Ряды экспоненциальных мономов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004604054 На правах рукописи

} 7

Кривошеева Олеся Александровна Ряды экспоненциальных мономов 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2010 t 7 [дон 2010

004604054

Работа выполнена на кафедре программирования и экономической информатики ГОУ ВПО «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Юлмухаметов P.C. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Мусин И.Х.

кандидат физико-математических наук, доцент Башмаков P.A. Ведущая организация: ГОУ ВПО «Сыктывкарский

государственный университет»

Защита состоится « » июня 2010 г. В 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышеского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан « /Л мая 2010г.

Ученый секретарь совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико-математических наук C.B. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению рядов экспоненциальных мономов, т.е. рядов вида

Исследуется задача описания пространства коэффициентов сходящихся рядов (1), характер сходимости этих рядов, описывается область их сходимости и изучается вопрос о продолжении сходимости рядов (1). Кроме того, исследуется распределение особых точек суммы ряда (1) на границе области сходимости и изучается задача о замкнутости множества таких сумм. Последняя называется также проблемой фундаментального принципа для инвариантных подпространств.

Тематика, связанная с рядами экспоненциальных мономов и их частными случаями - рядами экспонент (т.е. рядами вида (1), где тк = 1, к = 1,2,...), рядами Дирихле (т.е. рядами вида (I), где тк — 1 и Лк -положительные числа) и рядами Тейлора имеет богатую историю. Их исследование берет свое начало в трудах Тейлора, Коши, Адамара, Абеля и Дирихле. Указанные выше задачи для таких рядов изучались в работах Ж. Валирона, Ж. Полна, С. Мандельбройта, В. Бернштейна, Л. Шварца, Б.Я. Левина, А.Ф. Леонтьева, Г.Л. Лунца и многих других математиков.

Ряды экспоненциальных мономов являются естественным обобщением рядов экспонент. Достаточно полное изложение теории последних имеется в монографии А. Ф. Леонтьева [1]. Основной результат теории рядов экспонент, ставший уже классическим, также принадлежит А.Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области Г> с С, можно разложить в ряд экспонент с фиксированными показателями Ль Х2,... при определенных условиях на эти показатели. Известно, что экспоненты (и только они) являются собственными функциями оператора дифференцирования. Поэтому задачу представления рядами экспонент можно рассматривать как задачу разложения по собственным функциям этого оператора. Поскольку запас собственных функций оператора дифференцирования в Я (О) (пространстве функций, аналитических в области О, с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах О) достаточно большой (точнее говоря, все экспоненты), то существует много различных наборов показателей Л1(Л2. —. при помощи которых удается получить представление всех функций из Я (О) посредством ряда экспонент. Если же от всего пространства //(£>) перейти к его замкнутому подпространству

(1)

к=1,п=0

инвариантному относительно оператора дифференцирования (таковым является, например, пространство решений однородного уравнения свертки или их систем), то, как правило, одних лишь собственных функций этого оператора (в этом случае имеется только счетный набор собственных функций) уже недостаточно для разложения всех функций из IV. Однако, ситуация меняется, если наряду с собственными функциями рассматривать еще и присоединенные функции оператора дифференцирования в V/. Таковыми являются экспоненциальные мономы

гп ехр(Лкг), п = 1,..., тк - 1,

где тк- кратность собственного значения кк. Задача разложения функций из замкнутого инвариантного относительно оператора дифференцирования подпространства IV с Н(О) по собственным и присоединенным функциям этого оператора называется проблемой фундаментального принципа. Такое название связано с тем, что в частном случае, когда инвариантное подпространство является пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, возможность разложения произвольного решения по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования называют фундаментальным принципом Л. Эйлера.

Таким образом, важное значение приобретают вопросы, связанные с поведением рядов вида (1) и их сумм. Исследованию подобных вопросов и посвящена диссертация.

Цель работы. Исследовать пространства коэффициентов сходящихся рядов экспоненциальных мономов, характер сходимости этих рядов, описать область их сходимости и изучить вопрос о продолжении сходимости рядов экспоненциальных мономов. Исследовать также распределение особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости и изучить задачу о замкнутости множества таких сумм (проблему фундаментального принципа для инвариантных подпространств).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены следующие результаты:

- доказаны аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов;

- получено полное решение проблемы описания рядов экспоненциальных мономов, область сходимости которых совпадает с областью существования их суммы;

- найдено необходимое условие замкнутости множества сумм рядов экспоненциальных мономов, которое позволило получить окончательное решение проблемы фундаментального принципа для инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости.

Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, теории целых функций, а также методы комплексного и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как в теории целых функций, теории рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации в комплексной области, теории дифференциальных уравнений бесконечного порядка, теории операторов свертки. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Санкт-Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Ростовском, Саратовском, Львовском, Башкирском, Сыктывкарском госуниверситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Института математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН под руководством член-корреспондента Напалкова В.В.; на семинарах в Башкирском государственном университете под руководством доктора физико-математических наук, профессора Юлмухаметова P.C.; на Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (2005г.); на XLIV международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» в Новосибирском государственном университете (2006г.); на Пятой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2006» в Казанском государственном университете (2006г.); на XLV международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» в Новосибирском государственном университете (2007г.); на Уфимской международной математической конференции посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (2007г.); на Одиннадцатом конкурсе студенческих и аспирантских работ имени Августа Мебиуса в Московском независимом университете (финальный тур, 2007г.); на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их

приложений» посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовничего в Московском государственном университете (2009г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 10 параграфов и списка литературы. Объем диссертации составляет 97 страниц. Библиография - 44 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты, которые выносятся на защиту.

В Главе 1 изучается сходимость рядов экспоненциальных мономов. Для таких рядов, как и в теории рядов экспонент (и, в частности, для степенных рядов и рядов Дирихле) первоочередными являются задачи описания классов областей сходимости (это включает в себя задачу о продолжении сходимости) и характер сходимости рядов, а также восстановление области сходимости по коэффициентам ряда. В теории степенных рядов первые две задачи решаются при помощи теоремы Абеля (чаще ее называют леммой Абеля), а последняя - при помощи теоремы Коши-Адамара. Для рядов Дирихле имеется аналог теоремы Абеля (см., напр., [2], глава 2, лемма 1.1), в котором утверждается, что сходимость ряда Дирихле

00

^Г dfcexp (Akz~) k=l

в одной точке z0 влечет за собой его сходимость в полуплоскости {z £ С: Rez < Rez0}. Если при этом величина

— Inj

<т(Л) = lim т—г, Л = {Лк, mfc}"=1,

где - неубывающая по модулю последовательность, составленная из точек Afc, причем каждая Хк встречается в ней ровно тк раз, равна нулю, то

(см. [2], глава 2, теорема 1.1) эта сходимость будет абсолютной и равномерной в любой полуплоскости (z £ С: Rez < Rez0 — s}.

Кроме того, для рядов Дирихле имеется полный аналог теоремы Коши-Адамара, в котором при условии ст(Л) = 0 вычисляется расстояние от начала координат до граничной прямой полуплоскости сходимости (см. [2], глава 2, теорема 1.2). В случае рядов экспонент полный аналог теоремы Абеля отсутствует. Имеется результат (см. [3], [2], глава 2, теорема 2.1) о том, что множество точек абсолютной сходимости ряда экспонент выпукло. Причем на компактных подмножествах внутренности этого множества ряд сходится равномерно (см. [2], глава 2, теорема 2.2). Если выполнено условие <т(Л) = 0, то (см. [2], глава 2, теорема 2.3) простая и абсолютная сходимость ряда экспонент в выпуклой области равносильны. Кроме этого для рядов экспонент известен также (см. [3], [4], [5] и [1], теорема 3.1.3) аналог теоремы Коши-Адамара. В ней дается описание области сходимости ряда экспонент, которая получается как пересечение некоторого семейства полуплоскостей. При этом приводится формула для расстояний от начала координат до граничных прямых этих полуплоскостей. В случае общих рядов вида (1) можно отметить лишь результат из работы [6]. Здесь доказывается, что область абсолютной сходимости ряда (1) выпуклая, если выполнено следующее условие:

— тк 772 (Л) = lim ТТ-Т = 0.

JC-.00 |Ак|

В первой главе при условиях ст(Л) = т(Л) = 0 приводится полный аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов и, в частности, для рядов экспонент. Показывается, что областью сходимости ряда (1) является выпуклая область специального вида. Доказывается, что поточечная сходимость ряда (1) в этой области эквивалентна его абсолютной сходимости, равномерной сходимости на компактах и даже сходимости в более сильной топологии. Приводится также аналог теоремы Коши-Адамара, который, как частные случаи, содержит все предыдущие подобные результаты для рядов Дирихле и рядов экспонент.

Параграф 1.1 посвящен описанию пространства коэффициентов сходящихся рядов вида (1). Здесь доказана

Теорема 1.1.6. Пусть D — выпуклая область в С и последовательность А такова, что ст(Л) = т(Л) = 0. Тогда эквивалентны утверждения:

1) Ряд (1) сходится в области D.

2) Имеет место включение d = [dk,n] £ Q(D).

Здесь Q(D) = Пр<?р,

Qp = \d = {dfc,n}: ||d||p = sup\dkn\expHK ak) <00 , p = 1,2,... v k,n '

где

{4"i=3C(D)

- последовательность выпуклых компактов в области D, которая строго исчерпывает ее, т.е. Кр с intKp+1 (int - внутренность), р = 1,2,... и

HM(f) = supRe(zO

zeM

- опорная функция множества Мс С (точнее говоря, комплексно сопряженного к М множества). В пространстве Q(D) определим метрику

МИН'Л V^

p=i

С этой метрикой Q(D) становится, очевидно, пространством Фреше.

В параграфе 1.2 приводится аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов. Положим

Cp,k.n = sup \znexp (zAk) I, p,k = 1,2,..., n = 0,1,..., mfc - 1. zeifp

Пусть 0(Л) - множество всех частичных пределов последовательности {Ak/|Afc|}"=1 (исключая точку Як = 0, если она есть). Очевидно, что 0(Л) -замкнутое подмножество окружности § - единичной окружности с центром в начале координат.

Пусть Е - множество в С, 0 - замкнутое подмножество окружности S. 0

- выпуклой оболочкой Е называется множество

Е(0) = {ze С: Re(zf) < ВД), f 6 0}.

Отметим, что внутренность Е лежит в £(0). В частном случае, когда 0 = §, 0 - выпуклая оболочка множества совпадает с его обычной выпуклой оболочкой (точнее говоря, с внутренностью этой выпуклой оболочки).

Теорема 1.2.1. Пусть последовательность Л такова, что а (Л) = т(Л) = 0. Предположим, что общий член ряда (1) ограничен на множестве £ с (С. Кроме того, если начало координат является изолированной точкой множества Е, то ограничена также последовательность \ Тогда для каждого р = 1,2,... найдется

Ср > 0 (не зависящее от последовательности d) такое, что

^ \dk,n\cv,k,n — ^piMllp+2-

k=l,n=0

где числа и нормы ||d|jp построены по последовательности компактов K(D) и D = Я(0(Л)). В частности, ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте из области D.

Степенной ряд является частным случаем ряда экспонент: при помощи простого преобразования переменной степенной ряд превращается в ряд вида

yTdfc exp(fcz).

Однако, если переформулировать теорему 1.2.1 для этого частного случая, то в результате получится более слабое утверждение чем теорема Абеля. Это объясняется тем, что круги, на которых должен абсолютно и равномерно сходиться степенной ряд, при указанном преобразовании переходят в неограниченные множества. В теореме же 1.2.1 равномерная сходимость гарантируется лишь на компактных подмножествах. Ситуацию можно исправить, отказавшись от сомножителей zn в ряде (1), т.е. рассматривая лишь «чистые» ряды экспонент, что и подтверждается следующим результатом.

Наряду с Е(0) для каждого е > 0 определим еще множество

Я(0, £) = {z6 С: Re(zf) < НЕ($) - е, Vf G 0}.

Отметим, что в случае, когда 0 лежит в некотором угле с вершиной в нуле раствора не больше тс множество £(0), а вместе с ним и E(Q,e) для достаточно малого £ > 0 является неограниченным.

Теорема 1.2.2. Предположим, что члены ряда

^Г dkexр (Akz) к=i

равномерно ограничены на множестве Е, то есть

\йкехр (Лкг)\ < А, к = 1,2,..., г Е Е.

Пусть далее а (Л) = 0 а замкнутое множество 0 с § таково, что для некоторого номера к0 верно включение Хк/\Хк\ € 0, к > к0. Тогда для каждого е > 0 существует с(е,Л) > 0 такое, что выполнено неравенство

I4exp (4z) | < Аф,Л), z е £(0,е).

k=k0

В частности ряд сходится абсолютно и равномерно на Е (0(Л), е). Замечание. Рассмотрим ряд экспонент

^ dk exp(fcz),

в который переходит степенной ряд

при преобразовании w = expz. В этом случае <т(Л) = 0 и для каждого к = 1,2,... имеет место включение Як/\Ак\ 6 0 = {1}. Предположим, что общий член этого ряда ограничен в точке z0 и положим Е = {z0}. Тогда по теореме 1.2.2 этот ряд сходится абсолютно и равномерно на каждом из множеств £(0, г), £>0, которое совпадает с полуплоскостью {z:Rez< Rez0 — г}. Это дает нам теорему Абеля для степенного ряда.

В последнем параграфе первой главы получен аналог теоремы Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Прежде чем его сформулировать, введем еще необходимые обозначения. Пусть f е 0(Л). Для последовательности коэффициентов d = {dfc n} ряда (1) положим

h(d,0 = inf Um min KVW)

iiuti »

; 0£п<тад-1 |д

Hi) I

где инфимум берется по всем подпоследовательностям {^од} последовательности {Я/с} таким, что ^k(j)/\^k(j)\ сходится к когда j -» оо. Таким образом, мы получили функцию h(d,0, f £ 0(A). Из ее определения нетрудно вывести, что она является полунепрерывной снизу. Поэтому множество

D = D(d,A) = {z:Re(zO < Kd.ft.f 6 в(Л)} является 0(Л) - выпуклой областью.

Теорема 1.3.1. Пусть последовательность А такова, что а (А) — т(Л) = 0. Тогда ряд (1) сходится в каждой точке области D и расходится в каждой точке ее внешности €\D за исключением начала координат, если ряд 2 dk о сходится.

Замечание. В частном случае для ряда

^ <4ехр (kz)

имеем формулу

ка, 1) = м : =

(с-»00 Л (с->оо

Делая преобразование IV = ехрг, переводящее этот ряд в степенной ряд получаем следующую формулу для радиуса сходимости последнего

Я = ехрк^, 1) = Шп ...

к->со

Таким образом, мы получили формулу Коши-Адамара для степенных рядов.

В главе 2 изучается распределение особых точек функции суммы ряда (1) на границе области его сходимости. Пусть

а=к»сГо

- последовательность комплексных чисел. Через да(г) и Ъ(А,й) обозначим соответственно сумму ряда (1) и внутренность множества всех точек г е С, в которых он сходится. Символом 91(Л) будем обозначать множество

11

всех последовательностей коэффициентов {dki„} этого ряда, для которых множество V(A,d) не пусто, а функция - аналитическая в Ю(Л, d).

Пусть йбЩА). Будем говорить, что точка z 6 dD(A,d) особая для функции ^d(z), если она аналитически не продолжается ни в какую область, большую чем T)(A,d) и содержащую точку z.

В главе один показано, что в общем случае множество Ю(A,d) может быть невыпуклым и не является даже связным. Если же выполнены условия m (Л) = <т(Л) = 0, то по теореме 1.3.1 (теореме Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов) 2?(Л,d) будет в(Л)-выпуклой областью (возможно пустой), которая описывается при помощи коэффициентов {dfc„}. В этом случае D(A,d) совпадает с областью D(d,A). Более того, при этих же условиях по теореме 1.2.1 (теореме Абеля для рядов экспоненциальных мономов) ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте области 2)(A,d) = D(d, Л). В частности, это означает, что его сумма gd(z) есть аналитическая функция в Ю(Л, d).

Задача описания множества особых точек функции gd(z) на границе области Э(Л, d) имеет долгую историю. Ее истоки лежат в начатых еще в позапрошлом веке исследованиях областей существования функций, представимых в виде степенных рядов. В 1892г. Ж. Адамар [8] доказал, что если функция g представляется рядом

с пропусками к(п + 1) - к(п) > ак(п), где а - положительное число, не зависящее от п, то граница круга сходимости этого ряда является естественной границей области существования функции д, т.е. каждая точка этой границы является особой для g(w). Е. Фабри [9] в 1896г. доказал, что утверждение Адамара сохраняется при более общем условии на последовательность показателей, а именно, последовательность {к(п)} имеет нулевую плотность:

Ж. Полиа [10], [11], а также Карлсон и Ландау (см., например, [1], гл II, §5.2) распространили этот результат на случай рядов Дирихле. Они показали, что если функция д представляется в виде ряда Дирихле

00

(2)

71=1

g{z) =^dÄexp(-Akz) (3)

k=1

с последовательностью положительных показателей Л = {Ak}, имеющей нулевую плотность, и выполнено неравенство

Лк+1-Ак > h > 0, к = 1,2,..,

то либо ö(z) - целая функция, либо прямая сходимости (вертикальная прямая, ограничивающая полуплоскость сходимости ряда Дирихле) является естественной границей области существования этой функции. Этот результат является частным случаем более общего утверждения В. Бернштейна [12]. Он доказал, что при условиях

к ---1 I 1 I

lim — = г, у(Л) = lim — In 7777-т = О,

где

ЦА)

к=1

каждый отрезок длины 2лт прямой сходимости ряда (3) (если таковая имеется) содержит по крайней мере одну особую точку функции д(г). Отсюда, в частности, следует обобщение теоремы Фабри: если последовательность степеней (к(п)} ряда (2) имеет плотность

п

т = Ит

к(п)'

то каждая замкнутая дуга границы его круга сходимости углового раствора 2лт содержит хотя бы одну особую точку функции g(w). Отметим, что утверждение В. Бернштейна ранее было доказано Ж. Полиа [10] при более сильном ограничении (чем у(Л) = 0) на последовательность Л = {Afc}:

Afc+1-Ak >h> 0, к = 1,2,...

В книге [2], гл. II, §3.3 строится специальная функция, которая является суммой ряда Дирихле и при условии у(Л) * 0 не имеет особых точек на

прямой сходимости. Существование такой функции говорит о том, что условие у(Л) = 0 в теореме В. Бернштейна необходимо.

А.Ф. Леонтьев [2] обобщил результаты Е. Фабри, Ж. Полна и В. Бернштейна на случай рядов экспонент с последовательностью показателей, имеющей нулевую плотность. Он доказал, что при этом условии и дополнительном условии у (А) = 0 область сходимости ряда экспонент совпадает с областью аналитичности суммы ряда. Отсюда, в частности, следует, что последняя является выпуклой. В связи с рассматриваемой задачей отметим еще стоящие несколько особняком работы А. Островского [13] и Г.Л. Лунца [14], [15]. В первой из этих работ изучаются ряды Дирихле с последовательностью показателей, имеющей конечную максимальную плотность

— к

Ит — - а > 0.

/с-+0О

Известная теорема А. Островского (см. также [16], [1], теорема 2.4.7) утверждает, что при условии

Шп(Ь+1 = А- (4)

к->а>

функция (3) в любом замкнутом круге радиуса г(а,И) = па* + 3(3 — 1п(Ла))а с центром в точке на прямой сходимости ряда имеет хотя бы одну особую точку. Здесь а* - усредненная верхняя плотность последовательности {Лк} (см. [1]), для которой имеют место оценки а* < а < еа*. Отметим, что из определения верхней плотности следует неравенство а < 1 /Л. При условии (4) последовательность {Лк} всегда можно пополнить (см., например, [6]) до последовательности, имеющей плотность, которая не превосходит числа 1/Л. Тогда по теореме Полиа (или теореме Бернштейна) функция (3) имеет хотя бы одну особую точку на каждом отрезке по крайней мере длины 2к/к, лежащем на прямой сходимости ряда. Если верхняя плотность а не сильно отличается от 1//г, то число 2п/Н существенно меньше, чем г(а, /г). В этом случае результат, получаемый при помощи теоремы Полиа лучше результата теоремы А. Островского. Таким образом, в контексте изучаемой нами задачи результаты работы [13] могли бы стать содержательными лишь для рядов Дирихле специального вида, когда верхняя плотность а последовательности {Лк} намного меньше числа 1/Л. В этом случае показатели этих рядов должны быть сосредоточены в основном в группах, отстоящих друг от друга на значительном расстоянии на прямой. В этой связи возникает естественный вопрос о применимости результата теоремы А. Островского к задаче распределения особых точек суммы ряда Дирихле на прямой его сходимости.

В работах Г.Л. Лунца изучаются уже общие ряды экспонент. Здесь получены тонкие интересные результаты по распределению множества особых точек на границе области сходимости ряда экспонент. Однако речь идет не о множестве особых точек суммы д(г) этого ряда, а о множестве особых точек всех его «частных сумм» д(г, Г). Функция д(г, Г) является суммой лишь тех членов ряда, показатели которых лежат в угле Г. Множество особых точек всех функций д{г, Г) (включая и д{г) = д[г, €)) существенно шире множества особых точек функции д(г). Для примера рассмотрим ряд

и Л = {Хк} - последовательность нулей функции ¿(Я), состоящая из точек вещественной и мнимой оси ±пп и ±1тт, п = 1,2,... Областью сходимости ряда (5) является квадрат с вершинами в точках 1 + 1, 1 — 1, 1-1,-1 — 1, а его сумма тождественно равна нулю, а потому не имеет особых точек (см. [2], гл. И, §2.3). В то же время каждая из четырех «частных сумм» д (г, Г) ряда (5), построенных по точкам Ак, лежащим на положительной и отрицательной вещественной и мнимой полуоси, имеет хотя бы одну особую точку на соответствующей стороне квадрата. Действительно, пусть д{г, Г) - сумма ряда Дирихле, построенного по отрицательным точкам Ак. Последовательность показателей этого ряда имеет плотность т = 1/тг, и расстояние между соседними показателями равно единице. Тогда по цитируемой выше теореме Полна функция д{2,Т) имеет хотя бы одну особую точку на каждом отрезке длины 2 на прямой сходимости - вертикальной прямой, содержащей отрезок [-1-1,1 — 1]. Сказанное относится и к остальным трем частным суммам ряда (5).

Во второй главе диссертации исследуются особые точки общего ряда (!). Получен результат, частными случаями которого являются результаты отмеченных выше работ за исключением трех последних. При этом построена специальная функция, которая не имеет особых точек на границе области сходимости своего ряда. Эта функция является обобщением указанной выше специальной функции из теории рядов Дирихле на случай общих рядов экспоненциальных мономов. Ее существование доказывает необходимость одного из условий основной теоремы, сходного по смыслу с

00

(5)

где

БШЛБШ (¿А)

условием у (Л) = 0 в теореме В. Бернштейна. Дается исчерпывающий ответ на вопрос, о том, когда область существования суммы ряда (1) является выпуклой и совпадает с областью его сходимости.

В лервом параграфе второй главы рассматриваются некоторые известные характеристики распределения точек комплексной последовательности и изучаются взаимосвязи между ними. В частности вводится следующая величина (см. [17],[18]), схожая по смыслу с индексом конденсации Бернштейна-Леонтьева

¿а = ит ит -

141

Здесь

_д \ ~mj ____д . Tïl

■ П Ш) ■■

V1 J,/ XkZB(w,S\w\) К1

Второй параграф посвящен построению специальной функции, которая является обобщением специальной функции из теории рядов Дирихле. Здесь доказывается следующая

Теорема 2.2.1. Пусть последовательность А = {Лк, такова,

что то (Л) = 0 и для некоторой подпоследовательности А = {Я^(р)}р1 выполнено неравенство

l*k<p)l

где {5р} - убывающая к нулю последовательность положительных чисел из интервала (0,1/4).Тогда для каждой ограниченной выпуклой области D существует последовательность d £ 21 (Л) такая, что множество Т)(А, d) совпадает с 0(0(Л)) и функция аналитична в области

Dp=V(A,d) + B(0,[3).

Замечание. Если SA < —/?, то согласно определению величины SA найдется подпоследовательность {Як(р)} последовательности {Як}, для которой выполнено неравенство в теореме 2.2.1.

В параграфе 3 главы 2 получен общий результат о распределении особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на границе его области сходимости, из которого вытекает большинство отмеченных выше результатов по особым точкам суммы ряда (1) и его частных случаев.

Пусть / - целая функция экспоненциального типа. Ее индикатором (верхним индикатором) называется функция

Ь(А) = кт-, ЯеС.

7 ' {-»оо г

Говорят, что функция / имеет (вполне) регулярный рост, если

/гДЛ) = кт -, ЯеС,

где - множество на прямой нулевой относительной меры, т.е.

л [0, г]) аш-= 0.

Г-> 00 г

Последовательность Л = будем называть правильной, если

она является частью правильно распределенной последовательности при порядке один. Это равносильно тому, что Л является частью нулевого множества (с учетом кратностей тк) целой функции экспоненциального типа и вполне регулярного роста. Пусть Л - правильная последовательность. Через /Г(Л) обозначим множество всех целых функций экспоненциального типа и вполне регулярного роста, для каждой из которых Л является частью ее нулевого множества. Для открытого множества V и выпуклого компакта К символом П(Т),Ж) обозначим совокупность всех точек г£С таких, что ОС + г (сдвиг компакта К) лежит в Ъ. Если О - выпуклая область, то нетрудно видеть, что множество £1(0,%) также является выпуклой областью (возможно пустой). Ее можно определить еще и следующим образом

йф,ЗС) = {ге £:Пе(гЛ) < Н0(Х) - НК(Л),А 6 § }.

Теорема 2.3.3. Пусть А - правильная последовательность, / 6 Р(А) и % — сопряженная диаграмма функции /. Следующие утверждения эквивалентны.

1)Для каждой последовательности й 6 такой, что множество П(Х>(Л,с2),;7С) не пусто и отлично от плоскости, и любой точки та/ 6

d£l(T)(A,d),K) функция cjd(z) имеет хотя бы одну особую точку на множестве (w + К) П 323(Л, d).

2) Имеет место равенство £д = 0.

Замечание. Согласно теореме 2.2.1 при условии т(Л) = 0 отрицательность величины SA обеспечивает существование аналитических функций, представимых рядом (1) со сколь угодно большой областью сходимости, которые не имеют особых точек на границе этой области. Теорема 2.3.3 означает, в частности, что при дополнительном условии на последовательность Л отрицательность 5Л является и необходимым условием существования подобных функций.

Все отмеченные ранее результаты по особым точкам сумм рядов экспонент и их частных случаев (рядов Дирихле и Тейлора) являются следствиями теоремы 2.3.3. При этом мы не затрагиваем результаты Г.Л. Лунца [14],[15] и А. Островского [13] по тем причинам, которые указаны выше.

Рассмотрим вначале результаты, относящиеся к рядам Дирихле. Положим

JV(A) = lim -¡--г,

где {f;} - неубывающая по модулю последовательность, составленная из точек Лк, причем каждая Лк встречается в ней ровно тк раз.

Следствие 2.3.4. Пусть последовательность А = {Afc} имеет плотность

т = JV(A) = lim —.

k-*<»Ak

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Каждая функция g(z) вида (3) либо целая либо на любом отрезке длины 2пх, лежащем на прямой сходимости, имеет по крайней мере одну особую точку.

2) Имеет место равенство SA = 0.

Следствие 2.3.5. (теорема Бернштейна) Пусть последовательность Л = {А^} имеет плотность т и у(А) = 0. Тогда каждая функция g(z) вида

(3) либо целая либо на любом отрезке длины 2лт, лежащем на прямой сходимости имеет по крайней мере одну особую точку.

Следствие 2.3.6. (теорема Полна) Пусть последовательность А = {Л,с} имеет плотность т и

Я)С+1 — Лк > к > 0, к = 1,2,...

Тогда каждая функция д(г) вида (3) либо целая либо на любом отрезке длины 2пт, лежащем на прямой сходимости имеет по крайней мере одну особую точку.

Выше было отмечено, что из сформулированных утверждений вытекают другие результаты по особым точкам. В частности, это относится к теоремам Адамара, Фабри, Карлсона и Ландау. Все они имеют дело со случаем положительных последовательностей нулевой плотности. Рассмотрим теперь случай общей последовательности Л = {Ял,тл}^=1 с нулевой плотностью.

Следствие 2.3.7. Пусть последовательность А = {Лк, тк}к=1 имеет нулевую плотность. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1) Для каждой последовательности (1 6 ЗД(Л) функция дЛ (г) либо целая либо все граничные точки области 1)(Л,й) являются для нее особыми. В частности область существования функции д^ (г) выпуклая.

2) Имеет место равенство <5д = 0.

Частным случаем этого утверждения является

Следствие 2.3.8. (теорема Леонтьева). Пусть последовательность Л = {Як)к=1 имеет нулевую плотность и у (Л) = 0. Тогда для каждой последовательности d 6 функция либо целая либо все

граничные точки области Ъ(Л,й) являются для нее особыми. В частности область существования функции выпуклая.

Из теоремы 2.3.3 следует, что случай нулевой плотности не единственный, когда все точки г Е д1)(Л,сГ) являются особыми для функции дй. Действительно, такая ситуация будет иметь место, если каждая граничная точка области 2)(Л, й) совпадает с одним из множеств

(\л? + Х) ПдИ(Л^), где VV е аП(2)(Л,с{),ЗС).

Приведем соответствующий результат.

Следствие 2.3.10. Пусть Л - правильная последовательность, / £ Р(Л), К - сопряженная диаграмма функции / и с2 & 51 (Л). Предположим, что £л—О, ЗС - строго выпуклый компакт, множество П(Т)(А,(1),К) не пусто и отлично от плоскости, а область V (Л, с?) имеет гладкую границ и выполнено равенство В (А, с1) = й(Т)(А, й), X) + Ж. Тогда все граничные точки области Т)(А, (I) являются особыми для функции д^ (л). В частности область ее существования выпуклая.

В параграфе 4 главы 2 дополнительно изучается случай последовательности Л, имеющей нулевую плотность. Здесь показывается, что условие 7\Г(Л) = 0 необходимо для пункта 1) в следствии 2.3.7. Другими словами, получен критерий того, что область существования каждой суммы ряда (1) совпадает с областью его сходимости. Этот результат опирается на два вспомогательных утверждения, которые имеют и самостоятельный интерес.

Лемма 2.4.1. Пусть последовательность А такова, что т(А) Ф 0. Тогда существует последовательность коэффициентов й 6 31 (Л) такая, что не все граничные точки множества 2)(Л, с!) являются особыми для функции дй (г).

Лемма 2.4.2. Пусть последовательность А такова, что т(А) ~0 и Л" (Л) Ф 0. Тогда существует последовательность коэффициентов й 6 31 (Л) такая, что не все граничные точки множества Т>(А, <£) являются особыми для функции да(г).

Теперь сформулируем основной результат параграфа.

Теорема 2.4.3. Для того чтобы область существования суммы каждого ряда вида (I), для которого Ъ(А, й) Ф 0, совпадала с множеством Т)(А, с£) (внутренностью множества сходимости этого ряда) необходимо и достаточно выполнение равенств Л"(Л) =0 и <$д = 0.

Из теоремы 2.4.3 вытекает утверждение, обратное к теореме Фабри.

Следствие 2.4.4. Для того чтобы область существования суммы каждого ряда вида (2) совпадала с кругом сходимости этого ряда необходимо и достаточно выполнение равенства

п

Ит ур-т = 0.

Замечание. Этот результат является частным случаем результата Мальявена, Фукса, Кусиса [23].

В последнем параграфе второй главы обсуждается указанная выше теорема А. Островского. Приводится пример (который представляет из себя вариацию теоремы 2.2.1), очерчивающий рамки применимости результата этой теоремы. В примере строится функция д(г), являющаяся суммой ряда Дирихле. При этом последовательность его показателей удовлетворяет условиям теоремы А. Островского. Расстояние между особыми точками д(г) на прямой сходимости ряда достигает величины порядка 0(1/К), что при малых К и фиксированном а значительно больше, чем радиус г(а, И) из теоремы А. Островского, который имеет порядок 0(—1пК). Это означает, что результат теоремы А. Островского по существу относится к особым точкам суммы ряда Дирихле, лежащим не на прямой сходимости, а лишь в ее окрестности. Кроме того, указанный пример дает также оценку снизу на величину этой окрестности. Оказывается, что за эту оценку отвечает верхняя плотность а последовательности {Як}. Действительно, построенная функция д(г) аналитична также в круге В(0, а), где

а = /?/(1 + 45), /? = (ОД1п (3(1 - 5).

Поскольку число 5 можно выбрать произвольно из интервала (0, На), то это означает, что в теореме А. Островского речь идет об особых точках суммы ряда (3), лежащих на расстоянии, сравнимом с верхней плотностью а последовательности А, от прямой его сходимости.

В главе 3 исследуется проблема фундаментального принципа для инвариантных, относительно оператора дифференцирования, подпространств пространства функций, аналитических в ограниченной выпуклой области.

Основной проблемой в теории любых рядов является, безусловно, проблема представления функций посредством этих рядов. При этом задача состоит в том, чтобы выяснить при каких условиях каждая функция из какого-либо класса (пространства, подпространства) может быть разложена в ряд того или иного вида. Особый интерес представляет случай, когда такое разложение единственно.

Из теоремы 1.2.1 следует, что при условии ст(А) = т(А) = 0 сумма ряда (1) - это функция, аналитическая в выпуклой области О. Поэтому в нашей ситуации естественно рассматривать классы именно таких функций. Как уже отмечалось выше, проблема представления всех функций из //(£>)

уже решена. При этом достаточно было использовать лишь «чистые» ряды экспонент, однако разложения которые получались были неединственными. Более сложной оказалась проблема представления функций из нетривиального замкнутого подпространства W с H(D) (с условием использования при разложении, конечно, лишь функций, принадлежащих этому подпространству). Только рядов экспонент здесь уже недостаточно, необходимо использовать ряды вида (1). При этом естественно ограничиться ситуацией, когда семейство функций

£(Л) = {z"exp

полно в W. В этом случае говорят, что подпространство W допускает спектральный синтез. Тогда оно автоматически становится инвариантным относительно оператора дифференцирования, а элементы £(Л) являются собственными и присоединенными функциями этого оператора. Как уже отмечалось выше, проблема представления функций из W посредством рядов вида (1) носит название проблемы фундаментального принципа. Ее решение тесно связано с решением интерполяционной задачи в пространствах целых функций и имеет очень богатую историю. Обзор некоторых основных результатов по проблемам фундаментального принципа и интерполяции можно найти в работе [18]. Здесь мы отметим лишь некоторые из работ, а именно [24]-[31], [6], [17], [18], в которых решалась проблема фундаментального принципа. В работе [18] при условии тп(Л) = 0 найдено полное решение проблемы фундаментального принципа для произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных выпуклых областях комплексной плоскости. Целью заключительной главы данной диссертации является доказательство того, что в случае ограниченной области условие т(Л) = 0 необходимо для фундаментального принципа. Таким образом, результат этой главы вместе с результатом работы [18] дает полное решение проблемы фундаментального принципа для произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных ограниченных выпуклых областях уже без всяких дополнительных ограничений.

В ситуации, описанной выше, совокупность функций £(Л) принадлежит подпространству W с H(D), полна в нем и не полна в H(D). Проблема фундаментального принципа состоит в том, чтобы выяснить условия, когда W совпадает с пространством функций W(D, Л), которые являются суммами рядов (1), сходящихся в топологии Я(О), или, что эквивалентно, когда W(D,Ä) замкнуто в //(£>).

В первом параграфе третьей главы получено необходимое условие замкнутости 1У(/?,Л) в пространстве W(D) в случае, когда D - ограниченная область.

Теорема 3.1.2. Пусть D - ограниченная выпуклая область в С и последовательность А = {Ak,mfc}"=1 такова, что система £(Л) неполна в пространстве Н(£>). Предположим, что W(D,A) замкнутое подпространство в Н (D). Тогда верно равенство т(Л) — 0.

В заключительном параграфе приводится фундаментальный принцип для инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез. Этот результат уже был получен ранее в работе [18] при одном ограничении на кратность показателей ряда (1): т(Л) = 0. В данном параграфе это ограничение устраняется.

Теорема 3.2.1. Пусть D - ограниченная выпуклая область в С, W -нетривиальное, замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство в H(D) со спектром Л, допускающее спектральный синтез. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) Оператор £ является изоморфизмом линейных топологических пространств Q(D) и W.

2) Каждая функция из W представляется рядом (1), равномерно сходящимся на компактах из области D.

3) £л = 0, Л - правильная последовательность и существует функция f е Р(Л) такая, что

hf(X) = НВ(Л), Я€С.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976.

2. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983.

3. Hille Е. Note on Dirichlet's sériés with complex exponents. Ann. of Math. 1924. V. 25. P. 261-278.

4. Лунц ГЛ. О некоторых обобщениях рядов Дирихле. Матем. сб. 1942. Т. 10(52), № 1-2, С. 35-50.

5. Лунц Г. Л. Об одном классе обобщенных рядов Дирихле. УМН. 1957. Т. 12, вып. 3(75). С. 173-179.

6. Братищев A.B. Базисы Кете, целые функции и их приложения. Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону. 1995.

7. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

8. Hadamard J. Essai sur l'etude des fonctions donnes par leur développement de Taylor. J. Math. Pures Appl. Ser. (4). 1892. V. 4(8). P.101-106.

9. Fabty E. Sur les points singuliers d'une function donnee par son développement de Taylor. Ann. Ecole Norm. Sup. (3). 1896. V. 2. P.367-399.

10. Polya G. Uber die Exiistenz unendlich vieler singularer Punkte auf der Ko-vergenzgeraden gewisser Dirichlet'sher Riehen. Sitzungber. Preub. Akad. Wiss. 1923. P. 45-50.

11. Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Luckensatzes. Nac. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. 1927. V.2. P. 187-195.

12. Bernstein V. Leçons sur les progress recents de la theorie des series de Diric-hlet. Paris: Gauthier-Villars, 1933.

13. Ostrowski A. Uber die analytishe Fortsetzung von Taylorshen und Dirichle-tchen Reihen. Math. Ann. 1955. V. 129. P. 1-43.

14. Лунц Г.Л. О рядах Дирихле с комплексными показателями. Матем. сб. 1965. Т.67(109), № 1. С. 89-134.

15. Лунц Г.Л. Ряд Дирихле с неизмеримой последовательностью комплексных показателей. Матем. сб. 1965. Т. 68 (110), № 1. С. 58-62.

16. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, ре1уляризация последовательностей, применения. ИЛ, 1955.

17. Кривошеее A.C. Критерий фундаментального принципа для инвариантных подпространств. Доклады РАН. 2003. Т.З 89, №4. С. 457-460.

18. Кривошеее A.C. Фундаментальный принцип для инвариантных подпро-пространств в выпуклых областях. Известия РАН. Серия математическая. 2004. Т.68. №2. С. 71-136.

19. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

20. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. Мир, M., 1989.

21. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

22. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. III: О распространении спектрального синтеза. Ма-тем.сб. 1972. Т. 88 (130). №3. С. 331-352.

23.KoosisP. The logarithmic intégral II. Cambridge: University Press. 1992.

24. Valiron G. Sur les solutions des équations différentielles lineaires d'ordre infini et a coefficients constants. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 1929. V.46. №1. P.25-53.

25. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodique. Ann. Math. 1947. V. 48. № 4. P. 857-929.

26. Гельфонд A.O. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. Труды Матем. инст. им. В.А. Стеклова. 1951. Т. 38.

27. Dickson D.G. Expansions in sériés of solutions of linear difference-differren-tial and infinité order differential équations with constant coefficients. Me-mor. Amer. Math. Soc. 1957. V. 23. P. 1-72.

28. Левин Б.Я. О некоторых приложениях интерполяционного ряда Лагран-жа к теории целых функций. Матем. сб. 1940. Т.8. № 3. С. 437-454.

29. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы// Известия АН СССР. Сер. матем. 1980. Т.44. №5. С. 1066-1144.

30. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы// УМН. 1981. №1. С.73-126.

31. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. Интерполяционная задача в пространствах целых функций конечного порядка// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т.40. №5. С.1102-1127.

32. Робертсон А.П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

33. Напалков В.В., Кривошеева O.A. Теоремы Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Доклады Академии Наук. 2010. Т.432. №5. С.18-20.

34. Кривошеева O.A. Об особых точках суммы ряда экспонент. Уфимский математический журнал. 2009. Т.1,№4. С. 78-109.

35. Кривошеева O.A. Ряды экспоненциальных мономов в комплексных областях. Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. Математика. Т.9, №3(21). С.96-104. Уфа. УГАТУ

2007.

36. Кривошеева O.A. Фундаментальный принцип Л.Эйлера для инвариантных подпространств. Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1.С.131-140. РИЦ БашГУ 2008.

37. Кривошеева O.A.. Теоремы Абеля и Коши-Адамара для рядов экспонент. Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно научных исследованиях. Научно- исследовательская стажировка молодых ученых. Сборник материалов. Т.1. С. 136-153. РИЦ БашГУ 2006.

38. Кривошеева O.A. О замкнутости множества сумм экспоненциальных мономов. Труды XLV международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. С.43-52. Новосибирск. НГУ 2007.

39. Кривошеева O.A. Обобщение теоремы Абеля для рядов экспонент. Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. Математика. Т.З. РИО БашГУ. С.31- 37.2005.

40. Кривошеева O.A. Сходимость рядов экспоненциальных мономов. Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Тезисы докладов. РИО БашГУ. С.65.2005.

41. Кривошеева O.A. Сходимость рядов экспонент. Материалы XLIV международной научной студенческой конференции «студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск. НГУ. С.18.2006.

42. Кривошеева O.A. Радиусы сходимости для рядов экспонент. Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы пятой молодежной научной школы-конференции. Издательство Казанского математического общества. Т.34. С.131-132.2006.

43. Кривошеева O.A. О фундаментальном принципе в инвариантных под-пространствах.Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы восьмой международной Казанской летней научной школы-конференции. Издательство Казанского математического общества. Т.35. С.140. 2007.

44. Кривошеева O.A. Особые точки суммы ряда экспонент. Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений» посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.А. Садовни-чего. Материалы конференции. Издательство «Университетская книга». С.163-164.2009.

Кривошеева Олеся Александровна

РЯДЫ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОНОМОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 17.05.2010 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,61. Уч.-изд. л. 1,68. Тираж 100 экз. Заказ 345.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Основные понятия и обозначения.

Введение.

Глава 1. Сходимость рядов экспоненциальных мономов

1.1. Пространство коэффициентов сходящихся рядов.

1.2. Аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов.

1.3. Аналог теоремы Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов.

Глава 2. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости.

2.1. Характеристики комплексной последовательности.

2.2. Построение специальной функции.

2.3. Особые точки.

2.4. Случай нулевой плотности.

2.5. О теореме А.Островского.

Глава 3. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств

3.1. Замкнутость множества сумм рядов экспоненциальных мономов.

3.2. Фундаментальный принцип.

Диссертация посвящена изучению рядов экспоненциальных мономов, т.е. рзхдов вида

00,771^—1 dk,nznexp (Afcz). к=1,п=0

Исследуется задача описания пространства коэффициентов сходящихся рядов (0.1), характер сходимости этих рядов, описывается область их сходимости и изучается вопрос о продолжении сходимости рядов (0.1). Кроме того, исследуется распределение особых точек суммы ряда (0.1) на границе области сходимости и изучается задача о замкнутости множества таких сумм. Последняя называется также проблемой фундаментального принципа для инвариантных подпространств.

Тематика, связанная с рядами экспоненциальных мономов и их частными случаями - рядами экспонент (т.е. рядами вида (0.1), где тк = 1, к = 1,2,.), рядами Дирихле (т.е. рядами вида (0.1), где тк = 1 и Хк - положительные числа) и рядами Тейлора имеет богатую историю. Их исследование берет свое начало в трудах Тейлора Коши, Адамара, Абеля и Дирихле. Указанные выше задачи для таких рядов изучались в работах Ж. Валирона, Ж. Полиа, С. Мандельбройта, В. Бернштейна, JI. Шварца, Б.Я. Левина, А.Ф. Леонтьева, Г.Л. Лунца и многих других математиков.

Ряды экспоненциальных мономов являются естественным обобщением рядов экспонент. Достаточно полное изложение теории последних имеется в монографии А Ф. Леонтьева [1]. Основной результат теории рядов экспонент, ставший уже классическим, также принадлежит А.Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области D с С, можно разложить в ряд экспонент с фиксированными показателями Я2, ■•• при определенных условиях на эти показатели. Известно, что экспоненты (и только они) являются собственными функциями оператора дифференцирования. Поэтому задачу представления рядами экспонент можно рассматривать как задачу разложения по собственным функциям этого оператора. Поскольку запас собственных функций оператора дифференцирования в #(D) достаточно большой (точнее говоря, все экспоненты), то существует много различных наборов показателей Я2,., при помощи которых удается получить представление всех функций из H(D) посредством ряда экспонент. Если же от всего пространства H(D) перейти к его замкнутому подпространству W, инвариантному относительно оператора дифференцирования (таковым является, например, пространство решений однородного уравнения свертки или их систем), то, как правило, одних 7 лишь собственных функций этого оператора (в этом случае имеется только счетный набор собственных функций) уже недостаточно для разложения всех функций из W. Однако, ситуация меняется, если наряду с собственными функциями рассматривать еще и присоединенные функции оператора дифференцирования в W. Таковыми являются экспоненциальные мономы zn exp(Xkz), п = 1, .,тк — 1, где тк- кратность собственного значения Лк. Задача разложения функций из замкнутого инвариантного относительно оператора дифференцирования подпространства W с #(£)) по собственным и присоединенным функциям этого оператора называется проблемой фундаментального принципа. Такое название связано с тем, что в частном случае, когда инвариантное подпространство является пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, возможность разложения произвольного решения по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования называют фундаментальным принципом JL Эйлера.

Таким образом, важное значение приобретают вопросы, связанные с поведением рядов вида (0.1) и их сумм. Исследованию подобных вопросов и посвящена диссертация. В частности, в ней получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Исследованы особые точки сумм таких рядов на границах областей их сходимости. Получено также необходимое условие замкнутости множества всех таких сумм. Этот результат позволяет снять последнее ограничение, присутствовавшее до сих пор при решении проблемы фундаментального принципа.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

1. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука. 1976.

2. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М.: Наука. 1983.

3. Hille Е. Note on Dirichlet's series with complex exponents. Ann. Of Math. 1924. V. 25. P. 261-278.

4. Лунц Г.Л. О некоторых обобщениях рядов Дирихле. Матем. сб. 1942. Т. 10(52), № 1-2, С. 35-50.

5. Лунц Г. Л. Об одном классе обобщенных рядов Дирихле. УМН. 1957. Т. 12, вып. 3(75). С. 173-179.

6. Братищев А.В. Базисы Кете, целые функции и их приложения. Дисс. на соискание уч. ст. докт. физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону . 1995.

7. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

8. J. Hadamard. Essai sur l'etude des fonctions donnes par lenr developpement de Taylor. J. Math. Pures Appl. Ser. (4). 1892. V. 4(8). P.101-106.

9. E. Fabty. Sur les points singuliers d'une function donnee par son developpement de Taylor. Ann. Ecole Norm. Sup. (3). 1896. V. 2. P.367-399.

10. G. Polya. Uber die Exiistenz unendlich vieler singularer Punkte auf der Kovergenzgeraden gewisser Dirichlet'sher Riehen. Sitzungber. Preub. Akad. Wiss. 1923. P. 45-50.

11. G. Polya. Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Luckensatzes. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl. 1927. V.2. P. 187-195.

12. V. Bernstein. Lecons sur les progress recents de la theorie des series de Dirichlet. Paris Gauthier-Villars, 1933.

13. A. Ostrowski. Uber die analytishe Fortsetzung von Taylorshen und Dirichletchen Reihen. Math. Ann. 1955. V. 129. P. 1-43.

14. Г.Л. Лунц. О рядах Дирихле с комплексными показателями. Матем. сб. 1965. Т.67 (109), № 1. С. 89-134.

15. Г.Л. Лунц. Ряд Дирихле с неизмеримой последовательностью комплексных показателей. Матем. сб. 1965. Т. 68 (110), № 1. с. 58-62.

16. С. Мандельбройт. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. ИЛ, 1955.

17. А.С. Кривошеев Критерий фундаментального принципа для инвариантных подпространств. Доклады РАН. 2003. Т.389, № 4. С. 457-460.

18. А.С. Кривошеев Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях. Известия РАН. Серия матем. 2004. Т.68. №2. С.71-136.

19. Б.Я. Левин. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат. 1956.

20. П. Лелон, Л. Груман. Целые функции многих комплексных переменных. Мир, М., 1989.

21. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

22. И.Ф. Красичков-Терновский. Инвариантные подпространства аналитических функций. III: О распространении спектрального синтеза. Матем. сб. 1972. Т. 88 (130). №3. С. 331-352.

23. P. Koosis. The logarithmic integral II. Cambridge: University Press. 1992.

24. Valiron G. Sur les solutions des equations differentielles lineaires d'ordre infini et a coefficients constants. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 1929. V.46. №1. P.25-53.

25. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodique. Ann. Math. 1947. V. 48. № 4. P. 857-929.

26. Гельфонд A.O. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций. Труды Матем. инст. им. В.А. Стеклова. 1951. Т. 38.

27. Dickson D.G. Expansions in series of solutions of linear difference-differential and infinite order differential equations with constant coefficients. Memor. Amer. Math. Soc. 1957. V. 23. P. 1-72.

28. Левин Б.Я. О некоторых приложениях интерполяционного ряда Лагранжа к теории целых функций. Матем. сб. 1940. Т.8. № 3. С. 437-454.

29. Коробейник Ю.Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы// Известия АН СССР. Сер. матем. 1980. Т.44. №5. С. 1066-1144.

30. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы// УМН. 1981. №1. 73-126.

31. Братищев А.В., Коробейник Ю.Ф. Интерполяционная задача в пространствах целых функций конечного порядка// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1976. Т.40. №5. С. 1102-1127.

32. Робертсон А.П., Робертсон В. Дж. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

33. Напалков В.В., Кривошеева О.А. Теоремы Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Доклады Академии Наук. 2010. Т.432. №5. С.18-20.

34. Кривошеева О.А. Ряды экспоненциальных мономов в комплексных областях. Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. Математика. Т.9, №3(21). С.96-104. Уфа. УГАТУ 2007.

35. Кривошеева О.А. Об особых точках суммы ряда экспонент. Уфимский математический журнал. Т.1, №4. С. 2009. С. 78-109.

36. Кривошеева О.А. Фундаментальный принцип Л.Эйлера для инвариантных подпространств. Труды института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1. С. 131 -140. РИЦ БашГУ 2008.

37. Кривошеева О.А. О замкнутости множества сумм экспоненциальных мономов. Труды XLV международной научной студенческой конференции «студент и научно-технический прогресс». Математика. С.43-52. Новосибирск. НГУ 2007.

38. Кривошеева О.А. Обобщение теоремы Абеля для рядов экспонент. Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. Математика. Т.З. РИО БашГУ. С.31-37. 2005.

39. Кривошеева О.А. Сходимость рядов экспоненциальных мономов. Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов; аспирантов и молодых ученых. Тезисы докладов. РИО БашГУ. С.65. 2005.

40. Кривошеева О.А. Сходимость рядов экспонент. Материалы XLIV международной научной студенческой конференции «студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск. НГУ. С.18. 2006.

41. Кривошеева О.А. Радиусы сходимости для рядов экспонент. Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Материалы пятой молодежной научной школы-конференции. Издательство Казанского математического общества. Т.34. С.131-132.2006.