Группы с некоторыми системами дисперсивных подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГб ол

з / ¡.; ■■

ШИВСЫШЙ УИШЕРСИТБТ шея1 ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

На правах рукопису ЛЕВПЦШЖО Ссргш Сергшович

ГРУПИ 3 ДЕЯКИМИ СИСТЕМАМИ ДИСПЕРСИВНИХ П1ДГРУП

01.01.0В — математична яогпса, алгебра 1 теорщ чисел

Автореферат дхгсертацп на оДоСуття паукового ступени доктора фтйкотлатгомаТичиюс наук

Кшп — 1993

Днсерташею е рукогшо

Робота виконана на кафедрх вищо! математики Укра1ноького державного педагогичного университету 1кэн1 М.П.Драгоманова

0$пййнх опоненти - член-коресповдэят ЛИ Республхки Беларусь, доктор фгзико-математячних наук, профасор ШЕМЕТКОВ Л.О. доктор фхзико-математичних наук, професор ШУНКОВ В.П. доктор фхзико-математичних наук ЧЕРН1К0В М.С.

Лровхдна орган:зацхя : Укгородський дерхавний унхвэрслтет

ВаХЛСТ Б1ДбуД8ТЬСЯ ", 17 " СХЧКЯ 159-1 р. о 14 год. • иа заыдаши спэщашзоваио! ради Д 01.01.01 при КиТвському Увгввроитем п:енх Тараса Иэвчеика за адресов: 2П212 7 Ки1в -127 проспект Глупгкова, 6, тхатяс-штемэтхчнлй факультат, ЗДЯ. 42.

а дясертащею можиа ознайомутись в науковН! бхблхотецх Учхвзрсятоту / вул.Володвиирська, 62 /.

• Автореферат розхсданий " .16 " пгтош 1993 року.

Вчений сокрзтар спви1ол1аовано* рада

0ВС1бНК0 С.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальихоть лослгдавняя, Вивчення будова груд за задани-ш влаотивостяки деяких систем il niдгруп <з одним з хласятаих i фундаментальна* напрямхв в teopil труп. Найбоьи поширвнам в пьому напряи з такий пгдххд до визначення конкретного кла-оу труп: серед ycix груп розгляданться лише ii, в яких видхлз-но деяну систему niдгруп , нояна з яках Бcлoдiв певнси

тоорвтико-груповсв властавхста <3 /для спрсщания такий клао груп часто будемо позначатв через оЙ ( 21 , д ) . Задача вивчення полягаз в отрииа:;н1 конструктивного оппсу ecix груп клаоу Т)\ ( Z , В) .

Започаткузалз цэй напрям робота Р.Дэдекхяда /189? у./, Г.Шллара г Г.Морено /1903 р./, О.Ю.Шшдта /1924 р./ i in. Зз-гальна задача описания будовя груп з ти»,я ча 1ншма обмзкенкя-т для fax чи iвигах систем !х гйдгруп явно була сформульована С.М.Чврн1ковим /1969 р./. На иьоку шляху було взшлеио багато вактавзя класхв, якг збагатит коккратну базу Toopif груп. Прн таяо?лу п!дход*, пари за все, вйд!дятоться i зявчаоться шгася tK (. 2Г , в) -гртп, в яках 2Z - сястэгяг всгх власних ni дгруп. Зрозушло, що групв з нього хлзсу нэ сбов'язново сеш з & -групает. Нэ & -група, у яког не» еласиi пхдгрупч s О -грунаш, назявазться шншзльною не с? -групов /оэнз-чзння Л.1.Старост!из /Т968 р.//. Добре в!дога такх ваздав* класи MiпЬ.«дьнвх на & -груп:

- cKiinefflfi Mi Hiмалья' неабвтовх групч /групп Мглл-ра-Морэна або N -трут/, впекши в розглдц Г.МКялврсм t Г. Моргом в 1903 р. ;

- cKijmmrt мгишалыи квк1льпотевтл1 груш? /групи '¡itrfpe

або <>S -груга/, введбН1 в рсзгляд О.Ю.Шахдток в 1924 р.;

- мппкальнх нескхкчепнх групя, ввэдэн! в розгляд О.Ю.Шайдтом в 1938 р. /приклада таких не&болевиг груп впериэ побудував О.Ю.ОлыаакськиЯ в 1979 р./.

Цодаяьш! досл£д~акня в аьоцу кшгрямйу присвячугэться вюйленне i еивчэннпо тех кяасгь "Cft ( 2Г л б1) -груп, у яггях 27 Mie-гать вко не bcî влаон! пхдгругог. В ролг S шео вяступатв, наприпмд, ыиотш scix: 2-иаксималыпк ягдгруп; п1дгругг нэ-прй?арного хддевсу; влаояях пхдгруа мдгруп нэпринарного ru-двяоу; анаснизг кэайзлевих пхдгруп:.влвенях абеловзх пхдгруп; Bshnsapiafrnwx п!дгруя i îh. Заузает&го, що в ролх 6 , нв-залэЕНо в!д вийору 21 , ыокуть розглядатяоя таы ваяллв! fWiaoTKBOori : диспарсзвягёсть, <.? -дасперепшйоть, дзсперсЕБ-шеть за Ope, надроз£*язн1сть, н!льпотвнтя1оть, абэлев1стя, niîïwnvrficTb, нормальнгсть, субнорналыйсть, аронормвлья1сть î ïtî.

Важггавэ их сне в доолхджэгаях розглядувакаго напряшу по-<йдають результата, шп вгдносяться до етвченяя скЁнченнвг груп. HaMôisim яскраао пг рззул5та?с вгдебразияг в cboïz роботах: П.П.БаризоЕзпь, В.О.Еолоногов, Я.Г.Боркомч, Ю.А.Голь-фанд. Jî.C.Kasapiii, В.А.Крвжйн, М.Ф.Кузенкий, Я.А.Курдачвнко, В.С.Монахов, В.Т.Награбецькяй, АЛ.Ношпьтай. В.М.Семэкчук, Б.В.Счргхйчуа, Я.П.Сисак, A.I.Старости, А.Д.Устюгаийнов,. М.С.Черта ков, С.МЛершкав, С.А.Чуиххги, 6.Î.Шатало, Л.О.Шв-иелсов, Б,О, niepicB, О.й.й'чШ, ЬЛ.Шунксв, Р.Бер, Н.ЕявкОерн. W.Kipqic, $0 Bit.o Кдорхкда, Й.Дзр, К.Лгрк, АЛаттаи, а.Янке. ТЛоукэс, Б.Хуяперт, О.Оро, П.Пагфг, Л.Рвдех, M.Cyjrayrt, Л.Томпсон. Гозвпгку иього nanpavy присвятека дача робота. За~ vh^wkwo, що ь potfcTt в prurf 9 будуть вяступати таих «дяс~

- з -

TBBocîi : да /метапиклгяпцсть, <3, /шпшчмсгь, /абелв-вхсть, Oi /нхльпотэнтнхсгь, /кадроза"язнхсть, Э5 /дкспорсйвнхсть за Ope, &в / ^ -дисперсивтеть, &п /дисперсивнгсть, а в рол! 2Г - сиотеми: Z f /макоа-мадытих, 2Г2 /2-какснмальаих, 2Г3 /З-максииальних пхдгруп; ^ ь /пхдгруп непрвмарного глдексу, 57s /нласних шдгруп гид труп непримарного индексу. Ясно, що для паралНеннх власти востеЗ & bcï [йдгрупи & -гругга ч такок & -групамя, а означения не 9 -групи s логхяним запэречзиням д -гру-па.

Мета х об"вктк дослг.к«ення. Для бгльп ючнохчэ ч-срмуткван ня мата зупяшшооъ на деяких означэтшях i результатах.

Смячэнна трупа & пазивазться дисперсная о я. явзцо вона еслодгз таким i нвар: антннм рядом

I = fr0 •"> cî< - ... * G n_„ G„ = Gr , що фактор-трупа ir\/&;- Pc -rpyirs, хзоиорфна силов-ськнй р^ -пхдгрул! групп Ст , р^ - проств •чвспо, ¿-Л 2, . .. , п ,

Якщо посшдобкхсть простпх члсел р, , рг , -.., р„ сянадае дзлку фхксовану упорядковастсть ср , то дкспзрсзвна група иазяааеться у -дзспороизною vpynca. Кдас гяЛв-челнах <f -дзспэрсявниг труп нгкавнй там, що sin егслядач fopr.îauia. Цэ зумовлг» викорвстайяя понят?я <-f -дясперсипноот! прп фсрмашЗштх доойдэзнняз: труп.

Якао для -KBûiTepo'îPHOï групи & pt > р;Д , t. - 1,2, тс Сж рпякЕа^тя.оя д я с h а р с « з-

!) с s за О В 5 rpyt'OTi,

Curre.** з тдагвх podiг, якт т^ть майокекня je j дисав:;«яв яах <t ргйотя О.Ор-» /1939 о. Д о,'«.'î«iP4i?cPfi /19г.

В роботах Р.Бера /1958 р., 1966 р./, А.Фаггахх /1973 р./, Й.Д-эра /1970 р./, Й.Дера I Н.Мукэрднх /1973 р./ йули я найден! авякг характеристики дкспарсквнпх труп г Естансвлонх ознакя дисверсивностх скхэтеянях труп. Глас схпгеэянмх недяопврсав-Ш7. труп досигь широкий /в1н, зокрзма, мгстить вс! скптчеклХ нарозз"язш групя/ х вивланий на в повнхй шрх. В робст Д.К.Фаддззва /1947 р./ довадэпо, що для недаспэрсгавно! груш: порядку р1 у втшонувться нерхвнхсть Р^/(р1Ъ) 6 ^ ' ^ , де 8 - 5 (р) - показпик. чясла р за модулем . Справэд-лвз1сть п1е1 к~р1внсстх для недксперсивно! групя порядку з максимальною саловською р -гйдгрупоп була доведэна Л.О.Ие-метковзи /1959 р./. В1к не узагалыглв цей результат, а такон зсгакоБлв дйяк! влаотивостх небгяртаркия яедзспврсивявх груи. В роботах Т.Хоуяеса /1968 р./, Р.Картера, Б.'Йшвра, Т.Хоука-еа /1968 р./, С.М.ЧэрягкоЕа 1 автора /1973 р./, М.Ф.Кузоняого х автора /1975 р./, И.Ф.Кувошюго /1378 р./, А.Ф.Турб!ва, В.&.Горзиьяого, М.Ф.Кузешгого, В.В.Пилаява /1934 р./ досуйд-кушться дэякг пхдкласи класу недвспврсшзгах груя.

Сэрса усхх розглвдувшгах в роботх властивостей <3 наЯйхлыз загальнов е дасперсявагсть, вех попврвдн! влаетквост!. г,а бшслычвнням мвтаинкяхчност!, з б!льш йузыкгмз в пор1вяяня.1 з наступвнки. Нагадазмо, що груиа назявачться м е т а н п гл 1 ч н о ю . ято вона е дсбуткои двок шпчйчнвх пхдгруп, одна 8 якнх лшархаятна. Властшйсть кзтеггакл:Кностг за ?а-гплыт1стю можна яояйстита кхж вчаставостямг пвюйчностх { надрозвпязносгг.

Вхдповхдно до ввэдених позначзнь масно 40 клаейв груп: хК ( г • 9^) , де i £ , ,( € • Оскхлыта

:-> 2:г 5Г3 х , а тако& е?„

_ й — — I - ¿ч.-*- , то впкаказ шла сис-

тема вклвчень розглядуваяах хла<пв. Зонрама, для будь-лкогч;

ксованого I та будь-яка го фхкссваиого ^ , ^ £ <, тело: "Л (г;, <£Х), а такон гК ( г ; , ©Л

<= ТК ( Г; , Зрозушло, ЩО ДЛЯ буДЬ-ЯКОГО ^

/ е о/Г , е,)=> 1 ^ с г3 , ер

б^э СМ'г:,, РозмаТття з! дал яшм включеиъ введв-иих сорока класгв аумошом несбхгднгсть позумв звгалыпи ра-ц!онаяышх гцдходгв до опису цях кдасхв, якг значно поповшоють конкретну базу таорх! труп. На I отэновить основну мету робота Заувашгао, що будь-ятай клас СК ( 2 , 0) е об'едианвям клао!в: всгх 9 -груп, як! не яотробувть окреиого дослгдквн-ня, оск!лыси веэ за озкаченпям налетать до ( 2Г, 9) 1 не в -груп роэглядув&ного кяасу, вявчення яних г з головной заяаяеп опису ^ ( 20)

Зауваяимо такок, що часто складазться навхрна вракеняя про триыальнгсть опису класу з вуятою влаетин1ста 8 на основ! опяоу класу а бгтыз широкое влаетав!стю 0 . 1екслй так во но г з. Наприклад, з опясу класу ^К <Э2) /сбп<1д~ ¡гагеш абзлэвих та ийнхкальнпх неабзловнх груп/ легяо отрнкати опяс у-лъсу ( , /об"едиаяня аашипних та ноцзвлгталх груп/. В бгльтаотг й пчпядк:в пе далеко не так. Зскрека, з опису класу (2Г, , /сб"зднатш «льпотент-ких та гйн!мальних нбиглыготеитнях груп/ а?, н!як на аягошеае 01тис класу ^ (г:, ( вг) /об"еднання айэлавязс та кш! кальках неабелэвях труп/, ог.кглькн самостийного розгляду потрабут'ть нглытотоятнг мШмашг! я-абэлев! групп. ИлмНяио такс», ео полгал! самост1йн1 задач! для кокяого 9 ма^ть р{зячй р!~ век«. оклчлвест!. Во! о! ч!ркуяян*<? можка гюгглритк ! пяч упв-

схв ^(2Г:,б>) , ©) , де :=> .

Даяк! з розглддуваняя класхв булн отаоанг хнпгаш авторами, а леям а них не скоро будуть дослхдгтЕагзсъ. Деташпшэ па иьому зупннпмось иначе.

Окрзслико коло розглянутнх задач. Для зручностх означимо катряго М г = (тК^-), елемеиташ яко! е введен! класи ГК ( 2:;, - ^ . I 6 4,5 % д £ о/Т 1 розглянемо !" яг частеяу таблпщ I.

Табляця I

V \ Власта-в{сть Система х п!дгрун г 0О кета- ИЕК- пхч- в, Ц0К- гасть аба- ло- вхсть тиль-110-тент-нхеть б* яад-роз-в "язях стх дяс-пер-сив-Н{с.Т£, за Орг Ч> _ дяс-пер-еяв-н1сть вт дис-пор-сив-яхеть

57,

вех максимально П1ДГР.УПЯ У, 7

БОГ й-какегмчль-т .игру гш —1/ ->лго ■'Уы й 6

вех 3-максикаль-гйкгрупя ^Чэ 2

вех пхдгруот нэпрямарного 1ядоясу ПК 1,6

вс1 «аисямальи тпдгругш п:д~ ,гртп непримарно-,ГО ^ДЧКСу оиУ -Л .......

1сторячяо доел1дЕвння класхв ОК ¿ j почалося з введения îUiacîB сК /об"зднання абвлввих та ш^мальних яеабелевих груп/, tK ^ /об"едиання нхльпотеятних та ыШшлыгех не-йльпотентнях груп/. Клас И ввадзнкй Г - Mi ллерсм i Г.Мо-раном в 1903 р. Ниш всгановлано, що нхнгмальнг неабелевх групп /групя Щллера-Морено або Л -групп/ мокуть бути пяъкя прягларниш i 6i примарвиш, а такок дано о пето таких 6iпрккарнях груп. Клао введений О.Ю.Шкйдтом в 1924 p. Ним вотанов-

лэно, що м1н1шльн{ ненхлъпотвнтнх групп /групи Шшдта або

S -групи/ мокуть бута тёлъки 6iпримарними i дано ïx першу характеразапхю. (Iisiiinra завершзння опису груп лИллэра-Морака i груп 1Мдта здхйснювалось у роботах Л.Реде1 /1947 р., 1966 р. 1958 р./, Ю.О.Гольфэнда /1948 р./ та in. Конструктивно групи Шллера-Морана & впявиляоя такими: I/ G - група EBâTspuioHÎB; 2/ Q = î а> >, <■ Ъ> , loi- р"1 , I ЬI - рn (

» 2 , n ï i , аЪ - q 4 * р

3/ G - ( < с > х < о>) * < , UI« Р > I Ql - р" , I %>\ - р" , m г -I , n * -i , ЯГ'оЪ = а с . , %'Vb = С

4/ с- = 9 х а , а = < ъ > , < ъ*> - ?Д 0 ^ G .

Ф - тймадьва нордшьяа пхдгрупа групя G , с/, = ^(р); а групи Шш дта - такими г

Сйнченна група G тод{ х тхлыш to,iî з групою Ишдта. коле вона розклада^ться в нап*впрямай добуток G - 9 х 6 сео!х ÎHsapianrao! сяловоыто* р -пгдгрупи шС? порядк? р4, W i Hst HBapiflHTHoï бвяовоько! -пЦгруггп Q¡Ь

а

порядку у '' , р J , i вадсвольняе таким утвам-

I/ 7. ( G) Я- С G > - '-К9) V -.&S ;

Я/ G ' =9 9'- i'i?) ; G"- -

з/яйщо 9 ' i .то 'Z (9) = 9' - epcö») ; 4/ ÊD-p 9 - P ado еэср 9-4 í 9' * < \ 5/ ягако I 9 ' i - р , то ,-l - J' = ( р) , прачому < \ {c¿ - ç') . тобто ^ * i (л-у) t прг Л- f непарному у** , а 9 - абелега míhíмалька нормальна пхдгрупа я G ;

6/ Я2СЦО О £ 9\ Ф(9) , ТС G = < О, ЬУ - < о'Ьа, {?/•, 7/ G was точно два кяасв тксимальних шдгруп: а/ { 9 к < & Ъ j , б/ { ср(Ф) X < 0-"Ьа> 1 о е 9\Ф(Г;|

8/ дoвiльнa хнзархантка в & р -пхдгрупа або сгпв-падял з 9 . або яйститься в Ф( 9) ;

9/ С9(<?о>)= i 191- р при I 9 : ф( 9)1 = p.

Тут .i citpisb надатя через 9 , Q, , í7, , будемо позиачати вхдповхдяс дзякх ф1яссвая! силовсыа р- , - . г - . î> -niflrpyra смнчайно! грули, p , ^ , т. . - попарно рхзнг прост! числа. Вхдаатпмо rasos, да г» ци-cepTaxiiï взяорпстовуяться загальновшван! позначсння i означения.

'Ciac 2'i /обеднения мльпотентних труп та непхльпо-тэнтних груп s нгльпотэнтнимя 2-максимальними пхдгрупаш/ введений в розгляд i описаний М.Судзук! /1957 р./, З.Янко /1962 р./ В.О.Бвлояоговим /I9S8 р./. Н.Оудзукх i З.Янко встояовилв, що !!есойв"язи1 групи такого роду вячерпуються групаш 9$L(2(9 г SL ( 2, 5") . В.О.Белоногов дав опкс розв"язтах груп такого роду /такх нен1льпстентн1 групи кояуть бути riльют б1прятарпк-«я i трнпримарнямв, сзред щтх лзше един теп ôiпрямарягх недис-п^рсявпих груп/, а такок зауваетв.ио з цього огшеу кок« бути "тггманий опзс явыяъпотентнях розв"язких груп в класу «с -гям кляс /о0"йднекня абетевих груп та иаабэтеврх

- ъ -

груп з 2-ыакоималькйш аба л ü вига мдгрулами/ розглядалв fí.0.iü¿ picB /1970 р./, Л.С.Казар!н /1971 р./, П.Пзлфх /1981 р./. B.O.Eapiea та Л.С.Казар1н встановили будову примаретх труп такого роду /IX виявилось 21 тип, IX уточнениям займавея С.В.Дра ганюк /1990 р.//; П.Пэлф! дав опнс таких непрнмарних розь"яз-нах труп /II «mi в б!примарнях труп, 3 типа трзшртдарних груп, причому серед Bcix таких груп тхлькя одна група в не-

дзспйрспвною/. Навагко встановзтк з опису нврозв"язних груп класу . цо нэроэв"язнос групов з гласу "Я zz п : i ль-

ет група 9SL(3,S).

Клас /об"яднаняя ср -дисперсивних та шн!ыаль-

них на q? -дяспорсивних груп/ вззла в розгляд i дала ix oirao Да Biso Клор!нда /1979 р., IS80 р./

Класл tí' (2 , , "к-¿г , > описам

!ншямл авторами, алв оск!лькп вони ьнкорнотовуитьоя е робот!, то Ix описи з »аобх!днвш утозкевшнш приводяться в теоремах 2.1.2, 2.I.1, 3.1.2, ЭЛЛ, 2.3Л робота в!дпов:дно.

Клася ^ , , , , 'Я36 , -У' з; .

I 46 > V7 5ö • » ^55 > ■

57 , насвхлыш зхдоно автору, явно ще пе доелядзувалнсь. Дояк! результата опзсу класу tft 2о отракан! автором, М.М.Сеа-ком, М.Ф.Кузоиним /1985 р./; класу ^о ~ аспиранткою автора ЛЛ.Зуаук /1993 р./; клаоу ^^ - В.С.Мзиахоэим /1991 р./.

Досл!дяэнпэ йудови рев-хя 18 клас i в i лрисвячвва дасерта-шя. Про поикоту опясу i про оклад автора а щ crracr¡ будч йтг; нова при внелзд! осяовппх результат!п двсартацй.

Мзтодп I. »здтодпка ловд!аазпяя. Взкоряотоаувгьоя iwacssni

метода ^ОЗДХЛЖЙНЬ: ?-vO-rrn',ni!TÍ" грул, T30fi ? WV*, ТОО«! 1 гса-Фтн. На ocK'.'Bt геях vsiод!й rnpij в-'г3 оsvw»; ¡¡и,»«

«анхмалыгах нздиспарсивних труп. ¡Поля пього при дослхдквннх всгх iam;x класхв застосовувться такий мэтодачний п 1дх1д: дос-л1днува!шй клас роз flu ваяться завад на идкиаси дисперсявних i надаспэроивних труп. IIotim диспэрсивн: групи вввчаються окре-ыо э використанням класиндах теорем Кашке, Силова, Шура- Цаосен-хауза, кокструкшй напхвпряшх до<5уткхв, груп автоморфгз!ЯБ та iramx наЯ01льа загальнях i вгдошх результатов. Коета з нэдап-поренвних грун шетить принайми: одну mihi кальку недаспзрсив-ну п'щгрупу. Останяя ж s завода в роэглядуваних кяасах групов иього я власу. Ось чому парням кроком дослхдяэння нвдвсяерсгв-trax груп в повнлй опис м:к* мальних недаспарсявних груп такого роду /1х, як правило простхших, бияблязться значно когава, я*е довхльнех ихнхмальних недаспорспвних груп, з яких ми них виби-равмо/. Вякорястовуоти пей опис i той факт, ио пльки щ групя кэкуть <5утв щш мапьняма нздисперсивиимя п*дгрупа?.га недисперсяв-mix труп такого роду, огасуемо ралту.

Наукова новизна дослЬпгшгяя. Bei ochobhi розулътати длсер-тяш* я новями. Найважлявхшиш э оеяовних разультапв елгд 8ва-гятг такг теогзвш дисертвц1Т:

2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.4.1, 2.5.2, 3.2.1, 3,2.2, 3.3.1, 3.4.1,

4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.3,1, 4.3.2, 4.3,3, 4,3.4, 4,4.1, 4.4.2.

4.4.3, 4.5.1, 4.5.2, 4.5.3, 4.6.1, 4,6.2, 4.6.3, 5.I.I, 5.2.1,

5.2.2, 5.2.3, 5.3.1, 5.3.2, 5.3.3, 5.3.4, 5.3.5, 5,4.3, 5.4.4.

Теосзтячне та iipaKTi?sga.-aHa48HBH_j-sagiitg§M3> Описан: в робот! клаов груп значяо поповшготь коикрэтну базу тесрН груп. Творэтйчнэ знаязяня ms також эапрогклпвана методика досл1дж(5ч~ ня груп. 0тримав1 в робот: результату мопуть йути влкорястан! ар? pi3fiouaHiтнях теоретико-групових досл}дкяняях. Зокгчма. во-

- Ii

ни Еикористсвувались в роботах асгирантгв актора О.С.Болозьет- -ве, И.Ю.Верпатово*, С.В. Драганюка, ЛД.Зузук, роботах. II.Баги-шоепя, В.б.Гореиького, О.В.Крайчука, В.А.Крекнхна, М.Ф.Кузенно-го, В.С.Монахова, В.В.Пиласва, М.М.Семка, О.В.Сидорова, 1.Я.СуО бопна, Л.Томан<-;ка, А.Ф.Турбхна, В.В.Цибулзнка та in.

Сформульованх i нерозй"язан1 в роботх задач! мокугь слу-нга те),!амз кандидате ыгах, диплошнх та курсових робхт. lemu роздгли та параграфи мояуть слушти основою для спепкурохв га спецеейнархв.

Автором такок опубликований навчалышй пособник для студент! в "Группа с условпямп диспареивности для подгрупп" [ 21 ] , прочитано двкхлька спецкурсiв на тем;, пов"яяая1 з матер*алой дксерташТ в КяТвському державному педагогичному i но те ".-у; г хн.М.П.Драгоманова, в Кошиаьком.у унхвзрсятэт1 ¿м.П.Я.йафчрика /Словак/я/, в Еищом-у падагоичиому хнетатутх м. Сан-ш Клара /Куба/.

Дпйоб'ЗДхя роботи. Сочовт результата опубликован! в рсбо •tax [ I - 25 1 , допов!даетчсь на 10 ы! птродн»х та йсесо*&я»х кок1'зрзктях, еккпозауках та колокв1умах, па иаукоЕих та кгте-wmas oeMiH&pax, йон'1«р«иц1ях 1нств?у?у ма-тематзкя АН Укратнк, Гошльськох'о рддд!лаши 1кстятуту wai «адатанл АН БЪюрусН, 1о-кзльського, Кя!воького, Ковтькогс /Словак!я/, Красг.опрсысогс,

МОСКСЗСЯХОГО yntверойТЗТХЗ, В£ННКЦЬК0Г0, 1<Я£ВС1>Х0Г0 подхиотпту-?iu. результат.'. jJOf»i? [3, 4, 12, 25j BanoaiAKli i 0ГрЧКад1 ?'-> pirr-ол учкетй авгорхэ. Гдаулътаги ismx po6ir, иапясаке/ у niupsjcsops-rsi, чаасгкгх елтору ,г;'0Г;Р'га?д1 ¿.

OjP&MjfS .Wftftxrflvi pot'o?:». Лзсортгайя охгадпгт! ••>.;: vr ?.c-tv • ■ ту Т. ц-Цч.'. fiCuS, Г»:! ОТ!";* .■>'."" OTtsptfo«, у lime.:"" Ч£ T«pft>vir»7 Т>:И * *"фг.? Д7»г;7т;м ;г.Ч -5?i>r!!!>''l. Т#«)«« Л? I-«

руються риысытами пкфраки, а параграфе - двома арабськимя /перша тфрз - иомэр главя, друга - номер параграфа, наприклад, § 3.2 означав другий параграф третьо! главк/. Б першгй главх 3 параграфа, в другхй - 5, в трет:й - 4, в чатвертхй - 6, в п"ят!Й - 4. Означения, твэрдяення, леми, теоремя, яаслгдки, приклада, зауваяення тощо нумэруться /кезалекно одан в!д одного/ трьома арабеъкими цифрами, наприклад, теорем 4.1.11 ознэ-пая одинадцяту теорему з першого параграфу глави 1У.

ЗАГАДЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

У всттгт!: об грунтована актуальна сть дослгдгеннк; сформульо-вана изта i пврзягяен! об'^ктя досл!дшная; висв{тлен1 метода ! методика доел* дже пня; показана наукова новизна дослхдкення; обгрунтована таоратачне i практична значения дослхдаеннч,- подана хмформашя про анотащв та про 00ичм i структуру роботв; викла-лэло зьйст дясэртавд!.

У глав! I "Метода впвчвняя ся1пченнвх груп з ргзними удоеп-мз дгсперскЕнсстх для ¡йдгруп" розробляютьел метода кквчекня сэднчеиннх груп з ргзшш умовеля даспврсиБкостх для деяких я-повазях систем идгруп. Своертдна парзставна мастит сть тж~ груя довхльног селовсько? баз?, екппганнсг роззиязяо! квбгпря-wapnoi щшкадито! нэдаспероивяо! групв дозволила ввести нова яоняття, яке в роботг гдобуло гюзву контура норма-л i з о в г. к о с т i. Вквчешго властаоостей пього гтоняття прч-пвячуи} §§ 1.1, 1.2. Для форглуллвг.ян0 ооновнях результап в 1.гих параграф! в дамэ даголька необххднвх озяаченъ.

Непорогня система гпдгрул деяко! гругга G володхч

влаотйв1си1 в з а ч м н о I и о р И S Л I 3 О 0 8 к о с т i /ч о р ы а л i з о в а и о с т i/; якшо догальна /деяка/ э пхл-

труп -Я { В будь-якох пари Л, В груп а 21 щс-титься в нормалгзаторг хпшо! в груп1 <5

Пхдгрупа Л а о р м а л ! з у з п!дгрупу В а<5о В норкал*зу<зться п!дгрупов ■ Л , якщо л ь .д/„( 8,1 1 пхдгрупа Л строго кормалхвуэ хгёдгрулу

6 або В отрого н о р м а л I з у -з т ь с я ид-групсю Л . якио Л Й л/ в) , а В ^ А/ ^ ( Л)

При иунзращТ шошвкхв розкладхв, Те алвмэнтгв тощо т б уд о да часто вибарата хндзкс з груда лишав X п зилъця пглих часал % за модулем " . Пра пьсму зручно позначатя через I як нхла чягло, так х елемапт хчзупя "И, „ , яхяй йсчу нгд оов1даз.

Однозначна в1добр&гэння ^ гвдяи '2п , п>о и аэпорон-па сяатэму пхдгруп Дакке? групя £ назнвавться к о р м ал х заторно-контурапм , а поелхдовшеть пхд-груп ;,) 1 I € Ъп назкваггься к о а т у р о м к о р а а п з о а а| оо I ! , якщо:

I/ пхдгрупа ф (I) строго нормал1ауз ихдгруяу ^ ( ; . л для вехх I € Ц „ ;

2/ пхдгрулг Ц' ("О I 4/ ф , ^ с {;-■'', '<* , !} /не-суохдн1 пхдгрупн/ володшгь зластзвхстю вза-%гло* пормалхзога--пост!.

В § 1.2 оснозящ® <•; такх тзорзш, як< встановяэрть звИязок и!2 нодзеперсайя1стю окхн^вчно! групп та контуром иормал!зовг»~ псстх.

Т а о р ч и а 1,2.1, (Мпчепна х^рупа теш I т!льга гол! нбдвоячреявйа, коля вспа або не мхетигх« яг однхз" силовйьяо? бз"и ? плаотязхсто «ггрма.« аовекоотх, або »оьхлг^яа И смерена йяаспнпстч норадхасвяж^тг я поитуроч кормим}

Т о о р 8 м а 1.2.2. Сяхнчеяна роэв*яэна небхпримарна група тод1 1 тхлыта тодх <з ыглшальною недистерсивною групоя, коля довхльна П силовська база в контуром яормагцзованостх 1 я£ одна силовська база будь-ккоЗ II пласно! вгёдгругш епчв влао-тквхстю не валоя1и.

Теорема 1.2.3. Сличение група & тод! х тглькя тодх золодхв сялоеоькою базою, яка с контуром нормздхзованооп. коли & розкладаяться в добуток

с = ( * л г) • (.* , * з ,

е 2п 1 £

таких пхдгруп * а- , х , що :

1с?„ " и гг„

1/4* л; = О для всix I е ;

2/ тпдгрупа Л; 'ЗЬ- Щ - К:ксована силогська р- -пхд-група групя 5 , пря цьоггу гпдгрупа < !•?¿ , > нгльпотент-на для есхх ^ ё { i.-/ ( i ; , '<-, / £ .

В1доттяш, що ?.Картер, Б.Фгжэр. Т.Хоуквс /1968 р./, Т.Хо-ук<зс /195в р./ впкористовуваля поняття контура кормалхзованост} на шгх теорх? граф!в.

В § 1.3 впвчаеться будова одного класу скгнчекнях яедас» пврсивиих труп нхлыютектяо! довяаии дна, комутант яках не адо-тать нх однкД селсвсько* идгрутт вс1е5 гругга /елвмэитарн* не-дксяорслвнх групп/, аххавого там, що в!н вктерг/уэ во! пебхпрн-марн* г шетать багато о'хпримарнях кхнхиальнях ноднспврйявкЕХ гргя /в!датпмо принаг1дно, що скхнченну (Яиркмарну нодкепэреяв пу групу, комугант яяо! ;.т? стать обов"кзково одку з П силовсь-тх пгдгруп. падат! будемо казивати оегбливо« яодисперсЕвяо'о трупов/. В теорем! 1.3.1 встаяовдако, що вег елемчятаря: кеигс-парсивя1 групи вйч«рпуатьач недислеееивнте? пхдгрупам прямкх яо6утж*в кви1льп"тея*-т»х бхпрячарнях двсгврсивянх груп с;гэш-

альисго вид/.

У, глав! П. "(Мнчеппг групп з деякиш умов®,и дноперсивяоо tï для максикальних п1дгруп" податься повна хкформап!« про 6у дову класхв ^ чй . ^ в ■ /теорема 2.1.2, 2.1.1,

2.3,1 в{дпов1дио/. Як наел!док теорекш 2.1.2 отримучтьса опис мласу н /теорема 2.1.3/. Такой встановта-.ться опио кдас1в

, "Îmv . ^15 Аворэш 2.5.2, 2.4.1, 2.3.2 Bf.anc в!Дно/ та класу /тоореии 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5,

2.2.6/.

В § 2.1 з теорема 2.1.2 виплквав опйс класу 'Я « . Теорема 2.1.3. Сйнчэяя! глмманьнг неп.икл! sHi групп алчерггуяться групами таких тапгв:

I/ G - аявмэнтарна абэлева група порядку р~ ; 2/ G - група кватерн!ouiв;

з/ с = 9 а а , ¿"1 , а - <ь> , < z(ixi

В § 2.2 ьстпновлояо конотрултявняй orme cKiHiemiiiX ?/iHi-кальнях недисперсилнич труп /а теории 2.2.2 - особлаз!, в тно рем! 2.2.4 - але'/зктярк*, s т»ор?м 2.2.6 - 1герозз"язп1 г/ЛHi-ï,i'i4b;;i група/ /кп&о 'К /.

Б теордш 2.2.2 о*грн«анэ 3 там а особл,шлх i*inijmbanx £ЙСП8реа»НЙХ груп. 3 UÎ4Ï Т90р<4йЗ К05На Д1 стати бт.ЛЬЕ!1 КСШККТ-най опип тей1;х груп.

Т о <•' р в м а 2.2.3. Осэблпв* гшимэлья^ нодяспярсавя! група вя'яерадитьоя груиамг татех тивхв:

I/ - 2/ с; г л ( а л < ь>) , дз фг j?) - у < г ( д),

1(1 ' , V "" Mtnli«U№H« нориачм»* nixtrvna *

С / , i ."/ <T>f e\| f р?'' , *>,, » 2 I я/ ■:«('a) i Г •"*

• * р. - $(.(?':, i ' • I - I- * , '' ' * v г ' О ! ,

1 .< •!>( '■ . ? > ; V • - ^zr^-^w'i р .«НЯ1 Г-'П.-З

пй & ; при дьо1лу в трупах типу I/ <2- х < - група Шмдта, Са(Л) 51 Ф(а) , ( ср(а) : Са(Л)| = с? ^ < I а в групах типу 2/ [ ср>(0) , Ы * I , С а( Л) = Ф ( а)

3/ О група, яка е фактор-групоя групп типу I/ чн 2/ цге! тесреш за центральною пхдгрупо» простого порядку р , що не глотаться ш в Л , их в , Групк пього типу

но .таг також дхстатз як цэятральн! розшярвяня игдгрупп простого порядку а Ф( б) аа допомогото груп тагту I/ чи 2/.

Теорема 2.2.4. Елвшнтарях ш и: малый недисперста-нх гругти внчерпуються групамн виду & = . П £: , п * 2 ,

I £ 2,-,

дв 5 ■ - .Л; ->■ < ; - > - !нвар1антна в б- гидгрупа Шмхдта, Л. < • > -- Ф - силовсьна р; ~п{д група групн & Г5- = ' Р1- • Р-1 - Р*зн* прост! числа, с.

3 теореш 2.2.4 мозна дХстати опис елементарнвх м1н1каль-них яедиспереквних груп в доцо 1ншо;;гу вигляд!, аналогичному до опясу особливизс мнгмалъних недиоперсивних груп в творощ 2,2.3 /творэка 2.2.5/. Наявшсть р!зпих вадв оггасу оссбливих та еле-кентарних ¡ямиальнвх педксперсивяях груп дозволяв бхльш ефек-тивно конструювати там групя, а гакок викорнстовуватя 1х при вивченн! окончаниях кэднсперсивяях груп.

Теорема 2.2.6. Ск1нчеяя: верозв"язнх шн1калья1 недясгюрсЕЕН! групп ввчоряуються трупам® наступних таги в: 1/5 - група, в яий 446) г -група,

•7 ¡"' ^ с- / « 9Б1, (2, 2*> , Я * 2 * 1

2/ б - гртпа, в як1Й Ф( г " , * 2 .

~ са(£(^) або СРБЬ ( 2, Я *) , * >2 , я>2 .

г I * ' ;

3/ - група. в ямй *, 1<Й1 £ 2 ,

<31 - 5-гтУпа, ~ SL (2,5) аво 9SL(2.,5, .

4/ G група, a moi Ф(й) г Q < 9 » 9- , iCüi < ?

G/9»<3l s SL(2,p) або 9SL(2, ^ т I p ♦ -f ,

pH 3 , p2 ♦ -f = O í 5) , - 1 * C} I гч тМ .

5/ G група, в иуо1 &) = 9 * í- , G ! o.-f g.-група Судзукх Sa f 2 ч'> , <f > 2 , г I •?. ч, «>1 2 « < ,

<V VV?

г i í> яо i одночаено дхлънякагш чисел - '¿ * ' i 2** 2^</2 - < .

В § 2.3 встановлвно конструктивней о от с сх1;тятх mí hí -калытх не дяспврсивкях за Opa груп /глас "Ж /.

Теорема 2.3.2. CKÍFweRHi мхн1малый на дяспорснв!Ц за Срэ групя вячзрпупться ив дяспорсивпйия за Оро гргпаш ЕМд-та еяду S = 9 >• О , р < % ■

В § 2.4 встаяовлеяо конструхтивпяй опяс сххячеяянх sdhi-нальнзх Нйкадрозв"язк2Х груп /клае /. Tasd групп вявча-

лясь в роботах Б.Хуппэрта /1954 р./, К.Дьорхт /1956 р./, 5.1.Шатала /1970 р., 1973 р./, В.Т.Нагребецького /1975 р./. Иида от-рп?.«зно бягато pí3h3x аластявсстей ггах груп /bcí ai mscthboctí сформульованх п теорем 2.1.А/. Зокроиа, доведено, go'BQtra дяс-перснзнх i не б i ли) hí* гргпркмзрн!, вслод^хть чдяноя селоссь-еог» пгдгрупоп хтйдтоасыгаго тапу. НэхаЯ скхячзюга група G розпляда-ться в нал:впрялвЗ дсбуток & = croîs голов-

сышх ¡пдгруп 9 i ,:Ь i п{дгрупа 9 эавовольнят иа-с ту пня м умояач: 1/9 - езловська р -п1дгрупа групп G ; 2/ окспоячнта М' на пврввгщу* числа р або числа 4 ; 3/9'Í 7(9) ; 4./ 9'' •< при Ф(9) ->2(9) ;

S/ экспонента Ф(Ф) но перзвяяув числа р ; б/ 9/ ep(íP) ~ кчшишчна шншадьна нормальна п?дгрупа група G / ср(9) . Тод! пхлтрупу 9 будемо чази^ати силовсыгов р -niflrpynon

гругга G s u I д т о lí с ь к о m типу.

Теорема 2.4.1. Скхнчэинх »шнмальн1 нэнадрозв"язнх групи ьячергглоться групаш наступнлх тип!в:

I/ G = 9 > G - трупа Емгдта, I 91 ? р" ;

2/ ü •- 9 х <2 . 9 - сйлоьоька р -пхдгрупа група G яайдтовського типу, О- - шгклхчна трупа, >• <?-

i 9 х ^(ô) - надрозв"язнх групи, С 9, ср(а)3 ~ У1 ;

3/ G - Q л S , CP - свловська р -шдгрупа групв G шшдтовського типу; > Сй(9) ^ G ;

®/c~(Ci>) " а3° Н8&аалвеа група порядку <¡ ' вксяоненгя ç , sOc, примарна група 1йллвра-Мор8иа, яка «лстить циюйчну ткси-вадьну пхдгрупу; р = ^ ( <у) ; ср{<■]>) х О. , 9 л d, -нядрсзЕ"язн! групп, дз d ; - довольна максимальна пхдгрупа з

а ; [9, а' .] 9 ;

4/ G 9 л ( 9) , 9 - скловська p -[йдгрупе групя б Е1Йдто»с1>кого твг.у; (2 i 9, - отюцчн! rpycm:

[ 9, ¿0 * 9 , Г a, 9] » а ., Ф(9} >- сг>( а) < 7 с 9 х а).

ФГ9Л - а ь <?■) ; 9 " ьедрозй"яэла група.

В § 2.5 вс1йиоыгсвтьсл отас кянхмальнзх нвттеинк^чаих груи /кяао "ímo /. Бсього о творвмх 2.5.2 о-гркмыю 'iimít такзх груз. Щ групг ракхмс- виьчалз И.Елегбарп /1361 р./ /пхль-потзэткий азиадок/ í M. Кури i о /1984 р./ /ненЬиыютсйтнйй вягга-до:;/. Boas еотвкоиш, гр так! групи на бхлыз в* я трясряшрч}, Дйсоороввя! se. Opa t цо iz коку тая г моей бут« osnxow а груп: одаагюа грузе, групя лошадку р ,. група мр/хдру p:j. грува Áüütepaioiitb; р , с> - npcevi /us обов^азкоза piw» числе/. В роботх 15-Kyisilc игогшаяша дзззыае* групп теп» 5 -/яэдйлнкгоягн! (Ннритрч! Miwhsj'wïi E4M¡mn?-í«K>:i "prmi s iKsawîййtrosj esy»osa¿r.8» а!дгрув>-!?» чсол^о ? •< ".ос-

кн 2.1.5 та 2.1.6 уточниться будова нгльпотантнях та язнЬтало теинах гаягмалыгах нвквтакиюнчяих труп. Головна s чаетина нього параграфу ярясвячвиа дослгджеякю груп ткну & ¿ . Вяя-вяяося, ¡so Dcix такях груп з 19 пе!эоиорфяах raníB.

У глав1 ГО "CKÍH49HHÍ групп 3 ДЧЯК2Ш! умовамя жяоперсгвнсо-tí душ 2-максяма.тьних л1дгр7п" подазться повна i нфорвап! я про булеву клас!в • /теореш 3.1.2, 3.1.1/. Я* нао~

л?лек теорема 3.1.2 отримучться спас клаеу /теорема

3.1.3/. Такс к всталсБЛЭчтьея оплс хлэс!в /теорема

3.4.1/. /теорема 3.3.1/, /т<пр«кя 3.2.1, 3.2.2/.

Б § 3.1 э теореки 3.1.2 отричутоя результат, якйЙ ла-1 опво негпшйчнях труп з г-какпгмаляш®» амийчнякя п1дгр7лаив.

Теорема З.Х.З. СМнчекн! издам! tai гругк, з яках ее i 2-такс«кальк1 пхдгрупя Щ!кл!чи!, вячерпусться групаая иа-ступнях renin:

I/ G - к1н1иальна н9цякл!чна група;

2/ G г 9 •< Н , 14;М- р , И - шнполъпа пяпиглгг-ка не peí -групп;

3/ & - Q \ Q- - трупа Мдта, |3l - , Q - rani-тальна яопякйчга р -група;

4/ а . <Ъ> , ^ л< ^ - "t ni -

шльгт неШчсйтаа група:

5/ 5 - 9 х а , а = <• о > » ' > , i а I - ! 1-! - , < а wi Hi мальва кеглям! чяа група, С а ( 9) » < & > »

6/ G - > С1 , <2. - групп кватерн! он! в, ' ^ ,

р > 2 с л < 9) * а ;

7/ Сг - v1 а , CP ~ ягийчло група порядку Р" . ФС9) -х ~ к!и!кадьггз яешитчна група;

8/ G - '•? N й , 9,» <3>2 9, > л , 9г > а -

uiHiwaibni иешкяхчн! групя;

9/ G • <?x vi , 9- 9, «У>а , * Z(G>, > а -лШиальна иепикл1чна трупа, Л J ;

10/ £ » (9 » <£) > , , <2 >> - и!и!иальн!

нациклхчн! групл;

II/ G - Ч> л ( Л к -31), р , s .ч , <3 > а , 9 х а -tüüiwibüi ь;ецикл! 4ai групн;

: а.

12/ (5 - иэцявл!чи& група порядку pJ ; 13/ G - узагальнзна трупа кватврнгокхв порядку 16. В § 3.2 давтьоя яонструктавтай опии смнчвнних труп, в яках вех 2-максашльн! ni дгруяа Ч -даопзрозЕНХ /клао "^-¿g / /а Teopeui 3.2.1 - нодасиврпнвн!, а в теорзц! 3.2.2 - даеперскв-hj групп такого роду/,

Т б о р 8 к а 3.2.1. Скхнчзнп! нвдасперсявнх група, в яках во! 2-максЕ!.щльн! ггёдгрунв cf -дксперсвва! хоч da для одного впорадкування лросткх чисел 'f , Еичврпуптьоя групаы наотушгах тип!и:

I/ G - Л(й xt &>) , J « G , Ji-^t" -- - нзабодэва онловська р -пхдгрупа а G , J у Q. - трупа 1Мдта,

£ , Г а, ь j t < , я. > р

2/ g. - Д ( а >.<•£>>), Л о G , Ö, - груиа Шгадта,

шкизшальва в G , Jt = ф - нвабеяева окловеька р -пхдгрупа я Gr , Ii G) - * Ce/J'0 , Ca(j\) * ф(о),

| ф(а) : Carj)i < <}• , СР<Л) * «£>(<&>), I <*->(■*» i P l 3/ G « S L ( 2, S) або ч? S L < S, ; 4/ G s SL (2, p) або 9SL ( 2, p) , p г (3 , рг ♦ 4 S О ( mot/ 5") , p2-/v' О f ,,,Oi/ -<£) ;

6/ G s cpSL ( 2 , й4-). 1- , Ü4- 4 - nrocii

лп;

6/ G a SL^.S*) ябо S'SA.Í?.^), ?>¿ ;

7/ fi = Sx ( 2*) , , 2f- f - нэпарях npccri тасла. T о о p а и a 3.2.2. CkíH49Fthí íncnapcsEHi гругтн, я яких г.asm 2-дагссю/альяа пгдгруяа у -лгсячрсивка хоч бп для одного впорядкуваяяя простях чяспя у , вячарятвться групаги яаступнЕХ тип!в:

I/ 5 . - ок1нчеш?а се -диспврсявяа трупа; 2/ G = 9 X О. -ив с? -дясперсивна група ййдта; 3/ с, 9 xd , Й - пякя1чна cj -група иг простого порядку, <? \ ф(а) - груга й.цдта, Ф(-Р) .<. GfíG) ;

4/ 9= <С> 9, , 9, х а - jrpyna Кшдта,

<;с> - r¿(cv) , ср <г ф (<■?,) ;

5/ & -- 9 л а ; ФС?) Hi, с/ф(9) - грути Мдта; 6/ G - 9 X а , 9 -- 9, % ; 9, х а , % > 5 - груп* Шэтдта, 9, п 9, ' ФСЗ><) * - Ф(<3>) * 7 С б) ,

довхльна гйдгрупа Е'жпдта a G шстять Ф(9) ;

7/ й = 9 Л а , ¡¿ _ абэлвва

гртпа або група Ч!ллэрз-?(?эрона, э1я,*1якя йд гртяи дгелра яо-р.тдку 3, 9 х < а > - група Ши1дта, Сй(9) * Ф(<о>)< &> , Ф'1-9) - '2(G) :

6/ Ст = 9 \ ( а >• <&), 9 > £ - група Шкхдта, IФI - -г ,

-г £ \ Г, °г ? ;

9/ 5 = "З. >( О5 > а) 9 х а - група ВДдта, 11 - ES~ одипячна эле^ятаряа аболэва . г -пЦгрула, яка ■-? иШкзльно» нормально» птдгруясю групя G , t £ { р, ц } .

3 § 3.3 э теорем 3.2.1 г 3.2.2 /базпосародвхгл переглядом r¡-í х та ni в груп io mix тосрчи/ отрамако опяс класу ■ ¿ 5 •

Т э о р о я р. 3.3.1. Скхнчеmi груяи, г. яких roí 2-мак-спуалып гтхдгруая длсперсявнх за Ops, ¡вэтэрпуятьея групаш на-

- '£¿

c rrnimx r¿ ni в :

I/ G ckíячейке даспарсавна за Opa rpyim; 2/ G * 9 X 2- - трупа Шшдта, р < у ; 3/ G О. . а - шкл! таа грува, 9 >• Ф ( -

гг.упа 1ш1дта, Ф(9) * 2 ( с,) , р < '{■ ;

4/ G . 9 * а , 9 = 9,92 , 9, -» G , 9г « G , 9, л

к ср ( 9,), , 9г - ^(9) с с» , с г , срб- фс9), 9¿ ~ 2 (о)

9, > £ - грувг ИЬядта, р< (f. , кош гцдгрупа Шытдта s 5 ui стать Ф(9) ;

5/ G - 9 л а , 9- 9,9г ; 9, л ¡2, 9, AQ - vpyiw. 1Мдта,

0 о 9. - й^с-Л)« <*>(Щ) * Ф(9) * 2(G) , Р < ^ . Kosua iii^rpyna Шгл1дта з G встать <=р í 9) ;

0/ 9яЗ ; , Т'рупя Щмхдта, Р^ ^ :

?/ & - 9 А а , а -- < а > А < è > , €>= < , I L О, Ы I Ч , - трупа Шк1дта, Cö(9) = ф(<о>) * < í> ,

<р ( 9) s 1 ( (?) , р * ;

8/ W = (<& » 9) > а , 9 >- <А - Груиа ПМдтп, Р < <{ , 9- -кьодЕйпчка кШкадьна нормальна гпдгрупа в п>дгруп» СЛ х Q. , пря I 9-1 > "t- т > ^ ;

9/ G- * ( <01 * 9) X й ; 9 X а , 9 лй - групп ?.üAuopa-Моренг, г < о, , р < <¡.

Ю/ G ' 9л(а " 9.), 9 X а - rpyuû Ешдта, I Ъ U -г ,

[çj> ср р<<^. сбо р 4 г , пр" р < ~

9 > СЛ - групй [&ТХдтсf & \ о,! ■■-■ q ;

И/ G = >yUû - груна ВЫдта, [й,^! -

1 ® I > -г , > р > -ï , ФС9) < ФС í?' С9, -Н < 9 :

12/ с-- - трупа Sfci.Tm, т • ;

9' - М^ЙЬЛЛЙГЛЗ »Offt-.A'ibHU nbiT'DYü? nor Ч

Г 9,2. ] у 1 [ с2 ] = 9 ;

13/ 6 = Л ( ¿2 ><?>>) , Л * & , Л < & > - 9, 9' * {( О грутга ГМдта, V е ер (Л) , ,

14/ Ст • Л (а > <€?>>, Л « О, нвияюйчна шн1-

кальна яоркэльна гндгрупа в Й / ф(.«) , л < 6> - Ф , 9' * * , 2 Г б) = < ч сй<.Й) , Са( Г) * срса) ,

( фс а) : са(л)| 5 ^ , ср(л) * ср( < i < р,

С Л , й ] = Л ; Р > ^ ;

15/ й ~ £ Ь ( 2, 5) абс 95 Ь (2, Ь") ;

16/ С з 51. (2, р) або 95 Ь ( 2 , Р) , р Н5 р2*-Г - о ( 5) , рг- < / о1 С "'¿У -

17/ О а ^ 2, 24") ; ^ , ' - непарн! прост!

тп>сла;

10/ С а 95Ь ( 2, ; <} , Зу-'/2 " нвпарн! прост» числа.

В § 3.4 гстансвлватюя оляс класу /тэорваа 3.4,1/.

Задача опгпу сягнтешшх рсзв"язтат груп, а ягах ил 2-цаяси-«■пльнг пхдгруги яздрсзв'ячи!, явно сфорлульована з «опографх'Г Я.О.Н.'енотуова /'Форкатт коначннх групп". - '.!.: Плуга, 197Й р./ як проблема /проблеет 25/. В рсзв"язанн1 пН! з&лач! браяз участь багато шзтор1э, зс!фе>^а Я.Г.Баркошч /1964 р./, А.1.Но~ ешъккй /1974 р./, Да В! во Клорхадв /1979 р./, В.М.Севднчук /1979 р.; 1935 р./, В.Т.Нагрйбецький /1983 р./, О.В.Сгдоров /1985 р./ та гп, Я.Г.&ардовтч боэ дорэдэння павгв список сличениях перозв'етних груп, 0 ят «с! г-ааасималыт! п{дгрупн назрслв'.ч^нг. В роботах аЛ.Ноекпыюго 1 В.М.Сешнчуяа отрпивн» хасакт?ризрл1 Т тазах си: пчгаиях розв"яэ!гах груп прл додятковях умовах /напр^клад. Ф( о) - I /.До 3!во Клор{яда ввачала ялястпвссг! скхнчепяих простих груп ! шгастивост! сяловсышх

адгруп скхнчвннах розв'язнях груп, в яких Bei 2-ыахсииадьн! п1дгрупв надрозв"язн1. Результата В.Т.Нагребвшького стооуються таких as нерозв'язнйх груп з уыоас» Ф (G) = < i подавться без доводень. 0.В.Сидоров довхв да як! властивост! ск!нчвнних розв'язних груп, у яких Bei 2-ыаксишльн! üiдгругти належать до-як!й $ормад!1 f , £8 tf , зокрема, $op!ianin надрозв"яз-нзх груп. Всього в теорен! 3,4,1 отрвмано 34 типа, серед яких 33 тнгш ненадрозв"язт1Х груя /груга типу 2/ - к1н1шлый неиад-роэв"язв!, груш тип! в 3/ - 34/ id стять власну нзнадрозв"язку niдгрупу/. Групк тяпхв: 3/ - 7/ - б!рримарн! даспероивях, 8/ -23/ - трипримарш дпепэроивн!, 24/ - 28/ - чотйриаришрнх дис-персиви!, 29/ - 30/ - öinpBMapni шнтлтый иэдаспарсивн!, 31/34/ - (¿Шмальих нврозз"язк1.

У глав! 1У "Ск! нчензх група з двнкяьш уковака дисперсна-HOCTi для пхдгруп вэприыаркого !ндэксу" даеться опас класхв

. +г , . , . - В

роботах автора /1973 - IS75 p.p./ отрикано конструктивней опяс S * -груп /глас "3*4,% /- S* -груш; - и» окхйчэянх не-Hi^bnOTOHTJfi групн, в ягах sei ихдгрупи неправового индексу нхльпотентнх. Окре«! видя окпгчэтшх яонхльпотзктиия ipyn, в якна yxosz н!льлотвнтност! н&клздалась на со! аяаон! п!дгругы я!дгруп иавгрвмаряого iадехсу'aciel. групп, роэгявдшоь П.П.Ба-рашоышм i М.О.Островерхим /IS&0 р./. В роботах автора, а та-ког С.Ы.Чврв!яова ! автора /1971 - 1973 p.p./ отрвгаио яон-отруктивней оггас JW * -групл - сюкчвйних НбЕбвяапггх иваратр-пах груп, ß якях во! пхдгругпг яадрянауяого !ядексу adsJrat! /мае /. С" -групв - екхН'Тзяй! изпргш&вя! оадакя!ч-

н! груш, в якях süi а!дгругп; -веярваарвого ¿!?дгркоу хиклхчк! /клас tf.M / вялчея! в робс/ах явтото /1Ч?1 р,Рлч яруч-

ifcoTi в творэках 4.I.I, 4.1.2, 4.1.3 подана;повна 1кфорглал!я

Г* * / * *

яро i> jw с -групя /класа , vj>

вгдповхдяо/. Леям узагальяеяяя siJBdnoiras macia rpyn на mobi форшщй зд1Йся»я1 О.В.Сидоровим /1985 р./. В §§' 4.1 -4.6 nisi глави встаяовлоно опвс S** -, J'** -, С*' -груя /класа tK6-3 , > ^ 5< /• С;аяченяа яонЬяьпотеятяа

/5!дпов1дпо ивпрамарна яваболева, нэприиарка нееткл^тна/ трупа яаэявачться S** /вгдповхдяо Ju>"'-, С** ~/ -групся. jreaso в шй вс! влас.чх пхдгруяя пхдгруя яэпргмаряого Индексу яхяьпотэят-Hi /б1дпоз!Дяо ябэлвв!, пигл! /. В1дйтяж>. яо в глав* 17 дута суттсво вякорлстое.тться результата г.тяяз ГГ, особливо г/ри ЕотаноБ-TRKHi будовя win! кагатах кодпсперсаенях S * * ?■!* * -, С** -груз /тзорэи* 4.1.Э. 4.I.IO, 4.1.II в1дпов1жвз/.

Т э о р б « а 4.1.9. Мпгёиалья! недгспэрсязи! S* * -гру-гтй вичогпугться групада наступнях тяп1в:

I/ G - м1ч1 калька неднспарсявяа група псрядау р'/ р , 9, - р!зя{ rrpoc-i тесла;

2/ G й 9SI. (2,i) ;

3/ G = SL ( 2, 5) -

< * *

Творена 4 Л .10. УШкаяыгё недадперсптш J4 -гру-¡с/ Еичэрлукться групамя яастуттяих тегт^в:

I/ G- - ( г Q > > < & >). 1ol г 3, ' Ч J* ~ трупа кватор-ягсягз; J * < с > , <:о> х - групн Шмгдта, J - уза-га.д5ярна група кватерн!ок!в;

2/ S • ,Ь(<а> л < &>), I al = 2 , J _ група кза-

тврн!сн1в: J л < (j > , <«> >• < £>> - групв йМдта, J > <?>> -квязШедральна групя;

3/ (i - Ji х ( < о> У < &>) , ( оЬ 3 , 1 ?»|г ,

| I = << ; л >. < а > , < а > >• < 6 > , Я X < ь >

групп Шллера-Морака;

4/ й ' Л * ( < о > х < Ь >) , I а I - ч 1 | |>| £ и, ъ 1 , Л -еланвнтарна абэлева група порядку р^ ; Л >■ , >.<£»-. групя Мх ллера-Море на;

5/ а = ®£Ь ( 2, 6) ;

Ь/ й Б Ь ( 2, С) ■

.. * *

Теорема 4.1.11. МШыальн! недисизрсивн1 С гругга вячерпуються групаш наступних тпп!в:

I/ 0= л(<о> л <• Ь>) , I о|= 3 , 161= V, Л - група кватбр-н!он1в;

2/ С 2

3/ в - 9 Б Ь ( 2 , 5) ;

4/ б 5 £1(2,5).

Внкоркстовувчн таоремц, в §§ 4.1 - 4.6 встанозлтться конструктивная опяс бхпримарних ивдвспарсвванх /теорема 4.4.1 -4.4.3/, роэв"язних нвбхприиарннх нвдясяврсиапих /творами 4.5.14.5.3/, яерозв"язккх/теореш 4.6.1 - 4.6.3/ Ь * * ^ * * С" -груп /всього отрпкано 22 тага; таких хгруп/. Вияввлось, аокрака, но розвпяз!гах иэдиокврмтнвх кебгпрвнарппх С** -груп взагал! нэ хонуе, а избхпряиарт гозв"я8к: кздиспорсявн! Б"" - г М** -групп трипрамарн! i кйотять о6об"язково (Нпри-карну ходловоьку нвдаоггврсивлу п*дгрупу. Конструктивна опяс днспзрсивти: Б** С** -груп дано в §§ 4.2 - 4.3

/всього в геореках 4.2Л - 4.2.3, 4.5.1 - 4.3.4 отринано Ш п;п:в таких груп/.

У глп-.'л у '■ Даякх най^да". довлЦх/втъоя клее» "^эй /теоракя 5.3.4 I 5.3.5/, "^Ц-л /теор%;д: 5.3,Г -5.3.3/, с такое вогаиовм-гтм* рэягк каЙР-а^да-яШ ?'йатг><а', якг

виплввають з результатов псперэднхх глав.

В § 5.1 з усхх допом!жн7х в{длкостйЯ 1 гюперпдн1х результат слх д вгдагЁтати теорем:/' 5.1.1, таа мач пэшгай самост1ЯяаЗ ¡•нтерес.

Теорема 5.1.1. Ск1нченна Л -грум тодх I т! льет то;п кадрозв"язна, коли ксяиа XI неодлкячяа мхнЫальна нормальна пхдгрупа ма^ простиЯ порядок.

В § 5.2 з теорем 2,2.2 - 2.2.6 отрят/уються касл1дпсг, и-"> дають нонетруктявнмй отас настушгсх трьох ктасхв ск'нчендах ттыажьтх г^адисяэрслвшгх груп, г яюгх вгдпоагдко: I/ вс< ся-лсвськх гсхдгругга абелев1 /теорема 5,2.1/; 2/ псх сттловс^к! погрусти дздекхндов* /тяорзка 5.2.2/;3/ во! фактор-груга ?а нэода-плчшчдз нормапьдамп пхдгрупвж дисперомчх /тля звая$ тфитит?!! недясперсявях ггтгш/ /теорема 5.2.3/. В!дзнгч;'!,м, 50 з тзсряш! 5.2.3 виплпвають оснспп! результата тях роЗхт Т.Хоутгаса /1953 р./ I А.'Таттах! /1373 р./, а чкяг. зявя&тесь 1 иерез-

В'ЯЗЯХ КрЯТЯЧИХ НЭДЯСПВрСИЕНХ груш? зхдповшго. Пра ш.ому результат? Т.Хоукеоа знатно песнлеяЬ

Теорема 5.2.1. Ск'иченнх щнп.-шльн1 недяспорсиЕй! -У -групл вичерпуяться групадя нпступтгах тягхв:

I/ б = * .М I , п 9 2 , М: = Л; ><?>;-„> -група ГЛллера-Морена, J¿ * < £4 > - сгловська р: -гпдгруна з & , р- , р^ - рхзнх яростх числа еря С * ,

У ь 2„ ;

2/ 9 Б Ь Г 2, 2 • - просто тясло,-

3/ & ~ Ь ( £ 3 ^ > 9- ~ квпарив просто тлело;

4/ 5 = (2, р) • Р - тростя тлело, р % ,

Рг { ~ С ( Зс/ 5) , р:- < ± ( "- ос! -(б)

Теорема 5.2.2. Скпг-шннх ?лн!».атьнх нодяспэрсявн!

група в дедвкхвдошшя еалсвсьюгш лхдгруяаыа вичерпуються гру-паш иаступндх тип!в:

I/ С - .х 1 п>, 2, £: - * < група Шллера-

Ыорена для ве1х с' ^ п , а - або трупа Мхллора-Морзна,

ебо група Шщдта в пхдгрупсв Jn , хзсхюрфною групх кватерн!-он! в ! рп. , * г \ Ь„\ = г, ЛН * < > - снловська р; -пхдгрупа груш; <3 , р; , р^ - ргзн! прост! числа при

1 ■ / 4 е ;

2/ й г (2,2*). % - просто числа;

3/ й 9г 9 2 ь (2 , Ъ*) або 5 Ь ( 2 , 3 , ^ - преете непарна число;

4/ й г (2,5) або БЬ ( 2, £Г) ;

5/ б = 9 5 Ь (2, р) вбо ¿Ь (2,р) , р -прост«

42СЛО , р ? (3 р2« 4 = О ( rr.ee/ 6") _ р2- У О -!6)\

Теорема 5.2.3. Критичи! надиспэрсйвн! групи В5тчер-пуються хрупами наступи« тип!в:

I/ & - 1 у (О- >• , Я ~ елешнтарна абелева група яорядху р , к * 2 , що е шнх калькою норшльнов ¡идгрупою група й , | а/ ф(а)| = ц | 4 * $р(<1) 1 | II = Р , йиЬ - група Шахдта, Г Л , , с а (Л) -- -(,

| Ф(а)| < с( л х & > - йилоБСька р -п!дгру1/а э б ;

2 / 6 * к Л I пъ 2, група Мхлле-

ра-Мэрака, | | * Л; * < - - оиловська р. -гт{

група з & , р; , р^ - рхзнх прост! «яюла ( I. £ ^ м ',

3/ б = (г.а1;) , а. - 'проста -«гасло;

4/ 6 ~ ф£ Ь (2,3^) , ^ - нэнарне просте число;

5/ = (2,р) , р - чреоте ччело, р % рг - -< = О (.гг-оЫ 5) , рг - ■! 1 о ( ^-,-г/ /б!1 ;

S/ Q S S? ( 2 , (f, ~ н9п5гпв просто tic.1i

В § 5.3 вивяа^ться будава ск!кченпих труп а умоваии «t.¡п. потавтност!, абалевостг, rmwiwicti для З-максинпльних гцд-груп. В таореиах 5.3.1 - 5.3.3 встаноаяэко будову ckinqeinrax Я9н!льпот9пттах груп, в яких bcí З-нахсяаальн! niдгрупя Friль-потентн!. В теоремах 5.Э.4, 5,3.5 встаяоэлэно яонотруктявяяй сггас скгнтешгпх яерозв"/тзш?х груя, в ягкх sei 3-ткс5кгигьн1 стдгрупи в!дповгдко ебеяэвг, цик-тИн i. Bíjokíthmo, ëjo будову ирркаряих регулярнях 2-породквнвх груп, в лтшх sei 3-гаксвтяш>-ni niдгруш? абзлэвг, вствновнв асп5раят автора С.В.Дратагзя /1989 - 1392 p.p./.

§ 5.4 пргсвячэкяЯ встаномеяйп доякегх озявк диспзрсяачост! i ведаспегоивзоот! ск!кчэняях груя. 1Йдн*тг«э серед кях {«облаве таоромя b.4.3 i 5.4.4.

Т о о р в м а 5.4.3. Стшгчэяяа групк дяспгроявйй, якпо п н{й bei П1дггугга Сгадта наярозв"язн1.

Т в о р в и а 5.4.4. Порядок csiirrasmor Н9дясп8рсягво1 груга G дЬтаться пбо на 24, edo яа четотртав cMuim- дэг?-. кого орого простого Д1ль;тяка, або г еяловеька 2-п1дгрупа э G ч влтяатаряою абвяюо» л1дгрупою поряягу 4-i G> и1етчтг гйдгрупу К , 1зоморфну rpyni одного з наступил* ranis-I/ Ф(й) - г -група, к/с£Ч и) ^ <?SL (2,3V, г . -нзяоря! проот! члела, *г I 3 - v ; 2/ Ф(и) - 5-rpyna i й 9Sbf2,í);

3/ Ф ( и) = ф„ » Ф„ ( , «f-i - сй.товоь-îi р - i г -пгдгрупп з Ф(и) вхдповглно, н/ф( и) = cJ>SL(2,p), р , т - PÍ3HÍ ярое?! тесла, г ! р. í , р г ?3. , р2 * < - О ( i^Ocl 5) , р2 - ^ "¿0 ( тег/ -tó) .

На закхетотт bí дай temo, що яаёб1Лья позко в робот! даяо

опео таких KJiacis: I ^ •" 1 1 ^1

<7 , 1 ± 1 > . ^ 2.V » .

1 , . "л« . Класи О^з Y

. доел1дии лнша чаотксво i з р1знош точкхс-

Я). Заьаршення описания коккого з цях класхв шка бути скрацоь задачей.

; ПУЬЛ1КАНП АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРШП

1. Скхнчвнв! р.энхльпотентнх групи з двнкимя заданами система*® нхльпотвнтнах пхдгруп // Допов. АН УРСР. Сэр.А-1974 - Й I. - С. 3& - 37.

2. Конвтше группы о влльяотвнтнами подгруппам ненримарногс индекса // Некоторые вопроси теории групп. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1У75. - С. 197 - 217.

3. Разрошмыв недиспарсяакыв группы с некоторыми саловскиш подгруппами, порядки которых делятся кз более чаи на куб простого числа // Ухр.иат.курн. - 1975. 27, й 3. - С. 329 336 / en. з Кузвнпнм М.Ф./.

4. Конечные разрешимые кшп»*альные недиспароивныв группы // Увр.иат.вурн. - 27, & 4. - 1Э75. - С. 52S - 52В / сп. а Кузекнгм М.Ф./.

5. О конэчкнх надиоизренвнык группах. - Клев, 1976. 48 с. -/Препр. /АН УССР, Ин-т катодах78.7/ /си. s Кузэпним М.Ф./.

6. Конечна« кваэввзлрзнарииэ группа // ХУ Всесоюзная адгзбра-Ечзскал конференция, Красноярск,'3-6 саля 1Э7Э г.: Тез. докл. Чаа*ь nepssn. - Красноярск: Изд-ио Краеиояроквй гос-угльврсйтаг, 1979. - Се 91.

7. Кспечшгв квазпбгнржарние грушш /V Группа, оирвддодемио счойстааиа оестош подгрупп, Киэа: Яп-т У0С!\

- 1979. - С. 83 - У7.

8. Конечные кедиспврсивпьге группы, п которых лгбая подгруппа яепримаряого индекса якльпотвнтна либо является группой Шшдта // Хояотруктявясэ описание групп с ааданянка свойствами подгрупп. - Хяея: Ин-г иагерлагияа АН УССР. - 1980.

- С. II? - 132 /сп, э Куззнням

У. йок9ЭЯЫ9 нвнильпотвктннз грушш, э которых любая наняльпз-тентяая лодгрупа нопрямзрного зндакса является группой Ш.чядта// ХУ1 Всесоюзная алгебраическая конференция, Леипк-град, 22 - 25 сентября 1981 г.: Тээ. Часть вторая. - Летпя-град, 1981. - С. ВО - 81 /сп.з Куззнням МЛ./

ГО. Конечные бапрнг.арпыв двсиерсавннэ группы, з поторух встаал подгруппа гтзлряиарногэ зядвкса пяльпотеятпг лзбо является группой ¡ичядта // Иселедоваяжв групп с задакдага свсЕстгачв подгрупп, - Кяез: Ип-т «атематакг АН УССР. - 1931, - С. 33104 /сп.з Куяеяяим М.Ф./.

11. Конатааа дяспврсивнне яэбялрлмгрпыв группу, всякая нениль-потеятвая подгруппа нопримарного индекса которих .чалячгся грушгс.1 ¡Еетдта // Подгругшовея хяраятэргзшня групп. - Кяон: 11я—7 кагэматтая АН УССР. - 1032. - С. 74, - 94 /ея. э Куэоп-нлм Ь'Л./.

12. Строение конечные мзптмалышх яедяспврсввних групп // Груп-пн з свстемй их подгрупп. - Каеа: Лп-т математик* АН УССР.

- 1933. - С. К - ее /сп. з Кузспнмы X1?./.

73, Об одном классе конечных мзнямйяькых яедзсаарсявгак групп // Строеняз групп н нг подгруяповая характерпзшхкя. - Кной* Ии-т иатвматакя АЛ УССР. -Гг84. - С. 66 - 73 /сп. з Кузен-ним ПЛ./.

14. ¡"рушта о некоторым системам! дзс.тарпязянх подгрупп. -

Кнэв, 19й4. - 60 с. - /Препр. / АН УССР. Ин-т математики: 84.11/.

15. Надасперсквнне группы с нэкоторшш системами дасперснвных подгрупп. - Киев, 1964. - 47 с. - /Прзпр. /АН УССР. ИН-т математики: 84.35//сп. а Кузенним М.Ф./.

16. 1рушш сусловвдаа дасперсивностн для подгрупп. - Киев: КГПИ, 19И5. - 96 с. / сп. э Кузевнии М.Ф./.

IV. Конечные группы с условия!® дасперсявяости по Оре для 2-ьш;оишльных подгрупп. - Киев: КГПИ, 19ёб. - 15 с. - Дел. В УкрЛЫИНТИ 1«.02.85, й 629 /сп. з Кузэнтам М.Ф./.

Г«. Конструктивное сгшсанив конечных групп, у которых все й-макспиальныв подгруппы свархразрешиш. - Клав: КГПИ, 19ЙЬ. - 42 с. - Леп. в УкрНИИНТИ I7.04.8b, » Ю86 /сп. з Кузенним М.Ф. /.

19. Конечные группы со свархразраагимими 2-максннальвили подгруппами //Строение групп и свойства иг подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1У8ь. - С. 63 - 73 /сп. з Кузенним М.Ф./.

20. Конструктивное описание конечных несвэрхразрешвмых групп, у которих все 2-ыаксиыальныа подгруппы матацаклаческао // Исследование групп с ограничениями для подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР, - 1986. - о'. 42 - 51 /сл. э Сем-ком М.М./

21. Конструктивное описание конечных кяникзльяых неавврхразре-гаишх групп //Вопросы алгебра. - Минск: Изд-во "Унквзрси--татское", 198?. - Л '3. - С, 66 - 63 /сп. з Кузенним МЛ-./.

22. Конечные группы Шмидта к их обобщения //Укр.мат.куря. -1931. ~ 43 , & 7 - 8, - С. 963 - 968 /сп, з Куэеяням М.Ф./.

23. Строение конечная мияямальках квметаштошчосквх групп //

Sio-Znlk Qedooo^lc fr.'J tyre <,3Se,

KnivetiLiy Q. io/uti ka v ^oticl-

acb t Sice. t 7va2ok. < , (^¿тос/ПЙ

veciij t i-notemablko . - Notice . - jggo /1992/. -& . 49 -95 /сп. з Кузенним М.Ф., Сешссн M.M., Тскгшзхом Л./

24. Строение конэчтшх групп, у которых всо г-какезкальныз подгруппы сверхразрвсямн //там гэ. - С. 125 - 16П /сп. з Кузенним М.Ф. , Тоиааоком Л./.

25. Конструктивное описанпв ионэчннх нэяйопереявннх групп, а которых все подгруппн нвпрамарного нндэкса абатэва // Ухр. г.'дт.нурн. - 1992. - 44 , 3 6. - С. 818 - 822 /од. з Чорнт-•ЕОВЙМ С, 14./.

Шдп. до друку/V И 9> . vopj3? 6C:c£4/IS. Hanip друк. 9фс. ¿рук. Ум. друк. арк. . Ум. ТарСо-Н1д5. . ООя.-взд. a pit. -i, €

ТзрадЛТ ;;р. Зам. v."с? Еазксэтозяо.

В1ддрукоэано в 1нстятуп математика АН УкраПш 2526GI KulB 4, ГСП, пул. Ъ'ерецекиасьва, £