(2,3)-порождение гиперболических симплектических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах_2укописи

005554521

Васильев Вадим Львович

(2,3)-ПОРОЖДЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

6 НОЯ 2014

Санкт-Петербург 2014

005554521

Работа выполнена в лаборатории математической логики ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А.Стеклова Российской академии наук.

Научный руководитель:

ВСЕМИРНОВ Максим Александрович, доктор физико-математических наук, доцент, ученый секретарь ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук

Официальные оппоненты:

ВАСИЛЬЕВ Андрей Викторович, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории теории групп ФГБУН Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

НУЖИН Яков Нифантьевич, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики ФГАОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»

Ведущая организации:

ФГБОУ ВПО «Российский государственный педагогический университет им. А.И.Герцена»

Защита состоится «_Ю_» OjU/C-Q-Sy*»^ 2014 года в '-ЗОчасов на заседании диссертационного совета Д 002.202.02 в ФГБУН Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 191023, г. Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27, каб. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ФГБУН Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук: http://www.pdmi. ras. ru/pdmi/dissertatiton/васильев-вадим-львович.

Автореферат разослан «. _ 2014 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.202.02 доктор физико-математических паук

JJLdj^-^

А. В. Малютин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одна из важных областей исследований и теории групп посвящена вопросам нахождения минимального количества элементов, порождающих группу, а также определения порядков данных элементов. Особое место в этой области отводится работам по теории (2.3)-порождснных групп, то есть групп, порождаемых инволюцией и элементом порядка 3. Именно к подобным исследованиям относится данная диссертационная работа. Важность темы (2,3)-порождения групп связана с тем, что, согласно результату Ф.Клейна и Р. Фрике [8], эпнморфные образы модулярной группы PSL2(Z), за исключением трех циклических групп Zi. Z-j, Z-j. — это в точности (2,3)-порожденные группы.

С начала XX века совместными усилиями многих авторов удалось положительно решить вопрос о (2,3)-порожденин для большого количества представителей таких важных классов групп, как конечные простые группы и классические матричные группы над конечнопорождеппыми коммутативными кольцами.

Наиболее «простым» для исследования оказался случай одного из классов конечных простых групп знакопеременных групп А„. Еще в 1901 г. Дж. Миллер в статье [11| доказал, что данные группы, за исключением Ль Ai, A3. Ай, А-?, могут быть порождены инволюцией н элементом порядка 3. Для большинства конечных простых классических групп М.Либек и А. Шалев в 1996 г. в работе [10] доказали следующий результат:

Теорема 1. Пусть G пробегает бесконечное семейство групп, состоящее из конечных простых классических или знакопеременных групп, за исключением PSp4(</). Тогда вероятность того, что G порождается выбранными произвольным образом, инволюцией и элементом порядка 3, стремится к 1 при

|G| -> оо.

Если G = PSp4(p"), где р > 3 простое число. то выше унизанная ьероят-

ность стр&иится к 1/2 при |С| —► оо.

Подобный «вероятностный» подход не дает представления о явном виде образующих групп. Однако за последние 30 лет было опубликовано большое количество работ, доказывающих (2,3)-порождение отдельных серий классических матричных групп над консчнопорожденными коммутативными кольцами (в частности, над конечными полями).

Наиболее хорошо изучены на данный момент полные линейные группы и специальные линейные группы над кольцом целых чисел. Случай больших размерностей успешно исследован М.К.Тамбуршш и соавторами в [13]. [14], (15]: будет (2,3)-порождена при п > 13, а СЬП(2) при п = 13 и п > 15. В случае малых размерностей хорошо известно, что эти группы не будут (2,3)-порождены при п = 2,4. В «Коуровской тетради» [4] М. Коядер поставил вопрос о (2,3)-порождении групп и СЪ3(Ж). Отрицательный ответ независимо друг от друга был получен Я. Н. Нужиным в [5] и М. К. Тамбуршш с Р. Цукка в [18]. В 2003 г. А. Ю.Лузгарев и И. М. Певзнер в [3] представили редукционную теорему для группы СЬ5(Й). сведя задачу поиска образующих к рассмотрению всего десять вариантов возможных пар матриц, а в 2006 г. аналогичный результат для ЗЬ0(2) был доказан М. А. Всемирновым в [1[. Позднее М. А. Всемирнов показал в [2], [19[, [20] что группы СЬП(2) и 5Ьп(Х), где п = 5,----12, а также являются (2,3)-порождеш1ыми группами.

Структура гиперболических симплектнческих групп Зр271(г) была менее изучена. Так, в 1980 г. П. Бендер в статье [6] показал, что 8р4(2) является (2,12)-порожденной группой, а в 1996 г. X. Ишибаши в [9] доказал, что Зр2п(2), где п > 3, является (2, т)-порожденной, где т = 12(п — 1) при четном п и т = 6(п — 1) при нечетном п.

При этом для многих симплектнческих групп над конечными полями известно, что они являются (2,3)-порожденными группами. М.Каццола и Л.Да Мартнпо в 1993 г. в [7] показали, что группы РБр^(р"). где р ф 2,3, будут (2,3)-по]юждены. В 1994 г. М.К.Тамбуршш, Дж.Уплсон и Н. Гавноли

доказали в [17] (2,3)-порожденность групп РЭр,,,((?), где д — нечетное число, при п > 37. Данный результат был получен как следствие более общей теоремы для элементарных гиперболических снмплектичсскнх групп достаточно большого ранга над конечнопорожденными коммутативными кольцами, содержащими обратимую двойку. В работе П. Санкннн и М. К. Тамбуринн [13| представлена улучшенная оценка па п снизу: группы Зр2„(<7), где д — нечетно, будут (2,3)-порождены при п > 25.

Вместе с тем, про ряд гиперболических снмплектических групп Зр2п(Ж) при малом значении п хорошо известно, что они не являются (2,3)-порожденными: при п = 1 в силу того, что Зр2(Ж) = ЭЬ2(2). при н = 2 в силу того, что Р3р4(2) и Р3р4(3) не являются (2,3)-порожденными группами ([10|). Отметим, что Р3р4(3") может быть порождена двумя элементами, один из которых инволюция, что доказано М. Пеллегрини, М.К.Тамбурнни и М. А. Вссмирновым и 2012 г. в работе [12]. Также М. А. Всемирной в совместной с соискателем статье [22] доказал, что группа Зрг,(2) не является (2,3)-порождениой. Более того, в этой статье была выдвинута гипотеза:

Гипотеза 1. Гиперболические- симплектические. группы Эрчп(Щ являются (2,3)-порожденными в точности при п > 4.

В диссертационной работе соискатель, в частности, доказывает справедливость гипотезы 1 для случаев п = 4. 5 и п > 25.

Цель работы. Основной целью кандидатской работы является исследование вопроса о (2,3)-порождении гиперболических симплектическнх групп над конечнопорожденными коммутативными кольцами, в том числе, над кольцом целых чисел и над кольцами с дополнительными условиями (аддитивное порождение определенным множеством).

Методы исследований. В работе используются методы линейной алгебры, методы теории групп, в частности, методы, основанные па применении теоремы Жордана о транзитивных группах перестановок, а также вычислительные методы (применение систем компьютерной алгебры).

Теоретическая и практическая ценность. Кандидатская диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут найти дальнейшее применение в исследованиях структуры матричных групп над конечнопорож-денными коммутативными кольцами, в частности при изучении гиперболических симплектическпх групп.

Научная новизна. В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Доказано, что, если Я — коммутативное кольцо, аддитивно порождаемое множеством {52*,2я2*-1 \ к е Ъ} для некоторого в е Я", то при п > 25 элементарные гиперболические симплектические группы Е8р2п(И) являются (2,3)-порожденными. В частности, доказана (2,3)-порожденпость гиперболических симплектическпх групп Зр2п(2) при п > 25.

2. Доказана (2, 3)-гюрожденность групп ЕЗр2п(Я), где Я — коммутативное кольцо, порождаемое элементами 1, при п > 13 + 12 • 2'. В частности, доказана (2,3)-порожденность групп ЕЗр2и(Х[Хь..., X;]), где I > 1, при п > 13 + 12 • 2'.

3. Как следствие из результатов пунктов 1 и 2, доказана (2, 3)-порождснность групп ЕЗр2п(Ж[л]). где а — алгебраическое число, при п > 37. Более того, доказано, что группы Зр2„(2[ш]) будут (2,3)-порождены при п > 25.

4. Доказана (2, 3)-порожденность групп Зр8^) и Зр10^).

Все полученные результаты являются конструктивными, то есть матрицы порядка 2 и 3 соответственно, порождающие рассматриваемые группы, представляются в явном виде.

Апробация работы. Результаты кандидатской работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: на Санкт-Петербургском городском семинаре по дискретной математике, на Санкт-Петербургском городском семинаре но алгебраическим группам, на Санкт-Петербургском

городском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева, на международной конференции «Методы логики в математике V» (1 июня — 7 июня 2008 г.. г. Санкт-Петербург), на молодежной школе-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики» (22 сентября — 3 октября 2011 г., г. Казань). Кроме того, работа над темой диссертации была поддержана грантом РФФИ 09-01-00784-а и грантом Правительства Санкт-Петербурга по итогам конкурса грантов для студентов, аспирантов, молодых ученых, молодых кандидатов наук 2011 г. (диплом победителя серия ПСП У'- 11077).

Публикации. По теме кандидатской диссертации автором опубликовано 7 работ: [21], [22), |23], ¡24], |25|, |26], |27|. В том числе, 3 работы (|22|, ]23|, |24|) опубликованы в международных журналах, индексируемых Web of Science, и одна работа ([21]) опубликована в отечественном журнале, включенном в список ВАК. Все результаты, включенные в диссертационную работу, принадлежат лично соискателю.

Работа [22] паписана в соавторстве, соискателю принадлежит теорема 2 (о (2,3)-порожденности группы Spg(Z)) и следствие 4 (о (2,3,30;10)-порожденностн группы Spg(Z)). Соавтору принадлежит доказательство теоремы 1, а также идея поиска подходящих образующих, описанная в разделе 3.

В [27] представлены тезисы выступления па международной конференции, на котором был анонсирован результат для Sps(Z). Подробное доказательство данного результата позднее было опубликовано в [22] (вклад соискателя п соавтора приведен выше).

Работа [23] написана в соавторстве, соискателю принадлежат теорема 2.1 (о (2,3)-порожденностн группы Sp10(Z)) и леммы 3.1-3.6. Соавтору принадлежит общее руководство работой, идея поиска образующих, описанная в замечании 2.2, идея поиска матриц g¡, описанная в начале доказательства леммы 3.2, а также идея о переходе от верхних блочно-треугольных матриц к нижним блочно-треугольным матрицам, описанная в начале доказательства леммы 3.6.

Работа [24] написана в соавторстве, где соавтору принадлежит общая

конструкция матриц х, у, представленная в разделе 2 статьи [24], а также общая схема доказательства. Соискателю принадлежат подробные детали доказательств.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из общей характеристики работы, 3 глав, разделенных на 9 параграфов, и списка литературы. Библиография состоит из 50 наименований.

Во вводной части диссертации приведена общая характеристика работы, включающая в себя такие разделы, как актуальность темы исследования, основные результаты диссертации, структура диссертации. Глава 1. Введение.

В §1.1 приводятся основные обозначения, использующиеся в диссертации, а также следующие основные определения:

Определение 1.1. Группа б называется (п, т)-порожденной, если существуют элементы х,у 6 С порядка пит соответственно, порождающие группу б. Определение 1.2. Группа (7 называется (п,т, к; I)-порожденной, если существуют элементы х,у е й, такие, что (х, у) = и при этом

Определение 1.3. Пусть Д — коммутативное кольцо с 1. Определим гиперболическую симплектическую группу Зр2л(Д) следующим образом:

Определение 1.4. Пусть П коммутативное кольцо с 1. Элементарной гиперболической симплектической группой Е8р->„(Я) будем называть подгруппу

Содержание диссертации

х" = ут = {ху)к = [х,у]1 = 1.

Эр2п(й), которая порождена следующими матрицами:

12п + и ■ + , если l<i¿j< п,

12п+и- ешн, если 1 <1 =j < п.

,2)/ ч I + и ■ + , если \ < i ф j < п,

ЕцЛи) = \

I 12п + и ■ е„+;,,, если 1 < г = < п,

Е^(и) = /2„ + и • е^ - и • е„+^>+/, если 1 < I ^ ] < п,

где и пробегает всевозможные элементы из Л.

В §1.2 приводятся определения н факты из теории групп, которые используются при доказательстве результатов, представленных в диссертационной работе.

Глава 2. Группы Е3р2„(/?) большого ранга.

Один из главных результатов главы ■ - доказательство того, что Зр2п(Ж) являются (2,3)-порождепными группами при и > 25. Это утверждение следует из более общего результата о том, что для любого копечпопорожденного коммутативного кольца Д и достаточно большого значения п группа ЕБр2п(Д) будет (2,3)-порожденной. Кроме того, в главе показывается, что можно улучшить оценку снизу на п при условии, что па кольцо Я будет наложено ограничение в виде аддитивной порожденное™ определенным множеством. Представленные результаты были опубликованы в работах [21], [24].

Основные результаты главы формулируются в §2.1: Теорема 2.1. Пусть I > 0 и и > 13 + 12 • 2'. Тогда ЕЗр2п(2[Хь ..., X,]) является (2,3)-порожденной группой.

Следствие 2.1. Группа Зр,„(2) является (2,3)-пороэ/сденной при п > 25.

Результаты для кольца 2[Х,,----X,] могут быть распространены па случай

любого копечпопорожденного коммутативного кольца 7? с 1:

Теорема 2.2. Пусть Л ••• колимутатиьние кольцо с 1. которое гюрождено

элементами 1,и1,.... щ. где I > 0. Ест п > 13 + 12 • 2'. то Е8р2г| (П) является

(2,3)-порожденной группой.

Следствие 2.2. Пусть а — алгебраическое число. Тогда Е3р2п(2[а]) является (2,3)-порожденной группой при п > 37.

Дополнительные условия на аддитивное порождение кольца Я в ряде случаев позволяют улучшить оценку снизу на п по сравнению с результатом теоремы 2.2. Точнее, справедлива теорема:

Теорема 2.3. Пусть Я — коммутативное кольцо с 1, з € Я*. Дополнительно предположим, что Я аддитивно порождается множеством

| к 6 Ъ) и {2в2к~1 | к £ Ж} . (1)

Тогда ЕЗр2„(Д) является (213)-порожденной группой при п > 25. Следствие 2.3. Пусть а — корень уравнения х2Ш — 1 = 0. Тогда группа Е3р2„(2[а]) является (2,3)-порожденной при п > 25.

В частности, из следствия 2.3 следует, что группа 8р2„(2[а.']) является (2,3)-порожденной при п > 25.

Следствие 2.4. Группа Зр2п(7/) является (2,3)-порожденной при п > 25.

В §2.2 рассматривается общий случай, когда Я — коммутативное кольцо с 1 (без дополнительных ограничений), и строятся параметрические матрицы х, у 6 СЬ2„(Д), где п > 13 + 121/ и Ь > 1, порядка 2 и 3 соответственно, которые будут использоваться при определенных значениях параметров (будут указаны далее) для доказательства теоремы 2.1 в параграфе 2.4 и теоремы 2.3 в §2.5. Построение параметрических матриц осуществляется в несколько этапов:

1. Пусть В = {иь ... ,1>„} — базис Л", а п = Зт + г, где 1 < г < 3. Действие х\ из СЬ„(Д) определяется на базисных элементах Д" следующим образом:

• Х\ меняет местами г>з,+1 и г'-ц при 1 < г < т — 1;

• .х-] оставляет неподвижными г':!;+2 при 0 < г < т — 2;

• г>1 я?;2 — . где ,ч е Я" \

• если г = 1, то XI меняет местами 1'з,„_1 и 1'зт+1, а ь3т оставляет неподвижным;

• если г = 2, то меняет местами и3та_1 с и3ш+2 и и3т с г;3п1+1:

• если г = 3, то .Т[ меняет местами у3тп^ с ь'3т+3 и щ3т+1 с г>3т+2, а у3т оставляет неподвижным.

Затем определяется ух 6 вЬ„(Л) на базисных элементах Л":

• «з;+з г'гг+2 '->■ ^31+3; где 0 < г < т - 1;

• ЧЧт+З ^ «Зт+2 ^ "Зт + 1 Ч?т+3, ССЛИ Г = 3;

• у\ оставляет неподвижными '(.'3,„+,, где 1 < г < г, если г < 2.

2. Далее рассматривается копия базиса В, чьи элементы будут обозначаться как «„+],..., у2г„ и строятся операторы z¡.j(p. ц) е СЬ2»(Л), где 1 < г ф ] < п и р е Л*, 9 € Л следующим образом: гц{р, д) действует тождественно на всех к £ {!,..., 2 п} \ {г, з, п + г, п + .?'}, а на подмодуле <«,-, г,-, г>„+1-, -ип+]) в Л2" действует как оператор, заданный матрицей

( О 0 0 р-1

д 0 -р-1 О

О -р О д

^ р О О о

При помощи определенных выше матриц строится

£-1

г = П ~12' + 11,12<+14(РЬ ГДе Рг 6 Я', Яг € Я-

г =

3. Наконец, определяется вложение 7г : СЬ„(Л) Зр9„(Л),

и строятся матрицы х = п(х\)г, у = 7г(?/1).

В конце параграфа в лемме 2.1 доказывается, что матрицы хну имеют порядки 2 и 3 соответственно.

В §2.3 доказывается ряд вспомогательных лемм о группе {х.у). Основным результатом параграфа (лемма 2.6) является доказательство того, что в (х, у) содержатся матрицы вида л(а), где а — всевозможные четные перестановочные матрицы из СЬП(Л). При помощи леммы 2.6 значительно облегчаются матричные вычисления, которые осуществляются в §2.4 и §2.5 диссертации.

В параграфе 2.4 доказывается справедливость теоремы 2.1 для кольца Я = 2[ХЬ .. . ,Х;], при этом используются матрицы х, у из §2.2 со следующими значениями параметров: Ь — 2', в = 1, ру = Р1 = ■ • • = рь-1 — 1- а <?о. • • • > Чь-\ ~ всевозможные мономы Д, в которые каждая переменная входит не более одного раза. Доказательство разбито на два этапа. Сначала доказывается: при данных ограничениях верно, что х. у £ ЕБр2п(Я) (лемма 2.7), а затем, что справедливо обратное включение ЕЗр2п(Л) С (х,у) (теорема 2.4). Для доказательства теоремы 2.4 достаточно показать, что в (х.у) содержатся всевозможные матрицы вида где £ = 1,2, 1 < г,] < п, и е К и где

1 <г^з<п,иеЯ..

В §2.5 доказывается справедливость теоремы 2.3 для кольца Я, аддитивно порождаемого множеством из (1), при этом используются матрицы х, у из §2.2 со следующими значениями параметров: Ь = 1 и ро = з, дц = е-1. В данном случае доказательство также разбивается на 2 этапа: доказательство включения х, у € ЕЗр2п(Я) (лемма 2.8) и доказательство обратного включения ЕЗр2п(Я) С (х,у) (теорема 2.5).

Глава 3. Группы Зр2п(й) малого ранга.

Случай малых рангов требует рассмотрения для каждого значения параметра п в отдельности. В третьей главе диссертационной работы доказывается (2, 3)-порожденпость групп Бр8(2) и Зрш(Ж). Результаты главы были онубли-

кованы в [22] и [23].

Параграф 3.1 посвящен доказательству следующей теоремы: Теорема 3.1. Группа Зр8(2) (2,3)-порожденная группа. Более точно, пусть

3 6 4 -3 0 -8 1 -8

0 -3 0 0 8 0 0 0

0 0 -1 1 -1 0 0 2

0 -3 0 1 8 0 -2 0

0 -1 0 0 3 0 0 0

1 0 1 -1 6 -3 0 -3

0 -1 0 0 4 0 -1 0

0 1 0 0 -3 0 1 1

1 3 3 -2 3 -6 1 -6

0 -2 -1 1 2 3 0 3

0 1 —2 0 0 0 -2 1

0 -2 0 1 2 3 1 4

0 0 0 0 1 0 0 0

0 -1 -1 1 3 1 -1 2

0 -1 1 0 1 1 1 0

0 1 0 -1 -1 -1 0 -2

Тогда х2 = уг = I» и {х,у) = Зр8(2).

Прежде чем перейти к изложению идеи доказательства теоремы, отметим, что Зр2п(2) = Е3р2п(2), где п > 3, порождается матрицами £^'(1), где

1 < — п> так как Для образующих группы справедливо равенство

где 1 < г, к < п попарно различные индексы.

Доказательство теоремы 3.1 осуществляется путем построения цепочки матриц из (х,у), имеющих определенную форму. Сначала в (х,у) строятся верхние блочно-треугольные матрицы, затем верхнетреугольные матрицы, которые порождают в Sp8(Z) ту же подгруппу, что н где 1 < i,j < 4.

Затем аналогичный процесс используется для нижнетреугольных матриц из (х,у), но на этот раз он требует меньших вычислительных затрат, так как используется доказанное ранее включение £^-'(1) Е (х, у), где 1 < i,j < 4. Тем самым доказывается, что E¡¿ (1) € (х./у), где 1 < г, j < 4, а значит завершается доказательство теоремы 3.1. Поиск матриц был автоматизирован при помощи компьютерных систем вычисления: перебирались матрицы, имеющие достаточно короткое представление в образующих х и у, а также обладающие необходимой блочной формой.

Кроме того, для матриц х и у из формулировки теоремы 3.1 ири помощи несложных матричных вычислений проверяется справедливость равенств {ху)3° = 18 и [х, 2/310 = /в, а значит, верно:

Следствие 3.1. Группа Sp8(Z) является (2, 3, 30; 10)-порожденной группой.

В §3.2 доказывается (2,3)-порожденность группы Sp10(Z): Теорема 3.2. Группа Sp1(J(Z) — (2, 3)-порожденная группа. Более momio, пусть

1 1 0 0 -1 0 -2 1 1 3

0 0 0 1 0 2 0 3 -3 1

0 1 1 0 -2 -1 -3 0 1 3

0 -2 0 0 0 -1 3 -1 0 -2

0 0 0 -1 -1 -3 -1 -3 2 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 1 -2 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1

0 0 0 0 0 -1 0 -2 0 -1

/ 2 -2 1 -1 -3 -3 2 -5 6 з\

-2 5 -3 -4 3 2 -7 0 -1 1

3 3 -2 -1 2 5 0 5 -1 3

-1 0 0 2 1 1 -1 1 -4 -3

1 1 -1 1 2 3 1 3 -3 -2

1 -1 1 3 0 2 2 3 -3 -1

-3 5 -3 -4 4 2 -6 1 -2 -1

2 -3 2 3 -3 -1 3 -1 1 1

3 -4 3 7 -3 1 4 1 -3 -1

\ -2 4 -3 -3 5 3 -3 2 -3 -з/

Тогда х2 = у:! = 1т и 8р10(2) = (х,у).

Идея первой части доказательства теоремы 3.2 аналогична схеме доказательства теоремы 3.1 — необходимо получить в (х, у) достаточное количество верхнеблочных матриц, порождающих ту же подгруппу в Бр10(2), что и £¡^(1), где 1 < г,] < 5. Однако в данном случае поиск подходящих матриц оказывается более трудоемким, поэтому доказательство разбивается на несколько этапов, оформленных в виде отдельных лемм 3.1-3.4. Наконец, в лемме 3.5 доказывается, что • (1) € {х,у), где 1 < г,_/ < 5. Тем самым завершается доказательство теоремы 3.2.

Список литературы

1. Всемирной М. А. Является ли группа БЦб, Ж) (2,3)-порождешюй? // Записки научных семинаров ПОМИ,- 2006 — Т. 330,- Стр. 101-130.

2. Всемирнов М. А. О (2, 3)-порождсшш матричных групп над кольцом целых чисел // Алгебра и анализ,- 2007,- Т. 19 (С).- Стр. 22-58.

3. Лузгарев А. Ю., Псвзнер И. \1. Некоторые факты из жизни СЦ5, Ъ) // Записки научных семинаров ПОМИ,- 2003. Т. 305. Стр. 153 162.

4. Мазуров В. Л., Хухро Е. II. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. Изд. 14 // Новосибирск.— 1999.

5. Нужин Я. Н. Об одном вопросе М. Кондера // Математические заметки. 2001.- Т. 70 (1).- Стр. 79-87.

6. Bender Р. Eine Präsentation der symplektischen Gruppe Sp(A, Z) mit 2 Erzeugenden und 8 definierenden Relationen // Journal of Algebra.— 1980,— V. 65,- P. 328-331.

7. Cazzola M., Di Martino L. (2,3)-generation of PSp(4,i?), q = pn, p ф 2,3 // Results in Mathematics. 1993. V. 23 (3 4). P. 221 232.

8. Fricke R., Klein F. Vorlesungen über die Theorie der Elliptischen Modulunktionen // Leipzig: Teubner.— 1890.

9. Ishibashi H. Two-element generation of the integral symplectic group Sp„(Z) // Journal of Algebra.- 1996,- V. 179 (1).- P. 137-144.

10. Liebeck M. W., Shalev A. Classical groups, probabilistic methods and the (2,3)-generation problem /7 Annals of Math. 1996. V. 144 (1). P. 77 125.

11. Miller G. On the groups generated by two operations // Bulletin of the American Mathematical Society.- 1901,- V. 7,- P. 424-426.

12. Pellegrini M. A., Tamburini Bellani M. C., Vsemirnov M. A. Uniform (2, fc)-generation of the 4-dimcnsioiial classical groups // Journal of Algebra.— 2012.— V. 369,- P. 322-350.

13. Sanchini P., Tamburini M. C. Constructive (2, 3)-gencration: a permutational approach // Rend. Sem. Math. Fis. Milano LXIV.- 1994,- P. 141-158.

14. Tamburini M. C. The (2,3)-generation of matrix groups over the integers // Bianehi M., Longobardi P., Maj M. (Eds.) / Ischia Group Theory 2008: Proceedings of the Conference in Group Theory.— World Scientific. 2009.— P. 280 287.

15. Tamburini M. С., Vassallo S. (2,3)-generazione di gruppi lineari // Manara C. F. et al. (Eds.) Scritti in onore di Giovanni Mclzi Vitae / Sci. Mat.— Milano, Italy: Univ. Cattolica del Sacro Cuore, 1994. P. 392 399.

16. Tamburini M. C., Wilson J. S. On the (2,3)-generation of some classical groups, II // Journal of Algebra.- 1995 - V. 176 (2).- P. 667-680.

17. Tamburini M. C., Wilson J. S., Gavioli N. On the (2, 3)-gcncration of some classical groups, I //' Journal of Algebra— 1994,- V. 168 (1).- P. 353-370.

18. Tamburini M. C., Zucca P. On a question of M. Conder // Rend. Mat. Ace. Lincei s. 9. 2000. V. 11 (1). P. 5 7.

19. Vscmirnov M. A. The group GL(6,Z) is (2,3)-gcnerated // Journal of Group Theory.- 2007,- V. 10 (4).- P. 425-430.

20. Vscmirnov M. On (2,3)-generation of small rank matrix groups over integers // Quaderni del Scminario Matematico di Brescia.— 2008.-- No. 30.- P. 1-15.

Публикации автора по теме диссертации

Издания, входящие в список ВАК

21. Васильев В. JL О (2,3)-иорождешш гиперболических симплектических групп / Записки научных семинаров ПОМИ. 2014. Т. 423. Сгр.5 32.

Издания, индексируемые Web of Science

22. Vasilyev V. L., Vscmirnov M. A. On (2,3)-generation of low-dimensional symplectic groups over the integers // Communications in Algebra.— 2010,— V. 38 (9).- P. 3469-3483.

23. Vasilyev V. L., Vsemimov M. A. The group Sp10(Z) is (2,3)-generated // Cent. Eur. J. Math.- 2011,- V. 9 (1).- P. 36-49.

24. Vasilyev V. L., Vsemirnov M. A. On the (2.3)-generation of hyperbolic symplectic groups of large rank ■■'/ .Journal of Pure and Applied Algebra. 2013. -V. 217 (11). P. 2036 2049.

Прочие издания

25. Васильев В. Л. О (2,3)-порождении спмплектнческих групп больших размерностей над кольцом целых чисел // Материалы международной конференции, посвященной 100-летню со дня рождения профессора В.В.Морозова, (Казань, 25-30 сентября 2011 г.) п молодежной школы-конферепции «Современные проблемы алгебры и математической логики» (Казань, 22 сентября - 3 октября 2011 г.).— Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2011.— Стр. 50-51.

26. Васильев В. Л. (2,3)-порожденне спмплектнческих групп над кольцом целых чисел // Шестнадцатая Санкт-Петербургская ассамблея молодых ученых и специалистов, СПб.— 2011.— Стр. 34.

27. Vasilyev V. L., Vsemirnov М. A. On (2,3)-generation of group Sp(8,Z) // Methods of Logic in Mathematics V, Short abstracts of an international meeting held on June 1-7, 2008,- St. Petersburg, 2008.- P. 16.

Отпечатано в ООО «Издательство АЛЕКС», Санкт-Петербург, В.О., 14-я линия, д.37. Сдано в печать 07.10.2014г., зак. №81т, Тир. 150 экз.