Радикальные модули и их применение в теории факторизованных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 од

3 О ЛОГ ^аШВСЫШЙ УН1ВЕРСИТЕТ и. ТАРАСА ЩЕВЧЕНКА

На правах рукопису

СИСАК Ярослав Прокопович

РАДИКМЬМ 1.10ДУЛГ ТА IX ЗАСТОСУВАНЩ В ТВОР11 ФЛКТОРИЗОВАНЙХ ГРУП

СИ.ОТ С6 - математична лог!ка, ялгейра та теоргя чио?л

Автореферат цроертапН на здобуття наукового ступени дсторл Ф} 9т»ко--мятематячйиг .неуч

. Робота виконана в 1нотитут1 математики АН УкраУни

0ф1ц!Йн1 опоненти - доктор ф18ико-математичних наук,

профеоор 1УДИВ0К П.М,

доктор ф18ик0-математичних наук, професор 0Л1 АНСШЙ О.Ю. доктор ф!зико-математичних наук, професор ПРОТАСОВ 1.В.

Пров1дна орган!зац!я - Дн1пропетровоькяй дергаввий , уи!верситет.

Захист в{дбудоться " Рт2 " 1993 року о 4Ц го-

дин$ па зао}донн! с-пец1ал1аовано1 ради Д 01.ОТ.01 при КиУвеькоку уМвораитет! 1мен1 Тараса Шегченка за адресов: 252127 Ки1'в - 127 проспект ,.кчдем}ка Глуикова 6, механ! "о-матемят(тчний факультет.

3 дисертац1вю мояна оянаРомитипь у б1бл!отец! ун!верситрту /пул, Володишрсма, 62/.

Автореферат роя»слани» " " 1УсгЦсНЛ 1993 роггу.

Вчений сечретар спеп!пл!аг)»ппг>1 ради

опс1яш> а. л.

ЗАГЛЛЪНА ХАРАКТЕРИСТИКА РСБОТИ

Лктуальн}сть те?та, В дасертацН розробллвться метода до сложения груп, що розкладавться в добуток деяких с оУх п!дгруп. Так1 групи прийнято назлвати факторнзованиш групами, а 1т роэклад в добуток п!дгруп - факторизац!вю групи» Наявн1сть у групи факторн-зацН - один э вагтоях факт!в, що характеризуй И булову. Напрнк-лад, класична теорема Ф.Холла ствердяуе, що ск1нченна група тод! I т1лыш тод! розв'язна, коля вона с добутком своТх поаарно перес-тавних силовськкх п!дгруп. В1догго, що будова сяяовських п1дгруп ск!нчейноТ розв'язно! групи в зкачн!й м!р! вкзначае.будову вс!е! групи. Тому природно чекати, що будова групи, яка'розкладаетвся в добуток своКх Переставши п'дгруп, в як!йоь м!р! визначаеться будовов останн!х.

Пера! кроки у вявченн! залекност! м!х будовов факторизовш.Л груди ! будовоп Н п!дгруп-шгажник!в були зроблея! щэ в 30-Т1 роки в роботах Ф.Холла, Г.Цапп., С,А.Чун1х!па та 1.Щура, Але сис-твматичяимя так! досл!дяення стали лише в 50-т1 рокй ! пов'язан! з роботаш б.Сепа, Л.РедеТ, Х.В!лапдта, Б.Хуппертз, Н.Гто, П.Кона, Д.ГоренстеЯна, О.Кегеля та !ппих. Основными досягнбякями пьолэ пер!оду моана вваяати теорем}' Хупперта про надрозв,язн!оть скученно! групи, то в добутком попарно переставлю: щшИчних п!дгруп, класнф!кац1в Реде! та Кйясм вс!х груп веду /4В з неск!н-чйштикя цикл1чн®,™ п!д1трупами Л , 8 1 перетйном' ; теорему 1то про М0табёлев1сть Груп вйду -/¡В з абеловгоя ц{дгрупами А I б та теорему В1лаидта-Кег«ля п.;о розв»язн1сть ск!нчшшо¥ грусга, що е добутком погглргт переставим нШпотеитккх п{дгруп. Пряблизно до середгот 70-х рок1в теор!я груп э факторизацию розвмзлас!, перввп^о як тёор!я скЬгаеттх уп, хоча час л1д чапу .т -тдялиоь окрем! результат». 1 про няс*<1 пчегт! групй.

Серед останн!х сл!д в|дм!тити теореми Кегеля про шйже розв'язн1оть л!н1йноУ групи виду Сг -ЛВ э майке нШпотеитниыи п1дгрупаш1

1 ¡6 та про пер!одичн1сть груп такого виду з пер1одичниш абедевими п!дгрупами /} , В , а та кож результата М.Ф.Сесек1на про так! групи з абелевиш черн!ковоышли та 'ск1нче1шо'породженими п1дгрупами <418,

В оста!ш1 десятир!ччя теор!я факторизованих груп вкходкть на новий етап ^чого розвнтку I форглусться як самост!йний розд1Л ?еор!¥ груп 1з СЕОхми ц!кавими проблемами, своср!дними методами та г' цпошонняи. до ¡шщйс областей математики. Характерною рисою цього пер!оду е значн! успехи у вивченн! неск!нченних груп з факторизацию, цо пов'язано з роботами Б.Лмберга, Д.I.Зайцева, М.О. Черна ва, В.Г.Васильева, Дг.Леннокса та Дк.Роузблейда, П.Хаулета, Д.Роб1нсона, Дг.Вильсона, Ы.М.Сучкова, Г.Хайиекена, С.Стоунхевера, ВЛ.Сущаыського, С.ВЛванова та !ншюс, { пояенюсться як викорнстан-ням новях 1Д8й та методгв, якГ з'явилиоь в теорП' груп, в тому числ! розширенням сфера дН класичнкх теорем I техн!чних прийом!в, так 1 розробкою ряду специф!чних метод!в, направлених на розв'йзу-вання тих чи 1ншк конкретних факторизац!йних задач. Серед таких специф!чних метод 1 в особливо е^тйвними при досл!дяеннях узагаль-кено розв»язних факторизованих груп виявились методи к5льцево1 л!неаризацП, розробц! та аабтосуванню яких присвячена дясерта-ц1йна робота. В оонов! цих мр.тод!в легхить встайовлекий в робот! зв'язод м!ж так эваними потр1йними факториЗаЩямй 1 радикяль-ниш /в смисл1 Дкекобсона/ к1льиями та Тх модульяими аналогами -радикальними модулями.

Мета роботи. На основ! энайдеиого зв'язку м!н факторизшд1ял"и ! рздикальтоми кгльпями розробити теоретик&-н!Льцйв1 глегодй доТа ЛОВИ уЭЯГсШЬЙСНО розв^язрит фПКТорИЗРГ^ЧИХ груп

i ^.ютооуряти ix для мг.омиу ьяппн про пт-пт.

Методика досл}дкень. Влкористовуються методи, констругаШ та рг.,ультати загальнох Teoptï груп, Teopiï л1н1йних алгебра'/чних груп, комутативно'г алгебрп, Teopiï групових к{лець та загально! Teopiï асощативних к!лець I модул1в.

Науковз новизна. Bel основн! результати дисертацИ е новими. Задопомогою конструкцП, ..ка сп!вставляе кохному радикально^ к!лыго деяку групу з факторязац!ею, що вязначаеться цпм к!льцем, побудовано приклади груп виду Ç в з абелевтая п1дгрупвкя

A i б « ¡по масть задан! властивост!, та класиф!кован1 вс! групи такого виду з локально цикл {читай п1дгрупаии без скруту / 1 g . Побудовши конкретн! приклади нерозв'язшп лШйнгас груп, що с добуткакп трьох попарно -.переставши абсловах п!дгруп, та доведена майже метабелев!сть лiniiiiroï групи, що с цобутком двсх переставите иайже абелзв^ п1дгруп. Розроблена теор!я радякальниг модул!в над г!перабелевими групами сличенного /секц!йного/ рангу i як наел!док доведена ciciîrqcimicTb такого рангу для г!перабеле-boï групи виду <5- » AS з п1дгрупамя fi 1 8 ск1нчекшп /секц1Шпя/ ранг!в. Побудован! такоя пршигада пер!одячшгЕ локально розв'язних груп такого виду, що мають неск£ичсннлй сегаЛЯняй ранг ! не е р-групами, у яких п1дгрупп Д i В .мгэть сп1пчегапй. ¿ек-ц!Гший ранг або s р-групаш. Вяяснека будова ск1кчзшшх груп виду з абелевими р-п1дгрупамл А t 3 , зокрема, доведена . розв'язШсть таких ipyn i знайдена точна оц!нка ступеня розв'язно-CTi.

Теоретична та практична ntmitCTB. Робота мае ïeopt отний характер. Одержан! результати та метода мояуть бути вякористая! в досл!дженнях з Teopiï узагальнепо розв'язнгас rpytJ та Teopiï групо-впх к!лепь. Вони вяе викорйстоЁувалксь р1зт?.тг аптораг,я при ¿.аз-в'язувзнп! гялу <1аг.ториз8ц1Йнйх задач, а такоя при читагш! спец{--1ЛЫПТХ курс i н для студентов, що спец}пл1зуються 3 алгебр}.

Адробашя роботи. OchobhI результатл диоертац1йноК роботи доцов!дались на ШьнароднШ конференцНЕ "Класичн1 алгебра¥чн! структура" /Варшава, 1988р./, ШзшароднЦ} конференцН з алгебра, присвячен!й пам'ят! A.I,Мальцева /Новосиб!рськ, 1989р./, Шжна-родн!й конференц!* "Теор1я груп: характера та структури" /Тренто, 1993р./, на XIX Всесоюзна алгебра?чн!й конференци /Льв1в, 1987р./, на УШ та X Всь.оюзншс сишоз!умах з теорП груп /Суми, 1982р., ГЪмель, 19Ь6г /, У! Симпоз1уы1 з теорН к!лець, алгебр та ыоду-л1в /Льв1в, 1990р./, на алгебр. , чних секiнарах 1мен! О.Г.Куроша • пр- Москсвсы. .«у ун1верситет1 /1985, 1967рр./ та "Алгебра i лог1-ка" в и.НовосисИроьку /1985,1989рр./, сем!нар! з теорП груп при Московскому ун!верситет! /1.988,1 ЬЭЗрр./ i неодноразово на алгеОаХчнощу сем1нар! при Кихвськовд ун1версйтат1 та ceMhiapi з теорН груп при 1нстктут1 математики АН Укра'1'ни.

Пуб л t каШ 1'. Основн i результат дисертацП опубл!кован! в 12 шботах автора, список ячих i-ведено в Kiratf автореферату. Во! роботи написан! автором.

Структура .та об'^м роботи. Диовр1ац!я складаетьоя з вотупу, трьох розд!л!в, под1Лених на 16 параграф!в, та списку л1тератури. На початку кожного розд1лу даеться короткий огдяд питань, я.к! в ньому розгллдавтьоя, та одерканих результатов. Список л!тератури мЮтить 79 назв. Загальний об'ем диоергацМ 178 машанопяоних сторЮТк.

3MICT РССОТИ.

Сукупн1сть po6ií, що прионячен! факториаац!ям груп, прирол'Ю розиадаеться на ди! частили, До nepniof в!днооятьоя досл!диенмя, «с беяпосереднйо торкавпс питания! як1 групп май« фякторияяцй я гада ними влпотюоотпш? Нанриклад, ехадяка ьър +вор?мч ФЛоит свердауе, що кь^та окйтчч&Кч rnvttá в пилу*

попарно переставши силовських п!дгруп, за Теоремой Крополлера ко;- ча ск1нченно породжена розв'язна м!н!максна група е добутком сличенного числа цинл1чних п!дгруп, нарешт! , процес ортогонал!-зацН Грака-ПШдта, якщо його застосувати до рядк!в невироджсио! (и«п") -матриц! над полем д!Псних чисел R , приводить до факто-ризацИ §L(n,lR)» , де 0(*,R) -орто-

гональна група ! . ~ група верхн!х трикутних матриць.

Одна? число отриианих результат1в такого типу, особливо тих, ск> стосуються факторязац!й виду <j»/J0 з наперед задзними штасти-востями п!дгруп A i В , поки що невелике, а ск1льки-кебудь загальних метод!в побудовя таких факторизап!й до останпього часу не було. Зрозум!ло, що г.га не розглядаеио випадок, коли один 1з многшик1в е нориолыюю п{дтрупою, л кий б!льве ^«язаний з теор!сю розширень груп. Останн».л часом, правда, в розгляцуваному питан"! нам!тився суттевяЗ прогрес, що пов»язано з роботами М.М.Сучкова,■ ВЛ.Сущанського та С.ВЛванова. Особливо сл!д в!дм!тити досить загальну консгрукц!и В.1.Сущанського, в оспов! яко! леяять в!нце-вчй добуток по посл!довност! груп постановок 1 з»допомого» якоГ, зокреиа, для будь-якого простого числа р будуеться ф1я!тнэ-аярокси-мована група виду - /б з локально ск!нченними р-п^ДП-упакя

А 16 , що мае елементп не'ск!пчснного порядку t тому не с р-трупов. Однак вс! запропонован! конструкцИ приводить до побудови груп, в якоцусь смисл1 далеких в!д таких в!доинх fciacfa як локально ск!нченн; та локально розв'дзн! групи.

Друга частина досл!джепь ггв'яэана з питаниям: як1 ластивоо-т! груп, но гаоть факторизад!» з задаиими мноышкамя? Вони мога-вуються, по-перие, прагненням знайти по мояливост! б1лыи простиЯ cnocf6 опису будорп групи, мяоти на уваз! звести Пого до опи^у сп!вчноеник!в. По-друге, ч!тке розум!яня будови факторизовангас груп дозволяв, пв'палчо, не шукяти факторпзтйн taw, до YY не?.<п,

та не пробувати будувати те, що неможливо, 1ншиш словами, яйцо перший напрямок мае на Mari знайти доотат«1 умови факторизованост1

)упи, в тому чиол! t припади таких груп, то другий ц!кавитьоя необходимый умовами, В останньому напрямку зроблено значно б!льше, особлиьо у випадку узагальнено розв'язних та пер1оди,....сс груп. Проблематшса цього напрямку бере св!й початок в!д згадувано! вже теореми 1то i де'1~лыю викладена в недавшх оглядов!й статт1 Л;С, Каз'1р1на i Ji.;1. пурдаченка У та шнографН Б. Aj.rfepm, С.^ранч1оз1

1 Ф.де ддоьанн1 2//, а такой du. ^ paHHix оглядових статтях Д.1.

За г *ва Л. ..КазарЫа ^, д. Рой ¡неона ^, Б.Амборга 6/ та ыоно-графи М.С.ЧернЛкова я;и глстять поряД з формулюванняш отри-ыаних тут результат1в та анализом застосованих метод1в такок i деяк! t!кав1 з р1зних точок зору вЦкрйт! питания» ЫдаШшо, що ■ряд питань, як1 стосуються факторизац1й, г.цехитьоя в "КоуровскоА тетради" - в1дош«у зб!рнику нерозв'яэних задач Teopiï.rpyn»

пазарин Л.С. ,Курдаченко Ji.A, Условия конечности и факторизации в бесконечных группах // Успехи мат. наук* - 1992. - 47,ЖЗ, -С. 75 - 114,

2

Arv4rg B.,Franoio3i Э.,(5в Giovanni ï1. îroduetô ot вгoitpb. -Oxiordt Clarendoa Préaa, 1992» - 220p.

"Зайцев Д.И, Группы операторов конечного ранга и вх применения / YÎ Всес. стдп. по теории i^yrro, Сборник наяных трудов. - Киев: Наук, думка. - -С» 22 - S7.

4Казарин Л.С. Ipynnu о факторизацией /Ярославль, 1981. 79о,- Дэп. ВИНИТИ, ft 3900-81.

с

"RoMnoon D.J.S» ïniiftite fèctorieéa groupa // Rend.Ssfn.Mftt^fiB. Mliand, - 19ЭЭ.- 53,naé3i- Ь 34?

6АгаЪвгв В, Infinité foetorlÊed ¿ttrnpe /f bèetiNû- 1^80.~ 1390. - P. 1 - 24.

^Черников H.С. Грути, разлбаиш« e ярдкзбеденйй fio-"pyna. - K»î©fi: Нйук. -

ДисертагЦя в однаков!й м!р! мае в!дноиення до ложного з вш.заних двох напрямк!в i прясвячена розробц! припципово нового птдходу до розв'язування задач факторязацП для узагальнено розв»-язних груп, який дозволяв не лжзе.дати в1даов1дь на багато пя-гань, про як! йкла мовз, ала Я навести нов! доведения ряду теорем, cío отриман! panicie, з едг и теоретяко-к!льцево1 точкп зору. В основ! цього п!дходу леасять добре в!дояе поняттл радикального /в смиел! Джекобаона/ п!льця, яке п!эн!ше привело до поняття радикального модуля, щ0 дозволяло 3 nOBHifl r.!ipi застосовувэти при BTTD— чен»1 узагальнепо розв'язнгос факторизсвшш груп теор!с к!лець та модул!в* Як вклеилось, Mis радикальными к!льцяшт i деякяш добут-кага груп ícriye TfcmtJI зв'язек, з опису якого т почпемо вяклал зм!оту первого розд!лу дясертацП,

Нехпй М - група j групога оператор!в A i Q* N ДЛ Ух ппп1глр;г'.<кй добуток з нормальною п!дгрупоп jNf . В §1 розгляда-еться питания про те, коли в и»-ому рлпiглряг.'о^ дсбутку !снув тпгл й!дгругга $ , со 1 ~М А8 46 1 як так! дойутют по-

будуватя. В св!й час ще Н.Ф.Сасвк!н пси!тив, що семе до еивчсння такта добутк!в часто зводиться вивченнл груп, фзкторизотатах двог.э переставят.« п!дгрупамг.

Д!йсно, яюцо група Н в добутксм /-/^X"У двох п!дгруп X У 1 М - доиЬтыт нормальна л!дгрут в , то, покладаоти Сг'МХ^МУ ♦ У 1 Б * упМХ , маемо

• до *ого й п!дгрупа пбсчт, то перетяни М А /1 1 М ^ 8 3 нормальниг.и .. ¡дгрупамя й Ст I то\!у перех!д До (JeKTop-rpyna <^/(МпА)(Мов) дозсо-ллч пятить ввагати, цо Q* Ил В '/б

Жлпосгдь па üfipzy чистину гитаякя, явэ розглядяетьоя, то HtcT'-ítbcri г> тлгр?м/ Т. I, 'v'jcüTb прости: тппя nlnrpyná g leay« •rp.l! i Ti.nt,.,H , ко.«л tcftye гз«ом>?р£{2м rpymr опаря-

тор 1в А на групу M , юбю таке в1дображення JiA—*M

la А на M , цо для 0удь-яких елекент!в

а' i3 А . Хоча в аагальноцу випадку така в!дпов1дь не що

1нше , як формуливання цього питания в 1ншкх терм1нах, вона п!д-

казуе в!дпов!дь на друху частину питания, вказуючи в . ^якому сено!

ун1версальний метод побудови розглядуваних нап!впрямих добутк!в,

А саые, яздо А - дов!льна трупа, то за групу И можна взяти т!

i лпда т! груг-', для яких одночасно моиш вказати гомоморф!зм

—» Auè M групи А в -рупу автоморф!зм!в /W M гру-t- i пи .M та rioL язаний а ним схрещений гомоморф! эм J : А —* M

групи /\ на групу M toöto такий, що Jw* ) - J Ca'J (а) для

йудь-яких л , & la А . Наприклад, за ff заведи мояна взяти

факте, -групу груни /4 , якщо за гомоморф i эм / : А —- А^ M

взяти трив!алышй юиомарфхзм, а як пов'язаний а ним схрещений

гомоморф!зм J -А — M - канон!чний гомоморф!зм групи /f

HR ГРУПУ И • '

Зрозум1ло, що нетрив!альн1 приклади такого типу 1снують уде

не заввди. Один загальний cnoctd ïx побудови вииладений в § 2 1

груитуаться на иаступяому спостереженн1¡

якщо А г приеднана група радикального к!льця R , a M -

його адитивна хрупа, то M мояна розглядати як груну а групою

оператор!» А , в!дносно якох в!дображення к!льця R на cede

с схрещеним гомонорс^емом групи А па rpytty M «

Нагадаемо, що асоц!атявне к1льце ц наэивавтьоя радикальним,

якщо мномша'його елемент!в утворюс ipyny в!дносно олерац! ï приед-

наного множення + ( * , $ t R ) , яка називавться

приеднаною групою к!льця R J часто йояначйетьоя Ч"рез Я* •

АДКТИПНУ Групу МОЖЯа рОППЯПЯЧ'И R4 Р'-МОДЛЬ, пкщо ппадоти

' ддя'будь-яких г,5«гЯ .

Стке, у в1дпов!дноку нап!впрямоиу дсбутку (?т» М А адц-тивно! групп М радикачьного и1лтя ,й. з його присдпаною тру-пою А 1онус така п!д1рупа 8 , Сг-М-М-Млв >. ^ «Ильи того, в ~ { • ГРУПУ > побудовану таким чином, ми навиваемо групою, ассц!йованою з радикальним к!льце.. й,, . Лема I 1з § 2 розкривас найпростш! зв'язки м!х властивостяш такого к1ль-ця 1 властивостямн асоц1йованог з ним групп. Грунтуючись на ц!й леи!,лзгко навести приклада груд, що датаь негативну в!дчов1дь на паступне питания 1з згаданог вк^е ишядово! статт! ДЛ.Зайцева 8Л чи буде трупа , що мае три абелевг пигрупи А , В I С , пов'язан! сп1вв1дношеннями Лов -•= &пС =/)г\( =■{ та Сга /1 в --ВС » пер!одичною /маги ок!нченний ранг/, ягсц

одна 13 пхдгру" Д , 3 , С нер1одична /в1дпов!дно мае скЫ-чонк :й ранг/. А саке, такими в, наириклад, трупа, асоцпювана з радикальним к{льцем формадышх стеваневих ряд!в В1д од!цсI зышкн без в!льних член1в над полем 1з р елв(лент1в,та, в1дповц!,но, трупа, асоц1йована э радикальним к!льцем рацюналышх чисел з чисельнчка-ми, кратшали простому числу р, та знакеншшаш, що не д!лятьсп на р. Зауваяимэ в зз'язку з цкм, що у вказаних прикладах трупа Сг п добутком абелэвих Шдгруц А, I & , А одна яких

И6 чистить 131ДМ1ШШХ В1Д оданиц! нормальних п{Д1руп гоули Ст -(Такт, яки# впэрше бун п!дкрнг®1 нЛ'.йроюгспвян досить отладят способом,

й §3 п?ряаго розд{лу дасертвцП м'гзиочлюеть.л, що роли гр*т> М } /1 пбеле»!, то рданэ труня § , то мае оозклчд «• * N -М " И * (5 'АН » в А" 6 - / , о?рнхан-.

епггго'те!, да|Я ,й<"Я й '",

Теорема 1,2. Нехай М - абелева група э абелевоп групою оператор!в А 1 нехай ф» М - 1'х нап!впрямий

добуток. В груп! О- тод! 1 т!льки тод! !снуе така п!дгрупа 0 , по <^«-Ма/4«Ма0». д 1 , коли групу 0 можна

ототожнити з групою, асоц!йованою з деяким комуталявним радикаль-ним к!льцем.

Ця теорема дозволлс вивчахи групи, ио розкладаються в добуток двох абелеЕЯх п!дгруп, засобами теорП комутативних к!лець. Для 1лыстрац!У в § 3 зДдопомогою ц!сз теорем доводятьоя деяк1 теоре-ми 1з роб!т 'М.Зайцева. Такой пор1в!шно просто отримуеться позитивна в!дпов1дь на ще два запитання 1з эгадувалоУ где його огля-дово!' статт! /пропоэтил 1.2/,

В § 4 отримана повна класиф!кац!я груп вид? ^ »э локально цикл1чними 1пдгрупэ;я1 без скруту I В , то розв'яэуп задачу 2.706/ 1з "КоуровскоЯ тетради", яку поставив Н.О.Сесек1п. В двох крайи!х випадках будова таких груп була в1дома. Як вяе ЗГАДУВЭЛОСЬ, ГруПИ ЦЬСГО ВИДУ з нвск1нчснлиш цпкл!чниш П1ДГРУ-наш! /}, В тп перетииом описали Реде!' та Коя, 3

1ншого боку, Д.1.Зайцев дов^в, що коли п!дгрупи А 1 в 1зомор~ Фн1 адптиЕн!й труп 1 рац1ояалы(кх чисел, то кохна група виду 0.-~ /¡в абэлева, Наступив теорема опйс-уб будову розглядувачих груп в загальиому гипадку.

Теорема' 1,3, Нехай група $ е добутком £ ЯО'пльно ЦШОЛЧПИХ <!1дгруп без окруту / I б . Тол} 3 то»!Н?ОТР до порег мчотП1'"1в А , б ''"Ч мпеце одр с я (ыстлтта

гятля^чт-:

1/ <*, * /1 > 8 - кпи1тпрчЯ1«(! доЗугог: нормально'] н(дгр>пг' Л з п1дп>упоп ; порлдок ^истор-тря'Я В ¡Ср (А) «<? перерн-

щуе

3/ Ч71 , Ср('0¥ 1 ! Н • •• «иклНнл груго;

8/ , /W,<»> . та ¿W

для BOix it б , да - i30H0p$t3M групи 6 в rpjrny А. i

4/ <}-•*(/*, «А )<r^><£> » /4'А.<*> . &*В.<6> ,

«*еА 4 o'i та . прэтоыу af - «;< t

С * С' ^ BoU f ^ та EOlx f »

is ^ * А^в^ ; де ^ npodtras ынояину Eoix простих чисел, знаком П позначавтьоя прямий добутоя, знаком V - прягяй добуток з об'еднаноы центральною гйдгрупою ,Aft8i-i , i 6. - множпки нрпарних npootrix чисел з пуотпм перетином, % - дспов-ненля до об'сдрання о и б а mhosehi eojx простнх чисел, /i f - повн! прообраза Q A i В силовоысах ^~ni;:rpyn

фактор-хруп А/АЛ& i В/А^в н1дпол1дно та 1j> -пер{одачиа частика п!дгрзта Q.^ , причалу

5,1/ з точн1стю до перзстанойки кножяик1в Ар , г'д-rpyna dfp в одШез а наступит

я/ ^ * ^ х Д, - /у Y ^ » ~ локально цикл1чиа

j>-група ta icir/s гаклй inovojylism у .• — А , iro

б/ e7/i - л Aj. ^ , до Af* я f /#лв ,

й,- <&> ) я /Л //,.,3 i - I (^M)fl / > -

цяклНнл. «~грут, причсму nrto м v. i , або т е , й | ,

I '

, fipt.M лигадку , ,

п чкому Р < i <'»- i ;

-Т'/ у, - ,5 , ' V А Л- . /?, • -vs />> Л) 3

Л- • ¡К*<С>(.1г.п) * <■ ? Т! -

ado д1едралька /зокрека четворпа/ група з i - { , h % !i , ado узагальнена група кватерШоШв з t«2 , и>-3 , vpmoirj

K'l .

't+¿ i

Сё,а1=(йЧ3) i tí«, <0*61*645 )W;<¿JV ,

5.2/[Вг>У Wards ЛМ J

fíJl/T '

5.3/ f>» y ß*lm% лля BClx st6 J ptcux'

5.4/ с, ] «>{ для bcIï ví 5 ïa eoík sí-íT .

&iym~3L..o, по на одполу s otüiiíb доггдошш aicï тсоре?.д кг Еикорастовуско клас;:ф1кац1к радакаглних к1лоць з ц::кл1чпой пр5;кд-накои груш», яку огршаля il шор 1 Еддр1да,

В § 5 иоршого рсзд1лу розглядаиься irara::i :, л;;i пов'язая! а вшятням л1кШ:;пс труп, u¡o розкладак-тьоя в добуток пераставгш Шдгрул, i шзькшг до абелехшх. Згадуьана ие теорема В1«аадта-Кегсля стг.ерд.:гус, що сзг1нчекпа група, яка роакдадагться в добуток попарно riopöCTCEUKX нЬ'шмск-ггак Шдгруп, розв'язяа. Питания про слравздлкв1огь uieï теорвки для лШйккх хруп розглядалось Кеге-лем Нем доведено, up колп <5. - л¡кifina група, яга розкладави^-ся в добуток попарно переставит локально ¡Нльнотентнкх Шдгруп

<5. » iîiit\ , Ç роэв'язна в шшго^у )з наступних tw-пзд:1вг I/ групп Сг окИмеино породеека; 2/ ti" к ; 3/ и >з i г 1уток будь-яних трьох Шдгруп £ ■ рояи'п?ннй, Одна к питп'.'нп про 1снуваш:я ¡mponti»îisîioï л)н!Гно! групп, яча е де^утком трьо* непарно нерппгплпих локально Шлмготрнтних iiînrpyn, .тмишилогч. п)лкркт1г,1 /зпу'углиня до тепреш Í.H ta ^Л Цаптупчн "'стп.хгущit

^tr^rrt o.fl. ^n th« of feetnrJsed 7 ртпнг- П

.UHnnis Pntb. - nf.%- -

дозволяе легко будуватя прлкласт груп, по даггь в!длоз!дь як на не,

та' i на делк! lirni пятанкя.

НохаЯ Ц '- асоц1атиЕпе н!льие i R, - к!льпе, отримака 1э >1

щпедканням одитш! I, ягада & TY не гас, та к,-(! в протпзпму

раз!. Позначяио через (}г(Я) мультппл!катигпу групу вс!х (2x2)-

;.:атр:тць над £ , по кон руентн! з оцяшгшоя матрице» по модуля

Я , а через -f.. С») - трансвавд!я з елекэнтом ч з позяцН f£.J).

!/ J Теорема 1.4. НехаЯ ii - радякальпе к!лъцо, А - п!д-

група групп (ß) , г,о складасться з вс!х Ii' д!агопалъних мат-

риць, 3- ilt(-i)A t С» *г,С-*)А <),(«) -Год!

* Ate 1 п!дгрупгг А , ß ! С перзставн!, тебто

Aß-ЗА , АС-CA та ВС'Св .

Як один з ;;асл1дк!в nie У теорега в!дм!ткчг чегатяьяу в!дпсв!д*

на закптйнпя Хуппгрга ' про обмепен1сть ступепя рогл'язност!

бутку п перзстакнтх цикл Инга п!дгруп. Д1Ясно, лею f> - kLtv

t

цв линк!в по модулю р , крат»чх числу j>1 , де wsä , то

фактор-група груди 0Г, (Р-) по i"f центру е ск!гпенпоэ ¿-групою,

по с добутко'* трьох переставших цшсл1чггах п!дгрул, ступ!яь розв»гз-

ност! яко! необг.гсг.ено роста з" ростом числа /пасл!док 5.1/, У

пападиу д > £ доведении !снуглннл />-груп з такой властиь.стп

то/

приснячена робота В.Г.Васяльгга яка грр'тустхся па досить окладгпх обчислеянязс. (йпак копкретяих прпклад!в в н!Я иемас.

Ясно, пр коли к!льца Я ко?*утатав;!е, то п!дгрупн /\ , О i С групп ^г.(Р-) абелов!. Отге, якцэ за il зэятп будь- :<э ч!дм!(гт?е в!д нуля радякалэне п!дк!льце поля, мультипл!; ;тив.ча група я ко го мЮтить олемепти неек1кчеиного порядпу, то QjiM

^Huppert В. Endliche Oruppsh 1 .-Berlr^i Sprinjer, 19S7.- 79Г 'S. ' f Васильев п. Г. 0 ctynsHH разрэаакоети яропз=^?г?:пй

щтличткмк групт//Ллреб:рл я логнкд - tS?3.- - 50?.

нерозв'язна лШйна група, що дае позитивну в1ДООв1дь на вказапа вище запитакня Кегеля /насл1док 5.2/,

HapeiüTi, в зв'язку з теоремою 1то про метабелев!оть хруп виду q. .^g з абелевимл п!дгрупаш A i 6 , мохна припустите, що групи такого виду майке ыетабелев!, я.оцо п!дгрупк A i 6 майке вбелев!. Б такому вигляд! це припущення сформульаванз Д», В1льсоном 1...J ке, зокреиа, доведено, що воио виконуетьоя,-якщэ хрупа С- майже розв'язна та ы1н!максна, а такой, коли вана $iHin:o апроксимована. Наступи теорема п1дТЕардауе це ирипущання i • шшадку, эли група Q- дШйна.

Теореме 1.5. НехаЕ % - лШйна ipyna виду & а щйке ебвлевкми п1дгруиаии A i 0 . Тод! група майже кета' .лева,

Потр1бно в1да1татк, що ил теорема не моде бути виведека ia в1домо'1 теорем Кегеля upo майке розв'язн!сть л1н1Йно! групи виду § »6 3 1ййже Шлы. .тентнимя п1дгрупаш A i 8 , ос-к!лькк нÍ сака теорема Кегеля, ni П доведения не дають híhko'í оц1нкх стуасгл розв'язноот! u 1дгрупя оконченного Пщексу групи C¡- . Б1лыа того, наше доведешш-взагал! не викориотовус той ф&лг, щи група с> майке розв»язиа. Голоьну роль в ньому в1д{гра-вть деяк! Tonbj:ori4Hl м1ркуваккя4 що пов'язан! з топологий 3е-pJoKC-ro, а таког. наступна лома, яка с невеликим увйгвльненчям теории 1то i мае caMOOTiííHe значения,

Л е к а 5.3. Нехай ft - групп, fi i 0 - Y! абелев» иI групп ! Н - така п!дгрупа в , щб- Н í А В . /Зяуважчмо, иш

fifi ~ гаояшш i йе обоа'язково п!дгр.упп/, Тод{ п}дгрупа ' f( метаболена.

^Wíleon í.S, Ой pse3uots o,f soluble greupe r»f fluítc ranV // 616Kaen(,.Wath.nelTeíí.ot. - 15в5.>- r. JST - Vi*.

В другому розд!л! дисертацП вводиться-псняття радикального иог;лл над групоп, що дозволяе трактуватп факторизацШг! задач!, як! ми розгллдяемо, на мов! тсор 11' к!лець та модул!в, та влвчавть-ся будова такого модуля над групо'ю сличенного /секц!йного/ рангу. Як насл!док основнкх рсзультат!в рояд1лу, .що м!стяться в теоремах А - С, отриман! в!дпов!д1 на деяк! питания про узагальчено розв'-язн! (Тракторизован! групп.

НехаЯ к ~ кочутативяв к!лы:е з одияпцею I, И. Сг - грУ-повч к!льио групп £ над К I М ~ прлвий ,'<-модуль. Сэтуа-ц!я, коли модуль М з схрещеяям инлжорфним образом групи Сг , мае для нас особлива значения. По-перяе, тому, що типовям прикладом такого модуля коне бути ко,и 1а радикальна К-алгебра, якщо ?! розглядати як модуль над свое» приеднанеп грутк-. О ц!е7 причини

К <?-модул!, як! е схрещеними гомоморфнт-га образами групи Ц ,

•А-

ми будемо назкватп коротко радикальншя -модулями, роглядаши 14- як деякиЯ ?/одульшй аналог ^эдикальнях К-алгебр. По-друге, тому, 1"о нап!шрямяй добуток М * & модуля М з групоя Сг мас так звяну потр!йну факторизац!ю, тобто тану п!дгрупу И » зо МЦ41 • Останне вишвшае !з наступно! теоремп,

яга характорязув радикальн! модул! 3 диох точок зору: теор!) я!-лпць та теор!? груп, ! в эначн!й м!р! мотивуе !х влйчйюш.

Теорема 2.1. Нехай $ - група та м - правил !<<$-«'пдулв. Тод! наступи! твердяення екв'вз.тентн!:

I/ М - ря-.лкальний К-модуль;

2/ р к!лмд! К0- !снуг та кий правий !деял у , якиЯ •.'¡птп7'-<"'г п фундаментальному 1деал! (ф ) , що

лк(а)" с-'-»?

I ирло1 -модул! м та л ч ((?)/? 1зем9р?ч1;

3/ г* (("¡а I глр,тмо$;у до5у?1(у /ч л ^ гюдулч М Э групся £

i снуе така п!дгрупа H »

Як шпливае з ulei теореми, у вжшдку абелаво? група Q. ра-днкалый к<|-модул! фактично вичерпуються комутативташ радика-льшми К-алгебрами з приеднашши групами, що g го(. ;,..орфшаш образами групп § . Цей факт на mobí рад:1кзльних к1лець шститься в теорем! 1,2.

В друро1г' розд!л! основна увага придхляетьоя радикальним модулям над групш.ш сличенного .мбального в cenci A.1,1.!альцева ра' у, який i. назнваемо просто рангом, та грудами ок!нченного секцШюго рангу в сенг» наступного означения. Група Q- мае ckíh-ченний секцшний ранг, якщо вона не мае нескхнченнкх елементарнюс абел нх секд!й. Ща до недавнього часу вех bíaouí групп сличенного ранту вичерпувались майсе гшераЗелавиш групами сличенного рангу, Нйгадае.мо, що група майне гШарабелева, лкщо в н i ti с п1дгру-па ск!нченкого inneKcy, яка i.„e зростаючии ряд нормальних п1дгруп з абелевши факторами. За останн! 15 рок!в в роботах О.Ю.Ольшан-ськохх) та його учн!в побудовак1 i (Нш! црнклади груп скйнешюго * рангу, йаш! метод», однак, використовують делкЛ снец!альн! власгл-Бост! майке г1пераоолевих груп сличенного ранху, як! в1дсутн1 або нов!дйм! у випадку довхльних груп. O/jhígio s таких властивоотей s кваз!пер!одичн!оть, яка вязначаеться наступтш чином.

1"рупа Cf кваз!перюдична, якщо для будь-яко? П спадио"! но-сл!довиост! п!дгруп > fy >■■■ > > C,nti •> ... для маГже ecix i\ д!дгруна <5-n пер!одична над , тобто для конного ¿¡

!з Qfi значиться таке число mil , що ' f- lltt

feaeraraua íeapetói xapaj»ejy*;rc Ыкиоиоки* «ia Hadloau^wtcrw, кеаэioepiодичк!ctú i ср1мченн(е*о wnURiur« ряк».у в pfnsp affejsofeiw rpyr«a¿.

Taopaua 2.2, Matea г!перабелева група оконченного сек-ц!йного рангу кваз!пер!одична. Нцшаки, ягацо майхе г1нерабелева група fr кваз!пер!одична 1 t(<j) - 'ii найб1льша нормальна nepl-одична п1дгрупа, то фактор-грута Q/4(Q) мае ск1нченний ранг.

Головина результат другого розд!лу отосуетьоя будови радика-лыгах модул!в над кваз!пер!одичшши групами ск!нчен..лго рангу.

Теорема А, Нехай К - область ц!л!отност!, Q. - ква-з!пер!одичиа група ок1иченного ращу, А - И нормальна локально и!льпотентка п1дгрупа i М - радикальний «(}.-модуль, який не глав скруту як «-модуль, Тод! (/3)" анулюв М для деякого

h~¡y i , причому найменшэ а з ц!ею властив1стю не перевищув деякого числа, що залежить лише в!д рангу групи Q. .

3 niei "еореми та теореми 2,2 випливае друга основна теорема.

Т е о р е i а В. Нехай ф - майжв г!перабелева група окаченного рангу i - радикальний К-модуль. Тод! адитивна гру-па модуля М мае ск1нченний ранг.

Якцо к1льце К в полем характеристики р * о , то в оотан-н1й теорем! умову ск!нченност! ращу ыожна поолабити до умов» -;с 1 и ченноот! секц1йного рангу, а вионовок зробити б!льш точним.

Терема С. Нехай к - поле характеристики ръо , § майяе г.1перабелева група сличенного секцШюго гчн.у, А - и нормальна абелева п!дгрупа I М - радикальний /{^-модуль. 'IодI

I/ анулюв М для деякого f>»/ ;

2/ яки!0 J i ф —г охрещений гомоморф!вм групи (J на М , то фактор-група A/dñKnJ в при ,ск!нч»п

ноп ^>-групоп, а при - групоп без скруту;

•V К "РОЭМ! РП!СТТ: МОДУЛЯ (Ц СК|(1ЧРЯНП ! ¥0*й бу-ГИ в!ДМ1Н."иМ в!д нуля лтпч v " , «-оли к е еч? 'вт»ич рчятгрнчям просто го поля.

Важлкву роль в доведешЦ навэденшс трьох теорем в1дхграс -настуша теорема, яка узагалыюе в!дому теорему Бергмана t мае самост!йяе значения.

Теорема 2«г Нехай К - поле, А - абе£ева група без укруту CKiiweniioro рангу а групою onoparopic та 3 - в!д-у mthhhfi е!д пуля, (J--i"EapiaiiTHKfi {дес групово! алтари ¡¡fi . ПрипустЕмо, що група А фпитно апроксимована, рад!онально нез-в{дка в1дноояо Q f, як ¿?Q -модуль, нетерова. Тод! або cfcw (М/^) * ■*» , або в К А е така оукупн1сть (J--ihe3-piaHTHHX {де^т!» >Уе э,.. ... , як! MictHTb 1деал J , ко

) <*> для Boix ii v i i перэгпа Л м!с—

титьбя в деяк-Oiiy гласному простор 'немакапыальяому {деал! алгебра КА

Вокрека, якцо £/ - максималышй -iHnapiajirmrii !деал в 1\А , то .

Як нася!док вастосування Теорем А - С в другому розд!л! отрипа но в1дпсв1д1 ка деяк! пряродп! питания, лк! шткають при вкачена! узагальнено розв'язкнх факторизованих tpyii. В явногду вйгля-д! ц! инталия сфордгльован!, наприклад,' в оглядов!й статтi Д.Го-dincoHa та "Коуровской тетради" /питания 9.54/ I иодягавть в наетушдаду: ки будэ /узагальнено/ розв'ягна хрупа виду Г- ft Н ■ м1н}мако*юю груною, вЮТовШ.'с хрупою оконченного ранту та групою окЬпешюго сскцимого рангу, ягапо такими с пШрупи ft 1 Н • 'iaciynni теореми, що Mfстять в!дпо&Ш на sinjiait! nanimmnn. ппо.)Г!Дками теорем А - С та тестей! ИЛ.

х е о i " •! в 2.44 Нехай чайке И явмбелева група Г' 5 цс-б-f ком Г- QН иiгг.груп <5 | (V , кажиа э я№ '-'fls ск(н-

-.ямиаК pair г /м( и ¡миссия/. Тол! група Г !'"!е еИк'нч.птг ц;»» /ч\

Теорема 2,5, Нехай Г - майае г1перабелева група виду Г' CfH з п!дгрупами (V t Н ск!нче1ших секц!йних ран-Пв. Тод! група Г 1136 ок1ичеиний сешЦйний ранг.

Зазначимо на зак!нчення, цо у випадку розв.'язноУ групи Г результат«, як1 м1стяться в теоремах 2.4 та 2.5, незалеано i з до-помогою iitimct метод is отр1шав Дд.В!льсон ^'. ^ jkom panime вони були анонсован! нами в тезах XIX Всесоюзно! алгебра'1Чно'1 кон-JepeHui'i, Зауважимо також, що поли група f локально розв'язна, то еисновок теореми 2.5 моав не виконувагиоь. В!дпов!дний приклад побудований нами ран!ше t м1ститься в заключному третьому роздал! дисертацП«

В ocuoBi цього розд1лу леииь наступне природнэ питания: чи буде група f\ , яка s добутком двох cboix ^-п!д1руа

A t 3 , <;<"а ■> -групою? Нагадаемо, цо це питания було поставлен. Ш.О.Кемхадзе !де з перше издания "Коуровской тетрад:!" /питан' ня 1.36/, У ьипадку ок!нченних та абелевюс. груп позитивна в!дпо-, й1дь на нього очевидна» Тому на таку и в1дпов!дь мояна спод!ва';адь ■ ! у випадку, коли нзск1нченна група мае деякий ряд э ск1нченни -и або абелевйми факторами, Там! досить широк! класи неск!нченних

груп, для яких в1дп0в1дь на вказанй питания позитивна, моина знай-

1 /

1 тй в шнографП М.0.т1арн!кова • . Однак, як мплиг,а(, з нпступно! теореми, вяе в клас! nepttwtrtirt локально розп'яэних груп Ыдпо-в!дь на нього невинна,

'"¡Шййй JtS, Soluble tiw>auet9 bf rtlb.'ffle* graupa ¡a nearly ftutjecHvs .ierltfations if J.Putft Mid ii.ipi.Aieftbta,-

fie,?, - p, m - 3i8.

'^i'llfftrt <7,3, SeluMe ггоирЗ rhlch atb nrelui*.. of amups of finite rnrl? // ЛД.т^оП - p. - <19.

Теорема 3.1. Для дов$льного простого чкола £ !сяуе пер!одячяа локально розв'язна хрупа , яка мае розклад

де М -.неск!нченна мИ1мальна нормальна елеменгарна абелева

Д-п1дгрупа хрупи (+, А - ф{н!тно алроксимо. ла ^'-п^група в ф ! <х - локально внутр!ин!Й авто- 1рф1зи порядку £ групи О- , що стабШзуе ряд £ .

Б1лып того, при цьому моЕна вважати, що п!дгрупа А мае одну 8 двох наотушппс влаотивоотей»

I/ - < ) для будь-якого заданого натурального

числа I

2/ £-ч? (во! силовоьк! п!дгрупи в А абелев! та ск!нчен-

н!.

Зокрека, яюцо в ц!й теорем! / - п{дгрупа э влаотив!стп I/ 1 , а ¿*-{*1> - проста число Мероена, або £»3 , а л»

- » , то ми одержуемо приклад непримарно! хрупи, що е добутком двбх ^>-п!дгруп, тобто негетивну в!дпов!дв яа питания, яке сфор-мульоваяе вищв. Яйцо х п1дхрупа А мае алаотив1оть 2/, то ма отримуемо приклад, про якжй вала шва вяще, а саме! пер1одичлу локально розв'язну групу веду «/(6 неок!нченного оекц1йного рангу, у яко! п1дгрупн А ! 8 мають ск1пченний оекц!йпий ранг. Не дае негативку в!дпов1дь на аапитаяня 11.1.9 1з описку нерозв»-язаиих вадяч огллдбво1 отатт1 Л,С.Казар!на

1нша область эастооуваиия сфоркул^вано! теорема - питания про ^ояуранг прямих доповнень в групах в операторами. А саме, нехай Г - розширення групи <} !з теореми 3.1 за допомогою цикл!чно1". грулчг породженоТ автоморф!эмом ы . Тод! Г - к <«*> ) а А . Тому, якщо п!дгрупа А примарна, то М *<у> - абелева £-трупа р локально н1льпотонтною ^»-хрупою оператор1в А • » яка

Истить нргк!нччнну /1-ксзв!дну п!дгрупу М сличенного ¡вдексу.

для яка! в M«<i«<> iciiye /4-{наар!антиого доповнення, Цэ дав нвгатиБну в!дпов!дь на запатапня ta робота Д.I.Зайцева

Доведении теореил 3.1 прнсвячений § I трэтього роад1лу дисер-?ац!1. Bono грунтуеться на заотооуванн! сн!нченно 1терованих в!н-цевга добутк!в та констругаШ !ндуктивно| границ!.

Як добре в!домо ! впершэ зазначено це О.Кзгеле. , група виду з Ебелэвими ^-п!дгрупами /I ! в завзди е ^>-гру-поэ. Тсь<у ц!лком природним в перех!д до груп,- як! мають б!лш склада! фэкториэацП в тери!нах абелевих ^-п!дгруп /113. Найб!льш вазлавяии серад них е так ¿ван! A -фактораэац! г. Цэ пов'язано з тим, що так! класичн! об'екти як дв!ч! транзитный групи та групя постановок рангу 3 масть впд Q ^АвА , Дв Д - це стайШзатор точки, а В - деяка цикл!чна п!дгрупа. Кр1м того, такого виду розклади, що назнвакяьоя розкладами Брга, Blfli таить вааляву роль при вивченн! груп Л! та л1п!йних алгебра-!чних груп.

Ясно, що в А в A -груп! Шдгрупи /J ! б справляить мвкшй вшвга на П будову пор!вшшо з групоп виду Ст * АЪ . Налряклад, на в!д?.ф1у в!д А б ^груп, як! за теоремою 1то метабе-лев!, Я1С0 А ! 0 абвлев!, ск!нченн! А&А -групи з абелевимт п}дгрупага /} l jj ппв!ть не обоз'йзково розв»язн', як покаэуе приклад npocToi яэабеДею! групи 3L(2tг") з , що роз-

кладатоя в добуток /\ в А э цккл!чною п!дгрупою А порядку i та влемянтарно*) абелевоп Шдгрупо» Й порядку

" ОДнак, якщо А ! в в абелешши f> -п1дгрупамп а од иго I тим . rtpoOiflM чиолоМ р , то койна сяПгоянна rpyttft гиду ,» . ABA

Т d

4 'Яайп^ч Д.И» о оуцчс .-.!)|»эвия гфпянх р"П">тея1»я в гггттчх <♦ оп*оч

Т0рЭМЧ / l'?fVr»HCtVWR«t ПО for«* гтучп. - l't>-r I'nT^t'i-'-vf «Я

; УПГГ. - П. - и.

розв'язка ступени, що не перевпщуе 4, хоча i но обов'язково s

р-групою. Це випливас 1з результат!в заключиих § 2 та § 3 третьего розд!лу дисертацН, що присвячен! вявчешго будови такт: АЪА -груп.

Теорема 3.3. Нехай (J. - ск{нченна А в А -група з вбелевими ^>-п!дгрупачи А i в та - И найб!лыпа нор-

мальна p-ittnrpyna. Тод! група розв'язна отупеня, що не пере-вищуе 4, 1 фактор-група ® п!дпрямим добутком хруп,

кокка з якюс при ^>>2 Изоморфна груп! S Ср", } дяя деякого простого числа та додатяих ц!лих чиоел м { п , а при р * £ - одн!й 1з груп або

Тут через 5 позначаеться деяка група порядку fy"

одповим1рних аф!нних перетворень над полем 13 елемзнт!в,

а через НО*,*) - Шдгрупа !ндексу 3 в rpyni BCix ДБ0вак1рта я^нних проетворень над полем ts 3 елемент!в.

Заувакимо, що ск!нченн! АЬЛ -груии з неабелевими ^>-н!дг-рупаш А t 6 не обов'язково розв'яан!, Наприклад, симетрична tpyna (ic е АвА -групою з силовсысою 2-п1д1рупсю А та д1-пгтрпльною nlnrpynoD 0 порядку 8.

Оснобн! положения дисертацП опубликован! в наступит роботах!

Г. Снсак Я.П. О конечных группах вида АВА // Алгебра и логика, -IS82. - 21,№3,- С. 344 - 356.

Снсак Я.II. Произведет« беоконечннх групп - Киов, 1982.-3(лс. -/Пре р./АН УССР. tiH-T математики; 82.f)3/. ;!, Снсак Я.П. Кон^чнда ABA-rpyrmw о иб^лппой р-подгоупиол А и циклической р-подгруппой В / Трутш и системы кх подгрупп. -Гц»»»: 'Лг-т ад УССР, - С, Iii - 4fc.

аз

4. Сысак Я,П. О строении конечных ABA-групп о абелевой подгруппой А и циклической подгруппой В / Строение групп и их подгрупнован характеризация. - Каев: Ин-r математики /Л УССР, 1984. - С. 33 46;

5. Сысак Я.П. Радиальные кольца и связанные с ними перестановоч-ше произведения групп // Вестн, М1У. Математика, механика. -1935. - '№. - С. 98.

6. Сысак Я.П. Произведения лок_льно циклических групп 0ез кручения // Алгебра и логика, - 1986. - 25,íffi. - С. 672 - 686.

7. Сысак Я.П. Радикальные модули НиД группам! конечного ранга / XIX Всзсоез. алгебраич. конференция. Львов, 9 - II сентября 1987 г.: Тез. сообщ, - Львов, 1987. - 4.1. - С. 272.

8. Сысак Я.П. Конечные ЛВА-грушш с абелевами р-подгруппами А и В // Укр..мат журн, - IS88. - 40.JÍÜ. - С. 356 - 361.

9. С :сак Я.И, 0 произведениях почти абелешх групп / Исследование групп с ограничениями для подгрупп. - Киев: Ин-т матьиатики АН УССР, 1988. - С. 81 - 85.

10. Сысак Я.П. Радикальные модули над группами конечного ранга -Киев, 1989. - 51с. -/Лрепр./АН УССР. 11Н-Т математику 89.18/.

П, Сысак Я.П. Идеалы в групповнх алгебрах групп конечного ранга / Мевдунар. конф, по алгебре, посвящеиняя памяти .И,Мальцева, Новосибирск, 31 - 26 августа 1989 г.: Tes. докл. по теории групп. - Новосибирск, 1989. - С. 118, '

Т2. Сцсбк Я.II, Линейные группч, разложятп и произведение лока-шю нмгпотентннх подгрупп // Успехи мтт. нчуп, - 990. - 45,.'И, С, 165 - Ififi,