Гомологические размерности и полудуализирующие комплексы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 512.717

Герко Александр Александрович

ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ РАЗМЕРНОСТИ И ПОЛУДУАЛИЗИРУЮЩИЕ КОМПЛЕКСЫ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Е. С. Голод доктор физико-математических наук Ф.Л. Зак

кандидат физико-математических наук С. М. Львовский Московский педагогический государственный университет (МПГУ)

Защита диссертации состоится 5 ноября 2004 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 5 октября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор / В.Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Гомологические методы в коммутативной алгебре являются одними из самых мощных средств в арсенале исследователя. Важная теорема о локализуемости свойства регулярности локального кольца является примером утверждения, которое достаточно легко доказывается гомологическими методами, при том, что доказательство, использующее только классические методы, неизвестно.

Основным моментом в доказательстве этой теоремы является утверждение о том, что проективная размерность характеризует регулярные кольца в следующем смысле: любой модуль над регулярным кольцом имеет конечную проективную размерность и, обратно, из конечности проективной размерности поля вычетов следует регулярность кольца.

Общая идея Ауслендера, высказанная им в начале 60-х, состоит в том, что модули конечной проективной размерности над (не обязательно регулярным) кольцом во многом ведут себя так же, как модули над регулярными кольцами.

Примером свойства, которое в рамках этого подхода было обобщено с модулей над регулярными кольцами на модули конечной проективной размерности [1]1, является следующее предложение: если последовательность элементов кольца R регулярна относительно модуля М, то она регулярна относительно R.

Основной мотивацией для исследования гомологических размерно-

'[lj PESKINE С., Szpiro L. Dimension projective Ашё et cohomologie locale // Publ. Math. I.H.E.S. 1972. V. 42. P. 47-119.

t>OC. НАЦИОНАЛЬНАЯ

1 БИБЛИОТЕКА л

стей, характеризующих (в смысле эквивалентности конечности гомологической размерности поля вычетов и принадлежности кольца соответствующему классу) другие типы колец, важные для алгебраической геометрии, в частности, локально полные пересечения, кольца Горенштейна и кольца Коэна-Маколея, является поиск разумного описания модулей, свойства которых были бы аналогичны свойствам модулей над кольцами соответствующих типов.

Подобные классы модулей неоднократно возникали в разных задачах коммутативной алгебры.

Для колец Горенштейна соответствующий класс рассматривался Ауслендером и Бриджером в [2J2, и задавался следующим образом: Положим G-dim M = 0, если естественное отображение М — Hom(Hom(M, Л), R) есть изоморфизм и Ext^(M, R) = 0 = Ext*Ä(M*, R) при i> 0. Точную нижнюю грань длин резольвент модуля М, составленных из модулей Р с G-dim P = 0, будем обозначать через G-dim M.

Для полных пересечений соответствующий класс модулей, названных модулями конечной виртуальной проективной размерности (vpd), возник в работе Аврамова [З]3 при изучении свойств чисел Бетти модулей бесконечной проективной размерности. Размерность полагалась конечной, если существует сюръективный гомоморфизм колец S —* R, где R - пополнение R в m-адической топологии, такой, что ядро гомоморфизма порождено регулярной последовательностью и pds(M <8>д R) < оо. Для (возможно) более широкого класса модулей

3 2jauslander M., Bridger M. Stable module theory // Mem. AMS. 1969. V. 94.

J 3|Avramov L.L. Modules of finite virtual projective dimension // Invent. Math. 1989. V. 96. P. 71-101.

конечной CI-размерности, рассматривавшегося в [4J4 и также характеризующего полные пересечения, были доказаны некоторые утверждения, справедливость которых для виртуальной проективной размерности неизвестна, в частности, хорошее поведение при локализации. К тому же, модули конечной CI-размерности в некоторых задачах действительно демонстрируют поведение, сходное с поведением модулей над полными пересечениями. Наиболее важным примером является асимптотические свойства свободных резольвент, являющиеся главным предметом работы [4], также упомянем работы [5]5, [б]6, [7]7, где с модулей над полными пересечениями на модули конечной CI-размерности обобщается формула глубины, и работу [6], где обобщается критерий свободы Ауслендера.

Опишем некоторые общие свойства перечисленных классов модулей. Будем говорить, что задана обобщенная гомологическая размерность, характеризующая класс колец П, если для любого кольца R заданы класс модулей Hr и отображение H-dimr из Hr в Z. Перечислим некоторые из ограничений, которые разумно наложить для получения содержательного понятия.

I) k — R/m G Hr для любого Я-модуля M € Hr & R G Л.

II) M € Hr =ф H-dimR M + depth M = depthД.

III) Пусть x - R - и M - регулярный элемент. Тогда M 6 Hr <=>

4[4] Avramov L.L., Gasharov V.N., Peeva I.V. Complété intersection dimension // Publ. Math. I.H.E.S. 1997. V. 86. P. 67-114.

s[5)Iyengar S. Depth for Complexes, and intersection theorems // Math. Z. 1999. V. 230. P. 545-567.

"[6]Araya T., Yoshino Y. Remarks on a depth formula, a grade inequality and a conjecture of Ausländer // Communications in Algebra. 1998. V. 26. P. 3793-3806-

r[7jCHOI S., iyengar S. On a depth formula for modules over local rings // Comm. Algebra. 2001. V. 29. P. 3135-3143

М/хМ € HR/xR, и, при выполнении этих двух условий, H-dimR М =

H-dimR/xRA//xM .

IV) М € Hr =>• Мр 6 Hrp и H-dimR М > H-dimRp Мр.

V) Если в короткой точной последовательности 0-^M—*N—*K—*0 два из трех модулей принадлежат Hr, то и третий тоже обладает этим свойством; если эта точная последовательность расщепляется, то N е Hr М е Hr и к е HR.

Заметим, что проективная и G- размерности удовлетворяют всем этим свойствам, для виртуальной проективной размерности доказаны свойства I и II, а для CI-размерности - свойства I-IV.

Перечисленные размерности связаны цепочкой неравенств pdß М < vpdдМ < CI-dimflM < G-dimrM, частным случаем которой при М = к является следующее утверждение: R - регулярно R - полное пересечение R - горенштейново. Свойство II также обеспечивает совпадение, при условии конечности, разных гомологических размерностей одного модуля.

Основным объектом изучения для нас является G-размерность. Хотя это понятие было введено почти 40 лет назад, интерес к нему особенно возрос в последнее десятилетие, когда этой теме было посвящено большое количество работ, в частности, см. монографию Л.В. Кристенсена [8]8. Важный круг нерешенных проблем, связанных с G-размерностью, составляют вопросы, связанные с ее поведением при заменах колец, в частности, так называемая гипотеза о транзитивности G-размерности:

8[8j CHRISTENSEN L.W. Gorenstein Dimensions // Springer-Verlag, Berlin, 2000, Lecture Notes in Mathematics Vol. 1747.

Гипотеза ([9]9) Если ф : S —» R- конечный локальный гомоморфизм конечной G-размерности (т.е. G-dims R < со), то для любого R-модуля М, такого что G-dim/e М < оо, имеем G-dims М <00

Близкий вопрос изучался в работе [Ю]10: оказывается, для гомоморфизмов ф конечной G-размерности специального вида, а именно, сюръ-ективных с grade R ~ G-dims R (в таком случае идеал Кег ф называется G-совершенным, по аналогии с понятием совершенного идеала), над кольцом R естественным образом определяется так называемый "удобный "модуль Ext(также независимо изучавшийся Х.-Б. Фок-сби в [II]11), и для определяемого относительно таких модулей аналога G-размерности выполнен результат типа замены колец.

Тривиальными примерами "удобных"модулей являются свободный модуль ранга 1 и дуализирующий модуль, когда он существует. Вопрос о существовании нетривиальных примеров был поставлен Е.С. Голодом в [12]12, а первый нетривиальный пример такого модуля был построен Х.-Б. Фоксби в [13]13

Для размерности (сводящейся к обычной G-размерности, когда K=R) относительно "удобного"модуля К выполнены аналоги свойств IV, причем аналогом свойства I является утверждение о равносильности конечности GK-размерности поля вычетов и условия, что модуль К -дуализирующий. В настоящей работе вводятся и изучаются "полудуали-

9[9]AVRAMOV L.L., FOXBY H.-B. Ring homomorphisms and finite Gorenstein dimension // Proc. London. Math. Ann. 1997. V. 307. P. 241-270.

10[10] Голод Е.С. G-размерность и обобщенные совершенные идеалы // Труды Математического института АН СССР. 1984. Т. 165. С. 62-66

"[11] FOXBY H.-B. Gorenstein modules and related modules // Math, scand. 1973. V. 31. P. 267-284.

12[12] Голод Е.С. Вопрос // Успехи Мат. Наук. 1985. Т 40. Н 1. С. 234.

13[13]FOXBY H.-B. unpublished notes // 1987.

зирующие"комплексы, являющиеся обобщениями "удобных"модулей и дуализирующего комплекса. Такие комплексы возникают естественным образом при рассмотрении конечных гомоморфизмов локальных колец конечной G-размерности S —R, a именно, в такой ситуации Л-комплекс RHoms(H, S) является полудуализирующим. Для дуализирующих комплексов верно и обратное (см. [14]14), то есть любой такой комплекс получается при помощи описанного индуцирования. Такие комплексы также независимо рассматривались Л.-В. Кристенсеном в [15]15

Цель работы

Целью настоящей работы является построение инварианта типа гомологической размерности, характеризующего кольца Коэна-Маколея, а также исследование структуры множества полудуализирующих комплексов

Основные методы исследования

В работе используются гомологические методы коммутативной алгебры, в частности "коммутативная алгебра комплексов".

Научная новизна

Результаты работы являются новыми. Основными из них являются следующие:

u[14j KAWASAKI, Т. On Macaulayfication of Noetherian schemes // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. V 352. N 6. P 2517-2552.

15[15]CHRISTENSEN L.W. Semi-dualizing complexes and their Auslander categories // Trans. Amer. Math. Soc. 2001. V. 353 N 5. P. 1839-1883.

1) Введено понятие полудуализирующего комплекса и для определяемой относительно таких комплексов гомологический размерности доказан результат о поведении при замене колец и аналог формулы Ауслендера-Буксбама.

2) Доказано, что для пары полудуализирующих комплексов Х\ и Хг, таких, что йхг ¿¡т-Х-! < оо, имеем изоморфизм в производной категории: Хх ЯНотд^ь Х2) ^ Х2

3) Построен пример артинового кольца с нетривиальной структурой множества полудуализирующих комплексов и показано, что гомологические свойства артиновых колец с экстремальными характеристиками множества полудуализирующих комплексов аналогичны свойствам построенного примера.

4) Доказано, что любой полудуализирующий комплекс с единственной ненулевой гомологией индуцируется с надкольца.

5) Построен альтернативный инвариант типа гомологической размерности, характеризующий полные пересечения и удовлетворяющий свойству V.

6) Построен инвариант типа гомологической размерности, характеризующий кольца Коэна-Маколея.

Практическая и теоретическая ценность

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации и введенные в ней понятия могут быть использованы специалистами в области гомологических методов коммутативной алгебры.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на международной конференции по коммутативной алгебре (Гренобль, Франция, 2001 г.), исследовательском семинаре в рамках программы по коммутативной алгебре (MSRI, Беркли, США, 2003 г.), Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию МГУ (Москва, 2004), семинарах "Кольца и модули", "Коммутативная алгебра"(неоднократно), а также на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6], список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем работы

Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Объем диссертации — 47 страниц, список литературы содержит 33 наименования.

Краткое содержание диссертации

Во введении содержится исторический обзор работ, посвященных инвариантам типа гомологических размерностей и перечень основных результатов автора.

В Главе 1 собраны основные предварительные сведения из коммутативной и гомологической алгебры, в частности излагаются основные

результаты коммутативной алгебры комплексов.

В Главе 2 вводится и изучается понятие полудуализирующего комплекса. Комплекс называется полудуализирующим, если его гомология конечно порождена и естественный морфизм R RHom(X,X) является изоморфизмом в производной категории. Тривиальными примерами полудуализирующих комплексов являются свободный модуль ранга 1 и дуализирующий комплекс, когда он существует. Если полудуализирующий комплекс имеет только одну ненулевую гомологию, то с точностью до сдвига этот комплекс изоморфен удобному модулю как объект соответствующей производной категории.

Пусть X - полудуализирующий комплекс, М ^ =

ГШотд(ГШогпя(М, Х),Х) - квазиизоморфизм. Положим Gx-dimM = - inf(Hom(M, X)) + inf (X).

В Главе 2 (§1) построена теория G-размерности по отношению к полудуализирующему комплексу, в которой выполнены аналоги свойств IV. В частности, получено доказательство аналога формулы Ауслендера-Буксбаума:

Теорема 2.14. Пусть X - полудуализирующий комплекс над кольцом R, и для М £ Vf+(R) имеем Gx-dirrifl М < оо. Тогда Gx-dimfl М + depth М = depth R.

Для построенной размерности выполнен результат о замене колец, аналогичный [10, Предложение 5]:

Теорема 2.10. Пусть X - полудуализирующий комплекс над S, R - конечная (конечнопорожденная как S-модуль) S-алгебра, X' = RHoms(/i, X). Тогда

1) Gx-dims R < oo X' - полудуализирующий комплекс над R

2) При условии Gx-dims R < оо для R-комплекса М конечность Gx размерности над кольцом S равносильна конечности Gx> размерности над кольцом R, более того

Gx-dims М = Gx'dirriRM + Gx-dim5 R.

Эта теорема, в частности, позволяет получить переформулировку гипотезы Аврамова-Фоксби в терминах полудуализирующих комплексов.

Гипотеза 2.16. Пусть X - полудуализирующий комплекс над кольцом R. Тогда Gx-dimM < G-dimM, причем при условии конечности правой части достигается равенство.

Далее в Главе 2(§2) исследуется вопрос о существовании нетривиальных полудуализирующих комплексов (отличных от свободного модуля ранга 1 и дуализирующего комплекса).

Пусть S\,... ,Sn - конечные локальные алгебры над локальным кольцом R. Обозначим через т* максимальный идеал в 5», а через т - максимальный идеал кольца R. Рассмотрим R -алгебру S = Si ®я 5г • • • <8>я Sn.

Для любого Р С {1,...,п} положим Sp = где i пробегает

множество Р. Обозначим Р = {1,..., п}\Р.

Предложение 2.19.Пусть для любого i алгебра свободна как R-модуль а Si/mi = R/m. Тогда алгебра S локальна и для любого Р С {1,... ,п} S-модуль Кр = Horns¿{S,Sp) является удобным, при этом

type КР = (typefl)" JJdim5i/mi Hom5i/m5.(Si/mb Si/mSi) iefi

Если к тому оке все кольца Si/mSi не являются горенштейновыми, то модули Кр попарно неизоморфны.

Таким образом, в данном примере построенные полудуализирующие комплексы находятся в однозначном соответствии с подмножествами конечного множества. Гипотетически и в общем случае должна иметься похожая структура. Пусть Kj - удобный модуль, соответствующий некоторому подмножеству I С {1,... ,п}. Для построенного примера верно следующее утверждение: I С J GKjdimiC/ < оо. Для последнего свойства есть аналог и в общем случае, что позволяет ввести на множестве полудуализирующих комплексов естественное бинарное отношение. Показывается, что отношение является симметричным и рефлексивным, вопрос о транзитивности открыт и непосредственно связан с вопросом о транзитивности G-размерности (гипотеза Аврамова-Фоксби), сформулированным выше. Тем не менее, поиск аналогов соотношений, выполненных для описанного примера, позволяет получить несколько важных следствий для общей ситуации. Наиболее интересным является аналог соотношения I С J => Kj ~ Ki® Kj\i:

Теорема 2.26 Если Х\ и Хг - полудуализирующие комплексы надR, такие, что Gx2 dimХ\ < оо, и комплекс М € D+{R) имеет конечную G-размерность по отношению кХ% и то морфизм композиции

<р : ИНотдСМ, Х{) ®lR RHom^x, Х2) RHom*(M, Х2) является квазиизоморфизмом.

Определение 2.27 Мы говорим, что неизоморфные полудуализирующие комплексы Xq, Xi,..., Хп образуют цепочку длины п если Gxi dim AT,-! < оо для всех i = 1,..., п.

Следствие 2.26 Если полудуализирующие комплексы Хо, Хх,...,Хп образуют цепочку, то имеет место квазиизоморфизм

Далее рассматривается задача классификации полудуализирующих комплексов над кольцами Коэна-Маколея. Следующие два предложения позволяют свести эту задачу к рассмотрению удобных модулей над ар-тиновыми кольцами.

Предложение 2.32 Пусть X — полудуализирующий комплекс над R, amp(X) > 0. Тогда R не является кольцом Коэна-Маколея.

Предложение 2.33 Пусть R - полное локальное кольцо, х - R-регулярный элемент. Тогда можно установить взаимно-однозначное соответствие между множествами классов изоморфизма удобных модулей над кольцами К и Я/(х).

Над артиновыми кольцами размерность цоколя удобного модуля является делителем размерности цоколя кольца, и следующий вариант примера из Предложения 2.19 показывает, что это численное ограничение является единственным:

Пример 2.22. Представим натуральное число т в виде произведения простых т = ГП=1Р»- Рассмотрим кольцо Тт = к к кр*, где к - поле. Размерность цоколя("коэн-маколеев тип"кольцаТ„ равна п, и, по доказанному, для любого делителя а числа т найдется удобный Тт - модуль К с типом а.

Для артиновых колец рассматриваются базисные системы полудуализирующих модулей, аналогичные набору Кщ,..., К[п) в Примере 2.19.

Свойства этой системы для Примера 2.22 являются в некотором смысле экстремальными.

Определение 2.36. Модули К\,Кг, ,..Кп называются сильно Тог-независимыми, если для любого подмножества I С {1,...,тг} имеем атр(®^€/^) = О

Используя Теорему 2.26, получаем, что Кщ,... ,К{пу —сильно Тог-независимы. Между количеством модулей в системе сильно Тог-независимых модулей и минимальной степенью максимального идеала, обращающейся в 0, есть естественное соотношение:

Теорема 2.39. Если модули К\, Кг,..., Кп не свободны и сильно Тог-независимы, то т" ф 0. Если, при тех же предположениях, тп+1 = 0, то ряд Бетти к имеет вид дп ^ ^ для некоторых натуральных

Далее вводится определение 8В(п)-полного кольца, частным случаем которого является кольцо из Примера 2.22.

Определение 2.43. Артиново кольцо Я называется 51>(п)-полным, если выполнены следующие условия:

1) тп+1 = 0

2) Над кольцом существуют сильно Тог-независимые несвободные удобные модули КиК2,...,Кп, такие, что для любого подмножества I С {1, ...,п} модуль является удобным.

Численные инварианты таких колец сходны с соответствующими численными инвариантами кольца из примера 2.22:

Предложение 2.51. Пусть Я является 30(п)-полным кольцом, а К\,Кг,..., Кп - соответствующее множество нетривиальных удобных

модулей. Для каждого г ряд Басса имеет вид 1К~1(Ь) = у, а

ряд Бетти К{ имеет вид РкМ = ^¡^'к^е-

Для случая БО(2)-полных алгебр также имеет место козюлевость и равенство длин кольца и нетривиальных полудуализирующих модулей.

В Главе 3 настоящей работы рассматриваются альтернативные, через совокупность модулей нулевой размерности, подходы к определению размерности, характеризующей полные пересечения.

Определение 3.3. Рассмотрим модули М над кольцом В. такие, что С-сИтд М = 0, и обладающие тем свойством, что их числа Бетти ограничены некоторым полиномом от п. Для таких модулей положим РС1-сНтдМ = 0. Для произвольных модулей положим

РС1-с1ш1я М = тГ{п | существует точная последовательность

О Р„ —> Р„_ 1 ----► Р0 -» М — 0, где С1-<Итд Р{ = 0}

В результате получается расширение класса модулей конечной СТ-размерности, удовлетворяющее свойству V, справедливость которого для класса модулей конечной СТ-размерности неизвестна. Также приводится более простое, чем в [16]16, доказательство теоремы о том, что локализация полного пересечения есть снова полное пересечение.

В Главе 4 вводится размерность, характеризующая кольца Коэна-Маколея. Идея определения состоит в замене в определении СТ-размерности проективной размерности на G-размерность, а класса идеа-

1в[16) АБРАМОВ Л.Л. Плоские морфизмы полных пересечений // Докл. Акад. Наук СССР. 1975. Т. 225. С. 11-14.

лов, порожденных регулярными последовательностями, на соответствующий С-аналог, которым оказывается класс С-совершенных идеалов.

Определение 4.1. 0,-квазидеформацией кольца Я называется диаграмма локальных гомоморфизмов Я —» Я' <3, где Я —> Я' - плоское расширение, &Я1 *— С-деформация, т.е. гомоморфизм факторизации по С-совершенному идеалу I.

Определение 4.2. СМ-сИтд М = Ы{С-й\тп(э(М®пЯ')-С-<11т(г Я' | Я —> Я' <— ф- С-квазидеформация}.

Для введенного таким образом инварианта выполнены свойства I-IV, но справедливость свойства V так же, как и для С1-размерности, неизвестна. Также было показано, что класс модулей конечной СМ-размерности включает в себя класс модулей конечной вк размерности для любого удобного модуля К. В доказательстве используется новая характеризация удобных модулей при помощи С-горенштейново связанных идеалов. В качестве еще одного следствия этой характеризации получаем, что полудуализирующие комплексы с единственной ненулевой гомологией индуцируются с надкольца:

Следствие 4.8. Если К - удобный модуль над Я, то существует кольцо 5, такое, что Я ~ , С-сИгс^ Я — 0 и Нот$(.й, в) ^ К.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Евгению Соломоновичу Голоду за постоянное внимание к работе, и многочисленные ценные замечания.

Работы автора по теме диссертации

1) Герко А.А. О гомологических размерностях // Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, основанного О.Ю. Шмидтом в 1903 г. (13-16 ноября 2000). Тезисы докладов. М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2000. С. 13.

2) Герко А.А. О гомологических размерностях // Математический сборник. 2001. том 192. N.8 С.79-94.

3) Герко А.А. Об удобных модулях и G-совершенных идеалах // Успехи математических наук. 2001. том 56. N4. С. 141-142.

4) Герко А.А. О структуре множества полудуализирующих комплексов // Успехи математических наук. 2004. том 59. N5. С. 145-146.

5) Герко А.А. О структуре множества полудуализирующих комплексов // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2004. С. 36-38.

6) Gerko А.А. On the structure of the set of semidualizing complexes // Illinois J. Math, 2004, V.48. No.3.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать 20.09.04

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 10

Тираж 100 экз. Заказ 41

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

»24045

1 Предварительные сведения

1.1 Основные классы локальных колец.

1.2 Коммутативная алгебра комплексов.

1.3 Удобные модули.

2 Полудуализирующие комплексы и Gx размерность

2.1 Общие сведения.

2.2 Структура множества полудуализирующих комплексов.

3 PCI размерность

4 СМ размерность 39 Литература

Гомологические методы в коммутативной алгебре являются одним из самых мощных средств в арсенале исследователя. Важная теорема о локализуемое™ свойства регулярности локального кольца является примером утверждения, которое достаточно легко доказывается гомологическими методами, при том, что доказательство, использующее только классические методы, неизвестно.

Основным моментом в доказательстве этой теоремы является утверждение о том, что проективная размерность характеризует регулярные кольца в следующем смысле: любой модуль над регулярным кольцом имеет конечную проективную размерность и, обратно, из конечности проективной размерности поля вычетов следует регулярность кольца.

Общая идея Ауслендера, высказанная им в начале 60-х, состоит в том, что модули конечной проективной размерности над (не обязательно регулярным) кольцом во многом ведут себя так же, как модули над регулярными кольцами.

Примером свойства, которое в рамках этого подхода было обобщено с модулей над регулярными кольцами на модули конечной проективной размерности ([24]), является следующее предложение: если последовательность элементов кольца R регулярна относительно модуля М, то она регулярна относительно R.

Основной мотивацией для исследования гомологических размерностей, характеризующих другие типы колец, важные для алгебраической геометрии, в частности, локально полные пересечения, кольца Горенштейна и кольца Коэна-Маколея, является поиск разумного описания модулей, свойства которых были бы аналогичны свойствам модулей над кольцами соответствующих типов.

Подобные классы модулей неоднократно возникали в разных задачах коммутативной алгебры.

Для колец Горенштейна соответствующий класс рассматривался Ауслендером и

Бриджером в [3], и задавался следующим образом: Положим G-dim М — 0, если естественное отображение М —» Hom(Hom(M, R), R) есть изоморфизм и Extгя(М, R) — 0 = ExtlR(M*, R) при г > 0. Точную нижнюю грань длин резольвент модуля М, составленных из модулей Р с G-dim Р — 0, будем обозначать через G-dim М.

Для полных пересечений соответствующий класс модулей, названных модулями конечной виртуальной проективной размерности (vpd), возник в работе Аврамова [6] при изучении свойств чисел Бетти модулей бесконечной проективной размерности. Размерность vpdRM полагалась конечной, если существует сюръективный гомоморфизм колец S —> R, где R - пополнение R в m-адической топологии, такой, что ядро гомоморфизма порождено регулярной последовательностью и pdS(M ®rR) < оо. Для (возможно) более широкого класса модулей конечной CI-размерности (см. определение 3.2), рассматривавшегося в [9] и также характеризующего полные пересечения, были доказаны некоторые утверждения, справедливость которых для виртуальной проективной размерности неизвестна, в частности, хорошее поведение при локализации. К тому же, модули конечной CI-размерности в некоторых задачах действительно демонстрируют поведение, сходное с поведением модулей над полными пересечениями. Наиболее важным примером является асимптотические свойства свободных резольвент, являющиеся главным предметом работы [9], также упомянем работы [20], [1] и [11], где с модулей над полными пересечениями на модули конечной CI-размерности обобщается формула глубины, и работу [1], где обобщается критерий свободы Ауслен-дера.

Перечисленные размерности связаны цепочкой неравенств pdfl М < Cl-diirtft М < G-dimrM, частным случаем которой при М = к является следующее утверждение: R - регулярно =» R - полное пересечение =4- R - горенштейново.

Все необходимые предварительные сведения из коммутативной и гомологической алгебры собраны в Главе 1.

Будем говорить, что задана обобщенная гомологическая размерность, характеризующая класс колец П, если для любого кольца R заданы класс модулей HR и отображение H-dimR из Hr в Ъ. Перечислим некоторые из ограничений, которые разумно наложить для получения содержательного понятия.

I. k = R/m е HR <ФФ для любого Д-модуля М 6 Hr о fl 6 П.

II. М 6 Hr H-dimR М + depth М = depth R.

III. Пусть x - R - и M - регулярный элемент. Тогда М £ HR М/хМ 6 Hr/xr, и, при выполнении этих двух условий, H-dimR М = H-dimR/xRM/xM .

IV. М eBR=> Мре HRp и H-dimR М > H-dimRp Мр.

V. Если в короткой точной последовательности О—>М—>/V—►К—>0 два из трех модулей принадлежат HR, то и третий тоже обладает этим свойством; если эта точная последовательность расщепляется, то N £ HR ^Ме HR и К е HR.

Заметим, что проективная и G- размерности удовлетворяют всем этим свойствам, для виртуальной проективной размерности доказаны свойства I и II, а для Соразмерности - свойства I-IV.

Основным объектом изучения для нас является G-размерность. Хотя это понятие было введено почти 40 лет назад, интерес к нему особенно возрос в последнее десятилетие, когда этой теме было посвящено большое количество работ, в частности, см. монографию J1.B. Кристенсена ([12]). Важный круг нерешенных проблем, связанных с G-размерностью, составляют вопросы, связанные с ее поведением при заменах колец, в частности, так называемая гипотеза о транзитивности G-размерности:

Гипотеза 1 ([8]) Если ф : S —R- конечный локальный гомоморфизм конечной G-размерности (т.е. G-dim^ R < оо), то для любого R-модуля М, такого что G-dim^ М < оо, имеем G-dims М < оо.

Близкий вопрос изучался в работе [33]: оказывается, для гомоморфизмов ф конечной G-размерности специального вида, а именно, сюръективных с grade(S/ Кег ф) — G-dims(Sy Кег ф), над кольцом R естественным образом определяется так называемый "удобный"модуль (также независимо изучавшийся Х.-Б. Фоксби в [14]), и для определяемого относительно таких модулей аналога G-размерности выполнен результат типа замены колец, см. 1.55.

Тривиальными примерами "удобных"модулей являются свободный модуль ранга 1 и дуализирующий модуль, когда он существует.

Для Gk размерности относительно "удобного"модуля К выполнены аналоги свойств I-V, причем аналогом свойства I является утверждение о равносильности конечности gk-размерности поля вычетов и условия, что модуль К - дуализирующий.

В Главе 2 настоящей диссертационной работы рассматриваются комплексы, являющиеся одновременно обобщением дуализирующих комплексов и "удобных"([33]) модулей. Эти комплексы были независимо введены автором в работе [36] под названием "удобных"и JI.B. Кристенсеном в работе [13] под названием "полудуализирующих". Поскольку последнее название представляется более удачным и уже устоялось в литературе, мы будем использовать именно его.

Комплекс называется полудуализирующим (Определение 2.1), если его гомология конечно порождена и естественный морфизм R —> RHom(X, X) является изоморфизмом в производной категории. Такие комплексы возникают естественным образом при изучении локальных гомоморфизмов колец ф : S —» R конечной G-размерности, а именно, в такой ситуации /^-комплекс RHom5(i?, S) является полудуализирующим. Тривиальными примерами полудуализирующих комплексов являются свободный модуль ранга 1 и дуализирующий комплекс, когда он существует. Если полудуализирующий комплекс имеет только одну ненулевую гомологию, то с точностью до сдвига этот комплекс изоморфен удобному модулю как объект соответствующей производной категории.

В Главе 2(§ 1) были получены следующие результаты. Построена теория G-размерности, по отношению к полудуализирующему комплексу, в которой выполнены аналоги свойств I-V. Для построенной размерности выполнен результат о замене колец, аналогичный ([33, Предложение 5]), см. Теорема 2.10. Получена переформулировка гипотезы Аврамова-Фоксби в терминах полудуализирующих комплексов.

Интересным является вопрос о возможности получения любого полудуализирующего комплекса при помощи описанного выше индуцирования. Для дуализирующих комплексов соответствующий вопрос составляет содержание гипотезы Шарпа:

Гипотеза 2 ([26]) Если R- локальное кольцо, X - дуализирующий комплекс, то существует кольцо S и сюръективпый гомоморфизм ф : S —> R такой, что RHomS(R, S) ~ X.

Эта гипотеза была доказана Т. Кавасаки в работе [21]. Здесь показывается, что аналогичное утверждение также верно для удобных модулей (см. 4.8), то есть для полудуализирующих комплексов с единственной ненулевой гомологией.

Далее в Главе 2(§2) исследуется вопрос о существовании нетривиальных полудуализирующих комплексов (отличных от свободного модуля ранга 1 и дуализирующего комплекса). Для модулей соответствующий вопрос был поставлен Е.С. Голодом в [34]. Первый нетривиальный пример удобного модуля был построен Х.-Б. Фоксби в [15].

Легко показать, что коэн-маколеев тип (см. Определение 1.32) удобного модуля должен быть делителем коэн-маколеева типа кольца. В настоящей работе для любого наперед заданного типа т строится пример кольца, над которым для любого делителя т, существует соответствующий полудуализирующий модуль (см. 2.22). Для этого примера структура множества построенных полудуализирующих модулей идентична структуре множества всех подмножеств конечного множества мощности равной количеству простых делителей т.

Гипотетически и в общем случае должна иметься похожая структура. Пусть Kj -удобный модуль, соответствующий некоторому подмножеству I с {1,. ,п}. Для построенного в 2.22 примера верно следующее утверждение: I С J GKjdim Kj < со. Для последнего свойства есть аналог и в общем случае, что позволяет ввести на множестве полудуализирующих комплексов естественное бинарное отношение. Отношение является симметричным и рефлексивным, вопрос о транзитивности открыт и непосредственно связан с вопросом о транзитивности G-размерности, сформулированным выше. Тем не менее, поиск аналогов соотношений, выполненных для описанного примера, позволяет получить несколько важных следствий для общей ситуации. Наиболее интересным является аналог соотношения I С J => Kj ~ Kj <g) Kj\j, который в общем случае приводит к построению по паре полудуализирующих комплексов и Х2, таких, что GxadimXi < оо, следующего изоморфизма в производной категории: ®lr ИНотд^ьХа).

Далее рассматривается задача классификации полудуализирующих комплексов над кольцами Коэна-Маколея. Для таких колец любой полудуализирующий комплекс является удобным модулем (в смысле соответствующей производной категории), см. Предложение 2.33. Классификация удобных модулей над полным кольцом сводится к случаю кольца глубины 0 (см. Предложение 2.34), в частности, в коэн-маколеевом случае, к случаю артиновых колец. Для артиновых колец рассматриваются базисные системы полудуализирующих модулей, аналогичные набору К^,., К{п} в примере. На длину такой базисной системы выполнено естественное ограничение в терминах минимальной степени максимального идеала, обращающейся в 0 (Предложение 2.40), при достижении которого ряд Бетти кольца становится рациональным. Это ограничение также является строгим и выполнено как равенство для примера 2.22. Далее рассматриваются кольца, для которых это ограничение выполнено как равенство (Определение 2.44). Численные инварианты (ряды Бетти и Басса поля вычетов) таких колец оказываются идентичны соответствующим численным инвариантам кольца из примера. Для случая колец с ш3 = 0 также имеет место козюлевость (см. Предложение 2.58) и равенство длин кольца и нетривиальных полудуализирующих модулей (Предложение 2.53).

В Главе 3 настоящей работы рассматриваются альтернативные, через совокупность модулей нулевой размерности, подходы к определению размерности, характеризующей полные пересечения. В результате получается расширение класса модулей конечной CI-размерности, удовлетворяющее свойству V. Также приводится более простое, чем в [5], доказательство теоремы о том, что локализация полного пересечения есть снова полное пересечение.

В Главе 4 рассматривается размерность, характеризующая кольца Коэна-Маколея, для которой выполнены свойства I-IV, а также верно следующее: класс модулей конечной СМ-размерности включает в себя класс модулей конечной Gk размерности для любого удобного модуля К. В доказательстве используется новая характеризация удобных модулей при помощи G-горенштейново связанных идеалов.

Автор хотел бы воспользоваться случаем и поблагодарить Е.С. Голода за внимание к работе, проявленное на всех стадиях ее подготовки, и многочисленные ценные замечания.

1. Araya Т., Yoshino Y. Remarks on a depth formula, a grade inequality and a conjecture of Auslander // Communications in Algebra. 1998. V. 26. P. 3793-3806.

2. Araya Т., takahashi R., Yoshino Y. Homological invariants associated to semi-dualizing bimodules // preprint, 2002.

3. Auslander M., Bridger M. Stable module theory // Mem. AMS. 1969. V. 94.

4. Auslander M., Ding S., Solberg 0. Liftings and Weak Liftings of Modules // J. Alg. 1993 V. 156 P. 273-397.

5. Абрамов JI.JI. Плоские морфизмы полных пересечений // Докл. Акад. Наук СССР. 1975. Т. 225. С. 11-14.

6. Avramov L.L. Modules of finite virtual projective dimension // Invent. Math. 1989. V. 96. P. 71-101.

7. L. L. Avramov and H.-B. Foxby Homological Dimensions of Unbounded Complexes // J. Pure Appl. Algebra. 1991. V. 71 P. 129-155.

8. Avramov L.L., Foxby H.-B. Ring homomorphisms and finite Gorenstein dimension // Proc. London. Math. Ann. 1997. V. 307. P. 241-270.

9. Christensen L.W. Gorenstein Dimensions // Springer-Verlag, Berlin, 2000, Lecture Notes in Mathematics Vol. 1747.13. chrrstensen L.W. Semi-dualizing complexes and their Auslander categories // Trans. Amer. Math. Soc. 2001. V. 353 N 5. P. 1839-1883.

10. Foxby H.-B. Gorenstein modules and related modules // Math, scand. 1973. V. 31. P. 267-284.

11. H.-B. Foxby unpublished notes // 1987.

12. Gulliksen Т.Н. A change of the ring theorem, with applications to Poincare series and intersection multiplicity // Math. Scand. 1974. V. 34. P. 167-183.

13. Gulliksen Т.Н. A homological characterization of local complete intersections // Compositio Math. 1973. V. 23. P. 251-255.

14. R. hartshorne Residues and duality // Lecture Notes in Mathematics no. 12, Springer-Verlag, Berlin, 1971.

15. C. Huneke, L. sega and A. Vraciu Vanishing of Ext and Tor over some Cohen-Macaulay local rings // Illinois J. Math., 2004.

16. Iyengar S. Depth for Complexes, and intersection theorems // Math. Z. 1999. V. 230. P. 545-567.

17. Kawasaki, Takesi On Macaulayfication of Noetherian schemes // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. V 352. N 6. P 2517-2552.

18. V. Ma§ek Gorenstein Dimension of Modules // arXiv:math.AC/9809121.

19. M. Nagata Local rings // Wiley, New York, 1962.

20. Peskine C., Szpiro L. Dimension projective finie et cohomologie locale // Publ. Math. I.H.E.S. 1972. V. 42. P. 47-119.

21. Sather-Wagstaff S. Semidualizing modules and the divisor class group, preprint, 2004.

22. Абрамов Л.Л., строгалов с.с., тодоров А.Н. Модули Горенштейна // Успехи Мат. Наук. 1972. v. 27. n 4. р. 199-200.