Характеристики роста многомерных рядов экспонент тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

- • ; ; i ■ v •

Jí ' - "

АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах ру к оп ис и

МАКАРОВ ВЛАДИМИР ЮРЬЕВИЧ ¡РАКТЕРИСТИКИ РОСТА МНОГОМЕРНЫХ РЯДОВ ЭКСПОНЕНТ

01.01.01.— матеиатический анализ

АВТ. О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата фи зи к о-матвматмческих н ау к

К И Е В

1 9 9 1

Равота выполнена на кафедре математического анализа в Московском ОБластном педагогическом институте .

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,профессор В. П.Громов. Официальиые оп поненты: доктор физико-математических наук Ю.И.Мельник

кандидат физико-математических наук А.В,Братищев

Ведущая организация- Московский государственный университет им.М.В.Ломоносова.

_49 маЗ 10„

Защита состоится —---- 1992 г.

в А5 часов на заседании специализированного Совета Ъ 016. 50-0 1 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук б институте математики АН Украины

по адресу г.Киев ул.Репина 3

С диссертацией можно ознакомиться б Бивлиотеке института математики АН Украины Автореферат разослан 1992г.

Ученый секретарь специализированного совета

... -¡:»i Jtaí-Л

ffia/íi* {ость. Равота посвящена изучению роста суммы

-------- многомерного ряда экспонент при подхо-

: границе его овласти сходимости.Интерес к рядам юнент неуклонно растет в связи с различными их южениями „Определенный вклад в развитие теории ря-зкепонент внесли такие известные? математики как •i a р, Г е л ь ¡1) о н д, Л у н ц, К о р о б е? й н и i <.

п о с л ív? д. i-i (-:? в д е с я т и л е т и е и н т е р ее к р я д а м экспонен т о с в связи с ФУ н дамента л ь ными равотами А.Ф.Ле-:.рва , к оторый впервые доказал, что лишая функция эморфная в выпуклой овласти может выть эффектив-■1 р е д с т а в л е н а р я д о м э к с п о н е н т. В после д н и е годы , С е к е р i-11 -i (у ч е н и к В. В „ И а п а л к о в а ) пол у ч и л г л у в о к и й /льтат по представлению многомерными рядами экспо-г функций многих комлексных переменных, аналитинес--

в выпуклых овластях.Исследования рядов экспонент зойств функций представленных такими рядами состав-т один ив важных разделов современной теории функ-

Хорошо известна роль- рядов экспонент в тео-чисел,в теории ассимптотических методов ре-■1Я нелинейных уравнений в теории дифференциаль-уравнений-

Для установления зависимости межяу ростом функ-й и козффициентами ряда экспонент,а так же в г их задачах теории функций обычно используют я д к и и ти п ыа в с л у ч а е, к о г д а ф у н к ция з а д а на ■j л Ю Т Н О С. X О Д Я Щ и М с я P д о м э к спонен т -поря д к о м и ом по Ритту.

Впервые? характеристики роста порядок и тип для пенных рядов и формулы для их вычисления через лоровские коэффициенты появились в работах мара в 1892г.,а для рядов экспонент аналогич-Формулы получены Д.Риттом в 1928г. процессе исследований функций многих комплекс— х переменных появляется неовходимость в изуче-роста сумм многомерных (кратных) рядов экспо-

нент при приближении к границе овласти сходимастч

Многие провлемы теории многомерных (кратных) рядов экспонент являются открытыми.Поэтому нам представляется проблема изучения роста сумм многс мерных рядов экспонент вблизи границы сходимости весьма интересной и актуальной.

Целью равоты является ---------------------------- __ -определение и исследование характеристик роста функции многих комплексных переменных,представленной многомерным рядом экспонент вблизи границы сходимости;

-- установление связи между ростом суммы, коэффици ентами и показателями ряда;

- определение и исследование характеристик роста на лучах при подходе к тачкам границы сходимости;

- изучение свойств характеристик роста на лучах при подходе к особым точкам границы сходимости. Методика. При решении указанных выше задач ис-

------------- пользовались методы теории функций многи

комплексных и действительных переменных,теории го л о м о р ф н ы х п р о д о л ж е н и й.

Научная новизна. Все результаты полученные в ра~ --------- боте ирвые,основные из них следующие :

- введены общие характеристики роста суммы многомерного (кратного) ряда экспонент ввлизи границы сходимости;

- получены формулы для вычисления характеристик роста через показатели,коэффициенты многомерного ряда,опорную функцию основания овласти сходимости ряда;

- определены характеристики роста на лучах при подходе к точкам границы сходимости;

- установлена зависимость характеристик роста на лучах от координат точек границы сходимости;

- найдена функциональная зависимость характеристт роста на лучах от направления подхода к точке

vj

найдены формулы для вычисления характеристик роста на лучах через коэффициенты и показатели ряда при определенных условиях на показатели•, Т е о р е т и ч о?с: к а я и п р а к т и ч о с к а я ц е н i -i о с т ь .

A и с с е р т a i..(и я и м о о т т е о р отиня с i ■•: и й х арак т е р, езультаты могут кыт::. использованы г- теор-мм функ-ий иноги:-: комплексных переменные:„ в теории голо-о р ф н оно п р о д о л ж е н и я ? т е о р и и р п г. х. о д я щ и :• í с я р я д ав ри решении различны;:; задач прик ладна го хлракте™ a опираюшихс7i на уравнения свертки.

А п п р о вац и я . P о в у л ь т а т ы д и с с е р т а ц и и д о клад ы вали г. t

-------- на научном семинар«? Уфимского госунирггрситэтл

под рук об . проф. Напалкова В. В. , на :;х.а:::е,ааннях науч. семинара в МОПИ им. Крупе кой под руководством проф.Громова В. П.,, в институте патоматики АН УССР на семинаре по теории функций под рук о:?, проф. Степанца А.И.

уБлмкации. Результаты диссертации опубликованы вП 3 --71 ----------------------------------------------------------Структура и овьем.

Диссертация состоит из 2 х г л г?, в объединяющих .1.3. параграфов. Общий овьем диссертации зияете со с п и с к о и л и т е р а т у р ы в 1Т- н а и м е н .и о г л а в л . -.!. 3.3. с . СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Первая глава состоит из 4 х параграфа;:* и пос-ящается изучению роста суммы многомерного (крат-ого ) ряда экспонент при подходи к границе о г, лас-и авсолютной сходимости D Е> .

1 Вводится понятие порядка и типа роста ратного ряда экспонент в предположении,что основание овласти сходимости В .....ограничено.При опроде™

энных условия:-: на показатели р.ида получены форму-ы ,связывающие введенные характеристики роста с

коэффициентами р!яда? показателями 1 и опорной

Функцией Не Т^гъЗ ° Для кратного ряда экспонент: /

\р| = (о

Ц

¡)(Р) € Ш«

г де

к

теоремах 1и2 найдены формулы для вычисления по -рядка ^ и типа вблизи границы £ .

В.П.Громовым получено уравнение границы'с) В> и исследована провлема существования произвольного основания ^ у кратных рядов экспонент в зависимости от показателей ряда и коэффициентов» В данной равоте показано (теорема 1) , что при усло-

^ ,, где 1Р V ^ , евклидова

норма,то порядок роста ^ вычисля-

етс я по формуле:

\fl1w >'

В ^ 2» главы I вводятся понятия Р< -характеристик В-порядка и Р-типа роста., В теоремах 3,4 найдены формлы для вычисления Р-характеристикТак например (теорема 4) при выполнении условия

^ Сга^ц.е^Мри!

V? \

Р - т и п р о с т а в ь! ч и с л я е т с я п о ф о р м у л е:

~r

/

I ньад r ¡уц5а„]

б"о - -^^ Л 1 'I

в ^ 3. гл. 1 вводятся характеристики медленного роста s порядок степенью го роста и тип ÇTj)

При определенных условиях на показатели порядок и тип степенного роста вычисляются по формулам

V fc-Cnj-^Efp)

h л

>

В^ 4„ главы 1 изучаются кратные ряды экспонент с пс!л::;гитвльнь!ми показателями, тогда область выну i; лая , октантааЕравная и неограниченная,но содержите я в некотором октанте Q (<% ) с вершиной в точку - q а 1 ,, 2,,3 г л. 1. изучались ряды с

¿кейс: т в и "г л h- и i-1 м и n ai ■; а з а т е л я м и.

4 гл. 1 и з у11 ¿v. oí т с я и i-; о г о м арный р я д б и д а:

О п р о д с? л я! о т с я х а р а к т в р и с т и к i-1 р о с т а п о р я д к к i i i т и п ы .

Теоремы 7.....12 устанавливают формулы для вычис-

л с; i-i !• i я х ¿i р а кс р и с т и к р о с т а ч е р оз к о оф ф и ц и с н т ь i , п о -казателп р--:;;да и с пор ну ¡-i- функции) Е;ь!пуклого основа---

н и я с;- ! п с "г! '• '•" í о дi' ¡ мо с т ¡ i „

Г л а?:-:. 2 диссерпации посвящена изучению ре-::: та суммы многомерного р^ца экспонент при подходе к точкам гра ниц,.,: $ по лучам j¡ внутри о с ласти f> . Показатели ряда положительиые. В частности доказано (-теорема 13), что если

[ff-^ft, lUj

то R.....порядок йычистяется гю форм\-'ло ^

\fh+c.

Если подход к точке границы осуществляется внутри некоторого oií тан та, то формула для вычислены и я R--порядка роста Несколько упрощается (Теорема 14)

В <f 2 гл. 2 определяется R тип роста на луче . Получена формула для ьычнеления^ (flj а, (Теоремы 15,16)., R "'

В 3 гл.2 определится порядок и тип роста на луче . показано ( теоремы 17, 1 В) , что при условии:

порядок роста и тип на луне вычисляются по формулам: ^

= fo^ ^O^losft) ECf.a) де £ (fiab ^ <«,%>) ■

'еореиы 19,20 описывают поведение характеристики тепенного роста на луче.Оцениваются коэффициенты

ратного ряда и lGr(-Zí,. , "ZiO |

Все введенные характеристики роста на лучах ак нетрудно видеть ив формул для их вычисления, еладают двумя достаточно интересными свойствами:. ) характеристики роста на лучах находятся в функ

циональной зависимости от точек границы ; ) характеристик!.-! роста на лучах зависят от нал-

р а в л е н и я л у ч а. л г

3 <|" 5. г л . 2 замене н о, ч т о р е з у л ь т а ты"} Y 1 - 4 г л 2 с n р а эдливы и для рядов экспонент вида (2) с неэначи-з л ь н ы м и и з м ене н и яии в доиаза т е л ь с т в а х» :новное внимание в<$ 5 гл.2 обращено (.¡а зависнуть характеристик роста на лучах от координат )чек границы,эта зависимость иллюстрируотся конк-1 т н ь i м и п р i-i м е р а м и

В ^6 гл.2 на конкретных примерах подтверждаете я зависимость характеристик роста на лучах от направ л (3 ни я подхода к фиксированной точке границы сходимости а ■

В ^ 7.гл.2 рассматриваются радиальные характеристи

ки роста,которые вводятся на лучах с началом в точке 0 .

В теоремах (21-26) найдены формулы для вычисле -ния радиальньiх ха ра к теристик роста.

Г1 о д в е д е г i и т о г и и с с: лог д. о в а н и й;

В диссертации изучены основные шкалы роста сумм многомерны>: рядов экспонент, охватывающих ши-р о к и й к л а с с ф у i -i к ц и й г -i н о г и х к о м п л в к с: н ы х п ереие н н ы х.

Показано,что характеристики роста на лучах обладают рядом замечательных свойств,проявляющих функциональные зависимости и от координат точек границы сходимости и от направления подхода к отдельным точкам границы.

Установленные формулы в гл. 1 и 2 .функциональные зависимости в гл.2 могут быть использованы в различных направлениях в математике! их неовходи-и учитывать при классификации по росту,при постро-е i-i i-1 и р я д. о в s к с п о н е н т з а д а н н о г о р о с т а, в т е о р и и у р а в -нений свертки.

В диссертации все введенные характеристики вычисляются через коэффициенты и показатели ряда экспонент,а характеристики гл.1 кроме того используют опорную функцию овласти В.

ЛИТЕРА Т У F' А

» Макаров Е<. ГО. Радиальный R-порядок многомерного ряда экспонент вблизи границы сходимости.// Деп.в ВИНИТИ АН СССР N1724-B87,1987.-8с.

. Макаров В. Ю. Характеристики роста функций,пред ставленных многомерными кратными рядами экспо нвнт на лучах при подходе к точкам границы// Деп.в ВИНИТИ АН СССР M 220-В88.-1988.

. Ma к a pois В» Ю. О росте суммы кратного ряда экспо нент. //Известия вузов .Математика. -1991. . N8c84-86

. Макаров В. №. О росте многомерного ряда экспонент при подходе к границе сходимости//Деп.в ВИНИТИ АН СССР.N800-B89.-1989.

. M а к а р о в В. 10. Рад и а л ь н ы е х а р а к т е р и с т и к и рост а

многомерных рядов экспонент вблизи границы о в — ласти авсолютной сходимости//Сворник MОПИ „ Деп . в ВИНИТИ АН СССР. М4489-В87. -1987. -с » 134-143,.

. Макаров В.Ю.Тип роста суммы кратного ряда экспонент с действительными показателями вблизи границы сходимости.// Деп.в ВИНИТИ АН СССР.N2236™ В91.-1991.

. Макаров В. Н). Глобальные хара к терне тик и роста кратного ряда экспонент при подходе к границе сходимости .//Деп.в ВИНИТИ АН СССР.N3867-B91.-1991.

одп.в печать 10.12.91. Формат 60884/16.Бумага тип. :.печ ат ь .Усл. печ. л. 0. 69. Ус. л. к р. -отт. 0.69. Ус л . и з д л. 0.625.Тираж 100 экз. Заказ 300. Бесплатно.

Подгютовлено и в Институт"^

Украины 252601,Киев,ГСП,ул.Репина 3.