Иерархия фермионных масс и физика больших дополнительных измерений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правахрукописи

Нугаев Эмин Яткярович

Иерархия фермионных масс и физика больших дополнительных измерений

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

г

илг

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи

Нугаев Эмин Яткярович

Иерархия фермионных масс и физика больших дополнительных измерений

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена в Отделе теоретической физики Института ядерных исследований Российской академии наук.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук М. В. Ливанов

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук член-корреспондент РАН кандидат физико-математических наук

Ведущая организация:

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В.Скобельцина МГУ им. М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится « »_2004 г. в_час.

на заседании Диссертационного совета Д 002.119.01 Института ядерных исследований РАН (117312 Москва, проспект 60-летия Октября, дом 7а).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института ядерных исследований РАН.

Автореферат разослан « »_2004 г.

М. И. Высоцкий А. В. Гладышев

Ученый секретарь Совета

Б. А. Тулупов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Известно, что Стандартная модель физики элементарных частиц, рассматриваемая как теория с некоторым масштабом обрезания Л, много большим энергетического масштаба нарушения электрослабой симметрии г;е11), содержит теоретические трудности. Для их преодоления предлагаются модели, привлекающие новую физику при высоких энергиях и воспроизводящие Стандартную модель в низкоэнергетическом пределе. Феноменологические ограничения на такие модели обычно возникают из рассмотрения процессов с нарушением лептошюго или барионного чисел, электрического заряда, закона сохранения энергии, т.е. симметрий, присутствующих в Стандартной модели. С учетом этих ограничений решаются актуальные задачи физики элементарных частиц, например, проблемы иерархий. Существуют две проблемы, связанные с иерархией энергетических масштабов. Первая, так называемая проблема калибровочной иерархии, ставит задачу о поиске естественной связи между масштабом обрезания и

Одним из возможных подходов к решению проблемы калибровочной иерархии являются модели с большими дополнительными измерениями. Способ связать два сильно отличающихся энергетических масштаба теории можно проиллюстрировать следующим примером для гравитационного взаимодействия (Аркани-Хамед, Димополус, Двали, 1998 г.). Пусть п дополнительных измерений имеют радиус компактификации Ь. При расстоянии между частицами Г>> Ь действует обычный (четырехмерный) закон Ньютона, а при г << L- гравитационная сила в (4 + п)-мерном пространстве-времени. Тогда связь между масштабом новой физики М, где становятся важными гравитационные квантовые

эффекты, и массой Планка МР1 ~ 1019ГэВ, определяющей константу гравитационного притяжения в обычном законе Ньютона, дается соотношением Мр1 = . Для решения проблемы калибровочной иерархии мы хотим, чтобы масштаб новой физики не сильно отличался от масштаба нарушения электрослабой теории, иеи, = 256 ГэВ. Так, например, для масштаба М порядка 10ТэВ и двух дополнительных измерений, для размера L, где появляются отклонения от закона Ньютона получается значение порядка 100 мкм. Экспериментальная проверка закона Ньютона на таких расстояниях сейчас только проводится. Такой масштаб компактификации много больше, чем в теории Калуцы-Клейпа, где см, поэтому эти модели получили название моделей с большими дополнительными измерениями. Строго говоря, они не решают проблему калибровочной иерархии, так как содержат сильно различающиеся массовые параметры 1/Ь и М, но сводят задачу к поиску объяснения для появления геометрического масштаба L. Мотивации для появления таких размеров, например в теории струн, были предложены Антониадисом в 1990 г. Поля материи в подходе с использованием больших дополнительных измерений локализованы вблизи четырехмерного многообразия (браны), соответствующего нашему (четырехмерному) пространству-времени. Требование локализации обусловлено выполнением законов сохранения, а также более сильным ограничением на размер L для калибровочных взаимодействий Стандартной модели.

Вторая проблема, проблема иерархии фермионных поколений, возникает из рассмотрения фермионного сектора Стандартной модели: требуется объяснить происхождение большой разницы между массовыми параметрами фермионов разных поколений. Это непростая задача, так как, например, масса электрона, те Й^МэВ, на три порядка отли-

чается от массы Т-лептона, тт ^ 1.8ГэВ. В 1999 г. Аркапи-Хамед и Шмальц использовали модель с одним дополнительным измерением для решения проблемы иерархии фермионных поколений. Авторы использовали известный механизм локализации фермионных нулевых мод на кинке — статическом солитонном решении для скалярного ноля. Тогда решения, соответствующие волновым функциям киральных фермионов Стандартной модели, спадают по гауссовому закону в обе стороны в направлении, перпендикулярном к бране. Малую дираковскую массу в эффективной четырехмерной теории частицы материи получают за счет перекрытия волновых функций левого и правого фермионов в дополнительном измерении. За счет экспоненциального поведения профилей волновых функций, при малом изменении относительного положения максимумов локализованных по отдельности левых и правых мод, получается большое изменение массы фермиона в четырехмерной теории. Таким образом, иерархическая структура фермионного сектора Стандартной модели восстанавливается из теории, в которой массовые параметры имеют одинаковый порядок величины. К недостаткам этой модели следует отнести резкое увеличение числа параметров по сравнению со Стандартной моделью: для описания одного фермиона каждого поколения необходимо использовать два массовых параметра в пятимерной теории, определяющих положение максимумов левой и правой киральных мод.

В 2000 г. Либанов и Троицкий предложили модель, в которой все три поколения киральных фермионов Стандартной модели возникают из одного (векторного по отношению к калибровочным полям Стандартной модели) поколения в теории с двумя дополнительными измерениями, причем все моды локализованы на одном и том же солитоне — аналоге вихря Абрикосова-Нильсена-Олесена. В этой теории существует симмет-

рия для уравнений на фермионные моды, которая позволяет различать поколения и определить (степенное) поведение волновых функций внутри вихря. Массы в эффективной четырехмерной теории возникают из-за взаимодействия с полем Хиггса. Это поле отличается от поля, создающего вихрь, и образует вместе с ним солитон, локализованный в дополнительных измерениях. Большое отношение масс фермионов получается при вычислении интегралов перекрытия нулевых мод и профиля поля Хиггса и определяется поведением волновых функций внутри вихря, где поле Хиггса отлично от нуля. Поэтому различное степенное поведение нулевых мод может приводить к иерархической структуре масс.

Подход с использованием больших дополнительных измерений приводит к новым четырехмерным моделям в низкоэнергетическом пределе. При этом проявления отклонений от Стандартной модели происходят па масштабе М ~ 1 +100 ТэВ. Примечательно, что в описываемой в диссертации модели возникает «горизонтальная» симметрия. Такие модели можно проверить в экспериментах по поиску редких процессов или на коллайдерах нового поколения (например, Большом адронном коллай-дере в ЦЕРНе).

Настоящая диссертация посвящена объяснению иерархии масс фер-мионов Стандартной модели в теории с двумя дополнительными измерениями и локализацией нолей материи на вихре. Также в диссертации изучены феноменологические следствия в модели Либанова и Троицкого и предложены пути ее экспериментальной проверки.

Цель работы состоит в изучении способов решения проблемы иерархии поколений в моделях с дополнительными пространственными измерениями, в поиске модельно-независимых предсказаний соответствую-

щих эффективных четырехмерных теорий, в получении ограничений на параметры моделей из экспериментальных данных для редких процессов и в выяснении возможных сигнатур для протон-протонных коллайдеров.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые проведен систематический рассчет фермионной массовой матрицы в низкоэнергетическом пределе модели с двумя дополнительными измерениями. При помощи численного решения дифференциальных уравнений подтвержден аналитический результат для иерархии масс фермионных поколений. Показана важность учета нормировки волновых функций частиц материи для получения правильного значения масс.

Включение в рассмотрение старших калуца-клейновских мод калибровочных полей позволило сделать предсказание для приближенного сохранения номера поколений в эффективной четырехмерной теории.

Рассмотрение редких процессов с нарушением странности выявило отличие данного класса моделей от рассмотренных ранее теорий с новой физикой. Так, впервые показано, что наиболее сильное ограничение приходит не из значения параметра СР-нарушения Сц в системе нейтральных каонов, а из верхнего предела на парциальную ширину распада дол-гоживущего каона Ki -4 fie. Этот результат уже привлек внимание со стороны экспериментаторов, занимающихся поиском редких распадов.

С учетом данных по редким процессам автором исследованы вероятности рождения лептонных пар с нарушением мюонного числа в протон-протонных столкновениях. Приведенные оценки позволяют искать процессы с нарушением этой симметрии, а также с дополнительным нарушением аромата через нейтральный ток на ускорителях нового поколения.

Апробация диссертации. Основные результаты, полученные в диссер-

тации, докладывались в 2001—2003 годах на научных семинарах ИЯИ РАН, 30 Зимней школе ИТЭФ (Москва, 2002).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 5 работ.

Объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и Приложения, содержит 109 страниц машинописного текста, в том числе 12 рисунков и список литературы из 85 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении формулируются цели исследования и кратко описывается содержание диссертации

В Главе 1 рассматривается модель, предложенная Либановым, Троицким и Фрором, в которой локализация фермионов Стандартной модели в плоском (4 + 2)-мсрном пространстве-времени происходит за счет взаимодействия с двумерным вихрем. Показано, что в этой модели естественным образом возникает иерархия масс фермионов эффективной четырехмерной теории, описываемая одним безразмерным параметром <5 ~ 0.1 Для масс первого, второго и третьего поколений получено соотношение

Аналитическая оценка (1) проверена численно. Также описано кварко-вое смешивание, приведены массовые матрицы и матрица смешиваний Кабибо-Кабаяши-Маскавы. Проведено сравнение с экспериментальными данными.

В разделе 1.1 описан солитон в теории с [7,)(1)-инвариантностью, используемый для локализации нулевых мод фермионов. Этот солитон отличается от двумерного вихря, формируемого скалярным полем Ф, нали-

чием дополнительного скалярного поля Я, используемого для получения (малых по сравнению с основным масштабом модели) масс фермионов. В отличие от остальных полей, составляющих солитон, поле Я заряжено по калибровочной группе Стандартной модели (является дублетом по группе электрослабого взаимодействия, т.е. представляет собой обобщение поля Хиггса Стандартной модели для шестимерной теории). Это поле отлично в нуле внутри вихря, что обеспечивает нарушение электрослабой симметрии в этой области, и экспоненциально спадает вне его (где электрослабая симметрия восстанавливается). Приведены уравнения как для модели с глобальной, так и для калибровочной 1/^(1)-инвариантностью. В случае тривиального решения Н 0, калибровочная теория описывает вихрь Абрикосова-Нильсена-Олесена. При этом электрослабая симметрия остается ненарушенной.

В разделе 1.2 приводится численное решение для солитоиа в случае глобальной и калибровочной 1/9(1)-групп. Полученные решения исследуются на устойчивость. Показано, что тривиальное решение Н 0 неустойчиво в некоторой области параметров, а устойчивому решению соответствует профиль, описанный во Введении и в разделе 1.1. Показано, что для полей солитона необходимо решать нелинейную систему уравнений, включающую в себя поля Н и Ф (а также калибровочное поле вихря), а не искать решения для поля Н во внешнем поле Ф, что могло бы значительно упростить задачу.

В разделе 1.3 описана локализация полей материи. Введены ферми-оны, аксиально преобразующиеся по группе вихря

(2)

где Г7 — шестимерный аналог четырехмерной матрицы Дирака у5 (ше-

стимерные матрицы Дирака приведены в Приложении). Спинор С} взаимодействует с полем вихря Ф юкавским образом

Показано, что во внешнем поле вихря с топологическим числом п существует п независимых нулевых мод, различающихся поведением в начале координат:

и экспоненциально спадающих вдали от вихря. Этим нулевым модам в эффективной четырехмерной теории соответствуют левые киральные фермионы. Таким образом, из одного спинора в шестимерной теории можно получить все три поколения Стандартной модели при выборе топологического числа солитона п = 3. Правые фермионы возникают из рассмотрения спиноров U, преобразующихся под действием 6^(1) по представлению, сопряженному (2).

Ненулевым фермионным модам соответствуют тяжелые частицы (с массой порядка 100 ТэВ). Массы фермионов Стандартной модели возникают из взаимодействия Q с полем Я и спинором U:

Уи J сРх

1-Г7

и + э.с.

(4)

юкавская константа связи, - индексы, соот-

ветствующие фундаментальному представлению SU(2)). В результате интегрирования по координатам , параметризующим дополнительные измерения, в эффективной четырехмерной теории получаются диагональные дираковские массовые члены,

~ YuJrdrdeH0(r)qPq(r)uPSr)¿^в,

(5)

где — независящий от угла профиль поля —профили

нулевых мод. Для того, чтобы выражение (5) давало значения масс четырехмерных фермионов, необходимо привести их кинетические члены к каноническому виду. При этом оказывается, что нормировочные условия делают зависимыми друг от друга волновые функции для фермионов разных поколений.

В разделе 1.4 описана иерархия фермионных масс. Показано, что с учетом нормировочных условий раздела 1.3 в случае глобальной группы не возникает иерархии между первым и вторым поколениями. Иерархия в виде (1) получается при рассмотрении теории с калибровочной -инвариантностью, причем — константа юкав-ского взаимодействия в лагранжиане (3). Для аналитических оценок использовались решения (линейных) уравнений для нулевых мод во внешнем поле, аппроксимирующем солитон раздела 1.2. Оценки проверены численно. На графиках продемонстрировано отличие для случаев глобальной и калибровочной группы

В разделе 1.5 все поля модели приведены в таблице 1.1. Для получения нетривиального смешивания (взаимодействие в (4) приводит только к диагональным массовым членам (5)) используется еще одно скалярное поле X с профилем как у поля Н, но незаряженное по калибровочной группе Стандартной модели. Для массовых матриц нижних и верхних кварков получены выражения

(б)

где - параметры смешивания (вообще говоря комплексные). Из мат-

риц (б) восстановлены наблюдаемые массы фермионы и матрица смешиваний Кабибо-Кабаяши-Маскавы. Приведено сравнение с экперимен-тальными данными. Отмечено, что девять параметров кваркового сектора Стандартной модели (шесть масс и три угла смешивания) получаются варьированием семи параметров: трех констант , двух параметров

и двух юкавских констант связи

Глава 2 посвящена рассмотрению модели (Либанов, Нугаев, Троицкий, Фрер), в которой два дополнительных измерения компактифицированы в сферу Использование компактных дополнительных измерений позволяет обойти проблему локализации калибровочных полей. Показано, что бозонам Стандартной модели соответствуют константные нулевые моды оператора Лапласа на сфере. Нормировка фермионных мод и независимость нулевых мод калибровочных полей от координат дополнительных измерений воспроизводят универсальность зарядов в эффективной четырехмерной теории, проверенную экспериментально с высокой точностью. Рассмотрено взаимодействие полей материи со старшими модами калибровочных полей, в том числе и в массовом базисе. Воспроизведены соотношения (6) в этой модели для случая калибровочной группы

В разделе 2.1 рассмотрены уравнения для калибровочных полей на сфере Проведено разделение переменных, описан механизм получения масс бозонами стандартной модели. Показано, что в эффективной четырехмерной теории появляется калуца-клейновская серия векторных и скалярных полей.

В разделе 2.2 результаты разделов 1.1 и 1.2 обобщены для случая сферической модели. При этом оказалось, что существуют два существенных отличия от случая некомпактного многообразия разделов 1.1 и 1.2.

Во-первых, на компактном многообразии (сфере) может существовать только калибровочный солитон. Чтобы его описать введены две карты, покрывающие сферу. На пересечении карт разные анзацы для нолей, формирующих солитон, сшиты при помощи калибровочного преобразования (эти рассуждения следуют работе By и Янга). Условие сшивки приводит к целочисленности зарядов для полей в модели на сфере, что является существенным отличием от случая с некомпактными дополнительными измерениями.

В разделе 2.3 рассмотрены фермионы, с зарядом по , позволяющим сшить решения в разных картах. Соответствующие фазовые преобразования отличаются от формул (2) раздела 1.3. Приведены уравнения для нулевых мод. Доказана лемма, позволяющая выделять нормируемые решения уравнения Дирака во внешнем поле солитона. Описана симметрия этого уравнения, отвечающая сохранению номера поколений в эффективной четырехмерной теории. Найдено поведение нулевых мод вблизи полюсов сферы.

В разделе 2.4 обобщены результаты разделов 1.3, 1.4 для модели на сфере радиуса R. Показано, что если угловой размер скалярного ноля Ф, вф меньше углового размера калибровочного [/,,(1)-поля, вд, то в режиме

0Ф < вА < б* < 1

можно получить иерархию вида (1), где ву — угловой размер локализованных нулевых мод. Для параметра 5, фигурирующего в (1), получено значение

В разделе 2.5 рассмотрен переход к массовому базису (т.е. базису, в котором массовые матрицы диагональны). Показано, что скалярные поля, появившиеся в калуца-клейновском разложении в разделе 2.1 не

взаимодействуют с материей. Найдены выражения для зарядов, с которыми четырехмерные фермионы взаимодействуют со старшими калуца-клейновскими модами векторных полей (по своей структуре эти взаимодействия аналогичны взаимодействиям с нулевыми модами калибровочных полей — обычными бозонами Стандартной модели). Приведены оценки для эффективных четырехфермионных взаимодействий и показано, что сила этих взаимодействий несущественно зависит от способа локализации калибровочных полей. Таким образом радиус сферы R (на который в Главе 3 получены ограничения) можно рассматривать не как параметр дополнительных измерений, а как масштаб локализации калибровочных полей в моделях, где существует динамический механизм такой локализации. Сферу же при этом удобно вводить как наиболее простой способ регуляризации теории, а размер дополнительных измерений может быть любой. Приведены выражения для матриц преобразования к массовым состояниям. Показано, что взаимодействия с незаряженными векторными полями в этом базисе приводят к процессам со слабым нарушением аромата. Кроме того, показано, что фазы, приводящие к СР-нарушению при взаимодействии со старшими модами, подавлены естественным образом.

Глава 3 посвящена описанию следствий взаимодействия материи со старшими калуца-клейновскими модами калибровочных полей. Показано, что из них можно получить ограничение на радиус сферы R, т.е на размер локализации калибровочных полей (см. обсуждение в описании раздела 2.5), связанный с массой I-ОЙ моды соотношением М\ = Наиболее сильное ограничение получено из экспериментального значения для верхнего предела парциальной ширины распада нейтрального долгоживущего каона что является следствием

(приближенного) сохранения углового момента в шестимерной теории, приводящего в свою очередь к сохранению номера поколений, но разрешающего, например, процессы с одновременным нарушением мюонного числа и странности. Проведен анализ для других редких процессов. Для обобщений модели описаны сигнатуры дополнительных векторных бозонов для протон-протонных коллайдеров.

В разделе 3.1 рассмотрены запрещенные распады каонов. В отличие от других редких процессов, распады происходят

с сохранением номера поколений, поэтому они подавлены только массой старших мод калибровочных бозонов, но не параметрами смешивания. Из распада Ki fíe получено ограничение

(7)

Для рассчета ширины использовался метод вакуумных вставок, дающий хорошие оценки для разрешенных процессов. Распад —ï ТТ+це даст более слабое ограничение,

В разделе 3.2 рассмотрены ограничения из процессов , происходящих с нарушением мюонного числа. Показано, что из отсутствия мюонной конверсии в электрон на ядре получается ограничение

(8)

которое заметно слабее (7). Распад ¡I Зе даст еще более слабое ограничение.

В разделе 3.3 анализируются процессы, обычно дающие самые сильные ограничения на масштаб новой физики. Дополнительные бозоны дают вклад в разность масс и параметр , характеризующий

- > 12 ТэВ,

СР-нарушение в системе нейтральных каонов. Разница масс Атк = измерена с точностью, сильно превосходящей точность предсказаний Стандартной модели (трудность теоретических предсказаний связана с учетом поправок КХД). К сожалению, из-за невысокой точности для значения , полученного в рамках Стандартной модели, разрешены дополнительные вклады в порядка самой величины разницы масс.

В описываемой модели, однако, из рассмотрения этих процессов получаются ограничения значительно слабее (7). Так, из предела на дополнительный вклад в получается

- > 1.5 ТэВ.

(9)

Ограничение на вклад в параметр СР-нарушения усилено фактором 20, но в нашей модели оно подавлено малостью комплексных фаз в матрицах преобразований к массовому базису. Для радиуса получается ограничение

1 ___

(10)

- > 2.6 ТэВ. К

Подчеркнем еще раз, что ограничения (8), (9) и (10) слабее (7), так как процессы с нарушением номера поколения подавлены малостью

параметра смешивания , потому что в отсутствии смешивания такие процессы запрещены симметрией.

В разделе 3.4 рассмотрены обобщения модели, допускающие изменения профилей фермионов в дополнительных измерениях. При этом интегралы перекрытия волновых функций поколений и профиля дополнительного бозона, например, первого возбуждения -бозона, ,

I/

— Ку,

входят в ограничение (7), полученное при а к связана с массой соотношением

М2< = К- ЮОТэВ. (11)

В сферической модели первые возбуждения калибровочных полей имеют одинаковую массу. При этом играют роль констант связи между фермионами и дополнительными векторными бозонами. Учитывая соотношение (11), были вычислены ширины первых возбуждений калибровочных бозонов Стандартной модели, изменяющих номер поколений на единицу. При помощи программы СоmрНЕР было оценено число процессов с нарушением аромата для протон-протонных столкновений С \/s = 14ТэВ и светимостью 100фбн-1 • год-1 (эти значения соответствуют ожидаемым параметрам строящегося в ЦЕРНе Большого адронного коллайдера). Хорошей сигнатурой для дополнительного бозона может быть дрелл-яновское рождение лептонных пар При 1ТэВ ожидаемое число событий рождения пар в

год составляет 16. Число пар (/j_,e+) при тех же условиях меньше, порядка двух событий в год, что обусловлено отсутствием валентных антикварков в протоне.

Имеются и другие сигнатуры присутствия дополнительных бозонов. В частности, парные струи (£, с)- И (Ь, з)-кварков рождаются через калуца-клейновские моды глюонов, имеющих большую константу связи. Для Mqi = 1ТэВ число струй, рождающихся через эти бозоны порядка N — 1.2 • 103. Выделенным свойством этих струй является равенство поперечных импульсов. Но для адронных струй надо более аккуратно учитывать фон процессов Стандартной модели.

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в

диссертации.

В Приложении приведены обозначения и матрицы Дирака в плоском пространстве-времени из шести измерений.

Для защиты выдвигаются следующие результаты, полученные в диссертации:

1. В модели с двумя плоскими дополнительными измерениями иерархия фермионных поколений воспроизводится в случае локализации на вихре с калибровочной ¿7г(1)-симметрией. Массовые матрицы нижних и верхних кварков имеют вид (б). Показано, что параметр 8, фигурирующий в (6) для этой модели зависит от константы связи фермионов с вихрем как

2. Модель обобщается на случай компактных дополнительных измерений. Для случая сферической компактификации найдено эффективное четырехмерное взаимодействие фермионов со старшими, векторными, модами калибровочных полей. Показано, что это взаимодействие не зависит от способа локализации калибровочных полей.

3. Показано, что в эффективной четырехмерной теории возможны процессы со слабым нарушением аромата, связанные с нейтральными токами. Из данных для редких процессов получены ограничения на такие взаимодействия. Показано, что наличие определенной симметрии в эффективной теории приводит к приближенному сохранению номера поколений взаимодействующих частиц. Поэтому основное ограничение на массу старших мод калибровочных бозонов определяется верхним пределом для парциальной ширины распада К1 [хе. Остальные редкие процессы, разрешенные в мо-

делях с нарушающими аромат нейтральными токами, приводят к более слабым экспериментальным ограничениям.

4. Рассмотрены сигнатуры полученной низкоэнергетической теории для ускорительных экспериментов. Показано, что для протон-протонных ускорителей есть возможность обнаружить первые калуца-клейновские возбуждения нейтральных бозонов в канале распада на антимюон и электрон.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Libanov M. V., Nougaev E. Y. Towards the realistic fermion masses with a single family in extra dimensions. // -JHEP - 2002. -0204. -055.

2. Libanov M. V., Nougaev E. Y. Hierarchical fermionic mass pattern and large extra dimensions. // - Surveys High Energ.Phys. -2002. -17. -p.165-171.

3. Frere J. M., Libanov M. V., Nugaev E. Y., Troitsky S. V. Fermions in the vortex background on a sphere. // -JHEP. -2003. -0306. -009.

4. Frere J. M., Libanov M. V., Nugaev E. Y., Troitsky S. V. Flavour violation with a single generation. // -JHEP. -2003. -0403. -001.

5. Frere J.-M., Libanov M. V., Nugaev E.Y., Troitsky S.V. Searching for family-number conserving neutral gauge bosons from extra dimensions. // -JETP Lett. -2004. -79. -12.

Ф-т 60x84/8. Уч.-изд.л. 1,0 Зак. №21341 Тираж 100 экз. Бесплатно

Отпечатано на компьютерной издательской системе Издательский отдел Института ядерных исследований Российской академии наук

117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 7а

1211 17

РНБ Русский фонд

2005-4 15921

Введение

1 Рассчет иерархии в модели с плоскими дополнительными измерениями

1.1 Двумерные вихри в шестимерном пространстве-времени 17 « 1.2 Численное нахождение устойчивых солитонных конфи 1 гураций.

1.3 Фермионный сектор.

1.4 Иерархия фермионных масс в четырехмерной теории

1.5 Модель со смешиванием.

2 Двумерная сфера как пример компактных дополнительных измерений w 2.1 Векторные поля на двумерной сфере S2.

2.2 Вихрь на сфере.

2.3 Фермионные нулевые моды во внешнем поле вихря на сфере

2.4 Иерархия поколений в сферической модели.

2.5 Взаимодействие калуца-клейновских мод калибровочных бозонов с фермионами.

2.6 Взаимодействия в массовом базисе

3 Феноменологические следствия, возникающие из получения иерархии поколений

3.1 AG = 0: запрещенные распады каонов.

3.2 AG = 1: нарушение мюонного числа.

3.3 AG = 2: разница масс Ki — Ks и CP-нарушение в ка-онах.

3.4 Сигнатуры для ускорительных экспериментов.

В настоящее время основой для описания электрослабого взаимодействия является теория Глэшоу-Вайнберга-Салама [1, 2, 3]. Расширение калибровочной группы этой теории, учитывающее SUC(3)~ инвариантность относительно группы цвета [4, 5, 6] приводит к Стандартной модели физики элементарных частиц. На сегодняшний момент в ее предсказаниях не существует каких-либо существенных противоречий с экспериментами, проводимыми на ускорителях.

Стандартная модель является перенормируемой квантовой теорией поля (см., напр., [7, 8, 9]), инвариантной относительно калибровочных преобразований из группы SU(3)C х SU(2)ew х Uy{ 1)- Полезно отметить некоторые следствия из этого, достаточно общего, утверждения. Если считать, что Стандартная модель верно описывает физику элементарных частиц на всех энергетических масштабах, то она внутренне непротиворечива. Однако, в последнее время появилось большое количество работ, в которых авторы выходят за пределы нынешних представлений о физике фундаментальных взаимодействий. Это связано с тем, что несмотря на самосогласованность Стандартной модели как фундаментальной теории, в ней появляются теоретические проблемы, если ее рассматривать как эффективную теорию поля с некоторым энергетическим масштабом обрезания

Л. О неполноте описания всей физики элементарных частиц свидетельствует отсутствие квантово-полевого описания гравитационного взаимодействия. Существует энергетический масштаб, Mpi ~ 1019 ГэВ, на котором гравитационное притяжение элементарных частиц становится сравнимым с сильным, слабым и электромагнитным взаимодействиями. При таких энергиях должны учитываться эффекты квантовой гравитации, поэтому масштаб обрезания Стандартной модели заведомо ниже Мр/. Другой, несколько меньший масштаб обрезания связан с идеей Великого объединения. В этих теориях группа SUC(3) х SU(2)eu> х Uy{ 1) Стандартной модели вложена в более общую группу, например SU(5) [10]. Выше масштаба нарушения большой группы теория описывается одной константой связи, а ниже — константами калибровочных взаимодействий Стандартной модели. Основой для такого предположения является сближение бегущих констант связи сильного, слабого и электромагнитного взаимодействий на масштабе Mqut ~ Ю16 ГэВ.

К сожалению, появление такого большого масштаба обрезания А в теории ведет к нескольким проблемам. Первая из них возникает при описании спонтанного нарушения [11, 12] калибровочной группы SU(2)ew х Uy( 1) до подгруппы Ueто(1). Обычно для этого вводится скалярное поле, вакуумное среднее vew которого отлично от нуля и дает массы W- и Z-бозонам, а также полям материи. Для объяснения значений масс калибровочных бозонов необходимо использовать vew = 25б ГэВ. В квантовой теории поля квадрат этой величины перенормируется. Как известно, массовый член для скалярного поля в четырехмерном пространстве-времени получает квадратичный по масштабу обрезания А вклад из-за квадратичной расходимости соответствующей диаграммы. Если vew <С Л, то такая расходимость приводит к необходимости точной подстройки параметров на масштабе перенормировки. Действительно, чтобы сократить поправку порядка Л2 надо, чтобы затравочное значение было равно поправке с отрицательным знаком с относительной точностью ~ (vew/A)2. Проблема заключается в отсутствии механизма, контролирующего такое точное сокращение. Описанная трудность, возникающая при большой разнице между масштабом нарушения электрослабой теории и масштабом Мдит получила название проблемы калибровочной иерархии.

Другая проблема иерархии появляется при рассмотрении спектра масс лептонов и кварков. Наблюдаемое отношение между массой t-кварка, mt = 175 ГэВ, и массой электрона, те = 0.5 МэВ, превышает 105. Включение в рассмотрение нейтринного сектора приводит к увеличению значения отношения массовых параметров еще на б порядков. Если мы ставим задачу построить теорию, низкоэнергетическим пределом которой является Стандартная модель, то получение вышеуказанной большой величины можно сформулировать как отдельную проблему иерархии фермионных поколений. Таким образом, в настоящее время проблемы иерархий стали отдельными объектами интенсивных исследований со стороны теорий, претендующих на более полное описание природы фундаментальных взаимодействий. Помимо механизма получения иерархии фермионных масс, в теории должны восстанавливаться элементы матрицы смешивания. Рассмотрение этих ограничений является одной из основных задач настоящей диссертации.

Для решения проблем, связанных с иерархией энергетических масштабов, привлекается новая физика. Так, хорошо известно, что проблему квадратичных расходимостей в массовом члене для скалярных частиц можно решить при помощи суперсимметрии [13]. Суперсимметрия использовалась также для решения проблемы иерархии поколений (см., напр., [14], а также обзор [15]).

Суперсимметричные обобщения для Стандартной модели хорошо изучены (см., напр., [16,17]). Поиск подтверждения этих теорий в настоящее время является одной из основных задач экспериментальной физики. Недостаток суперсимметричных моделей состоит в сильном увеличении числа параметров по сравнению со Стандартной моделью (подробное сравнение см. в [16]).

Сравнительно недавно, появились попытки объяснить иерархию при помощи дополнительных пространственных измерений [18, 19]. В различных моделях объясняется как иерархия поколений, так и калибровочная иерархия [18].

Модели с использованием дополнительных измерений исторически явились первыми попытками синтеза электромагнетизма и гравитации в теории Калуцы-Клейна [20, 21, 22]. Однако, несмотря на то, что они появились сразу после работ Эйнштейна по общей теории относительности, феноменологи заинтересовались ими сравнительно недавно. Проблема заключалась в том, что малый радиус компакти-фикации (~ 10~33см) приводил к значительным эффектам лишь при энергиях порядка В последние годы появились теории, в которых компактификация происходит на расстояниях порядка нескольких миллиметров [18, 23] (см. также более ранние работы [24]), или же дополнительное измерение остается некомпактным, как в работах [19, 25, 26, 27] (см. также обзор [28]). При этом заметные отклонения от Стандартной модели могут появиться в экспериментах на

Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе (мы будем использовать для этого ускорителя более распространенную английскую аббревиатуру LHC).

Для объяснения основной идеи нам требуется определить энергетический масштаб объединения. В большинстве работ в качестве такового выбран А ~ 1 — 100 ТеВ, несильно отличающийся от vew. Для сравнения напомним, что обычно в теории Калуцы-Клейна масштаб объединения порядка Mpi ~ 1019 ГеВ. Рассмотрим многообразие Минковского с п дополнительными пространственными измерениями и радиусом компактификации R. Обычный интеграл Эйнштейна-Гильберта для действия гравитационного поля на нем обезразмери-вается домножением на где Мрц4+П) — зависящая от п величина с размерностью массы, характеризующая силу гравитационного взаимодействия в (4+п)-мерном пространстве-времени. Энергия притяжения двух частиц с массами т\ и 7712 при г R будет равна

Т Р1(4+п) где г - расстояние между телами. Если мы заинтересуемся взаимодействием при г Л, то получим обычный четырехмерный закон Ньютона: п Т Р1(4+п)

Сравнивая два последних выражения, найдем, что обычная масса Планка выражается через Mpi(4+n) и R по формуле

Мп =

Масса Mpi(4+n) определяется энергетическим масштабом объединения Мр1(4+П) ~ Л. Из формулы видно, что уже при п = 2 размер дополнительных измерений составляет десятые доли миллиметра. Закон Ньютона на таких расстояниях экспериментально еще только проверяется [29,30]. Следует отметить, что эти соображения стимулировали исследования в гравиметрии: принципиально новые явления в физике высоких энергий можно обнаружить не только на ускорителях, но и из измерений закона Ньютона на расстояниях ~ 100 мкм.

С другой стороны, экспериментально известно, что все остальные взаимодействия обладают четырехмерными законами вплоть до расстояний порядка l/veu,~10~16 см, поэтому для них должен быть разработан специальный механизм компактификации. Требование локализации калибровочных полей также продиктовано законами сохранения энергии, электрического заряда, барионного и лептонного чисел, которые выполняются в четырехмерной теории с высокой точностью.

Наиболее естественными представляются модели с локализацией на одномерных солитоноподобных объектах, впервые предложенные Рубаковым и Шапошниковым [25]. В подобных моделях локализация полей материи происходит за счет их специального взаимодействия с полем кинка. Максимумы профилей фермионных волновых функций в дополнительном измерении оказываются на различных гиперплоскостях (бранах) [31]. При этом появляется иерархия масс, возникающих за счет перекрытия решений для полей материи, которые убывают по гауссову закону в обе стороны от браны по пятому измерению. Различие в расположении фермионных бран достигается введением сравнительно большого числа различных, но мало отличающихся друг от друга (пятимерных) масс.

Уменьшить число параметров удалось в работах [32, 33], где три поколения киральных фермионов Стандартной модели естественным образом возникают из одного поколения в шестимерной теории. Возможность такого упрощения фермионного сектора была продемонстрирована при помощи локализации полей материи на вихре (о локализации гравитации на вихре см. работу [34]). Количество четырехмерных поколений равно числу нулевых мод [35] оператора Дирака во внешнем поле и по теореме Атиа-Зингера в применении для вихря [36] совпадает с топологическим индексом дефекта*. В этом случае иерархия получается за счет различного степенного поведения фер-мионных решений вблизи вихря. Предполагалось, что в окончательный ответ для масс фермионов эффективной четырехмерной теории войдет безразмерный параметр 5, зависящий от константы д юкав-ского взаимодействия фермионов с вихрем и размер вихря. Тогда соотношение между массами первого, второго и третьего поколений выглядит следующим образом б4 : 52 : 1, (1)

Из экспериментальных данных видно [39], что массы разных поколений и лептонов, и кварков по порядку величины удовлетворяют (1) при 6 ~ 0.1.

В статье автора [40] (совместно с М. В. Либановым) проведены аналитический и численный рассчеты для масс эффективной четырехмерной теории в модели [33]. Для сравнения была посчитана иерархия в случае глобального и калибровочного вихря. Как обнаружилось

Надо отметить, что теорема Атиа-Зингера является более общим геометрическим утверждением, которое имеет широкое применение в современной физике [37, 38]. из рассчетов на компьютере, в случае глобального вихря иерархии между первым и вторым поколением нет, в то время как для случая с калибровочным полем она появляется. Как оказалось, в последнем случае параметр 6, входящий в соотношение (1) пропорционален у/д.

Структура матрицы смешиваний Кабибо-Кабаяши-Маскавы [41, 42], полученная путем численного рассчета, находится в согласии с [39], при этом число фитируемых параметров модели меньше числа восстановленных параметров Стандартной модели. Рассмотрение нейтринного сектора было проделано в работе [43].

Успешное объяснение иерархии поколений стимулировало авторов включить в рассмотрение взаимодействие фермионов с калибровочными полями. Существует несколько подходов к решению этого вопроса. Можно обойти проблему локализации калибровочных полей, рассмотрев компактные дополнительные измерения [18]. Тогда уравнения для свободных безмассовых векторных полей можно свести к уравнению Лапласа на компактном многообразии. У него существует единственное решение с нулевой энергией, которое постоянно на всем многообразии. В эффективной четырехмерной теории, получаемой интегрированием по дополнительным измерениям, этой нулевой моде соответствует калибровочное поле Стандартной модели. Следствием независимости нулевой моды от координат, описывающих дополнительные измерения и нормированности нулевых мод фермионных полей является универсальность зарядов для всех трех поколений.

Пример конкретной реализации в модели с двумя дополнительными измерениями, образующими сферу S2, приведен в [44]. Там же приведен анализ появления иерархии поколений. Этой модели посвящена вторая глава настоящей диссертации.

Другой способ получить локализованную нулевую моду для калибровочных полей заключается в рассмотрении некомпактных дополнительных измерений, образующих многообразие с нетривиальной метрикой. Впервые эта идея была реализована для полей гравитации в [19, 27]. В нашем подходе с использованием сферы, эффективные взаимодействия фермионов через старшие калуца-клейновские моды калибровочных бозонов несущественно зависят от способа локализации калибровочных полей. Таким образом, радиус сферы (на который в Главе 3 будут получены экспериментальные ограничения) можно рассматривать не как параметр дополнительных измерений, а как масштаб локализации калибровочных полей в моделях, где существует динамический механизм такой локализации. Сферу же при этом удобно вводить как наиболее простой способ регуляризации теории, а размер дополнительных измерений может быть произвольным.

Еще одна возможность локализовать калибровочные поля на бране заключается в использовании некоммутативных дополнительных измерений [45, 46, 47] (см. также обзор [48]). В теории поля на некоммутативном пространстве существуют солитоноподобные решения, локализующие фермионные моды [49, 50, 51, 52]. Альтернативные способы реализованы в [53, 54].

В диссертации также исследуются ограничения, накладываемые на модель [33] из существующих экспериментальных данных. Основные ограничения на масштаб новой физики возникают из экспериментов по поиску редких процессов — процессов, которые сильно подавлены или вообще отсутствуют в Стандартной модели. Таковыми являются процессы, нарушающие точные или слабо нарушенные симметрии Стандартной модели. Ограничения, получаемые из отсутствия барионной или лептонной симметрии обычно настолько сильны, что эти симметрии стараются сохранить при построении феноменологических моделей. Поэтому ограничения на масштаб теории приходят из процессов с нарушением аромата, которые происходят в Стандартной модели с участием заряженных Ил±-бозонов. Наиболее существенными являются пределы, получаемые из каонной физики. Так, вклад в параметр нарушения CP-инвариантности ек происходит только в петлевой поправке [55], поэтому вклад от дополнительных бозонов будет сразу заметен. В модели [33, 44] дополнительные бозоны появляются из старших калуца-клейновских мод калибровочных полей Стандартной модели. Их масса, характеризующая масштаб новой физики М, пропорциональна 1/R, где R — радиус сферы S2, образованной в результате компактификации двух дополнительных измерений. Наиболее сильное ограничение на масштаб М в этой модели возникает при рассмотрении распада Kl —> Это связано с тем, что в таких теориях приближенно сохраняется номер поколения участвующих в реакции частиц, так как в шестимерной теории он отвечает приближенной симметрии. Поясним роль этой симметрии в моделях с двумя и более дополнительными измерениями. Нулевые моды фермионов являются решениями уравнения Дирака во внешнем поле солитона в пространстве дополнительных измерений (для малого числа измерений эти уравнения были исследованы в [35, 56]). Инвариантность потенциала приводит к вырождению уровней. Независимые фермионные решения с одинаковой, нулевой, энергией соответствуют разным поколениям полей материи Стандартной модели. В модели с двумя дополнительными измерениями есть только одно квантовое число, при помощи которого можно различить поколения.

Оно соответствует вращениям относительно оси вихря, дополненными калибровочными преобразованиями. Если бы эта симметрия была точной, то номер поколений в эффективной четырехмерной теории сохранялся. В нашей модели, однако, эта инвариантность нарушена смешивающими членами, следствия из введения которых можно исследовать на эксперименте. Заметим, что этот механизм локализации фермионов позволяет рассматривать и некомпактные дополнительные измерения. Надо только воспроизвести универсальность зарядов, которая для компактных многообразий получается автоматически.

В настоящее время существуют возможности для усовершенствования экспериментов по поиску редких распадов каонов [57]. Наблюдение распада Kl i^e* в отсутствии сигнатур для других редких процессов было бы свидетельством в пользу моделей с сохранением поколений.

Процессы с нарушением аромата, особенно с лептонами в конечном состоянии, могут быть исследованы на коллайдерах. Для модели [33, 44] возможности поиска таких процессов были оценены в [58].

Диссертация состоит из Введения, трех глав основного текста, Заключения и Приложения.

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

Исследована модель, в которой иерархия фермионных поколений возникает естественным образом в теории с двумя дополнительными измерениями. Найден аналитический способ описания фермионных масс и смешиваний в этой модели.

Численно проверены полученные результаты для массовых матриц кварков. Показано, что соотношение между массами ферми-оннов первого, второго и третьего поколений описывается одним малым параметром 5,

54 : б2 : 1.

Результаты обобщены на модель с компактными дополнительными измерениями, что позволило описать взаимодействие фер-мионов с калибровочными полями Стандартной модели. Анализ взаимодействия с высшими калуца-клейновскими модами позволяет найти ограничение на энергетический масштаб модели. Показано, что поперечные ограничения не зависят от способа локализации калибровочных полей и размер дополнительных измерений.

Показано, что в эффективной четырехмерной теории возможны процессы со слабым нарушением аромата, связанные с нейтральными токами. Из данных для редких процессов получены ограничения на это взаимодействие. Показано, что наличие определенной симметрии в эффективной теории приводит к приближенному сохранению номера поколений взаимодействующих частиц. Поэтому основное ограничение на массу старших мод калибровочных бозонов определяется верхним пределом для парциальной ширины распада Kl —► це. Остальные редкие процессы, разрешенные в моделях с нарушающими аромат нейтральными токами, приводят к более слабым экспериментальным ограничениям.

Рассмотрены сигнатуры полученной низкоэнергетической теории для ускорительных экспериментов. Показано, что для протон-протонных ускорителей есть возможность обнаружить первые калуца-клейновские возбуждения нейтральных бозонов в канале распада на антимюон и электрон.

В заключение хотелось бы высказать глубокую благодарность своему учителю, М. В. Либанову, руководившему данной работой и участвовавшему в ней на всех этапах.

Автор благодарен своим соавторам, С. В. Троицкому и Ж.-М. Фре-ру за успешное сотрудничество. Автор признателен Н. В. Красникову и В. А. Рубакову за ценные обсуждения на разных этапах работы, А. Н. Кузнецову, Ф. Л. Безрукову и С. В. Демидову за помощь при проведении численных рассчетов, Д. С. Горбунову и С. М. Сибиря-кову за многочисленные советы, а также всем сотрудникам и аспирантам, работающим в Отделе теоретической физики ИЯИ РАН, за творческую атмосферу и доброжелательность, проявленную во время работы над диссертацией. к

1. Glashow S. L. Partial symmetry of weak interactions. // - Nucl. Phys. -1961. -22. -p.579-588.

2. Weinberg S. A model of leptons. // -Phys. Rev. Lett. -1967. -19. -p. 1264-1266.

3. Salam A. Weak and electromagnetic interations of leptons // -In: Proc. of the Nobel Symposium of Elementary Particle Theory, ed. N. Svartholm. Lerum. -1968. -p.367-381.

4. Боголюбов H. H., Струминский Б. В., Тавхелидзе А. Н. К вопросу о составных моделях в теории элементарных частиц. — Дубна, 1965. 13 с. (Препринт ОИЯИ, Д-1986 )

5. Han М. Y., Nambu Y. Three-triplet model with double SU(3) symmetry. Phys. Rev., 1965, V.B139, p.1038-1040.

6. Fritzch H., Gell-Mann M., Leutwyller H. Advantages of the colour octet gluon picture. // -Phys. Lett. В -1973. -47. -p.365-368.

7. Боголюбов H. H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. // М.: Наука, 1984. -600 с.

8. Славнов А. А., Фаддеев JI. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. // -М.: Наука. -1988. -272 с.

9. Пескин М., Шредер Д., Введение в квантовую теорию поля. // -Ижевск: РХД. -2001. -784 с.

10. Georgi Н., Glashow S. L. Unity of all elementary particle forces. //- Phys. Rev. Lett. 1974. - 32. -p.438-441.

11. Higgs P. W. Broken symmetries and the masses of gauge bosons. //- Phys. Rev. Lett. -1964. -13. -p.508-509.

12. Englert F., Brout R. Broken Symmetry And The Mass Of Gauge Vector Mesons. // -Phys. Rev. Lett. -1964. -13. -p.321-322.

13. Grisaru M., Siegel W., Rocek M., Improved methods for supergraphs. // -Nucl. Phys. В -1979., -159., -p.429-450.

14. Nelson A., Strassler M. Suppressing flavor anarchy.// -JHEP -2000. -0009. -030.

15. Kaplan D., Tait T. Supersimmetry breaking, ferminon masses and a small extra dimension. // -JHEP -2000. -0006. -020.

16. Kazakov D. I. Beyond the standard model: in search of supersymmetry. // Lectures given at European School of High-Energy Physics (ESHEP 2000), Caramulo, Portugal. - 2000. -p. 125199

17. Vysotsky M. I. Supersymmetric models of elementary particles: the physics for new generation accelerators? // -Usp.Fiz.Nauk -1985. -146. -p.591-636.

18. Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter. // -Phys.Lett.B -1998. -429. -p.263-272.

19. Randall L., Sundrum R. A large mass hierarchy from a small extra dimension. // -Phys.Rev.Lett. -1999. -83. -p.3370-3373.

20. Kaluza T. On the problem of unity in physics // -Sitzungsber.Preuss.Akad.Wiss.Berlin (Math.Phys.) -1921. -p.966-972.

21. Klein 0. Quantum theory and five-dimensional theory of relativity. // -Z.Phys. -1926. -37. -p.895-906, // -Surveys High Energ.Phys. -1986. -5. -p.241-244.

22. Klein 0. The atomicity of electricity as a quantum theory law. // -Nature -1926. -118. -p.516.

23. Antoniadis I., Arkani-Hamed N., Dimopoulos S., Dvali G. New dimensions at a millimeter to a Fermi and superstrings at a TeV. // -Phys.Lett.B -1998. -436. -p.257-263.

24. Antoniadis I. A possible new dimension at a few TeV. // -Phys.Lett.B -1990. -246. -p.377-384.

25. Rubakov V. A., Shaposhnikov M. E. Do we live inside a domain wall? // -Phys.Lett.B -1983. -25. -p.136-138.

26. Akama K. Pregeometry. // -Lect.Notes Phys. -1982. -176. -p.267-271.

27. Randall L., Sundrum R. A large mass hierarchy from a small extra dimensions. // -Phys.Rev.Lett -1999. -83. -p.4690-4693.

28. Rubakov V. A. Large and infinite extra dimensions: an introduction. // -Phys.Usp. -2001. -44. -p.871-893.

29. Hoyle С., Schmidt u., Heckel В., Adelberger E., Gundlach J., Kapner D., Swanson H. Sub-millimeter tests of the gravitational inverse-square law: a search for large' extra dimensions. // -Phys.Rev.Lett. -2001. -86. -p.1418-1421.

30. Long J., Chan H., Price J. Experimental status of gravitational-strength forces in the sub-centimeter regime. // -Nucl.Phys.B -1999. -539. -p.23-34

31. Arkani-Hamed N., Schmaltz M. Hierarchies without symmetries from extra dimensions. // -Phys.Rev.D -2000. -61. -033005.

32. Libanov M. V., Troitsky S. V. Three fermionic generation on a topological defect in extra dimensions. // -Nucl.Phys.B -2001. -599. -p.319-333.

33. Frere J. M., Libanov M. V., Troitsky S. V. Three generations on a local vortex in extra dimensions. // -Phys.Lett.B -2001. -512. -p.169-173.

34. Giovannini M., Meyer H., Shaposhnikov M. Warped compactification on abelian vortex in six-dimensions. // -Nucl.Phys.B -2001. -619. -p.615-645.

35. Jackiw R., Rossi P. Zero modes of the vortex-fermion system. // -Nucl.Phys.B -1981. -190. -p.681-691.

36. Weinberg E. J. Index Calculations for the fermion vortex system. // -Phys.Rev.D -1981. -24. -p.2669-2689.

37. Eguchi Т., Gilkey P., Hanson A. Gravitation, gauge theories and differential geometry. // -Phys.Rept.66 -1980. -213. -298pp.

38. Грин М., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн: В двух томах. Том 2. Петлевые амплитуды, аномалии и феноменология. // -М.: Мир. -1990. -т.2 -656 с.

39. Hagiwara К. et al. Review of particle physics // -Phys.Rev.D -2002. -66. -010001.

40. Libanov M. V., Nougaev E. Y. Towards the realistic fermion masses with a single family in extra dimensions. // -JHEP -2002. -0204. -055.

41. Cabibbo N. Unitary symmetry and leptonic decays. // -Phys.Rev.Lett. -1963. -10. -p.531-532.

42. Kobayashi M., Maskawa T. CP violation in the renormalizable theory of weak interaction. // -Prog.Theor.Phys. -1973. -49. -p.652-657.

43. Frere J. M., Libanov M. V., Troitsky S. V. 'Neutrino masses with a single generation in the bulk. // -JHEP -2001. -0111. -025.

44. Frere J. M., Libanov M. V., Nugaev E. Y., Troitsky S. V. Fermions in the vortex background on a sphere. // -JHEP. -2003. -0306. -009.

45. Harvey J., Kraus P., Larsen F., Martinec E. D-branes and strings as non-commutative solitons. // -JHEP -2000. -0007. -042.

46. Harvey J., Kraus P., Larsen F. Exact noncommutative solitons. // -JHEP -2000. -0012. -024.

47. Gross D., Nekrasov N. Solitons in noncommutative gauge theory. // -JHEP -0103. -2001. -044.

48. Harvey J. Komaba lectures on noncommutative solitons and D-branes. Lectures presented at Komaba 2000 Workshop: Non-perturbative Dynamics in String Theory, Komaba, Japan, 14-16 Nov 2000 // -EFI-01-05, Feb 2001. 43pp.49