Хаотичная адвекция в плоских Стоксовых течениях в прямоугольной полости с цилиндром внутри тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

/: .

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ Я- ' ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

На правах рукопису Галактіонов Олексій Сергійович

. УДК 532.5.516

ХАОТИЧНА АДВЕКЦІЯ У ПЛОСКИХ СТОКСОВИХ ТЕЧІЯХ В ПРЯМОКУТНІЙ ПОРОЖНИНІ З ЦИЛІНДРОМ ВСЕРЕДИНІ

01.02.05 - механіка рідини, гаоу та плазма

Автореферат дисертації на здобуття вченого ступеая кандидата фізико-математігших наук

Київ - 1995

Роботу виконано в Інституті гідромеханіки НАН України

Науковий керівник . — доктор фізико-математичнпх наук,

В.В.Мелеішо

Офіційні опоненти — доктор фізнко-математіїчнпх наук,

. професор Ю.І.Шмаков

— кандидат фізико-математичних наук В.О.Горбань"

Провідна установа — Донецький державний університет

. А? •

Захист відбудеться ” 9 ” ЦІ . 1995 р, о ” ^ ” на оасіда

ні спеціалізованої ради Д 01.04.01 в Інституті гідромеханіки НА України за адресою: 252057, Київ, вул. Желябова, 8/4.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту гідр ом ханіки НАН України. ■

Автореферат розісланий

1995 р.

Вчений секретар снеціаліоованої ради доктор технічних на£к

С.І.Криль

АКТУАЛЬНІСТЬ ТЕМИ ТА СТАН ПРОБЛЕМИ. Останнім часом не тількі в .механіці рідини, але й в інших галузях науки наявний зріст інтересу до систем, що виявляють ті чи інші ознаки хаотичної поведінки, особливо якщо рівняння, що оппсують систему, не є стохастіпгаими. В гідромеханіці приклади таких систем виникають при вивченні явищ перемішування рідин. Такі задачі мають практичну цінність, особливо для потреб хімічних технологій. Хоча на перший погляд найбільша ефективність перемішування має бути властива турбулентнім потокам, де хаотично змінюється з часом поле швидкості, практичні потреби часто диктують необхідність використання для цих цілей ламінарних течій з малими числами Рейнольдса. Це пояснюється тим, що часом в’язкість рідин, що використовуються, є дуже високою. Крім цього, в біохімії та прп обробці полімерів часто виникає ситуація, коли довгі ’’крихкі” макромолекули не допускають оначюгх напружень в рідині, тому що сильні деформації можуть вплинути на властивості довгих ниток макромолекул і навіть призвести до їх руйнування.

Явища перемішування рідин є дуже складними процесами, їх безпосереднє числове моделювання виявляється надто складним навіть за сучасного рівня розвитку електронно-обчіїслювалмкії техніки. Експериментальні ж випробування реальних пристроїв при проектуванні, приміром, хімічних реакторів, с надмірно дорогими, Це обумовлює необхідність вивчення основних-закономірностей процесів перемішування рідин на прикладі більш простих спстем. Зручніш та корисним виявляється вибір як модельних двомірних, зокрема плоских, Стоксовпх течій. Прії цьому привертає увагу можливість отримання хаотичних траєкторій індивідуальних частпнок рідини в детермінованих періодичних течіях, тобто явище хаотичної адвекції. Специфіка математичних методів аналізу, запозичених переважно з теорії динамічних спстем, зумовлює зручність дослідження систем, для яких можна отримати аналітичні впразп для поля швидкості. Саме до такпх можуть бути віднесені досліджувані в дисертації плоскі* Стоксові течії в прямокутній порожнині з циліндром всередині. Виходячи зі сказаного, МЕТОЮ ДАНОЇ ДИСЕРТАЦІЇ є аналітичне визначення поля швидкості, дослідження режимів стаціонарних течій та їх залежності від геометричних параметрів системи, а також процесів адвекції в періодичних течіях в системі, що розглядається.

НАУКОВА НОВИЗНА ДИСЕРТАЦІЇ полягає в тому, шо;

• Із (застосуванням методу суперпозиції отримано аналітичні вирази для функції току та поля швидкості в системі, що розглядається. Аналіз асимптотичної поведінки невідомих в нескінченній системі лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів в функції току дає змогу за невеликих обчислювальних витрат досягти точності, що є достатньою для числового моделювання процесів хаотичної адвекції.

® Досліджено структуру стаціонарних течій в обраній модельній системі. За деяких граничних умов виявлено її нерегулярну залежність від геометричних параметрів порожнини а також суттєву відмінність ефективного та реального розмірів перешкоди.

в 3 використанням перерізу Пуанкаре знайдено та розмежовано зони регулярного та хаотичного руху в періодичних течіях.

• Доведено теоретично та підтверджено результатами роорахун-ків властивості симетрії в розташуванні періодичних точок та

■ островів. .

• Запропоновано алгоритм, що дозволяє достовірно моделювати в числових розрахунках деформацію рідкого контуру за дуже сильного його видовження та викривлення. З його застосуванням промодельовано адвекцію плям пасивної домішки, розташованих в зонах регулярного та нерегулярного руху.

ПРАКТИЧНА ЦІННІСТЬ ДОСЛІДЖЕНЬ полягає в тому, що:

е результати досліджень течій-прототииів дають змогу робити висновки про закономірносте поведінки більш складних течій;

• розроблені та випробувані алгоритми числового моделювання можуть бути о успіхом використані для досліжень;

в показано можливість підвищення ефективності перемішування рідин оа рахунок вихорів, створюваних внесенною в течію перешкодою. -

ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК ДИСЕРТАНТА полягає у: .

• поширенні методу суперпозиції на розв’язок бігармонічної граничної задачі в неодноов’язковій області, границя якої складається а ділянок координатних ліній різних координатних систем;

• розробці практичних програм, призначених для обчислення функції току та швидкості а також дослідження структури течії;

• розробці та реалізації алгоритму, шо дозволяє ефективно моделювати деформацію рідхіх контурів, та створенні програм для моделювання адвекції позначенної рідини;

® обробці та інтерпретації одержаних результатів. '

АПРОБАЦІЯ РЕЗУЛЬТАТІВ. Матеріали дисертації доповідались та обговорювались на

• II Європейській конференції з механіки рідини (Польща, 1994);

• XVII та XVIII конференціях молодих вчених (Інститут механіки НАН України, Київ, 1992 та 1993);

• республіканському науковому семінарі з гідромеханіки {Інститут гідромеханіки НАН України, керівник чл.-кор. НАН України проф. В.Т. Гріїггенко);

• республіканському науковому семінарі ” Проблеми механіки" (Київський університет ім. Т.Г. Шевченка, керівник чл.-кор. НАН України проф. А.Ф. Улітко).

РІВЕНЬ РЕАЛІЗАЦІЇ НАУКОВИХ РОЗРОБОК. Результати, включені в дисертацію, використані при виконанні Інститутом гідромеханіки НАН України НДР з відповідних тематик.

СТРУКТУРА ТА ОБ'ЄМ ДИСЕРТАЦІЇ.

Дисертація складається з вступу, трьох глав, висновків, списку використаної літератури та двох додатків. Рукопис містить 160 сторінок друкованого тексту, в тому числі 32 рисунка, 4 таблиці та бібліографічний список, що включає 77 найменувань. '

ПЕРША ГЛАВА присвячена відшуканню аналітичного виразу^ для функції току і, відповідно, поля швидкості в плоских Стоксо-вих течіях в обраній модельній системі. Область течії (Рис. 1) має вигляд прямокутної порожнини, дві протилежні стінки якої рухаються із швидкостями Цор та Ц,оі (у експериментальних роботах такі стінки звичайно моделюються частинами кільцевих ременів), в центрі якої знаходиться циліндр, котрий обертається так, що дотична швидкість на його поверхні дорівнює II.

Рисунок 1. Схема області течії, що розглядається.

і

0 = у*й) о к

А 71

+ ув(і}

+ УС(0

Рисунок 2. Ілюстрація представлення розв'язку граничної задачі з довільно зал жішмн від часу УЬрЦ), Уы(1), 11(1) у вигляді лінійної комбинації-розв'язків трьох стаціонарних граничних задач А, В та С. Тут>л(/) = |(К0„(')-^,(0), і/а(0 = #1оД/)+^(0), Ус ={/(/)■

Стрілками умовно показано складові швидкості в точках (ї,у). (“*.>0. (■*.->) для ілюстрації властивостей симетрії поля швидкості в задачах А, В та С.

Плоска Стоксова течія описується за допомогою функції току Ф, що пов’язана о компонентами швидкості співвідношеннями Ux — та Uy = ~І7- Функція току задовольняє бігармонічному рівнянню ЛДФ = 0, а на всіх границях задано умови прилітання. Завдяки лінійності гранігшої задачі для функції току, її розв'язок для V/op, Vbai та U, що довільно залежать від часу, може бути представлений у ппгляді лінійної-комбінації розв’язків трьох стаціонарних граничних задач (див. Рис. 2). Техніку відшукання їх розв’язків продемонстровано на прикладі оадачі А.

Використовуючи напівширнну порожнини II/2 як характерний розмір, введено безрозмірні координати .г = 2Х/Н, у = 2Y/H, г —

2RJH та функцію току ф_ — 4Ф/Я2, а також безрозмірні довжину порожнини h = W/H та радіус циліндра г = 2R/H. В задачі А циліндр є нерухомим, а стінка рухаються з швидкостями Vtop — 1 та Vtot = — 1. Рішення ц>а цієї задачі побудовано за допомогою принципу суперпозиції в вигляді 4>л = Фаі+Фа2+Фа$< ДР функції ФлІ, Фл2 та Фаз мають достатню функціональну довільність (за рахунок невідомих коефіцієнтів), щоб забезпечити можливість задовольнити будь-яким граничним умовам відповідно на стінках у = ±1, х = ±h та поверхні циліндру г = а.

Функції фли Ч'А2 та Фаз обрані у вигляді

2m — 1

Фаі — / ,(Л« ch апу + Bmamy sb amij) cos amx, a,„ = —^—7r> f1)

m=l

” 21 - 1 Фаі - / .(Cl ch fax + Difax sh fax) cos fay, fa ~ —-—<r. (2)

t=i

Фаз ;

~V+2‘

cos 2j6, (3)'

Для їх конструювання використано рішення, що одержані для плоских

задач теорії пружності, які е математично еквівалентними до плоских-

Стоксовпх задач гідромеханіки. Побудована таким чином функція

току тотожньо- задовольняє бігармонічному рівнянню, а коефіцієнти

Ат, Вт, Сі, Д, Еи та б. мають буте визначеними так, щоб булп •'«в» / •

виконані граничні умови.

Рівність нулю нормальних компонент швидкості на стінках порожнини дозволяє виключити невідомі Ат та С/. Замість невідомих Вт Та А введено ВІДПОВІДНО Х,п = (-1)т+1Ап«*т єЬ °т Та —

(-1 )1Вф]\ cli (3ih. Для визначення невідомих Хт, Уі, Е\, Fj та Gj одержано нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Безио-середне застосування до неї методу пр_остої редукції виявляється неможливим. Але аналіггнескінченної системи дозволяє встановити закономірність поведінки невідомих in зрістом їх номерів. Використано заміну невідомих, при цьому виділено їх головні частини:

СО

Хт = хт соіт ^ ^ SjGji Лі ~ Уі ^ dfifa (4)

j'=і .

причому константи с, d та gj визначені точно. Для невідомих хт та у і справедливим с асимптотичний закон 1іт,и-,зс. £■„, = 1іт/_оо У) — Const. Нескінченна система відносно нових невідомих вже придатна до застосування простої редукції.

Особлива роль виділених аналітично головних частин невідомих Хт та Y\ полягає в тому, що саме вони забезпечують потрібну поведінку функції току та швидкості поблизу кутів порожнини. Завдяки їм вираз для функції току, записаний в допоміжних полярних координатах (р, х) а центром в кутовій точці має вигляд

Фл{р, х)*= ~Г~~А ^X'cosX + ~ ~-sinx) + 0(р2) (5)

Головний член в (5) співпадає з розв’язком Дж.І.Тейлора для Сток-сової течії в чверті площини, одна з прямолінійних меле якої ковзає паралельно самій собі.' •

Треба звернути увагу, що відшукавши числовими методами розв’язок скінченної системи з малою кількістю невідомих, ми в той же час маємо важливу інформацію про всі невідомі (завдяки аналітично виділеним їх головним частинам). Це дозволяє досягати високої точності обчислення функції току та компонент швидкості за невеликих обчислювальних витрат. Оскільки бігармонічне рівняння для функції току виконано тотожньо за будь яких значень коефіцієнтів, єдиний спосіб перевірки ” -шості” одержаного розв’язку полягає у перевірці виконання граничних умов. Значення.обчнсленої дотичної швидкості в кількох точках верхньої стінки (згідно граничних умов має бути иг(х, 1) — 1) в-валежності від кількості невідомих наведеш у таблиці 1.

У ДРУГІЙ ГЛАВІ досліджуються стаціонарні течії в прямокутній порожнині з циліндром. Наведено велику кількість обчислених

М І J х координата точки на верхній стінці (0,.т) 0.0 0.5 1.0 1.5 1.07

20 12 10 10' б' б' 5' 3' 3' 5 3 3 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.99980 1.00000 1.00000 039999 1.00001 0.99979 1.00012 1.00003 0.99987 0.99970 0.99959 1.00011 1.00003 0.99988 0.99970 0.99959

Таблиця 1: Залежність обчисленого значення пх на верхній стінці від координати л- га Л/, і, і - кількості явно знайдених невідомих А'т, їі. та Символом позначені кількості невідомих у тих випадках, коли для обчислень швидкості їх значення взято з ропв’ятку більш великої системи без розв’язання меншої за розміром системи для вказаних Л/, Л та 7. .

картин ліній току, які, там де є така можливість, співставляються з експериментальними результатами, отриманими іншими авторами.

Прп дослідженні течії, що виникає у випадку, коли циліндр нерухомий, а верхня та нижня стінки рухаються з однаковими за модулем швидкостями б протилежних напрямках (це відповідає стаціонарній задачі А), виявлено нерегулярну залежність структури такої течії від геометричних параметрів снетеми. Це проілюстровано на Рпс.З. Так, у разі квадратної порожнині! зверху та знизу до циліндру прилягають вихорі. Причому сумарна висота них внхорових зон та циліндру, що може розглядатися як ефективний розмір перешкоди, слабо залежить від реального діаметру циліндра (див. Рпс.3а,б). У разі збільшення відносної довжини порожнини за збереження розміру циліндра ці вихорі швидко щезають, і в значному діапазоні значень /і вихорі відсутні (Рпс.Зв). При подальшому видовженні порожнини з’являється нова пара вихорів зліва та справа від циліндру (Рис.Зг).

■ У випадку, коли стінки нерухомі, а циліндр обертається, в розрахунках виявлено такі локальні особливості течії як кутові вихори Моффата (Рпс.4). У випадку квадратної порожнини досягнута точність обчислень дозволяє впявптп по два перших вихорі з послідовностей Моффата в кутах. Отримана в розрахунках еволюція перших* кутових вихорів, що спостерігається прп видовженні порожнини (поступове злиття пар вихорів, що межують із спільною боковою стінкою) збігається о теоретичними та експериментальними результатами інших авторів. _

Досліджено режими течії, що є подібними до випадку циліндра, вміщеного в необмеженіш зсувний потік на лінії нульової швидкості

$

Рисунок 8(а,б-,в,г). Картини ліній току в задачі А [У^ = 1, УкІ = -1, 11 = 0) для різної геометрії порожнини, а) Квадратна порожнина (й = 1) з циліндром радіусу а = 0.3. 6} Квадратна порожнина з

Циліндром радіусу о = 0.1. в) Порожнина з /і = 1.67 та а = 0.3. г) Довга порожнина (її = 2.5) з циліндром радіусу -а = 0.3.

Рисунок 4. Обчислена картина ліній току для течії в прямокутній порожнині з циліндром, геометричні параметри якої становлять А = 1.67 та а = 0.3. Верхня та нижня стінки нерухомі (1'„, = 0, Уш = 0), а циліндр обертається з и-І. (стаціонарна задача

Рисунок 5. Обчислена картина ліній току для течії в прямокутній порожнині з циліндром, геометричні параметри якої становлять /і = 1.67 та а = 0.3. Верхня стінка рухається вправо з УЮ) = \, а нижня стінка та циліндр нерухомі (Ум = 0, І/ = 0).

незбуреного потоку. Така аналогія наявна при Цор = —Уьої Ф 0 при значній (наприклад, її = 2.5) відносиш довжині порожнини. Виявлені режими течії в залежності від напрямку та швидкості обертання циліндра оагалом співпадають з характерними для зсувного потоку на невеликих відстанях від циліндра.

Маючи на увазі, що наступним кроком буде дослідження періодичних течій, розглянуто важливий для подальшого розгляду випадок, коли рухається лише одна стінка-порожнини, а інша стінка та циліндр залишаються нерухомими. За геометричних параметрів порожнини її — 1т67 та а = 0.3 (саме за такої геометрії е можливість порівняти результати розрахунків з експериметом) в такій течії наявна велика за розміром вихорова зона, що прилягає до циліндра з боку стінки, що рухається (Рис.5). Її наявність, як з’ясовано у третій главі, може сильно впливати на процеси адвекції в періодичних течіях та ефективність перемішування.

У ТРЕТІІІ ГЛАВІ вивчаються періодичні течії в прямокутній порожнині з циліндром. В періодичних течіях, що аналізуються в дисертації, протягом першої половини періоду верхня стінка рухається зі сталою швидкістю вправо, а протягом другої нижня стінка рухається о тією ж за модулем швидкістю вліво, циліндр весь час нерухомий. Характеристикою такої течії є безрозмірний параметр ОП

- зрушення стінки протягом відповідної половини періода, віднесене до напівширіши порожнини.

З застосуванням алгоритму, що використовує наявну симетрію поля швидкості, відшукано деякі періодичні точки таких течій і проаналізовано їх еволюцію в залежності від параметру Виходячи з результатів такого розгляд}', для моделювання процесів, адвекції обрано течії з ІШ = 5. У цьому випадку відомо по одній сталій та несталій періодичній точці, а відносно невелике значення ПО робить прийнятними обчислювальні витрати. •

За допомогою перерізу Пуанкаре виявлено зони регулярного та нерегулярного руху частинок рідини. Для цього початкову точку для побудови перерізу Пуанкаре обрано у гаданій хаотичній зоні - поряд

з несталою (гіперболічного типу) періодичною точкою. Тоді положення цієї точки через проміжки часу, кратні періоду, більш-менш рівномірно заповнюють цю хаотичну зону (дав. Рис.6). На Рис.б можна побачитп значну кількість остревів різних порядків. В дисертації аналітично доведено певні властивості симетрії в розташуванні

Рисунок в. Переріз Пуанкаре. Єдину початкову точку (0.7,0) обрано в хаотичній зоні (поблизу гіперболічної періодичної точки). Обчислено та нанесено на графік 50000 її положень через проміжки часу, що дорівнюють одному періоду.

Рисунок 7. Еволюція на протязі одного (першого) періоду руху круглої плями, що оточує гіперболічну періодичну точку. Показано а положення в початковий момент часу (/ = 0), після половини періоду (/=0.5-7') та після одного повного періоду руху (/ = ?’). Пунктирною лінією показано межу вихорової зони, що прилягає до циліндру на протязі другого напівперіоду та обумовлює ефективне видовження плями.

періодичних точок та островів другого_норядку. Використана методика може бути заетосопана ц для розгляду точок інших порядків.

’ Цікавою особливістю досліджуваних течій є наявність острову, що оточує циліндр і не має всередині періодичної точки. Ефект присутності такого острову має бути в тому, що наприклад будь-яке забруднення тонкого шару рідпнп, що безпосередньо оточує перешкоду, не буде ’’змиватися” течією.

Запропоновано та реалізовано алгоритм, що дозволяє моделювати в ’’числовому експерименті” деформацію індивідуальних рідких контурів навіть за дуже значного їх видовження та вигинання. Задля цього в алгоритмі береться до увагн під час вибору точок на контурі не тільки вцдовження, але й кривизна його окремих ділянок. За допомогою цього алгоритму числово моделювалась адвекція плям підфарбованої рідини в зонах регулярного та нерегулярного руху. На прикладі руху круглої плями, що оточує гіперболічну періодичну точку, вдало ілюструється вплив нерухомого_цпліндра: частина плями, що потрапила до впхоровш зонп, залишається ’’замкненою” там на протязі відповідної-половини періоду, в той час, як решта рухається в основній зоні течії. Це призводить до дуже ефективного видовження плямн та її складання навпіл на протязі кожного напівперіоду. Такий процес, згідно Дж.М.Оттіно, є основним механізмом перемішування в Стоксовпх течіях.

На Рнс.7 показана еволюція круглої плямп на протязі першого періоду руху. На Рис.8 наведена обчислена форма тієї ж плямп після 4-х періодів руху. Виявлено, що довжина контуру плямн зростає з часом за експонеціальнпм законом, що є характерніш саме для хаотичної адвекції. Відносне видовження контуру плями на Рпс.8 складає ~ 1100 разів. Прн ньому похибка збереження обчисленої площі плями (обумовлена більшою мірою апроксимацією кривої ломаною) ще є прийнятною (< 15%). Досліджено також залежність кінцевої форми плями від її початкового розміру. Прн-цьому виявлено, що хоча наявність та розвиненість окремих деталей відрізняється, ’’загальний план” форми деформованої плямп зберігається.

Розподіл матеріалу плямн, що відповідає Рпс.8, наведено на Рпс.9. Бачимо, що розподіл підфарбованої рідпнп, незважаючи на вже досить складну форму плямп, є ще дуже нерівномірним. Однак, застосовуючи подібне числове моделювання для вивчення такпх початкових стадій переміщування рідини, ми маємо змогу уявити кінематпч-пі механізми складного процесу перемішування та прогнозувати його

Рисунок 8. Форма тієї ж плями, що зображена на Рис.7, після чотирьох повних періодів руху (/ = 4-7’).

хЮ*

Зч

Рисунок 9. Розподіл матеріалу плями, іур зображена на Рис.8. Всю область поділено на квадратні комірки, довжина ребра яких становить 1/20 напівширини порожнини. Площу, яку в кожній копірці займає підфарбована -рідина, відкладено на графіку як вертикальну координату.

подальший розвиток.

ВИСНОВКИ. Основні результати дисертації такі:

1. Одержано аналітичні вирази для функції току та поля швидкості в досліджуваних течіях. При цьому розв’язок нестаціонарної задачі представлений як лінійна комбінація розв’язків трьох стаціонарних задач. їх розв’язки побудовані за допомогою методу суперпозиції. Одержані аналітичні вирази адекватно описують поведінку течії поблизу кутових точок границі навіть при наявності в них розривів в граїшчннх умовах. Завдяки проведеному асімптотнчному аналізу поведінки невідомих в нескінченній системі рівнянь відносно коефіцієнтів в функції току, є можливість істотно зменшити обчислювальні витрати.

2. При дослідженні структура стаціонарних течій виявлено такі локальні особливості течії, як перші, а у випадку квадратної порожнини й другі кутові вихори Моффата (коли стінки нерухомі а циліндр обертається). Встановлено, що за деяких граничних умов структура течії залежить від геометричних співвідношень системи нерегулярним чином. При дослідженні течій, цццібних до випадку циліндра в зсувній течії отрнмайГ розв’язки поблизу циліндра добре співпадають о одержаними раніше іншими авторами але мають ту перевагу, що правильно описують течію у всій обмеженій області, в той час як наявні раніше розв’язки одержані для необмеженої області.

3. Було вивчено періодичні течії одного певного тнпу. З використанням алгоритму, що, базуючись на властивостях симетрії поля швидкості, ефективно звужує область пошуків, знайдено деякі періодичні точки таких течій. Ефективність застосування міркувань симетрії підтверджена також тим, що аналітично доведені певні властивості симетрії в розташуванні періодичних точок та островів. Вказані властивості підтверджені результатами обчислень. За допомогою перерізу Пуанкаре виявлено зони регулярного та хаотичного руху, підтверджено можливість існування в неоднозв’язковпх областях островів, що не мають всередині періодичної точки, але охоплюють перешкоду.

4. Запропоновано'та реалізовано ефективний та надійний алгоритм для числового моделювання сильних деформацій рідкого контуру. До переваг методу належить той факт, що всі точки, що описують кінцеву форму контуру, в межах похибки числового інтегрування рівнянь руху належали контуру і в його початковій конфігурації.

5. Промодєльовано адвекцію плям пасивної домішки (підфарбованої рідини), розташованих в зонах регулярного та гаданого хаотичного руху. Результати обчислень свідчать, що в досліджуваній системі спостерігається явище хаотичної адвекції, і ця система є зручною моделлю для вивчення кінематики перемішування рідини. Результати виконаного числового моделювання також дозволяють зробити висновок, що наядність нерухомогперешкоди в течії, в якій поле швидкості залежить від часу, може за рахунок прилягаючих до перешкоди вихорів стимулювати перемішування в Стоксових течіях.

Числові алгоритми та програми, створені в дисертації, що довели свою ефективність та надійність, можуть бути застосовані для дослідження інших проблем. .

Результати дисертації ВИКЛАДЕНІ В ТАКИХ РОБОТАХ:

1. Grinchenko V.T., Galaktionov A.S. Influence of an obstacle on the Stokes flow structure in a rectangular cavity // Доповіді AH України. 1994. N 2. С. 35-38.

2. Галактионов А.С. Плоское течение в прямоугольной полости с цилиндром // Киев, 19-22 мая, 1992г., 4.2/ Ин-т механики АН Украины.

- Киев, 1992, - с. 46-50: - Рус - Деп. в УкрИНТЭИ 7.07.92, N 1022 -

' Ук92.

3. Галактпонов А.С. Перемешивание в плоском ползучем течении в

прямоугольншгполости с цилиндром // Киев, 18-21 мая, 1993г., 4.2/ Ин-т механики АН Украины. - Киев, 1993, - с. 29-32: - Рус - Деп. в ГНТБ Украины 16.08.93, N 1765 - Ук93. ,

4.. Meleshko V.V., Galaktionov A.S., Peters G.W.M., Meijer H.E.H. Chaotic mixing by the Stokes flow in a rectangular cavity with a cylinder. // Abstracts of papers. 2nd-European Fluid Mechanics Conference, September 20-24, 1994, Warsaw, Poland.

Галактионов А.С. Хаотическая адвекция в плоских Стоксовых течениях в прямоугольной полости с цилиндром внутри (рукопись). Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы, Ин-т гидромеханики НАН Украины, Киев, 1995. Защищаются 4 научные работы, содержащие теоретические исследования плоских Стоксовых течений-прототипов в прямоугольной полости с цилиндром внутри. Получены аналитические выражения для функции тока и компонент скорости. Исследована структура стационарных течений н ее зшшсимость от геометрических параметров системы. Исследованы периодические течения и их важнейшие характеристики — положение и тип периодических точек, зоны регулярного и нерегулярного движения. С использованием численного моделирования исследовано явление хаотической адвекции. Подтверждена возможность увеличения эффективности перемешивания оа счет вихревых зон, создаваемых внесенным в течение препятствием.

Galaktionov A.S. Chaotic advection in the plain Stokes flows in a rectangular cavity with a cylinder inside.

Thesis for a Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree, speciality 01.02.05 — mechanics of fluid, gas and plasma, Inst, of Hydromechanics of NAS of Ukraine, Kiev, 1995.

Four scientific works containing theoretical investigation of the plain Stokes prototype flows in a rectangular cavity with a cylinder inside. Analytical expressions far the stream function and for the velocity components are obtained. Structure of the stationary flows and its dependence on the geometrycal parameters of the system are studied. Periodic flows and their basic characteristics — location and type of periodic points, zones of regular and non-regular motion, were investigated. Phenomenon of chaotic advection was studied using the numerical simulations. Possibility of mixing efficience impruvement due to vortex zones, created by the motionless obstacle inserted in the flow, was confirmed.

КЛЮЧОВІ СЛОВА: Стоксові течії, хаотична адвекція, перемішу-

вання.