Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

. ; О

Академия наук Украйш Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи

ГОРБАЧУК Валентина Ивановна

■ , \ ГРАШЧЩЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ

% даФшетшшю-огЕРАтарда УРАВНЕНИЙ-

' "01.01.01 - математический акалиэ

Автореферат диссертация на. соискание ученой степени V доктора физико-математических наук

Киев - 1992-

' . ■ ' /• Работа выполнена в Институте математики АН Украины.

ш

»

Официальные оппоненты: академик All Украины,доктор

(ЗмзПко-ыатематических наук, ' . 'профессор ЕЕРЕЗЛНСКИИ Ю.М.,

■ доктор физико-математических / наук.профессор РОЙТЕЕЕГ Я.А.,

доктор физико-ттематическИх наук,профессор '

P0SE-EEKET0B Ф.С.

Ведущая организация - Белорусский госуниверситет . -п.

.Защита-состоится

.'■ '■ UtO&iX- 199Zx. в часов на Заседании специализированного совета

Д 016*50.01 при Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4 ,ГСП ,ул. Репина ,' 3 .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. -Автореферат разослан "л'uA^j^jy 199.2_г.

I f

Учений секретарь . ,

специализированного совета • „ Г/САК Д. В.

* <

%

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

j

-Актуальность теш. Начало систематического исследования линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространства было положено в конце 40-ых годов работами Э.Хшшв и К.Иосвды по теории полугрупп и М.Г.Крейна по теории устойчивости.Даль -нейшее развитие и выход в другие разделы математики связаны с именами 0.Г. Крейна ,5.0. Рофе-Бекетова, Б. М. Левитана, И. Л. Дионса, А.Пази,Г.Фатторпни,Л.Америо и др.При этом почти во всех вопросах, касающихся изучения решений таких уравнений,априори пред -полагалась не только их гладкость внутри интервала,налагались тшясе определенные условия на поведение вблизи границы. Отличительной особенностью настоящей диссертации является тот факт, что в пей рассматриваются гладкие внутри интервала решения без каких бы то ни было ограничений возле концов.Основная ае задача состоит в доказательстве существования граничных значений /возмо.-хно.в обобщенном смысле/ таких решений,восстановлении решений по их граничным значениям и исследовании зависимости степени обобщенности граничного значения гладкого внутри ин -терпела решения от порядка его роста при приближении к границеt ¿¡менно такая постановка была характерна для теории аналитических /гарглонических/ функций,заданных в открытой области.Как 'известно,вопрос об их трагичных свойствах интересовал многих математиков /П.Фату,<5.Рисс,И.И.Привалов,Г.КУте,XiТильман,В.С. Владпмиров.Г.Комацу и др./,что привело к созданшо стройной теории граничных значений аналитических /гармонических/ функций и поянтегаго таких новых понятий,как "классы Харди", "гиперфункции", "ультрараспределения" и т.п. . 3 последнее время 1штерес к этой теории активизировался в связи с изучением граничных значений решений не только уравнения Лапласа¿но и других уравнений в частных производных эллиптического и параболического типа.Об этом свидетельствуют многочисленные публикации в этом направлении,из которых преэде всего следует назвать работы Е.-Л..Ъ10нса,В.Г.1/;азьи,В.П.1,'111ха]'1това,А.К.Гу11|11на(Я1А.Роптберга, С .Д .Пвасишена, П. П. Петрушко, Н» 3. Китарапу, Хабровского, Р. Эстрады и Р.Копуэла,В.Ю.Шелепова и др. . В них устанавливаются

условия существования граничных значений решений эллиптических или параболических уравнений,главным образом,в пространствах Ц> и обобщенных функций конечного порядка.Однако граничные значения такого сорта мокно приписать не любому гладкому внутри области решению,а лишь тем из них,которые при приближении к границе илевт рост не выше степенного.Поскольку многие из уравнений в частных производных представляются в взде обыкновенных дифференциальных с неограниченными операторными коэффициентами, то построение теории граничных значений гладких внутри интервала решений дифференциально-операторных уравнений,которая позволила бы каждому такому решению сопоставить его след на границе в некотором топологическом пространстве,что и делается в диссертации,на наш взгляд,актуально.С одной стороны,эта теория играет важную роль при постановке и исследовании граничных задач для таких уравнений,а с другой, - дает общий подход к изучению граничных свойств решений уравнений в частных производных, с помощью которого единообразно могло получить как уже известные,так и новые результаты.

Научные результаты, выносимые на защиту, и их новизна. Результаты, изложенные в диссертации, новы. В ней, в частности:

I. Введены и изучены некоторые классы пространств гладких и обобщенных векторов нормального оператора в гильбертовом пространстве. Доказан абстрактный вариант теоремы Иэли-Винера.

24 Для дифференциально-операторных уравнений первого порядка параболического типа и второго порядка эллиптического типа получено представление любого гладкого внутри интервала решения,

3. Найдено линейное топологическое пространство,в котором всякое гладкое внутри интервала решение рассматриваемых уравнений тлеет граничное значение.Оно является максимальным прост -ранством начальных данных для постановки задачи Коши в случае уравнения первого порядка'и задачи Дирихле для уравнения-второго порядка.

4. Построена теория граничных значений гладких внутри ин -тервала решений указанных уравнений,а именно,установлена вза -имно однозначная связь между поведением решения в окрестности границы и степенью "гладкости" его граничного значения.

5. Конкретные реализации предыдущих пунктов приводят к следующим новш результатам: а) построена теория граничных значений гарюническкх в полупространстве и п -1.:ерногл шаре функции в различных функциональных пространствах,существенно дополншо-щая и обобщающая имэвскеся ранее результаты в этой области; б) развита теория сугаируемости формальных разложений по 206 -ственным «йгнкцишл сакосопряяенного оператора с дискрет:«.--.. спектром и установлен принцип локализации для метода сутялнровшшя Абеля-Пуассона рядов йурье гинерэфункцкк; в) предложен вариант построения операционного исчисления для некоторого класса носа-мосопряленных операторов на ачгебрах неаналитических на спектре функций.

Методы исследования. Используется и частично развивается спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве,теория обобщанных функций с заменой оператора дифференцирования произвольным нормальным оператором.

Теоретическая значимость. В диссертации разработаны новые теоретико-операторные методы исследования граничных значений решении дифференциальных уравнений.

Апробация работы к публикации. Основные результаты дкссер-тахцш докладывались па международных конференциях по обобщен -ним функции и лх приложениям в математической физике /¡Моек -ва,19В0 ; Дебрецен,1984/,Советско-чехословацком совещашд по применешио методов теории функщш и функционального анализа к задачам математической физшш /Донецк, 1988/, 7-ой чехословацкой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям /Прага, 1989/,Международной конференции,посвященной 90-летшо со дня роздения И.Г.Петровского /Москва, 1991/,на совместных сессиях семинара ил. II.Г.Петровского и Московского математического-общества /Москва,1986; 1989; 1930/,республиканских конференциях по нелинейным задачам математической оизшеи /Донецк, 1987,1991/, на семинарах по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в частных производных ¿1нстнтута математики АН Укра-шш,на семинаре по (функциональному анализу /Одесса/.

Основное содержание диссертации опубликовано в [I - 23] .

Сттзуктущ и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех Глав|описка литературы и содерта:т 226 страниц машинописного текота»

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I вводятся пространства гладких и обобщенных векторов замкнутого оператора А с плотной областью определения Я>(А) в банаховом пространстве Чу .Основной результат главы состоит в получении аналогов теоремы Пэли-Впнера,связывающей убывание функции на бесконечности с гладкостью ее преобразования Фурье, в случае,когда А - произвольный нормальный оператор в игль-бертовом пространстве .Напомним, что в классической теории роль такого оператора играет оператор дифференцирования в пространстве ^ = ^(Ц1) .

В § I определяются пространства основных^веиторов,используемые в дальнейшем,а именно: пусть С°°(А) =П ©(А11) - мно-

. --

кество бесконечно дифференцируемых векторов оператора А,СЧА)* = и {- неубывающая последовательность положительных чисел| положил

. (А) а е С"°(А) | Э<^>0, Зс>о: (I)

IIIIСс*.птл (п»о,1,...)], Ст 1(А) = {|еСв(А)|Ус£>о ЭС = С(«0>0! (2)

Ясно,ЧТО * (п:0,,,...)}.

с,« ,(А)= и С.<тг1>(А) , Г ,(А)=П С <т >(А)

'Де С„1.<т(1>(А) - банахово пространство векторов из С°°(А) , для которых неравенство в (1),(2) выполнено-при фиксированном Ы. ,о нормой

, ' ш 5ирлт.

С»<шл>(А) пг С{т^СА) и С(РПл1(А) онабжаытся топологиями индуктивного и , соответственно,проективного пределов банаховых пространств С^т^СА) :

г (А) = С <тп>(А) С,т ЛА) » йтръ С<гтоМ).

Пространства ОКА) и 01^(А) аналитических и целых векторов оператора А .введенные соответственно Э.Нельсоном и Р.Гудоз-. ном, Ехрд&- векторов экспоненциального типа,изученных Я.З.Ра-дыно, (А) п Сдс^)(А) ультрадпсХеренцнруомых векторов типа Рут>!ьо н Еорлинга /абстрактные классы 1йвре/ получается из С^^СА) (А) при тп = п[ , а1 , тгс=п.пр / /•

СМ) = С{а,}Ш , ас(А)= ст!)(А), ' £хрА&= С{0(А), '

В частных ситуациях ото зачастую обычные аналитические,целые,целив экспоненциального типа фунзщип.обнчныо массы Иевре.Прпвэ -денные примеры иллюстрируют эти конкретные случал.

§ 2 посвящен изучении цепочек гильбертовых пространств с позитивной и негативной в смысле Ю.М.Еерезанского нормой,построенных по функции в (А) неотрицательного самосопряженного оператора в ^ ,где

0(А)И, 0(Аи+оо при А-» + <», (3)

Более точно, полагаем

/(.,•) и II-II - скалярное произведение и норма в Ч-д. / и через обозначаем пополнение Чу по норме

Если 0-г(А) _ функции типа (НА) ,то при бЧА)»/х61(А\^>о,

при этом все вло:зенгл топологические,т.е. плотные и непрерывные. Из гильбертовых пространств

« ^ (А) , влМзО(ЫХ) (Ы>0) "

образуются естественным образом их индуктивный и проективный пределы

Ъм^ = ио =

Тогда

- пространства,сопряженные к л ^^(А) соответственно.

В цепочке

слева от Фд. стоят пространства основных векторов,а справа -обобщенных; все мочения топологические. В гильбертовой шкале пространств {

В случае,когда А - модуль оператора дифференцирования в ^ (К1) / Б >0 /- соответственно негативное и позитизкое пространства Соболева.

Основной результат § 3 содер-лися в следующей теореме. • Теорема 1.2 . Пусть иеубываицая последовательность полол31тельных чисел {т^З^ удовлетворяет условна

Зс>о : т^ й скптп .

Пусть также Тогда

Наоборот,если задана непрерывно дзГ'Терешетруеыач на Со.+ оо") ¡упади &(А) .удовлетворяющая (3) и условиям

? + с» при А + оо

3 С0>о, Зы.0 ; 0<ог„<* I е(Л>*свЛв(«*,Л),

и то

^м^ «%„<А>-

Все равенства не только теоретико-множественные,ко и топологические.

Следствием этой теореш является тот «акт,что пространство С{рПгх1 (А) - регулярный гдцуктивнш предел "возрастающего" при <¿-»+00 сепейства банаховых пространств С^т^М»

Теорецу 1.2 могно рассматривать как обобщение теоремы Пэлп-Винэра о тот.!, что ¡лгсг.еетао лл-эх целке функций экспоненциального тппа.сут.гшруошх с квадратом на Я1 .совпадает с шо"'.ес?зог,: преобразований Зурье функций из .обращающихся в нуль кга некоторого конечного интервала из Я1 .Это утвертдепие является частным случаем теореш 1.2 о = и модулем оператора дифференцирования в качестве А .В этог.1 случае () совпадает с совокупность-:) всех целых функций экспоненциального типа из ,а % (у^'ахО ~ '-юкество преобразований Сурье финитных фушатлл. Учитывая, что последовательности игл = отвечает = / /.при = гг|~пЛ получаем еще од ну теорег.у типа Пэли-Винера,связывающую убывание функции на бесконечности с гладкостью ее преобразования Фурье,а имен-но:пусть е (.„(К')? для того чтобы

ЗсОО : Гегых |Ч(х)|г ¿ж ,

о

необходимо и достаточно .чтобы преобразование 'Зурьэ этой фунетп: допускало аналитическое продолжение У (х+ в какую-либо по -лоску .для которого

Sup j I §(x*Lt)\zdx <00 itl<<S

В § i обсундаптся топологические свойства важных для пршго -пений и д-льнсйиего изложения пространств,состоящих из бесконечно диффер лщируемых векторов неотрицательного самосопряженного оператора,и сопряженных с шаги.Сюда в первую очередь относятся пространства CTO(A) всех бесконечно дифференцируемых векторов, а(А) и Oí- аналитических и целых векторов,классов ¿¡евре Gj^M и (А1 ,а также сопряженные с ниш, откаченные в обо -значениях штрихами.На основашш теоремы 1.2 СКА) = U 2Э(еыА)

ы> о

Вообще говоря,топологичеciaie свойства множества,входящего в индуктивный предел банаховых пространств,не могут быть просто сведены к соответствующим свойствам пересечений этого множества о пространствами,из которых предел конструируется.Однако существует ряд уеловий,гарантирующих ограниченность множества или сходимость последовательности в топологии индуктивного предела тогда и только тогда,когда это свойство выполнено в некотором из составляющих его пространств.Таковыми являются регулярность ин -дуктквного предела и так называешо "оценки интерполяционного типа". Доказательство выполнимости этих условий для рассматриваемых в работе пространств и описание сходимости в каждом из них занимают центральное место в параграфе.

В последнем,пятом,параграфе предполагается,что спектр оператора А дискретный и собственные числа К k / кеЫ / подчиняются условию П Х'?<со при каком-либо С > О .Считаем,что Л к

расположены в порядке неубывания и повторяются столько раз,какова их кратность.Пусть - ортоноршрованнкй базис из собственных векторов А .Полояим <Р(А) = и обозначил через "РЧА} пространство,сопряженное с Ф(А) .Векторы из ф'(А) будем называть обобщош1ы;л1.11аддому f е <?'(&) сопоста^ ляется ряд £ fKek .где = - коэффициенты Фурьер

/ С - действие функционала | на основной эле;, :ент ее УСА))

Если % ,то это обычный ряд <1урьо £ по базису .

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1.6 . Ряд Фурье произвольного обобщенного элемента £ сходится в ФЧА1 к £ . Обратно .последовательность частных суш любого ряда "L SKeK сходится в Т'(А) к некото -рому элементу £ ,и этот ряд является радом Зурье £

Эта теорема позволяет смотреть на tP'(A1 ,как на пространство бормальных рядов вида Ц ек ,а это,в свои очередь,дает

К»1 к к

возможность получить характеристику различных пространств основных и обобщенных элементов,связанных с оператором А ,в термл -нах коэффициентов £урье их векторов.Исходным моментом при этом служи тот факт,что С,т , ..(А) , СЧА) н сопря -

женные с ними пространства являются подпространствами V((k) . Характеризацют.о которой идет речь,составляет содержание следующей теоремы. ^

Т о о в а м а 1.7 . Пусть J = Е £кек , ^(g.ej . Тогда при достаточно больших к справедливы следующие соотношения эквивалентности:

( Vci>0 Эс»с(«0>0:||и1 «ел;*)} (4)

(fe С(Пл1(А))а> С3°i>o, Эс'О* сг'(*лк)) (5)

(leCimn,W)4*(VcL>0 5C--c(fO>0: likUc?VAK)); (6)

iU (3et>0,3c>0: llj «сА«); : (7)

(Voi>0 3c»C(eO>0:|?k|<cy(oiXk)); (8)

С<т,о(А)^(Ы?0' 3с>0:,^|йС?^Ак)> (9)

.ft

где 9(A) = tn sap -¿г- .При этом E . n-> + oo , в со-

п. к-t к

ответствущих пространствах.

В частности,при tn^ = и."^ / J3 > 0 / приходит.! к такому за-зслячешю относительно абстрактных классов Невре Сд.фз(А) и ^ (М .вглючая пространства 01(A) = GjftJlA) и Ci'(^) =

: Gj ' (A) аналитических и коаналитических векторов оператора А .

Следствие 1.4 . Для^еФЧА) имеют место соотношения эквивалентности ,.

ыА "

<àiJ»ilA^4*t3ol>0,3<?>0i ||k| *с£ )•, (Ю)

ciA V?

(^e(gtji)(A))<Pî>(V«i»o 3cscw>0: l{k|6cê k ); .(II)

3c=c(oi)>0 Ii„|*ce " ); (Ю

д Vfl

CA))«(3«t>o,3c>o: |^k|«ce K ). (13)

Если полонить = La (Го, 2.31]) , A = Убг »где Bz - оператор, порожденный в Lx(Co,Zîl]) выражением - d,*/^* 11 периодическими граничными условиями f (о) = {¡(¡lïï) , $'(0) = {'Cîîî) ,то - обычная тригонометрическая система функций,а разложение по этой системе - обычный ряд Фурьо, С°°(А) - простран -ство 2) бесконечно дифференцируемых 2. il -периодических функций .сходимость в котором означает равномерную сходимость всех цропзводных, С"00(А) - пространство 2.ÏT -периодических распределений Л.Шварца, Cj^(А) и (^^(А) / Р > 1 / - пространства ультрадифференцпруеыж ал -периодических функций типа Румье и БУрлшгга соответственно, Cg^-j(А) и Gj(p)(A) - пространства ультрараспределений соответствующих типов, ОКА") и 01'(А) -аналитические 2.ÎT -периодические функции и гиперфункции.На основании теореш 1.7 и следствия 1.4 приходим к характеристик всех этих пространств в терминах 1)оста коэффициентов их рядов дурье.Надо во всех оценках Ак заменить на 1к1 .Заметим,что для этого конкретного примера соотношения (4), (10), (II) при ji = I хорошо^ известны, а (7),(12) и (13) при J3 = I принадлежат соответственно Л.Шварцу и Г.Вальтеру.

Если в качестве Чд. взять 1_я ( R') и поло.мить А = Vbz , где Вг - минимальный оператор,породненный выражением - + + хг ,то в этом случае А* = Vs.k+1 , ek - Функции Эрмк-та, С~(А) = S , CgSjiJ(A)= S^ / р \ /,где S - пространство медленно убывающих. бесконечно диадереяцируе.чък Фушздш.а.

5лР={£еЗ|ЭЬО: Зар — «»¡.Тогда соотношения (4),(7)

Р Ь тг^'п .

представляют собой известную теорему Л.Шварца,а следствие 1.4

приводит к соотватствующегу результату Л.И.Каышгровокого. В главе П рассматриваются уравнения вида

у'Ш + Ау(« = 0 «6(0,8)) (14)

и ' •

^"(Ъ) - = 0 ^е(а,6)) > - со <а,£<«>, (15)

где А г 0 - самосощш;енпш оператор в Ф^ .Для таких уравнений устанавливается об:ций вид реаешгй, гладких внутри кнте?вала,с доказывается существование их граничных значений в различных пространствах обобдег-гных элементов,свойства которых обсуждена в главе I .Какому именно пространству щхшадле;:;ат эти граничные зна -чения,зависит от порядка роста решэшот при приближении к граница. Описывается эта зависимость.

В § I показывается,что оператор А допускает рассггроняе до неотрицательного самосопряженного оператора А& в пространства обобщенных векторов Чтд^ (А) .Расширение,соответствующее Функции бШ = е** .обозначил через А,. .Полосам Б = * .Доказывается, что оператор переводит (Л'(А) на СТ.(А) .Основной результат параграфа состоит в следующем.

Л е 1,; г; а 2.3 . Семейство / » 0 / образует равно -степонно непрерывную полугруппу класса С0 в пространстве С1'(А) коаналитпческих векторов оператора А .Генератором этой^полу -группы служит оператор -.Д11 (71'(А) / А - это А при t=I/. При этом

0Д1Ш из центральных результатов главы П /содержится в §.2 / -представление общего решения внутри интервата (0,8) уравнения (14).Под таким решением понимается непрерывно дифференцируемая вектор-пункция уШ : С0,6) 5)(А) .удовлетворяющая (14).Этот результат представлен теоремой 2.3 .

Теорем а 2.3 . Вектор-гутшря является решением

внутри-(о, 4) уравнения (14) тогда и только тогда,когда

-■еД

y(t) » е I , fe Oi/(A) . (i6)

Прп t-»0t , в пространстве d'CA) .

Это утверждение показывает,что всякое решение внутри (0,6) рассматриваемого уравнения бесконечно дифференцируемо в (0,6) . Его граничное значение в нуле существует в пространстве СЛ.'(А) ко аналитических векторов оператора A .Pemeime однозначно восстанавливается по своему граничному значению.Таким образом,задача Коши дли уравнешш (14).состоящая в нахождении гладкого в (0,6) решения у(t) такого,что y(t)-»£ npnt-*0+ .однозначно разрешима в пространстве 01'(А) .Поэтому Ct'(A) мошю считать пространством начальных данных задачи Коши для (14).

Имея дополнительную 1шформацию о поведении решения вблизи нуля,можно более точно охарактеризовать обобщенный элемент £ в представлении (16).являющийся его граничным значением в точке нуль.Эта характеристика дается в сформулированных шке теоремах.

Теорема 2.4 . Для того чтобы граничное значение в точ^ ке 0 репения внутри интервала (0,6) уравнения (14) принадлежало исходному пространству .необходимо и достаточно,чтобы

lly(t)lléC (C=C0M3t). (17)

■Пусть Y(t) - непрерывная,положительная.интегрируемая на(о,Ц функция.Обозначим через Уг совокупность всех решений внутри (0,6) уравнешш (14) таких,что

■y«wVcM).ïc«di) =U>(t)iiya)iiVt)v<~. (ад

Поскольку в <оо и Y(t)>0 на любом отрезке / S>0 /,

оценка (18) отражает рост решения в окрестности нуля.

Положим

, <1 -zAt , N-Vi

&<*)*() ï(t)e dt) . (is)

о

Моано показать,что пространство ^^(А) .отвечающее этой функции G (А) .является частью Ol' (А) .

Теорема 2.5 . Граничное значение f в точке 0 решения y(t) внутри интервала (0»в) уравнешш (14) принадло;н:т пространству ^^.(А) с G (А) .определяющейся из (IS),тогда и только тогда,когда ij 6 Чу .Более того,формула (16) устанавлл-

вает изометрический изоморфизм медцу и ^^ (A) .Решение yet) стремится к f в ^¿(А) .

В случае,когда Y(t) = t ги~1 / cL> 0 /.справедлива двухсторонняя оценка

С,(И-А*) б GM ^ Сг(1+Л*),

в силу которой совпадает с = ^^^(А) .Это да-

ет возможность доказать следующее утверждение.

Теорема 2.3 . Граничное значение в нуле £ репения y(t) = Енутри (0,8) уравнения (14) принадлежит про-

странству С"М(А)= ¿¿mind. тогда и только тогда,когда

ГИ + оо о

при каком-либо ot. > 0

II ij(t) II ^ ct'U с с= const)

/t>0 достаточно мало/.Более точно, | е / °i>0 / то-

гда и только тогда,когда

Л ги-i г

] t II y(t) II at <оо.

Предположил теперь,что функция Y(t) обладает вдобавок свойствами:

1°. Y(t,) >Г(^) при t,>tl ;

2°. Существуют постоянные С„>0 . Я0< ^ такие,что

t YCt) > CeY(jiet).

Теорема 2.7 . Для того чтобы в представлении (16) элемент прш;адло;;шл пространству (А) / А) / с

G-(A) .связанной с Y(t) соотношением (19) .необходш.то и до ста -точно,чтобы

IIУ(«II 4 CY-'Cott)

при любом /некотором/ ai>0 .При этом £ , t-»0+ ,в топо-

логии пространства ^{'ej(A)/ Ч^СА) /.

На базе теоремы 2.7 .отнесенной к конкретной 'ситуации,когда Y(t) = exp (-t"tv) / ty>0 /,и оценки

сехр^А^0 ) « GWO* с.ехра^ОА^0),

где ju>0 - некоторая константа, зависящая от fy и at. .доказывается

л

-tA

Теорема 2.8 . Граничное значение ^ ремонта у<t) = е £ 6 Ct'(A)/ внутри СО. Í) уравнения (14) пршадле.тлт классу лйв-ре Cg/pjM/Cg^íAO / / Р>1 / типа Руыье /Бёрлинга/ ультрэдиф-ференцпруеглых векторов тогда и только тогда,когда для любого /некоторого/ol> О существует постоянная с = с(ы.)>о /Эс>0/ такая,что

II y(t)ll é cexput"4')

В § 3 рассматривается уравнение кеда (15),где,как и ранее, Д О - самосопряженный в ^ оператор. Двачда непрерывно дифференцируемая вектор-функцпн yct) : (a,i)-»35(Al) ,удовлетворяющая (15) .называется решением внутри (а,6) .Общий вид таких решений в том случае,когда А пололштсльно определен,дается формулой

y(t)=e(t"Q)Af44e(M)A^ (^eül'(A)), (20)

которая показывает,что в этой ситуации ьсякое решение внутри (а, 6) уравнения (15) бесконечно дифференцируемо в (а, 6) ,его граничные значения на концах а и 6 являются коаналитичесшаш векторами А .По ним решение однозначно восстанавливается выражением

y(t) = z(I-e )-1 (s^.(6-t)Ae(t"aí у(а)+

+ sfi(t-a)Ae""ce"a)^ (2I)

Если ice А неотрицателен,но не положительно определенный,то представление (20) для решения (15) глутрп (a,í) ,вообще гого-рл,не млеет места.В самом деле,тогда К. É ^ . a

значит,существует элемент he^ , fiё R(I-e"xtí*a>A) .Так как задача Дирихле у(а)=0 , y(é) = h дай рассматриваемого уравнения разрешима,то существует решение в (а,6) .непрерывное на замкнутом промежутке Ca,é] .принимающее На концах значения О и ¡х .Еслп бы оно допускало представление (20),то элементы |(> должны были бы принадлежать ^ ,а h = (I-е atf'A)A), что невозможно.

.Сднако ¿орг.улв (21) можно предать смысл л в ртом случае.

Действительно, фу, цшзл1

-^е-глсб-а) » * "-^е-ыа.о.)

обладают свойствами:

1) (О^С^А-) / I = 1,2 / мароморфны по А для каждого t 6 6 Сй,й] I: рашопорло ограничены на Са,63* Со,+<*>) ;

2) (О-(1 ,А) / I = 1,2 / бесконечно дифференцируемы по1 на [й,8] .причем Т> иНС^А? огра1П1чени по А 6 Со,+«0 при кадцом

фшсспооБа:;:;ои "¡;е(С1,$) ;

о} ТЬй^) = Аг(01а,А) / I = 1,2 /;

4) со, (а,А) = I , 10,(6,А) = о , СОг(а>А) = О , и)г(6,А) = I ;

5) аири-кеАК"в,^«ЛМ)1<«, \ир1Л-кеш-*)Й|

л

Поэтому для неотрицательного оператора А операторн (0,(4,А) и

в силу свойства 5) отобракапт С1ЧА) в п в ^._я<еА>(А) соответственно при любом достаточно матом 5>0 . Следовательно,вепторчТушсцпи СО,и,А) (. и / 01'(Л) /

при te (а,б] и -Ье Са,6) соответствешю принимают свои значения в ^ .В силу свойств 2) ,3) и 5) (0;а,А)£ /^еС1'(А)/ бесконечно дифхфоренцируемы в ^ в (а,в) и тан удовлетворяют (15). Благодаря свойству 4) 10,^,А) {£ , ^й , -Ь6 .в СЛ.'(А) .Все это дает возможность доказать такое утверждение.

Т о о р е и а 2.11 . Вектор-функция у ) яачяется реиениег/ внутри (а,6) уравнения (15) тогда и только тогда,когда

+ (Ога,А)дг (д^сгЧА)). (22)

Заме титл, что формула (22) устанавливает взаимно однозначное соответствие мезду С1'(А)* С1'(А) и множеством всех решс-ний (15) внутрн (а, 6) .По этой причине 01'(А) мо.тно считать глксималь-

ным пространством,естественным для постановки задачи Дирихле для урси 'еши (15).

Как для уравнения первого порядка,описываются пространст ва грант■ .ных значении гладких внутри (а, в) решений (15),соответствующие классам решений с определенным ростом вблизи грашь цы.По своим формулировкам относящиеся свда теоремы 2.12 - 2.15 почти идентичны соответствующим утверждениям из § 2 .Однако тех ничэская сторона доказательств сложнее в связи с другим видом представления. Она использует свойства обобщенных решений уравпе нин (15)»которые также изучаются в этом параграфе.Прл этом под обобщенным решением понимается векторкозначное распределение /линейное непрерывное отображение из С" (а,б-) в Чд. /ю .для которого

С СОСУ"), Ы - (и СУ), = о (V у е С~ (а,6), V к е С°°(А)).

Мнолсество таких решений обозначается 9У СФд,(а.,в)) .Нетрудно видеть,что всякое решение (15) внутри (а,6) является его обобщенным решением.

В работе рассматривается подмножество V/. А, (О., &)) с С С^,Са,6)) .являющееся пространством с негативной нормой, построенным по позитивному пространству уу>пСА,Са,6)) - замыканию ,\'УКеС00°(й,6),^ес0о(А)] по норме

= 11и11^С1Ъ'П<А),Са)6,)+ "^'"ц^дм»

- относительно |_а (^,№,4)) .Основной результат.касающийся

этого подкласса решений,состоит в том,что всякое обобщешюе решение уравнения (15) из УУ.^СА.Са.бУ) является гладким внутри С<Х, 6) /позже этот факт был установлен М.Л.Горбачуком и А.И. Кашпировским для всех обобщенных решений/ с граничными значениями из '(А)/1штерполяцией это распространяется на неце -лые т.-»О /.По этим граничны« значениям уС"Ь) однозначно вое -станавливается.Более того,для произвольных (^6 ^¿""ЧА) Ы*0) существует бесконечно дифференцируемое внутри Со., 6) решение, которое при подходе к концам О. и 6 стрештся в Фд'ЧА) соответственно к векторш,I и ^% .Тагам решением служит,очевидно ,вектор-функция у«:) = 10^,^)9,+ЮгС1:,А) .Определяется и скорость,с которой это решение стремится к свопы граничным

значениям.Здесь имеет место

Теорема 2.17 . Пусть y(t) - бесконечно дифферегщи -руемое в (01, в) решение уравнения (15) .удовлетворяющее условиям у.(а) , у (в) = 9г / ^еУд^А), eL>'0 /.Соотношения

4lt)-b\-+m =0«-а) (t*a)

• (JaJ

выполняются тогда и только тогда,когда (А) .Если

"yttj-gjl^^ = o(t-a) (t,a) =o(8-t) (t-8),

л

то у, иуг- собственные векторы оператора А с нулевым соб -ственным значением.

Заметим,что утверждение этой теоремы в частном случае гармонических в полосе функций при d = 0 принадлежит П.Бутцеру, В.Кобле и Р.Несселу.

В случае Q, = 0 , 8 =■* <*> показывается,что если обобщен- ■ ное решение (15) растет на + оо ,но не очень быстро /удовлетворяет оценке II y(t)II SC^e1* / Vc>О , Ct = const /.то оно од -нозначно восстанавливается по своему значегаш в нуле формулой у it) = е у(о) .которая для гармонических в полуплоскости функцнй превращается в извэстнузо формулу Цуассона.Оказывается, что нетривиальное решение Lj(t) не долкно и сильно убывать, а именно.имеет место утверждение: если при достаточно больших t

ily(t) II sc^e"** (Voi>o, ca = corut),

то у s О .

§ 4 состоит из подсекций а) и б) .В первой результаты предыдущего параграфа применяются к конкретной ситуации,когда i&j. = La( С0,2.51]) , А = D = УО* .где D1 - самосопряженный оператор, порожденный выражением -&г/6.хг и условиями у со) = = у (251) , у'(0) = .Уравнение (15) превращается тогда в

а его решите U(X,t) является -периодической по х гармо-иичоскок в верхней иол/плоскости функцией.Пространство ,

соотвзтствуэдэе функции G4A) ,в этом конкретном случае обо -зкачаэтся ( La.)& .

Устанавливается /теорема 2.18/,что пространство С1(0) в рассматриваемой ситуации совладает с множеством всех 2.ST -периодических функций t (х) »каздая из которых допускает lit -периодическое по X аналитическое продолжение £(ос+It) в некоторую

полоску it|<i такое,что

fXSi ,

sup J I 2(cc+Lt)| dx <«> •

liKi 0

Теорема 2.II и еыводы из нее показывают,что всякая 2,ic-периодическая по х гармоническая в верхней полуплоскости функция Ь1(Х,Т) всегда тлеет граничное значенио при приближении к веще -ственной оси в класса Cl'(D) 2. it -периодических гшер.Уушздп':. В зависимости от роста U-(X,t) при t-* 0+ это граничное значение описывается более точно в следующей теореме.

у е о р е м а 2.21 . Для (того чтобы граничное значение Uto;e) ■ Я 31 -периодической по х гармонической в верхней полуплоскости функции utx,t) при t0+ существовало в среднем квадра -тичном,необходимо и достаточно,чтобы

sap iaSiu(5c,t)lVx < С ( о < с = const); ItKi о

. u(a,0) является распределением тогда и только тогда,когда

sup |U(0C,t)| * ct"* эс 6t b,ia3

при некоторых С, Ы. > 0 .Более точно,

Cu(cct0) eW'^iCo,^])^ (]6 J4*tw"Vc*,t)l*cbtt<»)

* 0 5

/при некотором 6 »0 /.Граничное значение U.(X,D) является ультрараспределением порядка р = O/cj, / су > о / тппа Румьо /Борлинга/ тогда и только тогда,когда для лобого /некоторого) oL>0 существует постоянная С = С (°0 > 0 / 3 с > о / такая,что '

sub I U(x,t)j 4 cexbidt"*). асе b.arj г

Во всех оценках , t достаточно мало.

В подсекция б) результаты § 3 реализуются при ^ = Li(R'), А = D = VD* ,гдз Da - самосоп;яяош:;;й олегрпз" о.язггпа -щшся замыканием в Lx(R1) оператора £(х)-»-с1.г£ (х)/с{хг с кно.-е-ства ( R1) финитных бесконечно дифференцируем!« функций. Тогда уравнение (15) превращается в уравнение Далласа Ди. = 0 , а его решение внутри (0, + оо) - гармоническая в по.-^плоскостл Ь > 0 Футпарк,;штегрируемая о квадратом по прягкп,параллель -ным вещественной оси.Дшт: такой оункцил.как слезет из теорсглн 2.II .всегда существует граничное значешге в пространстве СЛ.'(О) коаналитлчесюк векторов оператора дифференцировать D .При этом устанавливается,что C1CD) состоит из тех и только тех Функции £(i) / Xе R' /.которые допускает аналитическое продолжение fcx+it") в некоторуи полоску It I < <? /завнсящуы от | /, интегрируемое с квадратом по прямым,параллельным вещественной оси, и такое,что

оо

sap J I £(х+ i.t)l*dx = c<°o . iti<5

Если |e (L^j <e*>(D) ,то

" ^ "cia),<e*>(0) - »«P/Iliixntil^

Заметим еще,что пространство Ot(O) имеет кольцевую структуру.

Подобно тому,как это сделано в подсекши! а).дается более точная характеристика грашпшьх значений;" гармонических в полуплоскости t > О функций U(x,t) .принадлежащих LX(R') при кан-догл фгахированном t ,в зависимости от их поведения при t-»0t . Выписывается условия,необходимые и достаточные для того,чтобы функция U(x,0) принадлежла La (R') .отрицательному соболев-сксму пространству W^"* ( R') / <¿>0 /,была гиперфункцией .

ультрараспределением и т.п..В частности,на этом пути получаются известные результаты Г.Тнльмана и Б. С. Владимирова.

Теория граничных значений гармонических в полуплоскости фушецип,интегрируемых с квадратом по прямил,параллельным веще -ствсннои осп,позволяет развить операционное исчисление для некоторых классов песшсосопргпсешшх операторов на шо.тсстбо .{улгадей, более анроком по сравнению о традиционным;.Пояснил это.

Если Т - ограниченный оператор в , Яг(Т) - его ре -золъвента, Г - спрямляемая жорданова граница области Ц .содержащей спектр Т |то,как известно,формула

' fiT) = _sk Jrfie)RsCT)di

задает операционное исчисление на классе 3"(Т) аналитических в U. U Г функций ¡Iii) .Хорошо известно также,как строить с помощью разложения единицы почти вскщу конечные функции от самосопряженного оператора.

Операционное исчисление для несамосопряженных операторов со спектром на вещественной оси и резольвентой,которая при приближении к спектру имеет степенной порядок роста,для п раз непрерывно дифференцируемых на спектре функций / п зависит от порядка роста/ строилось в работах Ф.Волъфа,Ю.М.Березанского,В.Я.Вол-ка .С.Фояша. Если резольвента имеет экспоненциальный рост при подходе к спектру,то для бесконечно дифференцируег.шк функций класса Невре оно было развито в случае ограниченного Т Дд. Чи -оранеску.

В § 5 показывается,как на основании теории граничных значений гармонических в верхней полуплоскости функций можно строить операционное исчисление для,вообще говоря,неограниченных операторов в ^ оо спектром на вещественной оси,резольвента которых имеет при подходе к спектру рост,регулируемый более-менее произвольной функцией V(t) .При этом класс функции .пригодный для построения исчисления,определяется fit) .Именно,предполагается, что „

J URetit(T)glld« «r'ÜtOllgll1 (Vge4>g,t#o), (23)

где У (t) >0 - непрерывная на ( 0, i ] функция.Такая оценка сУШ= t/31 тлеет место,например,в случае самосопряженного Т .Устанавливается сперва,что если f е OL(D) ,то отображение

^fujR^TJgcii (ge-ty, (24)

где Г£ - граница полоски ItUe ,в которую |?(х) допускает аналитическое "продолжение,является гомоморфизмом алгебры CTCD) в некоторую алгебру ограниченных операторов в ^ .Это отображение непрерывно в том смысле,что если ^ в ОТ.С0) ,то

в равномерной операторной топологии.

Однако формулу (24) мояно записать в другом виде.Поскольку действительная и мнимая части аналитической в верхней и нгаашй полуплоскостях функции ,кал показано в предтуцем

параграфе,имеют граничные значения при 0» в пространстве (Л'Сй) ,тоеип. <Л'(0) .Полояим

Учитывая,что для (71(0) Се) £(х) / е-» 0 /в СЛ. С 0) ,

перейдем в форлуле (24) к пределу при Е.-»0 »после чего ее г.кп-но записать в виде

и<Т)9Л>*(К,л.?>111С||., ; (25) /выражение справа понимается как действие функционала Я^С й'Ф) на элемент осношого пространства 01(13) /.Если теперь в оценке (23) интегрируема на (0» 8) ,то вырачоние имеет смысл и в том случае »когда (1г)ф(Р) »где 6(А) = (5е ¿Таким образом,с помощью (24) строится ^(Т)

длн ^е(1-г)в([)) .При этом выполняются все требования операционного исчисления.

Если У({:) = /об»-^ /,т.е. резольвента оператораТ

тлеет степенной рост при приближении к спектру,то (1-а)ф (р) = = V/* ((V) .и операционное исчисление распространяется на функции из соболевского пространства .

Предположим теперь,что

ЭоОО.ЗОО (УсОО 3 С- С(о4)>0) •'

г, г №

V А. е Ш^СТШ с£х Й сУ*'(ыШ) ШГ,

, где удовлетворяет условиш.1 1в,2®/после формулировки теоремы 2.6 / и

3° Г+оо / Ь^ + оо /.

В этом случае резольвента Т при подходе к спектру имеет рост выше степенного.Согласно теореме 2.23 граничные значения при

Функций (Кзс^д.М принадлежат (1я){'в)(0) ((ЬО'^СИ), т.е. £^6(1^)^(0) /Я (Ц^Р)/.Доказывается,что прост-

ргшства (1^)^(0) и С являются топологическими алге-

брами относительно обычного умножения.

Теорема 2.26 . Отображение .определяемое

формулой (24) .осуществляет гомоморфизм алгебры С0) /(1-г)(й) ( 0) / на некоторую алгебру ограниченных операторов Это отображение непрерывно в том смысле,что если {! (п-»*1») в С1х)4е,Ср> /(1а)(&)(Й) /,то !Л(Т) •* |(Т) в равномерной операторной топологии.

Если У.фигурирующая в оценке (26) .удовлетворяет условию Левинеона

• 5 2а (- Еп.У(Шси<°о /0<<У достаточно мало/, о

то класс (й) неквазианалитичен.т.е. для любого локально

коночного покрытия существует разбиение единицы уушециями из этого класса.Будем говорить,что функционал р сосредоточен в замкнутом множестве Л ,если для любой функции рашой нулю в какой-либо окрестности Ы множества Л)1гСд.) с 0 .Показывается,что функционал ,о котором шла речь выше, сосредоточен в спектре оператора Т .

В главе Ш рассматривается уравнение вида

г1 уи(г) + агу'сг)-Агу(г)« о (?7)

(г„<г<г,, о « г0< г^-^а-солвО,

где А > 0 - самосопряженный оператор с дискретным спектром в гильбертовом пространстве .Оно отличается от уравнений предыдущей главы тем,что имеет особенность в нуле,а потому имеет свот специфику при изучении граничных значений решений внутри (То,Чч) .Кроме того,целесообразность его рассмотрения дикту -ется тем,что при О, К-< и Аг = - Д .где -Д1в - оператор Лапласа-Бельтрами на сфере,оно превращается в уравнение Лапласа в п. -мерном шаровом слое.

В § I дается общий вид гладких решений урашешш

(27),на основании чего делается вывод о его граничных значениях "в точках 1-ь и Т., .Именно,пусть - ортонормированный ■

базис в ^ .состоящий из собственных векторов А , -

неубывающая „последовательность соответствующих собственных чи-

. р

сел и Т_ А, <®о при каком-либо р>0 .Тогда нмс.:¡r место

кТХк»о к 1

такая теорэма.

Теорема 3.1. Вектор-функция у (г) : (."¡¡,,1,) -> JKA1) яаотется гладким в (1„,Ti)/0< Хв<1,<оа / решением уравнения .(27) тогда и только тогда,когда

v /х Л^-ь+^К £ {г

^-ЪУО íkek*kE(y (28)

где _

I = 1Ле* е сь'(А), g-kg^eCTO,

Ct'CAWf IV«¿>o 3с= c(o¿}>0: се'Дк Jk=a,eK)3

при условии,что ф. О .Если же juk =0 / к = 1,2«..., m /, то в представлении (28) во второй сумма на первых m местах следует заменить ( на in\e .

На основании этой теоремы доказывается принадлежность граничных значений у(1) к пространству С1ЧА) коаналитлческих векторов оператора А и однозначная разрешимость задачи Дирихле дли (27) на (Т.0,1,) / 0 < 1„ < 1,<°° /.состоящей в отыскании гладкого в (T.0lTt) решения этого уравнения,удовлетворяющего краевым условиям 1^(1,)= у (г) =U . у (До) = iim у (г) =

= V /пределы берутся в смысле (ХЧА) /.

В случае,когда Х0 = 0 /без ограничения общности модно считать t, = I /.теорема 3.1 такзе верна,однако в представлении (28),которое теперь приобретает вид

<э,А>(29>

вектор у =Е укек является целым для оператора А :

у е Oic(A) = {у |Vo¿>o Эс*сW)>o: Igjsce

Этот вектор :ло;;:ет быть экспоненциального типа,т.е. принадле -

- "Л

:;лть белее узкому пространству £хрд^ = I = уке„. при некотором т. £ Л/ ] .По это возможно лишь при условии

3oL>0, 3c»o ; иу(г)1| i(о<г<0- (за)

Вектор ф исчезает из представления (29),и это представление превращается в

уа) »£ x4(,"atJUk) (f е Ol'(A)) (3D

тогда и только тогда,когда в оценке (30) d< ^(а- 1+jii,).

При ju, в 0 утвервдение справедливо,если шеото (30) взять

II у со И < , Voo.

Что же касается разрешимости задачи Дирихле на (0,1) ,то здесь имеет место

Следствие 3.4 . Однородная задача Дирихле y(i)= 0 для уравнения (27) на (О,О разрешила и всякое ее решение имеет вид , , ,

jW^t'^i^JlA ((есцм))

Если решение ограничено в окрестности нуля,то оно тождественно равно 0 .

В классе ограниченных вблизи нуля вектор-функций решение неоднородной задачи уи) = (е Cl4A) единственно и имеет вод (31),

Справедливо также следующее утверждение,обобщающее теорему о центральном продолжении гармонической функции /теорема 3.5/: пусть у(Х) - Гладкое в (0»О решение уравнения (27);оно может быть продолжено до гладкого в (0,R) , R>1 .решения тогда и только тогда,когда в представлении (29)

Vxe(o,R) «сг** - се (с=ссг) = const)

при достаточно больших к .Отсвда следует,что гладкое в (о,О решение уравнения (27) допускает продолжение до решения,гладкого на полуоси (0,4во"),тогда и только .тогда,когда вектор £ в представлении (29) целый.Принимая во внимание (30),приходим к заключению,сформулированному в.виде следствия.

Следотвие 3.6 . Вектор-функция у (X) является глад-

кпм в (О.+оо) решением уравнения (27) тогда и только тогда,когда она представила в виде (29) с целыми векторами Рид. Для y.(Tl эквивалентны следующие утверадения:

1) 3ot>o:llуШII«coaat-г*" при малых г>0 , 3ai'>o : Л у Сг) II s const • тГ*" при больших г ;

2) в представлении (29) СхрдЧ'д .

Если у (г) ограничена на (.0, + °°) ,то у(г) з 0 .

Следующий результат касается отожествления пространства

У^ = { у(г) - гладкое в (0,+оо) непрерывное на С0,+ оо) решение (27) :

оо

II у II £ = Jo и усх> iixju<T>d.z э,

где ju(l) : (0,+оо)-»(0,-юо) - измеримая по Лебегу весовая функция такая,что

' оо

J гк ju(x)dt <оо (Укел/),

с пространством ^^СА") .где

GCA) = ( 1 t1'***1* ju(DdifX.

Именно,

( у 6 Ум) (в представлении (31) | е

5 2 посвящен изучению непрерывных в нуле гладких в С о, 1) решений уравнения (27) при Т-» \ .Kai: уже говорилось, Ol'(A) -канетнлышй класс краевых данных,естественный для постановки задачи Дирихле для этого уравнения: узе тот факт,что у(1) -непрерывное в точко 0 гладкое в (О,О решение (27).автоматически влечет принадлежность у (1)6 СЛ.'(Л) • у (О может быть и луч-шшл.Это зависит от поведения y(t) при приближении к t = I . В параграфе дет&тыго описывается зависимость "гладкости" элемента у О) € СТ.'(А) от роста у CD в окрестности единицы.Этот рост улавливается некоторой функцией YCU/y(0 = о /.Оказывается, что

(fe CVoi>0 ic»c(ei)>0:||yu)lla4cf et"));,

(^еС^Ш)« (Эо*>0, Зс>о : IIусг)|1Ч сГЧг*)).

При этом / Т.-» 1 /в соответствующих пространствах.

В частности,степенной и экспоненциальный рост решения в окрестности единицы влекут пршщдлеглость его гршшчного значения соответственно к аналогам распределений и абстрактным классам 1£ев-ро сообщенных элементов.

Цусть теперь ¡в- - произвольное банахово пространство,

а (А) с Л с 01'(А) , ОйА1 = ЗЬ-,

и указанные вяоаения непрерывны.В пространстве ф'(А) абстрактных рядов Фурье по базису {определил оператор

Этот оператор непрерывен в 9 '(А) .Его сужение А Ъ- на -плотно заданный замкнутый оператор в .

Теорема Э.8 . Для того чтобы задача Дирихле для уравнения (27) была разрешима в пространство .необходимо и достаточно .чтобы оператор — Д Ь был генератором полугруппы класса С0 .В последнем случае А = А ^(А^ .

В третьем параграфе детально обсуадается.что дают предыдущие результаты для важного в математической физике объекта - гарло-иической в шаровом слое,в частности,в единичном шаре функции.

Пусть Л - открытая область в .После перехода к сферическим координатам 1, 6,,..., 6ПЧ для оператора Лапласа Д и оператора орбитального углового момента Ц1 получаем выражения

,г . Ъги _<_ .

п-»

(32;

+ I. Ог-к-П —

51аге,... З(.цгекн Т>6К

Здесь -Д1_6. - оператор «Еаштса-Бельтрами.

Полошил 5= (хе (?|г,4 |х|=11 .Точки на Б обозначается

через Г,,У1 и т.п..Обычно медцу хе R,l и з" ' имеется соотношение х = Х)^ с т =1х| .Аналогично, если функцпп и<"х) определена на области Л о то ЩС) - ограничение и(х) .

Обозначим через множество всех однородных гармонических полиномов р (ос) степени т. /т. =0,1,.../а переменных,а через - множество ограничений р($) многочленов р(эс) ;;з . Элементы и Н ^ называются соответственно пространстиешш-

ми и сферическими гармониками степени Иг размерпостп п. .Пространства. конечномерны,попарно ортогональны и

к«"-'-®.

Они являются собственными для положительного самосопряженного оператора Лапласа-Бельтрами на сфере -Д,_в - замыкания в^(Б'1"') оператора,заданного с помощью выражения -йщ на дважды непрерыс-но дифференцируемых на Б'1*' Фушсцпях, - соотвятствумгтагл ообст -вошгш значешст: А^ = т(т+и-а) .Базис в Ь^О*') »составлен-ней из сферэтеских гармоник - собственных векторов онератора-Д^ - обозначит,! .Пусть Рт : сР'(А)-»Нт. - проектор пз про-

странства <Р'(А) формальных разложений по на Н™ .Про-

странство 01' (У-Д^) называется пространством гиперфункций на сфере З4"' -Это название соответствует понятию "пространство гиперфункций на многообразии".

Равенство (32) показывает,что уравкенпе

1г А и = О

записывается в Бщ;е (27) с А = • <Х = 1т.-1 .Нетрудно

также пдеть.что если функция Щх) является гармонической в паровом слоо {х | 10< |х|<1,1 ,то вектор-пункция у(г) = и(х) = = ШгО со значениями в^ = 1гСЭ^1'1) - гладкое в ре-

шрчтте уравнения

Учитывая,что в рассматриваемой ситуации =2.-к-(г,

а ^ (= к ,прцдем к утверждениям,которые собраны в следующей теореме.

Т е о о о м а 3.10. Пусть - гиперфункция на едиягчноП сфере и (Р ее проекты на И^ .Тогда:

а) Ряд

u(x)* Е %m(Pmf)U) (х-г^ио (33) m.» о

сходится разномерно на паре {х I lx|J для кавдого ç < 1 . Его суыгл U(x) является гармонической функцией внутри едшпгч-ного шара,при этом Ux(»;) = U(1Ç)-*|(Ç) , Т-И ,в простран -стве гиперфункций.Обратно,всякая гармоническая в единичном шаре функция и (ос) допускает представление (33).

б) Существует единственная функщи U.CX) .гармоническая внутри единичного шара,имеющая своим граничным значением £(Ç) .

в) Гармоническая внутри единичного шара функция U(X) может быть продолжена на все пространство Ra тогда и только тогда, когда Je Otc(\fàLB) .

г) Если ju. ! с 0,-»«»)-*(0,-к») - измеримая по Лебегу весовая функция со СЕОЙСТВОЫ

j га1с+1г*< M.(t)d.t <оо ( Vk е л/) о '

то для гармонической в R функции U(ac) выполняется соотношение эквивалентности

( J I U(X)|> (1*1)dx <co)**(fe(f К 1^4

где'уд. = G(VkTk+fv-ï) . +

.0

Утверждение г) теоремы в более частной ситуации,когда f (Ç)e € L^S*1"1) .принадлежит Лю Гуи-Зонгу.Заметим еще,что из общих результатов предыдущего параграфа можно получить соответствующие теоремы о существовании граничных значений гармонических в и-мерном шаре функций в различных пространствах основных и обобщенных функций в зависимости от поведения ПЦгШН^-г^ири ï-> \ , которые при h. = 2 переходят в классические теоремы Ф.Рисса о сущоствовании граничного значения гармонической в круге функщш в пространстве La « Г.Кёте - в классе распределений,Г.Комацу -в пространстве ультрараспределений Кевре.

Разложения iio сферичешсим гар.юникам,шш,что то же самое, ряды йурье-Лагиаса

т m»o ksi к к

являются одним из обобщений на многомерный случай тригонометрических рядов Оурье.Поскольку они представляют важный аппарат для решения задач математической физики,проблемы сходимости и суггль руемости таких рядов,как и аналогичные вопросы для тригонометрических рядов,изучались многпмп авторами.Если в классической теории рассматриваются ряды Фурье-Лапласа с ограниченными коэффициентами,то в рамках теории обобщенных функций,как показывают рассмотрения § 5 главы I ,в предположении,что M'g = LaCS""1), А -= V^LB /следовательно, Ak = Vk(k«n-i) / вполне конкретный смысл приобретают ряды сферических функций с неограниченно рас -тущими коэффициентами.Так,из следствия 1.4 вытекают соотношения эквивалентности

Ц - распределение на S*1*' ) ( ЗЫ>0, 3с>0 : *ck*))

С £ - ультрараспределенпе класса Еевре порядка р > О

типа Румье <w (V<*>d 3 С*С(Ы)>0 ' l£kl «Св ), типа Бёрлинга «ф (3<*>0 j 3с>0 i I £„1 * се'44^ )).

Согласно теореме 3.10 ,ряды сферических г.армонпк, коэффлциен-ты которых растут экспоненциально,можно штерпретировать как ря-' ды Фурье-Лапласа гиперфункций,являющихся,в свою очередь,гршшч -ными значениями гармонических в единичном иаре функций.Очевидно, что если система {е k ] образует базис в функциональном банаховом пространстве Чу - и только в этом случае - ряд фурье-Лап -ласа произвольного элемента ^ в сходится к нему в Ъ- .Однако расходяцпйся ряд мо;шо суммировать другими способами.Одним из них есть метод Абеля-Пуассона.

Назовем преобразованием Абеля элемента £ = 71 -

оо t K«t К *

Т. Pm I 6 Т (v-fl.J вектор-функцию

rrl=0 LB go

и будем говопить,что заданный ряд суммируется к f методом АОе-ля-Дуассона,еслн ^¿(Х) f , Х^ -I ,в топологии этого прост--ранства.Теорема 3.10 показывает,что если £ - гиперфункция,то ^дСх) - гармоническая внутри единичного .шара функция и (л(г)->{! / X"» 1 / в пространстве гиперфункций.Аналогичная ситуация

имеет место и для функций из 11(5Г1"1),из У-Д^ /распределений/, из пространств С ' »включая классы 14звре обоб -щенных функций,и др. Ряды $урье-Дадласа для таких функций суммируются методом Абеля-Пуассона в топологиях этих пространств. Для банахова пространства_ : ОЦУ-Д^с Ь-с (ХХУ-Ь^) шлеет место такое утверздение;для того чтобы ряд Фурье-Лапласа произвольного элемента е 1С»- суммировался к нему методом Абеля-Пуассона в .необхсдшо и достаточно,чтобы оператор - ,где = , |>е V'С.генерировал в полугруппу

¡сласса С0- .Кз этого утвервдения.в частности,получаются известные результаты о оуммируемости по Абелю-Пуассону в равномерной топологии рядов Сурье непрерывных -периодических функций, функций из 1_р(5М и других функциональных пространств.

Рассмотрен также вопрос о локальной сходимости метода Абеля-Пуассона.Показывается,что известный принцип локализации рядов Фурье,состоящий в том,что если ^е [ОДЯ]) обращается в-нуль на (а,4)с Со, 151;] ,то ее ряд Фурье сходится к 1г/ла равномерно на кадо.м отрезке Са.|,6(]с(й,в) .мояно распространить вплоть до гиперЪушсций /теорема 3.12/,если суилировать ряды методом Абеля-Пуассона.Ваметпм»что для обычной суммируемости рядов Фурье принцип локализации несправедлив даче для распределений.Например, 8 -функция Дирака обращается в нуль на любом интервале,не со -дерхащем нуля¿а ее ряд Фурье ¿Г е не сходится к нулю равномерно ни на каком отрезке из этого интервала.Позже пршцип локализации длч других методов суммирования рядов Фурье обобщенных функций был рассмотрен в кандидатской диссертации И.Г.Извекова.

Основные положений диосертации опубликованы в следующих работах!

1. Горбачук В.И. 0 граничных значениях обобщенных решений однородного уравнения Штурма-Лиушшя 'в пространстве вектор-функций //'Матем. заметки. - 1975. - Т. 18, вып.2. - С. 243-252.

2. Горбачук В.И* Об асимптотике собственных значений гршшчннх задач для дифференциальных уравнений в пространстве вектор-функций // Укр.маТ.журн. - 1975. - Т. 27,К 5. - С. 657-664.

3. Горбачук В.И. .Горбачук М.Л. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений // Мат.сб.-1977. - Т. 102,И I. - С. 124-150.

4. Горбачук В.И. .Горбачук И.Л. О задаче Дирихле для операторного уравнегаи Штурма-Лиувилля // Матем. заметки. - 1978. -Т. 24 .еш1.6 . - С. 801-807.

5. Горбачук В.Л..Федорова Л.Б. Об операционном исчислении для некоторых классов несамосопрягенных операторов // Укр.мат. ;хурн. - 1979. - Т. 31,й 2. - С. 123-131.

6. Горбачук В.1. Про граничн1 задач1 для ел1птичних диферэнц1-альних р1внянь // Доп. АН УРСР.Сер.А. - 1981,№ I. - С.7-11.

7. Горбачук В.И..Горбачук М.Л. Тригонометрические ряды и обобщенные периодические функции // ДЛИ СССР. - 1981. - Т.257, й4. - С. 799-304.

8. Горбачук В.И. О граничных значениях гладких решений дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами // Обобщенные функции и их применение в математической физике.Тр. мездун. конф. - М.:ШАН,ВЦ АН СССР,1981. - С. 171-177.

9. Горбачук В.И. О рядах £урье периодических ультрараспределений // Укр. мат. яурн. - 1982. - Т.34, гё 2. - С. 144-150.

10. Горбачук В.И. О пространствах бесконечно дифференцируемых векторов неотрицательного самосопряженного оператора // Там ж. - 1983. - Т. 35,!' 5. - С. 617-621.

11. Горбачук В.И.,Горбачук М.Л. Тригонометрические ряды и некоторые задачи математической физики // Общая теория граничных задач. Тр. конф. памяти Ю.Б.Лопатинского /ГДукачево, 1981/. - Кисв:Наукова думка,1983. - С. 65-73.

12. Горбачук В.И. .Горбачук И.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений. - КиевгНаукова думка,1984. -207 с.

13. ¿и^ачук В.И. О разрешимости задачи Дирихле для дкфференци-ально-оиераторного уравнения второго порядка в различных пространствах // Прямые и обратные задачи спектральной теории дифференциальных операторов. - Киев:Ин-т математики АН УССР,1985. - С. 7-22.

14. Горбачук В.И. О сходимости радов Фурье в различных массах обобщенных функций //PuiUcaiions tncUhtrnatCca&.~Deiucmi3iut.

0{ tAath. f UnLwultyof.Ddwtn.. - 1986. - T.33. - С.172-174.

15. Горбачук В.И. О суммируемости спектральных разложений дифференциальных операторов // У1.И. - 1986. - Т.41,внп.4. -С. 20.-204.

16. Горбачук В.И. О суммируемости разложений по собственным функциям самосопряженных операторов // ДАН СССР. - 1987. -Т. 292, й I. - С. 20-25.

17. Горбачук В.И. Классы бесконечно дифференцируемых векторов и их применение к исследованию решений дифференциальных уравнений // Нелинейные задачи математической физики. -Донецк: ИПШ АН УССР,1987. - 0. 32.

18. Горбачук В.И.»Князак A.B. Граничные значения решений дифференциально-операторных уравнений. - УМН. - 1989. - Т. 44,

й 3. - 0. 55-91 .

•19. G oiSctchuk V.Ii, Kau ал у ик А. V. Во undaiy. vatuei о\ i ctuiioni oj-opitatifdiffiuntiat tquaUcn) II RuaLan. ma£h. ¡ихщ!.~ 1989. -V. 44:3. - Р. 67-III.

20. Горбачук В.И. Теоремы Tirna В1шера-Пэли для нормального оператора и их применение // Нелинейные граничные задачи, 2. -Киев:НаукоЬа душа,1990. - 0. 19-25,

21. Горбачук В.И. 0 граничных значениях гармонических в шаре функций // ЛИ. - 1990. - Т. 45, вып. 4. - С. 112.

22. Goxiachuk j Goit&chuk M.L. Boundaxu vaiut pv&ltmi

fot opcUlbx-dif(e%cn.iidC eq^ationj. - Douhccfd (Boitin) London. : Ktuwvl rtcaa< PuSi, - 1991. - 347 p.

23. Горбачук В.И. Граничные значения решений дифференциально-операторного уравнения второго порядка //Тезисы докл. УШ респ. конф."Нелинейные задачи математической физшси и задачи со свободной границей. - Донецк ППШ АН УССРД991. -

С, 35.