Группы с некоторыми границами для неинвариантных подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИ1ВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ 1м.ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису

ТРЕБЕНКО Дмитро Якович

УДК 519.41/47

ГРУПИ 3 ДЕЯКИМИ ОБМЕНЕННЯНИ ДЛЯ НЕ1НВАР1АНТНИХ П1ДГРУП

01.01.06 - матеыатична логчка, алгебра 1 теор1я чисел

Азтореферат дисертацП на здооуггя вченого ступени кандидата ф1зико~математичних наук

КИ1В - 1993 р.

Робота вшюнана у в1дд!л1 алгебри I тополог1чнлх катод1в анал!зу Институту математики. АН Укра1ни

Науков! кер1вникл

СфкШш! опоненти -

член-кореслсндент АН Укра1ни, доглор ф1Бико-матеыа7ичних наук, иросц-'сор ¡ЧЕРНИГОВ C.M.j

доктор ф1зико-ыатеыатичних наук,

професор ТУРВ1Н А.Ф.

доктор ф1зико-математкчних наук,

професор ЧАР1Н B.C.

кандидат ф1аико-ыатематичних наук

СЭЖО М.М. , '

Проэ1дна орган1аац1я - Льв1вський дерасзвккй ун1верситот.

Оахисг в1д0удеться -¿7" 19&3 р. 0 _

годин на зас1данн1 спец1ал1зовано1 ради Д 01.01.01 при КШвськоы Ун1вероитрт1 1мен1 Тараса Шевчеика .за адресою: - 252124, Ки1в-124, просае;-.т Дкадем1ка Гдуикова, 6, механ1ко-математичний факультет, ауд. 42.

3 дксертац1ею 'т*на ознайоаитися в иауков!й 010л1отец1 Ун1-верситету

Автореферат роз1слано

Вчекий секретер

сле.д1ал1зовано1 ради 0BCI6HKO С.А.

ЗЛГАЛЬНЛ ХАРАКТЕРИСТИКА РСБОТИ

Актуадьн1сть теми. В даний час одним is важдивих, перспективних t активно розроблюваних налрямМв загально! те-opt!труп е досл{дмення груп за ааданними властивостями системи 1х Шдгруп.

1дея вивчення груп, визкачених властивостями системи 1х Шдгруп, вв1йшла в neopto груп э гам1льтоновими трупами, трупами Шллера-Морено, трупами Шм1дта З'явившмсь спочатку в облает! ск1нченних груп, вона роаповсюд/илась по?1м t на неск1нченн1 групи..

' 3 гам!льтонових груп почалось вивчення дов!льних (як неск1нченних так 1 ск!нченних) груп, система п!дгруп яких эа-довольняе тим чи 1шшш вимогам, пов'язаним 1э Еластив1стю iнварiантност1. У цьому напрямку одержано багато важливих результате як радянськими (О. й Шм1дт, С. М. Черн1ков, R С. Чар1н та 1н.) так i закордонними (Р. Дедек1нд, Р. Бер, та 1н.) алгеб-ра!стами.

Особливий 1нтерес викликаб досл1дження довхльних (неабеле-вих) груп, визначених т1оо чи 1ншою системой не!нвар1антних п1дгруп, оск1льки вид1лен1.при цьому для вивчення класи груп е лриродним , як правило, досить значним узагальнекням класу неск1нченних гамиьтонових груп.

Так,Г. М.Ромал1с t Ы.Ф. Сесек1н ВЕели в розгляд i вивчали групи з обмехенням iнвар!антност! для системи Bcix неабелевих п1дгруп; дов!льн1' групи э цими умовами вони иааьали мета-гамхльтоновкми. Конструктивная о'пис доз1льних локально

стуШнчастих метагам!лътонових груп дано в роботах М. Ф. Кузен-ного та М. М. Семка

Дана дисертац!йна робота присвячена вивченню узагальнення метагам!льтонових груп, яке визначаеться шляхом накладання умови !нвар!антност! на вс! власн! п1дгрупи, щр не волод!ють центральним у вс!й груп! цикл!чним комутантом. Групи такого виду в роботах дисертанта названо уэагальнено метагам!льтоно-вими.

МЕТА РОБОТИ. Метою . роботи е вивчення будови уэагальнено метагам!льтонових груп.

НАУКОВА НОВИЗНА РЕЗУЛЬТАТ 1Е В дисертац!йн!й робот! автором одержано нов! теоретичн! результати. зокрема:

. -доведено, щр фактор-група локально ступ1нчасто1 групи в за И розв'яаним нормальним д!льником N е також локально ступ!нчастою групою;

-встановленно, що локально стуг1нчаста уэагальнено мета-гам !льтонова група в розв'язна,1 ступ1нь 1! розв'язност! не перевищуе чирла ;3;

-одержано будову комутанта б' н1льпотентно! уэагальнено метагам!льтоново! групи 6 ;

-одержано будову комутанта о' локально ступ!нчасто! нен!льпотентно! уэагальнено метагам!льтоново! групи в ;

-доведено,щр другий комутант б'^льпотентно! уэагальнено метагам1льтоново1 групи О е ск!нченною примерною центральною в 6 Шдгрупою;

-а точн!стю до тв!рних елемент!в 1 визначаючих сп!вв!дно-шень описано ск!нченн! ! неск!нченн1 н!льпотентн! групи клару 2 3 ДВОМа тв!рними;

-одержана характериваЩя н!лъпотентних увагальнено мета-

гашльтонових груп;

- конструктивно описано локально стугпнчаст1 нен1Льпо-тентн1 узагальнено метагам1льтонов1 групи.

Апробация одержаних результат1в. Результати дисертащ! допов:дались на XIX Всесоюзна алгебра1чн1й конференцН (Льв1в,1987 р.). на XI Всесоюзному симпоз1ум! з теорп груп (Свердловськ» 1989), на М1жнародн1й алгебра1ЧН1й конференци (Новосибгрськ, 1991), на семшарах з теорП груп 1нституту математики АН Укра!ни (1986-1992), на Кшвському м^ському ал-гебра1чному сем1нар1 (1992), на зв1тно-науков1й конференцп викладач!в КшЪського державного педагог¡чного шституту 1м. М. П. Драгоманова (1989-1993). Основн! результати опублжовано у роботах С1-6].

Структура об' ем роботи. Дисертащя складаеться 13 вступу, розд1лу "Позначення, означення та допом1лш результати" I семи параграф1в, як1 розбит1 на три глави, списку л!те-ратури 13 У Ь назв, М1стить стор!Нок машинописного тексту.

ЗМ1СТ РОБОТИ

У вступг обгрунтовуеться актуальн^ть теми, даеться огляд результат1в, як1 пов'язан1 13 темою дисертацН, а також пере-раховутрться основыI результати роботи.

У роздШ "Позначення, означення та допомхжнх результати" наведено основ.Ч1 означення та результати, як1 необХ1дн1 при доведеннГлем I теорем дисертащ ь

Глава I "Загалыи результати" складаеться 1з двох параг-раф1в.

У викладено деяк! допом1жн1 твердження, встановлен:

автором, SKi використовуються дал1 при доведеныi основних результат t в I, II та III глав. Зокрема, встановлено, що клас узагальнено метагам!льтонових груп замкнений по п1дгрупах. поч фактор-групах i не замкнений по прямих добутках (лема 1.1.2). Доведена теорема, що комутант всякоi шдгрупи узагальнено ме-тагам1льтоново! групи g'e 1нвархантною шдгрупою групи G (теорема 1.1.1).

У $2 встановлена розв'язнють локально стушнчастох узагальнено метагам1льтоново1 групи G i обмежен1сть ступеня ii розв'яэносг1 числом 3 (теорема 1.2.1). Зокрема, показано, що другий комутант G" узагальнено метагам1льтоново! групи G е скаченною примарною центральною в G пхдгрупою (наслхдок 1.2.2). Доведена в цьому параграфi лема 1.2.1, що фактор-група G/N локально ступ1нчастох групи G за ii розв'язним нормальним Д1ЛЬНиком N також е локально ступ1нчастою групою, мае i певне самост1йне значения. 1з Hei випливае, наприклад, твердження: якщо G - локально стушнчаста група i N - ii центральна п1дгрупа, то фактор-група G/N також е локально ступ!нчастою групою (наслхдок 1. 2.2):

Глава II "Шльпотентн! узагальнено метагам1льтонов1 групи" складаеться ia трьох параграф1в.

yfl уточнюеться будова комутанта н1льпотектно1 узагальнено метагам1льтоново'1 грули. Це уточнения дае наступне тверд-

Теорема 2.1.1. Другий комутант G" н!льпотентно1 узагальнено мeтaгaмiльтoнoвoi групи G е скаченною примарною центральною в G п!дгрупою, а комутант G'ui ei групи задовольняе одному i3 тверджень:

1) комуташт g' групи G е центральною локально циклхчною

п1дгрупой 1з G;

/

2) комутант G-PxD, де Р - скученна сил!вська р-п!дгрупа ta g' щр не е центральною цикл!чною п1дгрупою 1з G, р-просте число, комутант м' всяко1 п!дгрупи М 1з Р е центральною цикл1чною п!дгрупою ta G, D - центральна п!дгрупа ta G порядку не вище 2;

3) комутант G^PxD, де Р - ск!нченна сил!вська р-п!дгрупа 1э в', р-просте число, <KP)-Z(P), 1Р/Ф(Р)| -р, D - центральна п!дгрупа ta G порядку не вшце 2» G - нерЮдична група виду G-AxB, де В - сил!вська p-ntflrpyna ta G, В-Р, А - дедек!ндова група.

Заувамення. Для пор1вняння класу н*льпотентних узагальне-но .метагам1льтонових труп is класом ниьпотентних метагам1ль-тонових груп, сл!д в1дм!тити, шр комутант нЬшютентних мета, гам!льтонових груп е ск!нченною примарною абелевсю груиою.

о

6 2 присвячекий характеризац!t класу н!льпотентних уза-гальнено М!Этагам1льтонових груп.

Спочатку зауважимо, щр опису н1льпотентних метагамгльто-. нових груп присвячено 6i.M десяти poötT (A.A. Махньов, М.Ф.Ку-зенний, М.Ы. Сеыко). У цьому олис! вид!лено 39 гшпв груп такого виду. Bet ц! групи мать скЛнченний примарний абелезий комутант. Так як н!льпотентн1 узагальнено м'етагач!льтоноз1 групи аожуть мати t неск!нченний t нелримарний комутант, то ix опис е непростою досить об' слною задачею. У зв'язку а цим § 2 обмежуеться Еид1ленням окремих достатньо • кенкре-тизованих KJiaciB груп такого виду.

Доведено сл1дуюч! теореми.

Теорема 2. 2.1. Узагальнено метагам1льтонов1 групи з цент-ральним локально циюнчним комутантом е трупами слхдуючих

клас1в:

1) 6 - трупа э центральном цикл!чним комутанток (отео груп такого виду з 2 та 3 тв1рними дано в 03 ]);

2) 6 - трупа в* центральним кваз1цикл!чяим комутантом;

3) &-А*В, де А - гам!льтонова трупа. В - сил!вська р-п1дгрупа 1з Б з центральним кваз1цикл1чниы комутантом, р>2, р - просте число;

4) в - непер!одична трупа з повним центральним пер!одич-ним неск1нченним комутантом б' всяка п!дгрупа яко! а нецикл 1чним комутантом м!стить Б;

5) в - неперЮдична трупа з центральним комутантом о' 18оморфнкм адитивн1й труп! рац!ональних чисел 0, всяка п!дгру-па 1э Б з нецикл 1чним комутантом м!стить в.'

Теорема Шльпотентн! узатальнено метагам1льтонов1

групи е трупами сл!дуючих клас1в:

1) - б) класи груп теорем г2.2.1.;

6) н1льпотентн! групи 1а ск!нченним примарним комутантом, який не е центральною цикл!чною п!дгрупою вс1е! групи, всяка п1дгрупа комутанта мае цикл!чний центральний у вс!й груп! ко-мутант;

7) перюдичн! групи виду О-А*В, де А - гам1льтонова трупа, В - примарна сил!вська п1дгрупа 1э О 1а ск!нченним комутантом В7, щр не е центральною цикл1чнов п1дгрупою 1э О, всяка п!дгруяа 1з В мае центральний в в цикл!чний комутант;

8) пер!одичн1 групи виду Б-А*В, де А - дедек!ндова трупа, В - примарна сшПвська п!дгрупа групи в 1э ск1нченним комутантом в', мШмальне число тв!рних В сп1впадас а числом 3.

Для клас!в 1) - 3)'груп теореми 2.2.2 приклади даних груп

г>с5у?ова»о. Гктаинй про 1сиувакня груп juaciE «1) - 8) зал i-шстьея шдкритим,

В £ 3 дано приклад биыз детального вив-чгшя труп теоремн 2.2.2. В кьому з точн1етю до тв!рних еле-ментиз 1 виэначальнмх сп!вв!дношень дано опис н1льпотентних труп класу 2 з двома тв!рними. Цей опис дакггь сл!дух>41 тверд-женнв.

Теорема 2.3.1. СМнченк! р-групп класу 2 з двома тв1рними вичерпуюгься трупами сл!дуюч!х тип1в:

1) G-(<OX<a>)<b>, де ia,bl-ab с. Го,Ь]-а¥г с"**, г -

Щле число, <с>о <Ь>-1, Go <a>-G'n <Ь>-<а>П<Ь>-(<с>х<а>)о <ь>-

JT .Y . л, ^

-<aJ >-<Ь* >. Z(G)-G -<Ca,b)>. lal-lbl-2 , /Са.Ы/ -2* .

Ю1-2Р1- . f >1; с а

-fib -рг

2) G-(<o>x<b>)<a>. де Ca,b]-b' о » Со.аЗ-b с , г-

ц!ле число, <с>П<а>-<1>, G'fl<b> >Gfn<a> >1,. 1а!-рл, lbl-p^, . Icl-p4!, «

3) 6-(<с>х<а>)л<Ь>, де Са.Ы-о, tb.c]-l. lal-p*. Ibl-p^,. Icl-p", p - просте число, ot^^l, fi ^

4) G-<a><b>, де [а.Ы-а^* Г, Z(G)-<a^ xb^ >, I al -p°\ I bl -[Л ICa.bJI-p^. p- проста число. ,

5) G-(cox<a>)Xb>, де £a,b]-a^ c, Cc.b3-ar cr , Z(G)n<a>-<ap >. Z(G)n<b>-<bP >. lai-p*. !b! -pf\! cl-рГ. IС а, ЫI-pr, p- просте число, *>Г>Г>12Г-<*1, fi>f,

Теорема 2.3,2. Ск!нченн1 н!льпотентн? групи класу на ви'дз 2 а двома тв1рнинл вичерпуюгься прямими лсфтками ск1нчзнного числа груп 6,t б.,, ...» Grt, со эадовольняюгь cat душ! уиови:

1 > по^гл- груг 3;, i-i, Z, .... г», с степеням' простих чгее.г * г.сг,№яо взаеино-npocii;

2> „ 2, .... п, порода сться двсад «змеята-

ми t або абелева, або е грулою одного 1э тиШв 1) - 5) теореми 2.3.1.

Дема 2.3.6. Пехай G - импотентна група класу 2 виду 6-Рл<Ь>, де <Ь> - неск1нченна цикл!чна група, P-<[a,b]xa? е р - груиою.

Тод1 G 1зоморфна труп! одного ia тип!в:

1) G-(<c>x<a>><b>. де Га.Ы-с, [b,c]-l, lal-p1*, 1Ы-оо, icl-pr. » f >1;

Р*"Г Рг Рг

2) G-<a»<b>, де [а,ЬЗ-аг , Z(G)-<ar >x<b^ >, lal-p ,

1Ы-оо, I [ a, b] I -рг, oO,2f>2; ^

3) G-(<c>x<a>)x<b>, де Га.ЬЗ-а' с, tc,b]-ar сг lal-p*. lbl-o°, ICa,b]|-pr, Ici-/. f> <Ï>A:

Теорема 2.3.3. Нескхнченн1 н1льпотентн1 групи класу не вище 2 а двома тв!ркими вичерпуються трупами сл1дуючих тип!в:

1) G-(<c>x<a>)x<b>, де [а,Ы-с, [Ь,с]-1, laUo», ,

Icl^o«;

2)G-( P4 X... xFJ x... xf^)x<b>, п>1, де P; - ск!нченна p -група, р. *p- при irj, P;. N<b> - група одного ia тип!в 1} - 3)

" 4

леми 2.3.6. або р> < b> ~Р; х< b>, де Р. -<а.>, ! Ы-с, i-l,2,...,n.

Глава III роэбита на два параграф». В Hiß вивчаються нен!льпотентн( локально ступ!нчаст1 узагальнено метагам1льтс-HOBi групи. .

Сснозними результатами §1 е сл1духш тьердження.

Лема 3.1.1. Пехай G - нен!льпотентна узагальнено мета-гам1льтонова група, S-PA<d> - il пхдгрупа Шьйдта. Тод! S<G, G/S - дедек!ндова група, Р - п!дгрула одного i3 тишв: 1) Р - елементарна' абелева р-група;" • 2) Р - група кватернюшв;

- и -

3) Р - неабелева р-група порядку I експоненти р;

4) Р - неабелева р-група з комутантом порядку р 1 парням числом тв1рних, б1льшим за 2, експонента Р дорхвнюе р або 4.

Теорема 3.1.1. Нехай Б - локально ступ!нчаста узагальнено метагам1льтонова трупа, Т - П1дгрула,породжена комутантами вс1х не1нвар!антних шдгруп. Тод1 трупа 6 розкладаеться в до-буток й-Р С, Рп С<Т, 1 задовольняе так1 умови:

1) Р - скшченна неодинична 1нвар1антна в 6 р-група одного 13 тип1в 1) - 4) леми 3.1.1, (З^Р<Г>, Т<Ф(Р) <Г><:2(6), р -просте число;

2) С - нешвар!антна в Б шдгрупа з центральним в в циклIчним комутантом С'-<Г>^Т, що мае вигляд С-1<Ь>, де в'п С--в'Г\2~1. 11,<5]< Т, 2Л<Ь>-<1Г>, (ш, р) =1; -

3) для дов1льного натурального числа к такого, що ш>к>0,

к

елемент-Ь 1ндукуе на Р/Ф(Р) незв1дний автоморф1зм;

4) для довхльного елемента с 1з С такого, що Р<с> -нен1льпотентна група, пщгрупа Р<с> 1нвар1антна в в, I фак-тор-група Б/Р<с>, що 1зоморфна фактор-груп: С/СПФ( Р)<с>, е де-декшдовою групою.

Конструктивному опису нен1Льпотентних локально стушнчас-тих узагальнено метагам!льтонових груп присвячено^ 2. Цей опис дае наступна теорема.

Теорема 3. 2.1. Група Б тод1 1 лише тод1 е неноьпотентною локально стуШнчастою узагальнено метагамхльтоновою групою, коли вона розкладаеться в добуток 6-Р С сво1х: ск1нченно1 1нвар1антно1 в 6 елементарно1 абелево1 або екстраспещаньно! р-п1дгрупи Р, р - просте число, Ф(Р)Ч<2(6), ¡Ф(Р)!ч<р 1 шдгрупи С з центральним в б цикл¿чним комутантом, що мае вигляд С-2<Ь>, дег-СДР), РЦС-Ф(Р)П2, 2П<Ь>-<ЬЬ, в>1, бЕИ,

(р,э)-1, для любого натурального числа к такого, що ,ъ>к>1, елемент Ь 1ндукуе на фактор-груп1 Р/Ф(Р) незв1дний автоморфизм, [Р,Ы*1. При дьому Б - група лише одного 13 тишв:

1) 6-РлС, де С'-1;

2) <5-Р-С, де РпС-РПФ(6)-Ф(Р)>С, 1Ф(Р)-р, (э, 2)-1;

3) Б"РлС, де С - гамиьтонова група, сил 1 всыга р-л!дгрула В 1з С налехитъ 1 1 е абелевор грулою при неабелевосг! Р;

4) Б-Р-С, де С-ВхН, В - сил1вська р-п!дгрупа з С, яка на-лежить 2, РЛС-РпФ(В)-«(Р)>,В', Н - гамоьтонова хол1вська шдгрупа з Б виду Н-(2лН)<Ь>, !Ф(Р)!-р, р>2, (5,2)-1;

5) Б-РаС, де С-ВхНхСЗ, В - дедекшдова сюпвська р-П1Дгру-

■А

па з С, Н - дедек1ндова хол1Вська п1дгрупа з Б, 0 - сил1вська"

К

q-пiдгpyлa з Б виду С!-<Ь>У, 0'-<Ь<|,>, <Ь>лУ=<Ь >, />к>

/п к+1

> р -к>0, к>т>0, q >2, експонента У не перевищуе число q " >2, Ра<Ь*> - група Шшдта, 2-ВхНхУ, ч - просте число, при

. неабелевостх шдгрупи Р В - абелева група; . 6) Б-Р» С, де С-ВхНхО, В - сшивська р-пхдгрупа з С, Рп с--РлФ( В) -Ф( Р) > Ву, ¡Ф(Р)1-р,

Н - дедекхндова хол1вська п1дгрупа/з Б, 0 - сшпвська

к т

д-п1дгрупа/з Б виду 0-<Ь>У, ! Ы -ц р'-сЬЪ, <Ь>«У=<Ь' >, > > >к^р-к>0, к^т>0, ц >2, експонента У не перевищуе числа Ра<1у > - група ПМдта, г-ВхНхУ, я - просте число, а^-Б.

Зауважимо, щр тип 1) груп 6 теореми 3.2.1. повнгстю м1стить в соб1 клас нешльпотентних локально ступ1нчастих уза-гальненр метагам1Льтонових груп.

Наел{док Комутант нен1льпотентно1 локально ступшчас-то! узагальнено метагашльтоново! групи Б мае вигляд Б -Рх<х>, де Р - або елементарна абелева, або екстраспецхальна р-група, р - просте число, хЕ(Б), ¡Х1-21 я*, ^-0,1, 5 ! Ф(Р)!• 2 <

13 -

42, я - просте число, (q,2p)-l.

Основн!. результата,одержан! в дисертацИ, олубл1кован! в сл!дуючих працях:

1. Требенко Д. Я. Бесконечные нильпотентные группы класса не выше 2 с двумя образующими // XIX Всесоюзная алгебраическая конференция, Львов, 9-11 сентября 1987 г.: Тез. сообщ., часть вторая, - Львов, 1987. - С. 278.

2. Требенко Д. Я. Нильпотентные группы с двумя образующими // Современный анализ- и его приложения; Сб. научн. тр. - Киев: Наук, думка, 1989. - -С. 201 - 208.

3. Требенко Д. Я. Примерные 3 - порожденные группы с циклическим центральным коммутантом // XI Всесоз. симпоз. по теории групп, Кунгурка," 31 янв. - 2 февр. 1989 г.: Тез. сообщ. -Свердловск: Ин-т математики и механики Уро АН СССР, 1989. -С. 116.

4. Требенко Д. Я. О локально ступенчатых ненильпотентных обобщенно метагамильтоновых группах // Комплексный анализ, алгебра и топология. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1990. -С. 77 - 84.

5. Требенко Д. Я. Локально ступенчатые обобщенно метага-мильтоновы группы // Меадунар. конф. по алгебре, посвященная памяти А. И. Ширшова .Барнаул, 23 - 27 августа.1991 г. Тез. докладов по теории групп. - Новосибирск: Нн-т математики СО АК

СССР,. 1991, - С. 110.

6. Требенко Д. Я. Обобщенно ■ метагамильтоновы группы /V Докл. -АН Украины. г 1992. N 6. - С. 7 - 9.