Скiнченнi групи з метациклiчними пiдгрупами непримарного iндексу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

СКІНЧЕННІ ГРУПИ З МЕТАЦИКЛІЧНИМИ ПІДГРУПАМИ НЕПРИМАРНОГО ІНДЕКСУ

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Сс/і ¿Л(}

іузук Любов Іванівна

УДК 512.542

Редакційно-видавничий відділ “Вежа” Волинського державного університету ім. Лесі Українки Луцьк - 2000

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному педагогічному університеті імені М.П. Драгоманова на кафедрі вищої математики.

Наукові керівники:

доктор фізико-математичних наук професор [Левіщенко Сергій Сергійович] завідувач кафедри вищої математики

Київського національного університету імені М.П. Драгоманова

доктор фізико-математичних наук Кузенний Микола Феодосійович провідний науковий співробітник Інституту математики НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук професор Кириченко Володимир Васильович завідувач кафедри геометрії

Київського національного університету імені Тараса Шевченка

доктор фізико-математичних наук, професор Монахов Віктор Степанович професор кафедри алгебри і геометрії

Гомельського державного університету імені Франціска Скорини

Провідна установа

Ужгородський державний університет

Захист відбудеться “15” червня 2000 року о 14.15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001:18 Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01000, м.Київ-127, проспект академіка Глушкова, 6, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, механіко-математичний факультет, (поштова адреса: 01000, Київ 33, вул. Володимирська, 64).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Вчений секретар спеціалізованої ради

А.П. Петравчук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з напрямів теорії груп є вивчення будови груп за заданими властивостями V деяких систем ^ їх підгруп. Класичні результати цього напряму містяться в роботах Р. Дедекіцда (1897р.), Г. Міллера, X. Морено (1903р.),

О. Ю. Шмідта (1924р.). Ідея вивчення груп за заданими властивостями їх підгруп знайшла чітке вираження в роботі О. Ю. Шмідта (1926 p.). На цьому шляху було виділено багато важливих класів груп, які збагатили конкретну базу теорії груп, зокрема, наприклад, дедекіндові, гамільтонові, метагамільтонові групи, групи Міллера-Морено, групи Шмідта. Загальна задача опису будови груп з тими чи іншими обмеженнями для систем їх підгруп була сформульована С.М. Черніковим (1969р.). В цих дослідженнях велике місце займали властивості, пов’язані з питанням доповнюваності підгруп. Н. В. Чернікова (1953 р.) вивчала групи, у яких доповнювані всі підгрупи, названі цілком факторизовними. C. М. Черніков (1954,1970, 1980 р.) вивчав нескінченні групи з найрізноманітнішими доповнюваними підгрупами. До цього напряму досліджень груп належать роботи О. Н. Зуб (1971 p.),

П. П. Баришовця (1973 p., 1987 р), В. В. Атамася (1988 р.) та багато інших.

Іншим напрямом, започаткованим C. М. Черніковим, вивчення груп із

заданими властивостями підгруп є вивчення груп із системами X підгруп, де використовуються такі характеристики цих підгруп як порядок, індекс, максимальність та інше. В багатьох роботах, наприклад, в роботах В. А. Белоногова (1968р.), Я.Г. Берковича (1968p), С.С. Левіщенка (1975р.), П.П. Баришовця (1981р.), A.B. Сидорова (1985р.), М.Ф. Кузенного, C. С. Левіщенка (1985р., 1991р.),

С.М. Чернікова, С.С. Левіщенка (1992р.), В. С. Монахова (1993р.), властивістю, яка

визначає X, виступають примарність, бінримарність.п.- примарність, непримарність

індексу, а як обмеження V для підгруп із X використовується циклічність, абелевість, нільпотентність, надрозв’язність. Відомий конструктивний опис скінченних груп, у яких всі підгрупи непримарного індексу циклічні, абелеві (C. М. Черніков, C. С. Левіщенко,1992 p.), нільпотентні (C. С. Левіщенко, 1975р.), є групами Шмідта (П. П. Баришовець,1981р.) Нерозв’язні групи з надрозв’язними підгрупами непримарного індексу вивчав B.C. Монахов (1993р.).

В роботах М.Ф. Кузенного, М.М. Семка (1983р., 1985р.) наведений повний опис метациклічних груп, а в роботах Н. Блекбурна (1961р.), М. Курціо (1984р.), С.С. Левіщенка, М.Ф. Кузенного, М.М. Семка (1987р.) одержано опис будови скінченних мінімальних неметациклічних груп, тобто скінченних неметациклічних

груп, у яких всі власні підгрупи метациклічні. Зрозуміло, що кожна циклічна група є метациклічною, а кожна метациклічна група є надрозв’язною. При обмеженні метациклічності виникає задача опису неметациклічних груп з метациклічними підгрупами непримарного індексу. До цього напряму належать результати дисертації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації відноситься до напряму теоретико-групових досліджень, які заплановані і ведуться в Інституті математики НАН України і на кафедрі вищої математики Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова.

Мета і задачі дослідження. В даній роботі здійснюється опис будови скінченних груп, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні (група називається метациклічною, якщо вона є добутком двох циклічних груп, одна з яких інваріантна). Це здійснюється шляхом розв’язання задачі опису окремих підкласів таких груп: нільпотентних неметациклічних, не більше, ніж біпримарних груп, ненільпотентних неметациклічних дисперсивних біпримарних, трипримарних, чотирипримарних груп, недисперсивних, не більше, ніж трипримарних груп.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами дисертації є:

- опис скінченних груп, у яких довільна рсі -підгрупа Шмідта нарозв’язна, з нормальною мета циклічною силовською р -підгрупою, у вигляді (7 =

Сд(Р) = 8<в, Р = {х) • (у), |*| = р\ \у\ = рг, 8 > 0, ( у > 0

теорема 2.1.1);

- опис груп Шмідта, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні, у вигляді о = РХй, С=р, г(в)=Ф(р)хФ(в), е - циклічна

підгрупа (теорема 2.2.1);

- опис ненільпотентних біпримарних дисперсивних неметациклічних груп, у

яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні, у вигляді, де

Р, Q - силовські р С[ -підгрупи із С з метациклічними власними підгрупами,

Св(Р) = 5<е, (теорема 3.3.1);

- опис ненільпотентних дисперсивних трипримарних груп, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні, у вигляді Є — (Р^0)У^Л = Ау^Л, де

- неодиничні метациклічні силовські р q -, Г -підгрупи із групи О,

з

містить підгрупи А = Р ХО, В — 0X7?, С — Р/*\Р , які названі базовими підгрупами (теорема 3.4.1). Розглядаються випадки, коли група (7 має

одну або дві нільпотентних базових підгрупи, не має жодної нільпотентної базової підгрупи;

- опис ненільпотентних дисперсивних чотирипримарних груп, з яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні, у вигляді: О = {{р\о^к)\ї, де

Р,{2,К,3 - неодиничні силовські р q-, ґ -, 5-підгрупи із групи (г

відповідно, Ст містить підгрупи А — (Рхб)\5, Л = (бЛ7?)Х5,

С = -О = (Р-АО) які названі базовими підгрупами (теорема

3.5.1). Розглядаються випадки, коли Сг має 1 або 2 базові нільпотентні підгрупи, С не має жодної нільпотентної базової підгрупи;

- опис недисперсивних розв‘язних груп, у яких всі підгрупи непримарного

Індексу метациклічні виду де А - елементарна абелева

група порядку 4 або група кватерніонів, \сі\ — 3^, ¿її, |б| — 2 або = 4 (терема 3.6.1);

- опис недисперсивних нерозв'язних груп, у яких всі підгрупи непримароного індексу метациклічні, який зводиться до конструкції РЗЬ(2,5)хК , або

5£(2,5)хК, де К - циклічна 5-група (теорема 3.6.2).

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Описаний в роботі клас груп поповнює конкретну базу теорії груп. Отримані в роботі результати можуть бути використані в різноманітних теоретико-групових дослідженнях. Окремі результати дисертації можна використати при читанні спецкурсів, проведенні спецсемінарів та написанні дипломних і курсових робіт для студентів математичні« факультетів.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації одержані і опубліковані без співавторів.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на четвертій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука в Національному технічному університеті України (Київ 1995р.),

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій пам’яті професора Л.М. Глускіна (Слов’янськ, 1997р.), на семінарі з алгебри при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (1999 р.), на алгебраїчному семінарі кафедри вищої математики Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова (1997 р.), на звітній науковій конференції Волинського державного університету імені Лесі Українки (1996р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 6 роботах, з них 4 у фахових виданнях.

Об’єм та структура роботи. Дисертація складається із списку позначень та термінів, вступу, трьох розділів, містить 115 сторінок машинопису, у списку літератури 54 назви. В першому розділі - 1 підрозділ, у другому - 2, а в третьому - 6.

ЗМІСТ РОБОТИ

У списку позначень та термінів наводяться деякі найбільш вживані в дисертації позначення, а також означення таких груп: метациклічної, мінімальної нециклічної, мінімальної неметациклічної, Міллера-Морено, Шмідта, дисперсивної, дисперсивної за Оре, особливої елементарної мінімальної недисперсивної. У вступі обгрунтована актуальність теми дослідження, визначена мета і задачі дослідження, подана наукова новизна, практичне значення одержаних результатів, подана інформація про апробацію результатів дисертації, вказано кількість публікацій за темою дослідження.

У першому розділі “Огляд літератури” подається будова груп, означених у списку позначень та термінів.

У другому розділі “Допоміжні і попередні результати” приводяться відомі результати, а також встановлено деякі нові результати, необхідні для подальших досліджень. Теорема 2.1.1. встановлює будову біпримарних груп виду О — Р\0, з надрозв’язними реї -підгрупами Шмідта і нормальною метациклічною силовською р -підгрупою Р.

В 2.2. “Групи Шмідта, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні” доведено, що клас розглядуваних груп замкнутий за підгрупами та фактор-групами і не замкнутий за прямими добутками (лема 2.2.1); встановлено, що будь-яка силовська підгрупа досліджуваних груп є метациклічною або мінімальною неметациклічною групою, а також той факт, що досліджувані групи є не більше, ніж чотирипримарні (теорема 2.2.2).

Опис груп Шмідта з метациклічними підгрупами непримарного індексу дає теорема 2.2.1. ■

Теорема 2.2.1 Скінченні групи Шмідта, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні, мають вид: С = , Де Р - нормальна в (З силовськар-

підгрупа, Q - ненормальна в (З циклічна силовська Ц -підгрупа (З — Р,

г (е)=Ф(р)хФ(е) ; і вичерпуються групами типів:

1. ¡Р| = р,р = і(ш0(і^).

2. Р - елементарна абелева група порядку р2, р2 = і(шО(І^), при

p<q р = 2,9 = 3.

3. Р - група кватерніонів, р = 2, д = 3 .

4. Р - елементарна абелева група порядку р*, рг = І(тосі^).

5. Р - неабелева група порядку /53 експоненти р, р > 3, р2 = і(тосі^).

Теорема 2.2.2 встановлює, якими класами груп вичерпуються скінченні групи з метациклічними підгрупами непримарного індексу.

Теорема 2.2.2. Довільна скінченна група (З, у якої всі підгрупи непримарного індексу мета циклічні, є групою одного з класів:

1. (З - метациклічна група.

2. в - нільпотентна неметациклічна, не більше, ніж біпримарна група.

3. Є - ненільпотентна неметациклічна дисперсивна біпримарна група.

4. <7 - ненільпотентна неметациклічна дисперсивна трипримарна група.

5. (З - ненільпотентна неметациклічна дисперсивна чотирипримарна група.

6. (З - недисперсивна, не більше, ніж трипримарна група.

У третьому розділі “Скінченні групи, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні”, дається конструктивний опис досліджуваних груп.

3.1 “ Попередні результати” містить єдину теорему 3.1.1, результати якої використовуються при описанні будови біпримарних і трипримарних ненільпотентних дисперсивних груп.

Теорема 3.1.1. Нехай о=р\а - група з метациклічними підгрупами непримарного індексу з нормальною силовскою р -підгрупою Р і ненормальною

силовською С[ -підгрупою 0^, р , q - різні прості числа, і (З містить хоча б одну власну ненільпотентну підгрупу порядку • Тоді всі підгрупи такого порядку із

(З мають вид:

1. У = Т\С}. \Т\ = р, р>4> 2, се(г)=£«к,

р = і(тосід), Q = {(a)■(кb))^(z), |а| = ц“, а> 0,

\Ь\ = чР,/3> 0,[а,ь] = ^ П (а) = аГ. 5 П (6) = (V },

(<я) П {Ь) = ^ = (ьч‘ ^ 0<т<к <$ <а,

0 <п<1 при Ш > 0 Т^ - надрозв’язна група Шмідта)

р = і(тосідт) , при «>0 тх(ьч") - надрозв’язна група Шмідта, підгрупа V ізоморфна фупі одного з 13 типів, наприклад:

2. а = = 2<а > к = т = \>а - я ,п = 0, Ь~хаЬ — а'\

п. т = п = 0, а = р - к-\, \г\ = д>2, 8-{а)х{Ь),

<2 = 8 х(г), [а,г] = 1, [Ь,г] = а.

В 3.2. “Нільпотентні групи” доведено, що нільпотентні фупи з метациклічними підгрупами непримарного індексу вичерпуються нільпотентними

метациклічними групами та групами виду : (3 — Р X 0^ пє Р, 0^- силовські р ^ -підгрупи із (7 відповідно, Р - мінімальна неметациклічна група, (¿) -

метациклічнагрупа, або Р, £)-мінімальні неметациклічні фупи (теорема3.2.1).

В 3.3 “Ненільпотентні дисперсивні біпримарні групи” одержано конструктивний опис названих фуп. Спочатку розглядається будова ненільпотентних

біпримарних дисперсивних груп ваду (3 = Р\0 де Р.о - СИЛОВСЬКІ р д -підфупи фупи (3 відповідно, Сд(р)=8<£),8<0 , названих * -фупами, яки містять підфупу Шмідта з мінімальною неметациклічною нормальною

силовською р -підгрупою Р (лема 3.3.1), з мінімального нециклічною нормальною

силовською р -підгрупою Р (лема 3.3.4).

Лема 3.3.4. Всі * - групи, що містять підгрупу Шмідта з нормальною мінімальною нециклічною силовською р-підгрупою, є групами виду: о=р\д

де нормальна силовська ¿»-підгрупа Р містить нормальну в (З підгрупу Рі

порядку р2 чи 8, р - просте число, £9- ненормальна в (3 силовська ^-підгрупаз

метациклічними власними підгрупами, д > 2 - просте число, = Б

5 П (я) = («’"), т> 0, С(?(Р)=5<С, Р, д{а4""') - група

Шмідта, 2 = 8 (/?), при р < д р — 2, д— З, Пі—1, і вичерпуються групами типів:

1. Ру = Р - елементарна абелева група порядку р" .

2. Р = (и)х(у), [м| = |у[ = р5,8 > 1, Рх=(ир° )х{у/,#')>

£)= (а), т = 1.

3. Р = {г)хРх, {г)<2(0\Ц^ р, Рх - елементарна абелева група порядку р2, О, — (сі^, ТП — \ .

4. Рх-Р- група кватерніонів, С[ — 3 , УП — 1.

5. Р - (г) х Рх, Щ = 2, г є Z{G\ Рх - група кватерніонів,

<2 = (й)> д = 3,т = \.

6. Р — • Рх , |^ = 4, ^ Є 2Г(Сг), Рх - група кватерніонів,

(г)П Р1={г2) = ф(Р1), <2 = (а).д = 3.т = 1.

Потім розглядається будова * - груп з нормальною силовською підгрупою непростого порядку і виключно надрозв’язними підгрупами Шмідта, які названі ** -групами. Розглядаються ** - групи з нециклічною метациклічною нормальною

силовською р -підгрупою Р (лема 3.3.6), з мінімальною неметациклічною нормально силовською р -підгрупою Р ( лема 3.3.7). Всі **-групи описані в лемі 3.3.S.

Лема 3.3.6. Всі ** - групи з нециклічною метациклічною нормальною силовською р -підгрупою Р мають вид G = P\Q, C0(P)=S <Q,

S<G, p>q> 2, p = l(modg), P = (x)J\(y), \x\ = ps,

\y\ = pr, S > 1, у > 0 і вичерпуються групами типів:

1. G - метациклічна група.

2. [(х), еМ*>. [<у>.е]=і. ß - нециклічна фупа, якщо Q -

метациклічна група, то вона кедедекіндова, Т — Cü{^X >), T<G, \T\ = p,TAQ - група одного з типів 2-13 теореми 3.1.1.

3. Р = (де) X (у), \х\ = \у\ = р, [(х), о] = (х), [{y)ß} = (у), для

довільної підгрупи Т порядку р нормальної в G TAQ - група одного з

типів 2 -13 теореми 3.1.1, якщо Р - метациклічна група, то вона недедекіндова.

4. Р = (х) х (>>), |х| = ps, Іу| = ру, S > 0 , у > 0, у + S > 2,

Q - циклічна група, [{*}:> ö]= (х}= [{>')’ö]=: (>*)’

[(■У)»^К0)] = 1’ YА Q - иадрозв’язна група Шмідта, Y — й){^у^.

5. \Р\ = р2, Q -2 - група , фактор - фупа Q!S містить елементи порядку

4, для довільної підфупи Т порядку р , нормальної в G T\N0(T)

- метациклічна група.

Лема 3.3.8. Всі ** - групи з виключно надрозв’язними підгрупами Шмідта мають вид: G = P\Q , Де P<G - силовська р -підфупа з метациклічними

власними підгрупами, Q ^ G -силовська q -підгрупа з метациклічними власними

підгрупами р, q - різні прості числа р > q > 2, р = l(modg), Cg(P) = S<Q. S <G, і вичерпуються групами одного з 13 типів. Наприклад:

2. |Р| = /?,б = £(я)>£,п(<з) = (а4 ^,т > 0,р = l(modgm).

4. Р = (х) д(_у), |х| = р5, \у\ = рг, 8 > 0, у > 0, + у > 1,

[{-*•):> (х)’ [(^)j|6]=1’ Q' иедедскіидова група, Т =

\Т\ = р, CQ{T)=S, Q = S -(a), S П {«> = (а4"),

m>0, р = l(mod^ffl) підгрупа ГА£ ізоморфна підгрупі К одного з типів 2 -13 теореми 2.1.1.

9. Р = ((с)х(х))\(у), |с| = |х|=ф| = _р, [х,у] = С ,

[с,^] = 1 , Q = (a), S = (а4" ^, /и>1, [(с),ф(£>)]= 1, [(х),б]=(х), [(у>,Є]=(^), (х)^(ач~') і (j)A(^^1)

надрозв’язні групи Шмідта, р = l(modg"').

В теоремі 3.3.1. доведено, що всі ненільпотентні біпримарні дисперсивні групи з метациклічними підгрупами непримарного індексу вичерпуються групами лем 3.3.4, 3.3.6,3.3.8.

3.4 “ Ненільпотентні дисперсивні трипримарні групи “.

Означення 3.4.1. В подальшому скінченна ненільпотентна дисперсивна

трипримариа група G — {P\Q)\R з метациклічними підгрупами непримарного індексу і неодиничними силовськими р - , д Т - підгрупами jР, ¡з G

відповідно, р, q, Y - попарно різні прості числа, називається ^ -групою, а

л = РД£, в = £>АД, c = pAr називаються її базовими підгрупами.

Розглядаються випадки, коли дві із базових підгруп нільпотентні (лема 3.4.1.), одна з базових підгруп нільпотентна (леми 3.4.2 - 3.4.4), жодна з базових підгруп не є

нільпотентною ( лема 3.4.5).

Теорема 3.4.1. Ненільпотентні дисперсивні трипримарні групи з метациклічними підгрупами непримарного індексу мають вид:

0 = (РЛ£) Я^ААЯ , ДС - неодиничні метацикиічні

силовські р Ц Г - підгрупи із (З відповідно р, ^, ґ - різні прості числа,

а - ра<2> в = £>ат?, С = РАЛ і вичерпуються групами одного з 15 типів. Наприклад:

2. в = РхВ,В-ненільпотентна мінімальна неметациклічна група.

4. [ле]=і. [лд]=і>. \р\=р>2, [б,д]*і, с .

мінімальна неметациклічна група, И - недедекіндова група, В, А)М -метациклічні групи для довільної максимальної підгрупи М із 7? .

7. [б? 7?] = 1, [Р, б] = [-Р> Р] = Р > |Р| = Р ^ 5 , .4 - мінімальна

неметациклічна група, - недедекіндова група, С - метациклічна чи мінімальна неметациклічна група.

п. [р,о]=[р,к]=р, [д,т?]=д, р - мінімальна нормальна

підгрупа із Сг порядку р1, р > З, 2,7? - циклічні групи, Т — 2,

Св(Р) = Ф(0х5, ся(0 = 5'<7?, £«(?, Л,С -

мінімальні неметациклічні групи.

3.5 “ Ненільпотентні дисперсивні чотирипрнмариі групи “.

Означення 3.5.1. В подальшому ненільпотентна дисперсивна чотирипримарна

група (7 — ((/>Лй)Ая)А5 з метациклічними підгрупами непримарного

індексу і неодиничними силовськими р Т 3 - підгрупами Р, 2,7?, Б із

(З відповідно, р, д, Г, 5 - попарно різні прості числа, називаються -

Г — групою, а підгрупи ^4 = Срає)Л.у, л = (еЛй)Л5.

с = (рл я) , £> = (р Лй)Л л називаються її базовими підгрупами.

Розглядаються випадки, коли група (3 має дві різні нільпотептні базові підгрупи (лема 3.5.1), одну нільпотентну базову підгрупу (лема 3.5.4), жодної

нільпотентної базової підгрупи (лема 3.5.2).

Теорема 3.5.1. Ненільпотентні дисперсивні чотирипримарні групи з метациклічними підгрупами непримарного індексу мають вид:

о = ((рхЄ)х/г)>5 МІСТЯТЬ підгрупи, Л = (/>АЄ)Х5.

В = (ЄХД)\5, С = (РХД)Х5, О = (Р\0)\Я, де

Р, (У, і?, 5 - неодиничні СИЛОВСЬКІ р £/ Г 5 - підгрупи із Ст відповідно, р , д , V, Л' - попарно різні прості числа, і вичерпуються групами одного з типів:

1. в - ненільпотентна метациклічна група.

2. Є = РхВ,В- трипримарна мінімальна неметациклічна група.

3. А = (Рх д)\Я - мінімальна неметациклічна група, |Р| — р,

- иециклічна група, В. с - метациклічні чи мінімальні неметациклічні групи, £>ХМ - метациклічна група для довільної

максимальної підгрупи М із б*.

4. в = е>.(д X 5^ - мінімальна неметациклічна група, 7?, 5* - циклічні

групи, А = (Рх2)х5. Д = (/’х2)М.

(РхЄ)\(Ф(Д)хФ(5)) метациклічні групи,

- метациклічна чи мінімальна неметациклічна група.

5. л = Р\{д Х5) - мінімальна неметациклічна група, В - циклічна

група, {Р Х(?) \(Ф(Я) х Ф(5)) - метациклічна група, С. Г> -метациклічні чи мінімальні неметациклічні групи,

6. А = (Р х Є)Х5 - мінімальна неметациклічна група, \Р\ = р,

|2| = Ч. 5 - нециклІчна група, в, с - метациклічні групи, В -

метациклічна чи мінімальна неметациклічна ненільпотентна група.

3.6 “ Недисперсивні групи”.

Лема 3.6.1. Скінченні мінімальні недисперсивні неметациклічні групи, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні, є групами одного з типів:

1. 0 = А\{(<1)\(Ь)) , де А - елементарна абелева група порядку 4,

¡3 > 1, [¿>| = 2, А \(сі) і А -\(&) - групи Міллера-

Морено, Ь 1 СІЬ = СІ 1.

2. (? = ЛА((<?)А(*)) , Де - група кватерніонів, АЦсі) - група

Шмідта, 6 'йЬ — СІ *, \ь\ = 2, |й?[ = , А^\(Ь^ - квазідіедральна

група.

3. Сг = А - ((¿7) \(Ь)), де А - група кватерніонів, - група

Шмідта, Ь * СІЬ — СІ 1, [¿>! = 4, |й^ = 3Д, • (Ь) - узагальнена група

кватеріонів порядку 16.

4. (7 = 51(2,5), (? = і>5£(2,5).

Скінченні розв’язні недисперсивні групи з метациклічними підгрупами непримарного індексу вичерпуються групами 1-3 леми 3.6.1 ( теорема 3.6.1 ). Нерозв’язні групи такого роду описані в теоремі 3.6.2.

Теорема 3.6.2. Скінченні нерозв’язні недисперсивні групи з метациклічними підгрупами непримарного індексу вичерпуються групами типів:

1. (З — Я X К , де Н = /*15(2,5), К - циклічна 5-група.

2. в = НхК , де Я = ££(2,5), Я - циклічна 5-фуна.

ВИСНОВКИ

06‘єктами дослідження дисертації є скінченні групи, у яких всі підгрупи непримарного індексу є метациклічними. Метою дослідження є знаходження будови

груп такого типу у вигляді (3 — С ' Е), де С і £) - конструктивно задані

підгрупи із групи (3.

У дисертації встановлено, що довільна скінченна група (3, у якої всі підгрупи непримарного індексу метациклічні, є групою одного з класів:

- (3 - метациклічна фупа;

- і3 - неметациклічна нільпотентна не більше, ніж І біпримарна фупа;

- (3 - ненільпотентна неметациклічна дисперсивна біпримарна фупа;

- G - ненільпотентна неметациклічна дисперсивна трипримарна група;

- G - ненільпотентна неметациклічна дисперсивна чотирипримарна група;

- G - недисперсивна не більше, ніж трипримарна група.

Вперше одержано опис ненільпотентних біпримарних дисперсивних груп, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні. Біпримарні групи вивчались таким чином: розглядалися групи, які містять підгрупу Шмідта, у якої нормальна силовська р -пдігрупа є мінімальною неметациклічною або мінімальною нециклічною, а також вивчалися групи такого типу з виключно надрозв‘язними підгрупами Шмідта, у яких нормальна силовська р -підгрупа є нециклічною

метациклічною або мінімальною неметациклічною групою.

Новим також є опис ненільпотентних трипримарних дисперсивних груп з метациклічними підгрупами непримарного індексу. Він зводиться до конструкції

G^{PXQ)XR = A\R, де Р, Q,R - неодиничні метациклічні

силовські р -, q-, Г -підгрупи із групи G, група G містить підгрупи

A = P\Q, B = QXR , C = P\R , які названі базовими підгрупами.

Будова групи G розглядається в залежності від того, скільки нільпотентних базових підгруп вона має: одну, дві, жодної.

У дисертації одержано опис ненільпотентних чотирипримарних дисперсивних груп з метациклічними підгрупами непримарного індексу. Він зводиться до

конструкції G = ((P\Q)\R)\S, де Р, Q, R,S - неодиничні силовські р -, q -, Г -, S -підгрупи із групи G відповідно, група G містить

підгрупи ^ = b = (qxr)\s, c = {p\r)\s,

D = (P\Q)XR, які названі базовими підгрупами. Будова групи G

розглядається в залежності від того, скільки нільпотентних базових підгруп вона має: одну, дві, жодної.

Одержано опис недисперсивних розв'язних груп, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні. Він зводиться до конструкції

де А - елементарна абелева група порядку 4 або група кватерніонів, |t/| = 3^, fi > 1, jôj = 2 |або |è| = 4 . Нерозв'язні групи такого типу

вичерпуються групами О = ?5і(2,5)х к або в = Бі(2,5)х к , де К -циклічна 5-група.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

СТАТТІ:

1. Зузук Л.І. Скінченні недисперсивні групи, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні // Укр. маг. журн. - 1995. -47, №6. -С.755-759.

2. Зузук Л.І. Будова ненільпотентних біпримарних дисперсивних груп з

метациклічними підгрупами непримарного індексу// Укр. мат. журн. -1997. -№6. -С. 849-851.

3. Зузук Л.І. Будова ненільпотентних дисперсивних трипримарних груп з

метациклічними підгрупами непримарного індексу // Класи груп з обмеженнями для підгруп. - К.: Ін-т математики НАН України, 1997 . - С. 56-58.

4. Зузук Л.І. Будова ненільпотентних дисперсивних чотирипримарних груп з

метациклічними підгрупами непримарного індексу // Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач. - К.: Ін - т математики НАН України, 1997. -Вип. 16.-С. 119-127.

ТЕЗИ, ДЕПОНОВАНІ РОБОТИ

5. Зузук Л.І. Групи Шмідта з метациклічними підгрупами непримарного індексу// Міжнар. алгебр, конф., присвячена пам’яті проф. Л.М.Глускіна (1922-1985). - К.: Ін-т математики НАН України, 1997,-С. 51-52.

6. Зузук Л.І. Конструктивний опис скінченних ненільпотентних біпримарних дисперсивних груп з метациклічними підгрупами непримарного індексу. -Луцьк: Волин. держ.ун-т, 1995. —27с. Деп.. в ДНТБУкраїни20.12.95,№ 73-96.

Зузук Л.І. Скінченні групи з метациклічними підгрупами непримарного індексу. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2000 р.

Дисертація присвячена опису будови скінченних груп, у яких всі підгрупи непримарного індексу метациклічні. Одержано конструктивний опис скінченних груп, з яких довільна рсі -підгрупа Шмідта надрозв’язна, з нормальною метациклічною силовською р -підгрупою. Описані групи Шмідта, у яких всі

підгрупи непримарного індексу метациклічні. Описані нільпотентні групи такого типу, ненільпотентні дисперсивні біпримарні, трипримарні, чотирипримарні

розглядувані групи, а також недисперсивні розв’язні і нерозв’язні досліджувані групи.

Ключові слова: метациклічна група, мінімальна неметациклічна група, група Міллера-Морено, група Шмідта, непримариий індекс.

Зузук Л.И. Конечные группы с метациклическими подгруппами непримарного индекса. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Київ, 2000 р.

Диссертация посвящена описанию строения конечных групп, у которых все подгруппы непримарного индекса метациклические. В диссертации осуществлено:

- описание конечных групп, у которых каждая рй -подгруппа Шмидта сверхразрешима, с нормальной метациклической силовской р -подгруппой, вида

в = Р\<2, Се(Р) = 8<С, Р =*(*)■ (у), = \у\ = р’,

3>0, у>0;

- описание групп Шмидта, у которых все подгруппы непримарного индекса метациклические, с инвариантной силовской р -подгруппой, неинвариантной

силовской циклической д-подгруппой вида с?=РАй

с=р,г(с)=Ф{р) описание ненильпотентных бипримарных

дисперсивных неметациклических групп, у которых все подгруппы непримарного индекса метациклические, вида 0 = РА& Р,е - силовские р-, д-

подфуппы группы О с метациклическими подфуппами,

С0(Р)=5<&,У<Ю;

- описание ненильпотентных дисперсивных трипримарных фупп, у которых все подфуппы непримарного индекса метациклические, вида

о=(р\д)хя=лхк, где р&л - неединичные метациклические силовские р - д-, Г -подгруппы группы О соответственно, С содержит

подгруппы л = ра6,б=£АД,с = рая , которые названы базовыми подфуппами. Рассматриваются случаи: Сг имеет 1 или 2 нильпотентные базовые подфуппы, С? не имеет ни единой нильпотентной базовой подфуппы;

- описание ненильпотентных дисперсивных четырепримарных групп, у которых все подгруппы непримарного индекса метациклические,

вида G = ((PAQ)\R\S) , где Р , Q, R , S - неединичные силовские р -, q-, Г -, S -подфуппы группы G соответственно, группа G содержит

подфуппы А — (P\Q)\S, B = (Q\R)\S, C = (P\R)XS,

D — (P^\Q}j\R, которые названы базовыми подгруппами. Рассматриваются

случаи: G содержит 1 или 2 нильпотентные базовые подфуппы, G не содержит ни единой базовой подфуппы;

- описание недисперсивных разрешимых фупп с метациклическими

подфуппами непримарного индекса вида G = A\({d)Xb)\ А-элементарная абелевая фуппа порядка 4 или фуппа кватернионов, = 3^,

J3 > 1, \b\=2 или jè| = 4 ;

- описание недисперсивных неразрешимых фупп с метациклическими подфуппами непримарного индекса, которые исчерпываются типами:

G = PSL(2,5)хК, G = S£(2,5)хК , Где. К - циклическая 5-фуппа.

Ключевые слова: метациклическая фуппа, минимальная неметациклическая фуппа, фуппа Миллера-Морено, фуппа Шмидта, непримарный индекс.

Zuzuk L.1. Finite groups with metacyclic subgroups of non-primary index.-Manuscript.

Thesis for a doctor’s degree by speciality 01.01.06 - algebra and number theory. -Kyiv National University, named after Taras Shevchenko, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to description of the finite groups in which all subgroups of non-primary index are metacyclic. Constructive description of the finite nilpotent group such a kind, non-nilpotent dispersive beprimary, threeprimary, fourprimary given groups, and non-dispersive solvable and non-solvable investigated groups are established.

Key words: metacyclic group, minimal non-metacyclic group, Miller-Moreno group,

Shmidt group, non-primary index.