Конечные группы с ограничениями на классы сопряженных элементов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г '

0 7

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

»

«1

На правах рукописи УДК 512.542.3

г

Голикова Елена Александровна

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА КЛАССЫ СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

(01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель — доктор физико-математических наук профессор А. И. Старостин

Екатеринбург 1999

»

*

Оглавление

Введение 2

1 Конечные непримарные группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами 12

1.1 Строение конечных непримарных (М)-групп..........12

1.2 Критерий свойства (М) для непримарных групп ... 15

1.3 Общие свойства (М)-2-групп ............................24

1.4 (М)-2-группы с абелевыми подгруппами индекса два

и индекса четыре.................................34

1.5 Конечные (М)-2-группы класса нильпотентности два 42

2 Группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов 48

2.1 Некоторые предварительные результаты....... 49

2.2 Группы класса нильпотентности три.......... 53

2.3 Группы класса нильпотентности два.......... 59

Приложение 66

Литература 69

Введение

Исследование конечных групп часто приводит к необходимости изучения конечных р-групп. В связи с этим знания о детальном строении р-групп могут быть полезны при решении различных задач, связанных с конечными группами. Например, результаты исследований конечных 2-групп оказали значительную помощь в классификации конечных простых групп.

Конечные р-группы являются весьма сложным объектом для изучения. С ростом п число р-групп порядка рп возрастает чрезвычайно быстро. Например, неизоморфных 2-групп порядка 26 уже более тысячи. Поэтому интерес представляет поиск и изучение тех классов р-групп, которые с одной стороны представляют интерес для теории конечных групп, а с другой стороны - поддаются детальному описанию.

Э.М. Жмудь в [3] ввел понятие АМ-групп и изучил некоторые их свойства. Этот класс групп связан с известным из теории представлений (см. [5] , [1]) понятием А^-сопряженности элементов группы (2, где К - некоторое поле. Пусть характеристика поля К не делит порядок группы <2. Тогда из А'-сопряженности элементов х и у группы С следует, что х сопряжен с уа, а взаимно просто с \у\. Если при этом поле К алгебраически замкнуто, то Х-сопряженность эквивалентна обычной сопряженности элементов. Если К - поле действительных чисел, то А-сопряженность элементов х та у равносильна сопряженности х с у или у-1.

/{"-сопряженность элементов х и у всегда влечет равенство их нормальных замыканий. Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. (Э.М. Жмудь [3]) Конечная группа С? назы-

вается КМ-группой, если из равенства нормальных замыканий (х°) — (ус) следует К-сопряженность элементов х и у.

Другими словами, если нормальная подгруппа порождается элементом х, то этот элемент ® КМ-труипе определяется однозначно с точностью до А'-сопряженности. Характеризацию КМ-групп дает следующая теорема, доказанная в [3].

Теорема (Э.М. Жмудь). Конечная группа £ тогда и только тогда является КМ-группой, когда каждая ее нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма не более одного (с точностью до эквивалентности) неприводимого линейного представления группы С над полем К.

Для полей К характеристики нуль наиболее широким классом КМ-групп являются $М-группы (С} - поле рациональных чисел), ЯМ-группы вкладываются в этот класс (Л - поле действительных чисел), С-М"-группы содержатся в любом классе КМ-трупи (С - поле комплексных чисел). Будем называть СМ-группы (М)-группами.

Поскольку, по определению (М)-группы (?, из (х°) = (ус) следует сопряженность х и у в (2, то в (М)-группе порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Но это означает, что (М)-группы содержатся в классе так называемых ф-групп, то есть в классе конечных групп для которых характер любого линейного представления над полем С принимает только рациональные значения.

Из [12] известно, что свойство быть (^-группой эквивалентно условию: порождающие каждой циклической подгруппы сопряжены. Класс С}-групп довольно широк и изучался многими авторами (см., например, [5], [17]).

Перечислим основные известные результаты об (М)-группах (см.[3], [8], [9]).

I. Всякая нетривиальная (М)-группа является либо 2-группой, либо расширением 3-группы при помощи нетривиальной 2-группы (последняя является (М)-группой).

II. Всякая фактор-группа (М)-группы является (М)-группой.

Первая глава диссертации посвящена дальнейшему исследованию (М)-групп.

Другой тип ограничений на классы 'сопряженных элементов - ©граничения на их мощности или, что равносильно, на порядки централизаторов элементов. Одним из таких условий является условие равномощности классов сопряженности нецентральных элементов. Такими группами являются, например, группы ширины один (см. [16]). Конечные группы с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов изучались Ито в [15], где была доказана теорема.

Теорема (Ито). Если <2 - конечная группа с равномощными классами сопряженных нецентральных элементов, то изоморфна прямому произведению р-группы с равномощными централизаторами нецентральных элементов и абелевой р'-группы (р - некоторое простое число).

Эта теорема сводит вопрос об изучении конечных групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов к изучению конечных р-групп с этим свойством. Некоторые общие свойства групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов изучались Верарди в [21], [20]. Вообще этот класс групп довольно широк. В него входят, например, экстраспециальные группы, полуэкстраспециальные группы (введены и изучались Бейзигелем в [10]), 2-группы Судзуки, то есть конечные неабелевы 2-группы с более, чем одной инволюцией , обладающие разрешимой группой автоморфизмов, действующей транзитивно на множестве инволюций ( [13], [19]).

Бертрам в [11] доказал следующую теорему.

Теорема (Бертрам). Если С - неабелева группа порядкарп, то в найдется нецентральный элемент х такой, что \Сс{х)\ > Р1-

В силу теоремы Бертрама, р-группы с равномощными централизаторами минимального возможного порядка - это группы С порядка рп с условием: |Сс(ж)| = р^^ для всякого нецентрального элемента х £ (?.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию р-групп с равномощными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка.

Основные результаты данной диссертации связаны с результатами, приведенными выше. Диссертация состоит из двух глав и приложения. Первая глава разбита на пять параграфов, вторая - на три. Нумерация определений, лемм, предложений, теорем ведется отдельно. Номер а.Ь включает номер главы -а и номер утверждения - Ъ.

Первая глава диссертации посвящена конечным группам с условием: равенство нормальных замыканий двух элементов влечет их сопряженность (мы называем эти группы (М)-группами).

В первом и втором параграфах изучается строение непримар-ных (М)-групп. В частности, доказывается, что изучение конечных (М)-групп сводится к изучению (М)-2-групп (теоремы 1.1,1.2).

Теорема 1.1 Конечная (М)-группа раскладывается в полупрямое произведение элементарной абелевой 3-подгруппы 5 на (М) -2-группу Т , причем если 5^1, то 5 раскладывается в прямое произведение нормальных в подгрупп, изоморфных либо Е9 .

Теорема 1.2 Для того, чтобы конечная группа , где (7 = 5ЛТ, 5 € € обладала свойством (М) необходимо и

достаточно, чтобы выполнялись условия:

1. Т - (М)-группа;

2. если 5 ф 1 , то С/Со{3) есть прямое произведение групп Фробениуса вида Е&^ъ, п > 1, или .ЕдАфв/

3. для всякого набора F\,..., Fm минимальных нормальных в G 3-подгрупп, для любого, t € Т/ f\™i Ст№), и любого и € CT(Fi), имеем t П Ст(и) ф 0. ^

%

Эти теоремы уточняют результаты из [3] и получены другими методами.

В параграфе три изучаются общие свойства (М)-2-групп а также строится серия (М)-2-групп неограниченного класса нильпотентности (теорема 1.4) Для конечных 2-групп найдены условия, эквивалентные свойству (М).

Теорема 1.3 Пусть G - конечная 2-группа. Тогда следующие свойства равносильны:

(1) G - (М)-группа;

(2) для всякого неединичного элемента х £ G выполнено равенство 1(^)1 = 2\х°[,

(3) для всякого х € G элемент х сопряжен с ж3, и для любых элементов д\ и из G найдется такой элемент £ G, что [x,gi][x,g2] = |>,0з];

(4) существует такая инволюция z в Z(G), что G/{z) - (М)-группа, а условие z £ (xG), х Е G, х ф z влечет х сопряжен с

XZ.

Теоремы 1.5,1.6,1.7 из параграфа четыре дают описание (М)-2-групп с циклическим коммутантом, с максимальной абелевой подгруппой, с абелевой подгруппой индекса 4 и центром порядка 2, соответственно.

Теорема 1.5 Пусть неабелева 2-группа G содержит абелеву подгруппу А индекса 2 и является (М)-группой. Тогда G = х Н, т > 0, а Н - одна из следующих групп:

1) ((ai) х (zi) х ... х (ak) х {zk))X(u), где

М = \zi\ = |w| = 2, [а,-,«] = z^ [zi,u] =1, 1 < г < k;

2) ((aj) x ... x (ak))X{u), где

|а,-| — 4, = 2, [а{, и] = , 1 < i < k;

3) ((ai) x ... x {ак))(и), где

ja,-| = 4, и2 == aj, [a,i,u] = a2, 1 < г < к.

Обратно, каждая из указанных группG является (М)-группой.

Теорема 1.6 Пусть G - 2-группа, в которой ¿^(G) П G' - циклическая подгруппа. Тогда G обладает свойством (М) в том и только том случае, когда G ~ Е%п х (В * D), где п > О, В - либо единичная, либо экстраспециальная группа (В П D = Z(B)), D -либо единичная, либо Н\, либо Н-2, где

Нг = «а>А(и»А(г;>,

|а| = 8, |м| — |г>| = 2, [а, и] = a2, [a, v] = а4, [и, г/] = 1, (Hi - голоморф циклической группы порядка 8);

Н2 = ((а) {и))\(v), |а| = 8, = 2, и2 = а4, [а, и] = a2, [a, v] — а4, [и, v] = 1.

Теорема 1.7 Пусть G - (М) -2-группа с абелевой подгруппой индекса ^ и с центром порядка 2. Тогда G изоморфна либо Н\, либо Щ, либо экстраспециальной группе порядка не выше 32.

Пятый параграф посвящен изучению (М)-2-групп класса нильпотентности два.

Во второй главе диссертации изучаются р-группы с равномощ-ными централизаторами нецентральных элементов минимального возможного порядка. Основные свойства таких групп сформулированы в следующей теореме.

Теорема 2.1 Пусть G - неабелева группа порядка рп,п > 3, и для всякого нецентрального элемента х G G верно неравенство: \CG(x)\ < рааг. Тогда \Сс{х)\ = хр 6 Z(G) для любого эле-

мента х и справедливо одно из следующих утверждений:

1. G класса нильпотентности два, п четное и либо Z{G) — элементарная абелева группа порядка , либо п = 4 и Z(G) — циклическая группа порядка р2, либо п = б и Z{G) — элементарная абелева группа порядка р2.

2. G класса нильпотентности три, р > 2, и п = 5,6,10.

В параграфе два уточняется случай 2 из заключения теоремы 2.1. Дадим понятие изоклинизма, которое используется в формулировке теоремы.

Определение. Будем называть две группы G и Н изокли-ничными, если существует два изоморфизма ф и rj такие что ф : G/Z(G) H/Z(H), rj : G' Н' и для любых элементов х,у eG

если <(>(xZ(G)) = x\Z{H) и ф(yZ(G)) = y\Z(H), тогда rj([x,y]) = [х\,у\

Теорема 2.3 Если G - группа класса нильпотентности 3, порядка рп и для всякого нецентрального элемента х верно равенство

\CG(x)\ =р№, то р > 2, п = 5,6,10, и G изоклинична одной из следующих групп:

1)Gi = ((zi) х (z2) х (c))(ai)(a2), где

[аь а2] = с, [аъ с] = z\, [а2, с] = г2, [zh ai] = [zh «2] = 1, г = 1, 2,

а\ — а\ = с? = z{ = z\ = 1;

2)G2(a,f3,z^,z(2)) =

= ((¿i) x (z2) x (23) x (z4) x (ci) x (С2»(а1,а2,аз,а4), где

[ai,a3] = ci, [aba4] = c2, [a2,a3] = c2z(1\ [a2, a4] = c*c$z(2\ [aha2] = 1, [a3,a4] = 1, [cbai] = zh [cba2] = z2, [cba3] = z3, [cba4] = 2;, [c2, aj = ¿2, [c2, a2] = z?z$, [c2, a3] = 24, [c2, a4] = 23 [zi,aj] = 1, api = cf = z? = 1, i,j = 1,2,3,4, a ^ 0 (mod p), 2(1), G = г2, *3,24).

В третьем параграфе доказано следующее предложение.

Предложение 2.1 Группа Сг класса нильпотентности два с условием: |Ст| = рп, п - четное число, п < 8, = рз,

= любого х £ Z(G), изоклинична одной из сле-

дующих групп:

1. прямое произведение неабелевой группы порядка р3 и группы порядка р, п — 4;

2. ((гг) х (г2) х (23))(аьа2,а3), где

[аь а2] = [«1, «з] = ¿2, [а2, «з] = ¿3, К| = |а2| = |а3| =р,п = 6;

5. х <22) х (¿3) х (24)){аьа2,аз,а4), где

[аь а2] = [аз, ¿ч] = ¿ъ [«ь «з] = [«2, ¿ч]7 = [«2, аз] = ¿3, И,04] = ¿4 |а1| = |а2| = |а3| = |а4|=р,7 = ^+1,

О — примитивный элемент поля > 2, гс = 8.

Заметим, что множество групп класса нильпотентности два с рассматриваемым ограничением на порядок централизаторов бесконечно. В качестве примера можно привести бесконечную серию силовских 2-подгрупп простых групп Судзуки = 22к+1. По-

рядок этих 2-групп д2, порядок центра д, порядок централизатора любого нецентрального элемента 2д ( [2]).

В прилоожении приводится список неизоморфных (М)-2-групп порядка не более , чем 26, полученный с помощью атласа [18].

Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференци по теории групп, посвященной памяти С.Н. Черникова, (Пермь, 1997); Международной алгебраической конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша, (Москва, 1998); Маль-цевских чтениях (Новосибирск,1998); заседаниях алгебраического семинара ИММ УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [22]—[29].

Обозначения

В работе используются следующие обозначения: Zn - циклическая группа1 порядка щ $2» _ группа кватернионой порядка 2п ;

- диэдральная группа порядка 2П; (ах,..., а&) - подгруппа, порожданная элементами а\,... ,ак ; а ~ Ь - элементы группы а и Ь сопряжены посредством элемента

с ;

Ега - симметрическая группа степени п ; <р(п) - функция Эйлера, п Е Л/т;

- множество силовских р - подгрупп группы С] ААВ - полупрямое произведение групп А и В ; А * В - центральное произведение групп А и В . х° - класс сопряженных с х в группе С? элементов; х ~ у - элементы х и у сопряжены в группе;

- множество всех неединичных элементов группы С?; Ерп - элементарная абелева группа порядка рп; /2п - единичная матрица размерности 2™ х 2". Остальные обозначения соответствуют принятым в [14].

Глава 1

♦

Конечные непримарные группы с однозначно порожденными нормальными подгруппами

Определение 1.1 Будем говорить, что группа обладает свойством (М), если разные классы сопряженных элементов порождают разные подгруппы.

В работах [3, 4] показано, что конечные (М) - группы являются расширением элементарной 3-группы посредством 2-группы со свойством (М). Отметим некоторые свойства конечных (М) -групп: фактор-группа (М) - группы снова (М) - группа [3] ; центр (М) - группы - элементарная 2-группа; центральное произведение групп есть (М) - группа тогда и только тогда, когда каждый из сомножителей - (М) - группа. В этом разделе раскрывается строение конечных непримарных (М)-групп. В теоремах 1.1 и 1.2 указаны необходимые и достаточные условия для того, чтобы конечная не-примарная группа была (М) - группой.

1.1 Строение конечных непримарных (М)-групп

Известно [3] , что свойство (М) наследуется фактор-группами конечных (М) - групп. В доказательствах этот факт используется без дополнительных оговорок.

Теорема 1.1 Конечная (М) - группа С разлагается в полупрямое произведение элементарной абелевой 3-подгруппы 5 на (М)-2-группу Т , причем если 5 ф 1 , то 5 разлагается в прямое произведение подгрупп, изоморфных либо Ед , нормальных в .

Доказательство. Сначала заметим, что если С - проста, то |Ст| = 2 , поскольку все неединичные элементы из <3 сопряжены, в силу свойства (М) .

Первое утверждение теоремы доказывается индукцией по |0( . Итак, можно считать, что С обладает собственной минимальной нормальной подгруппой. Если в С найдутся две различные минимальные нормальные подгруппы ^ и то в изоморфна подпря-мому произведению групп С?/^, { = 1,2, для каждой из которых, по предположению индукции, справедливо первое утверждение теоремы. Следовательно, оно справедливо и для в .

Пусть теперь в - монолит, т.е. обладает единственной минимальной нормальной подгруппой Е . В (М) - группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой р -группой, поскольку все элементы из сопряжены, по свойству (М). Пусть 5 € Зу1зС, Т Е Бу12С. По предположению индукции Су.Р = О = §ХТ. Так как в (М) - группе все порождающие данной циклической подгруппы сопряжены (в частности, для циклической подгруппы порядка р > 2 ), то порядок (М) -группы четен, т.е. Т ф 1 . Рассмотрим все возможные значения для р {Р - р -группа).

1. Допустим сначала, что р > 3 . Тогда <2 = ^Л(5ЛТ) - группа Фробениуса с инвариантным множителем Е (можно считать, что Т < Л^(5)). В самом деле, для всякого д Е и для всякого / £ Е имеем (д°) = ((^/)с) в силу монолитности О . Тогда по свойству (М) д и gf сопряжены. В частности, если д Е (5ЛТ)^, / Е ^ то / и д не перестановочны. По свойствам силовских подгрупп дополнительного множителя Фробениуса 5 изоморфна Z% либо 1, Т изоморфна Z<l либо С}2п. В последнем случае п — 3 , так как Т ~ а среди групп кватернионов лишь $8 является (М)

- группой. В случае 5 = 1, имеем |.Р| — 1 = |Т|, т.е. |Т| равен 2

либо 8, но это противоречит условию р > 3. Поэтому S ~ Далее, поскольку в центре дополнительного множителя Фробениуса содержится инволюция, то в случае Т ~ Z2, группа SXT должна быть изоморфна Z§ ,но Zq не (М) - группа. Если Т ~ то S AT также не (М) - группа. Так как в ней найдется элемент порядка 12, а индекс его централизатора раван 2. Однако легко понять, что для всякого элемента х конечной (М) -уруппы X делит

\Х:Сх(х)\.

2. Пусть р = 3. Вновь можно заключить, что FXT - группа Фробениуса и Т ~ Z2 либо Т ~ Q$. По предположению индукции G/F = G = S AT. Если S = I , то G = FXT - группа из заключения'теоремы, поэтому S ф 1. Покажем, что тогда G = G/F -группа Фробениуса. В случае Т ~ Z2 это очевидно. Пусть Т ~ Qg, покажем, что |G : Сд(Ь) | = 8 для всякого Ь G Допустим, что |G : Cq(6)| = 2. Тогда Cq(Ь) содержит элемент а, порядка 4, и й�