Гипотеза Кервера-Лауденбаха и уравнения над группами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

р г в оа

- з .

мд;, московский ордена Ленина,

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ ГОСУДАРСТВЕННЫ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА механико-математический Факультет

На правах рукописи УДК 512.543

Клячко Антон Александрович

ГИПОТЕЗА КЕРВЕРА-ЛАУДЕНБАХА И УРАВНЕНИЯ НАД ГРУППАМИ

01.01.06. - математическая логика,

алгебра и теория чисел АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата Физико-математических наук

москва 1994

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механшсо-математического факультета Московского Государственного университета имени М.Б.Ломоносова.

Научный руководитель -

Доктор физико-математичсских ииук, ирофоооор

А.Ю.Ольшанский.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

Р.А.Саркисян.

Кандидат физико-математических наук, профессор

Д.И.Молдаванский.

Ведущая организация -

Омский Государственный Университет.

Защита диссертации состоится И^^Я 1994 ГОда в 16.00 на заседании специализированного совета Д 053.05.05 при МосковскомГосударственномуниверситетеимениМ. В. Ломоносовапо адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

Автореферат разослан 1994 года.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (15 этаж).

Ученый секретарь специализированного совета

Д 053.05.05 при МГУ

доктор физико-математических наук,

В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ЛТуаЛЬНОСТЬ темы. Вопрос о том является ли система уравнений азрешимой над группой представляется весьма сложным даже в лучае одного уравнения с одним неизвестным. Имеются примеры етривиальных уравнений неразрешимых над группой. Простейший ласе таких примеров составляют уравнения вида

(ишг181ии)=ё2

где g1, Б - элементы разных порядков. Некоторое время не

ыло известно других примеров (см. [2]), В настоящее время звестны более изощренные примеры (смотрите [19]) Полной лассификации неразрешимых уравнений не существует даже для руппы

Отметим наиболее известные результаты о разрешимости равнений над группами.

Г.Хигмэн, Х.Нейман и Б.Нейман доказали разрешимость над ;роизвольной группой & систем вида

{Г^ = Р*, р(ЕР}

где Р и Р^ - пара изоморфных подгрупп группы ф -гзоморфизм.

р-Б-> с

Из конструкции О. Шрейера свободного произведения с »бъединенной подгруппой следует, в частности, разрешимость к

'равнений вида х

Значительным усилением этого результата является теорема >.Левина [18] о разрешимости над любой группой 0 любого гравнения вида

Я tg t. . . в ь=-]

Пусть сг^: 0*Р(х1.....Хп) —> Ъ

есть отображение, заданное формулами

0-^x^=1, <г4(х )=0 (при

Система уравнений над группой й

' V/ (х , . . . X ) = 1

11' п

^ Ш (х, . . . X ) =1

4 п I п

называется невырожденной, если невырождена" матрица («^(м

М.Герстенхабер и О.С.Ротхауз [12] доказали разрешимость невырожденных систем над группами, локально аппроксимируемыми связными компактными группами Ли, в частности над конечными группами.

С.Д.Бродский доказал разрешимость любого (одного) нетривиального уравнения над локально индикабельной группой, т.е. над группой, каждая конечно порожденная подгруппа которой имеет эпиморфизм на Ж.

Дж, Хауи ( [14], [15]) доказалразрешимостьнадпроизвольной

группойлюбого нетривиального уравнения вида (и("0 )к=1прик>4-Уравнения такого типа при и и("Ь) не сопряженным с

элементами из 6 называются степенными. Егоров [1] установил разрешимость таких уравнений для к=3 при отсутствии 2- и 3-кручений в группе С.

Дж. Р. Столлингс [23] доказал разрешимость над группой без кручения уравнений вида

й 1й . . й Ь = Ьв' t . . . йЧс'

М.Еджвет [7] доказал разрешимость уравнений вида

при к * 1, кроме случая, когда <а> |=2

- |<Ь>|=3 (и симметричного случая). . к*1

Большинство из упомянутых теорем, а также многочисленные более специальные утверждения, не вошедшие в этот краткий обзор, были в значительной степени стимулированы стремлением доказать или опровергнуть три известные гипотезы, к описанию которых мы теперь переходим.

1. гипотеза Кервера-Лауденбаха.

2. Над группой без кручения разрешимо любое уравнение.

3. Степенное уравнение разрешимо над любой группой.

О гипотезе Кервера-Лауденбаха следует сказать подробнее, этот термин служит для обозначения трех различных утверждений, усиливающих друг друга.

1а (Классическая версия,). Если группа й нетривиальна, то группа Н= <0*<"Ь>; у("Ь) = 1> также нетривиальна.

16 Всякое невырожденное уравнение над любой группой разрешимо над ней.

1в Всякая невырожденная система уравнений над любой группой разрешима над ней.

Классическая версия 1а наиболее известна, в такой форме она содержится в известных монографиях [2], [3]> [4].

Следующее утверждение показывает, каким образом гипотеза 1а звязана с уравнениями.

Гипотеза 1а эквивалентна следующему утверждению:

над любой группой й разрешимо всякое уравнение уг("Ь)=1 с здиничной суммой показателей.

Гипотеза Кервера-Лауденбаха наиболее знаменита, ее зритягательность объясняется, в частности, тем, что впервые она юявилась в топологии (в теории узлов). В разное время шециалистамибыливысказанынесколькопредположений (некоторые -13 них имеют чистб геометрическую формулировку), из которых зледовалабыгипотезаКервера-Лауденбаха. Примечательно, чтовсе эти предположения оказались ложными [11].

Из приведенного выше краткого обзора видно, что лишь гипотеза 3 может считаться близкой к тому, чтобы быть указанной. Упорное сопротивление первой и второй гипотезы фивело к возникновению такого направления, как исследование сравнений малых длин. Под длиной уравнения

Под слоговой длиной уравнения (4) понимается число 2к, если 5апись (4) циклически несократима и в С.

На сегодняшний день здесь известно следующее.

Гипотеза 16 верна для уравнений длины не превосходящей гетырех [13] , [9]. Имеется. ряд частичных результатов об сравнениях длины 5 [17], [8].

Гипотеза 1в верна для систем из двух уравнений, длины которых не превосходят трех [17] . Этот результат представляет штерес в связи с замечанием С.М.Герстена [10] о том, что

(4) . . = 1 (п^ 1)

гипотезу Ib достаточно доказать для систем, состоящих из уравнений, длины которых не превосходят трех.

Гипотеза 2 доказана для уравнений длины не превосходящей шести [24] и для вырожденных уравнений, слоговая длина которых не превосходит четырнадцати [6]. -

Теория уравнений над группой не исчерпывается доказательством различных достаточных условий разрешимости. Изучается поведение универсальных групп решений различных типов уравнений, их алгебраические и алгоритмические свойства ( [5] > [6], [16]).

Рассмотрение уравнений естественным образом приводит к понятию алгебраически замкнутой группы. Такие группы, как оказалось обладают во истину удивительными алгоритмическими свойствами ([22], [21], [20], [2]).

Цель работы. Получение новых результатов о разрешимости уравнений над группами.

Научная НОВИЗНа. Все результаты диссертации являются новыми.

В качестве основных результатов настоящей работы упомянем следующие две теоремы.

ТеоремаА. Еслигруппа G без кручения, v(t) 6G*<t>0Q\G, тс

система уравнений

{v(t)g = gv(t), g 6 G>

разрешима над G.

Теорема Б. Гипотеза 1а верна для групп без кручения. Методы исследования. Используются геометрические методы, основанные на лемме Ван Кампена.

Научная И практическая ценность. Диссертация имее^ теоретический характер, ее результаты могут быть полезш специалистам по теории групп.

Апробацияработы. Результатыдиссертациидокладывалис] на семинаре по теории групп в МГУ, на семинаре по алгебре в UTI и на III международной конференции по алгебре в Красноярск« (1993).

Публикации. Результатыдиссертацииопубликованывработа автора, перечисленных в конце настоящего автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит и: введения, двух глав и списка литературы. Общий объем работы 9! стр. Библиография содержит 38 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава настоящей работы посвящена доказательств; некоторых топологических фактов, относящихся к картам н

двумерной сфере. В основе всех рассуждений первой главы лежит один очень простой, но неочевидный факт (следствие 2 теоремы 5.1).

Впервомпараграфедаютсянеобходимыеопределения,связанные с понятием карты на поверхности. В §2 формулируются необходимые факты, связанные с леммой Ван Кампена - Хауи. В параграфе 3 вводятся понятия движения и кодвижения, на карте - основной предмет изучения первой главы. Эти понятия являются новыми, демонстрация их полезности может рассматриваться как основная идея настоящей работы. Параграф 4 содержит необходимые (известные) сведения о векторных полях на поверхностях, нужные для доказательства основных результатов главы, которые формулируются и доказываются в параграфе 5.

Во второй главе топологические результаты, полученные в главе I, находят применение при доказательстве разрешимости разного рода уравнений и систем уравнений над группами. В шестом параграфе рассматривается следующая задача: пусть имеется группа G, подгруппа H Я G и элемент g G G; при каких условиях разрешимо всякое уравнение вида (I) v(t) = g

где v(t) € H#<t> , начинается и кончается в нормальной

форме на < t >ю-слоги (то есть g является одним из коэффициентов

уравнения (i) ) и не сопряжено с элементами из H ? (Случай, когда v(t) сопряжено с элементом из H охватывается результатами следующего параграфа.)

Постановку такого вопроса можно оправдать следующими соображениями.

Ясно, что наиболее интересны те теоремы об уравнениях над группами, в которых достаточные условия разрешимости уравнения w(t) = 1 формулируются путем наложения некоторых условий на группу (конечность, отсутствие кручения и т.п.) и некоторых условий на структуру уравнения (невырожденность, степенной вид

(w(t)=v(t)k) ), но без явной апелляциик наличию или отсутствию каких либо специальных соотношений между коэффициентами. Если условиться называть такие результаты "хорошими", то результаты параграфа 6 следует назвать "лучшими из плохих", так как условия формулируются с явным участием лишь одного (выделенного) коэффициента - g. Автору неизвестны другие примеры такого рода результатов, имеются, однако, теоремы с двумя выделенными коэффициентами [6] .

С другой стороны параграф 6 служит иллюстрацией методов, применяемых в дальнейшем, и формально не является необходимым для доказательства основных результатов.

В седьмом параграфе рассматриваются "коммутаторные" системы уравнений над группой О:

(8) = 1, с},

{[й,у(1)]к= 1, & б а>

[о ■

{[[Е,,уип' Ее^уЫ]] = 1, а}

Для этих систем доказываются простые достаточные условия азрешимости.

еорема I. Рассмотрим следующие уравнения над группой й

1) 8] = 1;8б 0}

2) {[[Уи),81],8г]=1;81>8 г€ С}

3) {[[[▼(!),81],8г],вз] = 1;81,8а,С}

Тогда

1) Система I) разрешима, если С без кручения;

2) Система 2) разрешима,

3) Система з) разрешима,

4) Система 4) разрешима,

й Т

если G без 2- и 3-кручения;

Теорема 2. Система уравнений над группой G

{[g,v(t)]l=1, g€G> разрешима, если v(t ) €(G*< t>)\G, среди коэффициентов v(t) отсутствуюткрученияпорядковменьшихчемк, где1>2/ (k-2)+1. Теорема 3. Система уравнений над G

<[[v(t)fg)], [v(t),g2]]=1,gi)g2GG}

разрешима над G, если среди коэффициентов слова v(t)£(G*<t>)\G отсутствуют инволюции.

Для систем типа (в) (для каждого к) доказывается неулучшаемость полученных ограничений в некотором естественном классе"простых"условий,строятсясоответствующиеконтрпримеры, Самыминтереснымизрезультатов этого параграфа оказывается (как обычно) самый простой из них - упомянутая выше, теорема А. В этом же параграфе строятся вышеописанные обобщенные HNN-расширения и свободные произведения с объединеннойподгруппой. И в том и в другом случае, правда, изучение этих конструкций ограничивается доказательством теоремы о вложении.

В параграфе 8 доказывается теорема Б, доказательство встроено таким образом, что эта теорема может рассматриваться, завным образом, как следствие результатов параграфа 7, либо как ;ледствие результатов параграфа 6 (при этом §§ 7 и 6 между собой 1езависимы)•

В девятый параграф вошли результаты связанные с предыдущими [ишь методом доказательства. Представляется неразумным [ересказывать их здесь, скажем только, что все они являются 'хорошими" в смысле, описанной выше, условной классификации.

В последнем параграфе мы вновь возвращаемся к двумерной 'опологии и решаем задачу описания, в некотором смысле, всех >бъектов, подобных известному весовому тесту [5] • под это шисание попадают и результаты первой главы, таким образом мы юлучаем их независимое, комбинаторное доказательство.

Автор выражает глубокую благодарность А.Ю.Ольшанскому за остоянное внимание к работе и ряд весьма ценных замечаний, втор благодарит А.Л.Шмелькина и всех участников семинара Теория групп" МГУ за интерес к работе. Автор выражает ризнательность также Российскому Фонду Фундаментальных ¿следований (грант Oil 1541) за финансовую поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1] В.Н.Егоров, Об уравнениях над группами, деп. № 1127-83, Иваново, 1983.

2] ЛиндонР. , ШуппП. Комбинаторная теория групп.-М. :Мир, 1980.

3] Магнус В., Карррас А., Солитэр Д. Комбинаторная теория групп.-М.:Наука, 1974.

4] Чандлер Б., Магнус В., Развитие комбинаторной теории групп.-М.:Мир,1985.

5] W.Bogley, S.J.Pride, Aspherical relative presentations, Proc. Edin Math Soc. (1992)35.

6] S. D. Brodski i, J.Howie, One-relator product of torsion-free groups, Glasgow Math. J.,35, 1993.

7] M.Edjvet, Equations over groups and a theorem of Higman Neumann and Neumann, Proc. of London Math. Soc., 62, 1991.

8] M.Edjvet, A.Juhasz, On equation over groups, Int. J. of Algebra and Computations, (to appear)

9] M.Edjvet, J.Howie, The solution of length four equations over groups, Trans Amer. Math. Soc., 326, 1991.

10] S.M. Gersten, Non singular equations over small cancellation groups. Combinatorial group theory and topology. Ann. of Math. Studies, Vol. 111, 1987.

[11] S.M. Gersten, Reducible diagrams and equat ions over groups. In Essays in group theory, (ed. S.M.Gersten). MSRI publications vol.8, Springer-Velgrad 1987.

[12] M.Gerstenhaber, O.S.Rothaus, The solution of sets of equations over groups, Proc. Nat. Acad. Sci.JJSA, 48, 1962.

[13] J.Howie, The solution of length three equations over groups, Proc. Edinburgh Math. Soc., 26, 1983.

[14] J.Howie, The quotient of a free product by a single high powered relator. I. Pictures. Fifth and higher powers, Proc. London. Math. Soc., 59, 1989.

[15] J.Howie, The quotient of a free product by a single high powered relator. II. Fourth powers, Proc. London. Math. Soc., 61, 1991.

[16] J.Howie, The quotient of a free product by a single high powered relator. III. Word problem, Proc. London.Math. Soc., 60, 1992.

[ 17] J. Howie, Non singular systems of two length three equations over group, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 110, 1991.

[18] F. Levin, Solution of equation over group, Bull. Amer. Math. Soc., 68,1962.

[19] R.C.Lyndon, Equations in groups, Bol. Soc. Brasil. Mat., 11, no.1, 1980

[20] A.Macintyre, On algebraically closed groups, Ann. of Math. , 96, 1972

[21] B.H.Neumann, The isomorphism problem for algebraically closed groups, in Word problems, Amsterdam: North-Holland, 1973

[22] W.R.Scott, Algebraically closed groups, Proc. Amer. Math. Soc., 2, 1951.

[23] J.R.Stallings, A graph theoretic lemma and group embeddings, Annals of Math. Studies, 111, 1987.

[24] M. I. Prischepov, On small Length equat ions over tors ion free groups, Int. J. of Algebra and Computations, (to appear)

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[25] A. A. Klyachko, A funny property of sphere and equat ions over groups, Comm. in Algebra, 21.(7) 2555-2575, 1993.

[26] А.А.Клячко, Гипотеза Кервера-Лауденбаха и уравнения над группой, стр. 150-151. Тезисы III международной конференции по алгебре. Красноярск 1993.