Комбинаторная теорема о моментных мерах и гиббсовские точечные процессы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

« итпыэ-зиъ ьч ампна-зт, •ъщицригпмэ-зшо. ЪРЬЧ1ГЫ* ^ЬБикиЪ ^ишхиииршд

1Гш2трзшй -¿ш^ Ц^пиф

апьаириъиииъипииипьзю-ШИШЪЗиЗМг ОИФЬ№ ЧЬРИР-ЬРЗШ, ьч ОФРиЗЦЪ иЬБиЗКЬ Т1РП5ЪиЪЬГ

Ц 01.05 - <1ш}иШш11шСшр.|ш0 тЪишрдоС Ь115шрЬ11шш111(ш1}шО 411Йш1{шчрп1р_)т0 |1ши0и^11ттррп5р ЗДс^щ-йшрЬ^иигфЦш^шО ч{1штр]тйСЬр]1 рЬийшйпф О^шш^иШ иш1п]1Йшй]1 Ьи^дйшй штЬйи^ипитр^Ш

иьаигио-ьг

ЬрЬиий 1998

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РА ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Машурян Айк Ашотович

КОМБИНАТОРНАЯ ТЕОРЕМА О МОМЕНТНЫХ МЕРАХ И ГИББСОВСКИЕ ТОЧЕЧНЫЕ ПРОЦЕССЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности Ц 01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

Ереван - 1998

U'tuiuunuüpp Цштшр^Ь] t

bpt¡iuiü)i iqbuiuiljuiü himSuJiuujpuiOf) hiiiiluiGiuljUiGinpjujti uibumpjuiü bi йшрЬй'инлЬЦш1)шС i(jilSui4ujq[mtpjuiQ uJiípfinQmü"

4-|unuilji ti цЬЦи^шр

TluipuinGiuljuiü püiy}]iiSuifunuGhp'

vi Ч-liU. ш1)шпьй[111пи,

$[iq.-tSuip. qfiinmpjniüQbp[i rpiljuinp, цргфЬипр

a. vi. ^йирирзпмгзиъ

¡JjJiq.-tfiup. q[imnipjmí¡Qbpti lyiljinnp, щргфЬипр P.U.-bU-lUTlbSeUb

$>}iq -йшр. qJiuinipjniQGbpJi phljQuidiu, lyigbGm

и. а. <э-шэ-ш.зиъ

Цлшоштшр tyuiqi5uilibpu|f.ipjniG' Ч-UIL |iü}>npi5iumtiliiujti bi ш^шпйшшшдйшй

iqpnpibüObpti |iGumfiinnim

Tioi^inujmDmpjniQo inbqfi IjniGbGui 1998p. шицфф 29-|iG d. 14——fiD 4>jiq.-üu]p. qtimni-pjru.-ähpti рЬЦйшйпф qfiinuilpuG uíumti6uiG|i 2GnphúuiG tfiuuGujq|imu]l(UiG 053 tunphpqji Gfiu-mnii5. b"K tfuipbüuiin|il)ur)|i фшЦпцшЬштй .375049 р. bpbuuG. U. UtuümlijmG 1 huuugbnü: UinbGiufununipjuiGQ ЦшрЬ^ t öiuGnpuiüuiL qpuiquipuiümtf: UbriiSuiqJipG шпшрфий t "Ii" J^-p^fi 1998p.

UuiuGuiqtiuiwl^uiG 053 (imphpqfi qjimuiljUjG ршртпиушр. Jihq.-iSiup. qJimnipjiuGGbpli рЫ^йшйт., qiigbüm'

и. о^иъзцъ

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Ереванского государственного университета

Научный руководитель —

Официальные оппоненты —

Ведущая организация —

академик HAH РА,

доктор физ.-мат. наук, профессор

Р. В. АМБАРЦУМЯН

доктор физ.-мат. наук, профессор Б. С. НАХАПЕТЯН кандидат фи ->.ат. наук, доцент К. Р. ТАТАЛ>:Н

Институт проблем информатики I" автоматизации HAH РА

Защита состоится 29 апреля :098г. в 14е часог. ка заседании спе, иалитерованного совета 053 по присуждению ученой степени кандидата физико-ма.с-мй-тических Не'К на факультете математика ЕГУ по адресу: 37ЭД49 г. Ереван, ул. А. М.-.-гукяна, 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЕГУ. Автореферат разослан кирта !998г.

Ученый секретарь сьеииа-шзировс.'.ного совета 053. ка)-.' ¡-.дат физ.-мат наук, доцент

В. К. ОГАНЯН

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Теория случайных точечных процессов представляет собой одну из важных и интенсивно развивающихся глав теории случайных процессов. Начало исследований по теории случайных точечных процессов восходит к работам А. II. Колмогорова, А. Я. Хинчина, Ю. В. Прохорова. Большой вклад в эту теорию сделан немецкой школой в 1960-1980 годах. Ее результаты изложены в капитальной монографии [1]. Результаты англо-американской школы изложены в монографии [2].

К теории случайных точечных процессов принадлежат некоторые главы статистической физики. В частности, т. н. гиббсовские процессы по существу представляют собой случайные точечные процессы В изучении гиббсовских процессов приоритет принадлежит советской школе ([3] - [5]).

В Армении исследования по теории случайных точечных процессов проводились Р. В. Амбарцумяном, Г. С. Сукиасяном, В. К. Оганяном ([6] - [10]). В последние годы к тематике случайных точечных процессов пришла группа армянских специалистов по статистической физике (см. сборник [11]; редактор сборника Б. С. Нахапетян). Для армянской школы теории случайных точечных процессов характерен интерес к вопросам применения комбинаторных методов, таких как принцип включения-исключения ([7]), а также методы комбинаторной интегральной геометрии ([¡О]).

[1] И. Керстан, К. Маттес, И. Мекке, "Безгранично делимыь ,'ичечные процессы", Москва, Наука, 1982

[2] D. J. Daley, D. Vere-Jones, "An introduction to the theory of point processes". Springer, New York, 1988

[3] P. JI. Добрушин, "ГиСбсоаские случайные поля (общий случай)", 1' ункпи:-сальный ана.:нз и его приложе ;1Я. т. 3, вып. 1, стр. 27-35, 19G9

[4] Р. А. Миилос, "Регуляр.. сть федельного распределения Гиббса", Функционалы- ■.)й анализ и его приложения, 1, но. 1, стр. 40-54, 1967

'5] Я. Г. Сннаг., "Тесрия фазовых переходоз", Мчс> ва. Наука, 1980

Настоящая работа посвящена вопросу описания случайных точечных процессов в польских пространствах в терминах их моментных мер, а также изучению возможности представления маркированных конечным числом марок гиббсовских точечных процессов как предельные распределения марковских цепей. Пространством состояний рассматриваемых цепей Маркова является пространство реализаций случайных точечных процессов.

Для решения этих задач применяются модифицироваяные варианты комбинаторных методов, впервые примененных в [7] и [8]. Так, Теоремой 1 первой главы формулируется принцип описания с помощью моментных мер, который является обобщением предложенного в [7] комбинаторного метода включения-исключения на случай общих польских пространств, когда не предполагается абсолютная непрерывность моментных мер.

Во второй главе рассматриваются точечные процессы с моментными мерами, являющимися суммами зависящих от графов знакопеременных мер. Для них доказывается Теорема 2, устанавливающая условия существования соответствующих точечных процессов. Этот результат является ключевым при доказательс: ве Теоремы 3 о существовании точечных процессов с абсолютными плотностями, факто-ризоьанными по п.фам переменных. Основанные на результатах [7] и [8] примеры

[6' "Комбинаторные принципы в сюхасгической геометрии", Ереван. АН Арм. ССР, 1980, Редактор: Р. В. Амбарпумя .

[7] R. V. Ambartzumian, Н. S. Sukiasiar., "Inclusion-Exclusion ai¡¿ , oint processes", Acta Appl. Math., vol. 22, pp. 15-31, 1991

[8] R. V. Ambartzumian, "Ran 'om graph approach to Gibbs processes with pair intension", Acta Appl. Math., vol. 22, 3-14, 1991

[9] R V. Ambartzumian. "On condensable poin! p:"cesses", New Trends in Prob, and Stat., VSP/JioMas, vol. 1, pp. 655-667, 1991

[10] X K. Ogan;,:i!:, "Combinatorial decompositions and homogeneous goometricrj processes". AcU. Appl. Math., Holland, vol. 9. NN 1-2. pp. 71-81, 1987

[11] "Гиббсоаские случайные поля: Мг-.'ТГ. гальнь'е св йе на и убывание корреляций", Сборник статей, Ре;: ктор: Б. С. Ik-yaneiy.r, И:- HAH РА, Математика.

-?0. по. 6, 1995

в конце главы 2 и результаты третьей главы указывают на возможные приложения построенных точечных процессов в теории гиббсовских точечных процессов.

В третьей главе определяются марковские цепи маркированных точечных процессов. Основной результат этой главы (Теорема 4) устанавливает достаточные условия эргодичности рассматриваемых марковских цепей. В последнем параграфе, используя результаты [8], доказывается, что нехоторые из предельных распределений рассмотренных марковских цепей в случае отсутсвия марок превращаются в классические гиббсовские процессы в евклидовых пространствах. Можно предполагать, по аналогии, что маркированные предельные точечные процессы представляют собой маркированные гиббсовские процессы. Последние имеют независимое определение, и для демонстрации того, что соответствующие классы маркированных точечных процессов совпадают, требуется серьезная дополнительная работа.

Целью работы является исследование возможностей комбинаторного описание случайных точечных процессов, заданных в польских пространствах, с помощью моментных мер; представление гиббсовских точечных процессов равновесными состояниями марковских цепей точечных процессов.

Методы исследование. Применяются методы теории случайных точечных процессов, теории меры и комбинаторики.

Научное ноьиэна и теоретическая ценность. В данной диссертации

]) установлено необходимое и достаточное условие, когда данная система мер, определенных па степенях А'п, п = 1,2,... некоторого польского пространства X и удовлетворяющих условию мажорируемости, оказывается системой приведенных мсмс.чтных мер некоторого точечного процесса в А".

2) с по:> эшью моментных мер дано представление сужений точ. чного процесса на "'Грани^нние борелеьские подмножества пространства X,

Г.) как следствие, полз'чена единственность распределения облагающего данной системог моментных мер,

!) доказано су •'сгвопппие то-' чп.4Х процессов с прИБсдеп.ыт..: •• -ментнымн

мерами вида т}-> гдс тс ~ знакопеременные меры, зависящие от конечных

графов д, а сумма берется по всем графам с множеством вершин {1,..., п},

5) доказано существование точечных процессов с абсолютными плотностями, факторизованными по парам переменных, т. е. имеющими вид f(x^,... ,хп) = П„ к(х,,х]), где к(х, у) : А'2 1—> [0,1] - некоторая симметричная функция, а Пг> обозначает произведение, распространенное на все пары {г,_;} С {1,...,п},

6) найдены достаточные условия эргодичности марковских цепей, для которых пространством состояний служит пространство реализаций маркированных точечных процессов. При отсутствии марок, соответствующие марковские цепи рассматривались в [8]. В диссертации рассматривается случай, когда взаимодействие существенно зависит от марок,

7) установлено, что марковские цепи маркированных точечных процессов, ядра перехода которых факторизованы по парам переменных, принадлежат классу 6). При отсутствии марок, семейство равновесных состояний этих марковских цепей превращается в семейство гиббсовских точечных процессов в М* с неотрицательным парным потенциалом.

Аппробаци1 работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре академика НАН РА, проф. Р. В. Амбарцумяна, на международной конференции по теории вероятностей и математической статистике (Амберд, 1997), на заседании кафедры по теории вероятностей и математической статистики ЕГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в двух статьях.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на страницах машинописного текста, состоит из введения и трех глав. Библиография содержит к! названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается предисторня вопросов, исследованных в диссертации, обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, наз'чная

новизна и теоретическая ценность полученных результатов.

В первой главе исследуется вопрос представления комбинаторным методом включения-исключения случайных точечных процессов в польских пространствах с помощью моментных мер.

В первом параграфе определяются необходимые основные понятия. Приводятся необходимые для дальнейшего результаты из [1].

Во втором параграфе доказывается Теорема 1, представляющая существенное усиление следующего результата из [7].

Предложение 1.3. Пусть (/„(гь.-.Дп)]™-) - семейство неотрицательных, симметричных функций на (#?'')", удовлетворяющих условию /„(х\,..., х„) < Ь",

при некотором 6 > 0, п — 1,2,____ Если при почти всех 6 Ш? и всех

ограниченных борелевских Л С Н1Л имеют место неравенства

^ = / ••■ / /п(У1 5 • • • ) Уп)<1У\ • ■ ■ ¿Уп > О,

У0{хи...,хт) = +

00 (—1)" Г Г

+ У"-Г"/""/ 1т+п(^\,---,хт,уи...,у„)ду1 ---¿Уп > 0, т > О

„^ п! У JD'^

то существует (единственное) вероятностное распределение Р в Ш11, абсолютные плотности которого в точках непрерывности совпадают с ¡п(х1,..., гп).

Определение. Приведенной п-ой моментной мерой т'"' точечного процесса в X называется сужение п-ой моментной меры точечного процесса на дополение к диагонали пространства А'"; т. н. диагональ X" определяется как множество п-ок (х1,... ,г„) с по меньшей мере двумя совпадающими координатами. Считаем т<°> = 1.

Определение. Семейство мер {ш'"' : п = 0,1....} на степенях Л " называется мажорируемым, если оно удовлетворяет условию

т'п'(Л) < ¡'"(Л). А С А", п = 1,2,... для некоторой .!■ галмю-фишггной меры V на X.

Теорема 1. Пусть {т*"' : п = 0,1,...} - мажорируемое семейство симметричных мер на X", причем т'"' исчезает на диагонали Хп, п = 1,2,____ Это

семейство является семейством приведенных моментных мер некоторого точечного процесса Ре X тогда и только тогда, когда для всех ограниченных борелевских И С X и всех множеств Ап-точечных реализаций верны неравенства:

Ро{Ам) = ^-ТГт<"+')(Л(п)* хВ')>0, (1)

где Л'"'* определяется как Л'"'* = {(х^..., хп) : {хь...,х„} € Л'"'}. В этом случае, левая часть Ро в (1) яьляется сужением Р на й. Вероятностное распределение Р единственно.

Во второй главе Теорема 1 применяется для доказательства существования двух классов точечных процессов. Моментные меры точечных процессов первого класса получаются суммированием знакопеременных мер, зависящих от конечных графов, а точечные процессы второго класса обладают абсолютными плотностями, факторизованными по парам переменных. Как показывают основанные на результатах [7] и [8] примеры в конце этой главы и результаты главы 3, рассмотренные здесь точечные процессы играют важную роль в теории гиббсовских точечных процессов.

В первом параграфе рассматриваются знакопеременные меры тд, зависящие от графов д, множества вершин которых являются конечными множествами натуральных чисел. Предполагается, что знакопеременная мера гпя определена в пространстве А''3', где \д\ - число вершин графа д; кроме того, та обращается в 0 на диагонали А''5'. Определяются понятия изоморфизма д1 ~ д2 графов и та, ~ т91 знакопеременных мер. Запись д = дх -+ д2 означает, что граф д распадается на непересекающиеся подграфы дх и <?2. Рассматриваются множества графов:

С(л) - множество всех графов с вершинами 1,..., п;

В(п, б) - множество всех тех графов с вершинами 1,...,п.п + 1,...,п + 5, которые удовлетворяют условию, что каждая вершина из {п + 1,... ,п + -э} соединена с некоторой вершиной из {1,...,п}. Следующий результат устанавливает доста-

точные условия, гарантирующие порождаемость точечных процессов конечными суммами знакопеременных мер тд.

Теорема 2. Пусть выполнены три условия:

1) 9\~9г=> ™Я1 ~тдг,

2) 9 = 9\ + 92 m, = mSl х m„,

3) для знакопеременных мер m'n'*' в"А'п+*, п > 1, s > 0, определенных равенствами т'п'*' = ( — 1)* ,) mgi существует конечная на ограниченных боре-левских множествах мера v в X, для которой

О < т'п,,'(Л'"' х £<'>) < i/"(Л(п)) • sib',

где Л'"' С X" и В'*' С А'* - ограниченные борелевские множества, а Ь < 1 -константа, не зависящая от В^К

Тогда существует единственный (в смысле распределения) точечный процесс в X с приведенными моментными мерами т^"' = EjeC(n) тг-

Во втором параграфе рассматриваются знакопеременные меры т3, обладающие абсолютными плотностями /9 по отношению j/|s', где V\ - фиксированная локально финитная мера в Х\ при этом предполагается, что }я факторизована по парам переменных. Пусть h(x,y) : X2 i—> [0,1] - симметричная функция.

Теорема 3. Если выполнено неравенство

sup f [1 - Цх,у)]щ{<1у) < -, z J х е

где е - основание натурального логарифма, и знакопеременные меры т„ определенные равенствами

mg{dii х ... х dxn) = Д ij) - l]//i(<fii) ■ ■ •

{•¿}ej

тождественно обращаются в ноль на диагоналях Л", п = 1,2,..то семейство {rns} удовлетвояет условиям (1)-(3) Теоремы 5. В этом случае приведенная п-ая моментная мера имеет вид

mM(dxj х ... х dx„) = Д h(x„ • • • fi(<£rn).

{¿J)C{1.....n)

В третьей главе исследуется вопрос представимости маркированных конечным числом марок гиббсовских точечных процессов с парным потенциалом, как предельных распределений соответствующих марковских цепей. Отправным пунктом здесь является результат Р. В. Амбарцумяна, гласящий, что каждый гиббсовский точечный процесс Р в евклидовом пространстве Ш*, отвечающий парному неотрицательному потенциалу является решением уравнения

Р(А) = { в{А,9)Р(<№), (*)

где ядро 0(Л, Ф) является распределением вероятностей некоторого точечного процесса в зависящим от реализации Ф. Ядро в(Л,Ф) однозначно определяется интенсивностью и неотрицательным парным потенциалом гиббсовского точечно'го процесса.

В первом параграфе приводятся общие сведения о гиббсовских точечных процессах. Описывается, согласно [8], марковская последовательность точечных процессов в Л?1, с ядром перехода 0(/1,Ф) из (*). Распределение вероятностей © зависит от интенсивности а и парного потенциала гиббсовского процесса (рассматривается случай трансляционно-инвариантных процессов).

При переходе к маркированным марками 1,...,п гиббсовским точечным процессам в Л?1, вместо интенсивности а и парного потенциала — 1п к(х) рассматриваются интенсивности с*1,..., аг марок и парные потенциалы — 1п 1 < I,] < г,

соответствующие положению, что взаимодействие точек зависит от их марок г и }■

Во втором параграфе дается определение марковской цепи маркированных реализаций. При этом, ядро перехода О зависит от выбора распределения вероятностей <2 некоторого трансляционно-инвариантного маркированного точечного процесса в П1 с марками 1,...,г. Описывается отображение, делающее возможным переход от названной марковской цепи к случайным бесконечным графам. В частности, для проверки эргодичности марковской цепи сущестьенным является доказательство конечности с вероятностью 1 этих графов.

В третьем параграфе приводится определение ветвящегося процесса Гальтона-Ватсопа с конечным числом типов частиц. Леммой 3 даются достаточные условия, при выполнении которых вышеуказанные графы с вероятностью 1 оказываются конечными.

В четвертом параграфе найдены условия эргодичности марковской цепи маркированных реализаций. Условия касаются интенсивностей 01,...,0Г, потенциалов — 1п/»^(х), !,_?' = 1,...,г и распределения В явном виде найдено предельное распределение цепи Маркова. Как следствие доказанной теоремы получается следующий результат.

Пусть Г(о],..., ог, : 1 < i,j < г}) - предельное распределение марков-

ской цепи, соответствующей случаю, когда в качестве распределения ф рассматривается вероятностное распределение из Примера 3, §4 главы 2, однозначно определенное интенсивностями а\,...,ат и функциями Л.Дх). Тогда, как следует из [8], в случае г = 1 (случай отсутствия марок), Г(о],... ,аг, : 1 < {,} < г})

превращается в гиббсовское распределение в Ш*1 с интенсивностью а и парным потенциалом — 1пЛ(х).

Вопрос связи распределений Г(ач,..., аг, {Л,-¿(г) : 1 < г,у < г}) и маркированных гиббсовских точечных процессов в ¡П'1 с пространством марок {1,...,г} остается открытым.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1) установлено необходимое и достаточное условие, когда, данная система мер, определенных на степенях А'", п — 1,2,... некоторого польского пространства X и удовлетворяющих условию ма.жорируемости, оказывается системой приведенных момйнтиых мер некоторого точечного процесса в А',

2) с помощью моментных мер дано представление сужений точечного процесса на ограниченные борелевские подмножества пространства А',

3) как следствие, получена единственность распределения обладающего данной системой моментных М'/р,

■1) доказано существование точечных процессов с приведенными момонтными

мерами вида ») тв< где тг - знакопеременные меры, зависящие от конечных графов д, а сумма берется по всем графам с множеством вершин {1,... ,п},

5) доказано существование точечных процессов с абсолютными плотностями, факторизованными по парам переменных, т. е. имеющими вид /(х],...,х„) = П„А(х;,Х)), где Л(х,у) : А'2 I—> [0,1] - некоторая симметричная функция, а Пп обозначает произведение, распространенное на все пары {»,,?'} С {1,... ,п},

6) найдены достаточные условия эргодичности марковских цепей, для которых пространством состояний служит пространство реализаций маркированных точечных процессов. При отсутствии марок, соответствующие марковские цепи рассматривались в [8]. В диссертации рассматривается случай, когда взаимодействие существенно зависит от марок,

7) установлено, что марковские цепи маркированных точечных процессов, ядра перехода которых факторизованы по парам переменных, принадлежат классу 6). При отсутствии марок, семейство равновесных состояний этих марковских цепей превращается в семейство гиббсовских точечных процессов в И1'1 с неотрицательным парным потенциалом.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. А. А. Машурян, "Об одной марковской последовательности точечных процессов", Известия ПАИ РА, Математика, т. 30, но. 6, стр. 62-70, 1995

2. А. А. Машурян, "Включение-Исключение и точечные процессы в польских пространствах", Известия ПАН РА, Математика, т. 32, но. 2, стр. 50-67, 1997

Выражаю благодарность моему научному руководителю, академику НАН РА, доктору физ.-мат. наук, профессору Р. В. Амбарцумяну за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянный интерес к работе.

•iuijlj UoympjuiG

QniquipuiCujljuiG tfuiljujunijp üniíbGmujjfiG ¿unjibpfi ijbpiupbpjuii bi qJipujuiG IjliLnuijfiG iqpugbuGbp

UmbGmJunumpjniOp ßijfipilmö t upuuiuihiuljujG Ijbuiujjfiö ujjingbuGbpJi' lInlîЬGшшJ}lQ ¿шфЬр]1 liji^ngmj GtyuipuiqpbifintpjiiiG hi q}ipujmG IjbmuijfiG iqpngbuGbpjr üujpljmljujG ¿црш-Gbpjî umhi5uiûuij]~iG pui2}unn5Gbp}i inUupnvJ GbplpujuigGbiJmipjuiG nmnn5Gmu)ipi5uiûp:

[7]-mi5 bi [8]-niiî quipquigi]uj<5 iî{ipngGbp[i IiJipiuniiiuiíp' итшдфид bG hbinbijuii uipr]-jmGpGbpp.

ш) inpijuiô t mGhpmdb2ui bi ршЦшршр iquijiSiuG, npfi qhujpniii ibhuitjuiG X rnuipui-ômpjuiG uium})6ujGGhpnii5 uuihiluiGiJuiö ишЬйшйшфшЦЬф m'"' ¿шфЬр}1 hvujnpijujljujGmp-jniGp \}Ьршйл|т>$ t X -rrnS (jb;mujfiG u}pngbuji pbpvjuid \SrníbGuiuij[iG ^шфЬр[1 pGinrnGJipfi,

p) трфид t IjbmujjliG iqpngbu¡i pGqGbrinnîGbpli ujpmuihuijmmpjniGp iJniibGmuijtiG ¿ui-фЬр)1 lifigngnij,

q) npiqbu hbmtiuiGp' ишшд^шд t ünúhGmmjfiG ¿шфЬр}1 inpi)mö pGmuiGJipml huiijui-GuiljujGuijfiG pm^JuiîmG lîfiuitjnipjniGp,

ij) иицшдтдфий t uibup niGbgnri рЬрЦшй lîniîbGmuijfiG ¿шфЬрт( l}buiujj}iG

geO(D)

iqpngbuGbpfi qnjnipjniGp, npuibq mg-bpp 1]ЬрршЦпр g qôuiGJiGbpJig 1ри]ифи{> G^uiGu^ntu >шфЬр bG, JiuVj qmüuipp тшршйфшЗ t qujquipGbp]i {l,...,n} pujqiS niGbgnri pnjnp q&uiGJiGb-

b) uiupugnigi|uiö t Оиш фпфп!иш1)шОСЬр{1 qmjqbpji iîuJuGiumi|ujô, mju}iGpG' f(x,,...,x„) = f] h(xir4jj mbupti puiguipàuil) {uinnipjmGGbpmJ tybmuijIiG ujpngbuGbpJi qn-

jnipjniGQ, пршЬп h(x,y):X2 ->[0,l]-p ufiiibuip})li umnijp t, {iulj Г1п"0 G^uuGuiIjniií t {i,j} ç {!,...,n} qmjqbpli ijptu тшршдфид шртшгцуиц,

q) qmG)]ujd bG lîuipIjmlJuiG ¿npmGbp}) IpqnqlitjnipjuiG рш1)шршр ujuijiîujGGbp, npmbrç iUi6uiljGbp}i uiuipuidmpjmG t hujGqJiuujGmiS цфшш^ш^пр^шй Ijbinujj|iG iqpngbuGbpli fipui-qnpôniiîGbpfi muipmônipjniG{i: 'TlJimujliGbpfi pujgiulpujnipjuiG qbiqpnní, huiiîuiuiuiimiiufuuiG üiupljniljtuG ¿upuiGbpp qjiuiuipljijbi bG [8]-m\5: UuibGmlunumpjniGnitî qjimuiplj^niii t uijG rjbiqpQ, Ьрр фп^шдцЬдтртШС tuiiqbu IjuiJuiJmö t iq|iuii)>tjCbpIig,

t) ширидшдЦшй t, np u][imuiljiui|npv]uià IjbuiiujJiG ицшдЬиСЬр}\ úiupljm}juiG ¿r\puiGb-pp, npníig uiGgiliuG tpipJiqGbpp i!ujuGuimi}aiô bG puui фпфп{иш1риСОЬр1> qmjqbpji, upuin-îjuiGniiî bG q)-niú G>i]uift quiufiG: ^JimujljGbpli puigmtjiujnipjujG qbiqpnnS, uijfj líinptjmJjujG ¿qpiuGbpf] bii^iuiiiuíMiilyrfnipjujG ^бш^СЬр}) pGuiuiGJipp huiüpGliGrmi l Rd -mi5 qnijquijJiG n; ['uigiu'j: i!iiuG u|mjibDgfiin[ni| qfipujiuG tjbmuijfiG u¡pngbuGbp[i [lGuiuiGfipfl hbui:

Haik Mashurian

A combinatorial theorem on moment measures and Gibbs point processes

The dissertation considers the problem of describing random point processes by means of moment measures and representing Gibbs point processes as limit distributions of Markov chains.

Applying the methods from [7] and [8] the following results are obtained:

1) a necessary and sufficient condition is given, which ensures that a sequence of majorizable measures m'"1 defined on powers of a Polish space X, becomes the family of reduced moment measures of a point process in X,

2) expression of restrictions of a point process by means of moment measures .is

given,

3) as a corollary, the uniqueness of a probability distribution with a given system of moment measures is obtained,

4) the existence of point processes with reduced moment measures m8 is

geGin)

proved, where mg-s are signed measures depending on finite graphs g, while the sum is extended over all graphs with vertices 1.....n,

5) the existence of point processes with absolute densities factorized in pairs of variables, i.e. of form f(x,,...,.xn) = }~[I1h(xiAj) is proved, where h(x,y):X2->|0.1] is a

symmetrica] function, while Fli means the product extended over all pairs {i,j} c {1.....n).

6) sufficient conditions for ergodicity of Markov chains are found, where the state space is the space of all marked point process realizations In case of no marks, the corresponding Markov chains have been considered in [8]. The dissertation considers the situation where the interaction depends on marks,

7) It is proved that Markov chains of marked point processes for which the transition kernels are factorized in pairs of variables, belong to the class 6). In case of no marks, the family of equilibrium states of these Markov chains becomes the family of Gibbs point processes in Rd with non-negative pair potentials.