Группы Батлера тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Р Г Б ОД

2 5 НОЯ Шо

На правах рукописи

КОВЯЗИНА Елена Михайловна

ГРУППЫ БАТЛЕРА

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина на кафедре алгебры.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ФОМИН A.A.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЕВ A.B.,

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ A.A.

Ведущая организация: Нижегородский государствешый педагогический университет имени М. Горького.

на заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, Краснопрудная ул., д. 14, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Ленина по адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1, МПГУ.

Автореферат разослан «. ,1996 года.

Защита диссертации состоится «.

1997 г. в

1С

часов

Ученый сек

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Изучение класса групп Батлера началось в 1965 году с работы М.Баглера [9]. Он рассмотрел наименьший класс збелевых групп без кручения конечного ранга, который содержит все х-рупш ранга I, зажнут над конечными прямыми сушами, сервантш-ми подгрушами и гомоморфными образами без кручения. Одновременно с работой Батлера вышла статья Д.Кёлера [10], в которой он изучает квазисущественные группы, которые совпадают с грушами Батлера. В дальнейшем эти группы получили название группы Батлера. В настоящее время этот класс групп широко изучается, опубликовано более ста работ. В частности, статья Д.Арнольда [5], совместные Д.Арнольда и С.Винсонхалера [6-7]. Это узкий, но весьма интересный класс групп. В нем содержатся все вполне разложимые абелевы группы без кручения конечного ранга. С другой стороны, этот класс включает много известных примеров "патологических" прямых сумм разложения груш без кручения конечного ранга (см.Фукс[4], §90). Бреннер и Батлер показали, что если К - любая конечномерная ассоциативная (О-алгебра с единицей, то существует группа Батлера с алгеброй квазиэндоморфизмов, изоморфной алгебре К [8]. Кёлер показал, что если А - абелева груша без кручения конечного ранга с конечным множеством типов, то существует единственная, с точностью до квазиравенства, группа Батлера В такая, что В £ А, А(т)/В(т) периодическая для каждого типа т, и множество типов

группы А совпадает с множеством типов группы В [10].

Д.Арнольд и С.Винсонхалер получили квазиизоморфные инварианты для групп Батлера, рассматривали точные последовательности этих групп, двойственность в классе групп Батлера. В диссертации группы Батлера изучаются с другой стороны, используя теорию А.А.Фомина [1-3].

Цель работы. Описать пространства, соответствующие грушам Батлера по эквивалентности А.А.Фомина для категории квазиизоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга с приведенным типом Ричмена Тт и категории (т1,...,Тт)-пространств,

которые представляют из себя конечномерные рациональные подпространства (й(Т1) ©. ..© ), где (D () - кольцо 1.,-адаческих чисел, i = I,....т.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории абелевых групп и модулей, методы теории чисел.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие:

-получены необходимые и достаточные условия на коэффициенты системы t-адических соотношений, соответствующей группам Батлера;

-описаны ,...,^-пространства, соответствующие группам Батлера по эквивалентности A.A.Фомина для категории квазиизоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга с приведенным типом Ричмена т1 тт и категории (Т1,т )-пространств.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретическое значение. Результаты данной работы могут быть использованы при дальнейшем изучении груш Батлера. Практический интерес представляют алгоритм нахождения приведенной системы типов и теорема восьмого параграфа для вполне разложимых групп.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на II международной конференции женщин -математиков (Москва, 1994 г.), на симпозиуме "Абелевы группы", посвященном 80-летию Л.Я.Куликова (Бийск, 1994 г.), на международной конференции по абелевым грушам, посвященной 70-летию Л.Фукса (Падуя, Италия, 1994 г.), на алгебраических семинарах Московского педагогического государственного университета и Вятского государственного педагогического университета.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 5 работ, список которых приведен в конце автореферата [1-5].

Структура и Объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 28 наименований. Полный объём диссертации 69 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит краткий обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности решаемых в диссертации

задач, а также краткое содержание диссертации.

Первая глава навивается "Категория (Т1,... .^-пространств и категория квазигомоморфизмов абелевых групп без кручения конечного ранга" и, в основном, посвящена изложению методов, разработанных А.А.Фоминым, которые используются в следующих двух главах при изучении групп Батлера. Эта глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе приводится понятие ч;-адического числа и некоторые основные свойства т-адических чисел [1].

Если % = [(ш )] - некоторый тип, т - натуральное число, О

р ш р

или символ со, то <й(1) - 0 ® П 2р р называется кольцом т-адаческих

Р

чисел, Р пробегает множество всех простых чисел, ¡^р03 - кольцо

V

целых р-адяческих чисел, 1р" - кольцо классов вычетов по модулю

к 1 р , если К < оо.

А также в этом параграфе вводится новое понятие кусочно рационального т-адического числа, которое играет основную роль в изучении груш Батлера при нашем подходе.

Определение 1.5. Назовем т-адическое число а кусото рациональным, если его можно представить в виде:

а - £ ,

11 п п

где 'Ц.....^ £ (В; 5^...,6 - идемпотенты из ¡В(т) такие, что:

1) = 0, если

2) 5.+...+8 = I. |

1 п ■

Во втором параграфе перечисляются основные свойства

(т1,...Дт)-магрицы и ее дефекта, а также свойства (11,...Д )-пространства и его дефекта [2].

В третьем параграфе изложена теорема А.А.Фомина [2] об эквивалентности категории {% ,1т)-пространств и категории квазигомоморфизмов коредуцированных абелевых групп без кручения конечного ранга с приведенным типом Ричмена Т., т .

Любая абелева группа А без кручения конечного ранга задается следующей системой т-адических соотношений:

(I)

ал,х, +...+ а. х =0; а,,,...,а, е

111 1п п ' 11 * 1п 1

а .х, +...+ а х - 0; а € ®(т; ).

4 гп1 1 гпп п т1 ' тп т

Конечномерное над ® подпространство и векторного пространства М - ©(^)©...®й(т ), порожденное элементами ^ .....а^); 1 = 1,...,п, соответствует груше А по эквивалентности А.А.Фомина и

называется (т,.....1 )-щгастранс:твом.

1 га

В четвертом параграфе приводится обобщение этой теоремы на

языке категории линейных отображений в конечно представшие

[К-модули [3], где К = ® О П2р°° - кольцо универсальных чисел, что

Р

позволяет нагляднее уяснить понятие дефекта (11,...,т )-простран-

Вторая глава является основной в работе. В параграфе пять доказывается теорема, которую можно считать главным результатом диссертации.

Теорема 5.3. Для группа без кручения В конечного ранга п следующие условия эквивалентны:

1) В - груша Батлера;

2) группу В можно задать конечной системой Т-адических соотношений с рациональными коэффициентами;

3) существует регулярная, базисная система соотношений с кусочно рациональными коэффициентами, задающая грушу В;

4) существует (1 ,...,1т)-пространство V ранга П, соответствующее груше В, состоящее из элементов вида (а,,...,а ), где а^ - кусочно рациональные т^-адические числа;

5) любое ,...,т )-пространство соответствующее груше В, имеет вид ¥ = АУ, где А - обратимая (1 ,...,тт)-матрица, V -описанное з п.4) (ч^ )-пространство.

В шестом параграфе рассматриваются квазшзоморфные инварианты Кёлера для груш Батлера: множество типов группы А и линейные пространства А*(т), где к* (%) = 0 ® к(%), А(г) = (а£ А | тип(а) > г}. Вводится понятие ассоциированной системы типов и доказывается следущущая теорема, которая показывает связь между инвариантами Д.Кблера и кусочно рациональными пространствами, описанными в теореме 5.3.

Обозначим АГ(ДА) - модуль т;-адических соотношений группы А.

АТ(А) = {(а1,...,ап)в шН) | а^ +...+ апхп = 0}

Теорема 6.5. Пусть группа Батлера А задана системой соотно-

шений (I) с кусочно рациональными коэффициентами. И пусть I = , - система типов, ассоциированная системе Т-адичес-

ких соотношений. Тогда множество типов Т и набор линейных пространств 5)" П А^(А) для каадого типа Т совпадают с инвариантами Кёлера.

В третьей главе изучаются отдельные классы групп Батлера. В параграфе семь рассматриваются группы Батлера с одним соотношением. Это группы, приведенный тип Ричмена которых состоит из одного типа Т. Этот класс групп включен в класс всех групп Батлера и для него выполняются все условия теоремы 5.3, однако, это более простой класс и он обладает некоторыми свойствами, которыми не обладают все группы Батлера. Группы Батлера с одним т-адическим соотношением имеют шожество типов следующего вида:

Теорема 7.3. Пусть А - группа Батлера с одним Т-адическим

соотношением. Тогда А имеет шожество типов (0,т,,...где

= 0, для всех 1 Ф = т, ранг (А (т^)) = I и

А. (О = 0, где А (т.) = {а€ А | тип(а) > т.}. 1 ^ 1 1

В восьмом параграфе рассматривается класс почти вполне разложимых групп и получается необходимое и достаточное условие на коэффициенты системы, задающей вполне разложимую группу.

т.

'О

ш

Определение 8.1. Абелева группа без кручения конечного ранга А называется почт вполне разложшой, если она квазиравна некоторой вполне разложимой группе

А = А, ©...©А ,

1 п

где ранг(А1) = I.

Теорема 8.2. Абелева группа без кручения конечного ранга п является почти вполне разложимой тогда и только тогда, когда существует регулярная, базисная система соотношений, задающая группу А, следующего вида:

11 11 п! 1п' 1 4 1к 11 Ш 1П 21

, г ,8 +...+ (1;, 5 . +...+ г е = о,

1 I 1Г.1 п1 Е21 ! 1п т1 1111 тп и

где £..,,... - взаимно ортогональные вдемпотенты из (3(0.^), в суше равные с^-адической единице, для всех 1 = 1,...,т; П-ки t ,), ..., (1;, ,...,1 ) - линейно независима.

I 1 П1 1П Ш1

Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору А.А.Фомину за многочисленные полезные замечания, постоянное внимание и моральную поддержу.

- II -ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. А.А.Фомин, Абелевы группы с одним г-адическим соотношением // "Алгебра и логика", 28, J6I, 1989, С.83-104.

2. A.A.Fomin, The category of quasi-hoiromorphisms of abeli-an torsion free groups of finite rank // Contemporary Mathematics, vol.131, 1992 (Part 1), P.91-111.

3. A.A.Fomin, Finitely presented modules over the ring of universal numbers // Contemp. Math., vol.171, 1995, P.109-120.

4. Л.Фукс, Бесконечные абелевы группы, М., Мир, T.I, 1974; Т.2, 1977.

5. В.М.Arnold, Pure subgroups of finite rank completely decomposable groups // Lecture Notes in Mathematics, vol.874, 1981, P.1-31.

6. D.M.Arnold and G.Vinsonhaler, Invariants for a class of torsion-free abelian groups of finite rank // Proc.London Math. Soo., vol.3, 15, 1965, P.680-698.

7. D.M.Arnold and C.Yinsonhaler, Pure subgroups of finite rank completely decomposable groups II // Lecture Motes in Mathematics, vol.1006, 1983, P.97-143.

8. S.Brenner and M.O.R.Butler, Endomorphlsm rings of vector spaces and torsion free abelian groups // J. London Math. Soc. 40 (1965), 183-187.

9. И.С.E.Butler, A class of torsion-free abelian groups of finite rank // Proc.London Math.Soc., vol.15, №3, 1965, P.680-98.

10. J.Koehler, The type set of torsion free group of finite rank // Illinois J.Math., vol.9, 1965, P.66-86.

РА60ТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Е.М.Ковязина, т-адические инварианты для груш Ватлера // Международный конгресс "Женщины - математики", сборник тезисов, Москва, 1994, С.37.

2. Е.М.Ковязина, Группы Ватлера с одним Т-адаческим соотношением // Симпозиум "Абелевк группы", посвященный 80-летию Л.Я.Куликова, сборник тезисов, Вийск, 1994, С.12-14,

3. Е.М.Ковязина, Почти вполне разложимые группы 7/ III Международная конференция женщин - математиков, сборник тезисов, Воронеж, 1995, С.68.

4. Е.М.Ковязина, ,....Т^)-пространства для групп Ватлера // Фундаментальная и прикладная математика, том 2, Л I, 1996, С.295 - 300.

5. Е.М.Ковязина, Группы Ватлера с одним т-адичееким соотношением // Математические заметки, том 60, J 6, 1996, С.882-887.