Глубоконеупругое рассеяние, многопетлевые расчеты в пертурбативной КХД и параметризация структурных функций тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРОЦЕСС ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ

1.1. Общие положения (структурные функции, разложение Вильсона, ренормализационная группа)

1.2. Партонные распределения, их Q2 -эволюция и связь со структурными функциями

1.3. Вычисление коэффициентных функций Вильсоновского разложения

1.4. Степенные ~ 1 /Q2 поправки

ГЛАВА 2. МНОГОПЕТЛЕВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ БЕЗМАССОВЫХ ДИАГРАММ

2.1. Общая характеристика эффективных методов вычисления

2.2. Вычисление двух-точечных диаграмм с пропагаторами, имеющими (бесшпуровое) произведение n-импульсов в числителях

2.3. Вычисление четырех-точечных диаграмм, дающих вклад в сечение упругого рассеяния

2.4. Развитие метода полиномов Гегенбауэра

ГЛАВА 3. НОВАЯ ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ МАССИВНЫХ ФБЙНМАНОВСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

3.1. Общая характеристика методов вычислений

3.2. Метод дифференциальных уравнений - новая эффективная техника для вычисления массивных диаграмм

3.3. Анализ диаграмм пропагаторного типа

3.4. Анализ диаграмм вершинного типа

3.5. Анализ iV-хвостых однопетлевых диаграмм

Рассматриваемый в диссертации процесс глубоконеупругого рассеяния (ГНР) лептоиов на адронах (мы ограничимся далее нуклонами) является уникальным из-за нескольких своих характерных черт. Прежде всего, это возможность изучения структуры нуклона только по относительным характеристикам налетающего и рассеянного лептонов, что позволяет опустить проблему адронизации образующихся в процессе партонов: кварков и глюонов. Поскольку процесс адронизации зависит существенным образом от непертур-бативной динамики кварков и глюонов в нуклоне, поэтому необходимость учета его как составной части всегда сильно уменьшает предсказательную силу любого процесса.

Второе удобное свойство ГНР - это малость константы связи электрослабого взаимодействия, что позволяет в теоретическом анализе ограничиться только однобозонным (однофотонным или одно-(W,Z)-6030HHbiM) обменом между лептоном и нуклоном, т.е. ведущим членом разложения1 по электрослабой константе связи aew. Сечение однофотонного (или одно-(\¥,2)-бозонного) обмена может быть представлено согласно оптической теоремы как мнимая часть амплитуды комптон-эффекта виртуального фотона на нуклоне, что позволяет применить к процессу ГНР вильсоновское разложение на световом конусе и разделить этот процесс на части, ответственные за большие и малые расстояния. Часть, ответственную за малые расстояния, а также эволюция второй части (связанной с

1 Коррекции за счет следующего порядка в разложении по электрослабой константе связи a ew иногда становятся важными. Они посчитаны в [109] и используются при выделении адрониой части ГНР. большими расстояниями) при изменении виртуальности обменной частицы могут быть найдены из пертурбативной КХД. Таким образом, только нормировка адронной части процесса ГНР (т.е. значение части, связанной с большими расстояниями, при одной фиксированной виртуальности) является невычисляемой в рамках пертурбативной КХД и может быть найдено из прецизионных данных ГНР.

Вычисления фейнмановских диаграмм, соответствующих комптон-эффекту виртуального фотона на нуклоне, являются весьма трудоемкими, что потребовало развития новых методов, которые будут рассмотрены в главах 2 и 3.

Отметим, что при вычислении фейнмановских интегралов (ФИ), являющихся основным объектом, дающим информацию в рамках пертурбативной КТП, целесообразно по возможности ограничиваться ft*. 12.0*1) аналитическими методамйС Дело прежде всего в том. что приближенные методы вычисления ФИ не всегда имеют высокую точность. Такая неоднозначность численных расчетов связана как с сингулярной природой самих интегралов так и (для калибровочных теорий особенно) с сильными взаимными сокращениями между отдельными частями диаграмм. Более того, во многих важных ситуациях необходимо знать именно точные результатыУ Например, в рамках ренормгрупповых (РГ) вычислений в теориях, обладающих высокой внутренней симметрией, важно знать об обращении в нуль (3- функции в рассматриваемом порядке теории возмущений (ТВ) (см. например [1]-[3] и ссылки там). Заметим также, что при использовании размерной регуляризации [4, 5], т.е. при произвольной размерности пространства, один раз найденные диаграммы для одной какой-либо полевой модели (или процесса), могут быть применены для других моделей (процессов), поскольку основой ФИ любой модели являются скалярные диаграммы (обычно это ФИ 93 или (р4 теорий). Следовательно, трудоемкость аналитического вычисления ФИ окупается их универсальностью в приложении к различным квантово-полевым моделям. Отметим еще и тот факт, что расчет сложных ФИ может иметь и самостоятельный интерес. Так, использование нетривиальных тождеств типа соотношения " уникальностей" (см. [6]-[12]) может дать информацию о свойствах некоторых интегралов или рядов, которых нет еще в справочной литературе. Например, расчеты одного и того же ФИ, проведенные в работах [10] и [48] с использованием различных методов вычисления, позволили найти неизвестное ранее соотношение (см. [13]) между з^2-гипергеометрическими функциями с аргументами 1 и -1.

В последние годы возникло много мощных оригинальных методов вычисления ФИ, которые часто уступают по широте приложения стандартным, т.е. ( а- представлению (см. [1, 14]}и главу 3)и технике фейнмановских параметров (см., например, [15] и главу з) однако позволяют значительно продвинуться вперед по числу петель для ограниченного круга величин (или процессов).

Анализ основных характеристик этих методов и их развитие для вычисления моментов структурных функций ГНР может быть найден в главах 2-4.

Итак, получение информации из высоких порядков ТВ - вещь трудоемкая и требует введения оригинальных методов вычисления ФИ. Однако это не единственная проблема в рамках пертурбатив-ной КТП. Другая важная проблема возникает при сравнении предсказаний теории с экспериментальными данными. Как правило, для проверки теории (или для получения информации о каких-либо ее невычисляемых параметрах) используют некоторые физические величины (т.е. наблюдаемые), которые с одной стороны могут быть найдены из эксперимента, а с другой представлены в виде ряда ТВ с известными коэффициентами (обычно могут быть рассчитаны несколько первых коэффициентов). Основная трудность, возникающая при таком сопоставлении, состоит в зависимости этих коэффициентов (и константы связи также) от схемы вычитания бесконечностей, которые присущи фейнмановским интегралам. Эта проблема становится особенно существенной в КХД и других теориях, где константа связи и/или коэффициенты разложения наблюдаемых по константе связи не являются достаточно малыми в физически интересной кинематической области (например, при значениях переменной Бьеркена х ~ 0 и х ~ 1 для структурных функций ГНР). Следовательно, для осуществления какого-либо осмысленного сравнения предсказаний КХД с экспериментом необходимо как-то решить проблему схемного произвола. Анализ ситуации, связанной с этой проблемой, и приложения к процессу глубоконе-упругого рассеяния даны в главах 4-6.

Целью настоящей диссертационной работы является: а) приложение известных методов расчета ФИ к сложным диаграммам, синтез этих методов и разработка новых; б) анализ неоднозначностей, индуцированных зависимостью от схемы вычитаний бесконечностей ФИ, а также их влияние на интерпретацию экспериментальных данных; в) изучение свойств структурных функций ГНР в двух важных областях переменной Бьеркена: х ~ 0 и х ~ 1.

Основное содержание работы представлено в шести главах.

В первой главе введены общие положения процесса глубоко-неупругого рассеяния. Рассмотрены структурные функции ГНР и партонные распределения. Введены представления для коэффициентных функций вильсоновского разложения и аномальных размерностей операторов Вильсона.

Во второй главе рассмотрены эффективные методы вычисления сложных двух- и четырех-точечных ФИ, которые являются синтезом известных ранее методов "склеивания", "проекторов " и "уни-кальностей". Получены правила работы с диаграммами, пропага-торы которых содержат (бесшпуровое) произведение n-импульсов в своих числителях.

В третьей главе представлена новая техника вычисления массивных ФИ. Анализируются одно- и двух-петлевые диаграммы пропагаторного и вершинного типа. Исследуются N-точечные однопе-тлевые диаграммы.

Четвертая глава посвящена применению описанных выше методов к анализу ГНР. Получена as - поправка к продольной СФ. Проведен схемноинвариантный анализ СФ и отношения R — oijcr-r в процессе ГНР и показана его важность в области экспериментов, проводимых на ускорителе HERA. Изучена трехглюонная вершина КХД при использовании различных параметризаций для отношения R.

В пятой главе рассмотрена область малых значений переменной Бьеркена х. Введен метод сведения конволюции Меллина к простому произведению в пределе х —> 0. На основе этого метода изучены Q2 -зависимости партонных распределений и связи между структурными функциями.

В шестой главе построены параметризации структурных функций и их отношений, совместимые с предсказаниями пертурбатив-ной КХД во всей области переменной х. Исследована Q'2 -зависимость асимметхжи А[ (х, Q2) и ее влияние на величину правила сумм Бьеркена.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [17]-[58].

Аппробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах ЛТФ, ЛВЭ и ЛСВЭ ОИЯИ, ИТФ АН Украины, ЛИЯФ, НИФИ ЛГУ, ИТЭФ, CERN, физических факультетов Университетов Сантьяго-де Компостела (Испания), Падуи (Италия), Биеле-фельда (Германия), Лаборатории физики частиц (Аннеси, Франция), на конференциях: "Кварки -86" (Тбилиси), совещании по физике высоких энергий (1990, Гатчина), "Ренормгруппа -91"(Дубна), "Адроны 93, 96" (Новый Свет, Крым), "Moriond-93" (Франция), "Diffraction-95"(Франция), "DIS96, 98" (Рим и Брюссель), "Light cone and small x physics" (1998, С'Петербург), совещании по квантовой теории поля (1998, Дубна).

Исследования были выполнены в Лаборатории физики частиц Объединенного института ядерных исследований. Выражаю признательность дирекции ОИЯИ и ЛФЧ ОИЯИ за создание прекрасных условий для работы. Благодарю также моих соавторов и сотрудников ЛФЧ и ЛТФ ОИЯИ, с которыми я имел удовольствие работать.

Основные результаты, представленные в диссертации:

1. Предложен метод представления меллиновской свертки пар-тонного распределения (или структурной функции глубоконеупругого рассеяния) с пертурбативно рассчитываемым ядром в виде обычного произведения этого партонного распределения (или структурной функции) со сдвинутым аргументом и коэффициентом, определяемым меллиновским моментом ядра с номером, имеющим нецелые значения. Сдвиг аргумента партонного распределения (или структурной функции) также определяется отношением меллинов-ских моментов ядра с номерами, имеющими нецелые значения.

2. Предложенный метод применен к построению полуаналитического решения ДГЛАП уравнения для партонных распределений и структурных функций глубоконеупругого рассеяния. Найдено прекрасное согласие с экспериментальными данными, полученными на ускорителе HERA, для всех значений квадрата переданного импульса Q2, кроме самых минимальных значений: Q2 ~ 1 Гэв2.

3. Метод позволяет также найти простые (т.е. не содержащие меллиновские свертки) связи между партонными распределениями и структурными функциями. Используя эти связи, получено простое соотношение между продольной и поперечной структурными функциями, а также производной по Q2 от поперечной функции. Поскольку поперечная функция и ее производная измерены с хорошей точностью, рассмотренное соотношение позволяет предсказать продольную функцию. Измерение продольной функции, планируемое в DESY, вместе с этими предсказаниями должны будут пролить свет на величину вклада непертурбативных эффектов в области малых значений переменной Бьеркена х.

4. Разработан эффективный метод многопетлевых вычислений безмассовых фейнмановских диаграмм пропагаторного типа, имеющих бесшпуровое произведение п- импульсов в числителях. На основе метода исследованы 4-х точечные диаграммы упругого комптон-рассеяния вперед, когда квадрат одного из 4-х импульсов равен нулю. Используя этот метод, найдены также значения двух-петлевых диаграмм пропагаторного типа сложной топологии.

5. Найдена as-поправка к продольной структурной функции глубоконеупругого рассеяния. Исследована величина ее вклада в рамках обычной и схемно-инвариантной теории возмущений. Найдено улучшение согласия с экспериментальными данными.

6. Разработан эффективный метод вычислений массивных фейнмановских диаграмм. Метод основан на построении дифференциальных (по массам) уравнений для исходной диаграммы. Показано, что значения большого класса двухпетлевых массивных фейнмановских интегралов могут быть найдены интегрированием (некоторое число раз) значений диаграмм-головастиков, имеющих простые аналитические представления.

7. Найден аналитический результат для процесса фотон-глюонного слияния при ненулевых значениях как массы рождаемого кварка, так и виртульностей фотонов и глюонов. На основе этого результата рассчитано сечение рождение свободного чарма. Результаты находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными.

8. В предположении близости поведения структурных функций xgi{x,Q2) -rxF^(x,Q2) найдена (^-зависимость спин-зависимой асимметрии A\(x,Q2). Результаты находятся в прекрасном согласии с данными экспериментов SMC и Е154, в получении которых была использована более точная, однако существенно более громоздкая техника непосредственного применения уравнений ДГЛАП.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена изучению проблемы (^-зависимости партонных распределений и структурных функций процесса глубоко-неупругого рассеяния. Эта задача включает в себя как расчеты в пертурбативно-вычисляемой части процесса, так и параметризации непертурбативной составляющей, задающей начальные условия Q2 -эволюции партонных распределений. Решение задачи потребовало создание как эффективных методов вычисления многопетлевых диаграмм Фейнмана для расчета коррекций в коэффи-циэнгных функциях Вильсона, так и техники представления мел-линовской конволюции через обычное произведение для упрощения анализа ДГЛАП уравнения и связей между партонными распределениями и структурными функциями. Создание этих методов открывает возможность исследования различных характеристик процесса глубоконеупругого рассеяния в широкой области переменной Бьеркена х, в частности при малых значениях х, что особенно актуально в настоящий момент времени, когда эксперименты, проводимые на ускорителе HERA, постоянно увеличивают наше знание об этой области. Часть исследований в этом направлении уже сделана.

1. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Введение в теорию квантованных полей, 4-е изд.-М.: Наука, 1985.

2. Владимиров А.А., Ширков Д.В., УФК, 129 (1979) 407.

3. Peterman A., Phys.Rep. В53 (1979) 157.4. 't Hooft G., Veltman M., Nucl.Phys. B44 (1972) 189.5. 4 Hooft G., Nucl.Phys. B61 (1973) 455.

4. D'erano M., Parisi G, Peliti L., Nuovo Cim.Lett. B17 (1971) 878.

5. Васильев A.H., Письмак Ю.М., Хонконен Ю.Р., ТМФ 47 (1981), 291.

6. Kazakov D.I., Phys.Lett. 133В (1983) 406.

7. Казаков Д.И., ТМФ 59 (1984) 343.

8. Казаков Д.И., ТМФ 62 (1985) 127.

9. Усюкина Н.И., ТМФ 54 (1983) 124.

10. Belokurov V.V., Ussyukina N.I., J.Phys. А16 (1983) 2811.

11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И., Интегралы и ряды, Т.1, 2, 3 -М.: Наука, 1981.

12. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В., Квантованные поля, -М.: Наука, 1986.

13. Райдер JL, Квантовая теория поля -М.: Мир, 1990.

14. Казаков Д.И., Котиков А.В., ТМФ 73 (1987) 348.

15. Казаков Д.И., Котиков А.В., ЯФ 46 (1987) 1767.

16. Котиков А.В., ТМФ 78 (1989) 187.

17. Kazakov D.I., Kotikov A.V., Nucl.Phys. В307 (1988) 721.

18. Котиков А.В., Препринт ОИЯИ Р2-88-139 (1988), Дубна

19. Kotikov А.V., JINR preprint Е2-88-422 (1988), Dubna.

20. Котиков А.В., ЯФ 49 (1989) 223.

21. Kotikov A.V., Mod.Phys.Lett. А4 (1989) 2017.

22. Котиков А.В., ЯФ 49 (1989) 1725.

23. Котиков А.В., ЯФ 50 (1989) 201.

24. Вовк В.И., Котиков А.В., Максимов С.И., Доклады АН УССР А (1990) 58.

25. Вовк В.И., Котиков А.В., Максимов С.И., ТМФ 84 (1990) 101.

26. Kazakov D.I., Kotikov A.V., Parente G., Sampayo O.A., Sanchez Guillen J., Phys.Rev.Lett. 65 (1990) 1535.

27. Kotikov A.V., Phys.Lett. 254B (1991) 158.

28. Kotikov A.V., Phys.Lett. 259B (1991) 314.

29. Kotikov A.V., Phys.Lett. 267B (1991) 123.

30. Kotikov A.V., Mod.Phys.Lett. A6 (1991) 677.

31. Kotikov A.V., Mod.Phys.Lett. A6 (1991) 3133.

32. Kotikov A.V., Int.J.Mod.Phys. A7 (1992) 1977.

33. Kazakov D.I., Kotikov A.V., Phys. Lett. B291 (1992) 171.

34. Котиков А.В., УФЖ 37 (1992) 303.

35. Енковский JI.JI., Котиков А.В., Пакканони Ф., ЯФ 55 (1992) 2205.

36. Енковский JI.JT., Котиков А.В., Пакканони Ф., Письма в ЖЭТФ 58 (1993) 165.

37. Kotikov А.V., Parente G., Sanchez Guillen J., Z. Phys. C58 (1993) 465.

38. Котиков А.В., ЯФ 56 (1993) N9, 217.

39. Jenkovszky L.L., Kotikov A.V., Paccanoni F., Phys. Lett. B314 (1993) 421.

40. Котиков А.В., ЯФ 57 (1994) 142.

41. Kotikov A.V., Phys.Rev. D49 (1994) 5746.

42. Котиков А.В., Письма в ЖЭТФ 59 (1994) 3.

43. Котиков А.В., Письма в ЖЭТФ 59 (1994) 635.

44. Kotikov A.V., Phys.Lett В338 (1994) 349.

45. Котиков А.В., ЖЭТФ 80 (1995) 1761.

46. Kotikov A.V., Phys.Lett B375 (1996) 240.

47. Kotikov A.V., Parente G., Phys.Lett. B379 (1996) 195.

48. Котиков А.В., ЯФ 59 (1996) 2219.

49. Kotikov A.V., Mod.Phys.Lett. All (1996) 103

50. Kotikov A.V., Parente G., hep-ph/9609237, in Proceedings of International Workshop on Deep Inelastic Scattering and Related Phenomena (1996), Rome, p.237

51. Kotikov A.V., Parente G., Mod.Phys.Lett. A12 (1997) 963

52. Kotikov A.V., Parente G., ЖЭТФ 112 (1997) 32.

53. Котиков А.В., Максимов С.И., Паробий И.С., ТМФ 111 (1997) 63.

54. Котиков А.В., Пешехонов Д.В., Письма в ЖЭТФ 65 (1997) 9.

55. Kotikov A.V., Parente G., Nucl.Phys. B549 (1999) 242.

56. Kotikov A.V., Peshekhonov D.V., JINR preprint E2-99-46 (hep-ph/9810224); to be published in EPJ C.

57. Индурайн Ф., Квантовая хромо динамика М. : Мир, 1986.

58. Buras A.J., Rev.Mod.Phys. 52 (1980) 199.

59. Parente G., Kotikov A.V., Krivokhizhin V.G., Phys.Lett. B333 (1994) 190; Kotikov A.V., Krivokhizhin V.G., hep-ph/9805353, in Proceedings of International Workshop on Deep Inelastic Scattering and Related Phenomena (1998), Brussels, p.242.

60. Beneke M., Preprint CERN-TH/98-233 (hep-ph/9807443).

61. Kataev A.L., Kotikov A.V., Parente G., Sidorov A.V., Phys.Lett. B388 (1996) 179; B417 (1998) 374; Nucl.Phys. Proc.Suppl. 64 (1998) 138.

62. Virchaux M., Milsztajn A., Phys.Lett. B274 (1992) 221; Krivokhizhin V.G. et al., Z. Phys. C36 (1987) 51; Z. Phys. C48 (1990) 347;

63. Златев И.С. и др., ЯФ 35 (1982) 454; Бедняков В.А. и др., ЯФ 36 (1982) 745.

64. Владимиров А.А., ТМФ 43 (1980) 210.

65. Chetyrkin K.G., Kataev A.L., Tkachov F.V., Phys.Lett. 85В (1979) 277.

66. Chetyrkin K.G., Kataev A.L., Tkachov F.V., Nucl.Phys. B174 (1980) 345.

67. Tarasov O.V., Vladimirov A.A., Zharkov A.Yu., Phys.Lett. 93B (1980) 429.

68. Avdeev L.V, Tarasov O.V., Vladimirov A.A., Phys.Lett 96B (1980) 94.

69. Grisaru M.T., Kazakov D.I., Zanon D. Nucl.Phys. B287 (1987) 189.

70. Chetyrkin K.G., Tkachov F.V., Phys.Lett. 114B (1982) 340.

71. Смирнов В.А., Четыркин К.Г., ТМФ 63 (1985) 208.

72. Смирнов В.А., Четыркин К.Г., R* операция: техника ренорм-групповых вычислений и другие приложения. Лекции для молодых ученых. Препринт ОИЯИ Р2-88-190 (1988) Дубна.

73. Chetyrkin K.G., Gorishny S.G, Larin S.A., Tkachov F.V., Phys.Lett. 132B (1982) 351.

74. Смирнов В.А., Четыркин К.Г., R* операция. Препринт НИИЯФ МГУ 89-2/79 (1989) Москва; Chetyrkin K.G., Preprint MPI-PH-91-13, Munich, 1993.

75. Smirnov V.A., Renormalization and asymptotic expansions, Progress in Physics, Basel, 1991.

76. Gorishny S.G., Larin S.A., Tkachov F.V., Phys.Lett. 124B (1983) 217.

77. Kleinert H., Neu J., Schulte-Frohlinde V., Chetyrkin K.G., Larin S.A., Phys.Lett. 319B (1993) 545.

78. Chetyrkin K.G., Phys.Lett. 126B (1983) 371.

79. Bogoliubov N.N., Parasyuk O.S., Acta Math. 97 (1957) 227.

80. Hepp K., Comm.Math.Phys. 2 (1966) 301.

81. Chetyrkin K.G., GorishnyS.G, Tkachov F.V., Phys.Lett. 119B (1982) 407.

82. Tkachov F.V., Phys.Lett. 124B (1983) 212.

83. Gorishny S.G, Larin S.A., Nucl.Phys. B283 (1987) 452.

84. Tkachov F.V., Phys.Lett. 100B (1981) 65:

85. Chetyrkin K.G., Tkachov F.V., Nucl.Phys. 192 (1981) 159.

86. Ускжина Н.И., ТМФ 79 (1989) 63;

87. Ускжина Н.И., ТМФ 22 (1975) 300.

88. Босс Е.Е., Давыдычев А.И., Вестник Моск. Унив. 28 (1987) 8; TMF 89 (1991) 1052.

89. Davydychev A.I., J.Math.Phys. 32 (1991) 1052; 33 (1992) 358.

90. Broadhurst D.J., Open University report OUT-4102-18, 1985.

91. Broadhurst D.J., Phys.Lett. 164B (1985) 356.

92. Broadhurst D.J., Z.Phys. C32 (1986) 249.

93. Holliday I.G., Ricotta R.M. Phys.Lett. 193B (1987) 241.

94. Broadhurst D.J., Z.Phys. C47 (1990) 115.

95. Broadhurst D.J., Barfoot D.I., Z.Phys. C41 (1988) 81.

96. Bender C.M., Keener R.W., Zippel R.E., Phys.Rev. D15 (1977) 1572.

97. Celmaster W., Gonzalves R.J., Phys.Rev. D21 (1980) 3112.

98. Curtright Т., Phys.Rev. D21 (1980) 1543.99. 't Hooft G., Veltman M., Nucl.Phys. B153 (1979) 365.100 101 102103104105106107108109110 111112

99. Terrano A.E., Phys.Lett. 93B (1980) 424.

100. Gonzalves R.J., Phys.Rev. D28 (1983) 1542.

101. Kramer G., Lampe В., J.Math.Phys. 28 (1983) 945.

102. Fabricius K., Schmitt I., Z.Phys. CI (1979) 51.

103. Bergere M.C., Lam J-M.P. Comm.Math.Phys. 39 (1974) 1.

104. Bergere M.C., de Calan C., Malboisson A.P.C., Comm.Math.Phys. 62 (1972) 137.

105. Altarelli G., Ellis R.K., Martinelli G., Nucl.Phys. B157 (1979) 461.

106. Bardin W.A., Buras A.J., Duke D.W., Muta Т., Phys.Rev. D18 (1978) 3998.

107. Duke D.W., Kiwel J.D., Sowell G.A., Phys.Rev. D25 (1982) 71; Devoto A., Duke D.W., Kiwel J.D., Sowell G.A., Phys.Rev. D30 (1984) 541.

108. Coulson S.N., Eccestone R.E., Nucl.Phys. B211 (1983) 317.

109. Floratos E.G., Ross D.A., Shachrajda C.T., Nucl.Phys. B152 (1979) 493.

110. Lopez C., Yndurain F.J., Nucl.Phys. B183 (1981) 157.

111. Zijlstra E.B., van Neerven W.L, Nucl.Phys. B383 (1992) 525.

112. Larin S.A., Vermaseren J., Z.Phys. C57 (1993) 93.

113. Matiounine Y., Smith J., van Neerven W.L, Phys.Rev. D57 (1998) 6701.

114. Duke D.W., Roberts R.G., Phys.Rep. 120 (1985) 257.

115. Stevenson P.M., Phys.Lett. 100B (1981) 61.

116. Duke D., Owens J.E., Phys.Rev. D30 (1984) 49.

117. Gell-Mann M., Low F., Phys.Rev. 95 (1954) 1300.

118. Politzer H.D., Phys.Rep. 14C (1974) 129.

119. Stevenson P.M., Phys.Rev. D23 (1981) 2916.

120. Stevenson P.M., Nucl.Phys. B231 (1984) 65.

121. Grunberg G., Phys.Lett. 95B (1980) 70.

122. Grunberg G., Phys.Rev. D29 (1984) 2315.

123. Dhar A., Phys.Lett. 128B (1983) 407;

124. Dhar A., Gupta V., Phys.Rev. D29 (1984) 2822.

125. Казаков Д.И., Ширков Д.В., ЯФ 42 (1985) 768.

126. Gupta V., Shirkov D.V., Tarasov O.V., Int. J. Mod. Phys. A6 (1991) 3381.

127. Vladimirov А.А., JINR preprint Е2-89-2, (1989) Dubna. Владимиров А.А., ЯФ 31 (1980) 1083. Maxwell G.J., Phys.Rev. D28 (1983) 2037. Schellekens A.N., Lett. Nuovo Cim. 24 (1979) 513. Yndurain F.J., Phys.Lett. 74B (1978) 68.

128. Aubert J.J. et al, Nucl.Phys. B259 (1985) 189; B272 (1986) 158; B293 (1987) 740.

129. Reya E., Phys.Rep. 69 (1981) 195; Phys.Rev.Lett. 43 (1979) 8. Cooper-Sarkar A.M. et al, Z.Phys. C39 (1988) 281. Whitlow L.W. et al., Phys.Lett. 250B (1990) 193.

130. Биленькая С.И., Стаменов Д.Б., Препринт ОИЯИ, Р2-86-65 (1986) Дубна.

131. Olness F.I., Tung Wu-Ki, Nucl.Phys. B315 (1989) 378;

132. Aivazis M.A.G., Olness F.I., Tung Wu-Ki, Phys.Rev.Lett. 65 (1990) 2339; Phys.Rev. D50 (1994) 3085;

133. Aivazis M.A.G., Collins J.C., Olness F.I., Tung Wu-Ki, Phys.Rev. D50 (1994) 3102.

134. HI Collab.: Aid S. et al., Nucl.Phys. B470 (1996) 3.

135. ZEUS Collab.: Derrick M. et al., Zeit.Phys. C72 (1996) 399; C69 (1996) 607.

136. Липатов Л.Н., ЯФ 23 (1976) 642;

137. Кураев E.A., Липатов Л.Н., Фадин B.C., ЖЭТФ 71 (1976) 840; 72 (1977) 377;

138. Балицкий Я.Я., Липатов Л.Н., ЯФ 28 (1978) 1597; Липатов Л.Н., ЖЭТФ 90 (1986) 1536.

139. Грибов В.Н., Липатов Л.Н., ЯФ 15 (1972) 781, 1218; Липатов Л.Н., ЯФ 20 (1974) 181;

140. Altarelli G., Parisi G., Nucl.Phys. B129 (1977) 298; Докшитцер Ю.Л., ЖЭТФ 73 (1977) 1216.

141. Fadin V.S., Lipatov L.N., Phys.Lett B429 (1998) 127.

142. Camidi G., Ciafaloni M., Phys.Lett. B430 (1998) 349; Phys.Lett. B412 (1997) 396 (E:B417 (1998) 390);

143. Ciafaloni M., Phys.Lett. B429 (1998) 363.

144. Ciafaloni M., Nucl.Phys. B296 (1987) 249;

145. Catani S., Fiorani F., Marchesini G., Phys.Lett. B234 (1990) 389;

146. Nucl.Phys. ВЗЗ6 (1990) 18;

147. Catani S., Fiorani F., Marchesini G., Oriani G., Nucl.Phys. B361 (1991) 645.

148. Kotikov A.V., Parente G., Preprint US-FT/11-99, Santiago de Com-postela, 1999.

149. Witten E., Nucl.Phys. B104 (1976) 445.

150. Mankiewicz L., Saalfeld A., Weigl Т., Phys.Lett. B393 (1997) 175; hep-ph/9706330.

151. Ball R.D., Forte F., Phys.Lett. B336 (1994) 77; Acta Phys.Polon. B26 (1995) 2097; Nucl Phys. Proc. Suppl. 54A (1997) 163.

152. Lai H.L. et al., CTEQ, Phys.Rev. D51 (1995) 4763; D55 (1997) 1280; Huston J. et al., CTEQ, FERMILAB-PUB-98/046Т (hep-ph/9801444);

153. Martin A.D., Stirling W.S. Roberts R.G., Phys.Rev. D50 (1994) 6734;

154. Gluck M., Reya E., Vogt A., Phys.Lett. B306 (1993) 391; Zeit.Phys. C53 (1992) 127; C67 (1995) 433;

155. Martin A.D., Stirling W.S. Roberts, R.G., Phys.Lett. B387 (1996) 419.

156. Ellis R.K., Kunszt Z., Levin E.M., Nucl.Phys. B420 (1994) 393. Prytz K., Phys.Lett. B311 (1993) 286, B332 (1994) 393.

157. HI Collab.: Aid S. et al., Phys.Lett. B393 (1997) 452.

158. NM Collab.: Amaudrus P. et al., Phys.Lett. B295 (1992) 159;

159. NM Collab.: Arneodo M. et al., Nucl.Phys. B371 (1992) 3; B4411995) 3; B441 (1995) 12; B483 (1997) 3; B487 (1997) 3; B4811996) 23; B481 (1996) 3.

160. Donnachie A., Landshoff P.V., Nucl.Phys. B244 (1984) 322; B267 (1986) 690.

161. Abramowitz H. et al., Phys.Lett. 269B (1991) 465;

162. A. Levy, DESY preprint DESY-95-003, Hamburg, 1995.

163. Lopez C., Yndurain F.J., Nucl. Phys. B171 (1980) 231; B183 (1981) 157.

164. Wolf G., DESY preprint DESY-94-022, Hamburg, 1994.

165. Capella A. et al., Phys.Rep. D223 (1993) 225;. Phys.Rev. D36 (1987) 109.

166. Martin A.D., Stirling W.S. Roberts R.G., Phys.Lett. B354 (1995) 155;

167. Martin A.D., Stirling W.S., Roberts R.G., Thorne R.S., DTP/98/10, RAL-TR-98-029 (hep-ph/9803445);

168. Gluck M., Reya E., Vogt A., DO-TH 98/07, WUE-ITP-98-019 (hep-ph/9806404).

169. Martin F., Phys.Rev. D19 (1979) 1382.

170. Feynman R.P., Field R.D., Phys.Rev. D15 (1977) 2590.

171. Buras A.J., Gaemers K.J., Nucl.Phys. B132 (1978) 249.

172. Owens J.E., Reya E., Phys.Rev. D17 (1978) 3003.

173. Eichen E. et al.„ Rev.Mod.Phys. 56 (1984) 579.

174. Diemoz M. et al.„ Z.Phys. C39 (1988) 21; Martin A.D., Stirling R.G., Roberts W.J., Phys.Rev. D37 (1988) 1161.

175. Aurenche P. et al., Phys.Rev. D39 (1989) 3275.172173174175176177

176. Morfin J.G., Tung Wu-Ki, Z.Phys. C52 (1991) 13.

177. Glueck M., Reya E., Nucl.Phys. В145 (1978) 24.

178. Gross D.I., Phys.Rev.Lett. 19 (1974) 1071;

179. Gross D.I., Treiman S.B., Phys.Lett. 61B (1976) 85.

180. Lipatov L.N., Phys.Rep. D286 (1997) 131.

181. Matveev V.A., Muradyan R.M., Tavkhelidze A. N., Lett. Nuovo Cim. 7 (1973) 719;

182. Brodsky S.J., Farrar G., Phys.Rev.Lett. 31 (1973) 1153; Brodsky S.J., Burkardt M., Schmidt ., Nucl.Phys. B441 (1995) 197.

183. Gribov L.V., Levin E.M., Ryskin M.G., Phys.Rep. D100 (1983) 1.

184. Котиков А.В., Многопетлевые расчеты в пертурбатиеной КХД и их приложение к эксперименту, Кандидатская диссертация, Дубна, 1991.

185. Aubert J.J. et al, Phys.Lett. 123B (1983) 275.

186. Savin I.A., Proc. of Int. Conf. of High Energy Physics, 1984, v.2, 251.

187. Close F.E. et al, Phys.Lett. 129B (1989) 346.

188. Close F.E. et al, Phys.Rev. D31 (1984) 1004.

189. Benvenuti A.C. et al., JINR preprint El-87-99 (1987), Dubna.

190. Arnold C.R. et al, Phys.Rev.Lett. 52 (1984) 727.

191. Stein S. et al, Phys.Rev. D12 (1975) 1884.

192. Bari G. et al, Phys.Lett. 163B (1985) 282.

193. Arneodo M., Phys.Rep. D240 (1994) 301.

194. Abramowith M.A., Stegun I.A., Handbook of mathematical functions, Dover, 1965.

195. Kotikov A.V., Maximov S.I., Vovk V.I., Preprint ITP-89-64E, Kiev, 1989.

196. Котиков А.В., Пешехонов Д.В., ЯФ 60 (1997) 736.

197. Kotikov A.V., Peshekhonov D.V. Phys.Rev. D54 (1996) 3162.

198. HERMES Collab., preprint DESY 98-122, Hamburg, 1998 (hep-ex/9809915);

199. COMPASS Collab., proposal CERN/SPSLC 96-14.

200. Bourrely C., Soffer J., Nucl.Phys. B445 (1995) 341.

201. Bartels J., Ermolaev B.I., Ryskin M.G., Phys. C70 (1996) 273; С72 (1996) 627.

202. E154 Collab.: Abe K. et al., Phys.Rev.Lett. 79 (1997) 26; Phys.Lett. B405 (1997) 180.

203. SM Collab.: Adams D. et al., Phys.Rev. D56 (1997) 5330; Phys.Lett. B396 (1997) 338.

204. Anselmini M., Efremov A., Leader E., Phys.Rep. 261 (1994) 1.

205. Efremov A., Phys.Lett. B174 (1986) 219.

206. Липатов Л.Н., ЖЭТФ 72 (1977) 411.

207. Ильин В.А., Досторская диссертация, Москва, 1997.

208. Larin S., Noguiera P., van Ritbergen Т., Vermaseren J.A.M., Nucl.Phys. B492 (1997) 338.

209. Moch S., Vermaseren J.A.M., Nucl.Phys. B573 (2000) 853.1. ТАБЛИЦЫ