Хаотическая адвекция и фракталы в нестационарном плоском потоке тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

/С^Л' се

Будянский Максим Васильевич

ХАОТИЧЕСКАЯ АДВЕКЦИЯ И ФРАКТАЛЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПЛОСКОМ ПОТОКЕ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток — 2005

Работа выполнена в Тихоокеанском океанологическом институте им. В. И. Ильичева ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

С. В. Пранц

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки РФ В. В. Юдин

кандидат технических наук Ю. Г. Израильский

Ведущая организация: Институт прикладной математики

ДВО РАН, г. Владивосток

Защита состоится 27 сентября 2005 года в 13:00 на заседании Диссертационного совета Д 212 056.08 при Дальневосточном государственном университете по адресу: 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета

Автореферат разослан --•'■■? ^ -¿С'^ £_ 2005 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.056.08 кандидат физико-математических наук

И. В. Соппа

Общая характеристика работы

Актуальность исследования

Хаотической адвекцией называют процесс переноса жидкостей или газов, а вместе с ними и их свойств, в горизонтальном направлении. В частности, этот термин используют при описании переноса пассивной примеси в двумерных потоках, где под пассивной примесью подразумевают частицы, размеры которых слишком малы, чтобы оказывать существенное влияние на динамику потока, но в тоже время, достаточно велики, чтобы не участвовать в броуновском движении. Описание процессов переноса пассивной примеси нестационарными двумерными потоками несжимаемой жидкости встречается сегодня в большом числе публикаций, посвященных различным областям исследований: перемешиванию жидкости, химическим реакциям, распространению загрязнений в атмосфере и океане, визуализации потоков, технологиям эффективного перемешивания и т. д. Важным свойством подобных потоков является то, что функция тока оказывается аналогом гамильтониана, что, в свою очередь, позволяет вести описание динамики адвектируемых частиц в терминах гамильтоновой механики систем с 3/2 степенями свободы [1]. Поскольку фазовое пространство двумерного несжимаемого гидродинамического потока совпадает с его конфигурационным пространством, то геофизические потоки и лабораторные эксперименты с красителями представляют уникальную возможность наблюдать невооруженным глазом в форме пространственных картин такие фундаментальные структуры и свойства хаотической динамики, как инвариантные множества и их устойчивые и неустойчивые многообразия, фрактальные границы, полеты Леви, динамические ловушки и прочес [2-4].

Настоящая работа посвящена изучению хаотической адвекции пассивной примеси в элементарном детерминированном потоке, состоящем из трёх базовых ингредиентов реальных геофизических потоков: вихря, струйного течения и периодического (приливного) течения. Модели с точечными вихрями неоднократно рассматривались в теоретических работах Арефа [1], Заславского и Кузнецова [5], Столовицкого с соавторами [6], Гледзера [7], Бабиано с соавторами [8] и др. Основное внимание в этих работах было уделено из-

^«дакондлыи-

учению условий перехода от регулярного режима к хаотическому, структуре фазового пространства и её связи со статистическими характеристиками. В нашей работе особое внимание уделено структурообразующим инвариантным множествам фазового пространства, а также связи динамических и фрактальных характеристик системы. Помимо этого исследуется влияние внешнего стохастического возмущения на фрактальные и статистические свойства системы. Решение этой задачи стимулировано наличием интересных природных объектов топографических вихрей в океане и атмосфере, возникающими над горами [9, 10]. Актуальным, в частности, является изучение влияния приливных течений и квазистационарных океанских топографических вихрей над подводными горами на циркуляцию вод, перенос загрязнений и биологическую продуктивность океана. Следует отметить, что подобные работы проводились и проводятся в течение последних нескольких лет в ТОЙ ДВО РАН [11, 12].

Цель работы

Аналитическое и численное исследование хаотической адвекции пассивных примесей в ламинарных гидродинамических потоках, относящихся к классу неинтегрируемых гамильтоновых систем с полутора степенями свободы.

Объект исследования

Пассивные частицы в поле стационарного точечного вихря и плоского потока с периодической и случайной составляющими.

Задачи работы

• Обнаружение и исследование динамического хаоса и его конкретных проявлений в открытом нестационарном гидродинамическом потоке.

• Исследование структуры фазового пространства и взаимосвязи динамических, статистических, топологических и фрактальных характеристик системы.

• Изучение влияния внешнего стохастического возмущения на фрактальные и статистические свойства системы.

„V1

^ 4 Г* . « * Г I '

Научная новизна и положения, выносимые на защиту

• Разбиение фазового пространства на инвариантные множества, поведение типичных траекторий на каждом из них и транспорт пассивных примесей. Хаотическое инвариантное множество Л и визуализация его неустойчивого многообразия Л„ в численных экспериментах с эволюцией материальных линий и треков большого числа пассивных примесей.

• Геометрия и топология хаотического рассеяния. Функции зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания и числа совершаемых ими оборотов вокруг вихря от начальных координат частиц и их фрактальная структура со сложной иерархией последовательностей эпистроф, определяющих транспорт пассивных примесей. Закономерности, обусловленные бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого многообразия множества Л с материальной линией частиц из набегающего потока. Взаимосвязь между топологическими и динамическими характеристиками потока. Модель фрактала рассеяния для малых времён.

• Перемешивание и транспорт пассивных примесей в присутствие случайной составляющей поля скоростей. Неоднородная шумоиндуцирован-ная диффузия. Группы траекторий (кластеры) с близкими начальными условиями, сохраняющие устойчивость в течении значительного промежутка времени несмотря на случайный характер поля скоростей.

Научная и практическая значимость

Полученные результаты могут быть использованы для управляемого и эффективного перемешивания жидкостей и газов в промышленности, химии и биологии. Научная значимость работы подтверждается фактом цитирования опубликованных результатов другими исследователями. Диссертационная работа поддержана следующими грантами.

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты Я« 99-0217269, № 02-02-17796).

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике" (проект № 4.17 "Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах").

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 03-П1-Г-07-18 "Исследование механизмов возникновения фракталов и динамических ловушек в зоне топографического вихря и их роль в неоднородном распределении пассивных примесей", № 04-III-A-07-031 "Фрактальные и статистические свойства хаотического рассеяния пассивных примесей топографическими вихрями", № 05-Ш-Г-07-012 "Хаотическое рассеяние и аномальная диффузия в модели адвекции пассивных примесей топографическим вихрем с детерминированным и случайным возмущениями").

• Федеральная целевая программа "Исследование природы Мирового океана". Проект "Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере".

Достоверность результатов

Обеспечивается использованием современных апробированных методов теоретического и численного анализа, отладкой численных методов в смежных задачах и сравнением полученных результатов с известными ранее.

Апробация результатов

Результаты, представленные в диссертации, докладывались ранее на различных, в том числе международных, научных конференциях: "Progress in Nonlincar Science" (Нижний Новгород, 2001), "I конкурс научных работ молодых ученых ДВО РАН" (Владивосток, 2002, лауреат), "Dynamical Chaos in Classical and Quantum Physics" (Новосибирск, 2003), "Региональная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по физике" (Владивосток, 2004), "II конкурс научных работ молодых ученых ДВО РАН" (Владивосток, 2004, лауреат), "20th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noisc" (Long Beach, California, USA, 2005), "Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference" (Eindhoven, Netherlands, 2005), "Physics and Control" (St. Petersburg, 2005).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 10 статей, в том числе, в журналах "Physica D", "Журнал экспериментальной и теоретической физики", "Письма

в Журнал технической физики", "Доклады Академии наук", а также в сборниках трудов международных научных конференций и в сборниках трудов ТОЙ ДВО РАН.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы го 109 наименований, включает 39 рисунков. Общий объем диссертации составляет ИЗ страниц.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, описывается её общенаучный контекст.

Первая глава "Хаотическая адвекция: обзор литературы" содержит обзор основных публикаций, посвященных тематике диссертации. Здесь описывается явление адвекции пассивных примесей в двумерных потоках идеальной жидкости, а также дан обзор современного состояния теоретических и экспериментальных исследований хаотической адвекции в жидкостях.

Во второй главе "Инвариантные структуры фазового пространства в простой модели хаотической адвекции" теоретически и численно выявлен типичный механизм хаотического перемешивания, описано разбиение фазового пространства на инвариантные множества, исследовано поведение типичных траекторий на каждом из них.

В первом параграфе выводятся уравнения движения адвектируемых частиц. Поле скоростей двумерного несжимаемого потока задаётся функцией тока, которая для точечного вихря на фоне потока со стационарной и периодически модулированной составляющими имеет вид:

Ч* = 1п у/х1+У2 + ех + т, (1)

где т, х,у — нормированное время и нормированные декартовы координаты;

- нормированные скорости движения частиц в стационарной и нестационарной составляющих потока, текущего в направлении с юга на север. С

помощью функции тока уравнения движения пассивной примеси могут быть записаны в виде

дч> У_ *

дх

ду

хг+у

,2'

X -\-у

(2)

В отсутствие возмущения (£ = 0) фазовый портрет динамической системы (2) состоит из коллекции замкнутых и незамкнутых (инфинитных траекторий), разделённых сепаратрисной петлёй, проходящей через седловую особую точку с координатами (—1/е,0) (см. Рис. 1(левая панель)). В полярных координатах эта задача без труда интегрируется в квадратурах

р = ±е

(3)

где Е = 1п у/х2 -Ьу2 + ех интеграл движения.

>> О

Рис. 1 Фазовый портрет ненозмущённой системы (левая панель). Жирная линия сепаратриса. Трансверсальное пересечение устойчивого Н+ и неустойчивого Н~ многообразий седла зародыш гомоклинного хаоса (правая панель) (е = 0,5 и = 0,01).

Во втором параграфе численно и аналитически показано, что при внесении в систему даже малого внешнего возмущения (£ ф 0) происходит расщепление усов сепаратрисы с трансверсальным пересечением устойчивого Н+ и неустойчивого Н~ многообразий ссдловой точки и образованием гомоклин-ной структуры, содержащей бесконечное множество траекторий как периодических, так и хаотических, и являющейся зародышем формирования в детерминированном потоке стохастического слоя (см. Рис. 1(правая панель)).

В третьем параграфе описываются условия численного эксперимента. В настоящей работе для численного моделирования динамики адвектируемых частиц использовался метод Рунгс-Кутта 4-го порядка с контролем точности по двойному шагу интегрирования.

В четвёртом параграфе с помощью численного построения отображения Пуанкаре исследуется структура фазового пространства системы. Показано, что топология фазового пространства существенно зависит от значений управляющих параметров е и С ростом отношения е/| увеличиваются размеры вихревого ядра, увеличиваются порядки выживающих резонансов и уменьшаются размеры хаотического "моря", называемого зоной перемешивания.

Рис. 2: (а) Плоскость сечения Пуанкаре потока. Пунктиром изображена невозмущённа^ сепаратриса, (б) Увеличенное изображение области между "большим островом" и вихревым ядром (е = 0,5 и § = 0,1).

В пятом параграфе описаны структурообразующие инвариантые множества динамической системы (2). Выделено множество всех инвариантных кривых на Рис. 2, являющихся сечениями КАМ-торов. Это множество всех периодических и квазипериодических движений пассивных примесей вокруг центра вихря. Обнаружено, что главный остров в хаотическом море (Рис. 2(а)) образован полуцелым первичным резонансом с периодом л. Выделены инвариантные множества, имеющие канторову структуру со щелями (кантор-торы). На их существование косвенно указывает сгущение точек на границах островов на сечении Пуанкаре Рис. 2(6).

В шестом параграфе численно выявлено хаотическое инвариантное мно-

жество Л (множество всех траекторий, за исключением КАМ-торов и кантор-торов, никогда не выходящих из зоны перемешивания), определяющее рассеяние и пленение частиц из набегающего потока. Это множество состоит из бесконечного числа неустойчивых периодических и непериодических (хаотических) траекторий. На Рис. 3 представлен образ неустойчивого многообразия (инвариантное множество всех траекторий, сходящихся к траекториям из Л при т —оо) детерминированного модельного потока (2) в момент времени 15 ж, полученный в результате численного интегрирования уравнений движения частиц, непрерывно инжектируемых в точке набегающего потока.

Рис. 3: Образ неустойчивого многообра-шя потока Лн — мгновенный "снимок" трека красителя в потоке.

В третьей главе "Геометрия и фрактальные свойства хаотического рассеяния" рассмотрена задача хаотического рассеяния и транспорта частиц. В ходе исследования пассивные частицы располагались вне области перемешивания на прямой уо = —6 с различными значениями координаты х®. Фиксировался момент времени, когда частицы достигают прямой у = 6 (принимается, что выше этой прямой трассер не испытывает влияния вихря).

В первом параграфе показано, что внутри области перемешивания существует богатое разнообразие различных типов траекторий. Частицы с малыми вариациями начальных условий захватываются там на времена с широким спектром значений. На Рис. 4 приведена характерная траектория частицы с большим временем захвата. Этот рисунок демонстрирует явление прилипа-

б

х

ния пассивной частицы к границам резонансных островов и вихревого ядра.

Обнаружено, что функция зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания имеет фрактальную структуру с бесконечным числом сингу-лярностей (см. Рис. 5(а)). Показано, что пространственная диффузия трассеров является аномальной с алгебраическими "хвостами" функций распределения, что объясняется наличием динамических ловушек в системе.

600 500 400 ^300 200 100 О

0.2 >> 0

-0,2

Рис. 4: Удержание пассивной примеси в области перемешивания: (а) изменение х-координаты со временем, (б) траектория частицы, (в) фрагмент траектории вблизи сед-ловой точки, (г) сечение Пуанкаре. Пунктирной линией показана невозмущённая сепаратриса. Время пленения Т ~ 600.

Во втором параграфе исследована геометрия транспорта пассивных примесей в зоне перемешивания. На Рис. б показаны фрагменты эволюции заданной материальной линии в моменты времени т = 8ж, 9л, 107Г и 11л. Частицы с начальными координатами дно < —4,6447002 (Л) и xq > -4,3577522 (G) не захватываются вихрем и сразу вымываются в зону свободного потока (см. сегменты, обозначенные пунктиром на Рис. 6). Было вычислено полное число оборотов и вокруг вихря, совершённое большим количеством частиц, выбранных на отрезке AG до момента их попадания в зону выходящего свободного потока. График зависимости п(хо) представляет собой сложную иерархию последовательностей отрезков материальной линии AG (Рис. 5(6)) с фрак-

10000 Н

1000 100

-4,65 -4,6 -4,55 -4,5 4,45 -4,4 4,35

4

а

2 0

-4,65 -4,6 -4,55 -4,5 -4,45 -4,4 4,35

*0

Рис. 5' (а) фрактальная зависимость времени вымывания частиц из вихревой зоны Т от их начального положения (б) фрактальное множество (при п —у оо) начальных координат хо частиц из набегающего потока, вымываемых из зоны перемешивания после л оборотов вокруг вихря.

тальными свойствами, которые порождаются бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого и неустойчивого многообразий с материальной линией начальных условий при её вращении вокруг вих;.»я. Для каждого п ^ О имеются последовательности отрезков, которые, вслед за авторами [13], были названы эпистрофами. Численные эксперименты с эпистрофами разных уровней выявили следующие закономерности: (1) каждая эпистрофа сходится к предельной точке отрезка начальных условий; (2) концы каждого отрезка эпистрофы уровня п являются предельными точками эпистрофы уровня п+ 1; (3) длины отрезков в эпистрофе убывают в геометрической прогрессии, (/' — /о Я* (где у номер отрезка в эпистрофе): (4) показатель этой прогрессии д одинаков для всех эпистроф и связан с максимальным показателем Ляпунова седловой точки Я соотношением

Я = -¿1п*. (4)

Обнаружено, что фрактал на Рис. 5(6) (названный "фракталом рассеяния") не является строго самоподобным, т. к. в его структуре имеются отрезки, на-

м, а) 1. } ll.il ш

х0

::: ::::::: б) — — — - — —

. - V —М— - —

- Ь -С -—е й--

А В С 1) Е ЕС

зываемые строфами [13], которые не являются элементами эпистроф. Некоторые из них обозначены на рисунке греческими буквами.

X X

X X

Рис. 6: Фрагмент эволюции материальной линии в последовательные моменты времени. Показано формирование "лепестков" из элементов эпистроф и строф фрактала, изобраг жённого на Рис. 5(6) Пунктирная линия — невозмущённая сепаратриса.

В третьем параграфе описывается эволюция материальной линии АС. Прямая материальная линия АС сначала растягивается и изгибается, опоясывая точечный вихрь (см. Рис. 6), а затем часть её начинает складываться, т. к испытывает одновременное влияние двух противоположных тенденций ускорение одних частиц при движении вокруг вихря и замедление других вблизи седловой точки. Показано, что на каждом обороте вокруг вихря от замедлившегося в окрестности седловой точки "хвоста" оставшегося сегмента материальной линии отматывается очередная порция, соответствующая на Рис. 5(6) отрезку эпистрофы и пустому отрезку. Вымывание каждого последующего отрезка нулевой эпистрофы происходит через период относительно предыдущего. По этому сценарию образуются все эпистрофы и строфы на уровнях выше нулевого с тем отличием, что каждый отрезок эпистрофы и-го уровня генерирует не одну, а две эпистрофы (л + 1)-го уровня. Т. с. отрезки этих эпистроф так же вымываются последовательно через период, но парами. В

экспериментах с треками красителя это проявляется в периодическом образовании пары "лепестков". С течением времени треки красителя образуют самоподобную структуру (см. Рис. 3) в том смысле, что с каждым периодом возмущения появляются новые "пальцы" со всё большим и большим числом "лепестков". Обнаружено, что функции рассеяния для элементов эпистроф имеют ¿^-образную форму.

В четвёртом параграфе излагаются результаты лабораторного эксперимента, выполненного в Океанографическом институте в Вудсхолле в 2001 г. [3] и посвященного моделированию взаимодействия западного пограничного глубинного противотечения с двумя круговоротами. Обнаружено сходство геометрических структур, полученных в лабораторном эксперименте с треком красителя и в численных экспериментах.

В пятом параграфе приведены результаты численного расчёта размерности Хаусдорфа-Безиковича фрактального множества, образованного концами сегментов,эпистроф и строф. Обнаружен характерный рост (тренд) размерности фрактала с увеличением разрешения на выбранном отрезке начальных условий (см. Рис. 7), что объясняется увеличением доли адвектируемых чаг стиц, попадающих во внутреннюю область перемешивания, где велико влияние кантор-торов, а также бесконечного множества неустойчивых периодических и непериодических траекторий.

(1

0.75

0.6

Рис. 7: Фрактальная Хаусдорфова размерность <1 как функция размера ячейки покрытия 2~т. 1 - фрактал рассеяния, 2 — модельный фрактал.

В шестом параграфе предложена модель фрактала рассеяния для малых времен выноса и без учёта строф. Модельный фрактал строится по следующему алгоритму:

1) На первом шаге итерации отрезок (затравка) длины L = 1 симметрично заполняется двумя одинаковыми бесконечными последовательностями отрезков, длины которых убывают в геометрической прогрессии (с показателем р = q0'5), причём заполнение начинается с середины затравки, куда помещено начало координат. Для следующих друг за другом сегментов вводятся понятия пустого еа (е — empty) и полного f - full) отрезков, по аналогии с, соответственно, оставшимися и выбывшими сегментами фрактала рассеяния на Рис. 5(6).

2) На дальнейших этапах итерации каждая область л-го уровня над пустыми отрезками (и — 1)-го уровня (л > 1) заполняется, аналогично п. 1, двумя одинаковыми бесконечными последовательностями сегментов.

Получены рекуррентные формулы для длин пустых — и полных — fотрезков на л-м уровне (шаге итерации)

= V^2!'"!-1) (5)

W 2n

/»¡"¿ = ±Л-^-'я12(|'-|-,>, (e)

где {/л} = {l\,...,lm,...,l„} — л-мерный вектор (л б [1;+°°)), определяющий положение сегмента во фрактальной иерархии (/„ € (——l](J(l;+°°)), X = —(\/2ri)\nq и р = lnL/2 —ln(eaj^) — масштабные коэффициенты. На Рис. 7 линия 2 отражает результаты численного расчёта d для модельного фрактала (при X = 0,25) как функцию размера ячеек 2~т. В отличие от "реального" фрактала рассеяния, она осциллирует вокруг значения 0,58.

В четвёртой главе "Влияние внешнего шума и его свойств на динамику адвектируемых частиц" изучается практически важный вопрос о влиянии внешнего шума, его амплитуды и спектра на структуру разбиения фазового пространства, на транспорт частиц в целом и на такие обнаруженные в детерминированной системе свойства хаотической адвекции, как "прилипание" траекторий, фракталы и распределения времён захвата частиц в вихревой зоне.

В первом параграфе обсуждается актуальность исследований влияния ма-

лого шума на динамические системы.

Во втором параграфе указываются цели и задачи четвёртой главы В третьем параграфе вводится модель адвекции со стохастическим возмущением и соответствующая функция тока имеет вид

"Í1 no.se = 1п л/дг2 + у2 + ех + [(1 - a) sin т+ aF(x)], (7)

где параметр Е, определяет интегральную интенсивность (безразмерная скорость) внешнего возмущения, коэффициент а характеризует относительную интенсивность периодической и стохастической составляющих потока, а функция F(t) определяет стохастическое возмущение. Функция F(т) представляется в виде суммы большого числа гармоник (N и 1000) с частотами (£>к, равномерно распределёнными в интервале значений [(Оь\(Ое], и со случайными фазами <р

1 N VN+\l%

где - случайная величина с равномерным распределением в интервале [0;2тг], (Ок = (Ob + k((Oe - (úb)/N, при этом (F(т)) = 0 и (F2(т)) = 1/2. В численных экспериментах в качестве управляющих параметров были выбраны: относительная интенсивность а и ширина частотного окна Асо = [щ\(йе].

В четвёртом параграфе исследуется структура фазового пространства фи наличии шума. Приведены результаты численного построения карт пленения для N = 22801 пассивных частиц, первоначально размещённых в области перемешивания в прямоугольнике с координатами х £ [—2,0;— 0,5],у € [—0,7;0,7], для разных типов и параметров возмущения. Обнаружено, что с увеличением а происходит "размывание" (просветление) основных когерентных структур в фазовом пространстве: вихревого ядра и большого "острова" слева от него. При умеренном шуме (а — 0,5) они практически исчезают, оставляя лишь малую область захвата частиц вокруг точечного вихря. Показано, что наибольшая степень размытия при фиксированной относительной амплитуде а наблюдается в том случае, если спектр шума содержит частоты, близкие к частотам собственного движения частиц по инвариантным орбитам вихревого ядра и "большого" острова. Отдельно рассмотрен случай, когда а = 1, т. с. на систему действует чисто стохастическое возмущение и

Рис. 8: Карты пленения для чисто стохастического возмущения (а = 1, | =0,1): (а) — ДСО] = [0,1; 1], (б) Да>2 = [1; 10]. Цвет определяет время выноса частицы из области перемешивания. Пятнистая структура указывает на неоднородность шумоиндуцированной диффузии.

динамика частиц характеризуется диффузией сквозь полуразрушенные инвариантные кривые вихревого ядра. На Рис. 8 приведены карты пленения для сильного =0,1) низкочастотного (а) и высокочастотного шума (б). Пятнистая структура, т. с. чередование областей начальных условий с различными временами пленения, указывает на неоднородность шумоиндуцированной диффузии.

В пятом параграфе исследуются статистические и топологические свойства шумоиндуцированного рассеяния. Показано, что при умеренных значениях относительной интенсивности, а < 0,1, шум слабо влияет на вид функции рассеяния (расположение гладких участков и пиков). С ростом а наблюдается сужение области вноса и её смещение влево относительно нижнего уса невозмущённой сепаратрисы. Обнаружено, что даже под действием чистого стохастического возмущения вблизи невозмущённого седла продолжают удерживаться частицы, соответствующие концам сегментов строф и эпистроф во фрактале рассеяния. Показано, что с ростом а эпистрофо-строфическая структура сохраняется, но становится менее регулярной: происходит смещение и слияние сегментов строф и эпистроф высоких уровней.

В шестом параграфе исследуется неоднородность шумоиндуцированной

диффузии. Резонансный характер взаимодействия стохастического возмущения с невозмущенными колебаниями нелинейной динамической системы приводит к образованию в фазовом пространстве областей устойчивости, сохраг няющихся для некоторого конечного временного интервала Тс, зависящего от многих факторов (силы и характера шума, вида его спектра и проч.). Для обнаружения областей устойчивости было использовано следующее отображение

хп+1=х(хп,уп,Тс), ул+1 =у(хп,Уп,Тс), (9)

где х„,уп — начальные координаты для п-й итерации. Основное свойство отображения (9) формулируется следующим образом: если последовательность точек отображения (9) образует на плоскости сечения замкнутую кривую, то решения системы уравнений движения с начальными условиями, принадлежащими этой кривой, будут устойчивы по Ляпунову на интервале Тс.

В качестве возмущения был выбран высокочастотный узкополосный шум с параметрами: а = 1, % = 0,1 и Дюз = [9; 10]. На Рис. 9 представлены результаты численного расчёта отображения (9) с различными значениями шага итерации Тс и числом итераций п = 5ООО для 5ООО трассеров с начальными условиями из прямоугольникахо € [—0,7;—0,3] и уо 6 [—0,8;0,8]: (а) и (б) — в координатах отображения х„ и уп; (в) и (г) — в координатах собственной частоты системы Сйо и полярного угла <р = гхс1%уп/хп. Сгущения точек на Рис. 9 соответствуют областям устойчивости. На Рис. 10 дано увеличенное изображение двух областей устойчивости Рис. 9(6), которые имеют вид мелких островов погруженных в хаотическое "море" по аналогии с резонансными островами, образующимся при периодическом возмущении. С увеличением Тс размеры островов уменьшаются, что связано с потерей устойчивости.

В эксперименте наличие областей устойчивости должно проявляться в виде пятен краски (когерентных кластеров), не размываемых в течение длительного времени (порядка нескольких периодов обращения вокруг центра вихря) шумоиндуцированной диффузией.

В заключении диссертации подведены итоги исследования, перечислены полученные результаты и выводы, а также приведён перечень грантов, которыми поддержана работа.

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 -1,5 -1 -0,5 0 0,5

хп хп

ф/Я <р/я

Рис. 9: Отображение (9) с различными значениями шага итерации Тс (ДйЭз = [9; 10]): (а) — Тс — 1,1 к, (б) Тс = 2, Зя: (в) и (г) данные рисунков (а) и (б) в координатах собственной частоты системы (0о и полярного угла <р = атс1%уп/хп- Пунктирная линия - невозмущенная сепаратриса.

Основные результаты и выводы, полученные в диссертации

• В рамках двумерной модели открытого несжимаемого периодического потока со стационарным точечным вихрем описано разбиение фазового пространства на инвариантные множества, исследовано поведение типичных траекторий на каждом из них и транспорт пассивных примесей. Выявлено хаотическое инвариантное множество Л, неустойчивое много-

<

образце Ли которого визуализировано в численных экспериментах с эволюцией материальных линий и треков большого числа пассивных примесей.

• Исследована геометрия и топология хаотического рассеяния и показано, что функции зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания и числа совершаемых ими оборотов вокруг вихря от начальных координат частиц имеют фрактальную структуру со сложной иерархией последовательностей эпистроф, определяющих транспорт пассивных примесей. В этой иерархии выявлены закономерности, обусловленные бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого многообразия множества Л с материальной линией частиц из набегающего потока. Установлена взаимосвязь между топологическими и динамическими характеристиками потока. Предложена модель фрактала рассеяния для малых времён.

• Исследовано перемешивание и транспорт пассивных примесей в присутствие случайной составляющей поля скоростей. Обнаружена неоднородная шумоиндуцированная диффузия. Выявлены группы траекторий (кластеры) с близкими начальными условиями, сохраняющие устойчивость в течении значительного промежутка времени несмотря на случайный характер поля скоростей.

Цитируемая литература

[1] Aref Н. // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 143. P. 1-21.

[2] Solomon T. H., Weeks E. R., Swimmey H. L. // Phys. Rev. Lett. 1993.

Vol. 71, N 24. P. 3975-3978.

[3] Deese H. E., Pratt L. J., Helfrich K. R. // J. Phys. Ocean. 2002. Vol. 32.

P. 1870 1889.

[4] Данилов С. Д., Довженко В. А., Карпилова О. И., Якушин И. Г. //

Изв. РАН, серия ФАО. 1999. Т. 35, N 6. С. 810-820.

[5] Kuznetsov L., Zaslavsky G. M. // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 7330-7349.

[6] Stolovitzky G., Kaper T. J., Sirovich L. // Chaos. 1995. Vol. 5. P. 671-686.

[7] Гледзер А Е. // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 5, N 6. С. 838 845.

[8] Babiano A., Boffetta G., Provenzalc A., Vulpiani А. // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6. P. 2465 2474.

[9] Козлов В. Ф. Модели топографических вихрей в океане. - М. : Наука, 1983. 200 с.

[10] Зырянов В. Н. Топографические вихри в динамике морских течений. Москва : ИВП РАН, 1995. 240 с.

[11] Izrailsky Yu. G., Kozlov V. F., Koshel К. V. // Phys. Fluids. 2004. Vol .16, N 8. P. 3173 3190.

[12] Козлов В. Ф., Кошель К. В., Степанов Д. В. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41, N 2. С. 242-252.

[13] Mitchell К A., Handley J. P., Tighe В., Delos J. В., Knudson S. К. // Chaos. 2003. Vol. 13. P. 880 891.

Список работ, опубликованых по теме диссертации

1. Будянский М. В., Пранц С. В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в Журнал технической физики. 2001. Т. 27, Вып. 12. С. 51-56.

2. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // Доклады АН. 2002. Т. 386, N 5. С. 686 689.

3. Budyansky M. V., Prants S. V. Lagrangian turbulence in a simple deterministic flow: a mechanism and properties // "Progress in Nonlinear Science", Vol. 2. "Frontiers of Nonlinear Physics", ed. by A. G. Litvak. Nizhny Novgorod, 2002. P. 215 220.

4. Будянский M. В. Перемешивание и перенос пассивной примеси в элементарном детерминированном потоке // Океанологические исследования: Сборник статей по материалам конференции молодых учёных Тихоокеанского океанологического института им. В. И. Ильичёва ДВО РАН (2730 ноября 2001 г.) / Под ред. Р. Г. Кулинича и др. Вл-к: Дальнаука, 2002. С. 161 165.

5. Будянский М. В., Пранц С. В. Хаотическая адвекция пассивных примесей в открытом гидродинамическом потоке // Нелинейные динамические процессы: (К 80-летию со дня рождения Уно Копвиллема) / Под ред. С. В. Пранца. — Вл-к: Дальнаука, 2004. С. 63-75.

6. Budyansky М. V., Uleysky М. Yu., Prants S. V. Hamiltonian fractals and chaotic scattering of passive particles by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. P. 369-378.

7. Будянский M. В., Улейский M. Ю., Пранц С. В. Хаотическое рассеяние и фракталы в простом гидродинамическом потоке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 126, Вып. 5(11). С. 1167-1179.

8. Budyansky М. V., Prants S. V. Visualizing Coherent and Fractal Structures in Numerical Experiments on Chaotic Advection in Fluids // In: Proc. 20th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, ed. by A. Luo. — Long Beach, California, USA, 2005. 5p.

9. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Chaotic scattering in a simple Hamiltonian system modeling transport in a topographic eddy // In: Proc. Fifth EU-ROMECH Nonlinear Dynamics Conference, ed. by Dick H. van Campen. — Eindhoven, Netherlands, 2005. 7p.

10. Budyansky M. V., Prants S. V. Nonlinear fractal dynamics and clustering of passive particles by a hydrodynamic vortex and a current // In: Proc. 2nd International Conference "Physics and Control 2005", ed. by A. Fradkov. — St. Petersburg, Russia, 2005. 5p.

Личный вклад автора

Диссертант выполнил научное исследование в соответствии с задачами, поставленными научным руководителем доктором физико-математических наук Пранцсм С. В. и под его непосредственным руководством. Часть результатов получена совместно с Улейским М. Ю. Основные результаты диссертации опубликованы в соавторстве с научным руководителем доктором физико-математических наук Пранцем С. В., а также с Улейским М. Ю.

Будянский Максим Васильевич

ХАОТИЧЕСКАЯ АДВЕКЦИЯ И ФРАКТАЛЫ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПЛОСКОМ ПОТОКЕ

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 05.07.05. Формат 60x84/16. Уч.-изд.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 51.

Отпечатано в ТОЙ ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Балтийская. 43.

ИЗ 144

РНБ Русский фонд

2006-4 10073

Введение

ГЛАВА I Хаотическая адвекция: обзор литературы

ГЛАВА II Инвариантные структуры фазового пространства в простой модели хаотической адвекции

§ 2.1 Модельный поток.

§ 2.2 Периодическое возмущение и гомоклинный хаос.

§ 2.3 Описание численного эксперимента.

§ 2.4 Структура фазового пространства.

§ 2.5 КАМ-торы и кантор-торы.

§ 2.6 Хаотическое инвариантное множество и неустойчивые периодические орбиты.

ГЛАВА III Геометрия и фрактальные свойства хаотического рассеяния

§ 3.1 Динамические ловушки и фракталы.

§ 3.2 Структура хаотического рассеяния.

§ 3.3 Транспорт пассивных примесей.

§ 3.4 Транспорт и перемешивание в лабораторном эксперименте

§ 3.5 Расчёт размерности Хаусдорфа-Безиковича фрактала рассеяния

§ 3.6 Модель фрактала рассеяния

ГЛАВА IV Влияние внешнего шума и его свойств на динамику адвектируемых частиц

§ 4.1 Влияние малого шума на динамические системы.

§ 4.2 Цели и задачи настоящей главы.

§ 4.3 Модель стохастической компоненты гидродинамического потока

§ 4.4 Структура фазового пространства при наличии шума.

§ 4.5 Топологические свойства шумоиндуцированного рассеяния

§ 4.6 Шумоиндуцированная диффузия.

Диссертационная работа посвящена теоретическому и численному исследованию хаотической адвекции пассивных примесей в ламинарных гидродинамических потоках, относящихся к классу неинтегрируемых гамильтоновых систем с полутора степенями свободы. В ней рассматривается, вероятно, простейшая двумерная модель такого рода — адвекция частиц стационарным точечным вихрем на фоне течения с периодической составляющей набегающего потока. Решение этой задачи стимулировано наличием интересных природных объектов — топографических вихрей в океане и атмосфере, возникающими над горами. Актуальным, в частности, является изучение влияния приливных течений и квазистационарных океанских топографических вихрей над подводными горами на циркуляцию вод, перенос загрязнений и биологическую продуктивность океана.

В последнее десятилетие методы теории динамических систем стали активно применяться в физической океанографии с целью качественного и количественного описания влияния когерентных структур на транспорт и перемешивание водных масс, солености, тепла и вещества (примесей). Существенно возросшие за это время возможности визуализации океанских потоков с помощью буев нейтральной плавучести, спутниковых и радарных измерений позволяют уверенно выявлять различные эйлеровы когерентные структуры в океане: от планетарных круговоротов, фронтов, основных струйных течений, мезомасштабных вихрей до более мелких вихрей, струй и филаментов. Под термином "когерентная структура", вслед за многими авторами, мы понимаем некое структурно устойчивое квазистационарное образование, существующее на временах, значительно превышающих все эйлеровы временные характеристики потока. Пример такой структуры приведен на Рис. 1. Это спутниковое изображение поверхностной температуры Гольфстрима, полученное 17 апреля 1989 г. радиометром высокого разрешения NOAA-N. Отчетливо видна петля меандра на фоне основной (вообще говоря, нестационарной) струи Гольфстрима. Подобные структуры возникают и в другом пограничном западном потоке — Куросио.

Целью данной работы является выявление, описание и объяснение в рамках нелинейной динамики основных механизмов перемешивания пассивных примесей (загрязнений, тепла, солёности, фитопланктона и др.) в нестационарных гидродинамических потоках. Поскольку фазовое пространство двумерного несжимаемого гидродинамического потока совпадает с его конфигурационным пространством, то геофизические потоки и лабораторные эксперименты с красителями представляют уникальную возможность наблюдать невооруженным глазом в форме пространственных картин такие фундаментальные структуры и свойства хаотической динамики как инвариантные множества и их устойчивые и неустойчивые многообразия, фрактальные границы, полеты Леви, динамические ловушки и прочее.

Одним из важнейших открытий последних 30-40 лет в физике и математике динамических систем является обнаружение, исследование и понимание нового (в строгом смысле) вида движения — динамического хаоса, т. е. хаотического поведения детерминированных нелинейных динамических систем. Формализовать понятие динамического хаоса проще всего в терминах показателя Ляпунова. Пусть Axq есть расстояние между двумя начальными состояниями в фазовом пространстве. Определим величину

6(t) = lim (1)

4 ' Ахо->0 Ах0 4 ' характеризующую на сколько разошлись две бесконечно близкие друг к дру

Рис. 1. Спутниковое изображение поверхностной температуры Гольфстрима, полученное 17 апреля 1989 г. радиометром высокого разрешения NOAA-N. гу точки к моменту времени t. Если время t достаточно мало, чтобы можно было считать изменение начального состояния равномерным, то S(t) есть решение дифференциального уравнения

2-А* (2) а именно

6(t) = 6oext. (3)

Если показатель Ляпунова Л положителен, то динамика, характеризуемая величиной 6(t), экспоненциально чувствительна к малым изменениям начальных условий и называется хаотической. В ограниченном фазовом пространстве экспоненциально быстро разбегающиеся траектории возвращаются в окрестность своего начального положения, образуя при этом сложнейший клубок непересекающихся (по теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения, определяемого начальными данными) траекторий, который дает наглядный образ хаоса в детерминированных системах.

Одним из первых, кто указал на существование сложных и практически непредсказуемых движений, описываемых уравнениями классической физики, был А. Пуанкаре. Решая задачу трёх тел в небесной механике, он обнаружил, что сложное поведение динамической системы связано с существованием гомоклинической структуры (трансверсального пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий неустойчивой точки равновесия), содержащей бесконечное множество траекторий как периодических, так и непериодических [33]. Развитие идей А. Пуанкаре привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Математическая теория, которая в настоящее время изучает подобные системы, — это так называемая теория гладких динамических систем, или дифференциальная динамика. Несмотря на огромные успехи этой теории, превратившейся по сути в самостоятельный раздел математики, она в большинстве нетривиальных случаев даёт лишь качественное описание движения. В этих условиях естественно использовать физические методы исследования, основанные на введении приближённых моделей, разумных экстраполяции и правдоподобных допущений, направляемых и подкрепляемых экспериментом. При этом речь идёт не только о "настоящих" экспериментах с реальными системами, но и о так называемых численных экспериментах, т. е. численном интегрировании уравнений движения. С эрой высокопроизводительных компьютеров и появлением нового вида научной деятельности — численного экспериментирования, началась массированная атака на хаос (см., например, [1,14,36,38]).

В первой главе диссертации описывается явление адвекции пассивных примесей в двумерных потоках идеальной жидкости. В таких потоках скорость частиц можно выразить через скалярную функцию двух пространственных координат и времени — так называемую функцию тока. При этом уравнения движения частиц имеют гамильтонов вид, где гамильтонианом является функция тока, а координаты являются канонически сопряженными переменными. Для стационарного течения функция тока не зависит от времени, уравнения движения соответствуют консервативной гамильтоновой системе с одной степенью свободы и, следовательно, являются полностью интегрируемыми. В этом случае траектории частиц совпадают с линиями тока (линиями уровня функции тока). Для нестационарных двумерных течений функция тока и уравнения движения частиц явно зависят от времени, порождая неконсервативную гамильтонову систему с полутора степенями свободы (роль половинки степени свободы играет время). Такие системы, вообще говоря, не являются интегрируемыми и в них возможен динамический хаос, иногда называемый в двумерной гидродинамике лагранжевой турбулентностью. В этой же главе дан обзор современного состояния теоретических и экспериментальных исследований хаотической адвекции в жидкостях.

Во второй главе диссертации в рамках двумерной модели открытого несжимаемого периодического потока со стационарным точечным вихрем теоретически и численно выявлен типичный механизм хаотического перемешивания, описано разбиение фазового пространства на инвариантные множества, исследовано поведение типичных траекторий на каждом из них и транспорт пассивных примесей, предложен численный метод выявления неустойчивых периодических орбит с помощью карт изменения энергии частиц. Выявлено хаотическое инвариантное множество Л, неустойчивое многообразие Аи которого визуализировано в численных экспериментах с эволюцией материальных линий и треков большого числа пассивных примесей.

В третьей главе рассмотрена задача хаотического рассеяния и транспорта частиц. Исследована геометрия и топология хаотического рассеяния и показано, что функции зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания и числа совершаемых ими оборотов вокруг вихря от начальных координат частиц имеют фрактальную структуру со сложной иерархией. В этой иерархии выявлены закономерности, обусловленные бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого многообразия множества Л с материальной линией частиц из набегающего потока. Установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик потока. Функции рассеяния являются сингулярными на канторовом множестве начальных условий, что должно проявляться в экспериментах в виде сильных флуктуаций измеряемой величины. Предложена математическая модель формирования фрактала рассеяния. Показано, что пространственная диффузия трассеров является аномальной с алгебраическими "хвостами" функций распределения, что объясняется наличием динамических ловушек в системе.

Все реальные системы подвержены шуму в том или ином виде. В реальных системах не наблюдаются такие процессы, которые возможны только в отсутствие случайных возмущений (например, сепаратрисная траектория или монохроматический предельный цикл). Внешний шум вызывает случайные ч отклонения от того динамического процесса, который описывается соответствующими детерминированными уравнениями. В четвёртой главе изучается практически важный вопрос о влиянии внешнего шума, его амплитуды и спектра на структуру разбиения фазового пространства, на транспорт частиц в целом и на такие обнаруженные в детерминированной системе свойства хаотической адвекции как "прилипание" траекторий, фракталы и распределения времён захвата частиц в вихревой зоне. Показано, что несмотря на достаточно сильный внешний шум в фазовом пространстве системы могут сохраняться зоны устойчивости. В конфигурационном пространстве они проявляются в виде когерентных кластеров — устойчивых и локализованных (в течение достаточно большого времени) конгломератов частиц в виде струй и пятен.

Заключение

В рамках двумерной модели открытого несжимаемого периодического потока со стационарным точечным вихрем описано разбиение фазового пространства на инвариантные множества, исследовано поведение типичных траекторий на каждом из них и транспорт пассивных примесей.

Выявлено хаотическое инвариантное множество Л, неустойчивое многообразие А„ которого визуализировано в численных экспериментах с эволюцией материальных линий и треков большого числа пассивных примесей. Показано, что эволюция материальной линии на пересечении прямой начальных условий в области набегающего потока с устойчивым многообразием и скей-линг на этом одномерном подпространстве полностью определяют хаотические свойства адвекции пассивных примесей. Показано, что сингулярности в зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания от их начальных координат в набегающем потоке обусловлены частицами, попадающими в эту зону вдоль траекторий, принадлежащих устойчивому многообразию Аз, и вымываемых из нее вдоль неустойчивого многообразия Au. Исследована геометрия и топология хаотического рассеяния и показано, что функции зависимости времени пленения частиц в зоне перемешивания и числа совершаемых ими оборотов вокруг вихря от начальных координат частиц имеют фрактальную структуру со сложной иерархией. В этой иерархии выявлены закономерности, обусловленные бесконечно повторяющимися пересечениями устойчивого многообразия множества А с материальной линией частиц из набегающего потока. Обнаружена самоподобная структура этой функции, состоящая из последовательностей эпистроф, определяющих транспорт пассивных примесей.

Установлена взаимосвязь топологических и динамических характеристик хаотической адвекции.

Разработана модель со случайной составляющей поля скоростей и написан пакет программ для численного исследования хаотической адвекции в случае шума. Исследованы метаморфозы фазового пространства моделей с детерминированным полем скоростей и со случайной составляющей. Для различных значений а и начальных условий внутри области перемешивания, построены функции распределения. Обнаруженные фракталы, динамические ловушки и аномальная статистика не исчезают при включении внешнего шума с малой и умеренной амплитудой, т. е. являются достаточно грубыми свойствами системы. Эти свойства не обусловлены спецификой модели и должны проявляться в более реалистичных геофизических потоках.

Численное построение отображения (50) для системы с сильным внешним стохастическим возмущением позволило выявить группы траекторий с близкими начальными условиями, которые сохраняют устойчивость в течение некоторого промежутка времени. Природа таких групп траекторий связана с резонансным характером взаимодействия стохастического возмущения с невозмущенными колебаниями нелинейной динамической системы. Подобные кооперативные эффекты наблюдаются в случайных средах различной физической природы [75].

Работа выполнена при поддержке:

• Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 99 - 0217269, № 02-02-17796);

• Программы фундаментальных исследований Президиума РАН "Математические методы в нелинейной динамике" (проект JV® 4.17 "Статистические методы в теории хаотического рассеяния в гамильтоновых системах");

• Программы Президиума Дальневосточного отделения РАН (проекты № 03-Ш-Г-07-18 "Исследование механизмов возникновения фракталов и динамических ловушек в зоне топографического вихря и их роль в неоднородном распределении пассивных примесей", № 04-III-A-07-031 "Фрактальные и статистические свойства хаотического рассеяния пассивных примесей топографическими вихрями", № 05-Ш-Г-07-012 "Хаотическое рассеяние и аномальная диффузия в модели адвекции пассивных примесей топографическим вихрем с детерминированным и случайным возмущениями");

• Федеральная целевая программа "Исследование природы Мирового океана". Проект "Нелинейные динамические процессы в океане и атмосфере".

Список статей, опубликованных по теме диссертации

1. Будянский М. В., Пранц С. В. Механизм хаотического перемешивания в элементарном детерминированном потоке // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27, Вып. 12. С. 51-56.

2. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // ДАН. 2002. Т. 386, N 5. С. 686-689.

3. Budyansky М., Prants S. Lagrangian turbulence in a simple deterministic flow: a mechanism and properties // "Progress in Nonlinear Science", Vol. 2.

Frontiers of Nonlinear Physics", ed. by A. G. Litvak. — Nizhny Novgorod, 2002. P. 215-220.

4. Будянский M. В. Перемешивание и перенос пассивной примеси в элементарном детерминированном потоке // Океанологические исследования: Сборник статей по материалам конференции молодых учёных Тихоокеанского океанологического института им. В. И. Ильичёва ДВО РАН (2730 ноября 2001 г.) / Под ред. Р. Г. Кулинича. — Вл-к: Дальнаука, 2002. С. 161-165.

5. Будянский М. В., Пранц С. В. Хаотическая адвекция пассивных примесей в открытом гидродинамическом потоке // Нелинейные динамические процессы: (К 80-летию со дня рождения Уно Копвиллема) / Под ред. С. В. Пранца. — Вл-к: Дальнаука, 2004. С. 63-75.

6. Budyansky М. V., Uleysky М. Yu., Prants S. V. Hamiltonian fractals and chaotic scattering of passive particles by a topographical vortex and an alternating current // Physica D. 2004. Vol. 195. P. 369-378.

7. Будянский M. В., Улейский M. Ю., Пранц С. В. Хаотическое рассеяние и фракталы в простом гидродинамическом потоке // ЖЭТФ. 2004. Т. 126, Вып. 5(11). С. 1167-1179.

8. Budyansky М. V., Prants S. V. Visualizing Coherent and Fractal Structures in Numerical Experiments on Chaotic Advection in Fluids // In: Proc. 20th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise, ed. by A. Luo. — Long Beach, California, USA, 2005. 5p.

9. Budyansky M., Uleysky M., Prants S. Chaotic scattering in a simple Hamiltonian system modeling transport in a topographic eddy // In: Proc. Fifth EU

ROMECH Nonlinear Dynamics Conference, ed. by Dick H. van Campen. — Eindhoven, Netherlands, 2005. 7p.

10. Budyansky M. V., Prants S. V. Nonlinear fractal dynamics and clustering of passive particles by a hydrodynamic vortex and a current // In: Proc. Physics and Control 2005, ed. by A. Fradkov. — St. Petersburg, Russia, 2005. 5p.

1. Анищенко В. С, Астахов В. В., Вадивасова Т. Е. Нейман А. В., Стрелкова Г. И., Шиманский-Гайер JI. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 544 с.

2. Андронов А. А., Понтрягин JI. С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. Т. 14, N 5. С. 378-389.

3. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981. 568 с.

4. Аргонов В. Ю., Пранц С. В. Фракталы и хаотическое рассеяние атомов в поле стоячей световой волны // ЖЭТФ. 2003. Т. 123, N 5. С. 946-961.

5. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18, N 5. С. 13-40.

6. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. — Москва: ВИНИТИ, 1985. 304 с.

7. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. // Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. — М.: Наука, 1990. 488 с.

8. Борисов А. В, Мамаев И. С. Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей / Под ред. А. В. Борисова и др. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 704 с.

9. Будянский М. В., Улейский М. Ю., Пранц С. В. Фракталы и динамические ловушки в простейшей модели хаотической адвекции с топографическим вихрем // ДАН. 2002. Т. 386, N 5. С. 686-689.

10. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. — М.: Мир, 1986. 181 с.

11. Гледзер А. Е. Захват и высвобождение массы в вихревых структурах океана // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1999. Т. 5, N 6. С. 838845.

12. Данилов С. Д., Довженко В. А., Карпилова О. И., Якушин И. Г. Перенос пассивной примеси в нестационарной четырёхвихревой гидродинамической системе // Изв. РАН, серия ФАО. 1999. Т. 35, N 6. С. 810-820.

13. Данилов С. Д., Довженко В. А., Якушин И. Г. Перенос пассивного скаляра и лагранжев хаос в гамильтоновой гидродинамической системе // ЖЭТФ. 2000. Т. 118, Вып. 2(8). С. 483-494.

14. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988. 368 с.

15. Зиглин С. JI. Неинтегрируемость задачи о движении четырех точечных вихрей // ДАН СССР. 1980. Т. 250, N 6. С. 1296-1300.

16. Зырянов В. Н. Топографические вихри в динамике морских течений. — Москва : ИБП РАН, 1995. 240 с.

17. Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. — М.: АН СССР, 1962. 405 с.

18. Кляцкин В. И., Кошель К. В. Простейший пример возникновения кластерной структуры поля пассивной примеси в случайных потоках // УФН. 2000. Т. 170, N 7. С. 771-778.

19. Козлов В. Ф. Модели топографических вихрей в океане. — М. : Наука, 1983. 200 с.

20. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. — Ижевск: УдГУ, 1995. 432 с.

21. Козлов В. Ф., Кошель К. В. Некоторые особенности хаотизации пульсирующего баротропного потока над осесимметричной подводной возвышенностью // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37, N 3. С. 387-389.

22. Козлов В. Ф., Кошель К. В., Степанов Д. В. Влияние границы на хаотическую адвекцию в простейшей модели топографического вихря // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2005. Т. 41, N 2. С. 242-252.

23. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Докл. АН СССР. 1954. Т. 98, N 4. С. 527-530.

24. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М. : Наука, 1968. 720 с.

25. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика / Перевод под ред. Б. В. Чирикова. — Череповец. : Меркурий-ПРЕСС, 2000. 528 с.

26. Мельников В. К. Об устойчивости центра при периодических по времени возмущениях // Труды ММО. 1963. Т. 12. С. 3-52.

27. Макаров Д. В., Пранц С. В., Улейский М. Ю. Структура пространственного нелинейного резонанса лучей в неоднородном подводном звуковом канале // ДАН. 2002. Т. 382, N 3. С. 394-396.

28. Новиков Е. А. Динамика и статистика системы вихрей // ЖЭТФ. 1975. Т. 68, Вып. 5. С. 1868-1882.

29. Новиков Е. А., Седов Ю. Б. Стохастические свойства системы четырёх вихрей // ЖЭТФ. 1978. Т. 75, Вып. 3. С. 868-876.

30. Новиков Е. А., Седов Ю. Б. Стохастизация вихрей // ЖЭТФ. 1979. Т. 29, Вып. 12. С. 737-740.

31. Пранц С. В. Взаимодействие нелинейных резонансов в квантовой резо-наторной электродинамике // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75, Вып. 2. С. 63-65.

32. Пранц С. В. Хаос, фракталы и полеты атомов в резонаторах // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 75, Вып. 12. С. 777-785.

33. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. 1, 2. Избранные труды. — М. : Наука, 1971-1972.

34. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — М. : Наука, 1984. 432 с.

35. Рогачёв К. А. Полынья на банке Кошеварова J j Природа. 2001. N 3. С. 33-38.

36. Симо К., Смейлс С., Шенсине А. Современные проблемы хаоса и нелинейности. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 304 с.

37. Федер Е. Фракталы. — М. : Мир, 1991. 254 с.

38. Холодниок М., Клич А., Кубичек М., Марек М. Методы анализа нелинейных динамических моделей. — М. : Мир, 1991. 368 с.

39. Aref Н. Motion of three vortices // Phys. Fluids. 1979. Vol. 22. P. 393-400.

40. Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices // Phys. Lett. A. 1980. Vol. 78. P. 297-300.

41. Aref H., Pomphrey N. Integrable and chaotic motions of four vortices I. The case of identical vortices // Proc. R. Soc. London. Ser. A. 1982. Vol. 380. P. 359-387.

42. Aref H. Stirring by chaotic advection // J. Fluid Mech. 1984. Vol. 143. P. 121.

43. Aref H. Chaotic advection of fluid particles // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1990. Vol. 333. P. 273-288.

44. Babiano A., Boffetta G., Provenzale A., Vulpiani A. Chaotic advection in point vortex models and two-dimentional turbulence // Phys. Fluids. 1994. Vol. 6. P. 2465-2474.

45. Blumel R., Smilansky U. Classical irregular scattering and its quantum-mechanical implications // Phys. Rev. Lett. 1988. Vol. 60. P. 477-480.

46. Boffetta G., Celani A., Franzese P. Trapping of passive tracers in a point vortex system // J. Phys. A. 1996. Vol. 29. P. 3749-3759.

47. Boss E., Thompson L. Lagrangian and tracer dynamics in the vicinity of an unstable jet //J. Phys. Oceanography. 1999. Vol. 29. P. 288-303.

48. Boyd P. Т., McMillan S. L. W. Chaotic scattering in the gravitational three-body problem // Chaos. 1993. Vol. 3. P. 507-523.

49. Bresler L., Shinbrot Т., Metcalfe G., Ottino J. Isolated mixing regions: origin, robustness and control // Chem. Eng. Sci. 1997. Vol. 52. P. 1623-1636.

50. Camassa R., Wiggins S. Chaotic Advection in a Rayleigh-Benard Flow // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 43. P. 774-797.

51. Castiglione P., Crisanti A., Mazzino A., Vergassola M., Vulpiani A. Resonant enhanced diffusion in time-dependent flow //J. Phys. A. 1998. Vol. 31. P. 7197-7210.

52. Chaiken J., Chevray R., Tabor M., Tan Q. M. Experimental study of Lagrangian turbulence in a Stokes flow // Proc. R. Soc. Lond. A. 1986. Vol. 408. P. 165-174.

53. Chien W.-L., Rising H., Ottino J. M. Laminar mixing and chaotic mixing in several cavity flows // J. Fluid Mech. 1986. Vol. 170. P. 355-377.

54. Chirikov В. V., Shepelyansky D. L. Correlation properties of dynamical chaos in hamiltonian systems // Physica D. 1984. Vol. 13. P. 395-400.

55. Deese H. E., Pratt L. J., Helfrich K. R. A laboratory model of exchange and mixing between western boundary layers and subbasin recirculation gyres // J. Phys. Ocean. 2002. Vol. 32. P. 1870-1889.

56. Denman К. L., Gargett A. E. Biological-physical interactions in the upper ocean: The role of vertical and small scale transport processess // Annu. Rev. Fluid Mech. 1995. Vol. 27. R 225-255.

57. Eckhardt В., Jung C. Regular and irregular potential scattering // J. Phys. A: 1986. Vol. 19. P. 829-833.

58. Eckhardt B. Irregular scattering // Physica D. 1988. Vol. 33. P. 89-98.

59. Emilio H.-G., Cristobal L., Zoltan N. Spatial patterns in chemically and biologically reacting flows // Proceedings of the 2001 ISSAOS School on "Chaos in Geophysical Flows". P. 1-41.

60. Gaspard P., Rice S. A. Scattering from a classically chaotic repellor // J. Chem. Phys. 1989. Vol. 90. P. 2225-2241.

61. Grobli W. Specialle Probleme iiber die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfaden // Vierteljahrsch. d. Naturforsch. Geselsch. 1877. Vol. 22. P. 3781.

62. Hackborn W. W., Ulucakly M. E., Yuster T. A theoretical and experimental study of hyperbolic and degenerate mixing regions in a chaotic Stokes flow // J. Fluid Mech. 1997. Vol. 346. P. 23-48.

63. Hernandez-Garcia E., Cristobal L. Sustained plankton blooms under open chaotic flows // Ecological Complexity. 2004. Vol. 1, Issue 3, September 2004, P. 253-259.

64. Izrailsky Yu. G., Kozlov V. F., Koshel К. V. Some specific features of hao-tization of the pulsating barotropic flow over elliptic and axisymmetric sea-mounts // Phys. Fluids. 2004. Vol .16, N 8. P. 3173-3190.

65. Jang С., Tel Т., Ziemniak E. Application of scattering chaos to particle transport in a hydrodynamical flow // Chaos. 1993. Vol. 3. P. 555-568.

66. Kantz K., Grassberger P. Repellers, semi-attractors, and long-lived chaotic transients // Physica D. 1985. Vol. 17. P. 75-86.

67. Karney C. F. F. Long-time correlations in the stochastic regime // Physica D. 1983. Vol. 8. P. 360-380.

68. Karolyi G., Pentek A., Toroczkai Z., Tel Т., Grebogi C. Chemical or biologicalactivity in open chaotic flows // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 59. P. 5468-5481.

69. Klafter J., Blumen A., Shlesinger M. F. Stochastic pathways to anomalous diffusion // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 35. P. 3081-3085.

70. Kuznetsov L., Zaslavsky G. M. Regular and chaotic advection in the flow field of a three-vortex system // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 7330-7349.

71. Laforgia A., Leoncini X., Kuznetsov L., Zaslavsky G. M. Passive tracer dynamics in 4 point-vortex flow // Eur. Phys. J. B. 2000. Vol. 20. P. 427-440.

72. Lai Y.-C., Ding M., Grebogi C., Blumel R. Algebraic decay and fluctuations of decay exponents in Hamiltonian systems // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 46. P. 4661-4669.

73. Lau Y.-T., Finn J. M., Ott E. Fractal dimension in nonhyperbolic chaotic scattering // Phys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66, N 8. P. 978-981.

74. MacKay R. S., Meiss J. D., Percival I. C. Transport in Hamiltonian systems // Physica D. 1984. Vol. 13. P. 55-81.

75. Makarov D. V., Uleysky M. Yu., Prants S. V. Ray chaos and ray clustering in an ocean waveguide // Chaos. 2004. V. 14, N 1. P. 79-95.

76. Meiss J. D., Ott E. Markov-tree model of intrinsic transport in hamiltonian systems // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55. P. 2741-2744.

77. Meiss J. D., Ott E. Markov-tree model of transport in area-preserving maps // Physica D. 1986. Vol. 20. P. 387-402.

78. Melezhko V. V., Konstantinov M. Yu., Gurzhi A. A., Konovaljuk T. P. Advection of a vortex pair atmosphere in a velocity field of point vortices // Phys. Fluids A. 1992. Vol. 4. P. 2779-2797.

79. Mitchell K. A., Handley J. P., Tighe В., Delos J. В., Knudson S. K. Geometry and topology of escape. I: Epistrophes // Chaos. 2003. Vol. 13. P. 880-891.

80. Moser J. On invariant curves of area-preserving mapping of an annulus // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen. Math. Phys. Kl. 1962. II. P. 11-20.

81. Motter A. E., Moura A. P. S., Grebogi C., Kantz H. Effective dynamics in Hamiltonian systems with mixed phase space // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. P. 036215 (1-5).

82. Neufeld Z., Tel T. The vortex dynamics analogue of the restricted three-body problem: advection in the field of three identical point vortices // J. Phys. A. 1997. Vol. 30. P. 2263-2280.

83. Neufeld Z., Lopez C., Haynes P. Smooth-filamental transition of active tracer fields stirred by chaotic advection // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 26062609.

84. Noid D. W., Gray S., Rice S. Fractal behavior in classical collisional energy transfer // J. Chem. Phys. 1986. Vol.84. P. 2649-2652.

85. Ott E., Tel Т. Chaotic Scattering: An Introduction // Chaos. 1993. Vol. 3. P. 417-426.

86. Ottino J. M. The kinematics of mixing: stretching, chaos and transport. — New-York: Cambridge University Press. 1989. P. 364.

87. Petit J.-M., Henon M. Satellite Encounters // Icarus. 1986. Vol. 66. P. 536555.

88. Prants S. V., Uleysky M. Yu. Atomic fractals in cavity quantum electrodynamics // Phys. Left. A. 2003. Vol. 309. P. 357-362.

89. Proudman J. On the motion of solids in liquids possessing vorticity // Proc. Roy. Soc. London A. 1916. Vol. 92. P. 408-424.

90. Rom-Kedar V., Leonard A., Wiggins S. An analytical study of transport, mixing and chaos in an unsteady vortical flow // J. Fluid Mech. 1990. Vol. 214. P. 347-394.

91. Rom-Kedar V., Wiggins S. Transport in two dimensional maps: concepts, examples, and a comparison of the theory of Rom-Kedar and Wiggins with the Markov model of MacKay, Meiss, Ott, and Percival // Physica D. 1991. Vol. 51. P. 248-266.

92. Shlesinger M. F., Zaslavsky G. M., and Klafter J. Strange Kinetics // Nature. 1993. Vol. 363. P. 31-37.

93. Scheuring I., Karolyi G., Toroczkai Z., Tel Т., Pentek A. Competing populations in flows with chaotic mixing // Theoretical Population Biology. 2003. Vol. 63. P. 77-99.

94. Sommerer J. С., Ku H.-C., Gilreath H. E. Experimental evidence for chaotic scattering in a fluid wake // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 5055-5058.

95. Solomon Т. H., Gollub J. P. Chaotic particle transport in time-dependent Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. A. 1988. Vol. 38. P. 6280-6286.

96. Solomon Т. H., Weeks E. R., Swimmey H. L. Observation of anomalous diffusion and Levy flights in a two-dimentional rotating flow // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71, N 24. P. 3975-3978.

97. Solomon Т. H., Weeks E. R., Swinney H. L. Chaotic advection in a two-dimensional flow: Levy flights and anomalous diffusion // Physica D. 1994. Vol. 76. P. 70-84.

98. Solomon Т. H., Tomas S., Warner J. L. Role of lobes in chaotic mixing of miscible and immiscible impurities // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 77, N 13. P. 2682-2685.

99. Solomon Т. H., Tomas S., Warner J. L. Chaotic mixing of immiscible impuri-tiesin a two-dimensional flow // Phys. Fluids. 1998. Vol. 10, N 2. P. 342-350.

100. Solomon Т. H., Lee А. Т., Fogleman M. A. Resonant flights and transient superdiffusion in a time-periodic, two-dimensional flow // Physyca D. 2001. Vol. 157. P. 40-53.

101. Stolovitzky G., Kaper T. J., Sirovich L. A simple model of chaotic advection and scattering // Chaos. 1995. Vol. 5. P. 671-686.

102. Sutton R. Т., Maclean H., Swinbank R., O'Neil A., Taylor F. W. High-resolution stratospheric tracer Fields estimated from satellite observations using Lagrangian trajectory calculations // J. Atmos. Sci. 1994. Vol. 51. P. 2995-3005.

103. Taylor G. I. Experiments on the motion of solid bodies in rotating fluids // Proc. Roy. Soc. London A. 1923. Vol. 104. P. 213-218.

104. Tel. Т., Karolyi G., Pentek A., Scheuring I., Toroczkai Z., Grebogi C., Kadke J. Advection, diffusion, and reaction in open flows // Chaos. 2000. Vol. 10, N 1. P. 89-98.

105. Weiss J. В., Knobloch E. Mass transport and mixing by modulated travelling waves // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40. P. 2579-2589.

106. Weiss J. B. Hamiltonian maps and transport in structured fluids // Physica D. 1994. Vol. 76. P. 230-243.

107. Wiggins S. The dynamical system approach to Lagrangian transport in Oceanic Flows // Annu. Rev. Fluid Mech. 2005. Vol. 37. P. 295-328.

108. Zaslavsky G. M. Physics of chaos in Hamiltonian systems. — Oxford: Academic Press, 1998. P. 250.

109. Zaslavsky G. M. Dynamical traps // Physica D. 2002. Vol. 168-169. P. 292304.