Граничное поведение решений линейных эллиптических и параболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Академия наук Уграинй Ордена Трудового Красного Зааыеет Институт математики

На правах рукописи

(ЛШЩШС Игорь Вгсревля

ГРАНИ ЧИЖ ПОВЕДЕНИЕ РКНГг1НИЯ ЛИВЕЙШГ ЗШШЧЕСШ И ПШНШЯЕСНИГ УРАШЕНИЙ

01^01.02 - дЕффереапЕваьнне ураввешш

1 в-1 о р е $ е р а ?

дгссертзотг на соисванве учено! стелевя кшдидята фяздго-яагеяатгчеапа: наук

Киев- 1991

Работа выполнена в отделе уравнений математической физики Института прикладной математики и механики АН Украина

НАУЧНЫЙ РШЗЭДШГИЕЬ: доктор физико-математических наук,

БАЗАМ В.1.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-ыатеыатичеекзпс наук,

профессор ГОРЕАЧУК Н.1. каэдидаг физико-математических наук

дудаикш п.и. ' -

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Московский энергетический,институт

Защита диссертации состоятся 2992 г.

в °° часов на заседании спелиализярованно/о совета по защите диссертации на соискание ученой .степени доктора наук Л 016.50.02 при Институте математики' АН УГОР по адресу: 252601, Киев - 4, ГСП, уд. Репина, 3

С диссертацией можно ознакошгться г библиотеке института.

Автореферат разослан « " ^-с-*."^/0«*- 1991 Г

Ученый секретарь

специализированного совета- ' ЛУША. А.С.

. ; ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

* ■ 3. .1 .-.1 ;

| ^Актуальность теми. Исследование поведения решений ди$*£ерен-

!^\13Мльтй!№£!уравнений в частных производных в окрестности граниин рассматриваемой области является одним из важных и давно изучаемым разделом качественной теории. Одной из первых работ в этом направлении является работа Фету, в которой показано, что ограниченная аналитическая в единичном круге функция имеет почти всвду на грвниие некасательные граничные значения. Дальнейшее развитие этот результат получил в работах Ф. й М. Рисс, Р. и Ф. Неванлин-. на, И.И.Привалова, Н.Н.Лузина..

Ф.Рисс и Ж.Лйттлвуд я Р.Пэли находят критерии того, что аналитическая в единичном круге функция имеет предельные значения на гранипе в метрике Ьр . И.Стейном, А.Кальдероном получены также условия существования нетангеноиального предела для решений гар-моничеокого уравнения.

Условия существования граничных пределов для весьма общих эллиптических уравнений были получены в работах В.И.Горбачук и М.Л.Горбачука, Я.А.Ройтберга.

В работах В.П.Михайлова и А.К.Гущина было установлено, что уоловия Рисса и Литтлвуда-Пэли является необходимым и достаточным для существования предела в Ьр на границе области для решения линейного эллиптического уравнения второго порядка в области классй Сг и был исследован вопрос об однозначной разрешимости задачи Дирихле для твкого уравнения, йогда краевое условие понимается в смысле сходимости решения к граничной функции в Ьр . Й.М.Петрупжо получил подобные результаты для решений эллиптических и пвреболических уравнений второго порядка в областях с ляпу-новской границей.

Аналогичные результаты для эллиптических уравнений второго порядка в облвстях с Радоновской границей, получены В.Ю.Иелепо -вым. Ряд результатов о граничных пределах решений гармонического уравнения, получены Бухгольдером и Ганди.

Отметим также иикл работ И.Миэуты и'Б.Х.Куй о существовании некасательных пределов для решений полигармонического уравнения вне множества нулевой бесселевской емкости.

Диссертационная работа посвящена изучению граничных свойств решений эллиптических и параболических уравнений.

Цель работы. Исследование условий существования нетопгенцн-альныхи и^ - пределов для линейных параболических уравнений

- 4 -«

второго порядка в областях с радоновской границей, а такие для решений эллиптических и параболических уравнений высокого порядка.

Общий метод исследования. В работе получил развитие на общие классы параболических и эллиптических уравнений геометрикр-аналитическиА метод Бухгольдера, Ганди исследования поведения гармонической функции вблизи границы; метод Й.Мизуты; различные методы функционального анализа.

Научная новизна. Развивается вналитико-геометрический метод исследования граничного поведения решений вллиптических и параболических уравнений. .

Получены условия существования нетангенциальных и ^ -пределов для решений линейных параболических уравнений второго порядка в областях с радоновской границей.

Попучены условия существования нетбнгенииальннх и L^ -пределов для решений эллиптических и параболических уравнений высокого порядка в полупространстве.

•> Апробация работы. Результата работы докладывались на УП и УШ Республиканских конференциях по нелинейным задачам математической физики (1989г., г.Черновом; Г991г., г.Доаепк), на семинаре по дифференциальным уравнениям в частных производных при Институте математики АН УССР, нв семинарах отделов нелинейного анализа и уравнений математической физики при Институте прикладной математики и механики АН УССР. .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах, список которых приведен в конпе автореферата.

Объем работы. Диссертация состоит из ввг.ений^ трех глав, списка цитируемой литературы, содержащего^ названий и изложена на143странице машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена вопросу о существовании нетангенпиаль-ных- и пределов в решений параболических уравнений в областях, гранисы которых представши в виде разности двух выпуклых функций,* ■

Пусть ^ • Рассмотрим область вида

<2 «. /(с*, У • А аг^ /?'*К*. ; ^ > <Р(*Щ

ч. % • % - выпуклые функани в * .

Рассмотрим в параболическое уравнение коэффициенты

непрерывны

я ограничены вместе с производными первого порядка по и гель-деровы по с показателем в О , О <уи < 1 ;

р / / ¡/>№

€ Н СО ( ■» я выполнены неравенст-

ва У

4/'" 1 4 I

для любых

Под решением уравнения понимаем классическое решение из Сг (1 .

В первых четырех параграфах доказательство ведется для полупространства: £ & КЯ+ * , в затем, в пятом

параграфе, рассматривается случай произвольной области С? .описанной выше.

Для любого <? >0 определим множество

:ГХС*,Ь - V) ■ + ! }

которое явялется аналогом обычного конуса для эллиптического, Ьлу-

, , п*+г

Пусть IV - произвольное измеримое множество из г1 * * /у4 ,

определим функции

(вналог нетянгеиниальчой максимальной функции).

Если к/ ограничено я {</

г) € У} ,

определим

У^Ь » {>V - и т)/>

.ь/пас*,*) ■ -

Определим также функоию 1

гр-^^рр-!, (*,*).Сг'.ЧИ,*') еЩ

Теорема I. Пусть 0~ ' ограниченное открытое множество в

- решение уравнения (I) в Я + * /¿у , £ О, °° ) ,

(а) , р > О . Тогда существует такое &т> О , что для всех &• больших найдутся ^ , $ , \ при которых внполнено нерв-

РРНСТВ0

+ { + { > <П \ ±

+ ИЬЦ [ Рузл Ф >оз11} ^

для всех А , лить только

¿(С) % к .

Троремя 2. Пусть ■^(^¡'б) - решение уравнения (I) в.

, уЗ £ О/Оо} ./,<*> О, тогда найдутся такле у , сГ , ^то для лгбого Д >0 верно неравенство •

ы. ти { А р, а >^6 -1} г>т £ А ■/■

+ ¿/мм/Л^ >у}] + ми

Определение, Говорим, что функшя И негянгеншгаль-

. во ограничена в точке б- R м К + , если для неко-

торых Л. , > О выполнено

iu.fi Ь! >(*.#>£> ^ ¡а^Съ,^) ,

где > Л /у<<} ■

Определим

аналогично с за-

меной V/ на Используя теоремы 1,2, доказываются

следующие результата: .

Теорема 3. Пусть - решение уравнения (I) в

* Г'.К ■

нетангенциально ограничена в каедой точке измеримого множества £ с х Н^ , ^ Е >о г тогда для всех а % А > О функпия Конечна почти всюду на Е и решение

почти в каждой точке & Ё имеет конечный нетэн-

геноивльннй предел . , Г 1

Определим

Функпия ^ > определяются также, как и

/^О,*^) , . с заменой ^ не ^»/^Э и

Г с*,

соответственно. Теореме 4. Пусть при некоторых Л>0 , «>

£? /Г 6 С©, О.

где , ^ь - зависят лишь от извбстнах величин, выполнено неравенство

м

t.

о < л с УС к +

/ л/с*>1) olzcobt <йол й"*

тогда почти всюду на Л-« * n,-trJ+ , существует конечный нет^н-генииальннй предел, являющийся функцией

Причем, если - последовательность чисел, ..... ,

—► О при —* йе» , то

f у //п (я,UL ^^^ < ,

-¿•ж, 1(>и(х,£ ±)~ И = °

Как было сказано выше, эти результаты справедлива и для области

- выпуклые непрерывные

Следует отметить, что данные теорема обобщают на случай рй~ доновской граниоы некоторые результаты И.М.Петрушко при р <=• 4-(И.М.Петрушко.'О граничных и начальна* условиях в ¿р , р> 4 решений параболических уравнений // Мат.сб.- 1984.- ГД25 (167), 114, - С. 483-521).

Во второй главе изучаются граничные свойства решений уравнения

. т. _

А о, (2)

Иэд решение« понимаем классическое решение из Дяч лгбогс Л>0 огредедаи конусы:

pttn

'а

о» /"о^о •'/5-:г/ " у/

Г С*) - л{ %<«}

Для любого мульти-индекса ~ , будем ис-

пользовать обозначение '

^ ъИ У:

Л>> 1 / V

К Л. 1 У''*- Г с*>

п.*

Справедлива следующая

^Теорема 5. Пусть /и(т - решение уравнения (2) в К + ,

А„ 0е.) конечна в каждой точке множества Е^К*', миЕ>0 1

К/Л о

для некоторых Л, , К > О , тогда почти в каадой точке АГ 6 /г существует конечный нетангенииальннй предел:

с*.,о), е ГС*.).

Далее покаавно, что еоли выполнено условие

то ф^^&о . существует и не зависят от ,

Теорема 6» Пусть выполнено условие

27 / /""'/я'««^*

м,т ОЫ-Г Я

Шг т р*+-

О . 'О

и Л^Уг^ИС*/^)- <5 , тогда почти вскщу на существует

конечный нетангеноиальный предел, являвшийся фунггаяей

Причем, если - последовательность чисел.

с

Ё третьей главе рассматривается уравнение

-О (3)

'р-с

ф ь - I) б я"* я/ *

р'*/1 п 4

Под решением понимаем классическое решение из ^ е '' г- • Для лойого й >о определим множество

) п {р<*}

Для любого мульгй-й (¿У

иьгй-индекса /Ц/"'?',определим функцию ^

/Гм,- /г

Для решения уравнения (3) справедливы теоремы,

аналогичные теоремам 5,6. Кроме того справедлива следующая Теореме ?. Пусть 11 СЪ.-Ь^ - решение уравнения ф в

* • выполнено условие

ТогдВ существует Боре левскоа мнокество Е- — '•'я '•Ч,* , такое, что О ^ £ 'Р ив каядой точке бг

£ л* | рГ 'ж*'4,+ ' £ существует конечный нетенгенииальный предел

где б ^ ^ \ ~ ® - соответствующая бесселевская анизо-

тройная емкость. . .

Следует отметить, что в теоремах глав П и Ш получено условие, обобщавшее условие Ж.Литтлвуда и Р.Пэли, для уравнений высокого порядке.

Теорема 7 обобщает результат Й.Мизуты (мхг^а у. Вхгвгепсв

%

of тагюив Boundary -limita of Beppo leva runctiona of mgner order // Biro am ma liatn.J.-1979.V.-9.- P. 717-745) ав случай параболического сравнения высокого порядка.

Б заключении автор выражает благодарность доктору физико-математических наук Б.В.Базалию, за постоянную помощь и внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Скрыпник И.И. Lр - граничные значения решений линейных эллиптических уравнений,- Доаепк, 1989г.- 20с.- (Преприн* /

АН УССР, Ин-т прикл. мат. и мех.; * 12).

2. Скрыпншс И.И. Локальные L/a - пределы решений слабо нелинейных эллиптических уравнений J Тезисы УП Респ. конф. по нелен. зад. мат. физики, г.Черновпн, 1989г.).

3. Скрыпник И.И. Граничные предепы решений уравнения теплопроводности } Тезисы УШ Респ. конф. по нелин. зад. мат, физики, г.Донепк, IS9Ir.).

4. Скрыпаик И.И. Граничное поведение решений слабо нелинейных эллиптических уравнений / Ееяин. граняч. зад., Киев:Наун. Думка, 19Sir., С. 66-72.

5. Скрнпнин И.И. Граничные значения репений эллиптических и параболических уравнений высокого порядка.- Донецк, IS9Ir.- 40с.-(Дредрянт J АН УССР, Ин-т прикл. мат. а мех.; й II).

Подшгсано з печать C5.I2.9I.

5с?нзт (¡CyS't/li. Бткага плеча?. OfcerHая печагь.

Усл.в.л. С,75. Заказ 55С. 100эи. Бесплатно.

?-т НЭП АН Укуахга. ЗЧССЧЗ, г.Донецк, г1.Уи«еусиетежая,77.