Группы с условием транзитивности нормальности для неабелевых подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КИЇВСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Р Г Б ОД

2 1 АВГ 1$95 На прапах рукопису

КУЗБННИЙ Микола Фєодосійопич

ГРУПИ З УМОВАМИ ТРАНЗИТИВНОСТІ НОРМАЛЬНОСТІ ДЛЯ НБАВБЛБВИХ ПІДГРУП

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

Автореферат дисертації па одобуття наукового ступеня доктора фіоико-математичшіх паук

Київ —

1995

•Дисертацією є рукопис Робота виконана ■

на кафедрі вашої математики

Українського державного педагогічного університету імені М.П. Драг оманова

Офіційні опоненти:

Каоарін Лев Сергійович, доктор фіпиіо-математігших наук,

Курдаченко Леонід Андрійович, доктор фізпко-математичних наук,

Снсак Ярослав Прокопович, доктор фіапко-математигших наук

Провідна організація: '

Ужгородський державний університет, м. Ужгород

Захист відбудеться “ $ ” року о /0 годині

на оасіданвІ спеціалізованої рада Д 01.01.01

при Київському університеті імені ІЬраса Шевченка

аа адресою:

252121, Київ-127, проспект Глуижова, Є, механіко-математичний факультет, аудиторія 42.

З дисертацією можна ознайомитись

І ' . .• . • ' в науковій бібдіотеці університету (вул. Володимгірська. 62).

Автореферат розісланий и 4 " С.0./У7г-оХ 1995 року Вчевии секретар у-. А

спеціалізованої ради ¿/-г&Сег С.А.Овсієнко

Загальна характеристика роботи

Актуальність дослідження

Вивчення груп, п яких деякі підгрупи ііГю системи підгруп задовольняють деяку умопу (обмеження), було одним з перших Напримкіп В теорії груп. Більш того, ці дослідження сприяли виникненню абстрактної теорії груп. На це вкапують роб отії О. Гольдера, Р. Дедехінда, Г. Міллера,

X. Морено, О. Шмідта. які стали класикою теорії груп. В усіх цих роботах у групі G розглядалась деяка система підгруп Е, підгрупи якої задовольняють умову Г. Цей підхід стає одним n основних в теорії груп і залишається таким до нашого масу. Велику роль у становленні та розвитку цього напрямку піграли роботи О.Ю. Шмідта, Р. Бера, О.Г. Куроша, С.М. Чер-нікова, Б. Неймана, Ф. Холла. Багато відомих алгебраїсті!) працювали у цій ділянці і залишили в ній спої яскраві результати. Можна назвати тут Г. Баумелага, 3.1. Борешгіа, X. Вілнндта, В. Ганнона, В.М. ІЬушкова, Ю.М. Горнакова, Д.1. Зайцева, О.Г. Куроша. М.І. Карганолова, О. Keren«, А.І. Мальцева. Ю.І. Мерзлякова, БЛ. Плоткіна, В.Н. Ремесленнікова.

A.1. Старостіна, С. Стоунхевара, Д. Робінсона, Б. Хартлі, Г. Хайнекена,

B.C. 'lapina. С.А. Чуніхіна, Л.О. Шеметкова, В.П. Шункова. На ріпних етапах публікувалось багато оглядових статтеп, серед яких велику роль мали статті О.Г. Куроша, С.М. Чернікова, Б.І, Плоткіна, Д. Робінсона, монографії М. Холла, В. Скотта. D. Хупперта. О.Г. Куроша, М.І. Каргаполопа, ЮЛ. Мерзлякова, Д. Робінсона, С.М. Чернікова.

Список обмежень, що накладаються на підгрупи, які розглядались у перших роботах цього напрямку (обмеженість порядків, нормальність, абе-левість, нільпотентність, майже центральність) був у подальшому значно розширений. Почали розглядатись також ріпні важливі системи підгруп £ групи G, виникли нові підходи, пов'язані я іншими розділ а ми теорії груп. Одержані результати застосовуються у багатьох розділах теорії груп. У свою чергу, ця ділянка не г ізольованою, тут знаходять застосування лінійні методи, методи теорії кілець та модулів, алгебр Лі тощо. Розвиток цього напрямку продовжується парам інтенсивно багатьма алгебраїстами різних країн, серед яких Б. Амберг. ОД. Артемович. Д. Боіїд-лгМан, П.П. Барншовень. Ф. де Джіооанні. Л.С. Казарін. Л.А. Курдаченко. Д. Леннокс, Ф.М. ,'Ііман. О.О. Махньов. М. Нькімен. Я.П. С'нсак. М. Томкіи-соїі, С. Фраішіозі. М.С. Чгрніхоп. До цього напрямку теоретпко-груштих югліджень Належать і результати дисертації.

Мета і об’єкти дослідження

Нехай G-група, Е -- деяка множина її підгруп, V деяка властивість, групу G назвемо V'(E ¡-групою, якшо кожна підгрупа системі! Е має властивість V. Властивість V може бути як зовнішньою відносно G, тобто визначатись якимось класом груп (наприклад, абепевість (Л), нільнотент-ність (N), розв'язність (S) тощо), так і внутрішньою відносно G (наприклад, нормальність (Я), губиормальшсть, майже нормальність, доиовшо-ваність). У свою чергу система підгруп може визначатися деякою властивістю, тобто

£ = {Я : Я - підгрупа, яка мас властивість г(.

У цьому випадку замість терміну V’(S ¡-група будемо користуватись терміном V'(r)-rpyna.

Однією з перших властивостей, які накладались на систему усіх підгруп, була нормальність (Я). Скінченні групп такого роду були вивчені Р. Де-декіндом, а нескінченний випадок був розглянутий Р. Бером. Пізніше ці групи було названо дедеківдопими. Дальші дослідження пов'язані з класами груп, які містять дедекіндові групи. При цьому система S звужується, або властивість нормальності (Я) змінюється на якесь її узагальнення, або одночасно змінюється як Е, так і властивість Г. Звуження £ до системи всіх абелевих (А) і навіть до всіх циклічних (С) підгруп G не приводить до розширення класу дедекіндовпх груп.

Першим суттєвим узагальненням дедекіндовпх груп були скінченні груші, які мають один або два класи спряжених ненормальних підгруп. Ці групи вивчались 0.10. Шмідтом при обмеженій скінченності.

Інші узагальнення дедекіндовпх груп (метапшільтонові групи — груш, в яких кожна неабелева підгрупа нормальна, тобто Я(Д)-групи у наших позначеннях) були введені Г.М. Ромалісом. Різні характеристики та властивості, а також опис деяких конкретних класів груп отримали Г.М. Ро-маліс, М.Ф. Сесскін. В.Т. Нагребецькіні. С.М. Черніков. О.О. Махньов. Повний оппе локально ступінчатих метагамільтоновпх груп дається в десяти теоремах другої глави дисертації. Зазначимо, шо умови, які вказані

0.0. Махньовнм. не завжди є достатніми, як він стверджує. Це також показано у другій главі дисертації. .

С.М. Черніков розглядав групи, в яких нормальними с: всі нескінченні підгрупи (INH-групи, або по-нашому //(/¡-групи): псі нескінченні «болеві підгрупи (/Я-грунп. або по-нашому Я(/А)-грулн): всі нескінченні неабо-лсві підгрупи 1777-груіт. або по-нашому Я(/Л)-групп). Опік- метагаміль-тоновпх груп та опис /Л’Я-груп (§1.3) дас можливість завершити опис нескінченних локально ступінчатих Я(/Д)-груп (глава III).

С.М. Чг іштш та Д. Крппіт розглядали іншніі метод звуження системи

XI. У групі С ієну*- така підгрупа 5 (сепаруюча підгрупа), що кожна підгрупа о множшш Е, яка не міститься п 5, мас властивість V. Такі груші будемо називати 1'(5Е (-групами; у випадку, коли Е — це псі підгрупи Є, просто К(5)-групами. ЩБ)'груші почали вивчати Д. Коппіт, А.Ф. Варанти, але оппеу цих груп не отримали, цьому опік у присвячений §1.4 дисертації.

Значні розширення класу дедекікдових груп виникають прп переході від умоші нормальності до деяких її узагальнень, як наприклад, до квазінор-мальності, субнор.чтльності, нормаліпаторної умови, нронормальності та іи. Таке розширення виникає при різних умовах транзитивності нормальності (Я). Скажемо, шо група С задовольняв умову транзитивності (ослабленої транзитивності) властивості V', якщо для кожних Л, В,С € Е, де А < В < С (Л < В < Є) а того, що А - І’-підгрупа В, а. В — V-підгрупа С (В - Г-підгрупа (?) виплітає, шо А ^-підгрупа С (А — І'-підгрупа С). Тут будемо використовувати термін Г1/(Е)-група (/У(Е)' група). Цс поняття виникло у роботі Е. Боста та О. Таусскі і вивчалось багатьма авторами, серед яких В. Гашюц, Б. Хупперт, Т. Пенг, М.І. Кар-гаполов, І.М. Абрамопгькіш. Ф. де Джіованні. С. Франсіооі, Д. Робінсон. Зберігаючи традиції попередників, памість позначень 7'Я(Е) (?Я(Е)) будемо писати коротше Т(Е) (/(Е)). Далі 5ГГ(Е)-група (5/1’{Е)-група) -це розв'язна ГГ(Е)-група (М'(Е)-групн). Знову, якщо Е множина усіх підгруп, то буква Е опугкагться.

Основні результати дисертації пов’язані з вивченням груп, у яких Е

- система всіх неабелевнх (Л) підгруп, або її підсистема, а !-■ — умова нормальності (Я) чи транзитивності нормальності (Т,і) для підгруп я Е. Точніше, оецовні об’пстп - цс класи:

7’(іЛ)-Г])уп груп п умовою транзитивності нормальності для нескінченних пеабеж'вих підгруп:

Х(Л)-груп — груп а умовою транзитивності нормальності для всіх не-абелевпх підгруп;

Я(/Л)-груп — груп, в яких кожна нескінченна неабелгва підгрупа с нормальною;

Я(Л)-груп — груп, в яких кожна неабелев.і підгрупа є нормальною.

Доцільність цілісного вивчення цих класів випливає з того, шо вовп дуже тісно Пов'язані.між собою. Таж, наприклад, кожна Я(Д)-г|)упа с одночасно як Т(Л)-групою, так і Я(/Д)-групою, а кожна з двох останніх е Т(ІА)-групою.

Прп вивченні ппх класів груп виникають природно деякі обмеження. Всі

класи цих груп містять в собі групи, приклади яких побудовані О.Ю. Оль-шанським та його учнями. Це показує, шо їх вивчення без усяких обмежень є дуже важкою задачею. Досить широкими обмеженнями оалшшіліїсь тут локальна ступінчатість, локальпа розв'язність.

Методы і методика дослідження

В першій главі дисертації уточнюються відомі та встановлюються нові результати, оа допомогою яких в главі II здійснюється конструктивніш опис метагамільтонових груп. Центральним моментом цього опису с накопичення інформації про властивості мстагамільтоновнх груп та розчленування класу всіх метагамільтонових груп на нснільпотентні і нільпотентні, а останні — на підкласи у відповідності о будовою їх комутанту. Суттєву роль грає тут насиченість груп та їх фактор-груп дедекіндошши та іншими досить простими групами. У свою чергу класи Т(Д)-, Н(ІА)- груп розчленовуються в належності від їх насиченості та насиченості фактор-груп вже описаними метагамільтоиовпми групами.

Останнім кроком є класифікація Т(іА)-груп, які не належать до класів Щ1А)- та Г(Л)-груп.

Наукова попиона дослідження

Всі основні результати дисертації є новими завершеними науковими дослідженнями. Зокрема одержано:

- конструктивний опис нескінченних локально ступінчатих Н(/Л)-груп;

- класифікацію локально розв'язних Т(А)- та Т(/Л)-груп я розбиттям всього класу груп на підкласи груп, доступних для подальшого конструктивного опису, теорема 4.3.1 дає приклад конструктивного оппеу одного з таких виділених класів.

Деякі неосновні резуяьтьатп дисертації мають самостійне значення. Серед них виділимо:

- конструктивний опис всіх (теорема 1.2.1) та примарних (теорема 1.2.2) метацшелічних груп;

- конструктивний опис. Н{Б)- (теорема 1.4.2) та деяких Я(Дг)-груп (теорема 1.4.3); , '

- теорему 1.3.1, що дає повний конструктивний опис розширень квазі-циклічної групи за допомогою дедекіндової групи.

Зауважимо, шо деякі основні теореми дисертаціїсформульовані як необхідні умови, хоча можна довести і їх достатність. В дисертації це не зліиспюється тільки о тієї причини, що це доведення зиачно збільшило б її об'єм. В зв’язку о цим в зауваженнях після відповідних теорем вказується і дос татність їх тверджень. Всі нові результати мають строге доведення.

Теоретичне та практичпе значення дослідження

Описані в дисертації класи груп значно розширюють конкретну базу теорії груп. Результати цього опису є ¡значніш вкладом в цю теорію. Важливе як теоретичне, так і практичне значення мас розроблена в дисертації методика досліджень широких узагальнень дедекіндошіх та метагамільто-новпх груп. Результат« дисертації .можуть використовуватись в різноманітних теоретпко-групошіх дослідженнях. Воші використовувались в роботах І.Я. Субботіна, М.М. Ссмка, Л. Томанека, С.С. Леиіщеика, Д.Я. Тре-беика та інших авторів. .

У зв’язку з отриманими результатами виникне цілий ряд задач різної складності, які можуть бути використані як теми студентських курсовік та дипломних робіт і кандидатських дисертацій.

Глави І та II дисертації можуть бути використані як основа спецкурсів та спецсемінарів для студентів математичних спеціальностей.

Апробація роботи

Основні результати дисертації опубліковані в 20 роботах, доповідались на міжнародних алгебраїчних конференціях, симпозіумах з теорії груп, на наукових семінарах Інституту математики НАН України, Гомельського відділення Інституту математики АН Білорусі. Гомельського, Київського, Кошицького (Словаків), Московського університетів, Українського державного педагогічного університету.

Основні результати дисертації, опубліковані у співавторстві, належать автору дисертації. Йому належать формулювання та доведення цих ре-оультатів. В дисертації їх формулювання і доведення значно змінені і уточнені. Співавтори здійснювали інформаційне, технічне і матеріальне забезпечення публікацій та їх коректуру. В процесі оформлення робіт вони вносили уточнення формулювань та доведень цих результатів. Жоден з основних результатів дисертації не використаний співавторами ні в одній із їх самостійних робіт. Співавторами'згаданих результатів е Семко М.М., Субботін І.Я., Левіщенко С.С. Вони цілком поділяють наведену тут думку про належність основних результатів дисертації, опублікованих в роботах у співавторстві о ними. ,

Об’єм та структура роботи

Дисертація складається зі вступу та чотирьох глав, містить 231 сторінку, у списку літератури 212 назв, серед яких 59 публікацій автора, шо стосуються темп дисертації. В першій главі 4 параграфи, в другій -- 7. в третііі -- 4, в четвертій — 3.

в

Загальна характеристика роботи

У вступі обгрунтована актуальність дослідження, визначена мета і перелічені об’єкти дослідження і висвітлені методи і методика дослідження; показана наукова новизна; обгрунтовано теоретичне і практичне значення дослідження; подана інформація про анотацію та про об'єм і структуру роботи і викладено зміст дисертації.

У главі І “Попередні результати” логічно послідовно наводяться відомі та встановлюються нові означення і результати, необхідні для подальших досліджень.

В §1.1 “Відомі та деякі нові ооначення і твердження” наведені в основному відомі означення і відомі твердження, з ними пов'язані. Серед нових можна вказати означення 1.1.G майже прямого добутку п об’єднаною підгрупою.

Група G називається майже прямим добутком підгруп G, із об'єднаною підгрупою С, і с /, |/| > О, С - власна підгрупа із 6',, коли С <G і G ¡С -прямий добуток неодиничних груп Gi/C.

Теорема 1.1.1, пов’язана з цим означенням, дає оцінку експоненти та порядку групи о центральним комутантом. D Теоремі 1.1.2 встановлюється один критерій дедекіндовості групи. Опік- деяких центральних розширень оа допомогою дедекіндовнх груп подано в теоремі 1.1,3.

§1.2 “Метацнклічні групи” присвячений опік у довільних та конструктивному опису примарних метацпклічнпх груп (теорема 1.2.1 тн 1.2.2 відповідно). D теоремі 1.2.1 виписано 12 типів груп, якими вичерпуються всі метациклічні групи; в теоремі 1.2.2 дається повний конструктивний опис всіх примарних металиклічних груп з виділенням і дослідженням 9 типів груп такого роду. Тут вкапано породжуючі елементи і визначальні співвідношення, розклад в добуткп, як правпло напівпрямі. підгруп, вказані будови підгрупи Фраттіні, центру, комутанту. нижнього шару, доповню-ваність певних підгруп даної групп.

В §1.3 “Деякі розширення кваоіцнклічннх груп” конструктивно описано всі розширення квазішіклічних груп за допомогою скінченних де-декіндових груп з виділенням 7 неізоморфннх типів груп такого роду (теорема 1.3.1). У цьому ж параграфі даються строгі означення різноманітних класів Я(г)- та Г(г)-груп, які згадувались у вступі (означення 1.3.1 та 1.3.2 відповідно). Доведено дві леми загального характеру для Я(т)- та Т(г)-груп.

§1.4 “Опис H{S)- та деяких Я(Л’)-груп”. Ні іруїш вивчали Д. Кеп-піт, А.Ф. Барашшк і встановили скінченність і циклічність їх комутанту, не наводячи будови самих груп. Конструктивніш опік Я(.5)-груп дає:

Теорема 1.4.2. Всі И(Б)-групи вичерпуються дедекіндовимп групами і групами тппу б = й х Д де £> — холловська періодичнії дедекіндова підгрупа іо С, Іі — сшювська г-підгрупа із О виду і? = С • В, С <з Є, С

— локально циклічна г-група, що містить таку підгрупу (а) ,що |а| = г'\ & — (аг ) — (а) П В С •2’(С), 0 < а — к < к < гу, г* > 2, г — просто число, 5 = ({аг ") • В) х И, 0 < т < к, підгрупа В розкладається в майже прямий добуток нормальних в О підгруп С х з об’єднаною підгрупою С, ¡¿;| = И, 0 < /); < А- — ГП + 1, І є 7, |/| > 0, при 1 = 2 В' = 1.

Зауважимо, що ця теорема с вуоловіш результатом для досліджень глав III та IV. За її допомогою в теоремі 1.4.3 дасться конструктивніш опис деяких Я(Аг)-груп. Нагадаємо, шо група С нагнівається Н(Кг)-групою, якщо в яін нормальні всі ненільпотентні підгрупи. Властивості скінченних ненільпотентних Я(іУ)-груп вивчав В.Т. Нагребецькші.

У главі II “Метагамільтонові групи” вивчаютьс я групи з нормальними неабелевіши підгрупами (Я(Л)-групи). Нагадаємо, що ці групи введені Г.М. Ромалісом. їх властивості вивчали Г.М. Ромаліс, М.Ф. Сесекін, С.М. Черніков. Найбільш суттєвим в цьому напрямку є результат С.М. Чернікова, що стперджує: локальпо ступіпчата метагамільтонова група має скінченний примарний комутант. В.Т. Нагребецькни описав скінченні ненільпотентні метагамільтонові групи, я О.О.Махяьов — скінченні метагамільтонові ;»-групи п нецентральним комутантом.

Детальний виклад суттєвих репультатів згаданих авторів наводиться в §2.1 “Деякі допоміжні результати”. В цьому параграфі уточнюються результати О.О. Махньова та виписується будова примарних метацикліч-них Я(Д)-груп, якої у 0.0. Махньова немає.

§2.2 “Ненільпотентні групи” дає повний опис ненільпотентних ме-тагамільтоковнх груп (теорема 2.2.1) і класифікацію пільпотпітнпх груп оа будовою їх комутанту (теорема 2.2.2). В теоремі 2.2.3 дається опис підкласу метагамільтоновпх груп, у яких комутант будь-якої неабелевої підгрупи співпадає а комутантом всієї групи.

Теорема 2.2.1. Ненільпотентні метагамільтонові групи вичерпуються групами типів:

. 1) (7 = РАС де Р — скінченна елементарна абелева р-група. р — просте

число. \Р\ > 1, С = Б • (а), 5П(а) — (я5), в > 1, (я.р) = 1, С = Р. для кожного к € 2 а* індукує на Р тотожний або нопвідкпи автоморфізм.

5 = Сс(Р); '

2) £? = РАС, де Р — спловська неабелева /»-підгрупа із С. |Р| = /А ехрР = р. р — просте число, р > 3. С. = Р. С = в • {п). З П (а) = (<Г).

*>1,5 = Сс(Р), С — періодична група, для будь-якого к Є 2 суміжний клас Ф(Р) • ак індукує на Р/Ф(Р) тотожний або непвіднші автоморфізм;

3) С = РХС, де Р — група кватерніонів, що е «ідонською 2-підгрупою іо С, С=Р,С = Я - (а), 5 = Сс(Р),'5П(а) = (а3), |а| = 3° С — періодична група, РА(а) — група Шмідта;

4) (? — група, у якої будь-які два непереставні елементи породжують підгрупу, що містить нормальну в О нескінченну підгрупу Міллера -Морено, й/М — дедекіндова група.

Теорема 2.2.2. Комутант С групи б тоді і тільки тоді належить будь-якій неабелевій підгрупі із (7, коли С? — метагамільтонова група, а її комутант С — скінченна група порядку р" ,р — просте число, або нескінченна група Міллера-Морено. Комутант С метагамільтонової груші 6' задовольняє тільки одну о наступних умов:

1) С — центральна підгрупа із С порядку 1 або р;

2) С — циклічна група порядку р(, 6 > 1, Ф(С') С 2(0), С — нільпо-

тентна група; •

3) <?' — скінченна абелева р-група типу (р(,р), 6 > 1, Ф(С') С 2(6), 6"

— нільпотентна група; -

4) С •— елементарна абепева група порядку />2 , Є — нільпотентна група,

при р = 2 С С 2(Є); ■

5) (?' — елементарна абелева група порядку р3 , Є — нільпотентна група,

прпр = 2& сгій); '

6) С ~ елементарна абелева група порядку р" , п > 0, Є — ненільпо-

тентна група; ■ .

7) С — неабелева снловська підгрупа іо С порядку /<:і експоненти р, р > З, в — періодична ненільпотентна група;

8) С — група кватерніонів, що є спловською 2-підгрупою іо Є, Є — періодична ненільпотентна група;

9) С містить нескінченну підгрупу Міллера-Морено індексу 1 або 2, С

— нерозв'язна група.

Зауважимо, що вивчені В.Т. Нагребецькпм групи співпадають із скінченними групами типів 1)-3) теореми 2.2.1. і’ відповідності з будовою комутанту кожна з нільпотентнпх груп задовольняє одну з умов 1) -5) теореми 2.2.2. Класи нільпотентнпх груп, визначені кожною о цих умов, навчаються в подальшому в §§2.3-2.6.

§2.3 “Групи о циклічним комутант ом" присвячений конструктивному опнсу метагамільтоновнх груп о циклічним комутаптом. Попередньо наводиться твердження 2.3.1, що випливає г> результатів О.О. Махньова: скінченні метагамільтонові р-групп з циклічним нецентрапьшш комутан-

том вичерпуються метациклічними р-групамн, у яких Ф(С') = 2(0) Л С. В теоремі 2.3.1 дається повний конструктивніш опис всіх метацикліч-них метаї амільтонових груп з виділенням 10 типів таких груп. В наслідку 2.у. .1 вкапані конструктивні описи метациклічних метагамільтоно-впх груп: иіпьпотсптних, нснільпотентніїх, о центральним комутантом, о нецентралышм комутаатом, скінченних, нескінченних та інших.

В теоремі 2.3.2 дається конструктивніш опис всіх иетагамільтонових груп о циклічним комутантом.

Теорема' 2.3.2. Метагамільтонові групп п циклічним комутантом вичерпуються групами а комутантом порядку 1 або р, р — просте число, і групами виду С = (ЛАД) • С, де А = (а) ■ {її), ¡л| = р", [(а), (і)] = {«'’*), 0 < к < су, |Ь| Є {р>\ оо}, /3 > 0, В — скінченна абелева ; »-група, С С 2(0), СП (ЛАВ) = (г), г = іУ, С/(:) — періодична група, та ізоморфні групі одного із 6 типів теореми.

Наприклад:

3) А = (а)\(Ь), 0 < а—к—1 < к, а — к < 0, р* > 2, експонентаспловської підгрупи із С/{с) не перевищу« р2к~п+і, \В\ = 1; .

6) р = 2, а = З, /? > 1, а4 = Ь2””', Ь~1аЬ ~ я-1, С не містить інволюцій, |ДІ-1.

52.4. “Групи а нециклічним і неелементарним комутантом”. В ньому описуються нільпотентні метагамільтонові групи, у якпх О' — абелева р-група типу (;>\/)), 6 > 1. В твердженні 2.4.1 наводиться опис О.О. Махньова скінченних метагамільтонових /»-групнецентралышм комутантом вказаного типу. Теорема 2.4.1 дає конструктивний опис довільних як скінченних, так і нескінченних мотагамільтоіювих р-груи г» нецентральним комутантом типу (р*,р), в якому виділено '2 тиші груп такого роду, і який суттєво уточнює будову груп із твердження 2.4.1.

В лемі 2.4.2 доводиться, що нільпотентні неперіодичні метагамільтонові групи мають скінченпіщ комутант або типу (;/’). або (р,р), тобто групи розглядуваного параграфу періодичні.

Теорема 2.4.2 дає конструктивний опис груп, названих в заголовку, формулюючи його як необхідну умову, хоча справедливе і обернене твердження.

Теорема 2.4.2. Нільпотентні метагамільтонові групи п нсшіклічішм і пеелементарнпм комутантом мають вид Є — (,1А(г}) х С де .4 = (а) ■ (!>). (а| = рл. [і| = р\ |г| = р’, [(я), (6)1 = (пр>). 0 < о — к - 1 < к < а - І. р* > ?.

а — к < /3, 7>0, С — періодична група, і е групами одного з 4 типів.

Наприклад:

1) А — (а)\(Ь), а — к < Р < А + 1, у < /З + к — п + 2, [6,х] = 1,

а — к < к, експонента силовської р-підгрупп із С не перевищує р,3+к~".

В §2.5 “Нільпотентні групи о елементарним абелевим комутан-0«* « • * «

том порядку р конструктивно описуються всі названі мотагамшьтонові

групи. В твердженні 2.5.1 наводиться оппс О.О. Махньова скінченних метагаміяьтонових /ьгруп □ нецентральним комутантом типу (р,р).

Теорема 2.5.1 дає конструктивний опис довільних нільпотентних р-груп о нецентральним комутантом тішу (/>,/>), в якому виділено 5 типів груп такого роду, і суттєво уточнює ошіс будови груп іо твердження 2.5.1.

В лемах 2.5.1-2.5.8 розглядаються окремі випадки досліджуваних ]>■ груп. Неперіодичні групи із ¡заголовка параграфу описані в лемі 2.5.9.

Теорема 2.5.2 стверджує, що нільпотентна метагамільтоиова група С з абелевпм комутантом типу (р,р), р — просто число, має вид С = Р ■ С, С С £((?), ГПС = (г), С/{г) — періодична група, Р = (у) ■ А ■ (х), А = {а,Ь,с,), |а| = ра, |Ь( = рв, |с| =/, |у| Є {1,4}, а > 0, ¡3 > 0, 6 Є -{0,1}, г = ірТ, 7 > 0, |г) Є {р7,ос}, [Ь,і] = с. Є 2(0), експонента спловської /»-підгрупи із С/(г) не перевищує р,в~1, і Р — група одного іо 12 типів.

Наприклад:

2) А = (а)Л(Ь), > = А\(х), у = 1, а > 1, (а,6] = а"’"',

|С| = 1, |х| = р'’ ,р > 2, |2/| = 1, [а,г] = і/"';

11) А 5= (а) х (Ь), р = 2, «=/3=7 = 2, )(/] = 1, |п, г] = а2, [Ь,г] = ,г2 = а262, |х| = 4. .

В §2.6 “Нільпотентні групи о абелевим комутантом типу (/», /»,/»)” конструктивно описуються всі названі метагамільтонові групи. В твердженні 2.6.1 наводиться опис 0.0. Махньова скінченних метагамільто-нових р-груп з нецентральним абелевим комутантом тппу (/>,/», р). В теоремі 2.6.1 конструктивно описані довільні мотагамільтонові /»-групи з нецентральним абелевпм комутантом типу (/(,]».)<). п якій виділено 2 типи груп такого роду. В 2 лемах параграфу прояснюється будова досліджувашгх груп з центральним комутантом.

Теорема 2.6.2. Нільпотентна метагамільтоиова група з абелевпм комутантом типу (р./>,/») має впд С = Р х С, до Г = (я) • (({с) х (Ь))Х{.і)), |п| = /»“. |Ь| = р3, |і( = р\ |с| = //,'» >.¡1 >1 > 0. 6 € {0.1}, а >1. ¡і > 1,

[а, Ь] = 2,р1 ', [Ь, т] = с Є Z(G), С — періодична абелева група, експонента спловської р-підгрупи якої не перевищує р>, і F — група одного о 7 тппіп.

Наприклад: .

2) а = ß = 2, 7 = 6 = 1, р — просте число, більше 3, [л,я] = Ур,

0 < / < р, с = а,рЬір, 0 < s < р, 0 < / < р, t2 4- 4/s — неквадратичнгаі лишок за модулем р;

4) а — 1=/3 = 7>1,с = а4’“ ', 0 < .? < р, Ja, х] = хірУ~‘, 0 < / < р,

0 < к < р, при p = 2s = /=fc = l, при р > 2 к2 + 4/ — неквадратпчнші шішок за модулем р. ,

Параграф 2.7 називається “Загальна теорема і наслідки”. В . ньому в теоремі 2.7.1 з використанням теорем попередніх параграфів наводиться опис всіх метагамільтонових груп. З використанням цього опису в теоремі 2.7.2 конструктивно описані всі метагамільтонові ff (S)-rpynn, що є нільпотентнимп групами. В цій теоремі крім дедекіндових виділяються ще три типи періодичних груп такого роду. Цей опис с важливим інструментом для досліджень подальших глав. Можна вважати, що теорема 2.7.1 завершує оппе розв’язних метагамільтонових груп.

В главі III “Локально ступінчаті групи о нормальними пескіи-> чеїшпми неабелевими підгрупами” вивчаються всі нескінченні груші такого роду. За результатами С.М. Чернікова всі такі групи розв'язні, а неметагамільтонові групи такого роду навіть черніковські /ff-групи. Оскільки метагамільтонові групи описані в главі II, то в цій главі описуються тільки розв’язні черніковські 77Г-групп.

В §3.1 “Попередні результати” наводиться основний результат

С.М. Чернікова і одержуються деякі наслідки, що використовуються в подальшому.

Теорема 3.1.1 встановлює один критерій нсмстагамільтоновості розширення квазіцпклічноі групи оа допомогою скінченної дедекіндової групи.

§3.2. “Неметагамільтонові локально нільпотентні /Я-групи” присвячений опису вказаних груп. ІІого леми 3.2.1 та 3.2.2 описують групп з центральною та нецентральною пооною частиною відповідно. В теоремі 3.2,1 виписано 8 типів примарних неметагамільтоновнх І ТІ-груп.

Теорема 3.2.2. Локально нільпотентні неметагамільтонові 77?-гругш с групами виду G — Р х С. де Р - силопська /»-підгрупа із G. що містить повну частину і?, р - просте число, С скінченна дедекіндовн група, G

— група одного з 8 типів.

Наприклад:

4) С' = 1, Р = (R\{a))XB, R<G, R — квааіцпклічна 2-rpyna, |o| = 2“, G' = Я x (a2*), CG(Ii) = Л x ((«2)AВ), a > к > 1, к > a - A-, В

— скінченна абелева група виду В = (Ь) • Z, |і| = 2^, ¿ > ¡3 > о — і, ехр/Г < 22t_“+1,[(a),Z] С R, [a,6} ^ca2*, с Є Л;

8) Р =* (і? • (a)) • В, R — пряміш добуток р— 1 квазіциклічної /»-підгрупи, р > 2 — просте число, |a| > ра, R П (в) = (я*1“), G' — R, C'g(R) = Я х В, Cg(R) П (а) = {ар“), а > т > 0, (прП ) індукує на R групу нескінченно неовідних автоморфізиів порядку р, В — скінченна абелева р-груна. [(a),ІЗ] С R.

Автоморфізм, ¡р групи G називається нескінченно незиідннм, якщо в G немає власних нескінченних підгруп, допустимих відносно у.

§3.3 “Неметагамільтонові не локально нільпотентні ТІЇ-групи" присвячений вивченню вкапаних груп. Леми 3.3.1 та 3.3.2 описують такі груші о центральною та нецентральною вовною частиною відповідно. Єдина теорема цього параграфу стверджує:

Теорема 3.3.1. Неметагамідьтояові не локально нільпотентні черніков-ські /Я-групп мають впд G = F х А, де F = R • D, R П D С <E>(Z3), R <G, R розкладається в прямий добуток І квазщпклічних р-груп, р — просто число, / > 0, \D х Л| < оо, Al = 1, D — S- (n), Cp(R) = S<G, Sn(«) = (в'), для будь-якого цілого k ak індукує на R тотожний або нескінченно незвідний автоморфізм, ~{D) П тг(Л) = 0 і є групами одного із 6 типів.

Наприклад:

1) F = RXD, І — 1, р > 2, D — дедекіндова група, * > 1, р = 1 (шо<1 в),

G) Я С 2(G), І = 1, S — D — скінченна пенїльпотентна метагаміль-тоноиа група, силовська /»-підгрупа Р якої г нсабглевою і має порядок рх.

ТУ = Р, я'п D = ПГ)Р С ЩР).

§3.4. “Нескінченні локально ступіичаті групп о нормальними иескінчешшми неабелевпмн підгрупами”. С цьому параграфі описані всі локально путігшіі 11(1 А)-групп. Ці групи розв’язні і включають нескінченні іиетагашяьтоновї групи. їх опис з урахуванням теорем попередніх параграфів дасться в теоремі 3.4.1.

Теорема 3.4.1. Нескінченна локально ступінчата група G з нормальними нескінченшшп нсабелевимп підгрупами с розв’язною групою виду G = F х А. ар F = R ■ D. R — нормальна в G підгрупа, що розкладається в прямий добуток / квазіцпклічші.ч р-Гр.УП. І > 0. р - просте число.

D = 5 • (a), Cp(R) = S<G, (a)nS= (a*), для довільного числа A: a* індукує на R тотожний або нескінченно незвіднші автоморфізм, I?C\D = V С 4>(D), |{a) X Л| < оо, Л — дедекіндова група, т(£>) Л тг(Л) = 0, і G — група одного із 13 типів.

Наприклад:

\)R = (a) — A=-\,G = F= S= D — нескінченна метагамільтонова група о комутантом порядку р”, п > 0 (теорема 2.7.1);

2) Я — квазіппклічна група, G/R — скінченна дедекіндова група, G' містить підгрупи порідку ptj, 9 — просте число з множпнп {2,р} (теорема 1.2.3);

3) F — D х R, І = 1, Л = 1, S = D — скінченна метагамільтонова група з комутантом порядку р", п > 1, (теорема 2.7.1), при ненільпотентності D п = З, G” = D" -ф і, D' — спловська р-підгрупа in D (D — група тппз'

2) або 3) теореми 2.2.1);

13) F = ЛА£), І —1, D — спловська ^-підгрупа in G, g — просте число, |S| = qm, т > 0, р = 1 (mod <jm), ja| = q", D' = («*”"'), a > tn, S = (n,m) • B, В — майже прямий добуток підгруп D' х (b¡) з об’єднаною підгрупою D' = В' = (a’”'1) С 2(G), |Ь;| = а - m > ft > 0, .

?°-m > 2, і Є /, |/| > 1, А’ = 1, <7* = R х (а,"~1).

В теоремі 3.4.2 встановлюється, що комутант локально ступінчатої Я(Л)-групи є скінченною примарною групою порядку р", п > 0, р — просте число, при G" ф 1 G1 — силовська р-підгрупа ітз ненільпотентної групи G ізоморфна групі кватерніонів чп групі порядку р3 експоненти р, р > 3.

Нескінченна локально ступінчата Н(ІА)-група G має періодичний ніль-нотентшш чернікопськпй не більше, ніж біпрішаршш, комутант G'.

Можна вважати, що теорема 3.4.1 завершує конструктивніш опис локально ступінчатпх нескінченних Я(/Л)-груп.

Глава IV. “Локально роов’яоні групи о умовами транзитивності нормальності для пеабелевих підгруп” присвячена класифікації названих груп, які виявились розв'язними. ї) піп па будовою комуганту чи локально нільпотентного корадпкалу виділяються класи 5Г(Л)-груп та нескінченних ST(IÁ)-Tpyu, доступні для подальшого конструктивного опису.

Приклад такого опису дає §4.3, в якому описані періодичні 7’(Д)-групи

з абелевим локально нільпотеитшім корадпкалон.

§4.1 “Деякі загальпі результати”. D цьому параграфі нагадуються означення Т’(Л)-, і’(Л)-, Т(ТА)-. t(IA)-r¡>yn і наводяться відомі результати ігашіх авторів, що стосуються них груп.

В лемі 4.1.1 встановлено властивості означених в цьому параграфі груп.

В теоремі 4.1.1 тав наслідку 4.1.1 встановлено, що локально роав’язні Т(А)- ,-St(Ä)~ та нескінченні Т(/Д)-, 5/(/Д)-груші розв'язні, їх третій комутант має порядок р6, 6 Є {0,1}, а при <5 = 1 другий комутннт цих груп є періодичною нільпотентною групою. Подальші результати стосуються тільки класів Т(Д)- та нескінченних !Г(/Д)-груп.

В теоремі 4.1.2 встановлено, що локально нільпотентні 7"(,4)-груші вичерпуються нільпотенттшії метагамільтоновіши групами, а значить мають обмежений клас нільпотентноеті і скінченний примарний абелешш комутант.

Теорема 4.1.3 встановлює існування першою А та другого В локально нільпотентного корадикалу 5Г(Л)-груші і стверджує, що В — підгрупа скінченної примарної групи Міплера-Морено.

В теоремі 4.1.4 встановлюється, що нескінченні неметагамільтонові локально нільпотентні Т(іА)-труаи вичерпуються ЧерШКОВСЬЇН.'.Ш немета-гамільтоновіїмн ІН-групами (теорема 3.2.2.)

В останній теоремі 4.1.5 ць^го параграфу встановлюється існування першого А та другого В локально шяьпотентних »радикалів нескінченної T(IÄ)-груші G та їх властивості.

§4.2 “Класифікація ST(Ä)- та нескінченних 5Т(/Л )-груп” присвячений класифікації локально роов’ящшх Т(Д)- та нескінчентіх Т(/Л )-груп.

В лемах 4.2.1—4.2.3 встановлюється, що названі групи роов’вяні, мають Періодичний комутант G' , їх третій комутант має порядок 1 або />. а в неперіодичних Х(Л)-групах G" = І. .

В лемі 4.2.4 доведено, що нескінченні локальпо рода»’йоті Т(ІЛ}- але не Т(у1)-груші с чррніковськшш групами.

Класифікація розглядуваних груп дасться к теоревзах 4.2.1-4.2.3.

Теорема 4.2.1. Локально розв’язні Г(Л)-групи вичерпуються групами класів:

1) G — розв'язна метаггшільтонова група;

2) G — нсметагашльтонова Г(Л)-група з періодігшпм абелтш хому-

тантом; ■

3) G — періодична неметагамільтонова Т(Л)-група о аболовпм другим хомутантозі G”;

4) G — йеріодична Г(Л)-гр\‘па, у якої G" - скінченна р-ірупа Мідлгрл Морово. UJO f «иловською ^-підгрупою io G’, р — просто число.

ІЬорема 4.2.2. Локально розв'язні не локально нільпотентні Т(Л)-грува вм*іе рпук ітьса групами класів:

1) G — Х(Л)-група о неодишгтпм абглевпм локально нільпотентнпм корадикалом;

2) G — періодична Т(Д)-група л нільпогснтніш пеабелевпм локально нільпотснтним корадикалом A, G/A — дедекіндова група;

3) G — періодична Т{ Д)-гх>упа п неодиничним аОдгшш другим локально нільпотентнпм корадикалом Б:

4) G — періодична Т(Л)-група, другші локально пільпотентнпй корадикал якої є скінченною;>-групою Міллера Морено, іцо співпадає о спловського р-підгрупою in G'.

Теорема 4.2.3. Нескінченні локально рогщ’ягші Г(/Л)-груші розв'язні, мають періодичний комутант і вичерпуються групами типів:

1) G 5Г(Л)-нескінченна група (теореми 4.2.1, 4.2.2);

2) G — нескінченна неметагамільтонова локально нільпотентна чер-піковгька #(/Л)-група (теорема 3.2.2);

3) G — нескінченна не локально иільпотептна неметагамільтонова чер-ніковська ST(JA)- але не Х(Л)-група, у якої \G"'\ = //, 6 Є {0,1}, при 6 = 1 G" — М ■ С, де М — скінченна р-група Міллера-Морено, С — локально цпклічна q-група, р, q — не обов’язково ріпні прості числа, М' ■ С С Z(G').

§4.3. “Будова періодичних Т(Л)-груп о абелевим локально піль-потептним корадикалом”. В цьому параграфі в лемах 4.3.1-4.3.4 встановлюються властивості названих груп. Опис пих груп дається в теоремі 4.3.1.

Теорема 4.3.1. Періодичні Т(Д)-групн п абелевим локально нільпотентнпм корадикалом мають вид G = F х Y, де F = H\D, Н — абелева група, шо не містить підгруп із G ні для одпоп) простого 11 Є тг(G), H,D,Y — періодичні групи, тг(П) П 7г(У) = 0, У = I, D містить абелеву холловську п G підгрупу V, що співпадає а локально нільпотснтніш корадикалом групп

D.V х Н = A<G, (A,D] = A, [H,{g)].= H, C„{g) = 1, CD(A) =S<G,

де g € D\S — довільний примарний елемент, підгрупа С,\(д) — квапіцен-тральна підгрупа із G бео інволюціп. і є групами одного п 8 тнпів.

Напріпслад:

1) G нільпотентна мстагамільтовопа група (теорема 2.7.1), .4 = 1.

S=D; '

2) D = V\((b) х A'), |Ь| = q3, р > 0, q просте чпгло, q > 2, HX{h)

— нормальна в G спловська ^-підгрупа, шо є скінченною групою Міллера \1оі>ено, [V. (?;)] = 1, А\Х — Т-група з локальнг) нільпотентнпм кораднка

лон А, Сх(Н) = Сх(А) — абелева група;

8) F = £>, Б С 2? — 5!Г-група (твердження 4.1.1).

За С. Діксоном підгрупа А груші 6’ називається квазіцентральною в С, якщо довільна підгрупа із А нормальна в О.

Як бачимо, типи 2)-7) теореми 4.3.1 значно розширюють клас груп, що є об’єднанням вТ(А)- і розв’язних метагамільтоновпх груп. Інші класи введених в ціп главі груп і виділені в §4.2 ще не описані і е задачами наступних досліджень.

Основні положення дисертації опубліковані у наступних роботах

1. Кузепный Н.Ф., Семко H.H. Строение разрешимых ненильпотентных

метагамильтоиовых групп // Мат. заметки. — - 1983. — 34, N 2. — с. 179-188.

2. Семко H.H., Кузеннып Н.Ф. Строение метацпклпческих метагамцльто-

новых групп. — К.:Кпев. пед. ин-т, 1983. — 22 С.

3. Семко H.H., Кузеннып Н.Ф. О строении бесконечных нильпотентных

периодических метагамильтоиовых групп // Строение групп и их под-групповая характеризация. — К.: Ин-т математики АН УССР, 1984.

— с. 101-111.

4. Кузеннып Н.Ф., Семко H.H. Строение разрешимых метагамильтоиовых

групп // Докп. АН УССР. Сер. А. — 1985. — N 2. — с. 6-9.

5. Горецкий В.Э., Кузеннып Н.Ф. О некоторых цент1>альных расширениях

посредством группы кватернионов Ц Укр. мат. жура. — 198G. -38, N 2. — с. 220-222.

6. Кузепный Н.Ф., Семжо H.H. О строении непериодических метатшль-

тоновых групп // Иов. вузов. Математика. — 1986. — N 11. — с. 32-40. ‘

7. Кузеннып Н.Ф., Субботпн И.Я. Группы, п которых все подгруппы про-

нормальны // Укр. мат. жури. — 1987. — 39, N 3. — с. 325- 329.

8. Кузеннып Н.Ф., Семко H.H. Строение периодических метабелевых ме-

тагампльтоновых групп с незлементарным коммутантом // Укр. Мат. журн. — 1987. — 39, N 2. ■— с. 180-185. .

9. Куоенный Н.Ф.. Семко H.H. Строение периодических метабелевых ме-

тагампльтоновых групп с элементарным коммутантом ранга два // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, N 6. — с. 743-750.

10. Куоенный Н.Ф., Левшценко С.С., Семко H.H. О группах с ппварпапт-ными <5'сконечньши неабелспымп подгрупшши//Укр. мат. журн. — 1988. --40, N3: — с. 314-322.

11. Субботин И.Я., Куоенный Н.Ф. О группах с условием транзитивности// Исследования групп с ограничением для подгрупп. — К.: Ии-т математики АН УССР, 1988..— с. 73-80.

12. Кузенный Н.Ф., Субботин И.Я. Новые характеризации локально нпль-потентных 777-групп // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, N 3. — с. 322-326.

13. Семко H.H., Кузенный Н.Ф. Строение метациклпчеекпх метагампль-

тоновых групп // Современный анализ и его приложения — К.: Наук, думха, 1989. — с. 173-183. .

14. Куоенный Н.Ф., Левшценко С.С., Семко H.H. Группы с инвариант-' ньши бесконечными неабелевыми подгруппами // Методы исследований алгебраических п топологических структур. — К.: Кпев. пед. пн-т, 1989. — с. 37-45.

15. Куоенный Н.Ф., Семко H.H. О строении периодических неабелевых метагамнльтоновых групп с элементарным коммутантом ранга три // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, N 2. - с. 170 -176.

1S. Куоенный Н.Ф., Субботин И.Я. Локально разрешимые группы с условием транзитивности для бесконечных неабелевых нормальных делителей // Методы исследовании алгебраических и топологических структур. —■■ К.: Кпев. пед. пн-т, 1989. — с. 45-52.

17. Куоенный Н.Ф., Семко H.H. О метагамнльтоновых группах с элементарным коммутантом ранга два // Укр. мат. журн. — 1990. 42, N

'2. —с. 168-175. .

18. Kuzeimvj N.F., Subbotin I.J., Tomauek A. О lieklorych rozshiicniach kvaz-icvklickvch grup jj Prirodiie vody. Mateu>atika, Zbomik peilaf;ogickej fakttlty v ]>resnvc imivorzity PJ.Safarika. Kosice. 1990 — Proc. XXIV;

. Zva/.ok 1, - s. 99-125. ... ' ■ .

19. Куаенный Н.Ф., Левшценко С.С. К вопросу о расшеплаемости групп // Комплексный аналиа, алгебра и тополота. — К.: Ин-т математики АН УССР, 1990. - с. 62-68.

20. Семко Н.Н., Куоенный Н.Ф. Строение ннаыютентных непериодических метагами льт«новых групп. — К., 1981. — 25 с. ~ Деп. в ВИНИТИ, N3208.

21. Семко Н.Н., Куаенный Н.Ф. Строениепериодических метабелевых ме-тагамнльтоновых групи с н¡»элементарным коммутантом. - К. 1984.

— 16 с. — Деи. в ВИНИТИ, N 6016.

22. Куаенный Н.Ф., Субботин ИЛ. О поауа&едевых группах. - К: Киев, политехи, ин-т, 1987. — 34 с. — Деп. в УхрННИНТИ 09.02.87, N 671

— Ук-87.

23. Куаенный Н.Ф., Левищеико С.С. О расшепдаемостп групп. — К.: Киев. пед. пн-1,1990. — 19 с. -- Деп. » УкрНШШТИ 06.06.90, N 936

. — Ук— 90.

24. Куаенный Н.Ф., Субботин И.Я. О группах с yt-оовием транзитивности для кеабеаевых делителей // XI Веесокю. сттоо. по теории групп: Tea. докл. — Свердловск: УрО АН СССР, 1989. — с. 67-68.

25. Куаенный К.Ф., Левищенго С.С., Субботин II.Я. Локально разрешимые Х{ Л)-группы Ц Международная конференция по алгебре (Барнаул, 20-25 авг. 1992 г.): Те», дои. — Новосибирск: Упиверсптетское, 1992. — с. 55.

26. Куоенлып Н.Ф., Левшцеето С.С., Субботин ИЛ. Некоторые роауяь-таты описания периодических !Г(Л)-трупп с абелевым локально нппь-потевтвыы корадикалом // III международная конф. по алгебре памяти МИ. Каргаиол»ва (Красноярск, 23- 28 авг. 1993 г.): Тгг>. докл.

— Красноярск: Йн-7 математики СО АН СССР , 1993. — с. 189 190.

Куоенныг! Н.Ф.

Группы с условием транзитивности нормальности для неабелевых подгрупп. Диссертация на соискание ученой степени доктора фпгшко-математических наук по специальности 01.01.06 — алгебра п теория чисел, Украинский государственный педагогический университет им. М.П. Драгоманова, Киев, 1995.

D работе описаны все метагамильтоновые группы, то есть группы, у которых нормальны все неабелевые подгруппы, бесконечные локально ступенчатые группы, у которых нормальны все бесконечные неабелевые подгруппы. Классифицированы локально разрешимые группы, у которых свойство нормальности для неабелевых п бесконечных неабелевых подгрупп есть тран-гштивньш. Дается описание всех метацнклпческих групп. Особенно подробно описаны метацщшические ¿»-группы и группы, у которых нормальны все подгруппы, которые не принадлежат некоторой собственной подгруппе всей группы.

Kuzennyj N.F.

Groups with the condition of transitivity of normality for nonabelian subgroups. Dissertation for the Doctor Degree of Physical and Mathematical sciences in speciality 01.01.06 — algebra and number theory. Ukrainian State Pedagogical University named after M.P. Dragomanov, Kiev, 1995.

In the Dissertation there are described metahamiltonian groups, i.e. groups whose all nonabelian subgroups are normal, and infinite local graduated groups whose all infinite nonabelian subgroups are normal. There are classified locally solvable groups whose property of normality for nonabelian and infinite uon-abelian subgroups are transitive. The description of met acyclic groups is given. Metacyclic p-groups and groups whose subgroups not belonging to certain own subgroup of the whole group are normal are .described thoroughly.

Kniouoni слова: метпациклтнг групи, лгетагаммьтонот групп, трин-зигпиьтгтъ нормальности Н(А)-?рупи. Н{]А)-.'\>упп, Т(А)-?рупп, Т{1А)~ ?рупч.