Граничные задачи для уравнения Кортевега - де Фриза и его обобщений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Потенциалы для линеаризованного уравнения Кортевега - 41 де Фриза и его обобщений.

§ 1. Свойства граничного потенциала для линеаризованного уравнения 41 КдФ.

§ 2. Потенциалы для линеаризованного уравнения КдФ с младшим 60 членом.

§ -3. Граничный потенциал в полупространстве для линейного эволю- 7-5 ционного уравнения нечётного порядка и его свойства.

Глава 2. Смешанные задачи для обобщённого уравнения Кортевега - • 98 де Фриза.

§ 4. Свойства решений смешанных задач для линеаризованного урав- 98 нения КдФ.

§ 5. Обобщённые решения смешанной задачи в правой полуполосе для 1-32 обобщённого уравнения КдФ.

§ 6. Смешанная задача в правой полуполосе для обобщённого уравне- 146 ния КдФ с более-чем квадратичным ростом нелинейности.

§ 7. Обобщённые решения смешанной задачи в левой полуполосе для 163 обобщённого уравнения КдФ.

§ 8. Гладкие решения смешанной задачи в левой полуполосе для урав- 176 нения КдФ.

§ 9. Смешанная задача в ограниченной области для обобщённого урав- 193 нения КдФ.

Глава 3. Граничные задачи для квазилинейных уравнений нечётного 213 порядка.

§ 10. Обобщённые решения задачи Коши для квазилинейных урав- 213 нений нечётного порядка.

§ 11. Обобщённые решения смешанной задачи для квазилинейного 240 уравнения третьего порядка.

Глава 4. Задача Коши для обобщённого уравнения Захарова - Куз- 262 нецова.

§ 12. Оценки решения задачи Коши для линеаризованного уравнения 262 Захарова - Кузнецова.

§ 13. Нелокальная корректность задачи Коши для обобщённого урав- 279 нения Захарова - Кузнецова.

Глава 5. Задача Коши для обобщённого уравнения Кадомцева - 291 Петвиашви ли.

§ 14. Обобщённые решения задачи Коши для обобщённого уравнения 291 КПП.

§ 15. Нелокальная разрешимости задачи Коши для уравнения КП1 307 и его обобщений.

1. Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves// Phil.Mag. 1895. V.39. P.422-434.

2. Muypa P.M. Уравнение Кортевега де Вриза — модельное уравнение для нелинейных волн в средах с дисперсией// Нелинейные волны. М.: Мир, 1977. С.221-243.

3. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

4. Maxworthy Т. A note on the internal solitary waves produced by tidal flow over a three-dimensional ridge// J.Geophys.Res. 1979. V.84. P.338-346.

5. Redekopp L.G. Nonlinear waves in geophysics: Long internal waves// Lectures Appl.Math. 1983. V.20. P.59-78.• 6. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media// J.Phys.Soc.Japan. 1972. V.33, № 1. P.260-264.

6. Ильичёв А. Т. О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией// Труды МИАН. 1989. Т.186. С.222—226.

7. Марченко А.В. О длинных волнах в мелкой жидкодти под ледяным покровом// ПММ. 1988. Т.52, вып.2. С.230-234.

8. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. О трехмерных солитонах// Журн.экспер,теорет.физ. 1974. Т.66, вып.2. С.594-597.

9. Infeld Е. Self-focusing of nonlinear ion-acoustic waves and solitons 'in magnetized plasmas// J.Plasma Phys. 1985. V.33, № 2. P.171-182.

10. Shivamoggi В. К. Nonlinear ion-acoustic waves in a magnetized plasma and the Zakharov Kuznetsov equation// J.Plasma Phys. 1989. V.41, ДЬ i. P.83-89.

11. Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В.И. Об устойчивости уединённых волн в слабо диспергирующих средах// ДАН СССР. 1970. Т.192, № 4. С.753-756.

12. Gnmshaw R. Evolution equations for weakly nonlinear long internal waves in a rotating fluid// Stud.Appl.Math. 1985. V.73, № 1. P.l-33.

13. Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg de Vries equation// Phys.Rev.Lett. 1967. V.19. P. 1095-1097.

14. Захаров B.E., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи/ Под ред. С.П.Новикова, М.: Наука, 1980.

15. Марченко В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения. Киев.: Наукова Думка, 1977.

16. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

17. T.sutsumi М., Mukasa Т. Parabolic regularization for the generalized Korteweg de Vries equation// Funcialaj Ekvacioj. 1971. V.14, N° 2. P.89-110.

18. Bona J.L., Smith R. The initial-value problem for the Korteweg de Vries equation// Phil.Trans.R.Soc.Lon., ser.A. 1975. V.278, № 1287. P.555-604.

19. Saut J.С., Temam R. Remarks on the Korteweg de Vries equation// Israel J.Math. 1976. Y.24. .N2 LP.78-87.

20. Kato T. On the Korteweg de Vries equation// Manuscr.Math. 1979. V.28, № 1-3. P.88-99.

21. Кружков С.Я., Фаминский А. В. Обобщенные решения задачи Коши для уравнения Кортевега де Фриза// Матем.сб. 1983. Т.120(162), № 3. С.396-425.

22. Kato Т. On the Cauchy problem for the (generalized) Korteweg cle Vries equation// Stud.Appl.Math., Adv.Math.Suppl.Stud. 1983. V.8. P.93-128.

23. Фаминский А.В. Задача Коши для уравнения Кортевега де Фриза и его обобщений// Труды сем.им. И.Г.Петровского. 1988. Вып.13. С.56-105.

24. Ginibre G., Tsutsumi Y. Uniqueness of solutions for the generalized Korteweg de Vries equation// SIAM J .Math. Anal. 1989. V.20, JVi 6. P.1388-1425.

25. Ginibre J., Tsutsumi Y., Velo G. Existence and uniqueness of solutions for the generalized Korteweg -de Vries equation// Math.Z. 1990. V.203, № 1. P.9-36. ■

26. Kenig C.E., Ponce G., Vega L. Well-posedness of the initial value problem for the Korteweg de Vries equation// J.Amer.Math.Soc. 1991. V.4, .N2 2. P.323-347.

27. Kenig C.E., Ponce G., Vega L. Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg de Vries equation via the contraction principle// Comm.Pure Appl.Math. 1993. V.46. P.527-620.

28. Воигдагп J. Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to non-linear evolution equations, Part II: The KdV equation// Geom.Funct.Anal. 1993. V.3, № 3. P.209-262.

29. Кепгд C.E., Ponce Vega, L. The Cauchy problem for the Korteweg -de Vries equation in Sobolev spaces of negative indices// Duke Math.J. 1993. V.71, № 1. P. 1-21.

30. Кепгд C.E., Ponce G., Vega L. A bilinear estimate with applications to the KdV equation// J.Amer.Math.Soc. 1996. V.9. P.573-603.

31. Colhander J., Staffilani G., Takaoka H. Global wellposedness for KdV below Г2// Math.Res.Lett. 1999. V.6. P.755-778.

32. Fonseca G., Linares F., Ponce G. Global well-posedness for the modified Korteweg— de Varies equation// Comm.Partial Diff.Equations. 1999. V. 24. P.683-705.

33. Хруслов Е.Я. Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Кор-тевега де Фриза с начальными данными типа ступеньки// Матем.сб. 1976. Т.99(141), № 2. С.261-281.

34. Буслаев B.C., Суханов В.В. Об асимптотическом поведении решений уравнения Кортевега де Фриза при больших временах// Зап.научн.сем. ЛОМИ. 1982. Т.120. С.32-50.

35. Бикбаев Р.Ф., Шарипов Р.А. Асимптотика при t —>• ос решения задачи Коши для уравнения Кортевега де Фриза в классе потенциалов с конечнозонным поведением при х —)■ ±со // Теор.матем.физика. 1989. Т.78, 3. С.345-356.

36. Наумкин П.И., Шишмарёв И. А. Об асимптотике при t —> ос- решений обобщённого уравнения Кортевега де Фриза// ДАН. 1995. Т.-344, № 2. С.165-167.

37. Адлер В.Э., Хабибуллин И. Т., Шабат. А.Б. Краевая задача для уравнения КдФ на полуоси// Теор.матем.физика. 1997. Т.110, № 1. С.98-113.

38. Хабибуллин И. Т. Уравнение КдФ на полуоси с нулевым краевым условием// Теор.матем.физика. 1999. Т.119, № 3. С.397-404.

39. Хабибуллин И.Т. Начально-краевая задача на полуоси для mKclV уравнения// Функц.анализ и его прилож. 2000. Т.34, i\° 1. С.65-75.

40. Бубнов Б.А. Разрешимость в целом нелинейных граничных задач для уравнения Кортевега де Фриза в ограниченной области// Дифф.уравнения. 1980. Т.16, № 1. С.34-41.

41. Colin Th., Ghidaglia J.-M. Un problème mixte pour l'équation cle Korteweg de Vries sur un intervalle borné// C.R.Acad.Sei.Paris, ser.l. 1997. T.324. P.599-603.

42. Виг An Ton Initial boundary-value problems for the Korteweg de Vries equation// J.Differential Equations. 1977. V.25, № 3. P.288-310.

43. Хаблов B.B. О некоторых корректных постановках граничных задач для уравнения Кортевега де Фриза. Препринт Ин-та матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1979.

44. Хаблов В.В. Корректные постановки граничных задач для модифицированного уравнения Кортевега де Фриза// Тр. сем. С.Л.Соболева. 1979. № 2. С.137-148.

45. Bona J.L. Winter R. The Korteweg de Vries equation, posed in a quarter-plane// SIAM J .Math. Anal. 1983. V.14, № 6. P.1056-1106.

46. Фаминский А.В. Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кор-тевега де Фриза и его обобщений// Труды ММО. 1988. Т.51. С.54-94.

47. Bona J.L., Winter R. The Korteweg de Vries equation in a quarter plane, continuous dependence results// Diff.Int.Equat. 1989. V.2, .Ni 2. P.228-250.

48. Cattabriga L. Un problema al contorno per una equazione parabolica cli ordine dispare// Ann.Scuola Norm.Sup.Pisa, sci.fiz.e mat. 1959. V.13, № 2. P.163-203.

49. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.

50. Солонников В.А. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического типа// Труды МИАП. 1964. Т.70. С. 133-212.

51. Bona J.L. Sun S., Zhang В.-Y. A non-homogeneous boundary-value problem for the Korteweg de Vries equation in a quarter-plane// Preprint, 2000 (to appear in Memoirs of Amer.Math.Soc.).

52. Bona J.L. Luo L. A generalized Korteweg de Vries equation in a quarter plane// Contemp. Math. 1999. V.221. P.59-125.

53. Saut J. С. Sur quelques généralizations cle l'équation de Korteweg -de Vries// .J.Math.Pures Appl. 1979. V.58, № 1. P.21-61.

54. Constantin P., Saut J.C. Local smoothing properties of dispersive equations// Journ.AMS. 1988. V.l, № 2. P.413-439.

55. Кепгд С.Е., Ponce G. Vega L. Oscillatory integrals and regularity of dispersive equations// Indiana Univ.Math.J. 1991. V.40, № 1. P.33-69.

56. Волевич Л.P,. Гиндшин С,Г.- Метод энергетических оценок в смешанной задаче// Успехи матем.наук. 1980. Т.35, вып.5. С.53-120.

57. Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Смешанная задача для (26 + 1)-гиперболических уравнений// Труды ММО. 1981. Т.43. С. 197-259.

58. Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных производных с квазиоднородной старшей частью. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

59. Рамазанов М.Д. Краевая задача для одного типа дифференциальных уравнений//Матемхб. 1964. Т.64(106), № 2. С.234-261.

60. Wickerhauser М. V. Inverse scattering for the heat operator and evolution in 2 + 1 variables// Comm.Math.Phys. 1987. V.108. P.67-87.

61. Zhou X. Inverse scattering transform for the time dependent Schrodinger equation with application to the KP-I equation// Comm.Math.Phys. 1988. V.128. P.551-564.

62. Boiti M., РетргпеШ F., Pogrebkov A. Some new methods and results in the theory of (2+l)-dimensional integrable equations// Теор.матем.физика. 1994. T.99, № 2. С.185-200.

63. Boiti M., РетргпеШ F., Pogrebkov A. The KPI equation with unconstrained initial data// Acta Appl.Math. 1995. V.39. P.175-192.

64. Sung L. Y. Square integrability and uniqueness of the solutions of the Kadomtsev Petviashvili - I equation// Math.Phys.,Anal. Geom. 1999. V.2. P.l-24.

65. Bourgain J. On the Cauchy problem for the Kadomtsev Petviashvili equation// Geom.Funct.Anal. 1993. V.3, № 3. P.315-341.

66. Tzvetkov N. On the Cauchy problem for the KP equation// Comm.Part.Diif.Equations. 1999. V.24. P.1367-1397.

67. Isaza P., .Mejia J. Local and global Cauchy problems for the Kadomtsev Petviashvili (KP-II) equation in Sobolev spaces of negative indices//Comm.Part.Differential Equations. 2001. V.26, № 5-6.

68. Sckwarz M.Jr. Periodic solutions of Kadomtsev Petviashvili// Adv.Math. 1987. V.63, № 3. P.217-233.

69. Colhander J. Globalizing estimates for the periodic KPI equation// Illinois J.Math. 1996. V.40, № 4. P.692-698.

70. Tom M. On a generalized Kadomtsev Petviashvili equation// Contemp.Math; 1996, ¥.200. P.193-210.

71. Федорюк M.B. Метод перевала. M.: Наука, 1977.

72. Раевский XГрёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.76