в главе пять, могут быть в дальнейшем использованы для вычисления эффективности улавливания дисперсных частиц с учетом флуктуации скорости газа вблизи каждого волокна в фильтре.

Развитые методы и полученные новые результаты могут быть использованы в дальнейших теоретических и экспериментальных исследованиях волокнистых материалов, при разработке новых качественных тонковолокнистых фильтров. Разработанные методы учета взаимного влияния большого ансамбля волокон могут быть использованы и в других задачах физической химии, связанных с процессами тепло и массопереноса в дисперсных средах. В частности, эти методы могут быть полезны при изучении каталитических и сорбционных процессов в волокнистых средах.

Помимо физической химии, методы и результаты изложенные в диссертации могут найти применение в физике, например, при рассмотрении свойств разупорядоченных кристалов и при исследовании распространения электромагнитных волн в волокнистых средах.

Автор благодарен Киршу A.A. за многочисленные консультации по вопросам фильтрации газов, Лебедеву М.Н., Ролдугину В.И., Стечкиной И.Б. за плодотворное сотрудничество, а Худякову СВ. и Чикину СП. за полезные обсуждения. Особенно автор благодарен профессору Веденову за постоянную поддержку и внимание к работе.

1. Бейтмен Г., Эрдейи А.,(1966), Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, т.2.

2. Биркгоф Г., (1963), Гидродинамика. М.:Из-во иностр. лит.

3. Борн М., Вольф Э., (1970), Основы оптики. М.: Наука.

4. Бондаренко B.C.,(1961), Жур. Физ.Хим., 35, 2775.

5. Ван Кампен Н. Г.,(1990), Стохастические процессы в физике и химии. Высшая школа, Москва.

6. Глушков Ю.М., (1970), Докл. АН СССР, 195, 71.

7. Головин А.М., Лопатин В.А., (1968), ПМТФ, 2, 99.

8. Градштейн И.О., Рыжик И.Н., (1971), Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука.

9. Гупало Ю.П.,(1965), Докл. АН СССР, 164, 1339.

10. Емец Е. П., Новоселова А. Э., Полуэктов П. П., (1994), УФН 164, 959.

11. Займан Д., (1974), Принципы теории твердого тела. М.: Мир.

12. Исимару А., (1981), Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, М.: Мир, т. 2.

13. Кирш A.A., Двухименный В.А., (1975), Теор. основы хим. технол., 9, 796.

14. Кирш A.A., Стечкина И.Б., Фукс H.A., (1975), Коллоид, жури., 37, 41.

15. Кирш A.A., Стечкина И.Б., Фукс H.A., (1973), Коллоид, журн., 35, 670.

16. Кирш А.А.,Стечкина И.Б.,Фукс H.A. (1973а), Колоид. журн., 35, 34.

17. Кирш A.A., Фукс H.A., (1967), Коллоид, журн. 29, 682.

18. Кирш A.A., Фукс H.A., (1968), Коллоид, журн., 30, 836.

19. Кирш A.A., Фукс H.A., (1973), Коллоид, журн., 35, 971.

20. Кирш A.A., Стечкина И.Б., Фукс H.A., (1973), Коллоид, журн., 35, 34.

21. Кирш А. А. (2001), Международная школа повьшхения квалификации. "Инженерно-химическая наука для передовых технологий". Труды Шестой сессии. Москва ГНЦ РФ НИФХИ им. Л.Я. Карпова. С.20.

22. Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н.В.,(1963), Теоретическая гидромеханика.т.2 М.-.Наука.

23. Кратцер А., Франц В., (1963), Трансцендентные функции. М.: И.Л.

24. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., (1973), Методы теории функций комплексного переменного, М.: Наука.

25. Ламб Г., (1947), Гидродинамика. М.: ОГИЗ-ГОСТЕХИЗДАТ.

26. Лебедев М.Н., Стечкина И.Б., Черняков А.Л., (2000), Коллоид, журн., 62, 807.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., (1986), Гидродинамика. М: Наука.

28. Левич И.Г., (1959), Физико-химическая гидродинамика. М: Наука.

29. Мамфорд Д., (1988), Лекции о тэта-функциях. М.: Мир.

30. Михайлов Е.Ф., Власенко С.С., (1995), УФН 165, 263.

31. Натансон Г.Л., (1957), Докл. АН СССР, 112, 100.

32. Огородников Б.И., (1976), Коллоид, журн., 38, 183.

33. Петрянов И.В., Кощеев B.C., Басманов П.И., Борисов Н.Б., Гольдштейн Д.С, Шатс-кий С.Н., (1984), "Лепесток" (Легкие респераторы), М.гНаука.

34. Покровский В. П., (1978), Статистическая механика разбавленных суспензий, М.: Наука.

35. Прудников A.n., Брычков Ю.А., Маричев О.И., (1981), Интегралы и ряды. М.: Наука.

36. Прудников A.n., Брычков Ю.П., Маричев О.И., (1983), Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука.

37. Радушкевич Л.В., Колганов В.А., (1968), ЖФХ, 42, 971.

38. Сантало Л., (1983), Интегральная геометрия и геометрические вероятности, М.: Наука.

39. Слезкин H.A., (1955), Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат.

40. Смирнов Б.М., (1991), Физика фрактальных кластеров. МгНаука.

41. Соболь И.М. , (1973), Численные методы Монте-Карло. М.: Наука.

42. Стечкина И.Б., (1964), Инж.- физ. журн., 7, N.8., 128.

43. Туницкий H.H., Каминский В.А., Тимашев С.Ф., (1972), Методы физико-химической кинетики. М: Из-во "Химия".

44. Ужов В.Н., Мягков Б.И., (1970), Очистка промышленных газов фильтрами. М.: Изд-во "Химия".

45. Феллер В., (1967), Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.2. М.: Мир.

46. Фукс H.A., (1961), Успехи механики аэрозолей. М.: Изд-во АН СССР.

47. Хаппель Дж., Бреннер Г., (1976), Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М: Мир.

48. Хейфец Л.И., Неймарк А. В.,(1982), Многофазные процессы в пористых средах. М.: Химия.

49. Худсон Д., (1967), Статистика для физиков. М.: Мир.

50. Черняков А.Л., Кирш A.A., (1997), Коллоид, журн., 59, 698.

51. Черняков А.Л., Лебедев М.Н., Стечкина И.Б., Кирш A.A., (1998), Коллоид, журн., 60, 97.

52. Черняков А.Л., (1998), ЖЭТФ, 113, 2109.

53. Черняков А.Л., Кирш A.A., (1999), Коллоид, журн., 61, 852.

54. Черняков А.Л., Кирш A.A., Ролдугин В.И., Стечкина И.В., (2000), Коллоид, журн. 62, 547.

55. Черняков А.Л., Стечкина И.Б., (2000), Коллоид, журн. 62, 711.

56. Черняков А.Л., (2001а), Третьи Петряновские Чтения, тезисы докладов, с.21, Москва.

57. Черняков А.Л., (20016), Коллоид, журн., 63, 499.

58. Черняков А.Л., Кирш A.A., (2001а), Третьи Петряновские Чтения, тезисы докладов, с.23, Москва.

59. Черняков А.Л., Кирш A.A., (20016), Коллоид, журн., 63, 506.

60. Черняков А.Л., (2001), ЖЭТФ, 120, 883.

61. Чистые помешения,(1990). Под ред. И.Хаякавы, пер. с япон. М.: Мир.

62. Шейдеггер А. Э., (1960), Физика течения жидкостей через пористые среды. М. :Гостоптехизд ат.

63. Шкловский Б.И., Эфрос А.Л., (1979), Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука.

64. Шкадов В.Я., Шутов A.A., (1998), МЖГ, N2, 29.

65. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., (1968), Специальные функции. М.: Наука.

66. Advances in Aerosol Filtration, (1998), Spumy K.R.,Ed, Boca Raton, CRC Press.

67. Albertoni S., Cercignani C, and Gotusso L., (1963), Phys. Fluids. 6, 993.

68. Albrecht F.,(1931), Physik. Zeits., 32, 48.

69. Bashkirov A.G.,(1995), Nonequilibrium Statistical Mechanics of Heterogeneous Fluid Sistems, Boca Raton: CRC Press.

70. Batchelor G.K. (1970), J. Fluid Mech. 44, 419

71. Batchelor G. K. (1974), Annu. Rev. Fluid Mech.,6, 227.

72. Brady J. P., Bossis G., (1988), Annu. Rev. Fluid Mech.,20, 111.

73. Brenner H. (1964), Chem. Engn. Sei., 19, 519.

74. Brinkman H.C., (1947), Appl. Sei. Res., A l , 27.

75. Broadbent S.R., Hammersley J.M., (1957), Proc. Cambr. Phil. Soc. 53, 629.

76. Brown, R.C. (1984), J. Aerosol Sei., 15, 583.

77. Brown R. C.,(1993), Air filtration: an integrated approach to the theory and applications of fibrous filters. New York: Pergamon press.

78. Brown R. C, (1994), Staub Reinhaltung der Luft, 54, 59.

79. Brown R. C, (1997), Filtr. and Sep. N3, 165 .

80. Brown R.C., Thorpe A., (2001), Powder Technology, 118, 3.

81. Buyevich Yu. A., Schelchkova I.N., (1978), Progress in Aerospace Sei., 18, 121.

82. Burgers J. М.(1938), Second Report on Viscosity and Plasticity, Kon. Ned. Akad. Wet, Vrhand(Eerste Sectie). Amsterdam: N.V. Noord-HoUandsche. DI XVI, N.4, P. l.

83. Chen C.Y.,(1955), Chem. Reviews, 55, 595.

84. Cheng H., Papanicolaou G.,(1997), J. Fluid Mech., 335, 189.

85. Chernyakov A.L., Lebedev M.N., Stechkina I.B., Kirsch A.A.,(1995), J. Aerosol Sei. 26, Suppl.l, S295.

86. Chichocki В., Hinsen K., (1995), Phys. Fluids 2, 285.

87. Cichocki В., Felderhof В. U., Hinsen К. et al., (1994), J. Chem. Phys., 100, 3780.

88. Childress S., J. Chem. Phys., (1972), 56, 2527.

89. Claey I. L., Brady J. F., (1993), J. Fluid Mech., 251, 411; 443; 479.

90. Cox R.J., (1970), J. Fluid Mech., 44, 791.

91. Davies C. N., (1973), Air filtration. Academic Press, London,New-York.

92. Debye P., Bueche A.M.,(1948), J. Chem. Phys., 16, 573.

93. Dhaniyala S., Liu B.Y.H., (2001), Aerosol Sei. Technol., 34, 161, 170.

94. Drammond J.E., Tahir M.I., (1984), Int. J. Multiphase Flow 10, 515.

95. Edwards D. A., Shapiro M., Bar-Yoseph P., Shapira M., (1990), Phys. Fluids, A 2, 45.

96. Elliott R.J., Krumhansl J.A., Leath P.L., (1974), Rev. Mod.Phys., 46, 465.

97. Felderhof B. U., (1988), Physica, A 151, 1.

98. Filippov A. V., (2000), J. Colloid Interface Sei., 229, 184.

99. Freed K. F., Edwards S. P., (1974), J. Chem. Phys., 61, 3626.

100. Freed K. P., Muthukumar M., J. Chem. Phys., (1978), 68, 2088.

101. Frisch U., (1968), in Probabilistic Methods in Applied Mathematics, ed by A.T. Barucha-Reid, Academic Press, New York, 1, p.76.

102. Fujikawa H., (1956), J. Phys. Soc. Japan, 1 1, 558.

103. Fujikawa H., (1957), J. Phys. Soc. Japan, 12, 423.

104. Garsia-YbarraP.L., Castillo J.L., Rosner D.E., J. Aerosol Sei., (1998), 29, Suppl.l, S1069.

105. Ghaddar C.K., Phys. fluids, (1995), 7, 2563.

106. Gochnour C. R., Anderson H. C, Fayer M. D., (1979), J. Chem. Phys., 70, 4254.

107. Hasimoto H., (1959), J. Fluid Mech., 5, 317.

108. Higdon J. J. L., Ford G. D., (1996), J. Fluid Mech., 308, 341.

109. Hinch E. J., (1977), J. Fluid Mech., 83, 695.

110. Howells I. D., (1974), J. Fluid Mech., 64, 449.

111. Howells I.D., (1998), J. Fluid Mech. 3 55, 163.

112. Imai I., (1954), Proc. Roy. Soc. A 224, 141.

113. Isichenko M.B., (1992), Rev. Mod. Phys., 64, 961.

114. Jackson G.W., James D.F., (1986), Can. J. Chem. Engng. 64, 364.

115. Jeffrey D. J., Acrivos A., (1976), AIChE. J., 22, 417.

116. Johnson R., (1980), J. Fluid Mech., 99, 411.

117. Kaufmann A., (1936), Z. Verein Deutsches Ing. 80, 593.

118. Keller J., (1964), J. Fluid Mech., 18, 94.

119. Keller J., Rubinov S., (1975), J. Fluid Mech., 75, 705.

120. Kirkpatrick S., (1973), Rev. Mod. Phys., 45, 574.

121. Kirkwood J.G., Riseman J., (1948), J. Chem. Phys., 16, 565.

122. Kirsch A.A., (1978), J. Colloid Interfase Sei., 64, 120.

123. Kirsch A.A., Stechkina I. B., (1978), The Theory of Aerosol Filtration with Fibrous filters. In: Fundamentals of Aerosol Science. Ed. D.T. Shaw. N.Y. :J. Wiley & Song, 165.

124. Kirsch A.A., Stechkina LB., (1973), J. Colloid Interfase Sei. 43, 10.

125. Kirsch A. A., Chechuev P. V., (1985), Aerosol Sei. Technol., 4, 11.

126. Kirsch A.A., Stechkina I.B., Fuchs N.A., ( 1971), J. Colloid Interface Sei., 37, 458.

127. Kirsch A.A., Stechkina LB., Fuchs N.A., (1973), J. Aerosol Sei., 4, 287.

128. Kirsch A.A., Stechkina LB., Fuchs N. A., (1974), J. Aerosol Sei., 5, 39.

129. Koch D. L., Brady J. F., (1986), AIChE. J., 32, 575.

130. Koplik J., Levine H., Zee A., (1983), Phys. Fluids, 26, 2864.

131. Kuwabara S., (1957), J. Phys. Soc. Japan, 12, 291.

132. Kuwabara S. , (1959), J. Phys. Soc. Japan 14, 527.

133. LangmuirL, (1942), OSRD Report, N 865.

134. Lifshitz I. M., (1964), y<DH., 83, 617.

135. Lifshitz I.M., Kosevich A.M., (1966), Repts Progr. Phys. 29, pt 1, 217.

136. Liu Z.G., Wang P.K., (1996), Aerosol Sei. Technology, 25, 375.

137. Liu Z.G., Wang P.K., (1997), Aerosol Sei. Technology, 26, 313.

138. Lushnikov A.A., (1996), Proceedings of Fourteenth International Conference on Nucleation and Atmospheric Aerosols. Ed. Wagner, M. Kulmala, p. 397.

139. Majumdar S.R., O'Neill, (1977), J. Appl. Mathem. and Phys. (ZAMP), 28, 541.

140. Mazur P., (1987), Faraday Duscuss. Chem. Soc, 83, 33.

141. Meakin P., Chen Z.-Y., Deutch J.M., (1985), J. Chem. Phys. 82, 3786.

142. Miyagi T., (1958), J. Phys. Soc. Japan. 13, 493.

143. Muthukumar M., Freed K. F., (1979), J. Chem. Phys., 70, 5875.

144. Nyeki S., Colbeck I., (1994), J. Aerosol Sei., 25, 75.

145. Ooms G., Mijnlieff P.P., Beckers H. L., (1970), J. Chem. Phys., 53, 4123.

146. Oseen C, (1927), Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik, Leipzig.

147. Ouyang M., Liu B. Y. H., (1995), Aerosol. Sei. Tech., 23, 311.

148. Payne L.E., Pell W.M., (1960), Mathematika, 7, 78.

149. Pich J., (1966), In "Aerosol Science". Ed. C.N. Davies. New York, Acad. Press. P.223.

150. Pich J. (1987), In "Filtration: Principles and Practice." (Chemical industries; v.27) ed. Matteson M. J., Orr C. New York, Marcel Dekker, Inc., P.l.

151. Piekaar H. W., Ciarenburg L. A., (1967), Chem. Engng Sei. 22, 1399.

152. Pozrikidis C, (1996), J. Engn. Math., 3 0, 79.

153. Purchas D., (1996), Handbook of filter media. Oxford: Elservier Advanced Technology.

154. Raynor P.C., Leith D.,(2000), J. Aerosol Sei. 31, 19.

155. Roe R.-J., (1975), J. Colloid Interface Sei., 50, 70.

156. Roldughin V. L, Kirsch A. A., (1995), J.Aerosol Sei., 26 Suppl, S731157. van Saarloos W., (1987), Physica A 147, 280.

157. Sangani A.S., Acrivos, Int. J. Multiphase Flow, (1982), 8, 343.

158. Sangani A.S., Yao, Phys. Fluids, (1988), 3 1, 2435.

159. Sahimi M., (1983), Rev. Mod. Phys., 65, 1393.

160. Shaqfen E. S. G., Predrickson G. H., (1990), Phys. Fluids, A 2, 7.

161. ShkadovV.Ya, Shutov A.A., (2001), Fluid Dynamics Reseach, 28, 23.

162. Soven P., (1967), Phys. Rev., 156, 809.

163. Sparrow E.M.,Loeffler A.L., (1959), AIChE J.,5, 325.

164. Spielman L., Goren S. L.,(1968), Envir. Sei. Tech., 2, 279.

165. Stauffer D., (1979), Phys. Reports, 54, 1.

166. Stauffer D., Aharony A., (1992), Introduction to percolation theory. London: Taylor & Francis.

167. Tam C. K. W., (1969), J. Fluid Mech., 38, 537.

168. Tamada K., Fujikawa H., (1957), Quart. J. Mech. Appl. Math., 10, 425.

169. Tamada K., Fudjikawa H., (1959), J. Phys. Soc. Japan., 14, 202.

170. Tamaru S., Aomi H., Tanaka O., (1996), Proc. 13th International Symp. on Contamination Control. September 16-20. The Hygiene. P.236.

171. Tandon P., Rosner D.E., (1995), Industrial Engn. Chem. Res.,34, 3265.

172. Taneda S., (1957), J. Phys. Soc. Japan, 12, 419.

173. Tran-Cong, N. Phan-Thien, (1989), Phys. Fluids, A 1, 453.

174. Taylor D. W.,(1967), Phys. Rev. 156, 1017.

175. TiUett J.P.K., (1970), J. Fluid Mech., 44, 401.

176. Vanni M., (2000), Chem. Engin. Sei., 55, 685.

177. Veerapaneni S., Wiesner M. R., (1996), J. Colloid Interface Sei., 177, 45.

178. Vaughan N.P., Brown R.C., (1992), Aerosol Sei. 23, Suppl. 1, S741.

179. Werner R. M., Clarenburg L. A. ,(1965), Proc. Design Dev., 4, 288.

180. Williams M. M.R., Loyalka S.K., (1991), Aerosol science theory and practice. Pergamon Press, New-York.

181. Yarin A.L., Gottlieb P., Graham M.D., (1999), Phys. Fluids, 11, 3201.

182. Yeh H. and Liu B.Y.H., (1974), J. Aerosol Sei., 5, 191.