Граничное поведение нестойких решений стохастических дифференциальных уравнений с отражением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Р ^ ^ К1Ш30ЫШЯ УШВЕРСИТЕТ 1м. ТАРЛСЛ ШЕВЧЕНКА

2 1 U/üL-Ю_,_

На правах рукопису

♦ШЗ&БЙА Гуляш ЗзакбпХнна

ганичнд повшннд нютикик шзз'яаав оташяичгаос лшремцшос ршшь з вгдаттка

OI.OI.CS - тэср1я iÎMOBlpsoorea та матвмапгага ототистяна

ABTOPB0BP4I

дисэртацП на йдобуття вчанога ступени кандидата (Язико-изтекэтотнкх наук

Kala - I9S4

Робота вкконана ка£9др1 творИ ймав1рностей та ыатаматлчно1 статистики ыа1£ш1ко-ыатеиатичного факультету Ки1вськаго ун1вврситету 1м. Tapaca Щэвченка.

Науковий кер1ымк: доктор фХаико-матеыатичаих наук, професор Г.Л.КУЛШЧ.

0ф1д11й'1 ошданти: доктор ф1зико-ыатвматачшх наук, професор НЛ.ШРТЕННО; кандидат ф1зико-математачних наук, доцент В.Г.БДБЧУН.

Пров1дна организвц1я: Ыститут цршишдяо1 математики та механики АН Укра1ни, м. Дднецьк.

Захист в1д0удэться 1994 р. о H годон1 на

вас1данн1 Сгюц1ал1зоваыо1 ради ¡с OlOl s У при Ки1вському ушварсшот! Tspaca Шевченка ва адресов:

262127, м. Ки1в, пр. акад. Глуикова, 6, кэхвн1ко~математичшй факультет, ауд. 42.

3 дасертац1вп можна ознайоматиоь у б10л1отец1 Ки1всьиого ун1варситату.

Автореферат роз1слшшй '-¿¿Ci Q2-Q 1994 р>

Вчэний сакрэтар Опец1ал1аовано1 ради

0.0. Курченко

ЗЛГМЫ& ХАРАКТЕРИСТИКА FOBOTH Актувдьа1сть тэта. ДифузШ11 процэся в1д1граать оснокяу роль п теорИ мвр»1всыснх процесс. Цв зумосда-гься там, eso до шютвкня дифуз1йких i блазыотх до нш процэс1в зводяться досить широк! класн нопзрзркпЕс иарк1всыатх npouaclB, 1 ко сака дкфуз1£н1 процэси о ав'язукжвз лшсгои гл!а гзор1шо Еипадяосих предос1в i Toepicn д^8ренц1йних р1вшмь в чаоткагапс гох!даиг ел1лт1ггнсго та всргйоличяого тнп1з.

Дв*уз1йп1 процзсн з К0ЯЯ"Я! буш продается чавявнних досл1дхзпъ В.Фаллэра,, А.Д.Вэкщчля, K.ÎTO, А.В,Скорохода. В.Фодпзр зпая1гачш?=а vmoxstm а1даукзт» yoi •o,î5topi,'ml ob чвсоя деФзгз1йя1 прзцвсп вв п!др1зц1, ®1 шшь шшорэрна! трЕоктарИ, а• тгхож екезвз на даяи1 прсцзга, гл 1 fîOTTà рстрст ш га kssI ai^piasy. Eifipisnoisanitalnl Д5фуз1йн1 процега, як i каэть розравя лазэ па кон! nljspisrcy, тегов енал1тичЕЯми методами булл описан! Д.Д.Еонтцелдм. Л.В.Скороход рогзкшув йлов1рн1стеиП метод кеОдавя трагатср1й дафуаitera прсцео!э з мэгакз sc розп'лзкЮ стохлстачвга -двфврэяЩЗлшс рШготь.

В ecremtia час -звпдясг роботаа Свгпнох ввтсрЛв з'явштась можптв1сл> -та шшл1тичнвм итогом, так I катадги стоматитах ришпь зщзчатп даф/зЛйя! щсдесз в sesee' при ввдго шроннх прзпуЕэянях про локальи! хбрактортатяэ тя усп'гко îx эастооувата в тзорИ виттадкснях продес1в, " задачах взтекотачш! $1дош, яра osrrciDti явровавих (шстсм, як! внащцяться п!д кшшои вгпвдкошяс збурзяь.

Мата робота. ' Дооя1диеязя аск.ототас!о1 поеодШи s8ctí&"-дифузШвх процзс1в за додатяШ ная1вярж.1.й а кяттсшйм BißJsttms иэ s <:> , старэютть ira wcoma та розультатл, ítkí отрвиги! а чпсдеша ройотах Г.Л.КулШча в ïoopll сгогастачних . да®уэАйнпа •îip.'i;»;::».

Науково новизна та кракирша ц1нн1с-гь. В дасартацП отрицай! так! результата:

- досШдаэпа гранична шьед1яка фуакц1овам1Е Лнтвгрвльвого типу в1д цроцвс1в а миттевам Мдбиттям нв waal;

- отршано розподш локального часу про да су Ороун1воького ругу у двшарошму серядавиги.;

- доол1джоио miTamia про в!видк1сть зС1кг;ост1 каст!йких роэп'язк1в стохастичлих даферэнц1йних р1шшнь;

для розв'язку аадяч! Koai на иап1Епряы1Д пврвбол!чних р1внянь в частиншх пох1дш1х другого порядку з вАдбиттввлми грашгениии. ушвами анаЯден! достатн! умови й-з01кшст1 до узагальнэяого розв'язку;

- для розв'яэку задач! Koai на воШ ool парвбоМчюа р1ввянъ в ча^.тишшх пох1дшх другого порядку зпайден! нвобх1дн! га достатн! умови й-з1315шост1 до узагалышного розв'язку;

- длл розв'язку задач! Кош1 деяких клг>о1в парвбол1чних р!вшшь виайдэш достатн! умови потртаово! асЯкяост! до розв'язку р!вняиь з сингулярними К08ф1ц!вптвми.

Aiipoflaijln робота. Оснош! разультати дасертац1йш1 робота буди викладен! " обговорен! '

- ¡ш свм1иар1 з vsopil ймов1рноотей то математично! статистики при КШвському ун!шрситот! ( квр1вник - доктор ф!зшсо-матвматнчних наук, профвоор Ядренко М.И.);

- на IV-ому Всесоюзному школ! - ое м1нар1 "Статистический и дискретная анализ дашшх и акспертное оцошгаанно", м. Одесе, 2-7 Евроснп 1991 р.;

- на Vl-líl М1инародн!й конфвранцП а творИ ймов1рноотей та матомт-ично! статистка, м. В1пышо, 28 черня - 3 липня 1993 р.;

- на I1T-й Донэцък1й К1кнародн!й кокферевцП "Вероятностные

модели процессов 2 ^правлээп и падоякости", м. КарЦиодь, 6-11 вэрэснзз ХЭ93 р.

Публ1кзц11. По чз:И дисертецП спубл1.!озано шхсть работ, список гояк поЕодено в к1кд1 анторефэратя.

Структура 1 оО'ем робота. Дисергец1я склядаеться з вогулу, даох роздШв 1 списку л1торвтурт, шскй ш«1шуа 4В нгкжшувань.

Автор вирвхпз вдачп1сгь своему ясуяогаму кор!ихику са постЗйну увогу до ц1оТ робота.

КОГОПУЯ 31ЯСГ' РОБОЕ1

У всгуп1 обгрунтовуатьсн сеттальиХсть теня, дойться короткий огллд сучасного ста::у прейдем,, як1 роагллдчяться п дасвртвци, изводиться шотаЩя оснозазя результатов.

В горсюму рсзд1л1 ддсортадИ дазодктьса грз1зян1 -гасро:« для ввстШних рсз8'лзх1в стохасткчхис даЗзризДОапх р1внягь.

В Е 1.1 рсзглядавться прсщо £ {}) , язой задпю на додз»н1а ваа1апрям1а а кагтввим аХдбигтш га мея& • зсяО Якай задсгааяыт пс9|»даа1 цього шорвалу окавсгачясяу дафзреюййаседг ришянни КЛто

л ш) » а<с<*)) » с<шз> а 9 г •> о , а)

дэ а(*), ж > 0, нзвэрврян! фустЩ,'. як1 «дашшяяз»

углову Л1пгз1иа

\ - сг(у) } + | а{х) - о (у) | -г, к ¡и - у[ при з > о, .у > О, ' о(%) > О, ■ О(+0) а 0* ' 5 СО) - сяюдгяззэ вэлитана, яка из за."5экть з!д п1с9р1йськога прсцеоу лэбэгора в1ра каошш як 4 , да якзх {(1) а О' , дср1жзга

НУЛШ.

Для двогаязс^я р1внпкь, д.пя етга : •

- *<з)

E i Jte —........................... s о $ 0 ,

1 ï-»+<» .г о

J [ Г t?) О ] 1 d? 0

0 <Г(х)о(х) « 0 ,

s u

Де ff.) . J ахр [ - 2 J ) ^ (

¿ <■ Í о (v) J

(2)

Kui Ilm ж o(x) в a , lia o(i) * cj , 2a ♦ c£ > 0

S-»*® °

t

досл1ляуеться гранична повзд1нка функц1онал1в ташу | g(Ç(fl)) ds

при toa , да g(x) - Оорел1Еоьха функц1я. OchobuI разультати схяадсвтьоя з ньступних теорем :

Теорема I.I.I. Нехай £(t) - розв'язок рХшяння (I) а клаоу . Якщо фугааЦя g(x) , х > 0 , при деякому a > О

вадовдлодяе уиоау

X

J f i'(v) о 2 (у) )"1 g(v> dv

О

Ид - - ß ,

[fd)]a

Х-ю

-(a+1)/2 f

то процео X I g(£ (□) ) da слабко 3011'аеться при T ■* ®

О

ДО npouôcy

tT

£a+t)/Z

? ß a

1

с. И

I w^t) |a+1 - j j rst(3) |a ßisciTrt(0) 0

r,g тт^ (t) - докхкл alHsplBCbtoîît працзс.

Иазд1док I.I.I. В угювах тэорвкк I.I.Î npa а = О вшадковиЯ

tï -t/2 г

¡троцес 2 i Ол слабко зб!тазтъся до npas'scy

2 Г 2 2 1

4 р 7 О ÍJ is 55».ПЬН10ТЯ р(Я) I» ———» «эт í - —.......... ir—~ J-

д р at-'

Прт 2 > 9 1 pi/.} S» J ирз X -í 0 , л>

lto-4-J. X ÖB ■

Г-0 ^ g

.аокальтаЗ чза slmpJtesumo пртцасу, x дМ - 1ндаг.гтор ввщива Д.

Теорема 1.1.2. Шшй {U1 - Jona'«зек pisK&aa (I) Sa

класу Bg . Яки» ФупкЩя г,л~) » - ? о « пря дояжяу й)0 звдовожпис указ?

Г 1

2* ix) ['. i Г С?) -о а(7> 'р ft? J ® J

о . . _

? a ■

дэ- f Сх> ■ юташаеться оо1аэ1дда(шяя ' ,<2) , го взвадювяа

t'J

-ía+i 5/а

mouse ■ 'í

f 8(?<3}ï йя onatíao saireamm яра 5 -»

J

о

до процаоу

t

2 р i г tt+1(t) - о, J г а (в) й*(в) I ( L <*+ 0

дэ ироцас • r(t) задоволыша р1внянню

■ t

r*<t) » (2а0 + ) t + г о0 ¡ r(fl) ü»(a) ,

О

a w(t) - двшагй в1нор1вськяй процее.

Наол1док I.I.2. В умэввх тоореми I.I.2 при а » 1 шлвдно: tT

-1ÍC г

процво T { в(£(в)) da слабко збЛгавься до процвсу

-1/2 О

Р ( 2 а„ * о* ) t .

В 6 1.2 розглядавтьоя розв'язок £(t) стохастичн< диференцШгаго р1вняння К.Хто на вс1й прям1й

û EU) « o(i(t)) dt + o«(t» û w(t> . (3)

m a (i) , o(x) аадовольняють умовам 1снування та вдаво« розв'язку , о(х) > О , О < 0 í í' (X) о(х) <0 , дв фута /(ж) визначзеться сп1вв1дноиеншш (2).

E(tî)

I доалХдкувться шзидк1сть зб!жност1 процэсу " . " ■ при I -» w

/г

Теорема I.2.I. Нехпй E(t) задовольняв р1вшшню (3). <М1К*>1>

1. -■■■■■ 0 при |Х| -» с» ,

1 X [r<»> 0(7) - 0„12

j ----i ci - b<s>

0,(11(3)1)

t

3.

1

®2<Щх)|>

0(Y)

г á'(v) o(v) - о,

при ■* »

йт

äS С

1 .

Г (--а ] dv

' I а<?) i

« .ft

2 .

(s) i e?(s) ФункцИ, вкГ регулярно зм1пивться ira

!к1лч0кяосг.1 Я гак!, що

эг ( /s ) ] Ф,(/ЗГ ) /5Г

при г

Í) а Ь1 ПрЙ X > О i Ъ(Х) s bp яра X < О , Т0Д1

E(tT) t

—— слвбко аЛгяаться до прсцэоу -g- я(1> i а прсцэ'

/ТГ

г n(tï> -, Г) i -— - er тг-— I 3

1 /F /Г

8ÖK0 2б1гаатьсл Прт Î СО ДО прсцбсу

8(5) «

/у.

г

Ф, ( / т )

о а

1/2

£(?(*>> , да

pit) - > о0 [ - J bc^cs)) йя^З) ]

v?j{t) - доякиД BljiopiBCKKKft процзс , £ - нормальна вдаадковр в(шягаа з параметрам! (0,1) , жа на велэжХтъ в1д к., (t) . В § 1.3 для локального часу

t

-i(t.D) * iun--[ х, _ЕЛ tHs> ) ев

e-»0 2 e J 1 ' 0

процэсу OpoyiilBCbKoro pyxy у двошароаовд середошщ1

t

Ti(t) « J a( T){fl) ) flw(s) , 0

f o1', x > 0 , да o(S) « \ 1

I 02 , s < 0 ,

«(t) - EiuepiBObKiiC процос, знайдевд яшшВ вкраз розиодШу

" JXl/0(2)

T(t,0) «О / т?<0) = X | = l | ехр u2/ 2t j йи ,

1 О

— р{ t(t,0) <7 / 7]<0) с X } в "рг о ехр {- — f у + -И- 1% в у < У J -St v Et 1 0(3)0 J i

(О| + Og) 0,02

да О -p-g- .

°1 +02

В другому розд1л! дасартацИ доводиться гранича! теорами для розн'язк1в задач! KojiI пароболичних р!шшнь в частшших пох1дних другого порядку у шкласжчнсму шшадку.

НехаД ug (t,s) задоволыша р1виятш

flue(t,X) в Ue(t,X) , g ^(t.X) --- t а (ж) - + — a (2) --— ш 0 (4)

fit . 8 Ox 2 Б Ox2

при МЙЙЖО Beiz (t,X> В OÖJIÖCTl t(-t.X): 0St<$

3 граничною умовою uü(T,i) = ^(x), a Ug(t,x) задоволыше р1вняншо (4) при майке Bcix (t,x) в оОлпсг! = í (t,x):

ostcl , s > 0 J 3 граничниш умовами

д u ! (t.x) ,

ül (t,x) 3 F (X) . _ I = о при майжа ьс1х t . да

ô 2 » 1=0

(X) - неперервн1 ф1л1тн1 фужц11 з оомекано» даршо» пох1даов в област1 {-<» ; tœ ) при 1=1 i в област1 10 ; +» ) при 1=3, aß ix) 1 Og(x) - KKMlpHl д1йон1 фушсцн , I ае (s) I í Ce при кошому e> 0 , û < 8 ^ o g (i) í о р1вном1риэ по е .

Розглянемо класи р!внянь, для акта

К1!

* <»>

H

; m

Цу

^ С ;

1

к2: а£(х) a - а(х/е) , ое(х) = оШе), |з о(х)| « с : К,! ай(х) = О, ое<х) =» еа о(х/е), а(х) в С0г? + ß(x),

О < а < - . С, > О, ß(x) » о (Xa), ß'(x) в о <ха"') 2

при X -» -Ко .

В § 2.1 дасорхэдИ вводиться означения:

Ознатення 2.1 Л. П1д узагальненкм розв'язком задач1 Кош1 рШшння

а иИ,х) 1 ô2u(1,x)

+-Ъ(х>---— « О (5)

э ч 2 ах

майка скр1пь в облает! Д^ я граничной уксво» и(Т,х) я Г, (<р(х)), ДЭ ср(х) - Явпорэрвпа строго монотовда фушсц1я ф(-га) Я -со ,

Ф(+ш) б +от, Ъ(х) - вимфна д!йсна функц1я . О < О К Ь(х) £ С .будемо розум1ти функц!» , да

1(х) - фувкц1я, оОвраева до ср(х) , и(*,х) - розв'язгж задач! Кош1 (б) з юдосу В^* (йт) .

Означення 2.1.2. Говоримо, що и^Д^х) &-зб1тваться в облает! при е - О до и(г,х) , шоцо для дов1льного компакту В с (-<»! ■»<") виконано

11т 'вар I и_(<,х) - и(1,х) I = О £-0 1«(оД1 • ® I

Хе:й

I досд!джуються умоии Сг-а01жшст1 при к О рсзв'язк!в и£и,х) 1 и£{г,х) задач! Кош1 (4) для гласу К, в облвог! И, 1 П^ в1дтв1дао до узагаяьшяого розв'язку .

Тоорвмй 2.1.1. Нзхай ие(1,х) - розвеязок звдач1 Кои1 р1вшйшя (4) з клзеу К, . Для того, чэб ггЕ(1,х) С-яб1гвяаоя при

е 0 до узвгальданого розв'язку и(г,1(г)) р1шятая (Б), шобх!дно 1 доетатньо !епування с1мейства отелях Ое > О

тат:их , що

х

1 г йч

0Е*В(Х> - 1(х) , 5с0Е(гУ0Е) ~ |

О

длп кожного х « (--я; чо) пра е ■» О , дэ

г* Г г" (г) 1 г£(*>4 ^ ("в^-аг] А.

О 0 е

Ое(Х) « | [ 4 ( <ре(У)) Ое( фг(у)) ]" йч .

о (

ФЕ(Ж) - фунхцП, обврнен1 ДО 1Е(Х) .

1

Наел Здох 2.1.1. НвхаП оа(х) = % сг(х/а) , ое(х) * а(х/е),

Нео0х1дн1ми та достатн1ми умовами С-зС1мюст1 розв'язку и£и,х) задач1 Кош1 (4) до розв'язку и(1.,х) задпч1 Кои! о и(*,х) 1 » г>2иО,х)

-. + - о -— я о , и(Т.Х) шГ (X ) (б)

о X 2 ах *

9 аб1*ност!

Х(х)

-х--К ,

-1- Г Г г (V) о*(т) ] 1ат, х •» *

О

при |х| ч в , да к - деякй додатня стала, Их) визначавться сп1вв1дноиенпям (2).

1

Вауваяання. У випадку , юли о_(х) в 1 , с„(х) » — а(х/в) ,

6 В 8

й 1снуа 1нт9Грал

•Ко

/ в (х) Ох в \ ,

-ш

то класичний вкладов (Зуда лише при я а о , 1 гранична функц1я _ х) Суда розв'язкои звдач1 Кош1 (б) ери о0 ■ 1 .При X. и О будэ нэклпепчпий шгладок , 1 гранична функц1я и(*,1(х)) Суде уаагэльцевш розв'лзком задач! Кош! (Б) при

Иг) -

-2Х -4Х

о «V ' в , Х>0

-2Х, Ь(х)

в Ч , х<о ,

в *, Х<0 ,

-к» -оз

\ = J а(ч) (К , \ - J a{v) ûr ,

о о

0л1дуючя Озяачонню 2.1.1. п!д узагалыюшш розв'язкогд задач! Кош! (5) в облает! будемо розум1ти фушсц!ю u+(t,J(x)) , до

u+(t,x) з класу (ft* ) зздовольнлв р1шшшя (5) каГякэ

скр!зь В R* S ГрШПГШЯМИ умовзми U+(T,S) = ?а ( ф (Я) ) , да Ф(х) - неперарвнз строго монотонна фуикц!я ф(0) о , (р <; -) .= i® , • a

--п ю 0 1ГРИ Matea вс1х t , !(s) - фушщ1я,

в s

оЗэркаиа до cpU)

Тэоро?.« 2.1.2. Нэхзй Ug(t,E) - резв'шзк задач! Кос! рИаншня (4) з клесу К, в облает! П* . Дкя roro, Ug(t,s)

С-зб1галася при s - О до узагадишного роап'язку u+<t,I(s)) р1внякгш в с0лзст1 Р.* достатиьо Лснудадшя с!мойетве

сталих С > О техои: , ¡цо

1 г üv

0„Л_Ос) — их) , = Q_(x/Cr) — S —— ~ С Е J Ii (У)

О

для южного X > 0 upa е -» О .

В § Z.2 для класу р!шянь досл!даувться ивзвдк!сть збИкост! розн'язку ae(t,x) задач! Кош! (4) до розв'явку аадач! Кош! (б).

"зоре,-иа 2.2.1. Нохай иЕ1Х,ж) розв'язок ачдач! to!" р1аяянн.«г (4) з класу К^ , в шгому.

а..(х) = — а(к/е) , а„(х) s q {г/с)

б ь

! фупхц11 а(Х) 1 о(х) так! , до ютувть скйлзкн! Isrrarpami

Us -Ко

а (V)

í р-Ч2!^ líhв

о U f

-К»

м г г » (V) 1,2 au

1 - jjp { a I:-Û» } —— » о, I

j 1 I Jo (Y) J I i'(U) 1

—CO

■Kb

a , г йи

Í. U. с uu

1 - —S— - H Op S

5 o(u) I Г(и) £

■ —со

дэ ?(х) шзначавтъся сп1вв1дношен*ли (2). Тад1

вир I ua(t,i) - u(t,x) I < ГГ L [ rsTJ0 /ГГ ГЩ «

* [roï + nç] ] , СП

дэ u(t,x) - розв'язок аадач1 Komi (6),

Ъ m BUpI у! (X) I , О, « BUp 1'(Х) О(Х) . 2 1 J X

Заувакшня. У випадау, коли а(х) s О нер1вн1оть (7) те ы1сцэ при » О .

В S 2.3 досл1даувтъся поточкова з01жность розв'яак1в (t,x)

задач! Кош! (4) з клвс1в Kg i Kg в 00ласт1 hJ при в -» О

до розв'язку задач 1 Кош! а сингулярными коеф1ц1ацташ .

Теорема 2.3.1. Нвхай и*(!,х) - ровв'язок р!вшшня (4) а клвсу 8g а о0лаот1 R^ 1 нехай

lim X а(х) в а , 11л о (х) » а , 2а + о* > 0 .

2-+ш е ----------° о о

Тод! при е - О ир поточково зб1гаетьск да ¡де,г.5 -

розв'язку задач! Кош!

а и(г,х) ао о и(*,х) <э * а(г,г)

+ ---- +

з X х о г 2 о х1

+

в облат! Пт с гршшчними умовпма

а ,

|ж=0 в 0 • и(Т,5) *

2

в X

Таоркко 2.3.2. Кехай и*(1,х) - розв'язок кадач! Кош! (4) з класу % в облает! Р^ . Тод1 шточкево

Еб1гааться при е -» О до розв'яаку задач! Кош!

- а _ 2а • -а и^,х) ъ о к ои^.х)

а I 2 ах4

в облает! П* с грыычшма уиоввми

ыт.х) о г,(х) , -——- ¡Хз0 - 0

Основа! результата дасортоц1Х опубл1ксв5ш1 в пастушпх роботах:

1. йиб&зва Г.У. Граничш. тэорэми для функц!овап1я 1нгегрального типу в!д прэцаеу з м!ттвнкм в!дбитгяк // ТворЩ ййов1ряоствА то матвнотична статиотакз.- 1522.-47.-0.99-104;

2. Ыынбаэва Г.У. О скорости еходиисха пзустсйчйвого ракзгшй стохасткпаокого дифференциального уравнения// Укр. ¡дат, сура.-1224 р. - т. 43, й 7.;

3. Нул1н!ч Г.Я., Мшбаева Г.У. Про осиштотичну павад1вку а нэклаеггшому випвдау розв'язку задач! ' Кош! лля пврябозЛчшж

pilar:" ,'/Допоз1д1 АН .з'кра1!ы.- 1994. ;

«i. Sultalch G.L., ИупЬауета G.lf. Oil the rate of convergence oí the solutlona oí the atociiaatic different ional equat ion a depended on parematenVTeaea of 3ixtU international Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics "At¡a crac ta oí consnunicationa " .-1993.- part 1.- pp 215-216;

6. ЙупЬауета G.U. On the distribution oí Brownlan Local time// íeaes oí Sixth International Vilnius conference on probability theory and mathematical statistics "Abstracta oí connmnlctitlona 1993.-part 2.- p. 53;

6. Кулинич Г.Л. .Мшбаева Г.У. ОЙ асимптотическом поведении распрэдолений функционалов интегрального ткгш от процессов с игиоветшм отражением// Материалы IV-ой Всесоюзной школы-семинара "Статистический и дискретный анализ данных и экспертное оценивание" Одесса.- 1991г.- с.82