Гладкость решения задачи Трикоми для уравнения смешанного типа второго ряда тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 ОДКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН 2 №ИТШЕ0РЕТИЧЕСК0Й " ПРИКЛАДН0Й МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи БАЙСУГУРОВ БОЛАТ АКАЖАНОВИЧ

ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТРИКОМИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА

01.01.02- дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата -1993

Работа выполнена в Института теоретической и прикладной иатеиатики Национальной Акадеиии наук Республики Казахстан

Научные руководители: - член-корреспондент HAH PK,

д.ф.-и.н. и.Отелбаев, к.^.-ы.н. А.Базарбеков.

Официальные оппоненты:- доктор $из.-иат. наук,

Защита состоится "2ё" алей? 1993 г. в .¿2. час. на заседании Специализированного Соведа К 008.11.01 по присуждению учёной степени кандидата физико-иатеиатических наук л Институте теоретической и прикладной иатеиатики HAH PK по адресу: 480021, Аиыаты, ул. Пушкина, 125.

С диссертацией цожнэ ознакоиитьоя в Центральной научной библиотеке HAH Республики Казахстан.

Автореферат разослан 1993 г.

Учений секретарь Специализированного Совета, доктор физнко-иатеиатических наук, в.н.с. ы.и.РАхаьшардиЕЬ

профессор С.А.Алдашев, кандидат $и8.-иат. наук И.Т.Дкеналиев

Ведущая организация: - Казахский государственный

Национальный университет аи, Аль-фараби.

Актуальнооть темы. Теория краевых задач для вырондвюцих-ся дифференциальных уравнений-и дифференциальных уравнепий сиепанного типз является однии из ваннейиих разделов теории дифференциальных уравнений в частных производишь.

Начало теории уравнений смешанного типа было полонено известил! работами Ф.Тршсоми и С.Геллерстедта. Дальнейшее развита эта теория получила в работах многих математиков, срздп коюрых вакаоз место занимаю? работы Ц.В.Келдыша, А.Е. Бпцздзе, А.И.Нахушзгз, з.Я.оранкля, В.Н.Волнодавова, В.Н.Вра-гова Т.П.КальиеноЕз, И.Н.Смирнова,' Б.И.Моисеева, М.С.Салахит-дзнова, С.Алдесзва и многих других.

Достаточно полная библиография а круг задач для уравнения снепзнЕОГО гяпа содзрзится в монографиях М.Н.Смарновв "Уравнения свешанного типа" - !1.:Наука, 1910 . 235 с. и Л.В. Еицэдзо "Нскогорие классы уравнений з частных производных" -М.: Наука, 1981. >№ с.

ф,Трнкоаа принадлежит постановка для модельного уравнения смешанного типа п решение краевой задачи, известной л наотояцее время под названием задачи Трикоыи. А.В.Бицадзе впервые был сформулирован принцип экстремума для задачи Три-коми. Существование сильного решения задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в случае произвольных контуров, ограничивают область в эллиптической часги, исследовалась Т.И.Кадьыеновыи я А.Б.Бвзарбековыы. Вопросы спектра и полноты корневых функций задачи Трикоыи для уравнений смешенного типа второго рода рассматривались в работах В.И.Моиоеева, С. П.Пономарёва, Я.Н.Цамедова, С.Е.Квримкулова. Известно прикладное значение задачи Триш/н в теории истечения газов из

- h -

сопол Давали.

Сравнительно недавно начат исследования гладкости решения краевых задач для вырождающихся уравнений в частных производных и,-в частности, гладкое ги решения задачи Трикоим для уравнений смешанного типа. Гладкость решения задачи Трякоаи дла уравнения Гепдерстедта исследована А.Б.Базарбековым. Эти наследования представляют значительный теоретический и практический интерес.

Цепь данной работ. Исследование гладкости решения и получение необходимого и достаточного условия сущесгвовеши сильного решения задачи Трикоми для одного уравнения сиешанного типа второго рода.

Общая методика исследования. Примененном интегральных преобразовании Медлина, исследование задачи Трикоми сводитоя к исследованию решения сингулярного интегрального уравнения на линии вырождения zuna. Откуда получаем гладкость решения изучаемой задачи. Используя свойство единственности решений краевых задач для уравнений смешанного типа, из решения сингулярного интегрального уравнения получаем условие ортогональности. На основании этого условия ортогональности устанавливается критерий сильной разрешимости задачи Трикоыи для уравнения смешанного типа второго рода.

Научная новизна. В работе получены следующие основные результаты:

1. Установлена принадлежность решения задачи 1'рикоми

для одного уравнения смешанного типа второго рода классу функций Гельдера.

2. Доказаны неооходимоа и достаточное условие гладкости

репения этой задачи.

3. Получен критерий существования сильного решения исследуемой задачи.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работ представляют теоретический интерес. Они могут быть использованы в дальнейших исследованиях других краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, а также в изучении математических вопросов газовой динамики и ряда других процессов механики.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и от-• дельние её част докладывались и обсуждались на городском научном семинаре "Функциональный анализ и его прилояения" руководимым член-корреспондешаии Академии наук Республики Казахстан М.Отелбаевым, Г.Е.Кзльмзнсвым, профессором Ш.С.Смзгу-ловым ( КазГУ ), на семинарах под руководством член-корреспондента Академии наук РК Н.К.Блиева; член-корреспондента АН РК Е.И.Ким, д.ф.-ы.н. С.Н.Харпна и доцента М.О.Орынбасарова; профессоров Д.У .Умбетнанова и М. И. Рахим бе р дне ва ( ИТПМ АН РК ). на Всесоюзной научной конференции "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их спектральные вопросы" ( Алма-Ата ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ I ] - [ 4 1 .

Структура и объём диссертации. Диссертационная работа изложена на 94 страницах меиинопионого текста и состоит из введения, где даётся краткое содержание работы, двух глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Ео. введении даётся краткий обзор исследований, примакав-дих к изучаемой тематике, обосновывается актаяьность теш и изагается содержание диссертации.

Глава I. Гладкость решения задачи Трикоми для уравнении смешанного типа второго рода.

Первая глава состоит из б параграфов и посвящена исследованию гладкости решения задачи Трикоыи для одного уравнения сиешанного типа второго рода. В этой главе, применением интегральных преобразований Целлина, исследование изучаемой задачи сведено к исследованию решения сингулярного интегрального уравнения на линии вырождения типа.

В первом параграфе даны постановка задачи и оснозные определения.

Рассмотрим уравнение

LU=Ux>t^signy|у/тыуу-*-с»1уГ"~Uy=f, > где 0 < w < 2, d = const, т/2 < a < 1,

в области , ограниченной кривой Ляпунова (5* , ле-

жащей в верхней полуплоокооти у "> 0 с концами в точках А(р,0) И В(1,0), отрезками характеристик

2-Hi 2-м

АС.*Х-~-(-у) 2 =0 и ВС: х + 2 =1

уравнения (0.1 ), проходящими через точки А и В в нижней полуплоскости у с 0 .

Пусть pf и D - соответственно эллиптическая и гипер-

болическая части смешанной области D s и в эллипти-

ческой части область D ограничена нривьши .Cj, :

2 2-уи 2

НН^Ь 2 <™>

В уравнении { 0.1 ) о делаем заыеиу переменных

2- w ? 2.

Х-Х, 2=signy~^|y| Д=у-переицсв.),(0.3 )

а рассмотрим уравнение

LUsUJ{x+Sígfiyuí(y+2p/yrUy=f С0-4 '

з области D » ограниченной при кривой Ляг у нова <о

о концами в точках А{0,0) и В(1,0), а при у с 0 характеристик ai!:i

АС'-Х4-у=о и ВОх-у=Н

уравнения (0.4 ),. где jb = (2a-¡Tl)/(4-2lV!).

Задача Три коми. В области D найти рвав-ввв U(X/y)€((D)nC2(D+UD~) уравнения ( ОЛ ) удовлетво-ряюцвв краевому условии

U(x,y)*0 V(*,y)€6TUAC fo.5)

при условиях склеивания

UÍ^O)»LI(VO)aT(x), О < v < 1.

В результате замены ( 0.3 ) кривые ( 0.2 ) преобразуются в дуги окрувносгей <5р :

Обозначим через б - внутренний угол ^эжду касательной к кривой <5р (0.7 ) и отрезком АВ оси Ох в точках А к или Б, [У" и О" части 0 , лекацие соответственно в верхней в шганеи полуплоскостях.

Определение! . Регулярный решением задачи Трикоии ( О Л ) - ( 0.5 ) в области 0 назовёы функцию и(х,у) 1 удовлетворяющую следующим условиям:

1) Ы(Х,у)бС(5)ПС2(Р+1)СГ) « удовлетворяет уравнению ( О Л ) в областях Р+ и Р -,

2) функции

и непрерывно дифференцируемы в

(0,1), причём у(х).на концах этого интервала нонет обращаться в бесконечность порядка ниже единицы.

Во второй параграфе рассматривается задача Коши-Гуроа для уравнения

в облает 0 , ограниченное характеристиками

АС:Х+у«0,ВС:Х-у«1

этого уравнения, проходящими через точки ¿(0,0) и В(1,0) и отрезкой ¿В оси абсцисс.

В этом параграфе получена следующая Теорема 1. Если \>(х) непрерывно дифференцируемая в (0,1) функция, а Кх,^. имеет ограниченный непрерывные нроиа-

водные первого порядка в области [)~ , ю-справедливо соот-

нопенпе

СО

Г*-' I г-II, и „ ГО-грГйр-э

со сх> ,

О "> о

где и

X

Г(-) - гаиаа-$уакция,- 5=р + |1' , р , { - действительные числа, у , К - некоторые постоянные. В параграфе три задача Дирихле

и(х,уЛ - 0, Ши исх.у) = Т60, 0 < х <=1

з области , ограниченной кривой <5р а огревком ДВ ооя' абсцисс, о поиоцыэ интегрального преобразования Мэллпна овэ-дэна к задача:

(о-в )

где + ^ , р » ^ - действительные числа, со оо

( Г , у ) - полярные координаты. Исходная функция

выражается через функции Ы^Т) ра-

венствоы:

Ы(х,у) =

1

.2 .,2

В зтоы параграфе получен следующий результат: Теорена 2. Если при каздоы фиксированной значении комплексного пар&иетра 5 правая чаигь.¿равнения (0.8 )

ГеССО.ШПЦШ.б),

«о решение краевой задачи ( 0.8 ) - ( 0.9 ) существует, единственно и выражается.формулой

е£1

РС^р-Б.е^М

где

2^,0) [ и } к(8 >{) , ? « и 0

"'г

функция Грина краевой задачи (0.6 ) - ( 0.9. ),

- II -

Ь,(5/Р) , - два линейно независимых реиения одно-

родного уравнения (0.8

1+а-уц л 3-а- т „ 1-с«58

о е^

Параграф четыре посвящёп выводу интегрального уравнения длт функции . При эюи°копользованы результаты преды-

дущих двух параграфов. Здесь установлена следующая

Теорема 3. Если' Г и % - достаточно гладкие функции соответственно в областях 0 и (0,1). то решение задачи Трикоии ( 0.4 ) - ( 0.5 )з

и)нЫ.лх+^иу1% + 2р/у| I, и(Ху)-0 У(х,у)€б,иАС

в случае, когда область 0 в эллиптической части ограничена кравши ( 0.7 )?

редуцируется к следующему сингулярному интегральному уравнению Ь..

(о.ю.)

Л А 0

где К0 - некоторый компактный оператор в пространстве |_г(0Д

•*„> ./ х* \ с_1Т

- 12 -

3 § 5 производится обращение сингулярного.интегрального уравнения для функции .В основе обрадешш лезит обцая

теория одномерных сингулярных интегральных уравнении. В этом параграфе доказана следующая

Теорема Если К*) удовлетворяет условию Гёльдера в (0,1), то ревение уравнения ( 0.10 ), удовлетворяющее тому не условию Гёльдера, ограниченное или допускающее интегрируемую бесконечность на концах этого интервала, представляется формулой . ^

. I {»^(м^^ик.Ы

5Щ+ЛМ-Х/ \\ 1 > Ь* <

где К, - некоторый вполне непрерывный оператор, структура которого зависит ог вполне непрерывного оператора Кс .

§ б вавершает главу X и содерзит основные результаты исследований. В этом йараграфе доказаны одедуоэдш

Теорема 5. Если 8 то для любых

правых частей

уравнения ( 0.4 ) реиенпе задачи Трикоыи ( о Л ) - ( 0.5 ) существуем единственно к прциад-лекит классу

с^Л&пЛп,

причём показатель Гёльдера неудучшаем.

При В^аЛ2-\п))/(Ао-2^) и 4 0-4« г 2 репение задачи Трикоыи ( ол ) - ( 0.5 ) не будет непрерывным в ааш.-шутой

- 13 -

области Р , так как функция Т^ ) = Мб<;0) иоает обращаться в бесконечность в точке В(1,0) порядка

(2а - - 2«1) - 'л/Й 9).

Теореиа б. Если правая часть' f уравнения ( 0.4 .) при-цедлеют С'ШС^б) , ю решение 11(х,у) задачи 1'рикоын (0.4 ) - (0.5 ) принадленит^классу Я тогда и только тогда, когда

а 2.-м г'ц-Зм+тя'

где

(Ь {и(х.у) • и, ых ,{у(2|3ыуес(р)}

класс решении, выделенный из инояесгва решений и (х .V) € С С Р > П С2С Р^и СГ) задачи Хрикоыи ( О.ч ) - ( 0.5 )

Глаза П. Критерий существования сильного решения задачи

Тряхоин для уравнения смешанного типа П рода. Вторая глава состоит из 4 парвгра4ов и посвящена исоле-довашш условий обеспвчиваювдх существование сильного решения задачи Трпкоин (0.4 ) - (0.5 ).

В первой параграфе даны постановка задачи и некоторые основные определения.

Обозначил через (_ - зааыкание в 1_,Ш) оператора

ОО ^

( 0.4 ) на поданокестве функций из С (0) » удовлетворяющих граничному условию М(х,у)= 0 на О" II АС . Введём следующий класс функций

С.= {и(х,у):11€КПС2Ф)>Ы€{-2Ф),и , =0}. ■ с?и АС '

- 14 -

Определен и е 2 . Функцию U(x,y) из L/D) назовём сильным решением задача Тракоми (0.4 ) - (0.5 ) если существует последовательность функций такая,

что

lim llu-Uli, (m=0 и lim HLuvi-fll, {D)-0.

yi —>, oo LZ VI —»со

Eo втором параграфе второй главы выводится условие обеспечивающее устранение особенности функции v()0 » а именно, показано, что справедлива следующая

Теорема 7. Если правая часть f уравнения ( ОЛ } достаточно гладкая в области D функция и принадлеаит L СО) * то для устранения особенности функции V(X) в точке В(1,0) необходимо выполне!Ше следующего условия ортогональности

■\V(*.V)M(xfy)d*dy = 0,

где

t'i d r1'2t

мф:

WD«

К1-ХГ (x-f) F(x-«|)

Га

K1 - некоторая постоянная.

§ 3 П главы посвящён исследованию функции М(х,у). В атом параграфе докэзена следующая

- 15 -

Леииа 2. Функция I4(x,y) принадлежит пространству ЦФ) тогда и только тогда, когда

Четвёртый параграф завераает главу П и содержат сановной результат этой главы, в этом параграфе доказана следующая

Теорема 8. Для любой правой части Г из L2(D' уравнения ( 0.4 ) существует единственное сильное решение задачи Трикоыи (0.4 )-( 0.5 ) тогда и только тогда, когда 8 .

Автор выранает глубокую признательность своим научный руководителям профессору ц.Отелбаеву, и.ф.-и.и. А.Б.Базарбе-кову, а такие профессору Т.О.Кальменову за внимание к работе а ряд ценных замечаний и указаний.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: J. Байсугуров Б.Л. О гладкости решения задачи '1ршшми.//11звес-гия АН КзеССР, сер. физ.-мат. наук. 1990, k 3(154).С.10-13.

2. Байсугуров Б.А. Принадлежность решения задачи Трикоии для уравнения смешанного типа Д рода классу функций Гёльдара.//Из-вестия АН КазССР, сер. физ.-мат. наук. 1991, & 3(I6u).C.?-lQ.

3. Байсугуров Б.А. Критерий сильной разрешимости задачи Трико-ми для уравнения смешанного типа П рода.//Тез. докл. Всесоюзной конференции "Краевые задача для дифференциальных уравнений и их спектральные вопрооы". Алма-Ата, май 1991. С.18.

4. Баису|уров Б.А., Базарбеков А^.Б. Аралас TimTi eKiraai Te^Ti теадеу ушн Трикоми есебййц алдг аешглушщ критерийi. //Известия АИ PK, сер. физ.-мат. наук. 1992. р 1(164). С.26-30.