Гидроэластическая модель возбуждения цунами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

Родриго Гонсалес Гонсалес

ГИДРОЭЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЗБУЖДЕНИЯ ЦУНАМИ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор СЛ.СЕКЕРЖ-ЗЕНЬКОВИЧ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор С.ЮДОБРОХОТОВ

кандидат физико-математических наук, доцент Б.И.ВОЛКОВ

Ведущая организация: Институт океанологии РАН имени

П.П.Ширшова

Защита диссертации состоится мая 2005 г. в 15 час. 00 мин, на

заседании Диссертационного совета К 501.001.17 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы д. 1, стр. 2, МГУ, Физический факультет, аудитория СФА .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан апоеля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, —--

профессор ^ ис П.А. Поляков

¿/¿¿О*

¿имя?/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Цунами - это группа океанских волн, возбужденных к.-л. быстрым крупномасштабным возбуждением водной среды. В глубоком океане цунами почти не заметно. Оно становится катастрофически опасным только при приближении к берегу. Когда цунами достигает мелкой воды, волны замедляются и становятся короче, что приводит к увеличению их высоты. В лучших случаях, цунами набегает на побережье как быстро поднимающийся прилив, вызывая затопление лишь низинных прибрежных областей. Наиболее частая причина цунами -подводные землетрясения; другими причинами могут быть извержения вулканов, оползни, метеорологические факторы или падения метеоритов. Независимо от источника, явление цунами включает три связанные, но различные физические процесса: генерацию к.-л. силой, возмущающей водную массу, распространение из области глубокой воды около источника в прибрежные районы и, наконец, накат на берег. Из этих процессов, генерация и накат на берег являются наиболее трудными для математического моделирования.

Диссертационная работа посвящена аналитико-численному моделированию процесса возбуждения волн цунами подводным землетрясением.

Несмотря на наличие большого количества работ, посвященных проблеме цунами, имеется много вопросов об этом явлении, которые остаг ются без ясного или общепринятого ответа.

РОГ >

! г

Два типа аналитических и численных моделей цунами, возбужденных подводными землетрясениями, хорошо известны в литературе: гидродинамические модели, приводящие к задачам с начальными условиями для анализа волн в слое жидкости, расположенном над абсолютно жестким дном; и гидроупругие модели, которые включают и распространение сейсмических волн в упругом дне.

В диссертации рассматривается задача гидроупругости для слоя жидкости постоянной глубины, покрывающего упругое полупространство, в котором источник генерирует сейсмические волны. Такая задача впервые изучалась аналитически Г.С. Подъяпольским (1968), а развитие его анализа было сделано в работах Н.В. Зволинского (1990, 1991, 1993), С.Я. Секерж-Зеньковича (1991,1993, 1995, 2001), С.Ю. Доброхотова (1993,1995,2000), A.B. Кравцова (1995), A.A. Гвоздева (2000) и др. Численный анализ задачи был выполнен в ряде работ, например, X. Канамори (1972, 1993, 2003), В.К. Гусяковым (1972), Р. Сато (1975, 1976), С.Н. Вардом (1980,1991), Р. Камерой (1984). Хотя было получено много результатов, до сих пор нет полной ясности в том, что происходит в эпицентральной области подводного землетрясения при возбуждении цунами. Как следствие, 75 процентов ложных тревог о цунами было объявлено с 1950-х годов (по данным Ф.И. Гонзалеза (1999)) и до сих пор нет общепринятого ответа на основной вопрос: почему одни сильные землетрясения вызывают цунами, а другие - нет? С другой стороны, до сих пор еще не объяснено явление "медленного или тихого землетрясения". Этот термин был введен X. Канамори (1993) для землетрясений средней магнитуды, которые возывают неожиданно сильные цунами.

Примеры таких цунами -трагические события в Никарагуа в 1992 г. и в Новой Гвинее в 1998 г.

Отметим, что в системах предупреждения цунами решение об объявлении тревоги принимается в тех случаях, когда магнитуда подводного землетрясения превышает некоторое пороговое значение. Ясно, что должны приниматься во внимание какие -то дополнительные факторы. В настоящее время теоретические исследования цунами проводятся главным образом путем численного моделирования; но поскольку задача цунами -многофакторная, то представляется актуальным развивать и аналитические исследования. Выводы таких исследований могут оказаться полезными как для понимания физики процесса, так и для численного моделирования. Хотя аналитические решения задачи цунами даются в виде сложных интегралов, содержащих специальные функции, анализ таких решений удается выполнить достаточно эффективно благодаря применению современных компьютерных методов проведения символьных вычислений и визуализации.

Эта работа продолжает исследования Н.В. Зволинского, С.Я. Секерж-Зеньковича, A.B. Кравцова и A.A. Гвоздева, в которых сформулированный выше вопрос обсуждался для сейсмического источника форме центра расширения, интенсивность которого совершает стационарные и нестационарные колебания, причем для моделирования движений жидкости принималось приближение теории длинных волн. Указанными авторами был сделан вывод, что наличие долгопериодных компонент в спектре источника играет главную роль для возбуждения цунами. Такие компоненты были выделены X. Канамори для землетрясения

1992 г., вызвавшего цунами в Никарагуа, и были также зарегистрированы X. Беньёфом (1963) для двух сильных землетрясений с эпицентрами на континенте.

В данной работе принималась та же модель источника, что у предшественников, но движения в слое жидкости моделировались уравнениями, более адекватными реальности, чем у них, без приближений теории длинных волн. Цель работы

Целью работы является исследование главным образом аналитическое и частично численное гидроупругой модели возбуждения волн цунами. Рассматриваются два режима возбуждения: стационарный и нестационарный.

Данный подход заключается в построении аналитических решений задачи и их дальнейшем асимптотическом или численном анализе для того, чтобы найти наиболее важные цунамигенные факторы сейсмического источника. Особое внимание уделено анализу влияния периода колебаний интенсивности источника на возбуждение волн цунами, а также исследованию волновых полей в эпицентральной области источника.

Научная новизна работы

Аналитико-численное исследование процесса возбуждения волн цунами было выполнено на более реалистической, чем у предшественников, модели, которая, однако, позволила провести достаточно строгий математический анализ. На этой модели был найден ряд специфических особенностей процесса генерации цунами.

В стационарном случае волны типа цунами могут возбуждаться только в том случае, когда период колебаний источника относительно большой. В нестационарном случае волны цунами генерируются также низкочастотными колебаниями источника, отвечающими интервалу пери-дов от 5 до 25 мин; для источника, заглубленного на 40 км самые высокие волны возбуждаются в том случае, когда его период 13 - 14 мин.

Для эпицентральной области в случае не очень глубокого источника, было найдено, что существует интервал долгопериодных компонент в его спектре, таких, что максимум вертикальных смещений дна океана оказывается больше, чем соответствующий максимум возвышения свободной поверхности жидкости. При этом колебания свободной поверхности жидкости распространяются от эпицентральной области со скоростями, близкими к скоростям длинных волн, а возмущения дна океана становятся малыми вне эпицентральной области. Этот факт может найти приложение к явлению "медленного или тихого цунами", В эпицентре при периодах источника меньших, чем 1 мин, возвышения свободной поверхности жидкости почти повторяют вертикальные смещения дна, причем их высота уменьшается с уменьшением периода.

Установлено, что формулы, выведенные в приближении дальнего поля, могут применяться для вычислений при условии, что эпицентраль-ное расстояние превышает 100 км. Практическая значимость

Результаты работы могут быть использовании при поиске путей повышения эффективности систем предупреждения цунами, а также при математическом моделировании процесса генерации цунами на более реалистических моделях.

Автором представляются к защите

1. Аналитическое решение стационарной задачи гидроупругости о возбуждении волн цунами сосредоточенным центром расширения, результаты асимптотического анализа в дальней зоне.

2. Аналитическое решение нестационарной задачи гидроупругости о возбуждении волн цунами, результаты асимптотически -численного анализа в дальней зоне.

3. Результаты аналитико -численного исследования стационарной и нестационарной задач о возбуждении волн цунами в эпицентраль-ной области.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на мексиканских конференциях: "Ежегодный Съезд Геофизического Союза Мексики"(2001 и 2003гг.), "IV Национальный Съезд Наук о Земле"(2004г.); на научном семинаре лаборатории волновых процессов ИПМех РАН, рук. проф. C.B. Нестеров (2003, 2004гг.); на научном семинаре МГУ "Численные методы электродинамики", рук. проф. А.Г. Свешников, проф. A.C. Ильинский (2004г.); на научном семинаре лаб. цунами ИО РАН им. П.П. Шершо-ва, рук. чл. кор. РАН Б.В. Левин (2004г.); на научных семинарах каф. математики физич. фак-та МГУ (2002, 2003, 2004, 2005гг.). Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [4]. Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 40 наименований. Общий объем диссертации 110 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, кратко излагается содержание диссертации, указывается ее научная новизна и формулируются основные результаты работы.

В первой главе описаны некоторые известные цунами, указаны характеристики цунами, а также приведена математическая формулировка задачи.

Рассматривается двухслойная система (рис. 1), состоящая из слоя сжимаемой жидкости плотности ро и глубины Ао, который покрывает упругую среду плотности р\, которая занимает полупространство г < О, где г = 0 на границе раздела между жидкостью и упругим телом в невозмущенном состоянии. В точке г = —к упругой среды расположен источник, генерирующий волны. Верхняя граница системы -свободная поверхность жидкости.

г

Ро

Ло

-к) Рис.1

Ищутся возвышение свободной поверхности жидкости £ и вертикальное смещение океанского дна 7. Задача рассматривается при обычных предположениях линейной теории.

Движение сжимаемой тяжелой жидкости определяется ее скоростью V = — {?гас1 ф, где ф = ф(г,г,<) есть потенциал скоростей, который удовлетворяет уравнению

^ дф

-¿ф = $Аф - д—, г > 0, 0 < г < йо,

где с/ -скорость звука в жидкости, д -ускорение силы тяжести и Д = д2/дгг + (1/г)д/дг + дР/дг2 -оператор Лапласа в цилиндрических координатах с единичными векторами ег,е$,ег.

Вектор смещений з(г, г, I) = згвг + згег в упругом полупространстве удовлетворяет уравнениям Навье

—- = (а2 - Ь2) {¡рг«и1 (Шг з + 62Дв + Г, г > 0, г < О, оЬ

где Г -задает действие источника возмущений, который выбран, как и в цитированных работах предшественников, в форме стационарного и нестационарного центра расширения (точечного источника продольных волн); о и 6 -скорости продольных и поперечных волн, соответственно, которые связаны с параметрами Ламе соотношениями

2 А + 2ц 2 ц

а =-, о = —.

Р1 Р\

В предположениях об однородности и изотропности упругой среды, уравнения Навье сводятся к уравнениям

для потенциалов <р = <р(г, г, <) и ф = ф(г, г, <), через которые выражается смещение так: 8 = ртаё <уз + гаЬ{ф ее).

На границе раздела между жидкостью и упругой средой требуется непрерывность вертикальных смещений и нормальных напряжений, а также отсутствие касательных напряжений, поскольку жидкость предполагается невязкой. Предполагается также, что действие силы тяжести на упругую среду проявляется только при смещениях границы раздела от плоского положения (условия Бромвича).

На свободной поверхности жидкости давление предполагается постоянным.

Во введенных в работе безразмерных переменных функция D(k,s), задающая характеристическое уравнение D(k, s) = 0 системы, которое определяет полюсы решения, имеет вид

D(k, a) = R(k) — ÉÎL—^ï^j 8шЬ(ст8/х„) — fiu cosh(as/Li„)j

+pfia cosh(<rs/xM) — sinh(<7s^„)j ,

где R{k) — (2к2 — l)2 — 4к2цаЦр ~ известная функция Релея, и fia = у/ к2 — а2, fip — л/к2 — 1, = у/к2 - V2.

Графически - численный анализ характеристического уравнения позволил найти возможные свободные волны в системе и построить соответствующие дисперсионные кривые.

Во второй главе задача рассматривается в стационарном случае.

Получены следующие интегральные представления для £ и 77:

С— Яо [ ^Г 2КУ" е-'^ Л0(в1ег) Ас, Jг Щк>8)

Т] = <2о / 8К(2*—^ - ас08Ь(<гя//„)] •

У г

еш Ло(вкг) ¿к,

0^2

где (¿о = ^ а Ло(-) есть функция Бесселя нулевого порядка. Интеграл берется вдоль некоторого контура на плоскости комплексного к.

Когда точка наблюдения находится далеко от эпицентра источника (в дальней зоне), были выведены приближенные формулы путем применения контурного интегрирования и асимптотических методов

*=Кг,*и

г} - ягфо У] а«(2к 1)Ци у^^ 8шЬ((7яр„) - в со8Ь(<та/х„)] • д*°(к>8)

где Н^(-) и Н^(-) - функции Ханкеля нулевого порядка первого и второго рода, соответственно.

Анализ показывает, что достигает при условии » \г)\ своих наибольших значений при периодах Т колебаний источника, больших 5 мин. Зависимость |С| и от Т (мин) показана на рис.2 сплошной и пунктирной линиями соответственно для значений г = 250 км и Л = 40 км.

ICI, toi

0.16

0.04

0.12

0.08

0

5 10 15 20 25 30 35 T

Рис.2

При увеличении h результат меняется мало, но величины и \т]\ уменьшаются. Эти выводы близки к полученным ранее в приближении теории длинных волн. Отличие рассматриваемой -в существовании локального максимума у возвышения свободной поверхности жидкости для малых периодов, который может быть объяснен появлением в жидкости коротких гравитационных волн. -

Если точка наблюдения расположена не очень далеко от эпицентра, то интегралы, после подходящей деформации контура Г были рассчитаны посредством процедуры интегрирования Ромберга с помощью Maple.

Поведение |£| и |г?| проиллюстрировано на рис.3 непрерывной и пунктирной линиями, соответственно, для эпицентральных расстояний г = 0,10,50 и 100 км, h — 40 км и в диапазоне периодов 20 сек < Т < 30 мин.

1.0 I icu :

0.8 \\ 1 Ыг-0

NUio

0.6 |\\ 1 \\

0.4 / 1 / 1

0.2 ^Л / / 1 — hUso

л \J f 1 / 1 W ....... , i ................... \v\r=m

0 5 10 15 20 25 30 35 Т

Рис.3

При достаточно больших периодах вертикальное смещение дна |tj| практически не зависит от периода, тогда как возвышение свободной поверхности жидкости изменяется с периодом, но не монотонно, и достигает глобального максимума при Т ^ 13 мин, уменьшающегося с увеличением эпицентрального расстояния (пунктирная вертикаль на рис.3).

На рис.4 (а) представлены зависимости |£| и |г/| (м) от эпицентрального расстояния г (км) для периода Т = 13 мин и для нескольких значений h.

При г < 100 км результаты были получены численно, а при г > 100 км были применены асимптотичесис формулы дальнего поля. Следует отметить, что при г > 100 км оба подхода приводят к близким результатам, так что приближенные формулы применимы для расчета |С| и \г}\, если г > 100 км. В дополнение, рис. 4(6) показывает в увеличенном виде поведение |£| и |т/| для области г < 50 км при к = 20 и 40 км.

(а)

Рис.4

В третьей главе рассмотрен нестационарный случай, причем при анализе внимание сосредоточено на эпицентральной зоне. Выражения для решений имеют форму:

[М Уг- 0(к,а)

[I Ж^Л-

13

где

N±{K,s) = к(1 - 2K2)liv32F{s)e±iae-"i"1 J0(s/cf), N*(k, s) = k(2k2 - l)ßv \ßfivsiah((TSfil/) — s cosh(crs/i„)] •

■sF(s)e±i31 30(sKf),

и F (s) - преобразование Фурье функции, задающей изменение интенсивности источника во времени. В последующем анализе

f(t) = co8(27rf/T0)

где No € IN определяет число основных затухающих колебаний источника, происходящих с периодом То.

В дальней зоне интегралы были сначала оценены асимптотически, сведены к однократным, а затем определены численно. Вычисления показали, что наиболее важный диапазон То заключен от 5 до 25 мин, причем при То = 13 —14 мин величина ( - наибольшая. Таким образом, было найдено, что период колебаний источника То является одним из наиболее важных параметров в процессе генерации волн цунами. Колебания источника вызывают колебания свободной поверхности жидкости того же периода То и той же формы, которые распространяются из эпицентра СО скоростями, близкими К скорости ДЛИННЫХ ВОЛН СО = y/gho-Дно океана также совершает колебания, но они малы в дальней зоне. Если период источника То < 1 min, волны цунами не возбуждаются.

В эпицентральной области анализ был сделан численно, но с предварительной деформацией пути интегрирования для преобразования двойных интегралов к более удобной для применения численных процедур форме.

Расчет выполнялся методом Симпсона, улучшенным адаптивной квадратурой Гаусса. Результаты показаны на рис.5 для точек наблюдения с эпицентральными расстояниями г — 0, 10, 20 и 50 км при к = 40 км и То = 13 мин. Графики максимальных значений возвышения свободной поверхности ( изображены сплошными линиями, а вертикального смещения дна г) - пунктирными.

Рис.5

Видно, что для эпицентральных расстояний г < 20 км, т^а* больше, чем соответствующие Стах, в противоположность тому, что имеет место при больших эпицентральных расстояниях. Аналогичный результат был получен для диапазона периодов 5 мин < То < 25 мин и глубин источника Л < 40 км.

На рис.6 представлена более крупным планом часть графика £шах и Tjmax в области г < 50 км, для То = 13 мин and h = 40 км.

0.8

0.6

0.4

0.2

■ tynax

0.0

10 20 30 40 50

г

Рис.6

В эпицентре (г = 0) и при периодах, меньших чем 1 мин, возвышение свободной поверхности жидкости почти совпадает с вертикальным смещением дна, причем оно уменьшается с уменьшением периода. На рис.7 показаны зависимости £ и rj от г при периодах То = 60,50 and 20 сек, соответственно, для h = 40 км.

ов

04

02 tr

432 -04 -06

'20 ЭО " 40 ' 50 60

Т0 =60

t

— с

О" V <S ' 10 15' 20 >2\\1

Та =20

t

Тв -50

Рис.7 16

Из результатов расчетов было установлено, что при г > 100 км формулы, полученные в приближении дальнего поля, могут быть применены для расчета £ и т), причем точность формул для т) ниже, чем для Этот результат представляется важным, так как прямые расчеты для не очень малых периодов требуют нескольких часов компьютерного времени.

В приложении представлен некоторый справочный вспомогательный материал.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в диссертации выполнено аналитико - численное исследование процесса возбуждения волн цунами на более реалистической, чем у предшественников, модели, которая, однако, позволила провести достаточно строгий математический анализ.

Основные результаты диссертации

1. В стационарном случае волны типа цунами возбуждаются только при сравнительно больших периодах источника.

2. В нестационарном случае волны цунами возбуждаются только низкочастотными колебаниями источника, имеющими периоды от 5 до 25 мин; причем при глубине источника 40 км самые высокие волны возбуждаются при его периодах 13 -14 мин. Период колебаний источника - один из наиболее важных параметров в процессе генерации волн цунами.

3. Для эпицентральной области и не очень глубоких источников было найдено, что существует интервал в спектре долгопериодных колебаний источника, в котором максимум вертикального смещения дна превышает соответствующий максимум возвышения свободной поверхности.

4. Возбуждаемые источником колебания свободной поверхности жидкости распространяются от эпицентра со скоростью, близкой к скорости распространения длинных волн 0.2 км/сек; колебания дна океана - малые вне эпицентральной области. Этот вывод может быть применен к явлению "медленного или тихого" землетрясения.

5. В эпицентре при периодах, меньших чем 1 мин, возвышение свободной поверхности жидкости почти повторяет вертикальное смещение дна, причем имеет тем меньшие значения, чем меньше период источника.

6. Найдено, что формулы полученные в приближении дальнего поля, применимы для вычислений, если эпицентральные расстояния превосходят 100 км.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. González González R. Analytical Approach of the Hydroelastic Problem on Tsunami-Type Waves Generation. Proceedings Bulletin GEOS, Unión Geofísica Mexicana, A.C., Vol. 23, No. 2, 2003.

2. González-González R. and Sekerzh-Zenkovich S. Hydroelastic Stationary Problem on Tsunami Waves Generation. MBMM. 2004, T. 44, №. 11, C. 2084-2093.

3. González González R. The Silent Earthquake Concept: Main Implication from a Simple Analytical Model of the Tsunami Problem. Proceedings Bulletin of the IV Reunión Nacional de Ciencias de la Tierra, 2004.

4. González-González R. and Sekerzh-Zenkovich S. Epicentral Zone Analysis for the Nonstationary Hydroelastic Problem on Tsunami Waves Generation. IPM Preprints, RAS. 2005, No. 775, pp. 1-28.

ООП Фиэ.ф-та МГУ. Заказ 84-100-05

I

1

'I

Û/.Û/- ¿?S. Û3

РНБ Русский фонд

2005-4 42302

/ ?

19 МАЙ 2005 ""

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова _, физический факультет_

На правах рукописи

04.2.00 5 15566

Родриго(Гонсалес Гонсалес

Гидроэластическая модель возбуждения цунами

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор С.Я.Секерж-Зенькович

Москва - 2005

Moscow State University M.V. Lomonosov

Faculty of Physics

RODRIGO GONZALEZ-GONZALEZ

"Hydroelastic Model on Tsunami Generation"

(01.01.03 - Mathematical Physics)

Dissertation submitted to obtain the scientific degree of PhD in Physics - Mathematics Sciences

Scientific-academic adviser, Doctor of Physics-Mathematics Sciences, Professor Sergey Yakoblevich Sekerzh-Zenkovich

Moscow 2005

Table of Contents

List of Figures..................................................................iii

Acknowledgments................................................................v

Introduction ......................................................................ix

Chapter 1. Preliminaries....................................................1

1.1. Tsunami Events............................................................1

1.1.1. Definition, Description and Historical Notes....................2

1.1.2. Understanding the Process of a Tsunami........................8

1.2. Hydroelastic Problem on Tsunami Waves Generation..................15

1.2.1. Presentation........................................................15

1.2.2. Physical Formulation of the Problem............................17

1.2.3. Mathematical Statement of the Problem........................19

1.3. Natural Modes of the System....................................23

1.3.1. Solutions for the Potentials ......................................24

1.3.2. Dimensionless Variables....................................26

1.3.3. Determinant and Poles of the System............................28

1.3.4. Dispersion Relations..............................................31

Chapter 2. The Stationary Case..........................................35

2.1. Stationary Point Source of Compression Waves..........................36

2.1.1. Far Field Approximation..........................................39

2.1.2. Epicentral Zone Analysis..........................................45

2.2. Conclusions................................................................49

Table of Contents—Continued

Chapter 3. The Nonstationary Case......................................51

3.1. Nonstationary Point Source of Compression Waves ....................52

3.1.1. Time Variation and Spectral Function of the Acting Source . . 58

3.2. Discussion of Results......................................................61

3.2.1. Far Field Approximation..........................................61

3.2.2. Analysis of the Epicentral Area..................................68

3.3. Conclusions................................................................73

Conclusion of the Thesis........................................................75

Appendix A. About the Math-Supporting Stuff......................82

A.l. Scratch Material on Generalized Functions..............................82

A. 1.1. The Dirac Delta Function........................................83

A. 1.2. Green's Functions..................................................91

A.1.3. The Images Method ..............................................94

A.2. Asymptotic Methods......................................................98

A.2.1. Contour Integration................................................98

A.2.2. Method of Steepest Descent......................................99

A.3. Numerical Integration Algorithms........................................102

A.3.1. The Romberg's Method ..........................................102

A.3.2. Multiple Integrals Hybrid Algorithm............................106

Appendix B. Bibliography..........................107

References........................................................................107

Texts..............................................................................109

Links to Tsunami Web Pages......................... 110

H

iii

List of Figures

Figure 1.1. Difference between tsunami and other sea waves..................3

Figure 1.2. Stages of a tsunami ................................................11

Figure 1.3. Example of an informative bulletin for tsunami prevention ... 13

Figure 1.4. Flat-ocean elastic-earth model for tsunami........................18

Figure 1.5. Positive zeroes of the characteristic equation......................29

Figure 1.6. Dispersion curves for tsunami and Rayleigh waves................32

Figure 1.7. Phase and Group velocities of tsunami-type waves ..............33

Figure 2.1. Suitable contour of integration for the far field approximation in

the stationary case............................................................41

Figure 2.2. Far field approximation for the vertical displacement solutions in

the stationary case............................................................43

Figure 2.3. Behavior of the vertical displacements for different hypocenter

focal depths in the stationary case............................................43

Figure 2.4. Behavior of the vertical displacements far away from the epicenter

in the stationary case........................................................44

Figure 2.5. Suitable steepest descent path......................................45

Figure 2.6. Behavior of the vertical displacements at the epicenter in the

stationary case..................................................................46

Figure 2.7. Behavior of the vertical displacements near the epicenter in the

stationary case................................................................47

Figure 2.8. General results at the epicentral zone for the stationary case . . 48

Figure 3.1. Time history of the source..........................................59

Figure 3.2. Contour of integration for the far field approximation approach

in the nonstationary case....................................................62

List of Figures—Continued

Figure 3.3. Long-period dependence of the vertical displacements in the non-

stationary case................................ 65

Figure 3.4. Short-period dependence of the vertical displacements in the non-

stationary case................................ 66

Figure 3.5. Large-epicentral distance dependence of the vertical displacements in the nonstationary case....................... 66

Figure 3.6. Behavior of the fluid free-surface for far observation points ... 67

Figure 3.7. Suitable steepest descent paths.................. 69

Figure 3.8. Long-period dependence of the vertical displacements for distances near the epicenter .......................... 70

Figure 3.9. Behavior of the vertical displacements in the nonstationary case 70 Figure 3.10. Short-period dependence of the vertical displacements in the non-

stationary case................................ 71

Figure 3.11. Behavior of the fluid free-surface elevation and the sea-bottom

vertical displacement at the epicentral zone................ 72

List of Figures—Continued

Figure 3.3. Long-period dependence of the vertical displacements in the non-

stationary case................................ 65

Figure 3.4. Short-period dependence of the vertical displacements in the non-

stationary case................................ 66

Figure 3.5. Large-epicentral distance dependence of the vertical displacements in the nonstationary case....................... 66

Figure 3.6. Behavior of the fluid free-surface for far observation points ... 67

Figure 3.7. Suitable steepest descent paths.................. 69

Figure 3.8. Long-period dependence of the vertical displacements for distances near the epicenter .......................... 70

Figure 3.9. Behavior of the vertical displacements in the nonstationary case 70 Figure 3.10. Short-period dependence of the vertical displacements in the non-

stationary case................................ 71

Figure 3.11. Behavior of the fluid free-surface elevation and the sea-bottom

vertical displacement at the epicentral zone................ 72

A cknowledgments

First, to hirn, who gave me life through my parents, who equipped me with all the necessary and always is present on myself. Infinitely grateful, God!

My sincere thanks to Dr. Sergey Ya. Sekerzh-Zenkovich, who unconditionally accepted to be my scientific advisor during my academic program of graduate studies and generously shared with me part of his mathematical knowledge on the tsunami problem, which, once I knew it, immediately attracted my attention and became to be part of my thoughts till the dissertation took form. It is important to enhance that professor Sergey Ya. also help me directly or indirectly in various aspects through my pass as a graduate foreign student of the Faculty of Physics, Moscow State University, M.V. Lomonosov. Thank you very much, Dear Professor!

During the period of my graduate program and the realization of this work, I met a lot of people whom I need to thank for their valuable help and support: specially, Dr. Valentin F. Butuzov, head of the Cathedra of Mathematical-Physics, Faculty of Physics, MSU, who offered an excellent opportunity to my academic life -study at the most prestigious university of Russia; Dr. Anatoly G. Yagola, distinguished professor from the Faculty of Physics, MSU, who not only advised me administratively, but in many senses in a surprising way; Natalia Nikolaevna Nikiforova, great person and excellent secretary of the International Relations Office, Faculty of Physics, MSU, who always offered her human side and helped me every time I required; Valiery Titarenko, graduate student (at the same period as mine) of the Faculty of Physics, MSU, who was an extraordinary guide in the most tedious part of my stays at the MSU, the administrative and bureaucratic procedures; and Carlos Lizarraga Celaya, my partner from the University "of Sonora, who" not only helped me and shared good times, but also propitiated that I enrolled and kept in the PhD program. Thanks to each of you to share with me your precious time and space!

Is my debt to thank all people from the University of Sonora, close to me by any reason, who helped me whichever had been the form. Specially, I thank to M.S. Ma. Magdalena González Agramón, "la maestra magaly", who was the person directly responsible of the administration of scholarships at the University of Sonora, and who never hesitated to bring me the financial support for my stays at the MSU. Through her I give the thanks to my university, source of my job: I am proud to be one of its owls

"El Saber de mis Ilijos hará mi Grandeza" is the beautiful slogan that distinguishes us, legacy of our Universidad de Sonora.

I also want to show my thankfulness in a special form to my parents Gilberto and Petra, who drained on me the best of their energy and concreted the possibility that I am now here writing these lines; to my born family González-González, for all the care and wonderful memories; to my family in law Valenzuela-Chávez, for the help and love ever offered; and also to my friend Maximino Dórame Velásquez, for his friendship and the prayers he made for me. Thanks everybody to be always in the exact position!

My final acknowledgments to my wife Olga Lidia Valenzuela Chavez and to my children Amy Gabriela, Rodrigo Iván and Olga Yvonne must be a rather different sort, since they represent the maximum treasure of my life. In ways I shall probably be the last to recognize, each of them, too, has contributed intellectual ingredients to my work. But they also, in varying degrees, done something more important. They have, that is, let it go on and even encouraged my devotion to it. Anyone who has wrestled with a project like mine will recognize what it has occasionally cost them. I do not know how to give them thanks. Instead, I will express my love for you, forever, my precious loves!

Moscow, Russia, April, 2005.

Sincerely,

Rodrigo González González.

Introduction

A tsunami is a series of waves in the ocean generated by any rapid large-scale disturbance of the sea water. In the deep ocean, a tsunami is barely noticeable. Only as it approaches land a tsunami becomes a real hazard. As a tsunami reaches shallow water, the waves slow down and become compressed, causing them to grow up in height. In a favorable way, the tsunami comes onshore like a quickly rising tide and causes a gentle flooding of low-lying coastal areas. The more common cause of tsunamis is due to submarine earthquakes, and other possible causes are volcanic eruptions, undersea landslides, meteorological conditions or meteor impacts. Regardless of their origin, tsunamis evolve through three overlapping but quit distinct physical processes: generation by any force that disturbs the water column, propagation from deep water near the source to shallow coastal areas and, finally, inundation of land. Of these processes, the generation and inundation are the most difficult to model mathematically.

The thesis work is devoted to an analytic-numerical approach in the modeling of tsunami waves generation by submarine earthquakes.

In spite of the existence of many works concerning the tsunami problem, until now there are a lot of questions about the occurrence of tsunami that remain without a clear or convincing answer. Two types of analytical and numerical models of tsunami originated by submarine earthquakes are well known from the literature: hydrodynamic models, leading to initial condition problems for the analysis of waves in a layer of fluid over an absolutely rigid bottom, and hydroelastic models, which are concerned with the propagation of elastic waves.

In the thesis, the hydroelastic problem with a fluid layer of a constant depth over an elastic half-space in which a source generates disturbing waves is considered.

The goal of the work is the study mainly analytical and partially numerical of a hydroelastic model on tsunami waves generation. Two modes of generation are analyzed: the stationary and nonstationary cases.

The aim of the approach is the devotion to analytical solutions of the problems and their further asymptotic and numerical analysis in order to find the most important tsunamigenic factors of the seismic source. Special attention was centered on the analysis of the influence of the source oscillation period on tsunami waves excitation and also on the investigation of the behavior of the waves in the epicentral area of the source. The scientific novelty of the work is that, an analytical-numerical study on the tsunami waves generation problem was made with a more realistic model than those of the predecessors, and at the same time, a rigorous mathematical analysis was possible. With this model, peculiar properties of the tsunami generation process were found.

In the stationary case, tsunami-types waves are generated only when the period of the source is relatively long. In the nonstationary case, tsunami waves are generated only by low-frequency oscillations of the source, corresponding to the period range from 5 to 25 minutes; for a source depth of 40 km, for example, the greatest wave is attained for a period about 13-14 min. For the epicentral area and not very deep sources, it was found that there exists an interval of long-period components in the spectrum of the sources, such that the maxima of the vertical displacements of the sea-bottom are greater than the corresponding maxima of the fluid free-surface elevation. The oscillations of the fluid free-surface propagate outside of the epicenter area with velocity close to that of the long-waves, while the sea-bottom vertical displacements become very small outside of the epicentral area. This fact could be applied to the "slow or silent earthquake" phenomenon. At the epicenter and periods less than 1 min, the elevation of the fluid free-surface repeat the sea-bottom vertical variation, having decreasing values as the period becomes small.

It was found that the formulas obtained in the far field approximation are reliable for calculations if the epicentral distance is greater than 100 km. A small difference is present for the sea-bottom vertical displacement, which is due to the contribution of the integrals along the banks of the cut singularities, but it becomes insignificant as the observation point moves far away from the epicenter.

Now, let us give a brief description of the situation of the problem under consideration: the problem was first studied analytically by G.S. Pod"yapol'skiy (1968) and extensions of his analysis were essentially made by N.V. Zvolinskii (1990,1991,1993), S.Ya. Sekerzh-Zenkovich (1991,1993,1995, 2001), S.Yu. Dobrokhotov (1993,1995,2000), A.V. Kravtsov (1995) and A.A. Gvozdev (2001). Also, numerical analysis of the problem can be found in a series of published papers, as for example, H. Kanamori (1972,1993,2001), V.K. Gusyakov (1972), R. Sato (1972,1974), S.N. Ward (1980,1981), R. Comer (1984) and so on. Although many results have been obtained, until now it is not wholly clear what happen in the ocean at the epicenter area of a submarine earthquake when it excites a tsunami. As a consequence, an unacceptable 75 percent of false-alarm has prevailed since 1950's (as documented by F.I. González, 1999), and there is not a convincing answer to the basic formulated question why some strong earthquakes produce tsunami, while others that are expect to, do not? On the other hand, the phenomenon of "slow or silent earthquake" has not been completely explained yet. The term introduced by professor H. Kanamori, from California Institute of Technology, refers to earthquakes of moderate magnitudes that can excite exceptionally strong tsunamis. Examples of such a fatal events are Nicaragua 1992 (already classified) and Papua New Guinea 1998 (in discussion).

Note that warning systems usually issue alert preventions when the earthquake magnitude is greater than a threshold value. So, it is clear that additional information must be taken into account. At the present time, theoretical studies of tsunamis are performed basically by numerical modelling, but since the tsunami problem depends of many factors it seerns that analytical study is an approach of present interest, since the results of this approach can be useful for the physical understanding of the process as well as for the numerical modeling. Although the obtained analytical solutions of the tsunami problem are given by means of complicated integrals containing combinations of special functions in their integrands, the analysis of such expressions for the solutions are successful by the use of modern methods of symbolic computation and visualization performed by fast computers.

This work continues the studies made by N.V. Zvolinslii, S.Ya. Sekerzh-Zenkovich, A.V. Kravtsov and A.A. Gvozdev, in which the above formulated question was discussed for a seismic source in the form of an expansion center with intensity changing in a stationary and nonstationary mode of oscillation, using the long-waves approximation theory to model the motion of the fluid. The conclusion made by these authors was that the existence of long-period components in the spectrum of the source plays the main role for tsunami generation. Such components were found by H. Kanamori for the Nicaraguan 1992 tsunami earthquake, and were also registered by H. Benioff (1963) for two strong earthquakes with epicenters in a continental area.

In this work the same predecessors model for the source is used, but the motion in the fluid layer is modelled by a more realistic equation without the long-waves approximation assumption.

The thesis work consists of the present descriptive introduction; mainly three chapters, which contain the basics elements to develop the improvements on the-solution of the tsunami problem; a global conclusion of the thesis; one appendix that provides mathematical supporting material to get such solution; and the consulted-bibliography.

In the introduction, the dissertation topic is settled, then a short description of the work and the scientific novelty are stated, and the main basic results are formulated.

In the first chapter, preliminaries concerning historical tsunami events and the characteristics on tsunamis are described and also the mathematical formulation of the problem is presented. The results obtained in this introductory part refer to the natural modes and dispersion relations of the system, which are utilized or referenced from the rest of the work.

A two-layered system (Fig.l) is considered: a layer of a compressible fluid of constant density po, with a constant depth h0, overlying a horizontally unbounded elastic body of density occupying the half-space z <0, with z = 0 at the interface

between the fluid and the elastic body in an undisturbed state. A source of disturbing waves is located in the point z — —h of the elastic body. The upper boundary of the system is the free-surface of the fluid. The problem is stated under the usual assumptions of the linear theory.

z

_zxC

V i V

—® (0,0, -h) > I *

Fig.l

The elevation of the fluid free-surface £ and the vertical displacements of the sea-bottoin 77 arc seeking.

The motion of the compressible ideal fluid is determined by the vector velocity v — —grad (j>, where (j> — 4>(r, z, t) is the fluid velocity potential, which satisfies the equation

d2(f> 2 A , d(¡)

= cjA0 - r > 0, 0 < * < ho,

where cj is the velocity of acoustic waves in the fluid, g is the acceleration of gravity, and A = d2/dr2 + (1 /r)d/dr + d2/dz2 denotes the Laplacian operator in cylindrical coordinates, with unit vectors er,ee,ez.

The displacement vector s(r,z,t) = sTer + szez through the elastic half-space satisfies the classical Navier's equation d2s

—- = (a2 - b2) grad div s + b2As + F, r > 0, z < 0, ot

where F represents the action of the source, which is taken in the form of stationary and nonstationary expansion center (point source of compressional waves); and a, b are, respectively, the velocities of the longitudinal and transversal waves in the elastic medium, which are related with the elastic Lamé parameters by

9 a + 2u l9 u

a¿ =-- , b¿ = — .

Pi Pi

Under homogeneous and isotropic conditions assumed on the elastic body, the Navier's equation reduces to the basic equations

ay dt2

for the potentials <p — <p(r,z,t) and ip — ip(r,z,t), which are related with the displacement s by s = grad ip + rot (ipeo).

At the interface between the fluid and the elastic media it is required continuity of vertical displacements and normal stresses, and absence of shear stresses since it is assumed that the fluid is ideal. It is assumed also that the action of gravity on the elastic medium affects directly only when there is a displacement of the interface from its plane state (Bromwich's assumption). At the fluid free-surface the pressure is assumed to be constant.

In a suitable set of dimensionless variables the function D(k, s) defines the characteristic equation D(k, s) = 0 of the system, which gives the poles of the solution and has the form

D(k, S) =

R(K)

/3(1 - p)iia

sinh(ers/i„) — cosh(asfiu)

fin»

cosh(cr sfi^) — sinhfasn,,)

where R(k) = (2k2 — l)2 — is the well-known Rayleigh function, and

/Jia — y/K2 — a2, flp = y/K2 — 1, — y/K2 — v2.

A graphical-numerical analysis of the characteristic equation permits to find the natural modes of the system and to construct the corresponding dispersion curves.

In the second chapter, the first enhancement for the problem is made for the stationary case.

6

xiii

In this case, the following expressions for the integral representations of £ and r\ were obtained:

J 1 - 2/c2K e-sJllia eist J {8Kf) d

J r D{k,S) r sk(2k2 — l)p,

T] = Q0 —-r—1- [/?/i„sinh(crs^) - scosh(<rs^„)] e_s/i,iQ eiSt Jo(skt) d/c,

where Qo = —-g^- and Jo(-) is the Bessel function of order zero. The integral means contour integration in the complex /«-plane.

When the observation point is located far away from the epicenter of the source (i.e., in the far field), the approximate formulas for the integrals were derived using contour integration and asymptotic methods

K—Kt >/"vts

T] = 7TQ0 y S*l2/i2, ^ [/^sinh(as^)-scosh(^)] eisi e~s'h^ B^(sKf),

1' OkV(k,S)

K—Kr,Avts

where H^-) and h[,2)(-) are the Hankel zero-order functions of the first and second kind, respectively.

The analysis shows that |£| reaches its maximum, under the condition |£| |r/|, for source oscillation periods T greater than 5 min. The dependence of |£| and |?7| respect to the T (in minutes) is shown in Fig.2 by means of thick and dotted lines, respectively, for the values r= 250 km and h = 40 km. When h increases the results change slightly, but |£| and |r/| decrease. These conclusions are in a good agreement with those obtained in the long-waves approximation theory. The difference of these model is the existence of local maxima of the elevation fluid free surface £ for small periods, which can be explained as the presence of short gravity waves in the liquid layer.

/5

xiv

10 15 20 25 30 35 T Fig.2

If the observation point is located not too far from the epicenter, the integrals after a suitable change of the contour Y are evaluated by means of the Romberg integration procedure with the help of Maple.

The behavior of C and r/ are illustrated in Fig.3, using continuous and dotted lines, respectively, for the epicentral distances r = 0, 10, 50 and 100 km, h = 40 km and the range of periods 20 sec < T < 30 min.

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2-

I ifu : iv J Mr-o

jcuSNT Mr-10

1 \ \ i \nv i \\ lClr=M [ \V / i \ \ / 1 N.

/ 1 ^^V. \ l^lr-SO

0 5 10 15 20 25 30 35

Fig.3

For sufficiently large periods, the vertical displacement of the sea/bottom is practically independent of the period, while the fluid free-surface elevation |C| varies with the period, but not monotonically, reaching a global maximum for T ^ 13 min, which decreases respect to the epicentral distance {vertical dashed line in Fig.3).

In Fig.4(a) the dependencies of |C| and (in meters) respect to the epicentral distance r (in km) are presented for the period T = 13 min and several values of h. For r < 100 km the results were obtained numerically, while for r > 100 km the asymptotic far field formulas were applied. It should be noted that for r > 100 km both approaches give similar results, so that, the approximate formulas are reliable to compute and |r;| if r 3> 100 km. In addition, Fig.4(6) zooms the behaviors of |c| and 17/1, for the region r < 50 km and hypocenters h = 20 and 40 km.

N/>=20

M/i=40

toUeo

Kk-20

ICI/,^40

.IC 1/1=60

m

100 200

(a)

300

Fig-4

In the third chapter, the nonstationary case is considered with special attention to the analysis of the epicentral zone. In this case, the expressions for the solutions have the form

2g3uJ02 ['" [ f N+(k,s) f Nffas) '

V2^b2JSm Jr+ D{K, S) K Jr- D(k, S)

Vte f>2 J,m Ur+ D(K,s)

s)

Jr- D(k,

d,K

ds,

ds,

where

N±(k,s) = «(1 - 2k2)n„s2F(s)e±isIe-sllah J0(s«f),

s) = k(2k2 - l)nv [¡3fj,„sinh(crs^) - s cosh(crs^)] sF(s)e±ist e~s'laJl J0(s/cf),

and F(s) is the Fourier transform of the time history, f(t), of the seismic source. In further analysis,

f(t) = cos (27ri/T0) e~(t/N0T0)2^

where No E IN determines the number of decreasing oscillations that the source executes with period of oscillation T0.

In the far field, the solutions were estimated asymptotically, transformed into single integrals, and then evaluated numerically. The calculations showed that the range of T0 for the excitation of tsunami is from 5 to 25 min, being the most important period approximately at 13-14 min, when £ reaches its maximum. Thus, the oscillation period of the source To is one of the main parameters in the tsunami waves generation process. The oscillations of the source cause oscillations of the fluid free-surface of a similar form and of the same period T0, which propagate from the epicenter with velocities close to the velocity c0 = y/gho of the long water waves. The sea-bottom 77 also oscillates, but it is practically inappreciable in the far field. If the period of the source To < 1 min, then there is not excitation of tsunami waves.

The analysis in the epicentral area, was made numerically with a preliminary changing of the integration paths that reduces the original integrals into equivalent double integrals more suitable for numerical evaluation, which was performed with a Simpson's Rule improved by a Gaussian Adaptive Quadrature. Fig.5 shows the results of computations at the observation points for the epicentral distances r = 0, 10," 20," and 50 km for 7r= 40 km and T0 =' 13 min." The graph of the fluid free-surface elevation £ is shown by the continuous line, while the sea-bottom vertical displacement 77 is shown by the dotted line.

№

xvii

Fig. 5

It is observed that for the epicentral distances r < 20 km, the maxima of rj are greater than the corresponding maxima of conversely as in the case of far epicentral distances. The same result was obtained for the period range 5 min < X0 < 25 min and the depth of the source h < 40 km.

In Fig.G it is exposed a detailed part of the graph for Cm ax and in the region r < 50 km, for the period TQ = 13 min and h = 40 km.

Fig.6

At th