Некоторые экстремальные задачи для классов сопряженных элементов в конечных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ : ЯРОСЛАВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. МИНСКОГО

На правах рукописи УДК 512.54

Бурцев Александр Иванович

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КЛАССОВ : СОПРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ

• 01.01.06- - математическая логика, алгебра : и теория чисел

.АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль 1992

Работа выполнена в Ярославском государственном университете

Научный руководитель - доктор физико-штематичеоких наук,

профессор Казарин Лев Сергеевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

доцент Струнков Сергей Петрович . кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ' Логинов Василий Иванович

Ведущая организация - Институт математики и-механики УрО РАН

Защита состоится " -1992 г. в_чао.

на заседании специализированного совета К II3.27.OI no присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ярославском ордена Трудового Краоного Знамени гооударсг- • венном.педагогическом институте, имени Ушинского по адресу: • 150000, г. Ярославль, улица Республиканская, 108.

С диооертацией можно ознакомится в библиотеке ЯГПИ. Автореферат разослан " ISL" QÑ^-T'.xSy^ 1992 г.

Ученый секретарь специализированного оовета

кандидат физико-математических наук В.Г.Иавдеровский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важнейших направлений в исследованиях по теории конечные 1рутш является изучение конечных групп с помощь» классов сопряжённых элементов. Важность этого направления в первую очередь определяется связью между классами сопряжённых элементов группы и её представлениями и характерами. Многио эздачи, связанные с изучением классов сопряжённых элементов, можно переформулировать в терминах представлений и характеров.

Вопросы,, связанные с классами сопряжённых элементов, привлекали в разное время внимание многих алгебраистов ( З.Берн-сайд, Э.Лавдау, С.А.Чунихин, Н.Ито, Г.А.Миллер, Дж.Поланд, , О. Марке л, Я.Г.Беркозич, К.Г.Некрасов, А. а Дж.В.Лопеш и другие).

Важной числовой характеристикой конечной группы является число её классов сопряжённых элементов К((г) .-Классический результат теории представлений конечных групп - число неприводимых комплексных характеров группы б» совпадает с к(С-) • Между к и другими числовыми характеристиками группы & существуют некоторые зависимости, описываемые неравенствами. Естественным образом возникает задача описания конечных групп, для которых эти неравенства обращзвтся з равенства. Такого рода задачи назовём экстремальными.

К экстрекальнш задачам относится задача описания конечных групп, у которых* люЗ не два элемента одного а того же порядка сопряжены ( вопрос 7.48 из [I]). Ф.Маркел занимался описанием конечных групп,.у которых мощности различных классов сопряжённых элементов различны. Очевидно, что здеоь рассмат-

ривалась экстремальная задача. Некогорте другие задачи можно рассматривать как экстремальные.

Цель работы. Решение следующих экстремальных задач:

I. Описать конечные группы, для которых выполняется равенство К ((г) = К () 1 , где (г - конечная груша , . 1 Ф К/ - её нормальная -подгруппа, К.(б-) - число классов сопрякённьк элементов группы & .

2. Описать конечные группы, для которых любые два примар-ных элемента имеющих равные порядки, сопряжены. В частности, описать группы, у которых любые два элемента, имеющие равные порядки, сопряжены.

3. Описать конечные группы, удовлетворяющие условию 1С(С) = 2С«?)-1 или условию <(&)• В общем случае верно неравенство К (&) ?2Т(<г) -1. '£((?)- число различных простых' делителей

Методы исследования. Применены теория-обыкновенных характеров, классификационные теоремы, отождествляющие конечную простую неабелеву группу с одной из известных простых групп по ряду свойств. Применены также метод ин-. дукции и прямые вычисления в конечных группах.

.Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

П р а к т-и ч е с к а, я и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть применены в теориии конечных групп для исследования групп о ограничениями на классы сопряжённые элементов. Переформулировав результаты на языке теории характеров, ре-

- 3 -

1 . . '

зультвты диссертации можно использовать в теории характеров.

Аппробация работы. Основные результаты домалывались на семинаре по теории групп в Ярославском государственном университете ( 1991 г. ). Автор выступал с докладом на алгебраическом семинаре института математики и механики УрО АН СССР ( Свердловск, 1989 Г. ).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 131 страницах, состоит из 4-х глав. Библиография содержит 66 наименования.

■ СОДЕРЯАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Работа состоит из 4-х.глав. Первая глава содержит 4 па: раграфа. Во введении определяется понятие.экстремальной задачи. Каядой конечной группе G можно поставить в соответствие множество чисел I ={ «PUGh od(&)t odpr(G)},

где rz(G) - Число классов сопряжённых, элементов группы & , Kpi (G") - число классов сопряжённых элементов, представители которых являются примарными элементами группы & , TCGvJ -, число различных простых делителей IG! ,od№ - число различных порядков элементов группы G todpi(&) - число различных порядков примарных элементов группы G . Между элементами множества X существуют зависимости, выраженные неравенствами. Задача описания конечных групп, для которых соотношение мевду к((т) или хрг(б-) и некоторой числовой характеристикой группы, в общем случае выракенное неравенством, обращается в равенство, названа в диссертации экстремальной.

Во введении охарактеризованы задачи, рассматриваемые в диссертации, как экстремальные.

Б конце введения показано, что если р - наибольший проо-той делитель |(г1 и р2 не делит 16-1 , то для р верно неравенство р ^ £Х((т) +■ £ . Существуют примеры групп, ' для которых верно равенство р — Кг((т) +1. Например, группа диэдра порядка 10. Повидимому верна следущая

ГИПОТЕЗА. Пусть (г - конечная группа, р - наибольший простой долитель | (г I . Тогда верно неравенство

причём равенство имеет место в том и только в том случае, если (г - группа Сробениуса и р = У?-4-±. (г = ~2р >

В §§ 3 и 4 главы I приведены основные результаты диссертации и некоторые вспомогательные утверждения, представляющие самостоятельный интерес.

Если V - неединичная нормальная подгруппа группы (г , то очевидно, что верно неравенство: <((т) £ к В главе II рассмотрена экстремальная задач» описания конечной группы, удовлетворяющей условии: = К +1. Сформулируем основные результаты главы II. ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть & - разрешимая конечная группа, ' V - её нормальная подгруппа, = ^С^А/) и Н-

(у) . Тогда V - элементарная абелева р-группа, |\/| = р** , - р-группа, причём

либо Н = <& > >. ^ 6> , где |<а>| = ¡>"-1 ,

К4>| = р* , , Ш'^оГ ;

либо р^б {з\ 51, Чь, II23 Ь ] и строение, групш: Н

определяется таблицей I

- Таблица I

. р" пороадаюгцие алементы '"■ соотношения между пороэдаюдаля

1 3 H = < А;2>>; н-(А,б,с> А*С-'.) И? о) с лс-1= & с ßC'1 - Ab .

н -< h, ß,c > Hl-ùHr:) С3 = £ , С Л С "1 = - А Ь с f\

ty = í , CAC_t--A5 ßßiT^-A ,

н = < Д, e»,c,4E> с3 - £ с /ic"V-/i6 С ß С ~1 = А

1 ъг H - < А, Ь,С)!2) Z£> ЦГо') С ЪС^= А , "flAT^-ft

ТЕОРИ/А 2.3.1. Пусть (г - неразрешимая конечная группа,

V - её нормальная подгруппа, и И = ^/^(у) • Тогда V - элементарная абелева р-группа, С^(^) - р-группа и существует такая нормальная подгруппа Т группы Н , что выполняется одно из утверждений:

1. Т £ Ч/у- - циклическая р-группа, и |н/т1 делит и ;

2. Та 1н/ги{1,з} ;

3. Т£ .где Яа2плгт," < .Л ) - I ,' | и/г N 2 .

ТЕОРЕМА 2.6.1. Пусть б- - конечная группа, ^ - её нормальная подгруппа и Ф(<г) - 1 . Тогда К/6) = К (%)+ если и только если (г - группа Фробениуса.с ядром V , V - сидовская абелева р-подгруппа группы (г и

1<Н = рЫ(р^1).

Доказательство теорем опирается на следующее

Предложение 2.1.1. Для непримарной группы & с нетривй-. альной нормальной подгруппой V. следувдие условия эквивалентны:

1) к (6) = <(.&//) + ^ '>

2) все элементы из V * сопряжены между собой я для лю- ,, бого ^ £ (г * V каждый элемент из ф V сопряжёно ^ ;

3) все элементы из сопряжены между собой и для любого ^ выполнено |

4) ри+г\р*-Х), £ , ,

р - простое число, IV! г р и существует неприводимый характер , исчезающий вне V такой, что "Х(1) ~Р>((>и- О» уС (V) -- р* для всех

Задачу описания конечной группы, у которой число классов сопряжённых элементов ровно на единицу больше, чем чиоло классов сопряжённых элементов факторгруппы по некоторой её нормальной подгруппе, можно заменить эквивалентной задачей, сформулированной в терминах характеров групп. Следущие два утверждения эквивалентны:

1°. G* - конечная группа, V* G ,<(<?)=)+± , 2°. существует комплексный неприводимый характер группы исчезающий на всех классах сопряжённых элементов, за исключением двух классов.

Группы, удовлетворяйте условию 2°, изучались позднее в работе {2] Гаголой. В [2] Гагола получил результаты, аналогичные результатам главы II настоящей диссертации. '

Миллер в 1933 году показал, что если каждые два элемента одного и того же порядка разрешимой группы сопряжены в ней, то эта группа изоморфна группе или циклической группе порядка 2. С.А.Сыскпным была высказана гипотеза, что для любой конечной группы G , в которой любые два элемента одного и того же порядка сопряжены l(?l i 6 ( TlJ вопрос 7.48 ). В главе III диссертации рассматривались группы с более общим условием, а именно: изучались группы, у которых любые два примарных элемента одного я того же порядка сопряжены. Получены следующие результаты.

ТЕОРЕЛА 3.1.I. Пусть G - конечная разрешимая группа.

Тогда

в том и только в том случае, е. ли G1 = или (у —

ТЪОРЕМА 3.2.1. Пуоть & - конечная группа, удовлетвори-

ющая условию ос£рХ = крЧ-(б-) . Тогда (г = или 6 = .

Из теоремы 3.2.1 следует положительное решение гипотезы Сыокина. Доказательство теоремы 3.2;1 опирается на классификационную теорему для конечных простых групп. Позднее в работе [з] Фитцпатрик Патрик, также опираясь на классификационную теорему, доказал, что если группа удовлетворяет условию осКб) = к (б) , то группа изоморфна % 3 или .

В главе 1У диссертации исследуется связь между числом классов сопряжённых элементов группы и числом различных простых делителей её порядка. Сформулируем основные результаты главы 17.

ТЕОРИИ. 4.1.1. Цуоть т - фиксированное число. Тогда множество групп, удовлетворящих условию ЗТ +

конечно.

ТЕОРШ 4.2.1. Если & - конечная группа, то К (&) > 2Т(&) - 1 . причём в том и

только в том случае, когда (г изоморфна группе или

группе . А .

Из теоремы 4.2.1 видно, что она даёт решение экстремальной задачи. Отметим, что равенство К ((г)достигается лишь для групп с нечётным числом классов сопряжённых элементов. Поэтому естественно исследовать и другой предельный случай, когда группа (г - группа с чётным числом классов сопряжённых элементов. Теорема 4.3.1 даёт ответ, как устроены конечные группы в этом олучае.

ТЕОРША 4.3.1. Если (г - конечная группа, то равенство К (6) = 7/С(&) верно тогда и только тогда, когда (я изо-

морфна одной'из групп: 2"г , А? . , ,

Р^ а,*> , р *1.(г.,ч1).

Неравенство, аналогичное неравенству 2гс(£)-11

было получено в диссертации Л.О.Косвлнцева.

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, профессору Л.С.Казарину за ценные советы и поддержку в работе, без которых она бы не была окончена.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Коуровская тетрадь. - 9-е изд. - Новосибирск: 1978.100 С.

2. £.М. С&ьп.а.сЬс'ЪЛ усьпСлиСи<| о* сЛ. •Ьимэ. 'оомссаессч. сЛо^асб //Р<хсЦ-. ]. Ма.1%.- ^<Z%Ъ. - Л/ I } V 103. - Р. 36 3 - 385".

ССп^иао.с^. си

//Рюс. Яоу. Ас<хсС.~

тг. - А 85", л/ - Р. 5га

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТИЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бурцев А.И. Группы с арифметическими ограничениями для классов сопряжённых элементов // Рыбин, авиац. технол. ан-г. - Рыбинск, 1982. - 34 С. - Деп. в ВИНИТИ 11.06.82,

Ч ЗОН -82 ДЕЛ.

2. Бурцев А.И. Конечные группы о ограничениями на клас-ж сопряжённых элементов // Вопросы теории групп и гомоло-?ической алгебры: Сб. науч. тр. - Ярославль, 1982. -С. 139-140.

3. Бурцев А.И. Конечные группы с сопряжёнными изоорд-ными ^элементами // Вопрооы теории груш и гомологической алгебры: Сб. науч. тр. - Ярославль, 1983. - С. 85 - 88.

4. Бурцев А.И. Конечные группы с сопряжёнными изоорд-ными р-алементами / Рыбин, авиац. гехнод. ик-т. -Рыбинск, 1983. 18 С. - Деп. в ВИНИТИ 4.05.83, » 2378 - 83 ДЕЛ.

5. Бурцев А.И. О связи между классовым . чиолом и чио-лом различных простых делителей порядка группы / Андроп. авиац. технол. ин-т. - Андропов, 1987. - 72 С. - Деп. в ВИНИТИ 20.08.87, « 6124 - В87.

6. Бурцев А.И. О конечных группах с ограничениями на классы сопряжённых элементов // 7III Всесоюзн. симпозиум по теории групп. Тезисы'докладов. Сумы, 25 - 27 мая 1982 г. Киев - 1982. - С. 17. .