Конечные группы с гиперцентрально вложенными примарными подгруппами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК БЕЛАРУСИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукописи

ГО ВЭНЬШНЬ

КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ G ГИПЕРЦЕНТР/ЛЬНО ВЛОЖЕННЫМИ ПРИМАРНЬШ ПОДГРУППАМИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и торги чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск - 1992

Работа выполнена в Гомельском государственном университете имени Франциска Скорины

Научный руководитель

Официальные оппоненты

член-корреспондент АН Беларуси, доктор физико-математических наухс, профессор 11ШЕТК0В Леонвд Александрович

доктор физико-математических наук ЧЕРНИКОВ Николай Сергеевич

кандидат физико-математических наук ТАРГОНСКЙЙ Евгений Антонович

Ведущее учреждение - Санкт-Петербургский государственный университет

Защита состоится О " 1/7 1992 г. в Г?

чаров, ка заседании специализированного совета Д 006.19.01 в Институте математики АН Беларуси по адресу: 220072, Минск, ул. Сурганова, II.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики АН Беларуси.

'— ■•) ГI

Автореферат разослан " . О " I 1992 г.

Ученый секретарь .. спецпачизированного совета, доктор физико-матештических

наук А.С.Рапинчук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш и состояние вопроса. В 1924 году О.Ю.ПЬшдг опубликовал работу [I], в которой исследовалось строение конечной ненлльпотентной группы, у которой все собственны э подгруппы нилъпотентнн. Такую группу сойчас называют группой Шмидта. Первым, кто заметил возможности больших приложений теоремы О.Ю.Шмидта, был Р.А.Чушшш. Еще в 30-х годах он использовал группы Шмидта для изучения произвольных конечных групп и впервые стал рассматривать различные обобщения групп Шмидта (см. \_2]). В настоящее время обобщениям групп Шмидта посвяпена многочисленная литература советских и зарубежных авторов.

Новый этап возник в связи с развитием теории формаций. В 1978 году З.Н.Семенчук рассмотрел [3] предложенную Л.А.Шемет-ковым задачу изучения строения произвольных конечных минталаль-ных не £-групп в случае произвольной локальной формации Минимальным не ^--группам было посвящено также исследование А.Д.Ходаяе-ича [4-5]. В 1586 г. В.И.Горбачев [6, 7] начал изучение конечных групп, у которых все собственные локальные подгруппы принадлежат фиксированной локальной формации £ • Несмотря на законченность результатов В.И.Горбачева, некоторые вопросы оставались невыясненными. Например, неизвестно было строение конечно*! группы, у которой нормализаторы не нормальных

р -подгрупп р-разложимы, где р - любой простой делитель порядка группы. К изучению такой грлппн результаты В.И.Горбачева не могут быть применены, так как здесь фигурирует не одна, а серия локальных формаций. Поскольку формация ^-разложимых

- 3 -

групп является классической, отмеченный вопрос имеет важное значение.

Целью данной работы является изучение конечной группы с заданной системой примарных подгрупп, гиперцентральных в своих нормализаторах.

Методы исследования. Используются методы абстрактной теории групп и теории классов групп.

Научгая новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. С помощью примарных подгрупп установлен критерий вхождения конечной группы в локальную формацию.

2. Изучено строение конечной группы, у которой каждая не нормальная примарная подгруппа гиперцентральна в своем нормализаторе.

3. Изучено строение конечной группы, у которой при любом простом. ^ нормализатор каждой не нормальной уО-подгруп-пы ■ 1> -разложим.

Теоретическая и практическая пенкость.' Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при изучении конечных групп с системой подгрупп, принадлежащих различным локальным формациям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на алгебраическом семинаре Гомельского государственного универси-, тета им.Ф.Скорины.

Публикации. Основные результаты диссертации вошли в статью

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех параграфво и списка литературы, содержащего 23 наименования. Общий объем работы 43 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Хорошо известная теорема Фробениуса утверждает, что конечная группа (9 р -нпльпотонтна, если А/^СР)/С(^ХР>) есть р -груша для любой р -подгруппы Н из . Легко видеть, что эта теорема допускает такую формулировку: О-р -пильпотентна, если кавдая р -подгруппа гшерцентральна в своем норшлизаторе. В такой формулировке теорема носит уже |юрмациошшй характер и побуждает искать общую закономерность. Именно в этом направлении выполена работа Чанг Лайву [9], в которой изучается конечная группа (9- , удовлетворяющая следующему условию: для любого £ £ 7г(1Р) , где £ - формация

Однако в работе [9] содержится пробел: ее автор ошибочно считает, что если ¡^ - минимальная нормальная подгруппа конечной группы К^(Щ^о КЩЦ= / (см. лемму 2 из £9]). В теореме 1.1. наотоящей диссертации мы устраняем этот пробел. Креме того, мы исследуем более общую задачу, состоящую в изучении группы &■ со оледующим условием: любая ненормальная в &■ пршларная подгруппа р тзляется ^-типер-цвнтралыюй в А^. (р) . Эта задача предложена Л.А.Шеметко-вым и поглощает как отмеченную выше задачу работы [9] , так и задачу, изучавшуюся В.И.Горбачевым [6, 7J .

с локальным наследственным экраном Р из С- является а^-гиперц«

является

Рассматриваются только конечные группы. Мч используем обозначения из [10] и [II]. В дальнейшем £ обозначает некоторую формацию, имеющую локальный экран ^ . Будем полагать, что экран ^ наследственен, т.е. функция ^ сопоставляет каждому простор числу р наследственную (иначе, замкнутую относительно подгрупп) формацию ^(р ) . Череь обозначается множество всех тех простых чисел р , для которых $ > а через 7С0 ) мы обознача-

ем г звокупносгь всех тех р £ 7Т ) » Л®1 которых ^р ) не совпадает с классом вссх конечных групп. Пришрная группа -это группа, порядок которой есть степень простого числа. Конеч-лая группа О- вида & ~ 6р * называется ^-раз-

ложимой, здесь - силовская у^-подгруппа, р - прос-

тое число. Если (¿-. - конечная группа, то ТГ(С-) - множество всех различных простых делителей ее порядка. Напомним еще, что нормальная подгруппа /-/ конечной группы (у- называется -гиперцентралыгай, если // обладает радом нормальных в & подгрупп.

таким, что &/Сд_ С¡-¡¿-^ принадлежит ^(р)

ДЛЯ любого ^ £ И любого ¿ =

Если -^(р) - класс единичных групп для любого простого р , то ш получаем понятие гиперцентральной подгруппы. Через О^ обозначается ¿^"-корадикал конечной группы 0~ , т.е. пересечение всех тех, нормальных подгру^т /■( из О- , для которых ^ гиперцентр З^СС?) конечной группы (?-это ее наибольшая гиперцентральна:: подгруппа.

3 § I доказана следующая

Теорема 1.1. Пусть и &■ - конечная

/

группа с б'-разрвппшш .РчкорадЕсалом. Тогда группа & в том и только в том случае принадлежит » когда каждая примарная подгруппа Р из & £-г/перцентралыга ь ЛД СР) •

Если £ - формация всех конечных р -нлльпогеитншс групп, то из теоремк 1.1. получается в качество следствия отмечавшийся выше результат Фробониуса для ^ -разрешимых групп. Отметим еще одно приложение теоремы 1.1 для случая, когда -фортация всех конечных ь -сверхразреиголых групп.

Следегвиа 1.1.2. Луоть О- - конечная р -разрешимая группа. Группа О- тогда и только тогда р -сверхразрепгага, когда каждая ее неедлчичная р-подгруппа Р обладает (Р) -главным рядом с простыми индексами.

Дальнейшее развитие теорема 1.1 возмогло путем наложепия условия тслысо на не нормальные примарные подгруппы. Этому по-овящзны остальные параграфы диссертации. В § 2 изучается конеч-

^ /у

нам группа О- с разрешимым -корадикалом (-г ф- н

такая, что Р ^-гшерцентральна в для любой нэ нор-

мальной в 6г примарной подгруппы Р пз . В теореме

с-

2.1 доказано, что для такой группы & штльпотентен. Более детально такие группн изучаются в классическом случае, когда Р~ "Ш. есть класс всех конечных нильпотентных групп.

Определение (В.И.Горбачев [б] ). Ненилыюгенгная конечная группа О- называется -группой, ее.та (Р) ншгьпотентен

для любой притрной не нормальной в О- подгруппы Р пз (р .

Определение (предложено Л.А.Шаметковым). Ненилъпотентная конечная группа О- называется ¿.^ -группой, если Р гшер-централъна в ¡^(Р) для любой примаркой пе нормальной в О-нодгруппы Р из О- .

Понятно, что класс значительно шире класса/^.

Отроение конечных разрешимых -групп устанавливает

О1- /

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть & - конечная разрешимая -груп-

00

па. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) О- - дисперсивная метанильпотентная группа;

2) для любого р

существует

такая не нормальная в (х ^ -подгруппа Р из РС&) , что (Р) не р -разложим;

3) если £ - нильпотентный инъектор группы О- , то выполняется одно из условий:

а) Аеда;

для любой

примарной не кох^мальной в (¡г подгрупг-? Р из РС&) » б) в $ найдется такая пршарная не нормальная в О- подгруппа 0_ , что СО) ненильпотентен.

Напомним, что нильпотентный инъектор конечной разрешимой группы - это ее максимальная кильпотентная подгруппа, содержащая подгруппу Фиттинга.

Теорема 2.1 используется при доказательстве теоремы 3.1. В ового очередь теорема 3.1 используется при описании /Л?-групп.

Определение, Неяильаотентная конечная группа & называется ц % -группой, если для любого простого числа р выполняется следующее условие: М^СР) р -разложим для любой не нормальной в & -подгруппы Р из

б? .

Очевидно, класс -груш* оодержит и содержит-

ся в . Строение /,% -групп исследуется в § 4. Вначале

мы даем полное описание конэчных разрешимых -групп с единичным гиперцентром.

ТЕОРЕМА 4.1. Пусть 1

- конечная разрешимая группа и Я со ) ~ 1 • Груша О- является /, ^-группой тогда и

только тогда, когда выполняется следующие условия:

1) , где и н -подгруппа Картера группы & , совпадающая с ее системным нормализатором;

2) (■■! - циклическая холловская подгруппа в О- , причем каждая неединичная подгруппа из Н не нормальна в бР ;

3) если ,5 ~ максимальная нильпотентная подгруппа группы О- , то ^^^ у - холловская подгруппа в О- ' , а для любого с^ £ ЗГ(о)Г) ЗСС^'^) каждая £-подгруппа из

5 нормальна в О- ;

4) любая на нормальная в О- прит,гарная подгруппа 0_ из содержится з ) для любого

р с тг(и)Птг(М&(а)) .

Наконец, следующая теорема проясняет стрсэние произвольных конечных разрешимых ¡_,% -групп.

Теорема 4.2. Конечная разрешимая груша (5- тогда и только тогда является -группой, когда выполняются оледутацие условия:

1) О/З-^СО-) является и -группой;

2) если Р - примарная подгруппа из »

^»-разложим.

В конце .§ 4 ма показываем, что из теорем 4.1 и 4.2 вытекает как следствие результат В.И.Горбачева [в] о строении ¿^-групп.

Цитированная литература I. Шмидт О.Ю. Группы, зое подгруппы которых специальные// Матем.сб. - 1924. - Т.31, И 3-4. - С.366-372.

- 9 -

2. Чуншнга С.Л. Подгруппу конечных групп. - Минск: Наука и техника, 1966. - 158 о.

3. Семенчук В.II. Минимальные не ^-группы/УАлгебра и логика. - 197Ь. - Т.18, К 3. - С.348-382.

5. Ходалввич А.Д. Посд'рупповое строение минимальных не -групп// Вопросы алгебры. - Минск: Университетское. -

1986. - Выл. 2. - С.172-80.

6. Горбачев В.И. Локальные ^-подгруппы конечных групп// Вопросы алгебры. - Минск: Университетское. - 1986. - Вып. 2. -С.62-72.

7. Горбачев В.И. Отроение конечных групп о дисперсивными локальными подгрупдами//Вопросы алгебры. - Минск: Университетское. - 1990. - Вып. 5. - С.57-63.

8. Го Вэяьбинь, Шеметков Л.А. О конечных группах с гипер-

¡гсловиец/Докл, АН Беларуси. - 1992. - Т. 36, № 6.-

applications // Acta llath. fjinica.- I9B6.- у. 12, N I.-¿.78-01.

10. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 с. '

11. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 234 с.

4. Ходале^ич А.Д. Минимальные не ' БССР. - 1984. - Т.28, К 5. - С. 339-391.

^-группы// Докл. АН

ihang Laiwu. The outer structure of formation and ita