Гиперкомплексы прямых пространства Лобачевского тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

¡8 ЗЯ 9'Г

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА П ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. II. ЛЕНИНА

Специализированный Совет К 053.01.02

На правах рукописи УДК 514.75

ЗАЦЕПИНА Ольга Валентиновна

ГИПЕРКОМГО1ЕКСЫ ПРЯМЫХ ПРОСТРАНСТВА ЛОБАЧЕВСКОГО

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва 1991

<0 с / V.

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Легшпа

доктор физико-математических наук, профессор РОЗЕНФЕЛЬД Б. А.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор АКИВИС М. А.

кандидат физико-математических наук, доцент ЗАМАХОВСКИЙ М. П.

Ведущая организация: Казанский государственный университет.

Защита состоится «8» апреля 1991 г. в 16 час. в ауд. 301 на заседании специализированного Совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., 14, МПГУ им. В. И. Ленина.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина (119882, Москва, М. Пироговская, д. 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Автореферат разослан «./.............1991 г.

Научный руководитель:

Ученый

визированного Совета КАРАСЕВ Г. А.

а.

;сорт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• Актуальность темы. Одной из гервнх работ посвященш/х изучению комплексов прямых явилась работв А.Трансона /1/, а начало дифференциальному исследовании теории комплексов положили С.Ли /2/ и Ф. Клейн /3/ в 1872 году. В 1923 году П. ;.'антре /4/ впервые применил метод внешних форм Э.Картана к изучению комплексов прямых. Он дал классификацию комплексов прямых в трехмерном пространстве по кратности инспекционных центров.

В настоящее время дифференциальная геометрия комплексов прямых в евклидовом, проективном и аффинном пространствах интенсивно развивается. В то же время, комплексы прямых в неевклидовых пространствах до сих пор изучены мало. Первой публикацией на эту тему является работа Б.А. Розенф&Аьда /6/. Отдельные вопросы, касающиеся изучения комплексов прямых в эллиптическом и гиперболическом трехмерных пространствах рассмотрены Н.И. Ковагаювш в /7/. В. И. Мешано/ и Т.И.Тулюпа изучали комплексы прямых одновременно во всех трех пространствах постоянной кривизны. Они рассмотрели некоторые свойства комплексов, связанные со свойствами линейчатых поверхностей, принадлежащих комплексу /8/.

1. Тглплоа Л, Jkenvoctc Stci ¿ее fiopuhtbs d'ec/t, £fi$em,Sfe dt cCtccies me/tecs «k ¿ous S&sjoints de t eSjbace, Sictirczmt иле Cot continue. fizzes, <7ouzn tcoU PofyttcAn*. XXП - tUi (cxA W-208, <8. &t S, UeSet JCo/fUf&xe, ¿u$e£&so/t,<%fete

¿¿nittl - lend - JCugel - JCom.b€c.3ce, rrUi ¿Zrturcttc^ijw-turf <6e Titotie ¿т&гЖеъ - GfetUtcnje*, МъШт, - V- //A? -

S. Щ-tSg.

Д JC&in 3. Ut&t JitiieryeomcHtt иле/ ^¿zcscAc

* Menite /> ^ ^ ¿ ~

U*t Он* feet ¿e - * '

Более подробно комплексы прямых в трехмерном пространстве Лобачевского изучала В.Я.йльяшенко /9/. Ев выделено четыре типа комплексов прямых в зависимости от располокения инспекционных иентрол луча по отношению, к так называемому, пентру луча комплекса и восемь типов комплексов, названных инфлекшюнно-параболпчоскими, у которых хотя бы один инфлекяионный пентр является несобственным. Изучены также комплексы прямых, для которых инвариант окрестности первого порядка кривизна К постоянна.

Перечисленные выше работы отнюдь не исчерпывают все вида комплексов прямых в пространстве и совсем не касаются

изучения гиперкомплексов прямых /т.е. параметрического

семейства прямых / в пространстве , что и определяет

акктуальность данной темы.

Цель работы. Цель» настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии гиперкомплекерв прямых Ъ мерного пространства Лобачевского и^в частности, комплексов прямых трёхмерного пространства Лобачевского. . .

Общие методы исследования;. Исследования в диссертации проводятся методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана с использованием.отображения гиперкомплексов прямых простоанства на грассманиану проективного

5. Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения.- М.: Изд.Моск.ун-та, - 1962.-237с.

6. Розенфельд Б.А. Теория конгруешиЯ и комплексов прямых в эллиптическом пространстве.// Изв. ЛН СССР.Сор. матем.-1941.-Т.5,С.105-126.

7'. Кованцов Н.И. Теория комплексов.- Киев.: Изд.Киввск.ун-та, 1963.-289 с. ..

8. Машанов В,И.,Тужпа Л. И. Общая теория комплексов прямых пространств постоянной кривизны.// Труды Иркутского ун-та, 1969.-Т.66.- Ъ I - С.137-155.

пространства

Нагчкая новизна. В настоящей работе комплексы прямых в трекерном пространстве Лобачевского изучаются с помощью отображения их на квадрику Плюккера, что позволило выделить неизвестные ранее виды комплексов. Гиперкомплексы прямых в пространстве JSj ранее не изучалась, поэтому все полученные в диссертации результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая и практическая значимость работа вытекает из возможности применения получанных результатов для дальнейшего изученх. ги-' перкогнуюксов прямых в пространстве Лобачевского, а такжз для * изучения гиперкомплексов иряшх в других неевклидовых пространствах. Полученные о работе результаты могут бить использована для дальнейших исследовании в разделах геометрии связанных с изучением линейчатах многообразий.

Грассмакова многообразия и многообразия Сегре и связанные с шмз отображения применяются в теории отображений многомерных пространств на плоскость, а такжа в алгебраической гэомэгрин при изучении алгебраических линейчатых многообразии.

М.А. Акивис использует грассманнаны в теории три-тканей.

Изучение гиперкомплексов прямих в пространстве иояно связать с изучением сегреаны je f . Рассматривая

различило сечения corpeami rz. < л-п ' » фл-з) плоскость^, принадлежащей (Яп,-**) - плоскости, касательной s грассманиано могло получить различные виды гиперкомплексов прямих В X

С другой стороны, выявление свойств гиперкомплексов прямих в способствует более глубокому изучению сегреан и Трассманиан в многомерных пространствах.

Дпробагтя работа, Основные результаты диссертации дозела-давались на Всесоюзной геометрической конференции в городе Кишинева / 1988 г./. На геометрических семинарах кафедры геометрии МГПН им. B.Ii. Ленина /под руководством ::рс;.. Б.А. Ро-зен$ельда 1985 г., под руководством проф. В.Т. База-^ч,

9. Ильяиенко В.Я. Комплексы прямых в гиперболическом пространстве. Автореф, дкс. ... канд. фяз.иат.к?.-.::./ Киовский гос.*

1987, 1988 гг. под. руководством npotj. .I.E. Евтулзка 1990 г./, кафедры высшей математики Московского института стали и сплавов /пол руководством'проф. М.А. Лкпвпса 1990 г./, кафедры геоштркп Казанского государственного университета им. В.И. Ульянова-Ленина / под руководством проф. Л.П.Широкова 1990 г./, кафедру аглебри и геометрии Рязанского государтсвеннэго педагогического ппститута/1990 г./.

Публикзттк. По результатам исследований, включенных в дас-сертанпв, опубликовано восемь статей, три из них выполнены в соавторстве.

Q6ben_jm6o7¡!. Дпссортапяя излоглша m IIb странкнаг машинописного текста. "°а0ота состоит из введения, трех глав к оплата литература, ссдарглп9го пятьдесят одно лшгеногшшо.

рш): 1оо?1жт%1тт.

Бо гьедопии лается краткий обзор лкгг\рг>лурп по ?c.vo jiccä'j-доптиая и прпведя-.-ся ос:;ор сановно рог/льтатол рлооти.

Первая i гг''""; поогядзка язучо.:лв кс::,";:оксоп прягах ь прзст-рлкстпо •„*»'• гачп показало, что пзогропнж- пряглло крео^ртг;: i¿!, к;- • jj • -И/.ТСЧ точка1,те квадрик:; ипдзкеа л ь кра.г.^апгт-ьо р., . ..'тролагво Я/ , с заилит:,:д иск кзздрд.со« п-ла;-г;.', п- и i р.'.с.ог."йпн.чиогЛ, шзазко пространство-; отобраиош;:. ;.л-нг-««к».гогс проотртеетва я обозначено KSV #

Прга::<г комплспса в отображаются на тражерпуд погерх-y.-'*-7h, ;?р:ипдлс':г:;:г квадрике Рлшкспа в P¿- . Находится

г r.m¡vi bhoovu ШШУ.ЧСОКОГО pzmpa :: крпзигви

к-.-.чпокеа шшяп: проотрзкетао стоо'рхкш.й V/r , гг-одктся

<jop\r: комплекса пр i.".;";:, ¡:с; ■"..tí, ) " гоч-:гкгэдг::;;;; 11л::;;г--pr:, . л:

'?г"/:д:;:; гр;. к: :пх;с ¡"9г.:,г:;л. г."ло.' ■■:.--

■ г-.--;---- iro::. а.-гттлл-л^х:-' г плг ;гл ро;.с.- г;:дл::л'/.". r'ii Г:У ,:;■■, что 1п:тл; к леекзл лдикалл'л: ;;о: с 'ллстг: г'.'С-::;íií; о:;;: oír'^tr-, ;;

/¿..-г. . V • Г/:;--!. IÍV/3.-," с.

висимости от расположения асимптотической индикатрисы по отношении к.ютккеровой и метрической можно выделить различные вида комплексов.

В § 2 изучаются комплексы прямых, все четыре щ^лекционных центра которых изображаются точками, принадлежащими метрической индикатрисе. Такие комплексы названы инфлекпионно-метрическями. Выяснено, что из кости возможных видов инфлек-аионно-метрических комплексов существует лишь комплекс одного ввда, для которого плюккерова, метрическая и асимптотическая индикатрисы образуют пучок. Этот комплекс имеет два йсйстви-, тельных, и два мнимо-сопряженных инфлвкшоншх центра и обозначен . Найдены дифференциальные уравнения этого комплекса, доказано, что он существует о произволом в три постоянные, выделен класс таких комплексов, существующих с произволом в одну постоянную, выяснено строение таких комплексов.

Б § 3 рассмотрены комплексы прямых, инфлекшгонныо центры которых удовлетворяют биквадратному уравнений. Такие комплексы названы бикомплексамн, они включают в себя инфлекштонно-мотри-ческий комплекс C¡{ . Выяснено, что кроме комплексов существуют еще два вида бикомплексов: комплексы постоянной кривизны, изученные в [э] , и комплексы, характеризующиеся условием, что для них двумерное голономнов подмногообразие

dfc^O , совпадает с координатным. Доказано, что эти комплексы существуют с произволом в три функции одного аргумента.

Изучаются комплексы нулевой кривизны, показано, что такие комплексы, так же как и в £ю, с.215^. , представляют собо,'! многообразия прямых, касатоихся поверхностей, то есть являются специальными комплексами.

10. Щербаков А.Н. Основы метода вношних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. - Томск.: Изд. Томского ун-та, 1973.232 с.

11. G&eoi^âuv 6Á. 8)¿$Jbte o¿e.scomJ3vca-e.ze~ unu¿ €onip¿ex ¿n. сол^цссnïa zs/nít z. rí¿cé¿¿?e à* dilate/J <Zn,% Síiiní '¿(гиг.

Б § А изучаются полуспециапьиые комплексы прямых в пространство iS^ . V аналогичные введенным Г. Георгиевич (jlj комплексам прям;ос пространства , собственные центры ко-

торых оллоивапт поверхность. Показано, что полуспеппальшс комплексы в *S¿ -существуют с произволом в две ^ункхг/л: двух api умонтов.Среди полуспвииальнах комплексов вмшгек класс, для комплексов которого собственны!; ионтр луча является инфяек-пиошшм венгром. Доказывается, что возмошш два вида ía;n комплексов: комплексы, для которых один из понтроз -"¡уча является двукратным ШЕхлекдаогашм центром, и комплексы, у которых оба центра луча являются шмлекнпошшми и овнсикаог поверхности, ¿ля комплексов второго виде доказано, что они существуя? с произволом в три ííyiiKmni от одного аргумента к расслаивается на од1ГОяара?.»втрйчосгсого ягоглство дяноИшзс конгруеитг.!. Кжлплспкш первого вида рассмотрен:-; в [s j

• Во второй главе изучаются ^пгоркояплекси прями;,-, в прост-растве " Sn с дифференциальной: окрестности первого порядка. Отроится ¡¡-г -.D горвого порядка, которой пр:: являет-

ся хапт>:\ч~ канонизированным к зависит от 4- (tk-s)па~

iT-MCTp"! .

?. ? I доказано, что существует репер первого порядка нлсш-■•-■i-mvi) гпперкомплзкеа прямых в пространство ÍS¿¡ , явля-—;гнся каноническим, находится ого замкнутая система до$$ереи-!.;:?лмшх уравнении.

Строится репер пергого порд;а;а гипсрко;.хдо:{сов пряьях ¡•¡•острлнотгл *Sr • Доказало, что репер легкого порядка :п-с::;и'лм:ого r;:i:':p;<o;;n.-;o¡:ca прямих зависит иг сгтлг.'О

:.p-j--5TJ:;, 'i для спсипа^ыюго - от трзх параметров.

Ров ::> лор!?;.ро порядка дг.я в ;спс;;;:алыюгс плюр;:о, -г.-ь. :-;:;;>; в "■Sr. строится как методом вхнякве согм, тп: а ;.'"•--- -„■;:- пр ::.-';.:с~см. свя'я;::;:''-; с .::;;; :;с"пло;:сом прям:::;.

■•-.•-::■ ' г;;;"сокс oreпася/гг/гч"..^ "S- . : VO;:Í:-íV

- f!

связка нуль-систем. Доказывается, что во всех нуль-системах; определяемых в Рц, этой связкой линеЯннх пше1 комплексов, данно!! прямо!! гиперкомплокса соответствует одна и тззо - плоскость, через нее проходящая. Таким образом, с "каждым лучом гиперкомплокса лр-'тггшстЕа 1Бп, инварпа гаю связана (ъ-2) - плоскость -V—' - чероз иоо проходящая. Тем салим дало геометрическое доглаатольство теоремы, доказанной К.И. Гпшшевнчгссом в |_12] . Используя оту теорем, репер первого порядка гипоряомплекса пряг.от в ^ строится из геометрических сообраг.епнй. Находится система дгсМероишташшх уравнен::;! в этом ропоро, иигоияогся геометрический емнел гнборя репера п ишетрачетвэ отоб рокот!! и геомотричсскч'Л сичол

единственного йш5ариап?а окреотаостл керпого порядка - крп-г-т'.гни К-..

3 "> : дзучаго'ся два чпегше гида гяперг смплгксов пряш в простракстпо ".йу : шфлотшяошьнетрипоскя?, и гипорг.емпллгл, •:гпв"31гд которого постоятша.

Доказано, т;о гяиорксыпяег'сн крлмч" постоянно!! кривизн'» прострелено суцоствурт е пропзгояом в одну Яугротип

чсу'.гг.ох аргу'тчтов, г» гточдг-од чугрстгопикч "ог.ин^'шо-лотрнчелного гяпзр-согзшксп - дг? постолшплэ.,

3 трзтин; главе иглчапгсл г'.'.пернегглотл: прл-лл г в скрытности второго гогядлл. -гоглтлл ппиотгчо'чгяЯ г-т'ттг'-

'ллл: л'л л^ лл л , " ; г"'1ту-.. ■ р -'' ^ ч "" ■ ■ * 'г1'?-' г1! "v'

ллл:о:'о горя,".*:п. ¡лло^нт?;"; -^

-тслсгп глг/.-гл л'л: в тл" ' ['"л' . л"т" > о.- . ".''.'. . "Л '

-, . ^ : гу;'г;' О"'.'

л:с:л

-ю-

репера как в пространстве отобракзннй S£tf , так и в самом пространстве . . Отдельно изучаются гиперкомплексы пря- . мих постоянной кривизны в . доказывается, что они су-

ществуют с произволом в одну функцию шести аргументов.

В § 2 изучаются неспегаальные, а в § 3 - специальные гиперкомплексы прямых в LSlv в окрестности второго порядка. Строятся канонические ронеры этих гиперкомплексов, вводится асимптотическая квадратичная форма поверхности Ktn-j , изображающей гиперкомплекс прмих, и с помощью этой формы выясняется reo-, метрический смысл выбора канонического репера-как в пространстве отображений., так и в самом пространстве ,

На защиту выносятся следаюцие основные результаты; ^

1. Выделение и изучение новых классов комплексов прямых в :

а) инфлэкшонно-метрическкх, характеризующихся особым расположением трех индикатрис, связанных с каадым лучом комплекса прямых, .

б) бикомплексов, характеризующихся тем, что уравнение, для нахождения их инфлекиионшх ианторв, является биквадратным,

в) полуспепиальных комплексов прямых, собственные центра которых описывают поверхность.-

2. Построение репера гиперкомплекса прямых, в ^дифференциальной окрестности первого порядка и выяснение его геометрического, смысла в пространстве отображений ¿у , '

3. Выделение и изучение некоторых видов гиперкомплекоов прямых в пространстве S\ :

а) инфлекшгонно-мэтрических гиперкомплексов прямых,

б) гиперкомплексов прямых постоянной кривизны.

4. Построение канонического репера типеркоаплакса прямых в «S^ и выяснение его геометрического смысла в пространстве отображений. , - -5. Изучение гиперкомплексов постоянной кривизны в'пространство

1Ss . - _ ^

(V. Изучение специальных гиперкомплексов'прямых в пространстве

ЮТЗЛИКА1Щ АВТОРА ПО ТЕМВ ДИССЕРТАЦЩ

1. Комплексы прямых в 3-мерном пространство Лобачевского./ Моск.гос.педлт-т, М. ,10%,-22 с.-Библпогр., 4 и «в.- Руо.-Доп. в ЕШПТИ I9.00.8S.... ' - 3 86

2. Гпперкокплексы прямых пространства Лобачевского.// IX Все-сошиагт геомохр. конф. Кишшев ISB0, с. 121./Тезисы докл./.

3. Евдокимова Р.К., Заиепяпа О.В. Регулюсн в пространстве Bf л комплекс» п '¿с .//Двяг.ония в обобцоншпе 'пространствах. - Рязань, КОЗ.- 0.69-76.

4. Квпютззяив сопора комплексов пряма в 4- пространств? Ло-бачовског-).// Дякенгл в обоб^тгх пространствах.-Рязань ir«>,-С. РП-04.

5. П!ттс::?г0тю-».:згряпсс1с5й ncva-roitc ярт-гиг J пространство -Tod:nor;c;;oro./ :.'сск.гес.п<5Д.кн-т. ,М. ,I£PQ- 10 с.-Епблкогр.: ? япто.- Рус.- Доп. п 1ШПП ?0.09.00., Г- 704-1-В ГЗ.

0. Ггг'':р::см2г;с;:с:; пгнпезточяиоЯ криппзнч в - прост-рпстгс Лоб.ттогского./ 'Лсск.гсо.п.^д.гп-т., И. : 72 r,vss. - Ру-.-До:-. П2РШ! 20.СЭ.Ш, Г« 70 -В Рй. 7. Антогсга А.15., г»пп-~г-:?:п ол. ппярг: :> гре'-'г-тт?*.

пзокгяшис: КГ-ЧГПРНГ :пплгг"х протгрч'-стг-4*. >' -Т'-'ППР-Ь- К-?:-!',, Гп-. Г, С.

г.Л., ■ ■',к<'>'П!1п . л !', ■ Глггг •■"•;: -

i:r"":rc в or,\""r\,'<'"'i ' "п-. ■-.--"у. "

1900. - о.