Граничные задачи для уравнения Бюргерса и некоторых его модификаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

КЛЗАКШ) М-ФАРАБИ ' АТЫНДАШ МЕШ1ЕКЕТТ1К УЛПЩ ' УНИВЕРСИТЕТI

Колжазба цуцында

Йустафаев . сбдхцади Дрмагаыбетклы КЕИБ1Р Т8РТ1Ш1 РЕТЦ ДИФФЕРЕЩИАД1Щ ОПЕРАЮРЛАРДШ • ■ СПШРЛ1К КАСИЕТГЕР1 МИЛЫ

01.01.02.-дифференциалдш? тендеулер

Физика-математика. гылымдарыдан, кандидаты гьшьши дзреже-с!не 1эдецу дисоертациязынын, АВТОРЕФЕРАТЫ

АМАТИ — 1993

РГ6 ид

"Í п »*»'1

I и .; i; i

Академ!я наук Укра1ни 1нститут математики

На правах рукопиоу СТУКАНЬОВ Irop íropoвич

ГРАНИЧН1 ЗАДАЧ1 ДЛЯ РШЯИВД БЮРГЕГСА ТА ДЕЯКИХ ЙОГО М0ДЙ$!КАЦ1П

01*01.02 - диференц!альн! ртвняння

Автореферат дисертацН на здобуття вченого ступеня кандидата ф{ 35<ко~м?тгу.?тичних наук

Ки!в 1993

Робота виконана у в1дд1л! теор1! динам1чш1Х систем 1нституту математики АН Укра!ни .

Науковий кер1вник: кандидат фхзико-математичних наук

МАИСТГЕНХО Ю.Л. ОфШйШ ОПОН9НТИ! доктор ф1зико-математичних наук

сдмошанко в.г. кандидат ф1зико-матэматичних наук МАКАРЕНКО О.С. Пров1дна установа: Ки1вськии дпржавкиЯ уШверситет 1М. Т.Г. Шевченка

Захист в 1дбудаться "X " Об 1993р. о^ год. на зас1данн{ спеЩал1зовано1 ради Д.016.50.01 при 1нститут1 математики АН Укра1ни за адресою:

252601 Ки1в 4, МОП, вул. Терещенк1вська,3.

3 дисертатею можна ознайомитиоь в 01блготец1 1нституту. Автореферат розЮланий ч/У" кв^нл 1993р.

Вчений секретар-

спец1ал1зовано! рада

доктор <Мз.-мэт. наук, професор

ЛГ-ГА Л.П.

ЗАГАЛЬНЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальн1сть теки.

Р1вняння Бюргерса та иого модкф1кац11 описуоть валику к!льк1сть хеильоеих npoueciB. Це електромагнитн! хвнл! в л1н1ях передач [Хохлов Р.Б.// У$Н.- 19S5.- 87.-С.17), нелШЯЯ! хвил! в термопрук-

них середовщах (Энгельбрехт Ю.К., Нигул У.К. Нелинейные волны деформации M.s Наука, i&S1 J, поздов:ш1 акустичнх rami велико! iHT6HCHBHOCTi [ Tatsumi Т., Tokunaga H.//J. Fluid. Mech.-1974.-6§.-Р.581], ?урОулентн1 ХВИЛ1 iOHi3aui! [Naoaki Bekki// J.

Phys. Sco. Japan,-1993.-52,M 5.-P.1505], короткохвильове ВИ-

Пром1нювання в диспвргуючих середовгацах [Сутин A.M. Дифракционные явлечия в интенсивных звуковых пучках //Нелинейная акустика.-ГорькиЯ: Из-во ИПФ АН СССР, 1980,-С.45] Кещодавно також запропоноваио моделювати р!внянням Бюргерса розвиток великомасштабно! структури BcecBiTy на нвл!н1йн1й стал!! грав!тац1йно1 HecTifficocTi ( Gurbatov S.N.,Saichev а.х., Shandarin S.r. The large-scale 3truoture of the Universe in the frame of the model equation of non-linear diffusion. Max-Planah Institute fur Physio and Astrophysio, June 1988.NMPA 371 ;//!ion.Nat.Astr.Soo.-1989i-236«-P.385J.

РШшння Бюргерса мае базпосередне в1даошення до проблем турбулентности яка i по пин! кидае виклик науковцям всього св!ту.

Досить зпачна частша результат!в пов'язана з розв'язанням piB-ияння на нетнченнМ пря!л±й. Завдяки неск!нчЬнному пром!кку 1нТвгрування можливэ за допомогою методу перевалу С Уизем Дж. Линейные и-нелинейные волны.-М.: fAip, 1977 J На практгаЦ часто npocTip е обмеженим, тому виникае неосх1дн1сть ставитн граничн! умови.

При досл1джвнй1 граничних задач важко застосувати метод-перевалу. Кр1м того, при застосуванн! замИш Коула-Хопфа, яка зводить р'вняння Бюргерса до л1п!йного р!вняння теплопров1даост1,нел1н1Й-н*.сть 1нколи переходить в граничи! умовй/Наприклал. для 2-1 гранич-йо! задач!).

ВШювЩю до всього сказаиого етановить аяачний 1лтерес як з практично! так 1 з теоретично! точки зору дясл!дгангйг грзничетпс задач до нел1н!йних парзбол!чша р1вняиь тану Бвргерса. Насгжеред ц1кавлять так! питания, як 1снування розв'язку, поведхккз розв'язку при г * а> , ст!йк!сть стац1оизрних розв'язк!в, структура аттрактора.

Метоп робота е

1 .ДослЮТення 1снувзння та едгаюст! розв'язк1в граничних задач до р1вняння Е^ргорса.

2.Досл1дженчя ст!йкост1 стацюнарних розв'язк1в задач.

3.Досл1дкення аскмптотично! поьедХнки при г <» <» розв'язк1в та 1х зб1кност! до стац1онарних.

4.Досл1дження впливу зовнганьо! просторово пер1одично! сили на повед!нку розв'язк:в гранично! яадач1 для ршшння Бюргерса.

5.Досл1дження граничного переходу Ь » 0 .

детальна методика досл1дхення.

Застосовусться метели классного матемэтичного анал!зу, теорИ функц!й, теор!! динам!чних систем, теорН р!Енянь у частинних полднях, анзл!з Фур'е, методи ГальорШна, результата Бо<11на, Вишика, ладижанськс!, Темама по дослШеннь аттрактор 1в параОо-л1чних р1внянь.

Наук о. ва новизна.

Для першо! гранично! задач! до р!вняння Бюргерса встановлено, шо аттрактор складаеться 1з зчислэнно! множили стац!онарних розв'язк!в ст!йких вшосно свого класу почьтковнх умов. Доведено що розв'язки задач! зб!гаються <при \ » до деяких стацюнаркк розв'язк!в , як! однозначно визначаються параметра?«! задач!.

Для гранично! задач! а шр£сдичкнми умовамн доведено теорему 1снувак:«я та елкност! розв'лзку, знайдено toihí розв'язкн. доведений, що при ь=С гглъорк!иськ1 аярокскмацП являють собою га-MtübTOHosi сяст-гш.

Для nepiojnwoí гранично! «адач! ди-рШяння йоргерса з ку-01чшй иея1н1йн1стю доБодено Лснуванкя глобального контактного аттрактора та досл1дкена яого структура.

Доведено, що зовнйшт просторою периодична сила спец!ального ВИДУ робить стацхонаркий розв'язок нестъ^сим. Встаковлюеться зе'лзок uiei задач! з такими вхдомими р1вняннями як рхсняшт С'родгагерз.,Матье, Х1ллэ, PücaTTi. Пропонувться метод розв'язування ,у коли rcx)=sto(¡a) або fu)=oos(kjj.

Доводиться* що ловедйшз розв' язку та Boro асимптотика визна-чаеться початкаеими умовами задач!»

Я а к 7 ai ч sH а ад 1 я т 1 с т л.

одеркан! результат моауть гнаати застосуванпя при досл!дкенн1 вроцес1в , .як! «здедюпться вщезгадуванши .задачами. Щодо проблеют турбудеазгаост! «окна грабит бисцобок, що конкурен-aii «эхан!зи1в дисипаш та ¡квадратично! яел1н1йност1 не досить для опису прсцес1в ^урСулентиостХ. НеобхАдно б!пьи детально впвчатк вгашз зовн1шиьо1 сияя та ц1 -процеси.

Вша пракиганяй результат якигагае в тому, що зовнйтя про-сторово пер!одична сила г.;оео зробити системи,(початково) не-•KepoBsHi за початйэеи.я ушвзми., кероваиими. Цэй результат Mote зяайти застосувзкня в теорИ керувания та пов'язаких з нею . дисшптлйшх.

А п р о б а ц i я ip о ö о т я.

Результата дисертац1йно1 роботя допов1далися на конференцН молодих вченюс гиституту математика All УРСР(м.Алушта, 19'90), Всесапзн1й школ! "ДеякГ задач! теорИ г!дродинам1чно! стШсост!

л

(м. Звенигород 19Э0)",с:к1нарзх НЛ1 геоф!зики АН Укра1ни 1990р, семшарх -Ивняння в часгиних поуЛдниз" на трет1Г. ((.ЦкнароднШ) школ! "Динамхчнх системи та туроулентШсть "(сел. Кэцивел! , 19Э1р.), сем!нар! НДГ механ1ки при МДУ , кояференцП молода вчених механ!ко-математичного факультету ШУ, 1992р. .конференцП "Моделювакня та досл1дження ст1йкост1 процесс1в"(м.Ки!в 1992р.), н? семХнар! з д:шам1чних систем та~вргодичноХ, теорН механ1ко-мятематичного факультету МДУ (м. Москва 1992р.), сем1нар! фа-кукьтету прикладно! математики Рос1йського в1дкритого ун1верситету (м. Москва 1992р.), ь такок неодноразово на сз-мхнарах В1дд1-у теорП динам!чних систем Хнституту математики АН Укра1|".!.

Публ1кац11

Основн! резулгтатп дасертаШ! опубликован! в роботах П-3]. Структура 1 об' ей робот я.

Дисертац1я складаеться з бстулуп глав, заключения,7 малгаос1в та списку л1тератург. Об'ем роботи -82 стор!нки машинописного . тексту.

Зи1ст роботи.

У вступ! даеться юторичний огляд проблем, пов'язаних з розглянутими задачами.Описано клас моделей, як1 досл!дкуг>ться, наведено стислий зм!ст дисертацП. .

У перш1й глав! розглядаеться перша гранична задача для р!вняння Вюргерса

и<+Ш1=ьихх , (1)

0(0,1)=с1 щмн* • (2)

&<*,0)«И0<8) (3)

о

та граычна задача для рюняння

W^bV^ (4)

V(0)=c1 V(1)=»c2 (5)

Доводиться ТЕОРЕМА 1.1.

Для кусково-негтерепЕно! фунхцП UQ(x) задача (1)-(3) мае едапг.й неперервний розв'лзок U(x,t). Задача <4)-<5) такоя мае единип неггерервния розб'я?^ V(x). Рсзв'язок U(x,t) зб^га^ться до розв'язку V(x) р1вном1рно при t »

Для розр;ге:шх початкових фукки!Я UQ(x) мае м1сце ТЕОРЕМА 1.2.

Якда функи1я U0(x) мае к po3praiB другого роду та вадэвольнле умову 1

ju0(x)dx < С. (6)

О

то розв'язок задач! (1)-(3) U(x",t) такок мае к рсзрив!в другого роду i прямуе до фушш!1 V(x) ,яка е розв'язком задач! (4)-(5) ! такок мае к розрив1в другого роду.

В глав! 2 догл1джуеться перюдгшэ гранична задача

иЛ=ЬиХХ • <7>

U(x,t)»U{x+i,t) , (в)

и<х,0)«и0<х> (9)

та !1 ск1нченн! гальорк'нськ!- наблитекня

-I 2fctlWkUm-»n(2rr^U0*b(2i®)2X, (tO)

k+mxn

к»

да Ф)

к»-®

Доводиться, до система (101 при Ь-0 е гаи1льтоноьою системою. Такок доводиться, що ряд о1) з0!гаеться р!ьном1рно до розь'язку задач! (7)-(&).

Досл1дкусться ытадок ь<0. Показано, .що ряд (11) залеаио в!д початковкх умов демонетрус три типи розОйяостеа. Пераий тпт - це розо.!жн!сть ь дс.е!лып'.я момент часу,, як заьгодно Слизыадй да початкового. Другия тип- розС1кн1сть, почи-иаючи з деякого ск!нче;шого 1>Т, та трепа тип-це рсзоняцсть, коли t прямуе до нвск!нченност1. Досл1джуеться твкож вплив малого шуму.

В к!нц! глави зньходитьсй точний розь'язок задач! «>

У(хЛ)=- —--------------.

. £ (ак<0)81п2кта^Ьн(й)соБ2К'И)е"ь(гкта)24 к=0

дэ вк(0), Ь11(0)-коефШ1енти Фур'е функцИ ж

%<У*оу

о

Р0(х)=е (13)

В глав! 3 вивчаетьса шр!одична гранична задача для р!вняння талу Бвргэрса < р!вняння Бвргерса в куб!чнаю нел1н1йн!стю )

• иг+ии1=ьихх+аи+си^ (14)

т

Таку систему wir отримаога. якщэ моделювати р!внянням

Бпргэрса систему НавЧ-Стскса. Для цьаго град!ент таску апрокеим^тъся першккл део.мп члена»«! розкладу по непарним степенл".» в ряд Тейлора. В першему параграф! доводиться ЛЕМАЗИ.

Система (t4)-(i6> мае стац!онаршй* розв'язок а^О ча,ь,с„ яюй! е асюоткгппно criitost пен а<,0. Гэгм1рн1сть локально этакого многзнгду iopiEHSc и. де m=max{Kta-(2sn:)zb>0K На мно-S2Hi Параметр 1в ас\0 система пае.nie дьа стгл1онарн:тх розв'язки

Головна мета третьа! главк полягае в доведеки! наступил! теореми. 'IbuttílA 3 Л.

Система <l4>-(t6) wae компактней макстальний аттрактор при c<Q.

При доведенн! ix£€f теор^ми вккорястовугстьея результате pofliT БагЧнэ, В1иика, ЛапяенсЕкпГ.Гемача. Для застосування цих результата moexímt такая наступи! леми. ЛЕ?ЛА 3.2.

Нехай f(х)-д5тфвренц1Яовэна фушпЦя, £ f(Q)=f(l)=a;

t I

Т0Д1 jv/dx z i-épfdx .

0 o

<m

лкио a=0. то HepíBHicTt мокнэ посилич .. i 1* JTJx2dr » .

o_ o

(18»

\

ь

ЛЕМА 3.3(модиф!кац!я лями Белпман&),

Якао для дифоренц!иовано! ФункцИ sit) виконуетЬся нерШЦсть^

2it) «г c+ciZt(3Z,2 (19)

ТО c?>icÇ) , тод! icuye теки стала R . ко

jzl < BM^Lrfe. , (20)

да а « , ь . , 0 = (2,,

2(3 20 (Зл

Ь исташьому параграф! глави 3 доводиться теорема про структуру аттрактора. ТЕОРЕМА 3.2.

Система (14)-Об) при с<0, а<ьтс2 мае аттрактор и, який явдяе собою об'еднання нестМких !нвар1аитних многовид!в для ьс!к иерухомих точок системи.

Нест1йким 1нвар1антним многовидом, що виходить з точки г, иазшзаеться миожкнэ точок иеЕ.як! звдовольнять властивост!: а простор! е 1снуе така непэрервна крива и(1),те(-оз,оо),що 1) ЩОни|

Я) в^со^щт) Утек.пХ)! 3) и(т)~г ком г-»-®.

В глав! 4 .досл!дкуеться ьплив пер1одично! по простору говн!шньо1 сиди, для чого розгл.-даеться задача

и1+иихвЬихх+еГ(х) , (22)

U(x,t)=(J(x+t,t)

<23)

э

Г(х)=:Г(х*1) . (24)

и(х,0)=и000. (25)

Доводиться, шо отацхонарн! розв'язки няст!йк! По Ляпунову• Показугться гв'язок ц±€I эада'й з такими зэгалыгав1дочга.гст р1ЕН'1!>т,п!'-,1 як р!вняння

Р^ЬР^^Р^ (Шредгнгэра), (26)

Шллэ), (27)

гх+гг-ф=0 (Р1катт1). (28)

Пропонуеться мэгод знаходкетш точних рсзв'язк!в для вкладку Г(х)={81пкх,со5кх:кеН}. Зиаходиться зэгальний розв'язок задач!

|а(\)еи<рх (Х,х)сЛ

и(Х,г)=-2Ь--------------------- , (29)

]'а(А.)е'иф(А,Пс1Л

до ф(Х.,х)-власн! функцП для пор1одичко! задач! ло р}внятт(27),

X

1 Г и0(у)ау

а(\) знзходиться з умови в =/ а (Л )ф (Л ,

ф(\,х)=£ 1 ап(!п1151п(1х)|^дссв(1х)), п 1

Лап45ап-1=ап+г(п+г)-

Основы! результата дисертвщ! опубл!кован1 в наступят роботах:

1. Майстренко Ю.Л., Стуканев И.И. Первая краевая задача для уравнения Бвргерса//Динамические систеиы и нелинейные явления. -Кивв.Ии-т математики АН УССР,1990,-С26-38.

2. Стуканев И.И. Периодическая краевая задача дел уравнения Бюргерса и некоторых его модификаций.-Киев.-1992.-24с.-(Препринт/АН Украины.Ин-т математики! 92.16).

3. Стуканев И.И. Одномерное модели турбулеятности//Тезисы докладов конференции "Моделирование и исследование устойчивости процессов", 26-28 мая 19Э2?Киев «Ин-т математики АН Украины,1992. -Ч.2.-С.46.

П1дп. до друку 26.03.93. Формат 60Х84Л6. Пап1р друк. Офс. друк. Ум . друк. арк. 0,69. Ум . фарба-в!дб. 0,69. 0бл.-вид.арк.0,б. Тираж 100 пр . Зам .144 Ьезкптовно. ._______

ГИдготовлено 1 в!ддруковано в 1нститут1 математики АН Укра!ни 252601 КШв 4, МСП, вул. Т9р9щенк1вська, 3