Граничные теоремы для решения стохастических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

рГ6 од .

2 8 АПР '"по ЛКАДЕМ1Я НАТО УКРЛ1КЯ ШЗ ШСГИТУГ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису • МАХНО Ceprifl Якошгч

тшп teqpeki для розв'язкиз

СТОХАОТЧШХ РШШИЬ

Ot.01.05- теор!я iMosipHocTsfl ча иатеиаттна статистика

Автореферат

дпсертагШ на. здобуттп этакого ступеня доктора ф1зико~натена,пгшюЕ паук

Л

Роботу виконано в 1нстагут1 прикладно! ыатеыатики та цехан1ки АН Укра1(Ш

Сф1ц1йн1 опоненти : доктор ф1зико-матеиатичних наук,

прсфесор ввретешхков о.ю. академ!к АН УкраХни, професор ДАЛЕЦЬККЙ Ю.Л. доктор фхзико-ыатеыатичних наук,-професор КГЛ1НТЧ Г.Л.

Пров±даа оргая1зкц1я - Цатематичний 1кетитут 1ы.В.О.Стеклова РАН

Захкст в!дбудеться лъ ¡е&ПьЯ_1993 р.

о !<,__годин! на зас!дакн1 спецгал!зовано1 рада

Д.016.50.01 при 1нститут1 математики АН УкраНш за адресою: 252601 Ки1в 4, вулТерещеяклвська, 3

В дисгртац1с» мояна ознайомитася в б1бл1отец* 1нстмтуту.

Автореферат роз!слзко " & "' 1993 р.

УчештЛ секрет ар с1Т9и1ял1?оиано1 рада

ГУСАК Д.В.

загальна характеристика роеоги

Актуальн1сть leim. Грашчн! теореии завжди зайчата провздае шсця у досл!джешшх з теорИ вюв1рностей. Йокиа ствердаувати, цо в теорИ випадкоьих процес!в вони наишуть где б!льша засто-сування, н!к у класичн1й Teopii 1:иов1рностей, оск!льки одержать! тонну формулу для достатньо широкого класу виладкових процес1в, здаеться, неиожливо, 3 timoro боку, з'являються вся нов! галуз! природознавства(рад1отехн1ка, теплотзхн1ка, астрсн$1зика, геоф!-зика, тощо), да будуються иатеиатичн! иодел* складиих науково-техн!чшх об'ект!в i структур,як! потребують вивчення ix гранн-■ чних властивостей, створокня Teopii усередненля.

В дисертацИ розглядаються стохастичн! систеии, як! задаться стохастичшши р1внянняш.Кобф1:1иекти цих р1виянь залежать в!д малого параметра £ нерегулярно. Остыше означав, що вони иозсуть не иати гра!шць, необмажено зростати, тощо, коли £—>0. Для роз'язк1п таких р!вшшь встановлюяться грзничнх теореыи типу центрально! гранично! теореми i обгруытсвуеться принцип великих в1дхилеш». ■

Сто::астичп1 р1.Еняш1я, як! залежать в1д'маякч> параметра, бу-' tau об'екто« багатьох наукой« досл±досет>. Так, будувались асш-птотичн! розвикення по мало»;/ паранэтру (Ю.М.Блгговепенський), Ёивчалась непзрерзпз залзвд/оть с!д малого параметра (ИЛ.Г1х-маи, А.В.Скоро?од), обгруитозувасся катод усередненля М.М.Боголюбова (ПЛ.Иш5>;, А.В,Скороход, ¡О.О.ШтропояьскиЯ, В.Г.Коло-н1ець, Р.З.ХасшХасш!)!, 6.Ф.Царьков)*

? робота? Р,Д,?Су?№1ча,ил.Портокка, Л,В,Скорохода запрог.о-г.овл;;о. insni изтод уссреднашш. Пого, новизна гхолягае В тему, цо усареднзш'Л проводиться на т1лым по чзсо21Й,а й но просторов!»? autraiift. У даеертаЩЖ продозаеи! досл1доанйя в цьеиу напряэд доведен! теоремп про слабну nötmtcTb розв'язгиэ етохзст!гки5 рЬзиякь а нерегулярными ксбф±ц1еиташ, энзйдая* «онструкпгш!! упоьп.пк! дозволять визпачятя коеф.1ц1ента гранйчма'процас1а.

Прсблекя еоликях вЩшлекь для розз'язк!в стохэстйчних pie-штпь роЕГЛядаля О.Д.Еентцель, ЯЛ.ФрейдлШ, О.Й.Веретенн4ков, С.Нэрздэк. У U ярацяа сбгруктопуззвм прмкцкп великих в!дха-яэеь, эназюдяися фуй^1овад дасертац!" екая:>г1чн1 лробле -I"; Еар1Еувться лдз {joca'asi-ita етохастииа« рiBRiim. ä нзрегуля-р!:„гг; KCS$iuteiiTbit:J.

feM усбо'гп. EiBtjnfjj есгаетоигогу псвЗДОДу розв'язк1а сто-гвгчэтиаа pitieatb з кйрзгуяфяккч коефОДетма. Вяягдга ук;ви,

кк! доззолкять визнзчити ~коеф1ц1агл1 гракичних лроцэс1а.

СЗгрунтувЕтн прннщш веджкх в1дхилень для розв'язк1в сто-хастпчшх р1ви-нь з керегудяркиыи ?:оеф1ц1ента:ли.

Катода доел Доения. У робот! вккористовуються ^етсда тсорИ мартингалов, етохсстичнях дифэренц1альких р1вшшь, карк1всъшх процэс!в, парабол!чних р!внянь у чзстиншх похТднж.

Иауг.ова новизна. У длсертацИ вперав одержано несбх!дн1 та достатка умови слэбко* збЬиюст! розв'я.зкхв дяфузМних р!вкянь у терч1нах 1х коаф1ц1ент1я, нагедеко коиотруктивк! умови, як! дозволяють Екзаа'штк ковф!ц1снти г-рзетчного процесу.

Впгрде вквчена оошлтоткчпз повед1тсо розв'язк!в стохастич-шг р£внянь 1э нерсгулярким! коьф1ц1снгаг.ет, як1,крЫ того,задавать вхд нерегулярного збурюючого процесу.

Еперше сбгрунтовзш принцип великих ЕЗдхилекь для розв'яз-кхб сгохастйчяих р1вишь з вкпадксшам нерегуляршши коеф!цЗ:гн-

тзьш.

Вперпе установлено грубу астадтотику великих вхдхилень в принцип! усередкення для розв'язк!в стохастмчках р1вншь 1з на-рэгулярьимл коеф!ц1снтами1 я;;} ьсляяать в±д нерегулярного "пеи-дг.ого" процесу (процзс дзидкоосцялшмза коеф1ц1ентаки, просос. з "вадаш" пероклзочен!ш:п5) •

Нз/коеэ 1 прекг^чпа ц1эы1сть ро0отк.Робота носить теоротач-егЗ характер. Результат дцеертск:!! с®ормульован1 у впглгд! те-сре^. РозроОлен! метода дозволять розвивати нзукоз+ досл+дмн-шг гсиипгстичних слзсткпостей ишадкевчх процес!в, д::п<г..;1итх систем. Ео!ш мокуть бути застосовэн! до гшал!зу пр/лцоту уезред-Н8Ш1Я стсхастичшх систем эагального взгляду, в задачах стзтис-тично! оц±шш паранйтр!в, оптимального керувпшш стохастичнякз системами, тощо. Розроблои! б дасертацИ асшжотичн! иетоди, спссоОи зпалТзу стохастичких проблз'л усередязння 1 великих в!д-гглэкь сфективн! 1 просто резлТзуються у ьостосу^ашмх, Апробац1я робота. Результата робота доповХдались:

- нз 1УД В1дыюських иЗЬязродаих кояфермщХях з теорИ 1нов1р-иостей та мате.матично! статистики (В1лы£зс, 1 <335,1589 рр.)

- на I ВсвгШтиьому конгрес! тозориства Я. Бернулл! ( Тсикент, 1936 р.)

- на VI Радянсько - Япскському сш,"лоз1ун1 з тоорИ 1лов1рносте£ та натчиатичцо! статистик« (Кп1в, 1991р.)

- XVI Есчсзпзн1й школ±-кояокв 1ум± 5 теорП 1коп1рностей та ма-теиате-пгс! статистики (Бякур1ая1, 1931 р.)

- »<г> Р^ссозио!!? ср«зюз1ум1 е теорИ 1»;оч+ркос то нотомзтет-

uoí статистки (Прейла, 198Y р.)

на сец!нарях з tecpií 1цов1рнастей та натематичнох статистики при iHC'iüTyií математики РосАН ( кер.А.М.Ширяев, М.В.Крилов), Хнститу'П математики ЛН Украх:п1 (кер. А .В. Скороход), Гнститу-•rt прикладно! математики та ы&хзн1ки АЛ Укра1ни (кар.|и.I'Ttíx-ЩШ,Й.'М.Л1ньков) (1960-1952 рр. )

nygflíKatjíí. Ochoehi разультати дасертацз:! опубл!ковано в Ц роботах.

Структура та обсяг роботн.Дисертац!я склэдаеться 1з вступу, чотирьох розд£л!п, як'Г*розподГле111 па 23 параграфа, списку л!то-ратури Í3 00 найменувапь. Обсяг робота - 290 стор!нек.

Нуиграц1я параграф1в,теорЕм,леи всоредин! рсзд:Шв подв!йнз (nepain цифра -исцер параграфу),пом1х роад!лам1 - пстрйма (пер-яа циЗ>ра - нсизр рог,ц1лу).

3MICT РОВОТН

Сфориульовзн! шиче тсореш ыаать ту ж сану нунерац1в, що í а дг.сартацН. Нуиерац1я формул сацостхйна.

У ECTyiií обгрунтовано актуалыйсть та Еаялнзгсть теми дос-Л1даень t дгшэ постановки задач, hi;í доел 1,г;ау1эться.

Зробле;;о огдяд роб1т,псп'язашк ±з такса днсертацП. йасло пикладено.структуру робота,tí sv.icr,введен! позизчекня. В1дсаз-Тяио дэгл! з тях.г'о використовуютьея ниячз. Через ¡J^ познз'ш-cL~ BKMípKtíí еикл!д1п npocTíp, (■>.■) - скаляр!спй добуток >1о.го влец9ит1з, , 3*, т ps ~ сснсееиЗ iMOBípi:iciniií про-

CTtp з потоков g - алгебр* ^ ', t^ - цоиеа? первого заходу процэсу с/ш ta «бласт! ' $ ? ^n: иЫ} "г" - адюол трааспоауваша.

ПЬэиапеши! C-^Lú, тЗ ; ct") ( штоккна иэпероршшх Фунитз te знач9писд з Еа.) , С%' t¡V> , Г5 (Сод] ; d_) (npocílp Скорохода фуисдХй 1з экгчекшпя в } '-blot/^p1^0^ (ссйолепсь.кй ripee? tp), \j

и&ыъ üüiresíiaí зяачз1шя. Нории у Lp , W^ позя?чшд>

Ш ' Ulp , в4дюз1дпо. Дал1, c'p C.LO.T3; cL> - икогяпа кускево-дк^арэшДОозапих из Lo,*f3 1з энэчапата 7 ,

lc< (J.0,71 í'^ciV khüs-sü фуккч1й. KKt задзп! но \_o,-r3>=Ed í'saíSOEOAbtjKpfb жжалигу tiícd? 'ЯЗюапуь Блкористовуютьг.я тяр.оз pECT'ír.Hi CK^OJHU -

- дгя ПОЭЯ9ЧЗЯЯЛ ОДйбКО? s6tínOC?t iílp,

—ъ - для позяачекия слабкоЗЕ збйшост! функцК у простор!

Р03Д1Л 1. СЯАБКА ЗБГШСТЬ РОЗВ'ЗЫВ ДПФУЗБШИХ РШШЬ

Hsxaö ввпадкозий процсс - рсзв'пзок стсяестачкого

р1вяяння

t i vAb = х* Л Ь1 fe cU V \ С Чь, t/ш) á W CO. ( 1 )

В (1) ÇjCt.O- ci- взш!рнай вектор, W(.V) - к - 1мп1ршш стандартней Е1нер±вський проиэс, t с. L o^TJ • У. аьому роздШ визчаг^ься слзбка збЗян!сть пря £—»0 1>Др /J-'" , породаенях розв'язкаыи (1) на простор! il ILO, 1*3 ; cl) '» До iitpa ju, , породнено! рогв'язкон р1вняння (2): '

4 Г t

Гь(.b.^c^is + \ G^^VcU/с^. (ci

Пр:; цьому kg Суде пряпуиень в1дкосно того, цо козф1ц1енти <1 ) маэть границ!, коля £..—>0.

Пртпустаио, по прн истоку С >- О зздап! c¿ - шйртаЗ i cl*ci - Bwitpna isarp-лця g,£tt,sO ■ Будгг_о говорите, г; о для фушпий ? ' 4 о.1) с?ш»во уао-Bj <*) sa»! £ , d _

1. ÇjiKUtï EiMtpiit, ^.Çt^unepepsaî» U» i, ¿ •

2. 1е::/1зггь стай! i', > О , X > Q lait J, цо

Hitter + \°¿\.tiÁ « K(viM->'.r)(

Xíer VOÜEj..

о гогорита, цз ,глл <йккц!й q^ Егг'-хяакр yuoty (**)•

cl= 1 .а таког;: • , ' d '

- '

-ал

IVtoOl > оДЬ0 < К

Будаио гогорита, цз для йтайй ( f. Егг'-хяакр ywoty <»«).

яхз;о

1. 8уякц!1 |£Cc,îO ' y.) Ei^ípnl,

2. ïr.HYmh стая! ■ 0 \ 1, q т?лаг., îîo

а

4t.o > А.

Постачкмо CI- = Œ'L^ J . Ei,nc:so, :¡o кола фу.мцП оацеаолыиоть уиову (а), або (■**) , tciiyrm. един! слэбкх розп'яз--¿11 рХвняш'я (1). f

Вудпчэ госоритн, по для функций ) виконано yiiOBli

Cv) ,(j!) з граничит! фушод1я1!П а") , лкщо викокяно Tard ПрИПущеНН.1. •

^ y«oaa (V ). Тснуз поол!довн1сть фушщИ v^Ct,*-) с. W^^' £CL

Из) i, Т2КЭ, цО _ '

I. + •- a ^ VyV) V* £ ;

2. Um 'Ьи-р 1 C"t, l = О для будь nKoï обиэ-

í-ro -tfc torrj xenoï облает! 3)с

tfc X)

3. fc"

^ 7 * И ' TK|

-o.

Умова (//). Генуе посл!довн1сть фугащМ л/Д Ct.«) -

3 dtK e Щ'-^с , ^

2. Lvn l f/" ctО Д.ПЯ будъ-яко! oCi',a::eHo!í

3. finí

Да«о нвоСх1дну г достатка yuony да сяабко! aôtsîiocîi /I ~ до . Пря yisoBí («j ((*»)) процзеи g царкйсьта.

ïoay гаксрхстовуетьсл зпнчайнэ спжолЬса çaopîï ызрк1всьшй

npOÎ|9CÎ!J. » - -.

7«caa (Д). 1скуэть функцМ Ö- Ct,л"), a- Ci,й\ í - Ч, cL, exî зздовояьяжгеь yticmy (*<)((>»)!. raui, цо для буда-ítKO? ейич-S9KÖS «Macïi 3>ьОг,

1

( И

4P

г« v

о.

d.tl.l i-

L

ЪгХ

E;«.,, E.«, \ i V: Cv.xfcv)) - fe. (.v,^)] ¿v = o,

tu- E \

4'* }r L4 C,v, dv>) - CLif ОЛc(v * 0.

~> с ^

Теорема 1.1 .Itexafi для р1вяжпш {1) сикснака уиовг (*)<(**)) t- . Для того щоб u. , кеобх1до тс достатгоьо, с;об

Енкопувалась умова (А).

У:,;ова (А) не с конструктивно;? - вона не да г Е:е?од!в,як сна-ходкти коефШенти {Jj. о„) . Конструктивим! будуть yttosn (V1).

(г/)* £ "I I

■ Теорема 2.1. Нзхай , СункцИ (.£> , & ) задовольняз-гь

уиовп (*)(<«*)). {V ),(/;), 1 грашгай фуикцМ Ь, О.) шдаз аздоаольняють умову (»)((*•*)). .

При доведешь тесреда 2,1 встановдаеться, що уиоваыя (V), ('/) эабезпечуеться гикоиатш умови (А).

Теорама 2.2. Нсхай функцИ С Ъ'~, of.У задовольшють укосу (»)((**))• Умоваии (V )i (а/ ) граничив фушздМ СЬ,й_) . f.ici fanes зэдовольаяють ушву (*){(**)), шзиачавтьел.однззваадо.

3'ясуеао,iiacr.i лькя уцевя (V),(//) cant НбОлкаоэтьсп до по-сбх1дтпс умев слабког з№носг! уи£ до . , ч

Введеко удаву <Н>: Hssaa '4С<Л,*> & LA ЦоДЗ «D) j ui (_t fc W (fcM J * ) -Р°33'i;SS:: крайово! задач!

-t t lo,t)> * t ь;

Якцо it /то 111 uflii^C.

Теорема 2.5.Нехай коеф!д!енти р!виянь (1),(2) задоводьияють Гмови (*)((**)), (H) i yU/rrjyu. Тод! виконан! умови (V ),(*/).

Тобто.якщо здМснака умова (Н), то умови (VM/O являсть-ся необх1дшши та достатн1ш уиовами для слабко? 301smoci'i и.е

до /х . '

В1дзначзшо к1лька вкпадк1в, коли углова (Н) виконана:

Pu5

■г t

1. ПрЛ Ы.= 1 у?103Э (К) 2ШШ!БЗе з уковя (**).

г. Прл а,- г. умсаа (И) зкплязсс з уысви (■■).

3. Пр:! (Х- > 5 окртм («) па ипгрш;» Д.4 СЬ,*} • треба накичстп у!!озу Кордом:

а-

О - - £

1

а-; -• С- #

.1- ^

^ 5 -!--•

г,*

1нод1, цоб устаносити виг ляд грашмних коеф!ц1епт1в, зручк!шэ пэрэв!ряти трохи зм1нон! умови типу (V ),('/)■ Так! уиови наведен! у § 2,У послхдуьчих параграфах цього роздТлу разглядаються конкретн! класи стохастичьшх р!вняиь 1 для них доводяться гра-!шчн! теорема про слабку зб!хн1сть розв' язк!ы.Доведения цих творен грунтуеться на перев1рц1 умов типу (V ),(//).

У (}3 рсзглянут! 0Д!ЮВИ!л1рн1 р1рНЯ1ШЛ, у § 4- р!вняння з пе-р!одпчтии шидкоосщшлачиии коеф!ц!ентанн (коеф!ц1енти р!внякь е функц« типу */<0, г) перю-

дачна по ь, 2 1з пер10Д0:.! 1), у § 5 - рТвняння 1з майке пер1-одачкиш щввд*.осс1Д1люачум5 коефВДенташ.Запрогюнованяи методой 7^6 довсдзна теореиа про неперерЕну залеян1сть розв'язк±а в!д малого параметру. 3 нзвзденях у дисертзцИ приклад!в видно, пр з слабко* в збйшост! коеф!ц!ент1в р±вняния (1) нз випяа-Езе слебка зб!кн!сть 1х розв'язк!в. У §7 встановлсяо уиоьи, як! забезпечувть слабку зб!ян!сть розв'язк!в р!вняння (1) пра слаб-к!й в эСНтост! коеф1ц±ент1в. Додатков! унова иа-

кладаються т!лькм на матрица о/сЬ,*} . ? {> 0 досл!днуеться ЗВ'ЯЗСК М1а слабкои еб!ЗШ1СТМ рОЭВ'Я5К!з р!ЁКЛ!!НЯ (1) та & -эб!ст!стю пврабол1чних опергторха.

розддл г. ДИФУ31ША лпроконь'ащя для розв'язкга стохастйчких рзйшнъ

У цьому ро?д!л! прэдовяено досл!дямшя слзбко! зб{ячосг! рояв'я^йЫ стохзстачетк р1впяпь.Посилекич рз5ультат!з проюдять

-Т-

у дзох кгаржах - ютпускаиься иасбмсголи» р.1ст KcajiKienrte

р1Б;хя;'ь. поет. g_fi) , о такэ.: ' пряпускйьтюя залзхгДсть r.oe-X'J:-

iííeur±D bJ& iídóro - абурэотого - прэцссу. Цо г,озволпе дсся!д-!..увати sölffiiiCTi> о:фз;.ых компонент розс'язрав састен стохастнч-l-îx ptBKüUb,сбгрунтоьуагта прпяцяп уссродяеташ. При цьс:,'уг ьвэ-у роздал! 1 yuciai 5üny (У )AÑ) нродопгугть гряти провЗ:д-пу роль, т.я. пони вкзаачасть косф1ц1екта грвигаюго кроцосу.

Вехой f^ct") задоволыкшхь cvoxacтлчзда рйгяяккя s гвпгджош-Î.3 кэефВДентшл::

£ , р о g , "t

Ь ^ W Cs.c^wj ¿UсДэ,

uOcLv/CS) ^£cdO «do.

(3)

5 (3) С - стандартна» * - вии!рний в!нер1всь-

вй ироцес, С С А* Lo.tJ), ï, ) - незалегнз в!д v/ cV) nyaccoKíBCbKs ыартиягзльна ulpa 1 Е Ч A* 'i П£ (А)

fv4t,*,oO, c£ct,x,0,w) - З^-полдаеи! ¿l-вна!р-' н± вектори, oJ- et, я, и>) - 31 - пегодазка d*к - вшйр-на иатриця, * - '^'(Ч*)'- •

В:£дносно коеф1ц±ент±в р1вняння (3) дробимо таке прзпуцзння: icHyßTb стал! К?- О, \> О так!, цо

i <Л, + I ci, k,U)| 4 + \ l cfct,*,®,«)^ П W> í К (i+ ui3), (4)

( G£(.t,x)W>e,e) * \\e\¿ ve*^. es». £

Вивчаеться p.öijiHicTb cin'ï Mip M- .породаених розв'язкаш pîB-нявь (3) на npocTopi XsQlo, 4l до wípii jv , породао-

foï розе'язком р1вняння (2). У ^ 1 доводиться загальна теореиз

r.'J'lr'îoc'îi. з iioî$tat?.r.Tev.i рйусгггя (3) гп'х-^'л f-nr,-^,,

Фс.-л«-. С Г (л,) ■ '

c-t,*,<=>) » ? Фчл) + í:

ПОЕНаЧ"-,» 3-1-- С? îÇcs-5, S íl^ t Е25ДОКО rîiOTîV (P).

У; ion a (P).

p,). Юнувть d. - вяйрп* nenrop Ê>4t.,0 ' , та dxcL -Er.ntpaa иатрпця a1 et, s) ïant, q> для пах вккопзпа таова Ся)((**)), а такс»

ffo Cv, e/cv^J cLv/ís£ j = O,

pa). Для фугкЩй ) bükohshí yiíobii (V), (л/) i rpararnti

$ymtqíí о.4) такоя з?доволышють умову (*)((*«)}:

Р?Ь Vo< 4Т, к,I. Ci, Ф6 СГ^.ЕД -

н c^eV ) (V, ^со)

¿-♦о s / s J '

km Ц Ф С^сл4) ¿v/з* ] = 0.

icopusis 1.1. Нзхгй s.^—» % , EHKoaatii уковк (4).(5), (?).lost jt,;

'У Esciynam: ncparpsiiax рсзгляда»тьск Кондрата! класи сгоха-CTi:-i!:iri plBSLiiii. i о 1СЖ из niacTPbi теоргш 1 ■ 1 доводйтьо.ч rpaiKr-ust scopeic«.

У 2 досл1дх;уотьск стохастичк! рхькянпя, коеф1ц1ентп иасбиг&ояо apocTsiciL i; окргки -гонгах (тепу б" -£уш:ц±1). Бип-чаиа асцшп'ип.чкй покйдхнка рози'язк!в цих р!впкнъ.

У ь 3 ейвчэмься р1вкяння з пер1одачшши щсэдкооецклйютш.:: ксоф1д1сн1«и. Црипустиио, що (.x'^t) ц£ <АУ) зздсьольнлэгь pisiuiisM . 11

Л , с с, /XI

+ \ г (js, Х СЙ, ^ CCJ) cLw^cs^,

° ■ -t ■ • -t i^cb* ^ p \ x£c<a, ф?, ^ J S (s, Лл

t ° t ° J*' - Ц^Лч f,, ^ß)

У цих р1Еняннях коеф!ц±енти - ца фушщН виду (s, х, -t, е , у\ пар1одачн1 по t, г, ^ з пер!одоц 1, v/ L , -I"

Евзалейн! стандарта! в1иор1всьг.1 пробега розм1рнсс?ей к^ к.; Б±дпов1дно, квззлеш! в!д ьшртшсалько! пуасссн1Есько1 tilps ^J- is параметром flCciO) J-s, ,

Доводиться граклчк! таораш дм процесу к <Л*> . Еизнача-югься коеф1ц1еети граничного прсцэсу. В1дзПзчш,'.о,що Юнуйть spa . р±зя! Еипадки для опису граничного процесу: t Со» г."), <\,~г 2, у тег розглядаеться проблема слабкоХ aölJOtccsi проца-су X£c.V> ишу (6), ало зб^ф-ю'-пй! процос г процесс«

is "вввдзаш псрешконняш". Так эввтьсп стрвбщватвЯ прочее' is ск1нчйеюэ iskoshhod crsKin у = £ , д . ., //} ,

-ш-

P[ гЛл.ь(û* Jx Су _ ОЬ.Дц ^jt-jùs o(b\ t.'.о.

С . á "'M

Дяя ироцосу 'i Ct> доводиться rpomnni тзсрога.

У £5 розглядсэться cTOxaoTirart ДЕ$ерс2щ1элья± р^рлт'Я.дрт-гого порядку 1з налим параметре« грл cTapniü поггсднй î п?рчгу-азртани KoecïiiuicnT0!iii. Доводиться граш<ш1 теории для слябг.о! s6i;f::oc7í розз'язкй) цих р1внянь до розя'язку р1ьнлкип (Р.),

Р03Д1Л 3- ВЕЛШ В1ДХШШШЯ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗК1В СХОХЛСПРШИХ РШШНЬ

У цьому розд!л! досл!дауються велик* bîâxjhïsfpjî для розв'яз-íeíb стохзстичшп piEK.-гаь Í3 малою дифуз1ео та палеи ¡jyismien cipiiOr.is.IIpH цьому сан! ксеф1ц±енти tgïc залегать в!д малого ца-раиетрз ¿ . Па в1дм1ку в!д в1до!П1Х рэзультат!в О.Д.Еектцзяя, Н.1.Фрзйдя1яа, О.Я.Еерзтешйкова ке робиться пряпуще!я> в±дасско збЬшост! K09'îityisHTtB, коли с—>0 . ЗапропонованкА п!дх1д до- • Еволяе.дослЮТвати велик! в!дхилоннл у принцип! усередаення При шроКИХ прппущбкнях в!днсс1!0 "пвидкого" провесу.

Озпэтення. Функц!онал ЗХчО : 2D (l о ,тЗ ; ci.)-»

назвенэ фзтюад1оналса д!1, яйцо 1СчО eso , пйшеперэрвняй ЕГ-ру t для будь лкого of > О мнеапга ф (у.4)- ц> ¡ ), < Д.} коапактна. ¿

Означения. С!а'я 1ыов!рн!сних Hip на 33 Cdo,t3; сО

аэдоволыме прпяцнп валиках в!дхйлоеь з фувхц!опалом д!1 ЮР}» ящо:

а) для будь-якого в!дкритого кщ1рного А «£- Üb (Lo,tI ; cl-)

L«4 à 2- - Ь^Ц lórt , <P é Al;

->o /

I-

в) для будь-яксго зежшпого вин±рпого Д е. "35 (lo,t] • ¿Û «.мл WéCft>4-tH? ilórt, Ч»е Ab

Haxafl sfet) падовольняз стовдстичнз р1мтння ï .t £ t г, сЪ= х + ¡ 1г C^sl^v^ J-s + ¿j ^C^.^fcs^w^dwCsH

t

• + sl \ 5 C£cs ь10,'5£cdo. ¿s), rn

У цьсму plEanisrí k£ (. s, j^wi,0.x ,««>>»c.4*>*,0,w), wсь\>)гсс^4=;>

1КП71. г-i к влаежБосг!, що t в ptEiiaiíiit (3). Kplu того, npanyc-

'т&ю, 1цо ±снуе стала С > О така, fío

l fc! t v.. U^l -i- i fj; o/)! * \ C£ *

i» ' 4 k

* ¿^IcUl, x,e,<-MaÜ£tdLe") * a. (3)

Погначодо

£ п \ t T

* ¿a Uu t l¿i ^ ■ OVco,oLE|C^} .

Гаова (M). Icir/ють cLxcL - вииЛриа сииэтричка равном1рш> додатна матрична фуккц1я (\<Jc) 1 d- г вж^рна вектор-фувкц1й b(.t). влетит гжях налагать до С (СоД] ti) Í}'€.U[qi] ¡ С) так±, 150 . ' ' ' '

1м Н'W С (i AcfcmiV

О 'о ч

Ееореыа 2.1 Hazaü для рЛвпяння СП в:;конзai уковз (0) ta Ш)• "1одt с!и'я 1ыов1рн1еиих Míp /i'tAV эь-

досояьняе принцип великих ЕТдхилень з СтшаЦоаалоа Д±1

абсолзОДо Hsaspepssa i ЧЧо^х;

К1?)«

+ OÍ3 (У 1ИШХ Блягд-ск.

В2дзвачши>, 150 задача 1саувания rpammi фуякцюавйа вд-

шкас при piaiioasiiíTffitx дбсл! ддашш. I?f 1 йояак! в1дхЕла«ЕЗ

для роэв'язк!в стохастичних р!внянь (О.Д.Ве1ггцель,М.1.Срейцл1н, 0.й.Ве.ретеин1ксв), i задач! оптимального керувапня стохастични-iM р!внянняш? 1з малою дифуз!е» (В.Фяем1нг, В.В.Ваклаи, л.О.Зуев, С.Койке),! досл1даення асимптотики оберненого рхвнпшш Колмогорова (В.М.Хгяэтов),! точн! асимптотичн! формула лзплгс!всь-ксго тину для иарк!вськях npoqeciB (М.Шчльдер, В.М.ДубровськгЯ., ■ С.П.Чзспов, О.М.Чеботарьов).

У 3, 4 цього розд!лу при обгрутггувэнп! принципу великих вЗдхялень для г.оккретшх клас!в стохастнтаж р!внякь знаходять-ся границ! фушщ1сизлз tX£OV").

§ 3 - "Стохастнчн! р!вняння з шр!одичщши ковф1ц1ентами". Нвхгй процеся if~(Jo, iv'cV) зэдовольнявть стохастичн! ptcira-ня: "

о

" о

У р».г:пшх Ил > а V/, CA1}, V/iCiv - г^.залэта! стай-£РрГП1 birwptrcbF.i гроцосч рОЭЧ1рНОСТ8Й К±, к а. . п1хпоз1дко, аевялгп?! «аргсягельно* пуьсссчЗаськоХ «1рз \>* tdßx cU-) з пзр^'этром £-|r| П (döW^ > коефййентяфункцИ виду i'C.vt.a,^} , nspiivri'-ni по -fc , 2, $ з пер+одси 1.

СОгпгнтогуетьсч прчпцкп залзхих б1дхш:йпь для процесу Kct)-в1дггйч-.'<о.. д.тя с-'-'То сбгрунтувапяп ptsrntu е кшадка

I и пржцкп в1дхилси> обгрунтозуятьсч процесу

У. et; глу (9), ans cdyprmitfi процес ц(с.Ь*> е гроцасоа а ггш»д-пст» ичррглш^кпяаи''. «

Р03Д1Л 4. ЕЕШЗа Б1ДШШШ ДЛЯ ДЮЙГЗШИЕС ПРСЦЕС1В I ПАРАБ0Л1ЧН1 РХВВДШЯ

У цьоиу роздЬЫ продоваено Еивчешш великих в!дхилвкь длл рсзБ'язк!а стохастичких р1вшшь,Розглядаатьеа даФузШн! р1вняп-кя, коаф!ц1ента якиг слабко зб!гаються у Lг,toe. • Обгруктуван-ня принципу великих п1дхшюнь будуеться на napeaípui уцови (№). Протэ, ЦЗТОДЗ ДОВОДА ШШ BífilJÍH;!í в!д ЦЭТОД1В розд!лу 3 1 вп-користовують иетода дифорекЦальних р1внянъ пара5ол1чыого типу. Тому спочатку доглздЕуютьоя иел1н1йи1 пара5ол1чи! р1Б2шшя палии параметром £ при старштй пох£дн!й í коеф1ц1ентаии, залегать £ . Обгрунтовуеться граничила перахЩ у цьому pi-впшш!, коли £ —>0 , та коеф1ц1£Нти слабкэ зб1гаотх»ся у L г (, Задача граничного шраходу у налТнШкх пгрс5Ъд1чш:х р}вкяш:ях з палиц параметром прл CTíipníñ пох1дн:Ш ( исоф1ц1екта к-э .аала^агь в±д £ ) досуцдауваяаоь у к!ш:ох роботах (С.^.Крукков, П. .'lioso, Л.Евапс, и.Грэгдал. П.Сауган1д1с, С.Койка). Ало пр;:суж1сть ¡пз~ panorpa £. у хо8ф1«1ею?ах 1 ti т!льки слаЗг.а s6£atic*b иотргбу-югь 1шых outEoi; для обгрунтувакня грзкшшого пароходу. ПзхьГз LL*C.i, *) - развязок перяСмг-шого р1видиня:

(.üAt,50 + (.vtu^-v

(10)

* r Fct,*)- Of tc.\o,r-)>-.u,l¿ >

IL4T,iO* ИП

BitfiucHO а-^ЕлЩй ©Д ¿ (Л, tf % ct,¡0(í,cL. I;

Брсбп.':о t-mii cptarji^iaui

1. Сушзд!* ОД-ct,"^ Honapepiuii i plnús^ípuo сбыозша. Ichjc

X> О гаке,

Ca^ct.oe.óV ^fjeE^,

2. «yuraiii t pim¡oytp:io cü~ itr^oaí.

3. íyiGWln Ф tri оСггеяена i мае потери пепзрсрв::! р1шс;л}рно сбметеи! nox.ttmí. . , __ f

4. çyHKiitï Ьс Ц» Fxt.îO Mcipïij чстщзи HSnepbpEHt noxí^Hí ПО X £ ' —.

5. Дз1 пох1дз! по к фупкцК? 0J¿; Ct,x>, £> { (¿-»¿5» í,j¡*i,cLf

Р5C't, к) píBHOHípno обмотав.

При пртаущагатах 1-5 задача Koni- (10)-(¡1) вде едягай роз-В'ЛЗОК КЛЗСУ wpitee. ДЛЯ будь-якого Р> i . ¡Ciiiu ТСГО, фуш<-ц!я iJCt, •■;) мае чотири пзперорвн! hdxíeíií по х

о-Ц;;ки ФтЩ-tï I1-' Сt, к) t tï пох1даих сдергап! у 1-4. Еоеодктьсч, цо при ууовах 1-5

Ui^t.-ol • Г:, з щкоя для будь итого л/<е>° ±сяуюгь cmjit Сд/ < о°

, С с

Ъи.р \_\v\l. ct,so\ + £ I ^т \ + 1 I

tHÔJl . i 6'"¿ " J

X С- й т

* L1 ! чк.тх'Л <ЬcLt 4 с,j, ч -- £П. 1 i

Очхкуетт-ся, цо гранатам для u5fct,)0 <6ункц±я LlCt,>0 будв заде- • волъчятп р1сняшя:

Т) и ч-

t fe Г.о,т\ xtHd,

= ФоО. ' <13)

Крота, ;;.,12сичюц1 розв'яэоп у (12)~(13) icuye tíj-ьки пря мала "i" . Вьедеио означения узпгальненого розв'язку.

Озизченкя. Яугащ1я U<A,jO £ Se^ca (_Lo,Tj * Ed.), я::а задбвольняе (12) г/зЯ~е скр!зь у [_о,т] £<¿. * !'а- почат-ково значения (13), зваться узагаяьпешты розэ'рзяоя з^дач! Kont ( 12 ) - ( 13 ),

Теорема 5.1. Нехай для задач! Кош! (10)-(11) виконан! умови 1-5 1,^срш того, а£.. —- , Ь* (А,-о—-

ц» , I- —-^^ \фЧ>о-4ч« и о*Л/А

£* .

Тод! Юкують п!дпосл!довн!сть Ц- Ст , розв'язк!в (10)-(11) 1 функц!и узагальнений розв'язок задач! (12)-(13) так!,

що

Ь»т 'эилэ I - и-СЬ =• О.

¿ио

У § 6 розглядаеться проблема великих в!дхилань для розв'язк!в дафуз1йних р!внянь: ^

к-Л ЬЧ^С^сЬ ч- £ ^М^ефсЬ^. (14)

<>о -Ь

в1дносио коеф!ц±ентхв у (14) припустило, що вони задовольняють ишоги 1,2,4,5 з ааи!нои ка . Позначаш

V£ О.:Е^ е<р{ -¿г | ¿Е^) ]

-Ь

Тод1 \/£(0,%)- а) 1 фушид!.т уЧ^Г'О - розв'кэок задач! (10)- (11) а когф1Щ€Ета1Д!

Ф Чх^з О. .

Користувчиеь таорзыоэ 6.1 ,у тререи! 6.1. язр£р1рлегься уиова (й).

Теораца 6.1. Кахай дзд |£<у|-|:ц1еиг1ь р\йцлннл (13}' сакецгк! мшотн 1,2,4,5 (а агукал рЬг ез ). ¡Мц того, &1С.

Л) Л <£.р(Са,Т1>и , ' • Год! еЫ'я ШмЛрШсгеа

и!р /^сд1) = ЕН ^/со (- Л; эаДоврдьне. врш^ш в в леке* в1,дхи-яакь 1э функц^сдеяои д!Э£ ;

г 1 (а , кол, ^эб-

0 солятно неиерервна 1

+. оо , у хкших вкладках.

0СН0БН1 РЕЗУЛЬТАТ!!

1. Одеркано 1Шобх!дн! та достатнт умови слабко! збйаюст! роз-в'язетв дифузМних р!внянь у теришах 1х коаф!ц!ент1в.

Я. Отршано конструктив!!! уу.овп, як! дозволяють визначити кое-ф!ц!енти граничного процесу.

3. Одержано улови слабкс-1 збганост! розв'язк±в стохастичних рТвнянь 13 нарегулярними коефйЦенташ до розв'язк!п дкфу-3!Й1МХ рхвнянь.

4. Обгрунтопако принцип великих в1дхилень дач розв'язк!в сто-хастячних р!внянь ±3 вкпадковими нерегулярными коеф±ц!ента-ми.

5. Установлено асгаптотику великих п!дхилень в принцип! усе-ргднекня для розв'язк!з стохастичиах рЗвнянь ' з норегуляр-пош коефйДентами.

6. Еявчено асжптотичн! властивост! розв'язк!в параСол!ч1гах р!- -вяянь !з малшш параметрам!.

Основа! положения дксертацИ опублйсовано в наступзшх роботах:

1. О поведении решения стохастического уравнения с неограниченный скосом //Теория случайилх процессов. - 1985. - Вт.14.-- С.61-64.

2. Достаточные условия для сходимости решений стохастических уравнений //Тсоряя случайных процессов. - 1983, - Был. 16., С.66-73.

3. О сходшюстп рекеняй стохастических уравнений // Статистика п уяравлкше слугааяи'а процесса® М.:Нзука,1989.- С. 138-142.

4. Сходимость репений стохастически уравнений с вогиупеюзага коэффициентами //Теория случайных процессов и их прнлояекия.

■ - Киев: Ноук. думка, 1990.- С.99-105.

5. Дкфуз!йка апроксодац!я для одного хшасу випадкошх~ процес!в // Теор!я !мов1р.ностой та мат.статистика .-К.: Лж5!дь.- 1992,

1счо=-

-Dim.46.- С.76-87.

6. Сходимость диффузионных процессов. I. //Укд.мат.нурн.-,1992,

- 44.-N г.- С.284-289. :,• " " ' "

7. Сходимость диффузионных процессов.XI. //Укр.ыат.яурн.- 1992,

- 44.-N 10.- С.1389-1395. """ .

8. О больших уклонениях для одного класса стохастических уравнений //Докл. АН УССР.- 1991.- Н 7.- С.26-28.

9. OnWeak Convergence oi Solutions оi Stochastic Equations // Optimazation Soit-Software. Los-Angeles.- 1989.

10. Convergence оi Solutions of Stochastic Equations//New Trends

in Probata, and Stat. Vap/Mokslas.- 1991,- P.474-484. IX. Logaritmic Asymptotic for Certain Functionals. // Hes Trcndc in Probab. end Stat. VSP.- 1992.

Шдп. до друку 23.02.93. Формат 60x84/16. Ilanip друк. Офс. друк Умов.друк.арк. 1,16. Умов.фарб.-в1дб. 1,16. Обл.-вид.арк. 1,0. Тираж 100 при. Зам. 99. Безкоштовно.

В1дцруковано в 1нститут1 математики All УкраТни 252601 КиГЕ 4, вул. Терещешс1вська, 3

/