Группы с обще дополненными подгруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

рГБ ОД

КШВСЬКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШБВЧЕНКА

УДК 519.41/47

ВЕРПАТОВА Наталия Юривна

ГРУПИ 3 УЗАГАЛЬНЕНО ДОПОВНЮВАНИМИ ПВДГРУПАМИ

01.01.06 — алгебра I теор!я чисел

АВТОРЕФЕРАТ днсертащГ на одобутт* наухового ступена кандидата фюио-математпчних науж

КиГв — 1998

Дисертацкю е рукопис

Робота насована на кафедрт вищо! математики Нацюналыюго псдатогйного утпаерс^гхпу шен! МПДрагоианои

Науков! к*р1виикн: доктор фоико-иатсматичних наук, професор

ЛЕВПЦЕНКО СЕРГЕЙ СЕРПЙОВИЧ,

. Нацюнальшй педагопчний ушверсигог шаа МПДрагоианои;

допор фснко-матемашчнж наук

КУЗЕННИЙ МИКОЛА ФЕОДОС1ЙОВИЧ,

Ьклшуг математики НАН УкраЬш, проа)дннй каукоый сговробпник

КИРИЧЕНКО ВОЛОДИМИР ВАСКЛЬОВИЧ, КМЬський уиЪерситст ¡меха Тараса Шевченко, мшдуыч кафедри геоистрй; кандидат фшвсо-катешпнчних наук М1ЩЕНКО БОРИС Й ОСИПОВИЧ, АкадекЫ СБУ, начальник спецхафедри № 12

Пров1дн> установа: УжгородеизД держащий унасрстет, кафедра алгебр«

Захист ыдбудетьса * 14 " мресня 1998 р. о 14 гсдага на модим спсц!ажюина{ вчаюГради Д 26.001.18 при Юй&ському унисрситеп Ыеи! Тараса Шеаченка м адросое: 252127, КнЬ -127, нр. агадпмига Глушкова, б, мемшхо-ыатематнчннй факудьтот, «уд. 44.

3 деертацкзо кохна озшйомитиса в бйлгатец! КиЬкисого уивсрситсту шей Тараса

Шсачшха (аул. Вогодашфеыеа, 62).

Автореферат ро&ланий '2£" 1 «*• р &ч 1998 Р-

Вчагай секротц»

Оф1ц1йн1 оланенти: доктор фцико-детешпнчша наук, професор

ПЕТРАВЧУК АЛ.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТ11

АктуалыИсть темя. Великс micuc'b досгадженнях груп за заданным пластнвостями системи 1х пщгруп займаютъ питания, пов'язаш з поняттям доповнюваносл пщгрупи. Пщгрупа А групп G мазиваеться доповнюваною в G, яюцо в G ¡снуе така пдару™ B,nioG~A'B i An В = 1 .

Вперше вивчав сюнчеиш групи, в яких доповнюваш eci пщгрупи Ф.Холл те в 30-роках. ГКзшше в роботах ЧершковоГ Н.В. встановлено будову довшышх груп такого роду (в цих роботах вони одержують назву ш'лком факторнзованих груп).

Наступш дослщження велнся в двох налрямках. Перший полягае в тому, що умета доповнюваносл накладаеться не на Bci шдгрупи, а лише на ii чн iniui системи пщгруп. Початок цьому напряму був покладений в роботах вндатного фах1вця з Teopii груп Черткова С.М. i був продовжений в роботах Горчакова Ю.М., IlIepieBa В.А., Зайцева Д.1., Зуб О.М., Кляцько! Л.М., АлекссспоГ Е.С., КЙщенка Б.Й., Черткова М.С., Барншовця П.И., Снсака Я.П., Тузова О.Н., Петравчука А.П., Артемовича О.Д. та га.

Другий папрямок досладження полягае в узагальненш самого понягтя доповнюваносл, тобто в означешп доповнюваност» вимогн А п В - 1 mmi-нюсться бигьш слабкими вимогами: перегни Ап>В- екгаченний, задовольняс умош штмальносН чн максимальное ri, с локально циничною групою, цикшчною групою, цтипчною групою простого порядку. Одержимо ПОИЯ11Я У^доповнгованосп, т-. А/- доповнюваносл, LC-, С-, Сг- допоншппаносн в1дповдаю. Задача вивчення узагальнено факторнзонаннх грУ". юбго гякпх груп, Bci падгрупи яких володаютъ узягальнетш доповменилм в точу ч« шшому вказаному вшце розуммпи (F-, m-, Af-, LC-, ('-) роЗв'я^та.чг-гь в роботах Сергеева M.I.. Цибпиыпм М В., Можчр'вто! Л.С. До цих дослужен», относиться i дчня робота.

г

DLC-групи, тобто групи, у яких Ас\В- довшьна локально циклчна група були введеш в розгляд i вивчались Можар1вською JI.C.. Опис класу DLC-ipyn виявився доснть складною задачею i эдйсненин лише для абелевнх груп. Складшсть опису DLC-груп викликала появу понятгя DC-rpyu, тобто груп, у яких А В - циюпчна група. Не дивлячись на то, що клас £>С-груп значно вужчнй за клас DLC-груп, його опис не одержано i aoci. Осповш . результата цього опису пов'язаш з деякими класами еюнчешшх та шльпотеит-них груп. Сюнченш тльпогаггш ЮС-групи були описаш попшетю, також було вотановлено розгГязшстъ скшченних ZXT-груп та цшешчшеть ïx пщгрупи Фратпш i описан! деяю класн груп з додатковими обмеженнямн. Для повного опису деякого цшеного шдкласу DC-груп автором дисертацп введено клас DC,-груп, тобто DC-груп, у яких А п,В - група порядку 1 чи р (р - просте число). Падгрупи Ai В в цьому випадку назнвають Ср-доповнсннями одна до iiunol в rpyni G . Автору вдалось пошпепо опнеатн клас скшченних н rn.no-тигших DCp-груп. Приклади несганченних груп, у яких власш пщгрупи мають порядок 1 або р, що побудоваш Ольшопським O.IO. с прикладами DCyгруп, тому конструктивннй опис навггь DCr-груп неможлизий без додаткових обможсль.

Зо'язок робота э науковпми про»-рамами, планами, темами. Дослщження дисертацп вщпопщшоть планам теоретико-групових дослщжень, snd здШенюються на кафедр! вищо! математики Нацюналыгого педагопчного ушверситету ¡меш М.П.Драгоманопа.

Мета i задач! досгйджсния. Метою роботн е конструктшигий опис клаав DLC-, DC-, DCr-ipyn з максимально ослабленими обмежениями. Для цього знаходяться найбшыи загальш властивосп довшьпих DLC-фуп з умовою ïx локально! ступшчатосп чи локально! майже розв'язносп. 3 вико-ристанням цнх результата здШснюсться опис деяких широких класш DC-груп. Детальний опис DCf-rpyn спираеться ira в же одержат результата про IXУ та DZ.C-rpynH.

Наухопа ноинзна одержали! результатов. Bei основ:» результата днеертацп е новимн, строго доведешши i вносять певний вклад в TeopiK) груп, Найважлнвшимн серед них стд вважати таю теореми днсертацдГ:

2.1.1,2.1.2, 2.2.1-2.2.4, 2.3.1-2.3.3, 3.2.1,3.2.2, 3.3.1-3.3.6.

Деяю iiimi noei результата носять допом!жннй характер, ала маилъ самостШне значения, строго математнчно доведен!. Це теореми

1.1.3, 1.1.4, 1.2.1, 1.2.3, 1.2.4, 3.1.1, 3.1.2.

Практичне значения одержаннх результат^). Робота мае теоретнчннй характер. Ii результата можуть бут внкорисган! при досладженш еюнченних та иескшченннх груп. Деяи роздали можуть служити основою для спецкурс!в та спецсемшар1в.

Особнсткй внесок здобупача. Bei ociiosiii результата одержан! i опублжовши без cnieaBTopis.

Апробац1п результата» дкеертацй. Основш результата дисертацЙ доновцгалнсь на

• КИжнародннх конференциях ¡меш академиса М.Кравчука;

• науковому ceMÎHapi з Teopil груп 1нституту математики HAH УкраГни;

• науковому алгебрш'чному ceMinapi НПУ ÏMeni М.П. Драгоманова;

• и mi их науково-пракшчннх конфереишях виклпдачт НПУ ¡м.

М.П. Драгоманова.

ПублЬсяцИ По tcmî дисертащТ опуйтковано 7 pofiir.

Структура дисертадП. Робота склпдйггься з! встуну, 3 ротдшв. висновкю та списку викорисгатгх л1гернту]чгих джерол i 74 пяйчемупннь. Обсяг диеертанЛ 158 сторнкж.

ОСНОВНИЙ 3MICTРОБОТИ

У ncryni обгрунтовано актуальшсть дослуркення i важлтпеть пнтань, що розглядаються в диссртацн, проведено стислий огляд блнзьких за напрямком poGir, сформульована мета дослзджень та Гх новизна, виклздено зм1ст робот

В роздШ 1 подан! необхшп означення та деяю допом1жш результат

Група G называешься DLC-, DC-, DCp-групою, якщо в нШ для кожноХ Ыдгрупи A iснус така Ыдгрупа В, що G- А ' В i перетин А п В с локально циклЫпою групою одного з порядШ: доаЫьиого, сктчеппого, одипичного або простого, eidnoeidno. 1

Тут же встановлено замкнешсть клаав цих груп за шдгрупами, фактор-групами i незамкнешсть за прямими добутками (лема 1.1.1). А також знаходяться умови замкиеносп цих класш за прямими добутками (теореми 1.1.1, 1.1.2, наслщок 1.1.1). Особливий iirrepec представляють теореми 1.1.3 те 1.1.4, яш вдаграють значку роль в подальших дослщжсннях.

Теорема 1.1.3. НехаО G - дов1лъна DLC-група / N- IT скЫченна неоди-нична мШЫапъна нормальна nidepyna непростого порядку, modi G ~N\D -перюдична група, N- елементарпа абелева група порядку ¡? (р- просте число, р * 3); Cd(N) = С - еласна nidepyna групи D, нормальна в G, яка не Micmumb елеменпйв порядку р3\ фактор-група - ск!пченна розв'язна DLC-група з метациклЫними абелевими q-тдгругшми Q, яка изоморфна nidepyni з GL (2, р) (q - довЫьне просте число з ) ) i справедлив!

твердження:

1. Шдгрупа Q modi i пйлъки modi с неодиничною р-групою, коли P-2-\Q\ =q i %mS,.a %zS3.

2. Якщо p в I (mod q), mo Q- елементарпа абелева група порядку q чи q3.

3 Якщо р s -1 (mod q), пю Q - циклЫиа група.

s

Теорема 1.1.4 Локально ступЫчапй примарнi DLC-групи вичерпують-ся р-групаии, Ufo с розширенняи свое! нормально!'локально цикл1чноУ групи за допомогою елемеюпарноÏ абелево( групи. '

В (йдроэдШ 1.2 встановлюються властвосп перюднчних розв'язних шдгруп DLC-ipyn (теорема 1.2.1), описуються скшчсшм DLC-групи Шмщта (теорема 1.2.2), bc¡ розширення центрально! шдгрупи за допомогою групп типу (р, р) (теорема 1.2.3) та il nui допомпхш результата.

Теорема 1.2.1, Нехай А - неодшшчна пер1одична розв'язна Ыдгрупа DLC-групи G. Todi А м1стить м1ншалън1 нормалънi Ыдгрупи з G, кожна з tKux е групою типу (р)чи(р, р) для деяких простил чисел р е п(Л ).

Яхщо при цъаму А м!ститъ мЫЫальну нормапьну в G Ыдгрупу типу (р.р), то G " U>\D- пер1одичпа група, А - Í/X V, Ar\ D- V- пер1одична пормшыш розв'язна група, неодипичнI нормальni в G Ыдгрупи яко{ мають порядком просте число; U - непорожнШ прямий добуток м1нШапьних пормальних a G шдгруп N з А типу (р, р), р * 3 . Силовська р-Ыдгрупа Df групи D е елементарною абелевою групою, [ Dp : (N) ] i 2 .

Теореме 1.2.3. Bci групи G, Ufo с ртширенням центрапыю1 Ыдгрупи <ж) за допомогою групи типу (р, р) мают, еигляд G = (х) xD, de (г) (х) х {с) с Z(G), М(х)) n íc(D) = 0 та вичерпуються групаяш munie:

1). D «<e>>4<¿>, M e {p", oo} , a>0, |6| "p {p- просте число),

U>'l « {i,p)\

2). D - {a,b) - група кватерн1он!в, (с) a Ф(D), Ы < w ;

3). £)«(<c)x<a))X(A), \a\~\b\~p (p - прост* числа), Ici « p1, y >0, ( fd, 6] )С®((è», (c, 6) 1, l.tl «я,при 1/П 2 т>1 .

Теорема 1.2.4. Нехай <7 - DLC-група i комутангп G'м1сгт/ть турлшяьну в G гр)-пу Ktanmpnlonl» Q. Toùt G • nepiodu4Ha не локашт ttl.nnomenmfiа

в

група, Q - силоеська 2-п1дгрупа групи G ', Ф(Q) с '¿(G), ' нормальна в nidzpyna типу (2, 2).

мшЬиалъпа

В ршдий 2 опнсуються локально ншьпотентш та надрозв'язш DIjC-групи. Встановлено, що нспсрюдичш локально шльпотентш групи такого роду вичсрпуються нспсрюдичними абслевими DLC-групами (теорема 2.1.1). Теорема 2.1.2 описус абслеш ZX^-групи. Настуши тсорсми описують неабелев1 локально нш>потентш DLC-групи.

Теорема 2.2.1. Bel примарн1 групи G з локально циШчною Ыдгрупою ФраттШ1 Ф(0) i елементарною абелевою фактор-групою с р-гру-

naMueudyG=AB, de А < G,В < G, А г\В ■» (с) с Z(G), В' с (с), Шдгрупа В породжуапъся нормальными в G Ыдгрупами В, = (с) х (А,), |б,| ^ р (р -

просте число, i g I, Ul ¿0), " ^'/(с)1 оичеРпУються трупами munie :

■ 1 ). А - локально циклЫна р-група чи група кватерн1он1в, Ici ïp-, 2). А - скЫченна чи нескШченна узагальнена група кватерШошв, \А I > 8,

3).А - скЫченна чи неск1нченна група àledpa, \АI> 8, Ici - 2 ;

4). А - айнчениа квазШедралышгрупа, |л|> 8, |с| -2.

Як видно з uicï теореми, класи локально ступшчатих примарних DLC-, та DC-груп ствпадакггь.

Теорема 2.2.2. Неабелев! локально нШпотентн! DLC-групи вичерпу-ються nepioduMHUMU неабелевими групами, що розкладаються в премии добу-ток ceolx силовсъких ргп1дгруп Pt, колена з яких 1заморфна epyni одного з munie 1-4 теореми 2.2.1 (р, - просте число) i хоча б для одного i{lef) Р,' * 1.

Як наелвдок в теоремах 2.2.3 та 2.2.4 опиеаш неабелев! локально шльпотентга DC- та DC^-групи.

Ici -2;

В п1дрозд1М 2.3 встанонлеш деяи властнвосп локально надрозв'язних DLC-труп, зокрема ïx пперциюнчшсп. i за допомогою цнх результатов встановлено поиний опис надрозв'язних-DLC-rpyn:

Теорема 2.3.1. Ilepiodwmi надроза'язнi DLC-групи вичерпуютъся ск1нчешшми DC-групами виду G = Р, ... Р, ... Р„, де Р,- amoecbKi рг Ыдгрупи групи G (р,- просте число з rJG), р,< Р/+Д V./ < I [P,,Pj]ç. Р,,

< Ф(Pi).....Ф(Pi).....Ф(Ря) > - циЫчна група i G мае тдгрупи iндексу р

V ре n(G).

Теорема 2.3.2. Клас iteneplodwmux надрозв 'язиих DLC-груп cnienadac з класом непер1одичпих надрозв'язних DC-груп та вичерпустъся групами munie:

1 ). G = А X ( В х (а) ), де В - скЫченна i/umii факторизована абелева група, \а\ =■ °о, А = G' - група без ¡¡¡волюцШ, неодинична тдгрупа А розкла-даапься в прямий добуток мрмапъпих в G nidzpyn простого порядку,

2).G = (а) X(Ь), де Ы =», M =2, btab = d,\

3). G А X ( В х ( (а) X (Ь) ) ), де В - скЫчетш ц1лкам факторизована абелева група, |а| " °о, |й| = 2, Ь~'а Ь" а'', А - група без /иволюцШ, що розкшдасться в прямий добуток нормальных в G п1дгруп простого порядку, G'-Axtf).

Теорема 2.3.3 описус надрозв'язш DC,-групи.

В розд1ш 3 дослцркуються локально майже розв'язт DLC-групи.

В шдроздЫ 3.1 описшп скигченш мнималын недисперсивш DIAI-, DC-.DC,-групп (теореми 3.1.1, 3.1.2). Серед них груп с типи розв'язинх Д//7-rpynGiyMOBoro |G'"|-2.

В шдроздЫ 3.2 встановлена розв'язш'сть дошлънкх локально майже розв'язпих i периодаЧШ1Х локально стутнчатих D//?-rpyn.

в

Теорема 3.2.2. ДовЫъна локально майже розе 'язна, а пер1одична навШь локально ступЫчата ОЬС-група б мае центральный в й третШ комутант С" порядку 1 чи 2.

1снують групи О такого роду, у яких |С"| «= 2 .

Група в такого роду з умовою « 2 пер1одична I хР, де

б- група кватерШоЫв, що с силовською 2-Ыдгрупою групи С, Р- ц1лхам факторизована абелева група.

Отжо ступшь розв'язносп локально майже розв'язних ОЛС-груп но перевищус числа 4 \ ця граница точна.

11ирозд1л 3.3 узагальшое вс1 основш результата дисерташТ I найважлившшми тут с:

Теорема 3.3.1. ВЫ локально надрозв'язн! БЬС-групи О при |к(0)| <оо втерпуються групами тшйв:

1). б -РI'... Р,'... Р„ -А У, де Р,- силовська рГШдгрупа групи О,

Р /

(р, е , р, < р/+;), Ф(Р/) - локально цикМчш група, ^/ф^р у - елементарна

абелева група, для вЫх ] < / 1Ф(Л).Ф(^)]~ 1. С"- централь-

на в О' цикл1чна ц1яком факторизована група без /нваяюцШ, силовсыс! рг»1дгрупи групи С" належать Р,% I |Я/| £р, гйдгрупа А г1перцикя!чно екладена в ОI с максимальною холловською п1дгрупою групи О* без IнволюцШ, V-локально нЫьпотентна група, А п У- Т- центральна в О Шдгрупа групи б", < Ф(А% Ф(У))-локально циюйчна гругиг,

2). в - В * II), де II-локально цихлЫна група без скругпу, А та В - абелев! ц1лком факторизованI групи, неодинична п1дгрупа А роткладжть-ся в прямой добуток нормальных в О Ыдгруп (во). 1вв| " Ра (Р* - проапе число, р„Ф 2), фактор-група ^ не м1ститт, рл -елементЫвг,

3). 0~ЛХ(Дх(<УХ<А>)), de А, В, U - як i в muni 2., |б| -2, VueU Ъ'иЬ-и',[U-.Cl{A)\Z2.

Теорема 3.3.4. Локально лшйже розе inttl. але ne локально надрозв я?н! DLC-групи neptodwHi I мають вигляд G-D X, de Х- г1перцикл1чна DLC-група, D - нециглЫна група, гцо розкладасться в прялтО добуток тдгрупи Q та MinlMoxbttux нормальных в G rtidepyrt N, типу (р,, р,) (р, - проста число, р,* 3, /е/, 1/1 ¡>0), DqG\ DnX-QnX,c4>(0cZ(G), Хг- деяка фЬкована сияовська 2-п1дгрупа групи X, козкпий q-елемептg в X(q- просте число, q*2) iндукус на Q тстожний азтомОрфЬм, ado [ Q, (g) Q, будь-жха Шдгрупа типу (р, р) групи D дотжяосться в epyni G, I G- група одного з munis:

1). G~D\X, Q'\, |/|>0, eci симоясыН рГШдгрупи групи G с еяементарними абелевгиаг,

2). G - D\X, Q - MiniMcubna нормальна в G група типу (2, 2\ що с сияовською 2 -Ыдгрупот групи D, X¡- елемгююрна абеяееа група, Q\X}-неабелева силоесыса 2-п!дгрупа групи G, група X яйстить 3-елемент g, àu ахого [ Q, (g) ] - Q, eci ctuoecbrt ргп/дгрупи групи G с елгментарними абелевихш групазии,;

3). G- DX, Q- група кеатернккйе, tito с силовською 2-Ыдгрупою

групи D, я^мальна нормальна а гРУпа типу (2.2),

* еягмегятрпа абеяееа 2-група, група X Micmumb 3-еяемегт

8. àvt вхого [ Q, (g) ] - Q, ad cwsoectKi рг-гйдгрупи групи G с епешппырними сбеяетмпгрупами, I /^ф) "*РУ"<>типу 1.<ш2. розглядуеаяо!тгореми.

В теорем 3.3.2 oratctmi дамльш локально надрозв'язт DC-гругти:

Теорема 3.3.2. Bci локально надрочл язи! DC-групи кичерщпоться групами munie:

1). GР/'... =/i'V, de Р,- силовська ргп!дгрупа групи G, (р, е k(G), р, < рц Д ф(Р,) - локально циклЫна група, j с елементар-

ною абелевою групою, для ecixJ<i [Р,, Pj ] сР,, [ Ф(Р,\ <b(Pj) ] = 1 ; G" -центральна в G' цикл1чна ц1акам факторюована група без ЫволюцШ, силосськI ргмдгрупи групи G " належать Р," i I Pi \ йр , Ыдгрупа А г!пер-циклЫно вкладена в G i с максимальною халловською п1дгрупою групи G' без ЫволюцШ, V-локально нЫьпотентна група, A ri У = Г- центральна в G Ыдгрупа групи G", ( Ф(Л), Ф(V) )-локально циклЫна група,

2). G"A\(BxU), de U - локально циклЫна група без скруту, А та В - абелевI цОгкаи факпюризоваЫ групи, неодинична Ыдгрупа А розкладасть-ся в прямий добуток нормальних в G п/дгруп (аа), \аа\ "ра(Ра- просте число, ра * 2), фахтпор-група G/ç ^ не Micmumb ра -елсменпив, для будь-

якого и е U фактор-група е прямим добуткам чернЫовсъкоХ та ц1лком

фактор изовапо! групи;

3). G~A\(Bx(U\(b))), de А, В, U- ях i « muni 2, Iftl -2, V J e U b~'u b~ и1, с прямим добутхом черШковсько! та ц1лком

факпюризованоХ групи, [ U : С ¡/А) ] S 2 .

Ооольки локально ыайжо розв'язш неисртодичш ZXT-групн с пперцих-шчними, о тому i локально надрозв'яымми, то лишасться описати пертдичш локально майже розв'язт не локально надрозв'язш, а тому перюдичш DC-i-руни. Цс здШснюсться в тоорем! 3.3.S i навггь при обмежснш локально! ступючатосп груп такого роду.

Теорема 3.3.5. Локальномайжерозв'язШ, але не локально надрозо'язн1 DC-групи nepioduHHi i маютъ вигяяд G"D' X, de Х- пер!одична група типу 1. теоремы 3.3.2, D - нецикл! чна група, що розкладаоться в прямиЯ добуток nldepymt Q та мЫЫалъних нормальних « G п!дгрут N, типу (/>,, р,) (р, - прос-

те число, р,*3, iel, |/| £ 0), ¿>CG\ D о X-Q n X, q Ф(0 С ДО), X2 -деяка ф!ксована силовсъка 1-тдгрупа групи X, I n(D) | <°о, група D не Micmumb нормальных в G тдгруп простого порядку, а будь-яка ïï Ыдгрупа типу {р, р) доповпюстъся е групi G, eci силоеськ! q-мдгрупи групи G с елементарними абелевими групами (q е n(G) i pt* 1 (modq) обо q = 2 t \QI > 8 ), Cx(D)Micmumb комутанти ecixсиловських q-nidepyn групиX, à при Pi a 1 (mod q) C^N,) Micmumb nidzpynu Opammiui силовських q-nidipyn групи X, ma вичерпуються групами munie:

1 ).G-D\X, Q-l.UI>0;

2). G" D\X, Q - м!н1малъна нормальна в G група типу (2,2\ що с силовською 2-п1дгрупою групи D ,Хг- елементарна абелева група, Q\X] -неабелева силовсъка 2-п1дгрупа групи G, група X Micmumb Ъ-еяемент g, для "oio[Q,(g)]-Q;

3). G-D X, Q• група кватерн1оШв, що с силовською 2-гйдгрупою групи D, мМмаяьна нормальна а група типу (2,2),

4Q)'Vm) ■ v*"*™*?™ група XMicmumb 3«ш

g, для яхого [Q,(g)]~Q, t G^^q^-група типу чи 2. розглядуваноХ гпеорехш.

Довшью локально иадрозв'язш DCf-групи опнсат в теорем 3.3.3, a ne локально кадрозз'язт, «œs локально стуганчяп групи такого роду опнсаш в теорем] 3.3.6.

висновки

Метою досладженля днсертац!! с опнс DLC-, DC-, DCr-rруп. /Х^-групн введен! в розгляд автором, DLC- та DC-групи були введеш i вивчшшсь шшими авторами. Ними доыпджувались дсяи шшси груп такого роду, серед яких абелев! DLC.- та DC-фупи, скшченж юлыютентш DC-групи, скшченш надрозв'язш DC-групи з дсякими дсщатковими обмеженнямн, скшченш DC-групи з абелевими силовсысимн шдгрунами, з инпмолышми нормольиими щдгрупами типу (р, р). Було встановлено, що скшчешш DC-rpyna розв'язна, мае циклмну пщгрупу Фратиш i довшьна П »»(¡малыш нормальна пщгрупа с групою типу (р) чи (р, р). Були також побудоваш приклади носкшченних неабелевнх просшх скшченно породжсних DC- та ZX^-rpyii.

Широта дослщжуваних клаЫв груп змусила автора при досяшенш метя дисертацЛ використатн досить шнроке обмеження локально! ступшчатост» чи локально! майже розв'язнос-ri для цих груп.

В дмсерташ! в перше встановлено, що довшьна локально майже розв'кзна, а перюдична навггь локально стушнчата DLC-група роза'кзна i П третШ комушгг мае порядок 1 чи 2. DCf-групп О перюднчн! i при tx локальны сгушнчатосп 0"'"= I. Розв'язш ZJLC-групи G s умовою |G"'| - 2 заводы нергоднчш i мктить скшченш мшмальш недисперсивш пцурупн // э умовою 1Я-1-2. В ci таю групп H в дисертацИ повшетю описан!. Локально нснадроза'язт, ала локально майже розв'язп! DLC-грулн с перюдичннми.

Також в перше встановлено, що класи локально стушнчатих пришрних DLC- та DC-груп сговпадаюп та вичерпуються групами одного з повнютю описалнх 4 тнпш /мрун, an с розширенням локально цшивчнЫ групп за допомшою слемешаржЯ вбслмкЯ групя. 3 викорютанням цьопо результату поашетю описаю ect неабелев! локально шльпотентш DLC-, DC*, ¿Х^-групи i встановлено, що вони с обов'взково перЬдичниыи групамя.

Новнми результатами с також описи локально нидртй'я-ших DI.C-, DC-, DC,,-грул, »к» сфектмшпо викорнстовуються ь доелтдяеннях i-руп 6bn>m шпро-

ких класш. Частковим вииадком IX е значне посилсння опнсу скшченних над-розв'язних ПС-груп, встаиозленого шшими авторами. Наслщком цього опнсу е твердження про те, що довшыт локально надрозв'язна Л/.С-група с ппер-циюичною. Окрели тооремн описують гтерцнктчш йЬС-, БС-, /Х^-групн, щоправда пперинктчш ЖСнгрупи в описаш при додаткошй умов1 |п(а)|<оо.

3 викорнстанням опнсу локально надрозв'язних досл5джуваних труп описаш локалыю майже розв'язт, еле не локально надрозв'язш ВЬС-, ВС-, ВСГ-групп, ям впявляеться заввди с перюднчними трупами, отже ц« результата с описом перюднчнпх локально ступнгчатих груп такого роду.

Результата дослщхсення локально майже розв'язннх груп с иовкми, строго доведеними, що значно узагалыпое вадом! рашше результат». Подальшого уточнения потребуе лише опнс локалыю надрозв'язних-ОМТ-гр^и О, в яхпх |к(0)| - от.

ПУБЛ1КАЦ11 АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦ11

1. Верпатова Н.Ю. Узагальнено факторизоваш групи з дисперсивними пщгрупами //Укр. магем. ж. - 1997. - 49, № 8. - С. 1025-1031.

2. Верпатова Н.Ю. Локально скшчеши примарш DLC-групи з центральною пщгруною Фрагпш // Класн груп з обмежеинямн для шдгруп. - Кшв: 1н-т математики HAH УкраГни. - 1997. - С. 83- 86.

3. Верпатова Н.Ю. Неаболеш локально шльпотентш DLC-групи // Класи груп з обмелениями для гадгруп. - Ки1в: 1н-т математики HAH УкраГни. -1997.-С. 87- 90.

4. Верпатова Н.Ю. Деяю властивосп узагальнено факторизовашк груп // 1итегралып перетворення та Ьс застосування до крайових задач. 36. наук, праць. - Вип. 15. - Ки1в: 1н-т математики HAH УкраГни. - 1997. - С. 9- 11.

5. Верпатова Н.Ю. Конструктивное описание конечных примерных групп с обобщенно дополняемыми подгруппами. - Киев, 1992. - 7 о. - Рус. -Деп. в УкрИНТЭИ 29.07.92. № 1167 - Ук92 // Анот. в РЖМат., J6 3,1993.

6. Верпатова Н.Ю. Про узагальнено фактор изоваш групи, яю розкла-даються в прямий добуток сво{х niarpyn // Тези дол. IV МЬишр. Наук. Конф. ¡м акад. М. Кравчука. - Ки1в. - 1995. - С. 59.

7. Верпатова Н.Ю. Про м1шмальний нормальний дальних узагальнено факторизованих груп // П'ята Mimiap. Наук. Конф. ¡м. акад. М. Кравчука. -КиТв. - 1996. - С. 67.

Верттова НЛО. Групи 1 умгалыкно доповшсшптн шдгрупамн. - Рукогагс.

Дисертзда на адобуггя паукового ступена кандидата фЬлко-иатенатачшк наук за отецилыйстю 01.01.06 - алгебра I теори чисел. ■ КиГВсыснй ушвераггет Ыоа Тараса Шевченха, Кн!в,1998.

Диссрта15по присвачсно питяпмм конструктивного огшсу груп, в пап ва гадгрупи спавллыша <&шом узлтальнено допоюшютъс«. Група О гсшписться йЬС-, ОС-, ЮСР-грушло, «ицо в (йП дм кояэюГ п^дгрупн А кнуе такл гадгрупа В, що О ~А' В 1 перепм А п В с локально щпоачною групгао одного 5 порадпв: довшыюго, скшчениого, однинч-ного ебо простого, в1дповгд1Ю. Розгмдаготьса локально ступпгчят! та локально найже розв'т;! групи такого роду. Конструктивно описан! ьс| локально стуганчап ОСр-групн, доЫлый локалыю иайие рссв'тй ОС-групп та локально майже розв'шп В1С-групп О, у гккх |п(С?)|<оо.

Ключой слова: дстюмтпи, умгалыкне додавненм, локалыю щпспчна гадгрупа, гадгрупа Фрзттаа, локалыю шйз» розв'юпд група, локально ступа гита група.

Вергатова Н.Ю. Группы с обобщенно дополнхёшлш подгрутпшпь • Рукопись.

Дксертгцня на схяккя&в ученой степени исиндата фюико-матеиалгюских наук ш специальности 01.01.06 • алгебра и теорп» чисел. - Киевский утпгаерситет иисин Тграса Шев'генхо, Киев, 1993.

Диссертация поевпцгпа всггросгы солирует!иного списздия групп, ■ которых вед подгруппы специальным обрсом обобдолвю даюлниотея. Группа О называется ИЬС-, 1Х-,РСГ-группой, если а гт;Я доп гаядай подгруппы А существует такая подгруппа В, что ОтА"В и пересечение Л г, В жвдеется локально циклической группой одного ю порядков: гфснзмлыюго, конечного, едишгпюго или простого, соответственно. Рассмятргагютса аокашю стутгенчэтые и локально почт разрешимые группы такого рода. Конструкт!саго епгкгны все яокалы» ступгячгше ОС,-группы, произвольные локально почта разрешимые ОС-группа и яахалыю почта разрешимые 0£С-группи О, у которых |я(0)|<«о.

Квочегые слова: дополнение, обоба^яасое дополнение, локально цншппсскм подгруппа, подгрутш» Фратпзи, локалыю почти рирашшаа группа, локалыю ступенчатая группа.

Vcrpatova N.Y. Group« with generalize*! complemented subgroups. - Manuscript.

Tlieus on competition of a tcicntific degree of die candidate of sciences (Ftiyuc* and Matliematic«) on i speciality 01.01.06 - algebra and theory of number. - Kytv Taraa Shevcbenko University, Kyiv, 1998.

The the sig is devoted to problems of conUractivc description of groups, whith a3 subgroups that are complemented by special generalized way. The group O b named DLC -, DC •, DCf-group, UT each sul>gioup A there is cuch subgroup B, (hat O* AB tnA tho intersection Ar\B k locally cyclical group ooc from is ordinal: any, final, single or simple, accordingly. Such solvable groups are considered locally graduated and locsfiy almost. Any arc structurally circumscribed all locally graduated DC,- groups, locally almost solvable DC-groups and locally almost solvable DLC-groupe G , at which l*(G)l<® .

Key word: complement, generalized complement, locally cyclical subgroup, Frattini subgroup, locally almost solvable group, locally graduated group.

Шдп. до друку 17.06.98. Формат 60x8-1/16. Ilanip друк. 0£с. друк. Ум. друк. арк. 0,93. Ум. фарбо-в1д<5. 0,93. Обл.-вид. арк/ 0,6. Тираж 100 пр. Зам. 136. Бозкоштовно.

В1адруковано в Iiictíitjtí математики НАК УкраНШ 252601 Ки1в 4, МОП, пул. Терещенк}вська, 5