Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов

Всемирнов, Максим Александрович

Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Всемирнов, Максим Александрович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов»

Автореферат диссертации на тему "Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов"

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Всемирнов Максим Александрович ^(¿Э^

ГУРВИЦЕВОСТЬ И (2,3)-ПОРОЖДЕННОСТЬ МАТРИЧНЫХ ГРУПП МАЛЫХ РАНГОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

□ 0348 /и^э

Санкт-Петербург 2009

003487825

Работа выполнена в лаборатории математической логики Учреждения Российской академии наук Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В А.Стеклова РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ВИНБЕРГ Эрнест Борисович (Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова)

доктор физико-математических наук, профессор ВАВИЛОВ Николай Александрович (Санкт-Петербургский государственный университет)

доктор физико-математических паук, доцент ВДОВИН Евгений Петрович (Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН)

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Защита состоится «28»^ЙКа^З, 20^5г. в К часов на заседании совета Д 212.232.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 28, математико-механичес-кий факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Университетская наб., 7/9.

Защита будет проходить в Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А.Стеклова РАН по адресу: 191023, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311.

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29 доктор физ.-мат. наук, профессор

В.М.Нежинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертационная работа относится к исследованиям по теории ^^-порожденных и гурвицевых групп. Эта область теории групп зародилась еще в XIX веке в работах Ф. Клейна, Р. Фрикс, А. Гурвица и сохранила свою актуальность до настоящего времени. Интерес к (2,3)-порожденным группам объясняется их связью с факторгруппами модулярной группы Р8Ьг(2). А именно, согласно классическому результату Ф.Клейна и Р.Фрике, эпиморф-ные образы модулярной группы, за исключением трех циклических Ъ^, Zз, — это в точности (2,3)-порожденные группы.

Гурвицевы (или конечные (2,3,7)-порожденные) группы образуют весьма важный подкласс (2,3)-порожденных групп. В 1893 г. А. Гурвиц доказал, что для группы автоморфизмов компактной римановой поверхности 72. рода д > 2 справедливо неравенство < 84(д— 1) и что гувицевы группы — это

в точности тс группы автоморфизмов, для которых достигается равенство.

Таким образом, исследования алгебраических свойств гурвицевых и (2,3)-порожденных групп могут иметь интересные приложения не только в самой теории групп, но и в различных областях, так или иначе связанных с модулярной группой: в теории чисел, анализе, теории римановых поверхностей.

В ряду групп РЭЬП(2) модулярная группа РЗЬ2(2) занимает особое положение. Если структура нормальных подгрупп Р8Ь„(2) при п > 3 довольно хорошо изучена (теорема Басса-Милнора-Серра), то аналогичный вопрос для Р8Ьг(2) оказывается чрезвычайно сложным. Причина заключается в том, что в РБЬг^) имеются подгруппы, не являющиеся конгруэнц-подгруппами. В некотором смысле нормальных подгрупп «слишком много», и поэтому надеяться на полную классификацию их и соответствующих факторгрупп практически безнадежно. В связи с этим обычно исследуют ограниченную задачу

о том, какие группы из важных классов (например, классических матричных групп, конечных простых групп и т.п.) являются (2,3)-порожденными.

Задача о (2,3)-порождении знакопеременных групп изучалась еще Дж. Миллером в 1901 году. Случай классических матричных групп над различными коммутативными кольцами (включая конечные поля и евклидовы кольца) рассматривался в работах М. К. Тамбурини, Л. Ди Мартино, Н. А. Вавилова, Дж. Уилсона, Н. Гавиоли, П. Санкини С. Ваесалло и др.

Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилов выдвинули гипотезу о том, что для произвольного конечнопорожденного коммутативного кольца Л всякая элементарная группа Шевалле над Д достаточно большого ранга является (2,3)-порожденной. Можно уточнить эту гипотезу и ставить вопрос о нахождении наименьшего допустимого значения ранга.

Конструктивный подход, развитый в работах Л. Ди Мартино, Н. А. Вавилова, М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли подтвердил справедливость гипотезы Ди Мартино—Вавилова для конечных классических матричных групп. Частный случай матричных групп малых рангов также рассматривался в работах М. К. Тамбурини, С. Вассалло, К. Чакеряна, П. Манолова, М. Каццолы и Л. Ди Мартино.

М. Либек и А. Шалев предложили принципиально иной вероятностный подход, основанный на детальном изучении максимальных подгрупп конечных простых групп. Аналогичные вероятностные методы применимы и к исключительным конечным простым группам типа Ли. Для исключительных серий (кроме групп Сузуки, которые даже не содержат элемента порядка 3) проблема была положительно решена в работах Г. Малле и Ф. Любека.

мальных подгрупп конечных классических простых групп и не могут быть непосредственно перенесены на группы Шевалле над другими кольцами. Поэтому предпочтительнее конструктивные результаты, в которых удается явно построить образующие.

Следует отметить, что в проблемах такого рода (в частности, для задачи конструктивного (2,3)-порождения) случай групп малых рангов оказывается существенно более сложным по сравнению с группами больших рангов. Это объясняется тем, что во втором случае имеется большая свобода в выборе образующих. Для групп малых рангов сложность заключается не только в доказательстве того, что те или иные элементы порождают рассматриваемые группы, но и в поиске самих образующих. Эти случаи зачастую требуют привлечения индивидуальных методов. Поэтому уже даже для классических матричных групп над кольцом целых чисел вопрос об их (2,3)-порождении был решен не до конца. В случае линейных групп над Ъ наилучший из известных результатов содержался в серии работ М. К. Тамбурини и ее соавторов. В частности, известно, что группы 8Ь„(2) при п > 13 и при п = 13

или п > 15 являются (2,3)-порожденными.

М. Кондер поставил в «Коуровской тетради» вопрос о том, будут ли (2,3)-порожденными группы 8Ьз(Х) и СЬз(2). Отрицательный ответ дали независимо Я. Н. Нужин и М. К. Тамбурини и Р. Цукка. В случае групп 01^(2) и А. Ю. Лузгарев и И. М. Певзнер свели проблему к анализу конеч-

ного числа случаев, однако окончательный ответ получить так и не удалось. Таким образом, до настоящего времени оставался открытым вопрос о (2,3)-порождении групп ЭЬП(2) при п = 5,..., 12 и СЬ„(2), п = 5,..., 12, 14.

Задача о гурвицевом (или (2,3,7)-) порождении групп также изучалась с конца XIX века. Ф. Клейн показал, что группа Р8Ь2(7) порядка 168 является группой автоморфизмов так называемой квартики Клейна, заданной урав-

нением х3у + у3г + г3х = 0. Р. Фрике и А. М. Макбет исследовали группу Р8Ь2(8) порядка 504. Однако на протяжении длительного времени примеры гурвицевых групп носили единичный характер. Первую бесконечную серию РБЬг^) для подходящих д описал А. М. Макбет в 1969 году.

Дж. Коэн показал, что Р8Ьз(1,р) не содержит новых гурвицевых подгрупп. Эти результаты многими рассматривались как свидетельство в пользу предположения (как потом выяснилось, ошибочного) о том, что гурвицевы группы встречаются весьма редко.

Настоящий прорыв произошел после работ М. Кондера и, в особенности, А. Луккини, М. К. Тамбуршш и Дж. Уилсона. Используя диаграммный метод Хигмана, М. Кондер доказал, что знакопеременные группы Ап при п > 167 являются гурвицевыми. Лишь в конце 90-х годов XX века А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсон сумели обобщить метод Хигмана-Кондера на случай линейных групп. Разработанная ими техника позволила доказать гур-вицевость многих серий конечных классических групп больших рангов. В случае групп 8ЬП(<7) наилучший на данный момент результат принадлежит автору [18]: для всех п > 252 группы 5Ъп(д) гурвицевы.

Отметим, что упомянутые результаты также конструктивны, то есть соответствующие гурвицевы образующие описываются явным образом. Как и в случае (2,3)-порождсния, групы малых рангов требуют изобретения новых методов. Альтернативный неконструктивный подход, основанный на подсчете числа решений некоторых уравнений в группах и в их максимальных подгруппах, предложил Г. Малле. Наиболее эффективным этот метод оказывается для исключительных серий групп типа Ли. Случай групп Ри 2С?2(32т+1) также исследовали Г. Джонс, Ч.-Х. Са и К. Чакерян. Полный список гурвицевых спорадических простых групп получен в работах Ч.-Х. Са, Л. Финкель-штсйна, А. Рудвалиса, М. Ворбойза, А. Волдара, С. Линтона, Р. Уилсона,

М. Кондера, П. Клейдмана и Р. Паркера.

В ряде работ устанавливается, что группы из некоторых бесконечных семейств не являются гурвицсвыми. Исследования в этом направлении вели Л. Ди Мартино, М. К. Тамбурини, А. Е. Залесский и Р. Винсент.

Одним из интересных подклассов (2,3,7)-порожденных групп являются абстрактные группы (2,3,7;п) = (X, У : X2 = У3 = (ХУ)7 = [Х.У]") и их факторгруппы. Впервые они рассматривались в работах Г. С. М. Коксетера. В этом случае появляется дополнительное ограничение на порядок коммутатора двух образующих, и о таких группах известно крайне мало. Частные случаи п <9 рассматривались еще в работах Дж. Лича и Ч. Симса. Д. Нольт, В. Плескен и В. Сувиньс, а также независимо Дж. Хови и Р. Томас и М. Идж-вет установили, что группа (2,3,7; п) бесконечна в том и только в том случае, когда п > 9. М. Кондер показал, что для достаточно больших тг знакопеременные группы Ап являются эпиморфными образами группы (2,3,7; 84). Однако аналогичные вопросы о том, какие группы Шевалле являются факторгруппами (2,3,7; га), оказываются довольно сложными, и явные примеры носят единичный характер.

В заключение выделим наиболее актуальные и приоритетные направления в указанных задачах. К ним относятся проблемы явного построения (2,3)-и гурвицсвых образующих различных групп, в частности, групп Шевалле над конечнопорожденными кольцами. Особый интерес представляет случай групп Шевалле малых рангов, для которых общие методы неприменимы.

три и проблема о гурвицевом порождении групп типа Ли. В рамках общей задачи требуется разработать технику, применимую к наиболее сложному для анализа случаю групп малых рангов.

Методы исследований. В работе используются методы теории групп, включая метод исследования максимальных подгрупп конечных групп типа Ли. Также используются методы линейной алгебры и теории представлений, в частности, методы, основанные на применении формулы Л. Л. Скотта для описания инвариантов допустимых образующих.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Разработанные в ней методы и полученные результаты могут быть применены для дальнейшего изучения структурных свойств матричных групп над различными классами конечнопорожденных колец и для изучения образующих таких групп. Материалы диссертации могут составить содержание специальных курсов, для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

• Доказана (2,3)-порожденность групп ЯЬп{Ъ) и СЬП(2) для малых значений п > 5. Тем самым получен полный ответ на вопрос, когда группы ЗЬ„(2) и СЬП(2) являются (2,3)-порожденными.

• Классифицированы с точностью до сопряженности пары (2,3)-образую-щих групп 81^(2) и СЬб^).

• Доказана (2,3)-порожденность группы ЭЬб(2) и показано, что имеется лишь конечное число несопряженных пар (2,3)-образующих.

• Доказано, что группа ЭЬв(2) является (3,3,12)-порожденной.

• Классифицированы всс допустимые инварианты подобия неприводимых проективных (2,3,7)-троек в РСЬ^Р) над полем Е .

• Классифицированы с точностью до сопряженности все подгруппы в РСЬ7(Р), порожденные неприводимыми (2,3,7)-тройками, удовлетворяющими условию жесткости. Как следствие, найдены новые серии гурви-цевых групп РЗЬ7(г/) и РБи-^2) для подходящих д.

• Получено достаточное условие, гарантирующее, что тройка образующих, удовлетворяющая условию жесткости, содержится в унитарной группе.

• Найдена параметризация всех неприводимых (2,3,7)-троек в РСЬу(Р), не удовлетворяющих условию жесткости.

• Впервые построены явные гурвицевы образующие для групп С?гЫ для простых р > 5. Доказано, что для таких р группа является эпи-морфным образом группы (2,3,7; 2р) = (X, У : X2 = У3 = (ХГ)7 =

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 24-29 сентября 2007 г.); на международной конференции «Группы и топологические группы» (Милан, Италия, 10-11 июня 2005 г.); на франко-китайском симпозиуме по теории представлений (Гуанчжоу, Китай, 3-10 ноября 2006 г.); на общеинститутском математическом семинаре ПОМИ РАН под руководством проф., д.ф.-м.н. А. М. Вершика; на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева под руководством проф., д.ф.-м.н. А. В. Яковлева, на Московско-Петербургском семинаре по маломерной математике под руководством к.ф.-м.н. С. В. Дужина, на ал-

гебраическом семинаре университета г. Милана (Италия) под руководством проф. JI. Ди Мартино; на математическом семинаре Католического университета г. Брешии (Италия) под руководством проф. М. К. Тамбурини; на алгебраическом семинаре университета г. Кембриджа (Великобритания) под руководством проф. Я. Саксла.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, в том числе 8 работ в изданиях, входящих в список ВАК (издания [10], [11] входили в список ВАК на момент публикации; издания [12]~[17] входят в текущий список ВАК; зарубежные издания [13]-[17[ входят в систему цитирования Web of Science: Science Citation Index Expanded). В совместной работе [4] автору принадлежит доказательство совпадения групп PSU(2, Z[e], В) и Т(2,3, к) при к = 7, 9, 11 (теорема 1.2), и доказательство того, что при четных к > 8 и нечетных к >13 группа Т{2,3, к) будет собственной подгруппой в PSU(2, Z[e], В) (теорема 1.5). В совместной работе [16] автору принадлежит результат о каноническом выборе линейных прообразов проективной (2,3,7)-тройки (лемма 2), а также анализ (2,3,7)-троек и подгрупп в PSL^F) (раздел 3.3 и лемма 7 и теорема 8 в разделе 6). В совместной работе [17] автору принадлежит результат о параметризации (2,3,7)-троек (теорема 1 и леммы 1-9). Остальные результаты в работах [13], [16], [17] принадлежат соавторам. Все результаты, включенные в диссертацию, принадлежат автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 230 страницах и состоит из общей характеристики работы, 6 глав, разбитых на 19 параграфов, 1 приложения и списка использованной литературы. Библиография включает 111 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во вводной части диссертации приведена общая краткая характеристика работы, включающая актуальность темы исследования, краткий обзор основных результатов и структуры работы.

Глава 1. Введение.

Эта глава не содержит собственных результатов автора и включена в диссертацию для возможности автономного чтения диссертации и единообразия терминов и обозначений. В §1.1 приведены основные определения.

Определение 1.1. Группа называется (т, п)-порожденной, если она порождается двумя элементами, скажем х, у, такими, что порядок х равен ш, а порядок у равен п. Пару соответствующих образующих (х, у) будем называть (т,п)-образующими или (тп,п)-парой.

Определение 1.2. Группа называется (ш, п, к)-порожденной, если она порождается двумя элементами, скажем х, у, такими, что порядок х равен т, порядок у равен п, а порядок ху равен к. Пару образующих (х, у) будем называть (т, п, к)-парой. Иногда удобнее формально добавлять и произведение л = ху и рассматривать тройку (х,у,г). Такие тройки будем называть (т, п, к)-тройками.

Определение 1.3. Конечная (2,3,7)-порожденная группа называется гурвицевой.

В случае подгрупп линейных групп также определим следующие понятия.

Определение 1.4. Пусть х, у, г = ху € СЬ„(Р) таковы, что их проективные образы являются (тп, п, /с)-тройкой в РСЬП(Р). В этом случае будем говорить, что (х,у,гг) — проективная (т,п,к)-тройка.

Определение 1.5. Пусть х, у, г = ху & СЬП(Е). Если {х,у) является абсолютно неприводимой подгруппой в СЬП(¥), то будем говорить, что тройка

(х, у, г) неприводима.

Определение 1.7. Пусть а^аг.аз 6 СЬП(Р), причем а\а% = а3. Тройка (а!,а2,аз) называется линейно жесткой если для любой другой тройки (61,62,63) 6 (СЬП(Е))3, такой, что

(О 6^2 = 63,

(И) для каждого г = 1,2,3 матрицы Ьг и <ц сопряжены, существует элемент д € СЬП(Р), осуществляющий одновременное сопряжение: дЬд~1 = сц, г = 1,2,3.

Также §1.1 содержит список основных обозначений, используемых в работе. В §1.2 излагается исторический обзор исследований по теории гурвице-вых и (2,3)-порожденных групп. В §1.3 приведены результаты Л. Ди Мар-тино, М. К. Тамбурини и А. Е. Залесского [3] о различных формах формулы Л. Л. Скотта и теорема К. Страмбака и Г. Фолклейна [8] о линейной жесткости.

Пусть Г — алгебраически замкнутое поле. Рассмотрим группу Я = (х, у) и представление / : Н —» СЬ(V"), где V — конечномерное векторное пространство над Р. Для АС. Н определим размерность йу

с1у = (Ит{г) € V | /(а)г> = V для всех а е А}.

Определим ¿у аналогичным образом для двойственного представления. Неравенство Скотта [7] утверждает, что

Следующий частный случай [3] оказывается весьма эффективным для нахождения допустимых инвариантов подобия матричных образующих. Пусть М = Ма1„(Р) — алгебра квадратных матриц размера п, а Н = {х,у) < ОЬп(Р)

действует на М сопряжением. В частности, (1кх1 есть размерность централизатора /1 в Ма1„(Р). Если группа Н абсолютно неприводима, то (см. [3])

+ + + (1)

Кроме того, теорема К. Страмбака и Г. Фолклейна [8] утверждает, что если группа (х, у) абсолютно неприводима и в формуле (1) имеет место равенство, то тройка (х, у,ху) является линейно жесткой. В частности, в данном случае имеется не более одного класса сопряженности троек с такими инвариантами подобия.

Вторая, третья и четвертая главы посвящены задаче о (2,3)-порождении линейных групп над кольцом целых чисел. Случаи групп 01^(2), 81^(2) и БЬб(2) вынесены в отдельные главы, поскольку для них удается не только установить (2,3)-порождеиность, но и доказать конечность числа классов сопряженности порождающих пар, а для групп 01^(2) и 81^(2) даже полностью классифицировать пары (2,3)-образующих с точностью до сопряжения.

Глава 2. (2,3)-порождение групп 81^(2) и

Во второй главе рассматриваются группы СЬэ(й) и ЭЬ5(2). Результаты получены автором в [12],[19]. Следующая лемма показывает, что для нечетного п достаточно получить ответ для одной из групп СЬга(2) или 8ЬП(2).

Лемма 2.1 Пусть п нечетно, х, у € СЬП(Х) и х2 = у3 = I. Равенство {х,у) = СЬ„(2) имеет место тогда и только тогда, когда {—х,у} =

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.1. Группы СЬ5(2) и 81^(2) являются (2,3)-порожденными. Кроме того, всякая пара (2,3)-образующих группы СЬз(2) сопряжена в с одной из шести пар матриц X, У, а всякая пара (2,3)-образующих группы 81^(2) сопряжена в 01^(2) с одной из шести пар матриц —X, У, где

х =

О 0 0 0 ^ 0-1 ООО

0 0-100

1 0 0 10 0 0 10 1

У =

О 1 О О ai

-1-1 О 0 а2

О О О 1 а3

О 0-1-1 а4

0 0 0 0 1

(2)

a (ai, ü2, аз, 04) — это один из следующих наборов:

(1,-1,-2,-2), (0,-1,-2,-2), (-1,1,-2,-2), (0,1,-2,-2), (1,-1,1,-3), (0,-1,0,-1).

(3)

(4)

(5)

Согласно результату А. Ю. Лузгарева и И. М. Певзнера [2], всякая пара (2,3)-образующпх (если таковая имеется) сопряжена с парой вида

(2), где оь (¡2, аз, 04 — один из наборов, перечисленных в (3)-(5) или

(1,-1,-2,4), (0,-1,2,-8), (-1,1,-2,4), (0,1,4,-8).

(6) (7)

На самом деле достаточно исследовать только 5 случаев из 10. А именно, две пары X, Y и X, Y2 порождают или не порождают GLs(Z) одновременно. Если пара матриц X, Y соответствует первому набору в какой либо из строк (3)—(7), то второй набор из той же строки соответствует паре матриц, сопряженных с X, У2.

В §2.1 показывается, что в случаях (6)-(7) группа (X,Y) является собственной подгруппой в GL5(Z). Доказательство основано на следующей модификации хорошо известной идеи (так называемой «ping-pong леммы» [1]).

Лемма 2.2. Пусть € п > 3, х2 = у3 = I. Предположим, что

нашлись множество >У С К" и вектор и £ К" \ УУ, такие, что

(О хуИ> С IV, ху2\\> С >У ;

(п) хуи е >У, :г?/2и е УУ.

Тогда (1,у> ~ В частности, (ж, у) ^ ЪЪП(Ъ), {х,у) ф $1П(Ъ).

В случае (6)-(7) можно построить требуемое множество УУ в виде объединения «притягивающего конуса» УУо и — УУо- Принципиальное отличие случаев (6)-(7) от (3) -(5) заключается в том, что для (6)-(7) наибольшие по абсолютной величине собственные числа матриц ХУ2 и —ХУ вещественные и положительны. Поэтому удается построить «притягивающий конус» УУо, содержащий {ХУ2, -ХУ}-орбиты, натянутые на соответствующие собственные векторы.

В оставшихся случаях (3)-(5) матрицы X и У порождают СЬП(2). Доказательство приведено в §2.2-§2.4. Опишем стратегию, которая используется при доказательстве положительной части теоремы 2.1 и аналогичных утверждений. Хорошо известно, что группа 8ЬП(2) порождается трансвек-циями. Поэтому достаточно показать, что группа (X, У) содержит все элементарные трансвекции В автореферате опущены громоздкие технические детали. Вместо этого поясним на простейшем примере, как можно искать новые трансвекции (не обязательно элементарные), если некоторые уже найдены. Предположим, что уже установлено, что группа (X, У) содержит матрицу вида / -+- е,- • ьт, где е* = (0,..., 0,1,0,..., 0)т, а V — вектор-столбец, удовлетворяющий условию утег = 0. Если в группе (X, У) удается найти матрицу к ф I, такую, что /ге, = ег, то получаем новую трансвекцию k(I + ei■vт)h~]■ = 1 + е,-ут1г~1. Отметим, что при фиксированном г трансвекции указанного вида коммутируют. Поэтому, построив достаточно большой набор таких матриц, можно породить и элементарные трансвекции в виде

комбинаций уже имеющихся. Аналогичные соображения применимы и в более общей ситуации, например, не только к трансвекциям, но и к матрицам блочно-треуголыюй структуры и т.п.

Основная сложность предложенного метода состоит в поиске матриц к, при помощи которых осуществляется сопряжение. Этот поиск был автоматизирован. А именно, перебирались достаточно короткие слова в образующих X и У, и среди них искались подходящие матрицы к. Как только необходимые элементы построены, проверка полученных соотношений носит чисто формальный характер и может быть проведена непосредственно человеком без использования компьютера.

Глава 3. (2,3)-порождение группы 8Ь6(2).

В §3.1 устанавливается редукционная теорема, сводящая вопрос о (2,3)-порождении БЬб(2) к исследованию конечного числа случаев. Результаты §3.1 опубликованы автором в [10].

Теорема 3.1. Пусть <Х,У> = 8Ь6(Х) и X2 = У3 = /6. Тогда пара X,? должна быть сопряжена в СЪа(^) с одной из пар ±Х, У вида

( 0 /2 В \ ( 12 0

х= /2 0 -В , у = о о -/2 ^ О О 12 ) \ о и -ь )

(8)

где ¡2 — единичная матрица размера 2,

а (Ь1, Ь-2, Ьз, 64,0,1,0,2, аз, а4) — один из следующих наборов:

(0,0,0,1,3,1,1, -3), (1, -1,-1, -4, -3,1,1,3)

(9)

(1,0,0,2,-3,1,1,3), (-6,-1,-1,1,3,1,1,-3), (10)

(0,0,0,1,3,1,-1,-3), (1,-1,1,-4,-3,1,-1,3), (11)

(1,0,0,2,-3,1,-1,3), (-6,-1,1,1,3,1,-1,-3), (12)

(0,2,-2,-3,3,1,-1,1), (1,-3,3,-4,1,1,-1,3), (13)

(1,4,-4,-6,5,1,-1,3), (2,-5,5,-7,3,1,-1,5), (14)

(-2,1,-1,-2,3,1,-1,2), (-1,-2,2,-2,2,1,-1,3), (15)

(-4,2,-2,-1,3,1,-1,4), (-4,-3,3,0,4,1,-1,3). (16)

Доказательство построено следующим образом. В лемме 3.2 доказывается, что всякая пара (2,3)-образующих группы 8Ьб(2) сопряжена с парой вида (8) для некоторых целочисленных матриц Л и В. В частности, мы анализизируем допустимые инварианты подобия, используя формулу Скотта (1). Используя тот факт, что для всякого простого числа р матрицы X и У, рассматриваемые по модулю р, порождают абсолютно неприводимую группу ЭЬб (р), в леммах 3.3-3.7 устанавливаем дополнительные ограничения, которым должны удовлетворять целочисленные параметры ,... 64, <Х1,..., 04. В частности, ¿еЦАВ-ВА) = ±1 и (я0,аьа2) € {(1,1,0), (1,0,1), (-1,1,1), (-1,-1,0), (-1,0,-1),(1,-1,-1)}, где

Яо = <21(24 — <22ЙЗ — За! — ЗйЦ + 9,

= а\ац — а2<2з + + Ь\а 4 — — «3^2 + 2в1 + 204 + 361 + З64 + 3, в2 = —0164 — Ь 1й4 + + аг^з — 3^164 + ЗЬг^з + 01+04 + 3.

Кроме того, в леммах 3.9 и 3.10 показывается, что, не умаляя общности, можно предполагать, что

(о! - 04)62 - 02(^1 - М = 1, 63 = ±62, аз = ±02-

Оставшаяся часть доказательства теоремы 3.1 посвящена поиску целочисленных решений полученной системы.

Результаты §3.2 опубликованы автором в [12], [19]. В теореме 3.2 устанавливается, что группа 8Ьв(2) порождается парой матриц (8), отвечающей параметрам (13). С технической точки зрения оказывается более удобным работать не с матрицами вида (8), а с сопряженной с ними парой. Метод доказательства аналогичен описанному в §2.2-2.4. В частности, из теоремы 3.2 вытекает, что группа является (2,3)-порождениой. Кроме того,

можно проверить, что образующие из теоремы 3.2 удовлетворяют дополнительному соотношению [Х,У]12 = 1. Взяв в качестве образующих группы БЬб(2) матрицы ХУХ, У"1, ХУХ ■ получаем следующий результат.

Теорема 3.3. Группа БЬб(2) является (3,3,12)-порожденной.

Глава 4. (2,3)-порождение групп БЬП{Ъ) и СЬ„(Х): общий случай.

В этой главе дается окончательный ответ на давно стоявший вопрос о том, когда группы БЬ„(2) и СЬ„(Х) являются (2,3)-порожденными. Результаты §4.1 и приложения опубликованы в [12],[19],[20]. Результаты §4.2 опубликованы в [11],[15]. Результаты §4.3 опубликованы в [12].

Теорема 4.1. Группы БСЬ„(2) и РСЬП(2) являются (2, ^-порожденными тогда и только тогда, когда п > 5. Группа Р8ЬП(2) является (2,3)-порождеиной тогда и только тогда, когда п = 2 или п > 5.

В §4.1 приводится общая схема доказательства. Отрицательные результаты при п < 4 были известны ранее. Положительный ответ для 81^(2), и ЭЬб(2) был получен в главе 2 (теорема 2.1) и главе 3 (теорема 3.2), соответственно. Учитывая результаты М. К. Тамбурини, П. Санкини и С. Вассало [6], [9] для групп больших рангов, остается рассмотреть группы 8ЬП(2) при п = 7,. ..,12 и СЬ„(1.) при п = 6,...,12, 14. Более того, согласно лемме 2.1 для нечетных п достаточно рассматривать только одну из двух групп.

В §4.2 и 4.3 подробно рассматриваются группы СЬб(2), и 8Ьу(2).

В отличие от утверждений глав 2 и 3, здесь, по-видимому, не приходится рассчитывать на результат о конечности числа классов сопряженности пар (2,3)-образующих, аналогичный теоремам 2.1 и 3.1. С другой стороны, это предоставляет большую свободу при выборе образующих, и можно искать (2,3)-пары, удовлетворяющие дополнительным условиям. Например, можно установить ограничения на вид характеристического многочлена коммутатора такой пары. В случае п = 6 рассмотрим матрицы

х =

0 0 10 Т\ 7*2

0 0 0 1 Гз Г4

1 0 0 О -г2 -П 0 1 0 0 -г4 —гз 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

У =

^ 1 0 0 0 г5 г0 ^

0 10 0 г7 г8

0 0 0 0-1 0

0 0 0 0 0 -1

0 0 10-1 о

0 0 0 1 0-1

имеющие порядок 2 и 3, соответственно. Следующий шаг состоит в нахождении параметров Гь... ,гв, для которых некоторая степень коммутатора \х,у\ является трансвекцией (не обязательно элементарной). Для этой цели естественно ограничиться случаем, когда 1 является двойным корнем характеристического многочлена для [г, у], а остальные корни простые и имеют конечный мультипликативный порядок. Более точно, было наложено следующее условие: характеристический многочлен матрицы [х, у] равен

(А2 + Л + 1)(А2 - А + 1)(А2 - 2А + 1).

Это условие можно записать в виде системы полиномиальных уравнений в неизвестных г],...,г8. Удается подобрать «небольшие» ее решения, удовлетворяющие естественному необходимому условию: для всех простых чисел р,

меньших некоторой заданной границы, матрицы х и у, рассматриваемые по модулю р, порождают СЬе(р). Было найдено следующее решение, которое проходило все тесты: г\ = Г2 = Г4 = О, гз = Г5 = 1, г^ = Г8 = —2, Г7 = —1. В общей ситуации упомянутое необходимое условие не является достаточным, однако оказывается, что в данном случае (х, у) = СЬ6(Х). Равенство этих групп доказывается методом, аналогичным изложенному в §2.2-2.4 и §3.2.

В §4.3 рассматриваются группы 01^(2) и Б 1^(2). Метод поиска образующих аналогичен описенному выше. В частности, искались матрицы Х\, у\, для которых выполняются равенства х\ = у\ = I и для которых характеристический многочлен коммутатора равен

Х*1У1,Г.УГ.(А) = (А - 1)(А + 1)2(Л2 - Л + 1)(А2 + А + 1). (17)

Доказательство равенства (х\, 2/1)81^7(2) аналогично методу из §2.2-2.4 и §3.2.

В оставшихся случаях 8 < п < 14 технические детали доказательства (в том числе, явный вид образующих и соотношения, показывающие, как в терминах этих образующих строятся трансвекции) вынесены в приложение. Способ нахождения образующих и построение трансвекций аналогичны методу, применявшемуся в §4.2-4.3.

Глава 5. (2,3, &)-порожденные унитарные группы.

В этой главе исследуется вопрос о (2,3, &)-порождении некоторых унитарных групп Р8иг(Я, £), определенных над кольцами алгебраических чисел. Результаты этой главы получены автором в [13].

Обозначим через Т(2,3, к) следующую абстрактную группу, заданную при помощи образующих и определяющих соотношений:

Т(2,3,Л) = (Х,У\Х2 = К3 = (ХУ)к = 1).

Пусть е € <С — первообразный корень из 1 степени к, если к > 1 и нечетно,

и первообразный корень из 1 степени 2к, если к четно. Также положим 9 = б + е-1, г] — е — е-1.

Согласно [3], всякая неабелева (2,3,А;)-порожденная подгруппа РЭГ^С) изоморфна группе, порожденной проективными образами матриц X, У, где

(18)

и проективный образ группы {X, У) изоморфен Т(2,3, к). Матрицы X, У

и л

сохраняют эрмитову форму В = I I. В частности, (X, У) = (X, Z) <

\—>7 V2)

_у1

81)2 (2[е],В) = {А € : А В А = В}. Следующие две теоремы дают

ответ на вопрос о том, когда (в случае бесконечных неразрешимых групп Биг(2[е], В), то есть при к > 6) имеет место равенство (X, 2) = БЦГг(2[е], В). Теорема 5.1. Пусть к = 7, 9 или И. Тогда 8и2(2[е], В) = (X, 2), где X, определены в (18). В частности, группа РБ^^е], В) изоморфна Т(2,3, Теорема 5.2. Для нечетных к > 13 и для четных к > 8 группа (X, 2) является собственной подгруппой Эиг^е], В).

Теорема 5.1 доказывается в §5.2. Несложно проверяется, что матрицы из 8и2(2[б],В) — это в точности матрицы с определителем 1, нрсдставимые в виде

| + [ Х2 ~Хз | [ ^ 1 XI Х0 у у Хз ) -7?у

где 2а7о, 2x1, 2х2, 2хз, хо — хз — х26, х\ + х2 — х^в € 1,[9]. Кроме того, с^^и) = х1+х1-(в2- 3){х\ + х1).

При к = 7,9,11 рассматривается вспомогательная неотрицательная функция >Р(и) = х\ + х\ на множестве 8и2(2|б],В) и показывается (лемма 5.6), что если Р(у) больше некоторой границы, то < F(l^) для подхо-

дящих в, Ь € Ъ. Таким образом, задача сводится к исследованию матриц V б В), для которых значение Р(у) ограничено. Оказывается, что

таких матриц лишь конечное число и все они могут быть представлены в виде ХгЕвХ1 для подходящих г, я и { (леммы 5.8, 5.10, 5.12).

Теорема 5.2 доказывается в §5.3. Доказательство разбивается на два этапа. В лемме 5.13 приводится альтернативное доказательство известного факта о том, что при к > 7 группа 772,3, к) не содержит свободную абелеву подгруппу ранга 2. В лемме 5.15 строится абелева подгруппа в 8иг(2[е], В), а в лемме 5.16 вычисляется ее ранг. В частности, оказывается, что если к > 7, к ф 9, 11, то ранг соответствующей абелевой подгруппы по крайней мере 2. Вычисление ранга основано на теореме Дирихле о единицах.

Глава 6. (2,3,7)-порожденные подгруппы РСЬу(Р).

В этой главе изучаются проективные (2,3,7)-тройки в вЬп(Е) для алгебраически замкнутого поля Е характеристики р > 0. Результаты §6.1 и §6.2 получены автором в [16], результаты §6.3 получены автором в [17]. Изложение в §6.4 следует работе [14]. В §6.1 классифицируются допустимые инварианты подобия неприводимых троек.

Теорема 6.1. Пусть (х,у,г) — неприводимая проективная (2,3,7)-тройка в СЬг(¥). Тогда (с точностью до выбора линейных представителей в проективных классах) инварианты подобия удовлетворяют одной из следующих альтернатив:

(¡) * +1, г2 -1, г2 - 1, г2 -1 для х; г -1, г3 - 1, г3 -1 для у; г7 -1 для г. Кроме того, в этом случае р Ф 2 и (х, у) содержится в ортогональной группе.

(и) ь +1, г2 -1, г2 -1, ¿2 -1 для х; г2 + г +1, г2 + г +1, ¿3 -1 для у; ь7 -1 для г. Кроме того, в этом случае р / 2 и (х, у) содержится в ортогональной группе.

(Ш) Ь + 1, £2 - 1, г2 - 1, $ - 1 для х; * - 1, г3 - 1, г3 - 1 для у; Ь - 7,

Ц - 7)(* - 715)(4 - 722)(< - 729)^ - 736)(( - 743) для 2. В этом случае р ^ 7, а 7 — некий первообразный корень из 1 степени 49.

Доказательство основано на применении различных вариантов формулы Скотта и детальном изучении ограничений на степени инвариантов подобия.

Дальнейшие вычисления показывают, что в случаях, описанных в пунктах (п) и (ш) теоремы 6.1, в формуле Скотта (1) имеет место равенство. Вместе с результатом К. Страмбака и Г. Фолклейна [8] это влечет, что всякая неприводимая (2,3,7)-тройка с такими инвариантами подобия является линейно жесткой. В частности, с точностью до сопряжения имеется не более одной неприводимой тройки с перечисленными инвариантами подобия, и поэтому достаточно предъявить подходящую тройку. В §6.2 изучаются группы, порожденные теми тройками, которые удовлетворяют условию жесткости.

Теорема 6.2. Пусть р ^ 2, а (х, у, г) неприводимая проективная (2,3,7)-тройка в СЬ7(Ж), удовлетворяющая условиям теоремы 6.1(Н). Тогда (х,у) ~ Р8Ь2(8) и имеется в точности один класс сопряженности таких троек.

Следующая теорема не только описывает группы, образующие которых удовлетворяют теореме 6.1(ш), но и дает пример новых серий гурвицевых групп.

Теорема 6.5. Пустьр ф 7 и (х, у, г) — неприводимая проективная (2,3,7)-тройка в СЬ7(Р), инварианты подобия которой перечислены в теореме 6.1(Ш). Тогда имеется в точности один класс сопряженности таких троек.

Для р ф 0 определим ту как порядок р модулю 49. Тогда проективный образ (х, у) изоморфен Р8Ь7 (р'"7), если т7 нечетно, Р8117 (р™7), если т7 четно. Если р — 0, то (х, у) сохраняет невырожденную эрмитову форму.

Гурвицевость групп РБЬ7 (р™7) и Р8117 (р'П7) установлена впервые. Для доказательства теоремы 6.5 используется список максимальных подгрупп в Р8Ь7(д), Р3и7 (д), полученный в [4], и проверяется, что подгруппа, порож-

денная х и у, не может содержаться ни в одной из максимальных подгрупп. В случае, когда m-j четно или р = 0, используется следующее достаточное условие, гарантирующее, что (х, у) содержится в унитарной группе. Этот результат представляет и самостоятельный интерес.

Лемма 6.2. Пусть Ь/К — квадратичное расширение полей и а — нетривиальный автоморфизм L над К. Пусть х, у Е GL„(L). Распространим естественным образом действие а на матрицы. Предположим, что в GL„(L) матрица о(х) сопряжена с х-1, а (у) сопряжсна с у-1, а(х у) сопряжена с (ху)"1. Также предположим, что группа (х, у) абсолютно неприводпма и

<rM + d»M + <%>n2,

где dxM (соответственно d?M, — размерности централизаторов х (соответственно у, ху) в М = Mat„(L). Тогда (х,у) < Un(L, J,o) для некоторой невырожденной эрмитовой формы J.

Для троек, описанных в теореме 6.1(i), условие жесткости не выполняется. Поэтому имеется бесконечно много попарно несопряженных троек с одними и теми же инвариантами подобия. Параметризация всех таких неприводимых троек получена в §6.3.

Зафиксируем 6 — некий корень уравнения i6 + i5 -----1-1 + 1 = 0, то есть

е — фиксированный первообразный корень из 1 степени 7, если р Ф 7, е = 1, если р = 7. Аналогичным образом, и — фиксированный корень многочлена t2 + i +1 = 0, то есть lü — фиксированный первообразный кубический корень из 1, если р ф 3, u> = 1, если р = 3. Основным результатом §6.3 является следующая теорема.

Теорема 6.6. Пусть р ф2. Всякая неприводимая (2,3, 7)-тройка в GL7(F) с инвариантами подобия, перечисленными в теореме 6.1(i), сопряжена в

GLT(F) с тройкой (х,у, z = ху), где х иу заданы равенствами

0 0 0 1 0 0 гЛ 1 0 0 0 n 0 \ Г7

0 0 0 0 1 0 Г2 0 1 0 0 Гь 0 rs

0 0 0 0 0 1 r3 0 0 1 1 r& 0 Г9

1 0 0 0 0 0 n У = 0 0 0 0 -1 0 0

0 1 0 0 0 0 Г2 0 0 0 1 -1 0 0

0 0 1 0 0 0 r3 0 0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 0 0 -1) 1° 0 0 0 0 1 -4

причем ri,... ,rg принадлежат одному из следующих пяти параметрических семейств.

(I) г3, г4 б F, г3г4 + г| + г4 + 1 ф 0 и

П = -Г3-2Г3-Г4, г5 = — г3 — 1, r6 = 0, r9=r3-r4, _ r\ + r|r4 + 4r3 + 3r|r4 + 3r| - 2г3 - r| - rj - 2г4 - 2

Г3Г4 + г| + Г 4 + 1

Г3Г4 + г\ + Г 4 + 1

Кроме того, Fij(r3,r4) ^ О для всякого j = ±1 и i2j(r3,r4) Ф О для всякого j = 1,2,3, где Fijfan) = г|+г3г4-(е4-7'+б2Че^-2)гз+г2-2(е«+е^+^)г4-

e4j _ еУ _ CJ _ ! J j (r31 n) = r| + ГзГ4 + (l _ ei _ e-j)Гз + r2 + Г4 + 62j + e-2j + l

(II) r2 e F и

П = -4, r3 = -3, r4 = 1, r5 = 2, r6 = 0, r7 = r2 + 2, r8 = 2r2 + 8, r9 = -4.

Кроме того, r2 ф -5(64j + c2j + eJ + 2), j = ±1.

(III) рф7,г2е¥,и

г4 = e^ г6 = 0,

П = —е5к — е2к — — 1,

гз = е5к + е4к + е3к + е2к,

г5 = -е5к-е*к-езк-е2к-1,

г7 = екг2-2еЪк-2е2к-1,

г8 = (ек + 1)г2 - 2е5к - е4к - е3к - в2к + ек - 2,

гв = еък + с** + + ^ - ек

для некоторого к е {1,..., 6}. Кроме того,

г2 ф -еьк - еък - 2е2к - Зек - 4, г2 ф -2еьк + е*к - е2к - 2,

г2 ф _еб*_с«+см_с*_2. (IV) гз € Ж, гз ф — 1 и для некоторого к € {1,2}

Г4 = 0, Г5 = -Гз-1, Г6=шк, Г9 = г3,

+ 1)г3 + 2шк + 2

П = -=

Г7 =

П} =

Гз + 1

{ик + 1)г| + (За;* + 3)г§ + (шк + 2)г3 - 2и>к гз + 1

(ц* + 1)г| + (Зы* + 2)г3 + 2изк + 2

г3 + 1

(ш* + 1)г3 + (2шк + 2)г| - 2шк - 2 гз + 1 '

Кроме того, г3 ф шк(е3] + е^ + е6->) + е* + + е4-> - 1, ] £ {1 г3 ф (шЧ1)(1+е»+с-'')-1, ;'€{ 1,2,4}. 26

(V) р ф 3 и для некоторого /с £ {1,2}

7-\0шк 8-&шк 2 + и>к шк-1

П = —д— , Г2 = -д-, Г3 = Г4 =--Г5 = 3 1

г6 = оД г7 = г8 = -2а/ - 1, г9 = 0. Кроме того, р ф 5.

Более того, все тройки (х, у, г) для перечисленных выше семейств непри-водимы.

Для удобства читателя поясним, что в формулировке теоремы 6.6 в каждом из случаев (1)-(У) условия, начинающиеся со слов «кроме того», — это в точности условия, гарантирующие неприводимость соответствующей тройки.

Дальнейшее изучение параметрических семейств может привести к полному описанию гурвицевых подгрупп в СЬ7(Р). Пример соответствующей техники демонстрируется в §6.4. А именно, рассматривается частный случай параметрического семейства (I) с гз = —2, г 4 = 0.

В следующей теореме впервые строятся явные гурвицевы образующие для исключительных групп типа Ли б^р), где р — простое, р > 5. Более того, удается получить более сильный результат, а именно, помимо соотношений для образующих и их произведения, удается указать соотношение, которому удовлетворяет коммутатор образующих.

Теорема 6.7. Для всякого простого р > 5 группа С-^р) является эпиморф-ным образом группы (2,3,7;2р) = (Х,У\Х2 = У3 = (ХУ)7 = [X, У\2" = 1). Иными словами, 62 (р) порождается двумя элементами, хну, такими, что

х2 = у3 = (ху)7 = [х,у}2" = 1. Более точно, в качестве соответствующих образующих можно взять матрицы

х, у (рассматриваемые по модулю р), определенные согласно (19) при следующих значениях параметров г i = 0, = —2, r¡ = —2, Г4 = О, Г5 = 1, rg = О, г7 = 0, г8 = -2, г9 = -2.

Соотношения между образующими проверяются непосредственно. Для вычисления порядка коммутатора [х, у] удобно привести [х, у] к канонической жордановой форме. Доказательство теоремы 6.7 разбивается на 2 этапа. Сначала в лемме 6.14 доказывается, что {х, у) изоморфна подгруппе группы автоморфизмов некоторой алгебры октав. Указывается таблица умножения соответствующей алгебры. Таким образом, для каждого р > 3 группа (х, у) содержится в G2(p). Для завершения доказательства на втором этапе проверяется, что (х, у) не может содержаться ни в одной из максимальных подгрупп Сг(р). Сам список максимальных подгрупп взят из работы П. Клейдмана [5].

Приложение.

Приложение содержит оставшиеся детали доказательства теоремы 4.1, а именно наборы (2,3)-образующих групп SL„(Z) при п = 8, 9, 10, И, 12 и GLra(Z) при п = 8, 9, 10, 11, 12, 14 и построение элементарных трансвекций уровня 1 в терминах этих образующих.

Список литературы.

[1] Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп // М.: Мир, 1980. — 477 с.

[2] Лузгарев А.Ю., Певзнср И.М. Некоторые факты из жизни GL(5,Z) // Записки научных семинаров ПОМИ. - 2003,- Т. 305 - С. 153-162.

[3] Di Martino L., Tamburini M. С., Zalesski А. Е. On Hurwitz groups of low rank // Communications in Algebra - 2000 - Vol. 28, no. 11,— P. 5383-5404.

[4] Kleidman P. The low-dimensional finite simple classical groups and their subgroups // Doctoral Thesis, University of Cambridge.— 1987.

[5] Kleidman P. The maximal subgroups of the Chevalley groups 62(9) with q odd, the Ree groups 2G2(9), and their automorphism groups // Journal of Algebra.- 1988,- Vol. 117, no. 1,- P. 30-71.

[6] Sanchini P., Tamburini M. C. Constructive (2,3)-generation: a permutational approach // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.- 1996,- V. 64.- P. 141-158.

[7] Scott L. L. Matrices and cohomology // Ann. Math.- 1977.- Vol. 105 - P. 473-492.

[8] Strambach K., Volklein H. On linearly rigid tuples // J. Reine Angew. Math.- 1999.- Vol. 510.- P. 57-62.

[9] Tamburini M. C., Vassallo S. (2,3)-generazione di gruppi lineari // Manara C. F. et al. (Eds.) Scritti in onore di Giovanni Melzi Vitae / Sci. Mat.- Milano, Italy: Univ. Cattolica del Sacro Cuore, 1994.- P. 392-399.

Публикации автора по теме диссертации. Издания, входящие в список ВАК.

[10] Всемирное М.А. Является ли группа SL(6,Z) (2,3)-порожденной? // Записки научных семинаров ГГОМИ - 2006.- Т. 330.- С. 101-130.

[И] Всемирное М.А. Группа GL (6, Z) (2,3)-порождена // Препринты ПОМИ РАН.- 2006.- №26.- С. 1-7.

[12] Всемирной М.А. О (2,3)-порождении матричных групп над кольцом целых чисел // Алгебра и анализ.- 2007 - Т. 19, №6,- С. 22-58.

[13] Vsemirnov М., Mysovskikh V., Tamburini М.С. Triangle groups as subgroups of unitary groups // Journal of Algebra.- 2001 - V. 245, no. 2 - P. 562-583.

[14] Vsemirnov M. The groups ^(p), p > 5 as quotients of (2,3,7; 2p) // Transformation Groups.- 2006. - V. 11, no. 2 - P. 295-304.

[15] Vsemirnov M. The group GLe(Z) is (2,3)-generated // Journal of Group Theory.- 2007.- V. 10, no. 4.- 425-430.

[16] Tamburini M.C., Vsemirnov M. Irreducible (2,3,7)-subgroups of PGL„(F), n < 7 // Journal of Algebra.- 2006.- V. 300.- P. 339-362.

[17] Tamburini M.C., Vsemirnov M. Irreducible (2,3,7)-subgroups of PGLn(F), n< 7, II // Journal of Algebra.- 2009.- V. 321, no. 8.- P. 2119-2138.

Прочие издания.

[18] Vsemirnov M. Hurwitz groups of intermediate rank // London Mathematical Society Journal of Computation and Mathematics.— 2004,— V. 7,— P. 300336.

[19] Vsemirnov M.A. On (2,3)-generation of matrix groups over the ring of integers // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Д.К.Фаддеева. Тезисы докладов/ Санкт-Петербург (Россия), 2007.- С. 174-175.

[20] Vsemirnov М. On (2,3)-generation of small rank matrix groups over integers // Quaderni del Seminario Matematico di Brescia.— 2008.— No. 30.— P. 1-15.

Подписано к печати 27.08.09. Формат 60 х 84 '/is . Бумага офсетная. Гарнитура Times. Печать цифровая. Печ. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ 4511.

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел.: (812) 428-4043,428-6919

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Всемирнов, Максим Александрович

Общая характеристика работы.

1 Введение.

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Исторический обзор.

1.3 Формула Скотта и линейная жесткость.

2 (2,3)-порождение групп и СЬб(й).

2.1 Формулировка результата и исключение лишних наборов.

2.2 Первый набор образующих.

2.3 Второй набор образующих.

2.4 Третий набор образующих.

3 (2,3)-порождение группы 8Ьб(2).

3.1 Допустимые образующие.

3.2 (2,3)-порождение группы 8Ь6(2<).

4 (2,3)-порождение групп БЬпС^) и ОЬп(^): общий случай.

4.1 Основной результат и схема доказательства.

4.2 Группа ОЬе{Ъ).

4.3 Группы СЬ7(Х), ЗЬ7(Й).

5 (2,3, /^-порожденные унитарные группы.

5.1 Группы Т(2, 3, к) и унитарные группы.

5.2 Случай к = 7, 9, 11.

5.3 Случай к > 7, к ф 9, 11.

6 (2,3,7)-порожденные подгруппы РСЬу(Е).

6.1 Инварианты подобия (2,3, 7)-троек в РСЬт(Ж).

6.2 Гурвицевы подгруппы в РСЬ^Е), удовлетворяющие условию жесткости.

6.3 Параметризация неприводимых (2,3, 7)-троек, не удовлетворяющих условию жесткости.

6.4 Группы С^Ср) как факторгруппы (2, 3,7; 2р).

Введение диссертация по математике, на тему "Гурвицевость и (2,3)-порожденность матричных групп малых рангов"

Актуальность темы. Диссертационная работа относится к исследованиям по теории (2,3)-порожденных и гурвицевых групп. Эта область теории групп зародилась еще в XIX веке в работах Ф. Клейна [56], Р. Фрике [41], [42], А. Гурвица [48] и сохранила свою актуальность до настоящего времени.

Интерес к (2,3)-порожденным группам объясняется их связью с факторгруппами модулярной группы РЗЬг^). А именно, согласно классическому результату Ф. Клейна и Р. Фрике [42], эпиморфные образы модулярной группы, за исключением трех циклических Ъ\, 1<2, ~ это в точности (2,3)-порожденные группы.

Гурвицевы (или конечные (2, 3, 7)-иорожденные) группы образуют весьма важный подкласс (2, 3)-порожденных групп. В 1893 г. А. Гурвиц доказал [48], что для группы автоморфизмов компактной римановой поверхности 71 рода д > 2 справедливо неравенство \АиЬ(Л)\ < 84(д — 1) и что гувицевы группы — это в точности те группы автоморфизмов, для которых достигается равенство.

Таким образом, исследования алгебраических свойств гурвицевых и (2, 3)-порожденных групп могут иметь интересные приложения не только в самой теории групп, но и в различных областях, так или иначе связанных с модулярной группой: в теории чисел, анализе, теории римановых поверхностей.

В ряду групп РБЬиС^) модулярная группа РЭЬгО^) занимает особое положение. Если структура нормальных подгрупп РЗЬ-п^) при п > 3 довольно хорошо изучена и для подгрупп конечного индекса описывается теоремой Басса-Милнора-Серра [16], то аналогичный вопрос для Р8Ьг(2) оказывается чрезвычайно сложным. Причина заключается в том, что в РЗЬ2(Ж) имеются подгруппы, не являющиеся копгруэнц-подгруппами. В некотором смысле нормальных подгрупп «слишком много», и поэтому надеяться на полную классификацию их и соответствующих факторгрупп практически безнадежно. В связи с этим обычно исследуют ограниченную задачу о том, какие группы из важных классов (например, классических матричных групп, конечных простых групп и т.п.) являются (2,3)-порожденпыми.

Задача о (2,3)-порождении знакопеременных групп изучалась еще Дж. Миллером [74] в 1901 году. Случай классических матричных групп над различными коммутативными кольцами (включая конечные поля, евклидовы и полулокальные кольца) рассматривался в работах М. К. Тамбурини [86], Л. Ди Мартино и М. К. Тамбурини [33], М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли [92], [94], П. Санкини и М. К. Тамбурини[78], М. К. Тамбурини и С. Вассалло [88], Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилова [36], [37].

Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилов [36] выдвинули гипотезу о том, что для произвольного конечнопорожденного коммутативного кольца Я всякая элементарная группа Шевалле над Я достаточно большого ранга является (2,3)-порожденной. Можно уточнить эту гипотезу и ставить вопрос о нахождении наименьшего допустимого значения ранга.

Конструктивный подход, развитый в работах Л. Ди Мартино и Н. А. Вавилова [36], [37], М. К. Тамбурини, Дж. Уилсона и Н. Гавиоли [92], [94] подтвердил справедливость гипотезы Ди Мартино—Вавилова для конечных классических матричных групп. Частный случай матричных групп малых рангов также рассматривался в работах М. К. Тамбурини и С. Вассалло [89], К. Ча-керяна [98], П. Манолова, К. Чакеряна [73], М. Каццолы, Л. Ди Мартино [20].

М. Либек и А. Шалев [59], [60] предложили принципиально иной вероятностный подход, основанный на детальном изучении максимальных подгрупп конечных простых групп.

Аналогичные вероятностные методы применимы и к исключительным конечным простым группам типа Ли. Для исключительных серий (кроме групп Сузуки, которые даже не содержат элемента порядка 3) проблема была положительно решена (также неконструктивно) в работах Г. Малле [71], [72] и Ф. Любека и Г. Малле [66].

К сожалению, вероятностные методы приводят к чистым теоремам существования и не дают никакой информации о самих образующих. Кроме того, эти методы существенно использует информацию о структуре максимальных подгрупп конечных классических простых групп и не могут быть непосредственно перенесены на группы Шевалле над другими кольцами. Поэтому предпочтительнее конструктивные результаты, в которых удается явно построить образующие.

Следует отметить, что в проблемах такого рода (в частности, для задачи конструктивного (2,3)-порождения) случай групп малых рангов оказывается существенно более сложным по сравнению с группами больших рангов. Это объясняется тем, что во втором случае имеется большая свобода в выборе образующих. Для групп малых рангов сложность заключается не только в доказательстве того, что те или иные элементы порождают рассматриваемые группы, но и в поиске самих образующих. Эти случаи зачастую требуют привлечения индивидуальных методов. Поэтому уже даже для классических матричных групп над кольцом целых чисел вопрос об их (2,3)-порождении был решен не до конца. В случае линейных групп над Ъ наилучший из известных результатов содержался в серии работ М. К. Тамбурини и ее соавторов [78], [87], [88]. В частности, известно, что группы при п > 13 и СЬп(й) при п = 13 или 71 > 15 являются (2, 3)-порождеиными.

С другой стороны, хорошо известно, что при п — 2,4 группы 8Ь?г(2) и СЬп(^) не (2,3)-порождены. М. Кондер поставил в ^ Коуровской тетради» [10] вопрос о том, будут ли (2,3)-порожденными группы 8Ьз(й) и СЬз(2). Отрицательный ответ дали независимо Я. II. Нужин [11] и М. К. Тамбурини и Р. Цукка [96]. В случае п — 5 А. Ю. Лузгарев и И. М. Певзнер [9] свели проблему к анализу конечного числа случаев, однако окончательный ответ получить так и не удалось.

Таким образом, до настоящего времени оставался открытым вопрос о (2,3)-порождении групп ЭЬп(Щ при п = 5,., 12 и ОЬп(^) при п = 5,., 12, 14.

В задаче о гурвицевом (или (2,3,7)-) порождении групп открытых вопросов еще больше. Первый пример гурвицевой группы и соответствующая риманова поверхность были известны еще Ф. Клейну. Он показал [56], что группа Р8Ь2(7) порядка 168 является группой автоморфизмов так называемой квартики Клейна, заданной уравнением х3у + у3г + г^х = 0. Р. Фрике [41] исследовал группу Р8Ьг(8) порядка 504. Этот же пример и риманова поверхность рода 7 также рассматривались А. М. Макбетом [68].

Однако на протяжении длительного времени примеры гурвицевых групп носили единичный характер. Первую бесконечную серию РЭЬг^) для подходящих ц описал А. М. Макбет [67] в 1969 году.

Дж. Коэн [21] показал, что Р8Ьз(Ш,р) не содержит новых гурвицевых подгрупп. Эти результаты многими рассматривались как свидетельство в пользу предположения (как потом выяснилось, ошибочного) о том, что гурвицевы группы встречаются весьма редко.

Настоящий прорыв произошел после работ М. Кондера [22] и, в особенности, А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсона [64], [65]. Используя диаграммный метод Хигмана, М. Кондер [22] доказал, что знакопеременные группы Ап при п > 167 являются гурвицевыми. Доказательство Кондера конструктивно, то есть гурвицевы образующие указываются явно. Лишь в конце 90-х годов XX века А. Луккини, М. К. Тамбурини и Дж. Уилсон [64], [65] сумели обобщить диаграммный метод Хигмана-Кондера на случай линейных групп. Разработанная ими техника позволила доказать гурвицевость многих серий конечных классических групп больших рангов.

В случае групп БЬтт^д) наилучший на данный момент результат принадлежит М.А.Всемирнову [101]: для всех п > 252 группы ЗЬп(<?) гурвицевы.

Отметим, что упомянутые результаты также конструктивны, то есть соответствующие гурвицевы образующие описываются явным образом. Как и в случае (2,3)-порождения, случай малых рангов требует изобретения новых методов. Альтернативный неконструктивный подход, основанный на подсчете числа решений некоторых уравнений в группах и в их максимальных подгруппах, предложил Г. Малле [71], [72]. Наиболее эффективным этот метод оказывается для исключительных серий групп типа Ли. Случай групп Ри 2С2(32т+1) также исследовался в работах Г. Джонса [51] и Ч.-Х. Са [77], К. Чакеряна [97]. Также известен полный список гурвицевых спорадических простых групп. Эти результаты содержатся в работах Ч.-Х. Са, Л. Финкель-штейна, А. Рудвалиса, М. Ворбойза, А. Волдара, С. Линтона, Р. Уилсона, М. Кондера, П. Клейдмана и Р. Паркера.

В ряде работ устанавливается, что группы из некоторых бесконечных семейств не являются гурвицевыми. Исследования в этом направлении вели Л. Ди Мартино, М. К. Тамбурини, А. Е. Залесский и Р. Винсент [35], [100].

Одним из интересных подклассов (2,3,7)-порожденных групп являются абстрактные группы (2,3,7; те) = (Х,У : X2 = У3 = (XV)7 = [Х,У]п) и их факторгруппы. Впервые они рассматривались в работах Г. С. М. Коксетера. В этом случае появляется дополнительное ограничение на порядок коммутатора двух образующих, и о таких группах известно крайне мало. Частные случаи п < 9 рассматривались еще в работах Дж. Лича [57], [58] и Ч. Сим-са [79]. Д. Нольт, В. Плескен и Б. Сувинье [45], [46], а также независимо Дж. Хови и Р. Томас [47] и М. Иджвет [38] установили, что группа (2,3,7;тг) бесконечна в том и только в том случае, когда п > 9. Особенно интересной является работа Д. Нольта, В. Плескена и Б. Сувинье [46], в которой строится семимерное комплексное представление группы (2,3,7; 11). М. Кондер показал [27], что для достаточно больших п знакопеременные группы Ап являются эпиморфными образами группы (2,3, 7; 84). Однако аналогичные вопросы о том, какие линейные группы являются факторгруппами (2,3,7;п), оказываются довольно сложными, и явные примеры носят единичный характер.

Другие аспекты гурвицевых групп рассматривались в работах М. Кондера [24], [25], [26], [28], Л. Ди Мартино и М.К. Тамбурини [34], Н. С. Семенова [12], [13].

В заключение разумно выделить наиболее актуальные и приоритетные направления в указанных задачах. К ним относятся проблемы явного построения (2,3)- и гурвицевых образующих различных групп, в частности, групп Шевалле над конечнопорожденными кольцами. Особый интерес представляет случай групп Шевалле малых рангов, для которых общие методы неприменимы.

Цель работы. Основной целью работы является конструктивное исследование вопроса о возможности порождения матричных групп наборами образующих, удовлетворяющих дополнительным соотношениям. К задачам такого типа, в частности, относятся: давно стоящая проблема о порождении линейных групп над кольцом целых чисел парой элементов порядков два и три и проблема о гурвицевом порождении групп типа Ли. В рамках общей задачи требуется разработать технику, применимую к наиболее сложному для анализа случаю групп малых рангов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

• Классифицированы с точностью до сопряженности пары (2,3)-образую-щих групп БЬ^Й) и ОЬб^) (теорема 2.1 из параграфа 2.1).

• Доказана (2,3)-порождеиность группы ЗЬб(^) и показано, что имеется лишь конечное число несопряженных пар (2,3)-образующих (теорема 3.1 из параграфа 3.1 и теорема 3.2 из параграфа 3.2 ).

• Доказано, что группа ЯЬо(^) является (3,3,12)-порожденной (теорема 3.3 из параграфа 3.2).

• Доказана (2,3)-порожденпость групп БЬ^Й) и для малых значений п > 5. Тем самым получен полный ответ на вопрос, когда группы и ОЪп(%>) являются (2, 3)-порожденными (теорема 4.1 из параграфа 4.1).

• Доказана (2,3, к) -порожденность унитарных групп РЭ^(Я, В) для некоторых колец алгебраических чисел Я и для к = 7, 11, 13 и показано, что данный результат нельзя распространить на большие значения к (теоремы 5.1 и 5.2 из параграфа 5.1).

• Классифицированы все допустимые инварианты подобия неприводимых проективных (2, 3,7)-троек в РСЬ7(Р) над полем Е (теорема 6.1 из параграфа 6.1).

• Классифицированы с точностью до сопряженности все подгруппы в РСЬу(Е), порожденные неприводимыми (2,3, 7)-тройками, удовлетворяющими условию жесткости (теоремы 6.2 и 6.5 из параграфа 6.2). Как следствие, найдены новые серии гурвицевых групп РБЬ^д) и РБи7(д2) для подходящих с[ (теорема 6.5 из параграфа 6.2).

• Получено достаточное условие, гарантирующее, что тройка образующих, удовлетворяющая условию жесткости, содержится в унитарной группе (лемма 6.2 из параграфа 6.2).

• Найдена параметризация всех неприводимых (2,3, 7)-троек в РСЬт(Р), не удовлетворяющих условию жесткости (теорема 6.6 из параграфа 6.3).

• Впервые построены явные гурвицевы образующие для групп С?2(р) Для простых р > 5. Доказано, что для таких р группа £?2(р) является эпи-морфным образом группы (2,3,7; 2р) = (Х,У : X2 = У3 = (XV)7 = [X, У]2р — 1) (теорема 6.7 из параграфа 6.4).

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, полученные лично автором.

В совместной работе [106] автору принадлежит доказательство совпадения групп Р8и(2,ад,£) и Т(2,3, к) при к = 7, 9, 11 ([106, теорема 1.2]) и доказательство того, что при четных к > 8 и нечетных к > 13 группа Т(2,3, к) будет собственной подгруппой в РБи(2, Ще], В) ([106, теорема 1.5]).

В совместной работе [90] автору принадлежит результат о каноническом выборе линейных прообразов проективной (2,3,7)-тройки (лемма 2), а также анализ (2,3,7)-троек и подгрупп в РЭН^^) (раздел 3.3 и лемма 7 и теорема 8 в разделе 6).

В совместной работе [91] автору принадлежит результат о параметризации (2,3,7)-троек (теорема 1 и леммы 1-9).

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 11 работ: [2], [3], [4], [90], [91], [101], [102], [103], [104], [105], [106], в том числе 8 работ в изданиях, входящих в список ВАК (издания [2], [3] входили в список ВАК на момент публикации; издания [4], [90], [91], [102], [103], [106] входят в текущий список ВАК).