Группа Лоренца и двойные симметрии в теории поля и физике частиц тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Сладь, Леонид Максимович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2010
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА
Научно-исследовательский институт ядерной физики имени Д.В. Скобельцын"
4856517
¿СиЛЛТ.
Сладь Леонид Максимович
ГРУППА ЛОРЕНЦА И ДВОЙНЫЕ СИММЕТРИИ В ТЕОРИИ ПОЛЯ И ФИЗИКЕ ЧАСТИЦ
Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
о з Г.;.:'? 2077
Москва 2010
4856517
Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова .
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор
В.А. Андрианов (Санкт-Петербургский государственный университет)
доктор физико-математических наук, профессор
В.И. Манько (Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН)
доктор физико-математических наук, профессор
Р.Н. Фаустов (Вычислительный центр им. A.A. Дородницына РАН)
Ведущая организация:
Государственный научный центр Российской Федерации - Институт физики высоких энергий (г. Протвино Московской области)
Защита состоится 24 марта 2011 г. в 15 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, дом 1, строение 2, физический факультет, Северная физическая аудитория.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова.
Автореферат разослан "iiVl^l-l^L 201/ г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Различие между протоном и электроном, получившее свое первое свидетельство в результате измерения Штерном магнитного момента протона, окончательно утвердилось после опытов Хофштадтера по упругому рассеянию электронов на протонах и экспериментального наблюдения большого числа нуклонных резонансов со всеми полуцелыми спинами вплоть до 13/2. Это различие может означать как наличие у протона внутренней структуры в противовес точечности электрона, так и неправомочность описания протона дираковским представлением собственной группы Лоренца, успешно сопоставляемым электрону. И то, и другое несет значительные неопределенности для своего теоретического воплощения. По сути перед теорией поля поставлена достаточно общая задача нахождения приемлемого релятивистски-инвариантного описания частиц с бесконечным числом степеней свободы. Сложившаяся кварк-глюонная модель адронов, опирающаяся на квантовую хромодинамику, сама по себе не дает никакого уравнения для поля протона и его резонансов.
Первая попытка решения названной задачи была предпринята B.J1. Гинзбургом и И.Е. Таммом и основывалась на билокальных уравнениях. Она оказалась неудачной, так как с ростом до бесконечности некоторого квантового числа, характеризующего состояния, массы стремятся к нулю. В последующем к такому же заключению относительно спектров масс пришли в своих анализах отдельных билокальных уравнений X. Юкава, Ю.М. Широков, М.А. Марков.
Чтобы выяснить степень общности результата Гинзбурга и Тамма, И.М. Гельфанд и A.M. Яглом дали полное описание всех линейных релятивистски-инвариантных уравнений и соответствующих им лагранжианов. Заключение Гельфанда и Яглома с последующими уточнениями A.A. Комара и JI.M. Сладя касалось только полей класса FSIIR, которые преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в конечную прямую сумму бесконечномерных неприводимых представлений. Оно гласит, что спектры масс теории свободных полей класса FSIIR всегда имеют точку сгущения в нуле. Вместе с тем обширные области классической теории поля долгое время оставались не затронутыми каким-либо анализом. Так, до недавних пор не было никаких исследований теории полей класса ISFIR, которые преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в бесконечную прямую сумму конечномер-
ных неприводимых представлений. Причиной тому, помимо математической сложности возникающих задач, служит бесконечное количество произвольных констант в релятивистски-инвариантных лагранжианах полей такого класса. Устранение этого произвола, ведущее к построению приемлемой для физики частиц теории бесконечнокомпонентных полей класса FSIIR, обсуждаемое в диссертации, является безусловно, одной из актуальных проблем теоретической физики.
Другая актуальная проблема теоретической физики, исследование которой в диссертации по своим методам и следствиям тесно переплетено с исследованием теории бесконечнокомпонентных полей, возникла вследствие серии уникальных экспериментов по упругому рассеянию электронов на протонах, поставленных в 2000-ые годы в лаборатории имени Джефер-сона. Результаты относительно значений отношения R электрического и магнитного формфакторов, полученные в поляризационных и неполяризационных экспериментах оказались в серьезном противоречии между собой. Вновь вычисленные радиационные поправки к характеристикам упругого ер-рассеяния, согласно доминирующему мнению, могут несколько уменьшить расхождение в значениях величины R, но не устранить его. Нами было предложено подвергнуть тщательному анализу теоретические предположения и модели, используемые по ходу получения окончательных результатов в экспериментах по упругому рассеянию электронов на протонах. Такой анализ на строгом и самом общем уровне выполнен в диссертации в отношении формул Розенблюта, Ахиезера-Рекало и Баргманна-Мишеля-Телегди.
Еще одной актуальной теоретической проблемой, решить которую, как показано в диссертации, можно в теоретико-групповом единстве с построением приемлемой теории полей класса IS FIR, является логически мотивированная природа нарушения пространственной четности, наблюдаемого в слабых взаимодействиях. Изначальное отсутствие Р-инвариантности в модели электрослабого взаимодействия Вайнберга-Салама не имеет никакого объяснения в рамках свойств физического пространства-времени. В лево-право симметричной модели электрослабого взаимодействия ни для какого поля нет рассмотрения его трансформационных свойств относительно пространственного отражения Р. Устранение этого пробела влечет за собой замечательные следствия.
Цель диссертации. Главная цель диссертации состоит в исследовании возможности построения теории полей класса ISFIR с двойной симметрией и модели электрослабого взаимодействия с иначальной Р-инвариантнос-
тью, приемлемых для физики частиц, а также в строгом анализе теоретических основ экспериментов по упругому рассеянию электронов на протонах. Целью работы является также введение теоретико-группового понятия двойной симметрии как эффективного механизма отбора представлений группы первичной симметрии <_? и максимального устранения произвола в теории, допускаемого инвариантностью относительно группы (?.
Научная новизна.
В диссертации введен и строго оперелен новый теоретико-групповой подход к построению теории поля - требование ее двойной симметрии.
Опираясь на это требование, впервые в мировой литературе проведен ряд исследований теории полей класса КПИ, которые преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в бесконечную прямую сумму конечномерных неприводимых представлений. Во-первых, найдены все варианты теории таких полей, обладающей помимо релятивистской инвариантности (первичной симметрии) также инвариантностью относительно преобразований вторичной симметрии, порождаемой полярным или аксиальным 4-векторным представлением ортохронной группы Лоренца. Во-вторых, доказано существование нетривиального лагранжиана фермион-бозонного взаимодействия с двойной симметрией и получено вытекающее из него изменение массового оператора в лагранжиане свободного фермионного поля, обусловленное спонтанным нарушением вторичной симметрии. В-третьих, установлено, что построенная теория полей класса КИК с двойной симметрией обладает замечательными, с точки зрения экспериментальной физики адронов, спектрами масс.
Проведен новый строгий анализ на достаточно общих основаниях степени обоснованности ряда формул, используемых при обработке экспериментов по упругому рассеянию электронов на протонах.
Впервые получено логически последовательное заключение о том, что физический вакуум не обладает определенной Р-четностью, а поля всех массивных калибровочных бозонов являют собой суперпозицию полярных и аксиальных 4-векторов ортохронной группы Лоренца.
Научная и практическая значимость работы.
Сформулированное понятие двойной симметрии может найти применение как в различных разделах ядерной физики, так и в физике конденсированных состояний.
Полученные результаты в ранее не исследовавшейся области теории поля могут привести к расширению теоретических основ физики частиц и к более тщательному анализу ряда сторон выполняемых и готовящихся
экспериментов.
Предложенная модель электрослабого взаимодействия с двойной симметрии может использоваться в учебных курсах по фундаментальным взаимодействиям.
Достоверность полученных результатов.
Все результаты получены на основе математически точных условий, налагаемых на рассматриваемую теорию, и на последующих общепринятых логических рассуждениях. Из-за высокой симметрии теории возникает ряд ожидаемых простых следствий, выполнение которых легко проверяется.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации опубликованы в ведущих российских и зарубежных научных журналах. Различные разделы диссертации докладывались на семинарах Научно-исследовательского института ядерной физики МГУ, Физического института им. П.Н. Лебедева РАН, Института ядерных исследований РАН, Института теоретической и экспериментальной физики, Института теоретической физики HAH Украины, Института математики HAH Украины, на научных конференциях Отделения ядерной физики РАН, на международных семинарах "Теоретико-групповые методы в физике" (Звенигород, 1982; Юрмала, 1985), на международном семинаре "Релятивистская ядерная физика и квантовая хромодинамика" (Дубна, 1992), на международных конференциях "Симметрии в нелинейной математической физике" (Киев, 2003; Киев, 2005).
Публикации и личный вклад автора.
Вошедшие в диссертацию результаты опубликованы в работах [1]-[14]. Все результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы. Материал изложен на 168 страницах, включает 8 рисунков, 2 таблицы, содержит 120 библиографических ссылок.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы и приводится план диссертации.
В главе 1 вводится понятие двойной симметрии, включающей в себя первичную и вторичную симметрию, и дается качественная характеристика и строгое определение этим симметриям. Преобразования первичной симметрии задаются любой глобальной группой G. Группа вторичной симметрии Нт порождается глобальными или локальными преобразованиями,
параметры которых принадлежат пространству представления Т группы б, а ее преобразования не нарушают первичной симметрии. Одно из двух определений формулируется следующим образом:
Определение 1. Предположим, что имеется группа симметрии С некоторой полевой теории и два ее представления Т и 5. Пусть в = {0а} является некоторым вектором в пространстве представленя Т, Ф(я) является любым полевым вектором в пространстве представления 5 и пусть Ба являются такими операторами, что поле полученное преобразованием
снова принадлежит пространству представления 5, т.е. для любого д Е С
Тогда преобразования (1) и их произведения будут называться глобальными преобразованиями вторичной симметрии, порождаемыми представлением Т группы (7.
Группа двойной симметрии являет собою полупрямое произведение групп (3 и Нт-
Описаны два подхода к построению теорий с двойной симметрии. Обращено внимание на существующие симметрии, которые подпадают под сформулированное определение двойных симметрий: на суперсимметрию, симметрию ¿г-модели Гелл-Манна-Леви, симметрию группы Пуанкаре.
В главе 2 находятся все варианты теории свободных полей, подчиняющейся трем условиям:
Условие 1. Представление 5 собственной группы Лоренца Ь+, по которому преобразуется любое из рассматриваемых полей, разложимо в бесконечную прямую сумму конечномерных неприводимых представлений, причем кратность каждого из неприводимых представлений не превышает единицу. Бозонные поля принадлежат одному из двух типов, определяемых тран-формационными свойствами относительно пространственного отражения Р: либо Р((1ок)1т = (-1 )'£(-/„,го/т, либо Р^мы = (-1)!+1?(-г0,г1)гт Для любого неприводимого представления т = (1о,1\), принадлежащего 5.
(Величина ^(¡„^¡т - это вектор канонического базиса неприводимого представления т = (¿о, Н) группы Ь\ со спином I и его проекцией на третью ось т. Неприводимое представление т — (¿о, к) конечномерно, если 21о и 2¿1 - целые числа одинаковой четности, причем > \10\, и тогда
Ф'(®) = ехр(-Ша0а)Ф(х),
(1)
ехр(-»£>ь(Г(5)0)Ь)Я(5)Ф(а:) = 5(д) Ф'(х).
(2)
Условие 2. Лагранжиан каждого поля
£о = |[(ф, - (0„Ф, Г"Ф)] - (Ф, ЯФ) (3)
(где (Фх, Фг) - релятивистски-инвариантная билинейная форма, а и Я - матричные операторы) релятивистски-инвариантен и нерасщепляем, т.е. его нельзя представить в виде суммы двух лагранжианов, не содержащих никаких одинаковых компонент поля.
Условие 3. Лагранжиан (3) каждого поля инвариантен относительно нетривиальных глобальных преобразований вторичной симметрии
Ф(х) Ф'(ае) = ехр[-г£%]Ф(:с), (4)
где параметры являются компонентами полярного или аксиального 4-вектора ортохронной группы Лоренца Ь\ а Б11 - матричные операторы.
Как установлено Гельфандом и Ягломом, требование инвариантности лагранжиана (3) относительно преобразований собственной группы Лоренца дает
Г°^(г0,;1);т = с(/0 + 1, ¿1; ¿о, + ¿о + !)('- ¿о)£(г0+1,г1)/т+ +с(10 - + т ~ ¿0 + 1)^0-1,11){т+
+с{10, к + 1; 10,11)^(1 + 11 + 1){1-11)^1оА+1)1т+
+с(10, к - 1; 10, к)\/(1 + к)(1-к + Щ1о,11-1)1т, (5)
где с(1'0,1о, к) = Сг'Т - произвольные величины. Соотношение аналогичное (5) справедливо и для оператора £>° с заменой величин с(1'0,1[',1о, к) на произвольные величины с?(7д, 1[\ /о, к) = (¿г'т-
Соотношение (5) свидетельствует, что лагранжиан (3) свободного поля класса КРГО. содержит бесконечное число произвольных констант. Требование вторичной симметрии теории (Условие 3) призвано устранить этот произвол. Оно дает бесконечную систему уравнений относительно величин Ст'т и <1Т1Т, причем с каждым неприводимым представлением т = (/о, ¿1) связано 16 уравнений. Найдены все варианты нетривиальных решений этой системы, удовлетворяющие Условиям 1 и 2.
Следствие 1. Требование, чтобы теория свободного фермионного поля удовлетворяла Условиям 1-3, если параметр вр в преобразованиях (4) - полярный 4-вектор, выполнимо только для следующего счетного множества
представлений 5 собственной группы Лоренца, нумеруемых полуцелыми числами ^ (¿1 > 3/2):
+оо к-3/2
= £ £ < "1=0 по=-*1+1/2
(6)
причем для представления Бк1 имеется соответствие:
с(к + 1, к; к, ¿1) = с(/о, Ь; к + 1, к) =
= Со
(к ~ к){к ~к~ 1){к + к){к + /о + 1)'
с(г0) ¿1 + 1; ¿о, /1) = с(10, ¿1; к, к + 1) =
Со
(к1-к-1)(к + к)
{к ~ 1о){к ~к + Щк + 1о){к + 1о + 1)' (¿(¿о + 1, г0> ¿1) = ¿{к, /1; /о + 1, ¿1) = дас(10 + 1, к\'о, '1),
¿(¿о, + 1; к, к) = <г(/0, /г, ¿о, ¿1 + 1) = 5ос('о, + 1; к, к),
(7)
(8)
(9) (10)
где со и - действительные константы.
Следствие 2. Требование, чтобы теория свободного фермионного поля удовлетворяла Условиям 1-3, если параметр вм в преобразованиях (4) -аксиальный 4-вектор, выполнимо только в следующих трех ситуациях:
1) для счетного множества представлений 5 собственной группы Лоренца, элемент которого дается формулой (6), где к\ > 3/2, причем для представления Бк1 величины сут даются формулами (7), (8) с действительной константой со, а величины с1т>т равны
й{к 4-1, к; к, к) = -¿{к, к',к + 1, к) = 9окс{к + 1, к] к, к), (11)
¿(¿о, к + 1; к, к) = -¿(¿о, ¿15 к, к + 1) = 9окс(к, к + 1; к, к), (12)
где до - действительная константа;
2) для счетного множества представлений 5 собственной группы Лоренца, элемент которого дается формулой (6), где к\ > 3/2, причем для представления б*1 имеется соответствие:
с(к + 1, к; к, к) = с(к, к; к + 1, к) =
\
(кг-к-Щкг+к)
(к-к)(к-к-1)(к + к)(к + к + 1) с(к, к + 1; к, к) = с{10, к; г0) ¿1 + 1) =
= (-1)'°-1/2сого
{кг-к- ЩЬ + Ь)
(14)
й(10 + 1,к\ 10, к) = -с1{10, к] ¿0 + 1, ¿1) = М-1с(/о + 1, к\ 1о, к), (15) <г(1о. к + 1; 1о, ¿1) = -¿('о, ¿1; ¿о, +1) = 9о1о1с(1а, к + 1; 1о, к), (16)
где со и ¡7о * действительные константы;
3) для представления 5 собственной группы Лоренца, содержащего все конечномерные неприводимые представления группы Ь+ с полуцелыми спинами, которое будем обозначать через
+оо
£ Ф(1/2 + п0,3/2 + пх),
Щ=0 710 = —Т11 —1
(17)
причем
с(10 + 1, к-, /о, к) = с(10, к; ¿о + 1, ¿1) = = (-1)'1+1/2со
л
1-(-1)
к+1о
+ ■
1 + (-1)'1+Ь
2(к-10-1)(к +10) 2(к + 1о + 1){к~кУ с(/0, к + 1; ¿о, ¿1) = с(/о, к; ¿о, ¿1 + 1) =
= Со
1 - (-1)
+ ■
1 + (-1)'!+'о
(18)
(19)
2(/0-*1-1)(*1 + *о) 2(к + 10 + 1)(1а-кУ
¿(10 + 1, к; 1о, к) = к + 1, /1) = {-1)11+1/29чс(10 + 1,к~ 10, к), (20)
¿(¿0, к +1; ¿о, к) = ¿1; 'о, к + 1) = (-1)/о-1/2д0с(/0) к +1; к, к), (21)
где со и до - действительные константы.
Приводимые ниже Следствия 3-4 справедливы для каждого из двух типов бозонных полей, описанных в Условии 1.
Следствие 3. Требование, чтобы теория свободного бозонного поля удовлетворяла Условиям 1-3, если параметр в^ в преобразованиях (4) - полярный 4-вектор, выполнимо только в следующих двух ситуациях:
1) для счетного множества представлений й" собственной группы Лоренца, нумеруемых целыми числами {к\ > 1):
+00 ^1-1
£ еКЛ + пх),
П1=0 по=-£1+1
(22)
причем величины Ст'т и ¿т<т описываются соответственно формулами (7), (8) и (9), (10) с действительными константами со и
2) для представления 5 собственной группы Лоренца, содержащего все конечномерные неприводимые представления группы Ь+ с целыми спинами, которое будем обозначать через 5В:
+00 П{
£ ©(«о, 1 + "1), (23)
П\= 0 По=—711
причем
с(10 + 1, к; 1о, к) = с(10, к\¡о + 1, к) = = (-1)'1+1со
л
1 +(-!)'•+'.. , (24)
2{к + 10 + 1){к -1о~1) + - 1о)' с(1о, к + 1; ¿0, к) = с(1о, к; к, к + 1)
О)
+ Ш1 , , -Г\' (25)
2{к + ¿о + 1)(/0 - к - 1) 2{к + к){10 - к)'
(1{1о + 1, к] 1о, к) = С1{10) к; 1о + 1, го = (-1)'1+15ос(г0 + 1, к] /о, к), (26) ¿(/о, к + 1; г0, к) = с1(1о, к\ 10, к + 1) = (-1)1°дос(1о, к + 1; ¿о, к), (27)
где со и <7о - действительные константы.
Следствие 4■ Требование, чтобы теория свободного бозонного поля удовлетворяла Условиям 1-3, если параметр 9ц в преобразованиях (4) - аксиальный 4-вектор, выполнимо только для счетного множества представлений 5 собственной группы Лоренца, элемент которого дается формулой (22), где к\> 2, причем для представления величины су,- и <1г<г описываются соответственно формулами (7), (8) и (11), (12) с действительными константами со и до.
Во всех вариантах теории, описанных в Следствиях 1-4, массовый оператор Д из лагранжиана (3) кратен единичному
Д = кЕ. (28)
В главе 3 решается задача устранения бесконечного вырождения по спину спектра масс теории свободных полей класса ШРШ с двойной симметрией, обусловленного расширением группы Лоренца. Мы постулируем спонтанное нарушение вторичной симметрии, полагая что скалярные (относительно ортохронной группы Лоренца) компоненты бозонных полей класса ВПИ имеют ненулевые вакуумные средние. В связи с этим анализируется вопрос о существовании и структуре нетривиального лагранжиана
взаимодействия фермионного и бозонного полей класса ISFIR с двойной симметрией, имеющего вид
Ant = £ Ш0Т1т№)Ч>т1т{х) = £ Ш, ЯТ1т<Рт1т{хШх)). (29)
т,1,т т,1,т
Здесь ф(х) - фермионное поле, <pTim{x) - компонента бозонного поля, характеризуемая неприводимым представлением т — (Iq, li) группы L+, спином
1 и его проекцией на третью ось ш, a QTlm щ Q(l°Mlm - матричные операторы.
Рассматриваются только такие лагранжианы (29), бозонные поля в которых имеют скалярную (относительно группы /Д) компоненту. Следовательно, из счетного множества представлений собственной группы Лоренца с целыми спинами, описаного в Следствиях 3 и 4, выделяются только два: S1 (22) и SB (23).
Если в результате спонтанного нарушения вторичной симметрии скалярная компонента ¥>(o,i)oo(z) бозонного поля приобретает ненулевое вакуумное средние Л, то это приводит к лагранжиану (3) для фермионного поля с оператором R следующего вида
R = кЕ + AQ(0,1)0°. (30)
Лагранжиан взаимодействия (29) может быть инвариантным относительно преобразований (4) тогда и только тогда, когда порождаемая ими группа вторичной симметрии одна и та же и для фермионного и для бозонного поля.
В случае, когда бозонное поле преобразуется по представлению S1 собственной группы Лоренца (следствие 3 (п.1)), вторичную симметрию порождает четырехпараметрическая абелева группа, для которой
[D»,DV) = 0. (31)
Такая же группа соответствует вторичной симметрии теории фермионного поля с представленем Skl (k\ > 3/2) в вариантах, даваемых следствиями 1 и 2 (п.2).
В случае, когда бозонное поле преобразуется по представлению SB группы Ь\ (следствие 3 (п.2)), группа вторичной симметрии неабелева (возможно, что бесконечная). Выглядит правдоподобным, но не доказанным, предположение, что та же группа порождает вторичную симметрию теории фермионного поля с представлением SF в варианте, даваемом следствием
2 (п.З).
Операторы из соотношения (4), задаваемые в пространствах как фермионных, так и бозонных полей, будем далее снабжать дополнительным индексом Р и В соответственно.
Преобразования вторичной симметрии (4), порождаемые полярным 4-вектором группы оставляют лагранжиан (29) неизменным, если операторы С2т1т удовлетворяют системе уравнений
£ (32)
т',1',т'
где - матричный элемент оператора БВм.
Утверждение 1. Пусть трансформационные свойства относительно преобразований двойной симметрии входящего в лагранжиан (29) фермион-ного поля даются Следствием 1, а бозонного поля - Следствием 3 (п.1), в котором кх = 1. Тогда система уравнений (32) эквивалентна уравнению относительно оператора <2 = ф^0'1)00
= (Нр - Нв/2)£ (33)
и системе независимых друг от друга равенств
д^Ы = (п + 1} ^ _ > ^ ^ д]] х
х(^^---^п)(од)оо,(о,п+1)Ы. (34)
где п>1,Нг = и Нв = Пв»Ов.
Требование инвариантности лагранжиана (29) относительно ортохрон-ной группы Лоренца и уравнение (33) дают для всех неприводимых представлений (¿о, I]) группы Ь\, принадлежащих представлению (6):
Я€(1оМ1т = 9^0, (35)
зНоЛ) = д{1о,к), (36)
(а* - г0 - 1)(/с1 + г0)д(го +1, к) + (Ь - + к - 1)?(г0 -1, к)-
-{кг -ь- 1){к\ + кМк, к + 1)- (кг - Ь)(к1 + к~ 1)д(*0,к~ 1) =
= + (37)
где г = 2 — НВ/НГ.
Величины ^(¿о, ¿1), являющиеся решением системы уравнений (36) и (37) при ¿1 = 3/2, можно записать в следующем виде:
9 \ 2' 2 / = 250 *(ЛГ + 1)(«-ц,)(2 + г1 + иО-' (38)
где N = Ь — 1/2, и — {г 4- Vг2 — 4)/2, ии = (г — л/г2 — 4)/2, а до - произвольная константа.
Утверждение 2. Пусть трансформационные свойства относительно преобразований двойной симметрии входящего в лагранжиан (29) фермионно-го поля даются Следствием 2 (п.З), а бозонного поля - Следствием 3 (п.2). Если нетривиальный лагранжиан (29) существует, то для матричных элементов скалярного оператора <5 справедлива формула
, . | (-1)!'-1/2(г1 + 10)д0 для четных 1Х + 10, , .
(-1)'1 1!2{1\ - ¿о)?о Для нечетных 1\ + 1о,
где до - произвольная константа.
В главе 4 находятся характеристики спектров масс в двух простейших вариантах теории фермионных полей класса КЕШ, которая наряду с релятивистской инвариантностью обладает также спонтанно нарушенной вторичной симметрией, порождаемой полярным или аксиальным 4-векторным представлением ортохронной группы Лоренца.
В обоих рассматриваемых вариантах теории, отвечающих Следствиям 1 и 2 (п.2), поле преобразуется по представлению З3?2 ((6) при к\ = 3/2) и подчиняется получаемому из лагранжиана (3) уравнению типа Гельфан-да-Яглома, которое в системе покоя частицы принимает вид
(МГ° - Н)фМ0 = 0. (40)
Мы полагаем, что массовый оператор Я из уравнения (40) всецело обусловлен спонтанным нарушением вторичной симметрии, когда не равны нулю вакуумные средние скалярных компонент одного или нескольких бо-зонных полей, т.е. что
г А
£(±А,г!)гт> (41)
причем при каждом значении номера г величины $(±1/2,1\) даются формулой (38) со своими значениями параметров и дог-
Так как операторы Г° и Я характеризуются матричными элементами, диагональными по спину и по его третьей проекции, и коммутируют с оператором пространственного отражения Р, то с самого начала рассматриваются такие решения фмо уравнения (40), которые обладают определенными значениями спина, его третьей проекции и пространственной четности.
Если четность равна (—1)г 1/2, то вектор "фмо, удовлетворяющий уравнению (40) при М = Мо, можно записать в форме следующего разложения
(42)
¿1=1 + 1
Вектор Е;1[-Х1(г1)С(-1/2,/1)!т+Хг(г1)?(1/2,г1)гт]' Р-четность которого равна (—1)гч_1/'2, тоже удовлетворяет уравнению (40), но при М = —Мо. В терминах компонент Х1{к) уравнение (40) принимает вид
"£)(г1)(2/ + 1)
-Лк)
Х1(к) = о, (43)
А1\ - 1 2Мсо
где к > I + 1- Функция £>(,/) от полуцелого аргумента ] описывается формулой
ОД = 1, (44)
если вторичная симметрия теории порождается полярным 4-векторным представлением группы 1Д (следствие 1), и формулой
ОД = (-1Г (45)
если вторичная симметрия теории порождается аксиальным 4-векторным представлением группы V (следствие 2 (п.2)).
Мы считаем некоторое значение параметра М из уравнения (40) точкой дискретной части спектра масс, если выполняется условие конечности амплитуд для любого значения модуля 3-импульса р
\{Фмо,П'Фмр)\ < +оо, (46)
и точкой непрерывной части спектра масс, если
(Фм'о, Пфмр) = а(р)5(М' - М), (47)
где а(р) - некоторое ненулевое число. При р = 0 условие конечности амплитуд превращается в условие нормируемости решений уравнения (40). В задаче с одним параметром л условие конечности амплитуд и условие нормируемости решений приводят к одинаковому спектру везде, кроме области Ы < 2.
Найдены характеристики спектров масс в двух ситуациях спонтанного нарушения вторичной симметрии: (1) оно вызывается одним бозонным полем класса ISFIR; (2) оно вызывается двумя бозонными полями. В ситуации (1) рассмотрены по-отдельности три существенно разные области значений параметра z\ (—оо, —2], (—2,2) и (2, +оо). В ситуации (2) внимание уделено только области z\ £ (2, +оо), z2 £ (—2,2).
В случае, когда вторичная симметрия теории нарушена спонтанно, найти решения уравнения (43) в виде элементарных или специальных функций, конечных или бесконечных рядов не удается. Не удается найти и аналитические формулы для спектров масс теории. Мы, однако, в состоянии получить ряд заключений относительно спектров масс, основываясь как на аналитических выражениях для входящих в уравнение (43) величин, так и на их асимтотическом поведении и на численых расчетах.
Непрерывные части спектров масс теории в обоих рассматриваемых ситуациях отсутствуют.
Результаты исследования спектров масс теории в ситуации (1) следующие.
В области параметра \z\ < 2 спектр масс пустой.
Доказано, что в области параметра z 6 (-оо, —2] U (2, +оо) спектр масс ограничен снизу, что само по себе уже крайне важно ввиду результатов всех прежних релятивистских подходов к описанию частиц с бесконечным числом степеней свободы.
Отметим только одну деталь характеристик спектров масс в области параметра г < —2. В варианте теории, соответствующем Следствию 1, частицы при любом значении спина обладают одной и той же пространственной четностью. В варианте теории, отвечающем Следствию 2 (п.2), спектр масс является непустым, если пространственная четность частиц со спином I равна (—I)'-1/2 (по отношению к Р-четности основного состояния), и пустым, если четность равна (—l)l+lf2.
В области параметра z > 2 варианты теории, даваемые Следствиями 1 и 2 (п.2), отличаются друг от друга упорядочением уровней в зависимости от спина и Р-четности. В обоих вариантах в качественном плане спектры масс соответствуют экспериментальной картине нуклонных резонансов: каждому значению спина отвечает бесконечное число состояний с массами, простирающимися до бесконечности, и с обеими значениями пространственной четности; наименьшее значение массы для данного спина растет с ростом спина. Зависимость масс от параметра z и от спина и четности состояния 1Р в описываемом Следствием 1 варианте теории фермионных полей
класса КРШ с двойной симметрией, порождаемой полярным 4-векторным представлением ортохронной группы Лоренца, изображена на рисунке 1.
10 9 3
7
6 5 4 3 2
1
0
2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
г
Рис. 1
Удовлетворительного количественного согласия с уровнями нуклонных резонансов теория с одним параметром г не дает. Показано, что в первом приближении такое согласие достигается в ситуации с двумя параметрами г: г1 = 2.036, 22 = 0.14,- в варианте теории, отвечающем Следствию 1.
В главе 5 проанализированы следствия отказа от предположения, что нуклон является дираковской частицой, в рамках которого были получены формулы Розенблюта и Ахиезера-Рекало, описывающие соответвествен-но угловое распределение вторичных электронов и поляризацию конечных протонов в экспериментах по упругому рассеянию электронов на протонах.
Все рассуждения и выводы настоящей главы имеют одинаковую силу для широкого, точно описанного, класса представлений собственной группы Лоренца, разложимых в конечную или бесконечную прямую сумму конечномерных или бесконечномерных неприводимых представлений, содержащих спин 1/2.
Электромагнитный ток нуклона, сопоставляемого некоторому из этих представлений 5о, берется в самом общем виде, а именно, как сумма счетного множества слагаемых:
«7"(Р,Р0) = ге [Г"ВД2) + </>Ы), (48)
где
А»"(р,Ро) = Г^/ВД2) + Г»^(ркиК2к((Э2) +
+... + Г"""-"' (р.)^ ... [р^К(п+1)к..л^) +... (49)
В соотношении (49) Г'4" и Г*"™1-"' = 1,2,...) - антисимметричные по индексам /л. и V матричные тензорные операторы группы Лоренца (антисимметричность указанных операторов обеспечивает сохранение тока Зп и калибровочную инвариантность соответствующего лагранжиана); р^ € {ро,р} для любого индекса к.
Предполагается, что волновая функция нуклона ф(р) подчиняется некоторому релятивистски-инвариантному уравнению вида
(Г"Р„-ДЖР) = 0. (50)
Двум независимым состояниям нуклона в его системе покоя можно поставить в соответствие векторы
-фтЫ = Е (51)
(го,»1)е50
где т = —1/2,1/2, причем
= «(ЬА)^0)' и(-|Л)|т(0) = "^^„.(о). (52)
Здесь величина г - четность состояния, равная +1 или -1.
В лабораторной системе отсчета вектор состояния нуклона, двигающегося со скоростью V вдоль третьей оси, описывается равенством
^т(р) = £ (53)
(¿0,(1)650 I
где
и{Ш1т(а) = А^т(а)и(1оМг.т(0), (54)
причем (;1т = V = р/^/р2 + М2. В формуле (54) величина А^^^а) является матричным элементом конечного преобразования собственной группы Лоренца.
Дано строгое доказательство того, что независимо от представления группы Ь11_, сопоставляемого нуклону как частице со спином покоя 1/2, угловое распределение вторичных электронов в поцессе упругого рассеяния неполяризованных электронов на неполяризованных протонах дается формулой Розенблюта, в которой роль электрического бя и магнитного вм формфакторов играют следующие величины
= _I"I. Л/Г^ЗдОЗ/
\<ф+т(р), [Х0(Р2)Г1 + д°Л10(р,ро)--<г3Л13(р,р0)№-1/2(ро)), (56)
где
С = (ф+1/2(Ро),Щ+1/2Ы)~1- (57)
Доказано также, что для процесса упругого рассеяния поляризованных электронов на неполяризованных протонах справедлива формула
вЕ Р* Е + Е' сЪа
где Рх и - соответственно поперечная (в плоскости импульсов всех частиц) и продольная поляризации протона отдачи, Е и Е'- энергия электрона соответственно в начальном и конечном состояниях, в - угол рассеяния электрона. Функция В{а) из соотношения (58) дается выражением
= £ (¿ + 1/2КИ(а)^), (59)
г'.теЯо г 4 2 2 2У
где
А) = (Фт(Ро), -фт(Ро))- (60)
Обнаружено и математически изящно доказано следующее замечательное равенство
£>(а) = с1т (61)
для любого из рассматриваемых нами представлений 5о группы ь\.
Соотношение (58) вместе с равенством (61) воспроизводит формулу Ахи-езера-Рекало вне зависимости от представления собственной группы Лоренца, сопоставляемого нуклону как частице со спином покоя 1/2.
В главе 6 решен ряд вопросов относительно аналитического описания и численных расчетов электромагнитных формфакторов недираковских частиц со спином покоя 1/2, даваемых формулами (55)—(57).
Найдена общая структура матричных антисимметричных тензорных операторов второго ранга. Такие операторы дают шесть зацеплений данного неприводимого представления (10,к) группы Ь\.: два с самим собой и четыре с неприводимыми представлениями (1а — 1, ¿1 ± 1) и (1о + 1, ¿1 ± 1). Каждому зацеплению ставится в соответствие произвольная константа.
Установлено, что требование инвариантности электромагнитного тока (48), (49) относительно преобразований вторичной симметрии (4) в варианте теории, отвечающем Следствию 1 при = 3/2, устраняет бесконечный произвол в константах оператора Гм". Для матричных тензорных операторов третьего и четвертого рангов из тока (48), (49) берутся выражения через полярный 4-векторный оператор Гм и аксиальный 4-векторный оператор задаваемый формулами (11), (12).
Для вычисления формфакторов (55)—(57) требуется знание некоторого множества матричных элементов конечных преобразований собственной группы Лоренца, которые описывают буст вдоль третьей оси
ехр (а1°%Ш1т = £ А^т(а)^оМ1,т, (62)
где /03 - инфинитезимальный оператор группы Ь\.
Для величин Л^^(а) найдены два рекуррентные соотношения. Одно из них связывает матричные элементы, относящиеся к одному и тому же неприводимому представлению
= ^^ ^^ ~ 1)2Мг+11,11(а) +
+У(21-т+т1-12)л{^(а)! (63)
а другое - относящиеся к различным неприводимым представлениям ач = _ 1 х
^ ; 2Дг-Ы)7(2г1-1)(2/1 + 3)
х \-Ц5Ъа^(21 + 1)(21 + 3)(к - I - 1)(к - 0Л(Й)ч(«)+ [ ' 2 1 2 2
+(41(1 + 1) сЬа + Ла)^-0(11+ 1 + 1 И'ГмИ +
2' 2 2
+¿(1 + 1)зЬа^(21 - 1)(22 + + 1)(к + I + (а)] -
где Ь = 3/2,5/2,..., а I = 1/2,..., 1Х.
В варианте теории полей класса ISFIR с двойной симметрией, даваемом Следствием 1 при = 3/2, обоснована запись компонент Xi{h) волнового вектора фмо (42) в виде бесконечной непрерывной дроби, что обеспечивает достаточную точность значений любого числа компонент, которые находятся численными методами.
При Q2 < 0.5 (ГэВ/с)2 продемонстрирована возможность такого выбора свободных параметров рассматриваемой теории, при котором имеется удовлетворительное приближение теоретических электромагнитных форм-факторов к экспериментально наблюдаемым у протона.
В главе 7 обсуждена квантово-теоретическая обоснованность предпосылок формулы Баргманна-Мишеля-Телегди для вращения спина в постоянном однородном электромагнитном поле FßLI, которая используется при получении окончательных результатов в экспериментах по упругому рассеянию поляризованных электронов на протонах и имеет вид
1F = Ъп-8"РЕ"Р ~sVPF>ip) + ^ (I ~~ u"sß>aF°i» (65)
где г - собственное время частицы, а/- 4-вектор скорости частицы.
Вначале показано, что два описания релятивистского спина в классической теории - антисимметричным тензором sßV, предложенным Френкелем, и аксиальным 4-вектором sa, предложенным Таммом, -не являются эквивалентными в квантовой теории. Затем в рамках квантовой теории приведены примеры, которые демонстрируют нарушение правил о нулевых компонентах спина в системе покоя частицы, принимаемых в классической теории спина: s°l = 0 (г = 1,2,3) и s° = 0.
Эти правила являются ключевыми в выводе формулы Баргманна-Ми-шеля-Телегди. В их отсутствие формула вращения спина в постоянном однородном магнитном поле дается следующим уравнением
ПР
ЧГ = I~ sVPFßp) + Cl{ußsVP ~ u"sll>°F°t> +
+C2(sTw - svpF»°)upua) (66)
содержащим две неизвестные функции инвариантов, построенных из тензоров sßL/, F^ и 4-вектора uß, причем эти функции С\ и Сг могут оказаться существенно разными для заряженных лептонов и барионов.
Предлагается в рамках готовящихся экспериментов по упругому ер-рассеянию провести экспериментальное исследование того, хорошим или плохим приближением является формула Баргманна-Мишеля-Телегди для релятивистских протонов.
В главе 8 изложены логические следствия, получаемые в изначально Р-инвариантной модели электрослабого взаимодействия.
Такая инвариантность и наблюдаемое нарушение ее обеспечивается локальной двойной симметрией модели, порождаемой представлением Т = (изотриплет, скаляр) © (изотриплет, псевдоскаляр) ® (изосинглет, скаляр ) = (1 ,s) ф (1 ,р) ф (0, s) группы G = 577(2) х IS.
Преобразования вторичной симметрии, к примеру, изодублета грТ — е), состоящего из полей электронного нейтрино ие и электрона е, которые явно удовлетворяют условиям Определения 1 и тем самым не нарушают Р-симметрию, записываются в форме
V/ = ехр - + \eQs) Ф. (67)
Среди вводимых хиггсовских полей с необходимостью должны быть и скалярные и псевдоскаляные поля. Если нейтральные компоненты изодуб-летов тех и других полей имеют вакуумные средние vs и vp соответственно, то массы двух заряженных калибровочных бозонов даются формулами
92 92
m2wm = —\ua - vp\2, тпцг(2) = — К 4- vp\2, (68)
где g - константа взаимодействия Ж-бозонов с заряженным током леп-тонов. Отсюда следует, что наблюдаемое доминирование левого слабого заряженного тока возможно тогда и только тогда, когда v¡ Ф 0, vp ф О и arg(vp/vs) ф ±7г/2. Это означает, что физический вакуум не обладает определенной Р-четностъю, так как Pvs = vs, Pvp = —vv. Это первый принципиальный момент, который не выявлен в лево-право симметричной модели.
Второй принципиальный момент, отсутствующий в лево-право симметричной модели, хотя он, на наш взгляд, имеет ту же степень значимости, что и форма слабых токов, состоит в следующем: поля всех массивных промежуточных бозонов представляют собой суперпозицию полярных и аксиальных 4-векторов, причем в полях W-бозонов эти векторы имеют одинаковый вес.
Перечисленные выше изотриплетные параметры группы вторичной симметрии являются как скалярами, так и псевдоскалярами ортохронной группы Лоренца. Но в списке изосинглетных параметров имеется только пространственный скаляр и нет пространственного псевдоскаляраскаляра. Это неравноправие не выглядит достаточно естественным. Оно осознанно принималось нами на первых порах с тем, чтобы оградить скорректированный
вариант лево-право симметричной модели электрослабого взаимодействия, все стороны которого с большой вероятностью отображают реалии физического мира, от обсуждения гипотетического безмассового (легкого) аксиального бозона, мало известного широкой научной общественности.
Указаны варианты возможных взаимодействий аксиального калибровочного бозона. Обсужден вопрос об устранении аксиальной аномалии Ад-лера-Белла-Джэкива, который ставится всякий раз при введении новых калибровочных бозонов. Обращено внимание на существовующие модели с легким или очень легким калибровочным бозон.
В главе 9 обсуждается возможность экспериментального проявления гипотетического взаимодействия аксиального фотона с нейтрино.
Один из двух рассмотренных типов процессов - это редкие распады заряженных К-иезонов, сопровождаемые излучением аксиального фотона <5, а именно, К —> цуЬ.
Важнейшей особенностью указанной моды распада заряженного Я"-ме-зона в его системе покоя является то, что допустимые энергии образовавшегося заряженного лептона могут простираться от 0 до Ттах, отвечающей распаду К —► ци, и при этом единственной детектируемой частицей является заряженный лептон. Фоновая имитация этой моды распада возникает главным образом от радиационного распада К (хуу в связи с возможными потерями 7-кванта (разумеется, аппаратура, регистрирующая 7, должна обладать 47г-геометрией).
В единственном поставленном эксперименте по исследованию моды распада "К+ —► -+- 2 и более недектируемые частицы" с учетом измеренной неэффективность регистрации 7-квантов получено ограничение
+ без 7(60 < Тд < 100 МэВ)/Гк_^„ < 3.5 • Ю-6. (69)
В то же время наши вычисления дают
<ТМ< 100 МэВ)/Г^„ = 4.7 • Ю"2«^. (70)
Таким образом, для константы взаимодействия аксиального фотона с мюонным нейтрино а^, аналогичной постоянной тонкой структуры, имеем следующий верхний предел
а511 < 0.9 ■ 10~4. (71)
Второй из рассмотренных типов процессов - это взаимодействие солнечных нейтрино с реликтовым фоном. Это рассмотрение было вызвано
поиском альтернативного осцилляциям нейтрино механизма, обуславливающего значительно меньшее количество экспериментально наблюдаемых переходов ve 37С1 е~ 37Аг, чем это ожидается в стандартной солнечной модели.
Если существует аксиальный фотон 5, взаимодействующий с электронным нейтрино, то на пути к Земле солнечное нейтрино может испытать столкновение с реликтовыми (анти-) нейтрино и аксиальными фотонами. Как известно реликтовый фон каждого сорта (анти-) нейтрино обладает температурой Т = 1.9 К и плотностью п = 110 частиц • см-3.
При вычислении сечений встает вопрос об устранении расходимости соответствующих интегралов, обусловленной безмассовостью участвующих в процессе частиц. Конечность сечений мы обеспечиваем путем кинематического ограничения на квадраты переданных импульсов, полагая, что их модули не меньше некоторого числа Л2. Природа возникновения размерного параметра в аксиальной динамике и допустимые значения величины Л неясны.
Найдены сечения всех процессов взаимодействия солнечного нейтрино с реликтовыми (анти-) нейтрино и аксиальными фотонами: аннигиляции, упругого и комптоновского рассеяния. Эти процессы могли бы привести к такому ослаблению потока энергичных солнечных нейтрино, которое соответствовало бы скорости наблюдаемых переходов ve 37С1 —> е-37Аг, при условии
a,elnfeT'^MaB = (3.1 ±0.5) • Ю-2. (72)
Предполагая, что а&е = получаем ограничение снизу
1П^2МэВ> 3.4-102. (73)
Чрезмерно большое значение логарифма в (73) кажется не имеющим никакого оправдания, как и вытекающее из него чрезмеро малое значение "массовой" константы Л.
Если справедливо равенство (72), то скорость переходов ve 71Ga —» e_71Ge должна составлять 0.5 ± 0.2 SNU вместо 106t|275 SNU, ожидаемой в рамках стандартной солнечной модели. Серия экспериментов, поставленная начиная с 1991 года, дает, однако, для скорости таких переходов значение 70.8 ± 4.5 ± 3.8 SNU. В настоящее время мы вправе принять однозначное заключение о том, что взаимодействие солнечных нейтрино с реликтовым фоном не может быть ответственным за существенное ослаб-
ление потока энергичных нейтрино, проявляющееся в экспериментах по атомных переходах.
В заключении формулируются основные результаты диссертации, выносимые на защиту.
Основные результаты работы
1. Введено на уровне строгого определения понятие двойной симметрии, которое включает в себя как частные случаи симметрию ст-модели Гелл-Манна-Леви, суперсимметрию и симметрию группы Пуанкаре.
2. Впервые проведен ряд исследований теории полей класса ВРГО, которые преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в бесконечную прямую сумму конечномерных неприводимых представлений. Мы требуем, чтобы теория полей класса ВРШ обладала двойной симметрией: инвариантностью относительно преобразований ор-тохронной группы Лоренца (первичной симметрией) и инвариантностью относительно преобразований вторичной симметрии, порождаемой полярным или аксиальным 4-векторным представлением ортохронной группы Лоренца. Названная вторичная симметрия теории оказалась действенным механизмом отбора допустимых представлений собственной группы Лоренца и устранения бесконечного произвола в константах теории. Найдены все, составляющие счетное множество, варианты теории свободных фермион-ных и бозонных полей с двойной симметрией.
3. Чтобы избежать бесконечного вырождения по спину спектра масс теории полей класса ¡ЯРШ. с двойной симметрией, вызванного расширением группы Лоренца, мы принимаем предположение о спонтанном нарушении вторичной симметрии, которое должно приводить к изменению массового члена лагранжиана свободного поля. Для конкретизации такого изменяя решается задача о нетривиальном лагранжиане взаимодействия фермион-ного и бозонного полей, обладающего двойной симметрией. Дано строгое доказательство существования требуемого лагранжиана и найдено полное описание всего бесконечного множества матричных операторов, действующих в пространстве бесконечнокомпонентных полей.
4. Установлено, что в теории фермионных полей класса ВПК со спонтанно нарушенной двойной симметрии существует широкая область свободных параметров, при которых теория имеет замечательные, с точки зрения физики адронов, спектры масс.
5. Решен ряд математических задач, возникающих при аналитическом описании электромагнитных свойств недираковских частиц со спином по-
коя 1/2. Во-первых, найдена общая структура матричных антисимметричных операторов второго ранга. Во-вторых, установлены рекуррентные соотношения и явный вид ряда конечных преобразований группы Лоренца для конечномерных неприводимых представлений, содержащих спин 1/2. В-третьих, предложена и обоснована запись компонент полевого вектора рассматриваемой теории с двойной симметрией в виде бесконечных непрерывных дробей. В-четвертых, в рамках изучаемой теории продемонстрирована возможность (при <Э2 < 0.5 (ГэВ/с)2), не прибегая к явному введению внутренней структуры частицы, получить падающие с ростом квадрата переданного импульса электромагнитные формакторы, близкие к тем, которые экспериментально наблюдаются у протона.
6. В связи с серьезным противоречием в результатах для отношения электрического и магнитного формфакторов протона, полученных в поляризационных и неполяризационных экспериментах по упругому рассеянию электронов на протонах, нами предложено провести новый анализ всех сторон теоретических моделей и предположений, используемых при обработке экспериментов. Доказано следствие отказа от предположения, что протон описывается дираковским представлением: независимо от представления собственной группы Лоренца, сопоставляемого нуклону как частице со спином покоя 1/2, справедливы формулы Розенблюта и Ахиезера-Рекало для упругого ер-рассеяния.
7. Проанализирована также другая сторона теоретических оснований поляризационных экспериментов по упругому рассеянию электронов на протонах - формула Варгманна-Мишеля-Телегди, описывающая поворот спина релятивистской частицы в однородном магнитном поле. Показано, что принятое в классической теории предположение о нулевом значении временной компоненты аксиального 4-вектора спина в системе покоя частицы, на котором основывается доказательство формулы Баргманна-Мише-ля-Телегди, часто не выполняется в квантовой теории, а допустимое изменение этой формулы содержит значительные теоретические неопределенности. Обращено внимание на необходимость проведения в рамках экспериментов по упругому ер-рассеянию проверки того, хорошим или плохим приближением является используемая формула Баргманна-Мишеля-Телегди.
8. Построена изначально Р-инвариантная модель электрослабого взаимодействия с невырожденной двойной симметрии, которую можно рассматривать как скорректированную в духе Гелл-Манна-Леви лево-право симметричную модель. Она дает ряд замечательных логических следствий, которых не было ни в какой иной модели. Во-первых, доминирование заря-
женного тока одной их двух спиральностей обусловлено тем, что физический вакуум не обладает определенной Р-четностью. Во-вторых, поля всех массивных калибровочных бозонов представляют собой суперпозицию полярного и аксиального 4-векторов ортохронной группы Лоренца, причем у полей заряженных калибровочных бозонов веса этих 4-векторов одинаковы.
Список литературы
[1] L.M. Slad, Double symmetries infield theories, Mod.Phys.Lett.A 15 (2000) 379.
[2] Л.М. Сладь, К теории бесконечнокомпонентных полей с двойной симметрией. Свободные поля, ТМФ 129 (2001) 68.
[3] Л.М. Сладь, К теории бесконечнокомпонентных полей с двойной симметрией. Взаимодействие полей, ТМФ 133 (2002) 54.
[4] L.M. Slad, Double symmetry and infinite-component field theory, Proc.Inst. Math.Nat.Acad.Sci.Ukraine 50 (2004) 947.
[5] Л.М. Сладь, Спектры масс в теории бесконечнокомпонентных полей с двойной симметрией, ТМФ 142 (2005) 21.
[6] Л.М. Сладь, Об электромагнитных формфакторах и поляризациях недираковских частиц со спином покоя 1/2, ТМФ 158 (2009) 135.
[7] Л.М. Сладь, К вопросу об электромагнитных свойствах недираковских частиц со спином покоя 1/2, ТМФ 165 (2010) 48.
[8] L.M. Slad, Spin rotation as an element of polarization experiments on elastic electron-proton scattering, Phys.Lett.A 374 (2010) 1209.
[9] L.M. Slad, Electroweak Interaction Model with an Undegenerate Double Symmetry, SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications) 2 (2006) 045.
[10] Л.М. Сладь, Нейтрино как источник аксиального электромагнитного поля, ЯФ 27 (1978) 1417.
[11] Л.М. Сладь, Проявление аксиального фотона в распадах заряженных К[тт]-мезонов, ДАН 265 (1982) 615.
[12] Л.М. Сладь, Взаимодействие солнечных нейтрино с реликтовым фоном, Письма в ЖЭТФ 37 (1983) 115.
[13] Л.М. Сладь, Возможная роль аксиальных фотонов в ослаблении потока солнечных нейтрино, ДАН 269 (1983) 1345.
[14] Л.М. Сладь, Модель электрослабого взаимодействия с лево-правой симметрией, Сб. Теоретико-групповые методы в физике , М., Наука, 1986, т.1, с.293.
Подписано к печати $/)Л4Л0_
Тнртк ^ОД _ Заказ
Отпечатано в отделе оперативной печати фнэнческогтэ факультета МГУ
Введение
Глава 1. Общие положения о двойных симметриях в теории поля
1.1. Качественная характеристика двойной симметрии
1.2. Строгие определения вторичной и двойной симметрий
1.3. Два подхода к построению теорий с двойной симметрии
1.4. Существующая невырожденная двойная симметрия - суперсимметрия
1.5. Существующая невырожденная двойная симметрия - симметрия сг-модели
1.6. Группа Пуанкаре V как группа двойной симметрии
Глава 2. Структура теории свободных бесконечнокомпонентных полей с двойной симметрией.
2.1. Введение.
2.2. Необходимые сведения о представлениях группы Лоренца и о релятивистски-инвариантных лагранжианах
2.3. Условия, накладываемые на теорию свободных бесконечнокомпонентных полей вторичной симметрией
2.4. Следствия двойной симметрии лагранжиана свободного фермион-ного поля
2.5. Следствия двойной симметрии лагранжиана свободного бозонного поля
2.6. Заключительные замечания
Глава 3. Лагранжиан взаимодействия бесконечнокомпонентных полей с двойной симметрией. Спонтанное нарушение вторичной симметрии теории
3.1. Введение.
3.2. Некоторые соотношения с участием 4-векторных операторов
3.3. Представление б11 для бозонного поля и лагранжиан фермион-бо-зонного взаимодействия
3.4. Представление для бозонного поля и лагранжиан фермион-бо-зонного взаимодействия
3.5. Заключительные замечания
Глава 4. Спектры масс в теории бесконечнокомпонентных полей с двойной симметрией
4.1. Введение.
4.2. Уравнения и условия для векторов состояния частиц, описываемых полями класса
4.3. Пустой спектр масс в области параметра —2 < г <
4.4. Характеристики спектров масс в области параметра г < —
4.5. Характеристики спектров масс в области параметра г >
4.6. Сопоставление спектра масс теории с двумя параметрами 2гг- с уровнями нуклонных резонансов.
4.7. Заключительные замечания
Глава 5. Об электромагнитных формфакторах и поляризациях недираковских частиц со спином покоя 1/
5.1. Введение.
5.2. Электромагнитный ток и волновые векторы для недираковской частицы со спином покоя 1/
5.3. Сечение упругого рассеяния неполяризованных электронов на непо-ляризованных недираковских частицах со спином покоя 1/
5.4. Поляризация нуклонов отдачи при упругом рассеянии поляризованных электронов на неполяризованных недираковских нуклонах
5.5. Заключительные замечания
Глава 6. К вопросу об электромагнитных свойствах недираковских частиц со спином покоя 1/
6.1. Введение
6.2. Общая структура матричных антисимметричных тензорных операторов второго ранга
6.3. Антисимметричные тензорные операторы в теории полей класса ISFIR с двойной симметрией
6.4. Конечные собственно лоренцевы преобразования для конечномерных неприводимых представлений (±1/2, ¿i) .Ill
6.5. Запись компонент полевого вектора в виде непрерывных дробей
6.6. Некоторые аспекты аналитических вычислений вкладов в формфак-торы тензорных операторов низших рангов
6.7. Падающие с ростом Q2 формфакторы в теории полей класса ISFIR с локальным электромагнитным взаимодействием
6.8. Заключительные замечания.
Глава Т. Вращение спина как элемент поляризационных экспериментов по упругому рассеянию электронов на протонах
7.1. Введение
7.2. Некоторые правила классической теории спина и их нарушение в квантовой теории спина
7.3. Изменение формулы вращения спина, учитывающее нарушение правил относительно нулевых компонент спина
7.4. Об экспериментальной проверке формулы Баргманна-Мишеля-Телегди
Глава 8. Изначально Р-инвариантная модель электрослабого взаимодействия
8.1. Двоякий статус группы SU{2)L х SU(2)R
8.2. О Р-свойствах физического вакуума и калибровочных полей электрослабого взаимодействия.
8.3. Модель с легким (безмассовым) аксиальным калибровочным бозоном (аксиальным фотоном)
8.4. Существующие модели с легким или очень легким калибровочным бозоном
Глава 9. Некоторые аспекты гипотезы о существовании аксиального фотона, взаимодействующего с нейтрино.
9.1. Нейтрино как источник аксиального безмассового поля
9.2. Проявление аксиального фотона в распадах заряженных К-мезонов
9.3. Взаимодействие солнечных нейтрино с реликтовым фоном
9.4. Заключительные замечания.
Расширение симметрийных подходов к построению полевых теорий, так же как и раскрытие новых сторон традиционно используемых групп, является регулярной практикой в физике. Как правило, оно вызывается поиском решения той или иной задачи теории поля или физики частиц.
Теоретико-групповой подход, именуемый двойной симметрией и составляющий основу значительной части работ, представленных в диссертации, был сформулирован нами [1], во-первых, в результате анализа ситуации, сложившейся в исследованиях полевых теорий с бесконечным числом степеней свободы, и во-вторых, для решения вопроса о модели электрослабого взаимодействия с изначальной Р-инвариантностью.
Первая попытка релятивистски-инвариантного описания частиц с внутренними степенями свободы была предпринята Гинзбургом и Таммом [2], и она основывалась на билокальных уравнениях. Оказалось, что каждое из рассматривавшихся уравнений дает неприемлимый для физики частиц спектр масс, а именно, с ростом некоторого квантового числа, характеризующего состояния, массы стремятся к нулю. В последующем к такому же заключению относительно спектров масс пришли в своих анализах отдельных билокальных уравнений Юкава [3], Широков [4], Марков [5].
Чтобы выяснить степень общности результата Гинзбурга и Тамма, Гель-фанд и Яглом [6] дали полное описание всех линейных релятивистски-инвариантных1^ уравнений и соответствующих им лагранжианов. Ограничившись уравнениями, в которых поля преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в конечную прямую сумму бесконечномерных неприводимых представлений (в дальнейшем: поля принадлежат классу РЗП11), а массовый оператор невырожден,
Релятивистская инвариантность в современных наименованиях и обозначениях [7] означает инвариантность относительно ортохронной группы Лоренца Ь^, порождаемой собственной группой Лоренца ь\ и пространственным отражением р. В статье [6] и монографии [8] группу /Л называют полной группой Лоренца.
Гельфанд и Яглом пришли к заключению, что при неограниченном роете спина спектры масс стремятся к нулю. В дальнейшем было показано [9], что это заключение в ряде случаев неверно: существуют такие представления собственной группы Лоренца класса РБКИ, и такие ограничения на произвольные константы релятивистски-инвариантного уравнения, при которых одни ветви спектра масс стемятся к нулю с ростом спина, а другие - к бесконечности. Показано также, что в опущенном в работе [6] случае, когда массовый оператор является вырожденным, существуют такие релятивистски-инвариантные уравнения с полями класса РЗНЯ, для которых спектр ненулевых масс стремится к бесконечности с ростом спина, но при этом для всех спинов, начиная с некоторого минимального, существуют безмассовые состояния. Отмеченное устранение неполноты заключения Гельфанда и Яглома не влияет на его первоначальную физическую сущность: получаемый в рамках лагранжева подхода спектр масс любого из полей класса КБИИ. обладает такими особенностями, которые абсолютно неприемлимы в физике частиц.
Достаточно общим свойством полей класса Р8ПТ1 является их локальная некоммутативность: [Ф(.т), Ф(у)]± ф 0, если (х — у)2 < О,- доказанная [10] в предположении полноты системы состояний полей и отсутствия в спектре масс бесконечного вырождения уровней. По мнению авторов монографии [7] эта трудность, по-видимому, требует ослабления постулата строгой локальности.
Для бесконечнокомпонентных полей может иметь место связь спина и статистики и может быть нарушение такой связи, в зависимости от того, на какие неприводимые представления раскладывается представление собственной группы Лоренца (не обязательно класса РБНЯ), по которому преобразуется поле [11].
Некоторые из выявленных "болезней" полей класса РБИЯ: существование пространственно-подобных решений уравнений Гельфанда-Яглома [12], отсутствие СРТ-инвариантпости [13],- не являются всеобщими (контрпримеры можно найти соответственно в работах [14], [15]).
Итог всех прежних исследований бесконечнокомпонентных полей можно отразить следующими суждениями.
Во-первых, бесперспективность для описания частиц установлена только для одного класса бесконечнокомпонентных полей - класса FSIIR. До недавних пор не было никаких исследований полей, которые преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в бесконечную прямую сумму конечномерных или бесконечномерных неприводимых представлений (в дальнейшем будем говорить, что такие поля принадлежат классу ISFIR или ISIIR, соответственно). Причина тому - бесконечное количество произвольных констант в релятивистски-инвариантных лагранжианах полей таких классов.
Во-вторых, убедившись, что общие свойства конечнокомпонентных полей и полей класса FSIIR во многих отношениях неодинаковы, мы вправе ожидать, что и общие свойства полей классов FSIIR и ISFIR будут различными.
В отношении теории полей класса ISFIR, с которыми мы будем иметь дело в диссертации, сразу можно сказать следующее. Во-первых, она является СРТ-инвариантной (для доказательства этого в духе Паули [16] несущественно, какой является сумма конечномерных неприводимых представлений собственной группы Лоренца - конечной или бесконечной). Во-вторых, (анти-)коммутатор любых двух компонент полей класса ISFIR выражается в виде конечной суммы производных от функции Паули-Иордана D{x — у), но на множестве всех таких (анти-)коммутаторов максимальная степень производных не ограничена.
Устранить бесконечный произвол в теории полей класса ISFIR, допускаемый релятивистской инвариантностью, удается [17] благодаря принимаемому нами требованию об инвариантности лагранжиана также относительно преобразований вторичной симметрии, порождаемой полярным или аксиальным 4-векторным представлением ортохронной группы Лоренца. Чтобы при этом избежать бесконечного вырождения спектра масс со спином, вызываемого расширением группы Лоренца, мы постулируем спонтанное нарушение вторичной симметрии и решаем задачу о дважды симметричном лагранжиане взаимодействия фермионного поля с бозонным [18].
Построенная нами теория бесконечнокомпонентных полей класса ШПП обладает замечательными спектрами масс, в качественном плане воспроизводящими характерные черты экспериментальной физики адронов и пар-тонной модели с мешками [19], [20].
При рассмотрении электромагнитных свойств частиц со спином покоя 1/2 мы сталкиваемся с новой проблемой бесконечного числа произвольных констант, не устраняемой требованием двойной симметрии теории и не имеющей пока никакого симметрийного способа решения. Позитивным моментом проведенного нами анализа [21] является возможность, не прибегая к явному введению внутренней структуры частицы, получить в рамках теории поля с двойной симметрией падающие с ростом квадрата переданного импульса электромагнитные формакторы, близкие к тем, которые экспериментально наблюдаются у протона.
Частным случаем двойной симметрии является симметрия сг-модели, аккуратно описанная Гелл-Манном и Леви [22], которая порождается преобразованиями с псевдоскалярными параметрами и потому связывает поля скалярных и псевдоскалярных частиц, не нарушая Р-симметрии. Группой вторичной симметрии сг-модели является 311(2)^ х 8и(2)ц, причем параметры одной группы 5/7(2) даются суммой пространственного скаляра и псевдоскаляра, а другой - их разностью. Стандартная лево-право симметричная модель [23]—[25] электрослабого взаимодействия использует, однако, группу 5(7(2)^ х 5£/(2)д, все параметры которой являются пространственными скалярами.
Изначально Р-инвариантная модель электрослабого взаимодействия с двойной симметрией, сформулированная нами [1] в духе Гелл-Манна-Леви, воспроизводит все результаты модели Вайнберга-Салама [26], [27] в области существующих энергий, кроме генерирования масс фсрмионов, и дает ряд логически значимых результатов, отсутствующих во всех прежних моделях. Во-первых, физический вакуум не обладает определенной пространственной четностью. Во-вторых, поля всех промежуточных бозонов представляют собой суперпозицию полярных и аксиальных 4-векторов, причем в полях заряженных бозонов эти вектора имеют одинаковый вес.
Нетривиальные физические последствия может иметь существование безмассового аксиального калибровочного бозона (аксиального фотона), допускаемого расширением модели электрослабого взаимодействия с двойной симметрией [28]. Первым ввел в рассмотрение аксиальный (магнитный) фотон Салам [29]. Впоследствии было высказано предположение [30] о взаимодействии аксиального фотона с нейтрино и был проведен анализ возможного проявления такого взаимодействия в редких распадах заряженных ^-мезонов [31] и в ослаблении потока солнечных нейтрино из-за их взаимодействия с реликтовым фоном нейтрино и аксиальных фотонов[32], [33]. В идейном плане это предположение коррелировало со сформулированным примерно в то же самое время предположением [34] о взаимодействии нейтрино с гипотетическим безмассовым скалярным бозоном, названным майороном, и с рассмотрением распадов заряженных /С-мезонов [35] и взаимодействия космических нейтрино с реликтовым фоном нейтрино и май-оронов [36]. Вариант взаимодействия аксиального фотона с фермионами в калибровочной модели работы [28] отличается от рассмотреного ранее [30]-[33] и открывает новые возможности для интерпретации ряда выполненых экспериментов и для постановки новых.
Математический аппарат группы Лоренца, применяемый нами при исследовании теории бесконечпокомпонентных полей с двойной симметрией, стал также ключевым звеном при установлении степени общности и обоснованности ряда теоретических положений, служащих получению окончательных результатов в поляризационных экспериментах по рассеянию электронов на протонах [37]—[41], которые находятся в противоречии с результатами неполяризационных экспериментов [42], [43]. К таким теоретическим положениям относятся, во-первых, предположение о том, что протон является дираковской частицей, во-вторых, формула Баргманна-Мишеля-Телегди [44], описывающая поворот спина релятивистской частицы в постоянном однородном магнитном поле, и, в-третьих, моделирование азимутальной асимметрии [45], возникающей в результате спин-орбитального взаимодействия при вторичном рассеянии протонов на углеродной мишени.
Мы подвергли новому анализу первые два теоретические положения из приведенных трех.
Доказано [46], что процесс упругого рассеяния неполяризованных и поляризованных электронов на нуклонах описывается одними и теми же формулами независимо от представления собственной группы Лоренца, сопоставляемого нуклону как частице со спином покоя 1/2.
Установлено [47], что в рамках квантовой теории нередки ситуации, когда некоторые правила классической теории спина, ведущие к формуле Баргманна-Мишеля-Телегди, не выполняются. Тем самым подвергается сомнению правомерность описания этой формулой вращения спина релятивистского протона, проходящего через внешнее магнитное поле.
Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения и списка литературы.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, следующие:
1. Введено на уровне строгого определения понятие двойной симметрии, которое включает в себя как частные случаи симметрию сг-модели Гелл-Манна-Леви, суперсимметрию и симметрию группы Пуанкаре. Указан неординарный подход к эффективному построению полевых теорий с двойной симметрией.
2. Впервые проведен ряд исследований теории полей класса ШРШ, которые преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в бесконечную прямую сумму конечномерных неприводимых представлений. Прежде серьезным препятствием для изучения таких теории было наличие бесконечного числа произвольных констант, допускаемого релятивистской инвариантностью теории. Мы требуем, чтобы теория полей класса 1БРЩ обладала двойной симметрией: инвариантностью относительно преобразований ортохронной группы Лоренца (первичной симметрией) и инвариантностью относительно преобразований вторичной симметрии, порождаемой полярным или аксиальным 4-векторным представлением ортохронной группы Лоренца. Названная вторичная симметрия теории оказалась действенным механизмом отбора допустимых представлений собственной группы Лоренца и устранения бесконечного произвола в константах теории. Найдены все, составляющие счетное множество, варианты теории свободных фермионных и бозонных полей с двойной симметрией.
3. Чтобы избежать бесконечного вырождения по спину спектра масс теории полей класса ¡БРШ с двойной симметрией, вызванного расширением группы Лоренца, мы принимаем предположение о спонтанном нарушении вторичной симметрии, которое должно приводить к изменению массового члена лагранжиана свободного поля. Для конкретизации такого измения решается задача о нетривиальном лагранжиане взаимодействия фермион-ного и бозонного полей, обладающего двойной симметрией. Дано строгое доказательство существования требуемого лагранжиана и найдено полное описание всего бесконечного множества матричных операторов, действующих в пространстве бесконечиокомпонентных полей.
4. Установлено, что в теории фермионных полей класса КГЩ со спонтанно нарушенной двойной симметрии существует широкая область свободных параметров, при которых теория имеет замечательные, с точки зрения физики адронов, спектры масс. Именно неприемлимые спектры масс из-за точки сгущения в нуле были камнем преткновения для всех прежних релятивистских построений с бесконечным числом степеней свободы: для билокальных уравнений типа Гинзбурга-Тамма и для релятивистски-инвариантных уравнений типа Гельфанда-Яглома, поля в которых преобразуются по представлениям собственной группы Лоренца, разложимым в конечную прямую сумму бесконечномерных неприводимых представлений.
5. Решен ряд математических задач, возникающих при аналитическом описании электромагнитных свойств недираковских частиц со спином покоя 1/2. Во-первых, найдена общая структура матричных антисимметричных операторов второго ранга. Во-вторых, установлены рекуррентные соотношения и явный вид ряда конечных преобразований группы Лоренца для конечномерных неприводимых представлений, содержащих спин 1/2. В-третьих, предложена и обоснована запись компонент полевого вектора рассматриваемой теории с двойной симметрией в виде бесконечных непрерывных дробей. В-четвертых, в рамках изучаемой теории продемонстрирована возможность (при С¡)2 < 0.5 (ГэВ/с)2) , не прибегая к явному введению внутренней структуры частицы, получить падающие с ростом квадрата переданного импульса электромагнитные формакторы, близкие к тем, которые экспериментально наблюдаются у протона.
6. В связи с серьезным противоречием в результатах для отношения электрического и магнитного формфакторов протона, полученных в поляризационных и неполяризационных экспериментах по упругому рассеянию электронов на протонах, нами предложено провести новый анализ всех сторон теоретических моделей и предположений, используемых при обработке экспериментов. Доказано следствие отказа от предположения, что протон описывается дираковским представлением: независимо от представления собственной группы Лоренца, сопоставляемого нуклону как частице со спином покоя 1/2, справедливы формулы Розенблюта и Ахиезера-Рекало для упругого ер-рассеяния.
7. Проанализирована также другая сторона теоретических оснований поляризационных экспериментов по упругому рассеянию электронов на протонах - формула Баргманна-Мишеля-Телегди, описывающая поворот спина релятивистской частицы в однородном магнитном поле. Показано, что принятое в классической теории предположение о нулевом значении временной компоненты аксиального 4-вектора спина в системе покоя частицы, на котором основывается доказательство формулы Баргманна-Мише-ля-Телегди, часто не выполняется в квантовой теории, а допустимое изменение этой формулы содержит значительные теоретические неопределенности. Обращено внимание на необходимость проведения в рамках экспериментов по упругому ер-рассеянию проверки того, хорошим или плохим приближением является используемая формула Баргманна-Мишеля-Телегди.
8. Построена изначально Р-инвариантная модель электрослабого взаимодействия с невырожденной двойной симметрии, которую можна рассматривать как скорректированную в духе Гелл-Манна-Леви лево-право симметричную модель. Она дает ряд замечательных логических следствий, которых не было ни в какой иной модели. Во-первых, доминирование заряженного тока одной их двух спиральностей обусловлено тем, что физический вакуум не обладает определенной Р-четностью. Во-вторых, поля всех массивных калибровочных бозонов представляют собой суперпозицию полярного и аксиального 4-векторов ортохронной группы Лоренца, причем у полей заряженных калибровочных бозонов веса этих 4-векторов одинаковы.
Благодарности
Я с низким поклоном вспоминаю академика A.M. Балдина, академика М.А. Маркова, академика О.С. Парасюка, П.Ф. Ермолова, А.У. Климы-ка, В.И. Фущича, Н.П. Юдина, их заинтересованное и доброжелательное отношение к моим научным исследованиям. Мне приятно выразить свою глубокую признательность Б.А. Арбузову, С.П. Баранову, Э.Э. Боосу, И.П. Волобуеву, A.A. Комару, В.И. Саврину, В.Е. Троицкому за стимулирующие обсуждения тех или иных проблем, затронутых в моих работах.
Заключение
1. L.M. Slad, Mod.Phys.Lett.A 15 (2000) 379.
2. В.Л. Гинзбург, И.Е. Тамм, ЖЭТФ 17 (1947) 227.
3. Н. Yukawa, Phys.Rev. 77 (1950) 219.
4. Ю.М. Широков, ЖЭТФ 21 (1951) 748.
5. М.А. Марков, ДАНЫ (1955) 101.
6. И.М. Гельфанд, A.M. Яглом, ЖЭТФ 18 (1948) 703.
7. H.H. Боголюбов, A.A. Логунов, А.И. Оксак, И.Т. Тодоров, Общие принципы квантовой теории поля, М., Наука, 1987.
8. И.М. Гельфанд, P.A. Минлос, З.Я. Шапиро, Представления, группы вращений и группы, Лоренца, их применения, М., Физматгиз, 1958.
9. A.A. Комар, Л.М. Сладь, ТМФ 1 (1969) 50.
10. I.T. Grodsky, R.F. Streater, Phys.Rev.Lett. 20 (1968) 695.
11. И.М. Гельфанд, A.M. Яглом, ЖЭТФ 18 (1948) 1094.
12. V. Bargmann, Math.Rev. 10 (1949) 583; 584.
13. E. Abers, I.T. Grodsky, R.E. Norton, Phys.Rev. 159 (1967) 1222.
14. P.A.M. Dirac, Proc.Roy.Soc.A 322 (1971) 435.
15. Л.М. Сладь, ТМФ 2 (1970) 67.
16. В. Паули, В сб. Нилъс Бор и развитие физики, М., ИЛ, 1958, с.46.
17. Л.М. Сладь, ТМФ 129 (2001) 68.
18. Л.М. Сладь, ТМФ 133 (2002) 54.
19. L.M. Slad, Proc.Inst.Math.Nat. Acad.Sci. Ukraine 50 (2004) 947.
20. Л.M. Сладь, ТМФ 142 (2005) 21.
21. Л.М. Сладь, ТМФ 165 (2010) 48.
22. M. Gell-Mann, M. Levy, Nuovo Cimento 16 (1960) 705.
23. J.C. Pati, A. Salam, Phys.Rev.D 10 (1974) 275.
24. R.N. Mohapatra, J.C. Pati, Phys.Rev.D 11 (1975) 566 and 2558.
25. G. Senjanovic, R.N. Mohapatra, Phys.Rev.D 12 (1975) 1502.
26. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264.
27. A. Salam, In Elementary particle theory, Almquist and Wicksel, Stockholm, 1968, p.367.
28. L.M. Slad, SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications) 2 (2006) 045.
29. A. Salam, Phys.Lett. 22 (1966) 683.
30. Л.М. Сладь, ЯФ 27 (1978) 1417.
31. Л.М. Сладь, ДАН 265 (1982) 615.
32. Л.М. Сладь, Письма в ЖЭТФ 37 (1983) 115.
33. Л.М. Сладь, ДАН 269 (1983) 1345.
34. G.B. Gelmini, M. Roncadelli, Phys.Lett.B 99 (1981) 411.
35. G.B. Gelmini, S. Nussinov, M. Roncadelli, Nucl.Phys.B 209 (1982) 157.
36. S. Nussinov, M. Roncadelli, Phys.Lett.B 287 (1983) 287.
37. M.K. Jones et al., Phys.Rev.Lett. 84 (2000) 1398.
38. О. Gayou et al., Phys.Rev. С 64 (2001) 038202.39. 0. Gayou et al., Phys.Rev.Lett. 88 (2002) 092301.
39. V. Punjabi et al., Phys.Rev. С 71 (2005) 055202.
40. M.K. Jones et al., Phys.Rev. С 74 (2006) 035201.
41. M.E. Christy et al., Phys.Rev. С 70 (2004) 015206.
42. I.A. Qattan et al, Phys.Rev.Lett. 94 (2005) 142301.
43. V. Bargmann, L. Michel, V.L. Telegdi, Phys.Rev.Lett. 2 (1959) 435.
44. L. Wolfenstein, Phys.Rev. 76 (1949) 541.
45. Л.М. Сладь, ТМФ, 158 (2009) 135.
46. L.M. Slad, Phys.Lett.A 374 (2010) 1209.
47. M.N. Rosenbluth, Phys.Rev. 79 (1950) 615.
48. А.И. Ахиезер, М.П. Рекало, ЭЧАЯ 4 (1973) 662.
49. Ю.А.Гольфанд, Е.П.Лихтман, Письма ЖЭТФ 13 (1971) 452.
50. Ю.Весси Дж.Беггер, Суперсимметрия и супергравитация, М., Мир, 1986.
51. П.Уэст, Введение в суперсимметрию и супергравитацию, М., Мир, 1989.
52. I. Estermann, R. Frisch, О. Stern, Nature 132 (1933) 169.
53. R.W. McAllister, R. Hofstadter, Phys. Rev. 102 (1956) 851.
54. Y. Nambu, Suppl.Prog. Theor.Phys. 37 & 38 (1966) 368.
55. A.O. Barut, H. Kleinert, Phys.Rev. 157 (1967) 1180.
56. C. Fronsdal, Phys.Rev. 171 (1968) 1811.
57. G. Bisiacchi, P. Budini, G. Calucci, Phys.Rev. 172 (1968) 1508.
58. S. Coleman, J. Mandula, Phys.Rev. 159 (1967) 1251.
59. Г. Вейль, Классические группы. Их инварианты и представления, М., ИЛ, 1947.
60. Г. Бейтмен, А.Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, Т.1, М., Наука, 1973.
61. V.L. Ginzburg, Acta Physica Polonica 15 (1956) 163.
62. A. Chodos, R.L. Jaffe, K. Johnson, C.B. Thorn, V.F. Weisskopf, Phys. Rev.D 9 (1974) 3471.
63. S. Ström, Arkiv Fysik 29 (1965) 467.
64. Particle Data Group, K. Hagiwara et al., Phys.Rev.D 66 (2002) 010001.
65. R.E. Cutkosky, S. Wang, Phys.Rev.D 42 (1990) 235.
66. J. Arrington, Phys.Rev. С 68 (2003) 034325.
67. P. A. M. Guichon, M. Vanderhaeghen, Phys.Rev.Lett. 91 (2003) 142303.
68. P.G. Blunden, W. Melnitchouk, J.A. Tjon, Phys.Rev. С 72 (2005) 034612.
69. A.V. Afanasev, S.J. Brodsky, C.E. Carlson, Y.-C. Chen, M. Vanderhaeghen, Phys.Rev.D 72 (2005) 013008.
70. S. Kondratyuk, P.G. Blunden, W. Melnitchouk, J.A. Tjon, Phys.Rev.Lett. 95 (2005) 172503.
71. S. Kondratyuk, P.G. Blunden, Phys.Rev. С 75 (2007) 038201.
72. L.W. Mo, Y.S. Tsai, Rev.Mod.Phys. 41 (1969) 205.
73. D.R. Yennie, M.M. Levy, D.G. Ravenhall, Rev.Mod.Phys. 29 (1957) 144.
74. L.H. Hand, D.G. Miller, R. Wilson, Rev.Mod.Phys. 35 (1963) 335.
75. А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий, Квантовая электродинамика, М., Наука, 1981.77 78 [79 [808182 83 [84 [85 [86 [87 [88 [89 [90 [9192 93
76. Particle Data Group, W.-M. Yao et al., J.Phys.G 33 (2006) 1.
77. J. Frenkel, Z.Phys. 37 (1926) 243.
78. И.М. Тернов, B.A. Бордовицын, УФН 132 (1980) 345.
79. Т. Janssens, R. Hofstadter, E.B. Hughes, M.R. Yearian, Phys. Rev. 142 (1966) 922.
80. E. Price, J.R. Dunning, Jr., M. Goitein et al., Phys. Rev. D 4 (1971) 45.
81. E. Tamm, Z.Phys. 55 (1929) 199.
82. S.I. Rubinov, J.B. Keller, Phys.Rev. 131 (1963) 2789.
83. K. Rafanelli, R. Schiller, Phys.Rev.В 135 (1964) 279.
84. V. Bargmann, E.P. Wigner, Proc.Nat.Acad.Sci. 34 (1948) 211.
85. Pentchev, JLab Technical Note JLAB-TN-03-024 (2003).
86. J. Schwinger, Ann.Phys. (N. Y.) 2 (1957) 407.
87. F. Giirsey, Nuovo Cimento 16 (1960) 230.
88. B.F.Touschek, Nuovo Cimento 5 (1957) 754 and 1281.
89. Y. Nambu, G. Jona-Lasinio, Phys.Rev. 122 (1961) 345.
90. JI.M. Сладь, В сб. Теоретико-групповые методы в физике, М., Наука, 1986, 293.
91. S.L. Adler, Phys.Rev. 177 (1969) 2426.
92. J. Bell, R. Jackiw, Nuovo Cimento A 60 (1969) 47.
93. S.L. Adler, W.A. Bardeen, Phys.Rev. 182 (1969) 1517.
94. S.L. Adler, arXiv:hep-th/0411038 (2004).
95. D.J. Gross, R. Jackiw, Phys.Reu.D 6 (1972) 477.
96. C. Bouchiat, J. Iliopoulos, Ph. Meyer, Phys.Lett.B 38 (1972) 519.
97. C.Q. Geng, R.E. Marshak, Phys.Rev.D 39 (1989) 693.
98. P. Fayet, Phys.Lett.B 95 (1980) 285.
99. P. Fayet, Nucl.Phys.B 187 (1981) 184.
100. P. Fayet, Nucl.Phys.B 347 (1990) 743.
101. C. Boehm, Phys.Rev.D 70 (2004) 055007.
102. A. Bellerive, Int.J.Mod.Phys.A 19 (2004) 1167.
103. W.J. Marciano, Z. Parsa, J.Phys.G 29 (2003) 2629.
104. F. Reines, H.S. Curr, H.W. Sobel, Phys.Rev.Lett. 37 (1976) 315.
105. Z. Daraktchieva et al., Phys.Lett.B 615 (2005) 153.
106. Particle Data Group, S. Eidelman et al., Phys.Lett.B 592 (2004) 1.
107. M.J. Levine, H.Y. Park, R.Z. Roskies, Phys.Rev.D 25 (1982) 2205.
108. P.J. Mohr, B.N. Taylor, Rev.Mod.Phys. 77 (2005) 1.
109. P.A.M. Dirac, Psoc.Roy.Soc.A 133 (1931) 60.
110. J.D. Taylor, Phys.Rev.Lett. 18 (1967) 713.
111. M.A. Марков, Письма в ЖЭТФ 3 (1966) 98.
112. M.G. Smoes, Nucl.Phys.B 20 (1970) 237.
113. K.S. Heard et al., Phys.Lett.B 55 (1975) 324.
114. D.Yu. Bardin, S.M. Bilenky, B.M. Pontecorvo, Phys.Lett.B 32 (1970) 121.
115. C.Y. Pang, R.H. Hildebrand, G.D. Cable, R. Stiening, Phys.Rev.D 8 (1973) 1989.
116. J.N. Bahcall et al., Rev.Mod.Phys. 54 (1982) 767.
117. Б. Понтекорво, ЖЭТФ 53 (1967) 1717.
118. С. Вайнберг, Гравитация и космология, М., Мир, 1975.
119. J.N. Bahcall, Rev.Mod.Phys. 50 (1978) 881.
