Индуктивные топологические инварианты, определяемые через перегородки, и объединения множеств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М В ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи УДК 515 12

ЧАТЫРКО Виталий Альбертович

Индуктивные топологические инварианты, определяемые через перегородки, и объединения множеств

01 01 04 - геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических

0030717ЬС

Москва - 2007 $ л,

003071757

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета им М В Ломоносова

Научный консультант доктор физико-математических наук,

профессор Пасынков Борис Алексеевич,

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Зарелуа Александр Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор Семенов Павел Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор Шапиро Леонид Борисович

Ведущая организация Математический институт имени В А Стеклова РАН

Защита диссертации состоится ¿Д 2007 г в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д 501 OUI 84 в Московском Государственном Университете имени M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские Горы, МГУ им M В Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета Московского Государственного Университета им М В Ломоносова (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан Bx,f)U2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501 001 84 доктор физико-математических наук, профессор ВН Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Одной из основных функций теории размерности является малая индуктивная размерность md, независимо определенная Урысоном и Менгером (Menger) в начале 1920'х годов 1

Пусть X - регулярное Т\-пространство, а п целое число > —1 Тогда

(г) гпйХ — — 1 тогда и только тогда, когда X = 0,

(гг) mdX < п >0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с mdBdV < п — 1

(здесь BdA обозначает границу множества А в пространстве X)

Альтернативно в определении размерности md вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими, то есть такие множества, дополнение к которым в пространстве X есть объединение двух дизъюнктных открытых множеств, одно из которых содержит выбраную точку, а другое выбранное замкнутое множество

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств размерность ind совпадает с двумя другими известными функциями, лебеговой размерностью dim и большой индуктивной размерностью Ind, в определении которых помимо Лебега (Lebesque) участвовали Брауэр (Brouwer) и Чех (Cech) Поэтому для таких пространств в классической теории размерности говорят просто о размерности пространства

Вне класса сепарабельных метризуемых пространств функции ind, Ind и dim вообще говоря различны К примеру, широко известно, что для всякого нормального Tj-пространства X справедливы неравенства

ind X < IndX, dimX < Ind X,

и для любых трех целых чисел 1,т,п п>1>0, n > m > 0, а также для n = m = I = 0, существует такое нормальное Ti-пространство L(l,m,n), что

md L(l, т, п) = I, dim L(l, т, п) = т, Ind L(l,m, п) =п

(напомним, что если dimJf = 0 для нормального Ti-пространства X, тогда Ind .AT = 0)

Отметим, что проблемы взаимоотношений функций ind, Ind и dim в том или ином классе топологических пространств являются основой теории размерности Здесь можно вспомнить знаменитую проблему Александрова

:П С Александров, Б А Пасынков, Введение в теорию размерности, М Наука, 1973

о совпадении трех размерностей для бикомпактов, которая стимулировала деятельность большого числа отечественных топологов на протяжении последних 70-ти лет

Заметим также, что поведение размерности в сепарабельных метризуемых пространствах описано в литературе очень хорошо, как и поведение лебеговой размерности dim и большой индуктивной размерности Ind в нормальных Ti-пространствах Что касается малой индуктивной размерности ind, то обычно она находилась при обсуждении "в тени", после dim и Ind

В этой диссертации мы сделаем наоборот и больше внимания уделим размерности ind и ее "родственницам"

Одной из последних является малая индуктивная степень компактности стр, рассмотренная де Гроотом (de Groot)2 Ее определение можно получить из определения размерности ind заменой в пункте (i) условия X = 0, на условие пространство X компактно

Появление стр было стимулировано приведенным ниже утверждением де Гроота (de Groot), которое дает внутреннюю характеризацию пространства, имеющего метризуемую компактификацию с размерностью нароста < 0, и последующей попыткой его обобщения

Пространство X имеет метризуемую компактификацию с размерностью нароста < 0 тогда и только тогда, когда в этом пространстве между любой точкой р € X и любым замкнутым, множеством А с X, не содержащим р, всегда найдется компактная перегородка

Другая функция, участвовавшая в обобщении, дефект компактности def, определяется равенством

defX = mm{dim(y \Х) Y метризуемая компактификация X},

для всякого сепарабельного метризуемого пространства X

Следуя теории размерности, де Гроот (de Groot) определил также с помощью перегородок между дизъюнктными замкнутыми множествами аналог размерности Ind, большую индуктивную степень компактности Стр, при базисе индукции СтрХ = п, п — —1,0 стрХ = п,

и поставил проблему описания взаимоотношений функций cmp, def и Стр в сепарабельных метризуемых пространствах, привлекшую внимание многих зарубежных топологов

Отметим, что появление функции Стр, а также наличие для нее такого базиса индукции объясняется изначальным желанием де Гроота (de Groot) получить функцию, способную помочь разобраться в отношениях между функциями стр и def, а значит близкую к этим функциям Легко видеть, что формальная замена условия X = 0, на условие пространство X

2J de Groot, Topologische Studien, thesis (Groningen 1942)

компактно, в определении большой индуктивной размерности Ind приводит к функции AC-Ind, отличной от функций стр и def (к примеру, для полуинтервала

= (0,1] справедливо JC-IndJ* = 1, a cmp/* = defJ* = 0)

Сейчас хорошо известно, что

стрХ < Сшр X < (MX (< fC-lndX) < mdX

для всякого сепарабельного метризуемого пространства X (отметим, что условие cmp X = 0 влечет равенство def.X = 0), и имеются примеры таких подмножеств Y, Z евклидова пространства Я4, что

cmp Y < Стр У и Стр Z < def Z

Однако полного описания взаимоотношений указанных функций пока не сделано Например, нет примера такого сепарабельного метризуемого пространства X, для которого все три значения cmpX, Стр X, def X были бы различны

В 1964 году Лелек (Lelek) 3 предложил обобщить определения малой индуктивной размерности md и малой индуктивной степени компактности стр Напомним его подход

Пусть X - регулярное Ti-пространство, п целое число > —1, о V класс топологических пространств, монотонный по замкнутым подмножествам (0 является элементом Т3 по определению) Тогда малая индуктивная размерность по модулю "Р T'-mdX пространства X определяется так

(г) V-indX = —1 тогда и только тогда, когда X е V,

(гг) V-indX < п > 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с V-mdBdV < п — 1

Отметим, что альтернативно в определении размерности P-md вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими

Легко видеть, что если V — {0}, тогда P-mdX = mdX, а если V есть класс всех компактных пространств, тогда T'-ind X = cmp X Позднее Аартс (Aarts) и Нишиура (Nishiura) 4 довели количество частных случаев размерности 'P-md до wj-штук, начав рассматривать в качестве V абсолютные борелевские классы

Теперь вернемся назад во времени

Также в начале 1920'х годов Урысон заметил, что можно рассмотреть естественное трансфинитное продолжение размерности ind, трансфинитную

3А Lelek, Dimension and mappings of spaces with finite deficiency, Colloq Math 12 (1964) 221-227

4J M Aarts and T Nishiura, Dimension and Extensions, North-Holland, Amsterdam, 1993

малую индуктивную размерность trind (Формальное определение функции trmd было дано Гуревичем (Hurewicz)5) Размерность trind, как известно, является одной из основных функций трансфинитной теории размерности Напомним, что большая индуктивная размерность lud также может быть естественно продолжена на трансфинитные числа Это было сделано Смирновым 6 Трансфинитная большая индуктивная размерность trind также является популярной функцией трансфинитной теории размерности Хорошо известно, что trmd X < trind А" для всякого нормального 7\-пространства X, и существуют даже метризуемые компакты, для которых trmd ф trind

Отметим, что размерность dim продолжается натрансфиниты различными способами Обычно используется какая-либо характеризация размерности dim, которую можно естественным образом продолжить на ординальные числа

По аналогии с размерностью ind малая индуктивная степень компактности emp допускает естественное трансфинитное продолжение, трансфинитную малую индуктивную степень компактности trcmp Первые результаты о функции trcmp были получены Э Пол (Е Pol)7

Большая индуктивная степень компактности Стр также естественно продолжается на трансфиниты, причем для всякого нормального Ti-пространства X имеет место неравенство trcmp X < trCmp X

Дефект компактности def продолжается на ординальные числа различными способами

Относительно недавно Хараламбус (Charalambous)8 рассмотрел естественное трансфинитное продолжение размерностной функции P-ind, трансфинитную малую индуктивную размерность по модулю V "P-trmd, и обсудил первые вопросы, связанные с взаимоотношениями ее частных случаев

(Заметим, что если Р = {0}, тогда T'-tnnd X = trind X, а если V есть класс всех компактных пространств, тогда T-'-trmd X = trcmp X Напомним также, что в качестве V можно рассматривать различные абсолютные борелевские классы)

Все перечисленные функции будем называть размерностными функциями Результат, предлагающий оценку размерностной функции от объединения множеств в терминах этой размерностной функции от участвующих в операции множеств, называется теоремой сложения Можно говорить о конечных, счетных и других теоремах сложения в зависимости от типа объединения

5W Hurewicz, Ueber unendlich-dimensionale Punktmengen, Proc Akad Amsterdam 31 (1928) 916-922

бЮ M Смирнов, Об универсальных пространствах для некоторых классов бесконечномерных пространств, Изв Акад Наук СССР Сер Мат 23 (1959) 185-196

7Е Pol, The Baire-category method m some extension problems, Pacific J Math 122, 1 (1986) 197-210

SM Charalambous, On transfinite inductive dimension and deficiency modulo a class V, Topol AddI 81 (1997), 123-135

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств справедлива следующая теорема сложения для размерности, выписанная здесь с использованием функции ind

(1) Пусть X = U^X,, где все множества Хг замкнуты в пространстве X, тогда mdX = sup{tndX,}

Однако вне класса сепарабельных метризуемых пространств аналога этого утверждения вообще говоря нет Напомним, что

(2) существует компакт L = L1UL2 с гndL = 2, являющийся объединением двух замкнутых и одномерных в смысле размерности ind подмножеств Ьг и L2 9,

(3) существует метризуемое пространство М = М\ (JM2 с mdM = 1, являющееся объединением двух замкнутых и нульмерных в смысле размерности ind подмножеств Mi и М2 10

(Отметим, что в этих примерах используются пространства с несовпадающими размерностями)

Кроме того,

(4) существует метризуемый компакт БШа+1 с trindStJ<'+1 = wq + 1, являющийся объединением двух замкнутых подмножеств с tnnd = Wo каждое 11

То есть аналога утверждения (1) для трансфинитной размерности trrnd нет даже в классе метризуемых компактов Несложно показать, что и для функции стр аналог утверждения (1) не существует

Заметим однако, что для указанных функций хорошо известны конечные теоремы сложения для замкнутых подмножеств в общих пространствах, предлагающие верхние оценки (см например,12 для размерности ind, класс нормальных пространств, и 13 для функции стр, класс сепарабельных метризуемых пространств) Эти результаты были обобщены в упомянутой выше работе Хараламбуса (Charalambous) следующим образом

Пусть X = Х\ U Х-1 - регулярное Т\-пространство, множества Х\ и Xi замкнуты в X, а V допустимый класс топологических пространств

90 В Локуциевский, О размерности бикомпактов, ДАН СССР 67 (1949) 217-219

10Е К van Douwen, The small inductive dimension can be raised by the adjunction of a single point, Indag Math 35 (1973) 434-442

ПБ T Левшенко, Пространства трансфинитной размерности, Мат Сб 67 (1965) 225-266

12В В Федорчук, Бесконечномерные бикомпакты, Изв Акад Наук СССР Сер Мат, 42 (1978) 11621178

13 J deGrootandT Nishiura, Inductive compactness as a generalization of semicompactness, Fund Math 58 (1966) 201-218

Если «1,0:2 - ординальные числа > 0 и 'Р-Ьпп(1Хх < а, для каждого г = 1,2, тогда

(Напомним, что каждое порядковое число а можно представить в виде суммы а = А(а) + п(а), где А(а) - предельное число или 0, а п(а) целое число > 0 )

Однако это неравенство не является, как будет показано, рабочим, а значит удовлетворительным

Данная работа основана на новой теореме сложения для размерностной функции Т-Чппс! в классе регулярных ^-пространств, предлагающей верхнюю оценку для функции ТМппс! от объединения двух замкнутых подмножеств более эффективную, чем оценка Хараламбуса (СЬага1атЬош) (оказывается слагаемое тт{п(а1), 71(0:2)} в приведенной выше формуле может быть отброшено)

Теорема получена путем аккуратного выбора перегородок между точками и замкнутыми множествами, их не содержащими, с последующей комбинацией свойств монотоности размерностной функции "Р-1;ппс1 с теоремой сложения для открытых подмножеств

Частные случаи этой теоремы для размерностей тс1 {Ьггпв), стр ^гстр) хорошо согласуется с упомянутыми выше примерами (2)-(4)

От случая двух слагаемых можно перейти к случаю любого конечного числа слагаемых Причем для получении рабочей формулы нужно действовать не общепринятым способом поочередного суммирования слагаемых, а использовать предлагаемый в диссертации метод попарного суммирования

Эти утверждения широко применяются в диссертации при доказательствах различных теорем сложения (для указанных размерностных функций), произведения (случай размерности тс1(1;ппс1)), а также для построения пространств с различающимися размерностными функциями <;гшс! и 1г1пс1, стр и Стр

Т-ЫпйХ <

Г тах{а1,а2} \ тах{а!,а2}

, если А(с*1) ф А(аг), 4- тт{7г(а1), 71(0:2)} 4-1 , если А(а1) = А(а;2)

Цель работы.

Целью работы является изучение топологических инвариантов, определяемых индуктивно через перегородки В том числе поведение таких инвариантов на объединениях множеств и произведениях пространств

Рассмотрение в этой связи ряда вопросов, касающихся совпадения основных трансфинитных размерностных функций, а также основных топологических инвариантов из теории компактификаций в классах хороших пространств и на конкретных их представителях

Методика исследования.

В диссертации используются методы аккуратного выбора перегородок, специальных А- и В-разложений, а также оптимальной разложимости пространств в смысле топологических инвариантов

Научная новизна

Все результаты диссертации являются новыми Основные из них следующие

• Доказана конечная теорема сложения для малой индуктивной размерности по модулю класса Р Т^ппс! в регулярных Тх-пространств, предлагающая новую эффективную неулучшаемую многофункциональную верхнюю оценку для функции Р-Шпс! от конечного объединения замкнутых множеств в терминах функции РЧпш! от каждого участвующего в объединении множества

• Найден ряд новых размерностных свойства компактов Смирнова В частности, получена оценка для размерности Шпс! от каждого компакта Смирнова, существенно улучшающая известную оценку Люксембурга,

а также определена и доказана оптимальная разложимость компактов Смирнова в смысле размерности Шпс!, позволяющая строить многочисленные примеры компактов с различающимися трансфинитными размерностями 1;ппс1, Ъг1пс1 и Б

• Решена проблема де Гроота (с1е вгоо!;) о совпадении функций стр и (М на последовательности конечномерных кубов, у каждого их которых удалена комбинаторная внутренность одной из граней

• Решена проблема Аартса (Ааг1э) и Нишиуры (№зЬига) о взаимоотношениях между функциями стр и с1е£ (Стр) в сепарабельных метризуемых пространствах

• Разработаны методы специальных и оптимальных разложений

Теоретическая и практическая значимость.

Предлагаемая работа носит теоретический характер Развитые в работе подходы могут быть применены в конечной и бесконечной теории размерности, а также теории компактификаций

Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов и аспирантов, обучающихся по специальности математика

Апробация работы.

Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров

МГУ, механико-математический факультет семинар под руководством профессоров В В Федорчука, Б А Пасынкова, В И Пономарева и В В Филиппова,

Варшавского университета (Warsaw University, Poland) семинар под руководством профессоров Р Энгелькинга (R Engelkmg), X Торунчика (H Torunczyk),

Университета Шимане (Shimane University, Japan) семинар под руководством профессора Y Hattori

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях

Международная конференция по топологии (Workshop on topology m Stefan Banach International Mathematical Center) (Варшава, декабрь 1998) -приглашенный лектор, Международная конференция по топологии и ее приложениям (International Conference on Topology and its Applications) (Йокогама, 23-27 августа 1999) - приглашенный участник, Международная конференция по топологии и ее приложениям (2000 Summer Conference on Topology and its Applications) (Оксфорд, 26-29 июль, 2000), Международный симпозиум по топологии (IX Prague Topological Simposium) (Прага, 19-25 августа, 2001), Международная конференция по топологии в Матсуе (International Conference on Topology m Matsue), (Матсуе, 24-28 июня 2002 г) - приглашенный лектор, Международная конференция по геометрической топологии (Geometric topology И) (Дубровник, 29 сентября - 5 октября, 2002), Международная конференция по общей топологии и ее приложениям (V Iberoamerican conference on General Topology and its Applications) (Лорка, 10-14 июня, 2003), Международный симпозиум в честь профессора Я Аартса (Simposium of Professor Jan Aarts), (Дельфт, 23-25 июня, 2003) - приглашенный участник, Международная конференция по геометрической топологии (Geometric Topology Infinite-Dimensional Topology, Absolut Extensors, Applications) (Львов, 26-30 мая, 2004) - приглашенный лектор, Международная конференция по топологии и ее приложениям (2006 Internatioanl Conference on Topology and its Application) (Аегеон, 23-26 июня, 2006) - приглашенный участник,

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, список которых приводится в конце автореферата [1-22]

Структура и объём работы.

Диссертация занимает 182 страницы текста и состоит из введения, пяти глав, разбитых на семнадцать разделов и списка литературы, включающего 88 наименований Нумерация утверждений тройная - номер главы, номер раздела и собственный номер, например, лемма 3 2 1 - лемма 1 второго раздела третьей главы

Основное содержание работы

Первая глава. Основными результатами здесь являются теорема сложения для Р-Ьппд. и вытекающее из нее следствие

Теорема 1.2.1 Пусть X = Х\иХ2 есть регулярное Т\-пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Х„г =

(г) Если п есть целое число > 0 и Т-тйХг < п для каждого г = 1,2, тогда Т-гпйХ < п + 1

(гг) Если с^, аг есть ординальные числа > 0 и Т>-1ппс1Х1 < а, для каждого г = 1,2, тогда

Следствие 1.2.1 Пусть X = и^Х^ есть регулярное ^-пространство, являющееся объединением своих замкнутых подмножеств Х„ г = 1, , п+ 1, п > 0, и т такое целое число, что п < 2т — 1

(г) Если д есть целое число > 0 и тах{Р-т(1Хк} < д, тогда Т-гпйХ <

(гг) Если ос есть ординальное число > шо и тах{7Мппй.Х&.} < а, тогда Т-1пп<1Х < а + т

Теоремы сложения для замкнутых множеств для размерностей т<1 (Ыпс!) и стр ^гстр), а также других частных случаев получаются простой заменой Т-тб. (Р^гтс!) в сформулированных выше утверждениях на соответствующую пару

Мотивацией присутствия произвольного ординального числа а в теореме сложения для замкнутых множеств для размерности Шпс! является существование

1,2

Т-ЬппАХ <

Г тах{аь а2} \ тах{а1,а2}

, если Л(а1) ^ Л(аг), 4-1 , если Л(ах) = А(аг).

д + т

пространств (даже метризуемых) размерности trind = а (доказано независимо Пасынковым14 и Хаттори (Hattori)15)

Следующее утверждение из главы 1 усиливает этот результат и одновременно дает аналогичную мотивацию для функций trcmp и tried (частный случай ■P-trmd, когда V - класс пространств метризуемых полной метрикой)

Теорема 1.3.1 Для всякого порядкового числа а существует такие метризуемые пространства Ya и Za, что

trcmp Ya = tried Za = a, a trind Ya ф oo, trind Za ф oo

Заметим, что неравенства tried X < trcmp X < trmdX верны для любого метризуемого пространства X

Вторая глава.

Здесь обсуждаются приложения Теоремы 12 1 для размерности md (trmd) при доказательствах различных теорем сложения и умножения в общих пространствах

Хорошо известно, что

(5) ind(X1 U Х2) < mdXi 4- mdX2 + 1, если пространство Xi U Х2 наследственно нормально

(Заметим, что утверждение (5) не имеет аналога для функции стр )

Естественно спросить, что можно сказать о размерности md от объединения Xi U Х2, не являющегося наследственно нормальным пространством

Пусть d - размерностная функция, монотонная по замкнутым подмножествам Говорят, что в пространстве X имеет место конечная теорема суммы для d в размерности к > 0 (кратко, KTC(d, к)), если для любой пары замкнутых подмножеств Fi, F2 пространства X с d Fi, d F2 < к справедливо неравенство d (Fi U F2) < к

Если в пространстве X KTC(d, к) имеет место для каждого к > 0, тогда говорят, что в X имеет место конечная теорема суммы для размерности d (кратко, KTC(d))

Одной из теорем сложения, имеющей также трансфинитный аналог, является

Теорема 2.1 1 Пусть регулярное Ti-пространство X есть объединение двух непустых множеств Xi и Х2 с IndXi = п и IndX2 = тп, где п, m есть целые числа > 0 Тогда

"Б А Пасынков, О трансфинитных размерностях, Ленинградская Международная Топологическая Конференция, 1982, Тезисы, 123

15Y Hatton, Solutions to problems concerning transfimte dimension, Ques Ans Gen Topology 1 (1983),

(г) mdX < 2(n + m 4-1), и более того,

(гг) mdX < п + т+1, если в пространстве X имеет место KTC(ind)

Пока не известно можно ли заменить в указанном выше результате у слагаемых Х\ и Х2 размерность Ind на размерность ind

Отметим, что для "родственницы" размерности ind, индуктивной размерности indo, введенной независимо Филипповым (см 16) и Хараламбусом (Char-alambous)17 и совпадающей с размерностью ind в классе совершенно нормальных пространств, строится такое компактное и наследственно нормальное пространство S, что ind o<S = 00, и одновременно пространство S есть объединение двух всюду плотных дизъюнктных подмножеств с md о = 0 (Следствие 2 4 5)

Заметим также, что для размерности md подобный результат невозможен, так как имеет место

Теорема 2.1 4 Если регулярное Т\ -пространство X есть объединение Х\ U U Xn+i, где для каждого г = 1,. ,п + 1 подмножество Хг или всюду плотно в пространстве X и имеет размерность mdXt = 0, или дискретно в себе, тогда mdX < п

Напомним также, что Церетели18 построил пример вполне регулярного, ненормального пространства Т с IndT > 2, являющегося объединением двух своих подмножеств Ti, Т2 с IndT, —- 0 для каждого г = 1,2 Причем множество Ti всюду плотно в Т, а множество Т2 дискретно в себе

Хорошо известно, что (6) если в пространствах X и Y имеет место KTC(md), тогда

Имеет место следующая

16А В Иванов, О размерности не совершенно нормальных пространств, Вестник МГУ, сер Мат Мех 31 4 (1976) 21-27

"М G Charalambous, Uniform dimension functions, Ph D thesis, University of London, 1971

18I Tsereteli, Counterexamples in dimension theory, Q & A in General Topology, 20 (2002) 139-159

19Б А Пасынков, Об индуктивных размерностях, ДАН СССР 189 (1969) 254-257

20В Н Басманов, Об индуктивных размерностях произведений пространств, Вестник МГУ, сер Мат

Мех 36 1 (1981) 17-20

гпй{Х х У) < тйХ +

(доказано Пасынковым,19 для вполне регулярных пространств и Басмановым20 для регулярных ^-пространств)

Положим для каждого пространства X

КТС (d,X) = |

Теорема 2.2.2 Пусть X и У - непустые топологические пространства с тйХ = п и гпбУ = т Пусть также КТС{гп6,,Х), КТС(гпй,У) > к для некоторого к = 0,1, или оо Тогда

Заметим, что для к = 0 имеем случай общих пространств (утверждение имеет трансфинитный аналог), к = 1 покрывает ситуацию, когда сомножители являются компактами (в этом случае утверждение хорошо согласуется с известным примером Филиппова21 двух компактов один одномерен, второй двумерен в смысле размерности ind, а их произведение имеет ind = 4), к = оо соответствует утверждению (б)

Далее обсуждается вопрос, когда выполнение KTC(md) в пространстве гарантирует совпадение размерностей ind и Ind

Хорошо известно, что для всякого сепарабельного метризуемого пространства X имеем ind X = Ind X Заметим, что X € СГ\М, где £ - класс линделефовых пространств, а М. класс метризуемых пространств Дальнейшие усиления этого утверждения были связаны с расширениями классов С и М Так Мизоками (Mizokami)22 доказал совпадение ind и Ind для пары (порядково тотально паракомпакгные пространства и тотально нормальные пространства), а Энгелькинг (Engelking)23 для пары (<т-тотально паракомпактные пространства и сильно наследственно нормальные пространства)

Напомним, что сг-тотально паракомпактные пространства являются порядково тотально паракомпактными, а тотально нормальные пространства являются сильно наследственно нормальными

Естественно возникает вопрос (поставлен Энгелькингом (Engelkmg)) о равенстве md X = Ind X для всякого порядково тотально паракомпактного сильно наследственно нормального пространства X Следствие 2 3 4 отвечает на него положительно Третья глава.

Здесь рассматривается поведение размерности trind в классе сепарабельных метризуемых пространств, при этом в доказательствах утверждений наряду с Теоремой 12 1 используются развитые в этой главе методы специальных и оптимальных разложений

Хорошо известно, что для всякого порядкового числа о; < Ы\ существуют метризуемые компакты Ха = U£LjXai„ Ya — U^Y^, с trind = trlnd Ya = а, где все подмножества XQi,, Ya l компактны и конечномерны

21В В Филиппов, Об индуктивной размерности произведений бикомпактов, ДАН СССР 202 (1972) 1016-1019

22Т Mizokami, The equality of large and small inductive dimensions, J London Math Soc (2), 20 (1979) 541-543

J3R. Engeltang, Theory of dimensions, finite and infinite, Heldermann Verlag, Lemgo, 1995, p 165

если п = 0, или т = 0, или п,т <к, иначе.

Это утверждение показывает, что для трансфинитных размерностей trind и trlnd в классе метризуемых компактов в общем случае нет счетной теоремы сложения для замкнутых множеств

Однако когда счетные объединения замкнутых множеств имеют особый вид, удовлетворительные счетные теоремы сложения для размерностей trmd и trlnd существуют

Разложение X = FUU^-E, метрического пространства X на дизъюнктные множества называется А-специалъпым (В-специальнъш), если множества Е, открыто-замкнуты в пространстве X ( Et открыто-замкнуты в X и limn_,00 5{ЕХ) — 0, где 6(A) есть диаметер множества А)

Первая теорема сложения для В-специальных разложений для размерностей trind и trlnd звучит так

Теорема 3.1.1 Пусть а - ординальное число >0, а X — F U U^JE, В-специалъное разложение метрического пространства X Тогда

(г) tnndX < а, если sup{tnndF, trtndE,} < а,

(п) trlndX < а, если sup{trIndF, trlndE,} < а, а пространство X есть метрический компакт

Следующее утверждение связывает А-, В-разложения

Лемма 3 1.1 Пусть X - компактное метрическое пространство, и X = FUU^E, A-специальное разложение пространства X на дизъюнктные непустые подмножества, причем dimF = п > 0 Тогда X = U где каждое множество Zk замкнуто в пространстве X и допускает В-специальное разложение Zk = FUU^E* с условием включение Е* С Е1 имеет место лишь для конечного числа индексов j при каждом г

Теорема 3 11 вместе с Леммой 3 1 1 и Теоремой 12 1 позволяет доказать следующую теорему сложения для A-специальных разложений для размерности trind

Теорема 3 1.2 Пусть X - компактное метрическое пространство, и а ординальное число > и>о Тогда справедливо следующее

(г) Если X = FUU^Lj-Ej - такое А-специалъное разложение пространства X, что dimF = п > 0, sup{ínná.EJt} < aun < 2m — 1 для некоторого целого числа т, тогда tnndX < а + т

(гг) Если F есть такое замкнутое подмножество пространства X, что dimF = п > 0, swp{trindxX х е X\F} < a un < 2т - 1 для некоторого целого числа т, тогда tnndX < а + т + 1

Приведенные выше теоремы сложения для специальных объединений можно использовать при построении примеров пространств с различающимися размерностями trind, trlnd и D (размерность Хендерсона (Hendersson)24), а также для доказательства любопытных теорем произведения

Например, хорошо известно, что dim(X х Ik) = dim X -f к для всякого нормального пространства X Однако для трансфинитной размерности trind, как было впервые показано Люксембургом25 на примере пространства gwo+з _ gwo+2 х j (определение см ниже), такого равенства быть не может (Напомним, что trind S'^a+3 = trind 5U'0+2 = ш0 + 2 )

В диссертации предлагается более сильный результат

Теорема 3 2.2 Пусть X - компактное метризуемое пространство, и tnndX = а > ojo Пусть также множество F = X \ {х £ X существует такая открытая окрестность Ох точки х, что tnndOx < А(а)} конечномерно Тогда найдется такое целое число A:(dim F), что

trind (X х Y) < tnndX + dim Y

для всякого конечномерного сепарабельного метризуемого пространства Y с dim Y > ¿(dim F)

Другим приложением специальных теорем сложения являются результаты о размерностных свойствах хорошо известных компактов из ранее цитированной работы Смирнова, являющихся источником многих примеров в трансфинитной теории размерности

Напомним, что компакты Смирнова S°, Sl, , Sa, , а < u¡i, определяются следующим образом трансфинитной индукцией

(i) S° есть одноточечное пространство,

(u) Sa = S0x I, если а = /3 + 1, и

(т) если а есть предельное порядковое число > и>о, тогда

S" = {*«} U ®p<aSp

есть одноточечная компактификация свободной суммы всех предшествующих компактов Смирнова S&, 0 < а, где *а есть компактифицирующая точка

Очевидно, каждый компакт Смирнова Sa, где а > и0, допускает такое A-специальное разложение Sa = FU U^F,, что dimF = п(а) > 0 и для

24D W Hendersson, D-dimension, I A new transfimte dimension, Pacific J Math 26 (1968) 91-107

,5Л А Люксембург, О компактах с несовпадающими траястфинитными размерностями ЛАН СССР 212 (1973) 1297-1300 '

каждого значения индекса г множество Е, гомеоморфно компакту 813 при некотором р < А(а)

Хорошо известно, что ШгкЗб"* = а для любого ординального числа а < и вир-^ппё 5а а < шх} =

Однако чему равно точное значение Шпс1 Ба для всякого числа а < до сих пор неизвестно

В 26 Люксембург доказал, что для каждого и>о < а < и>1 с п(а) > 3 имеет место неравенство

где [г] обозначает целую часть действительного числа х

В частности, trind БШа+3 = ùj0 + 2

Последний результат интересен тем, что это был первый пример метризуемого компакта с различающимися трансфинитными индуктивными размерностями trind и trind (Напомним, что trind 5Wo+I = щ + г, где г = 0,1,2 )

Следующее утверждение, полученное с помощью Теоремы 3 12, существенно усиливает результат Люксембурга

Теорема 3 4.1 Пусть а - ординальное число > w0 Тогда tnndSа < А(а)+т, где m - любое целое число, удовлетворяющее неравенству п(а) <

Напомним теорему из ранее цитированной работы Хаттори (Найоп), утверждающую, что

(7) для всякого нормального Т\-пространства X, являющегося объединением двух своих замкнутых подмножеств Х1 и Х2 с ЫпйХ, < а,, г = 1,2, и а2 > сц > 0, справедливо неравенство

Это утверждение мотивирует следующее определение

Пространство X с trind X = a >wq назовем оптимально А (а)-разложимым в смысле размерности trind, если X = и"^"1"1^,, где для каждого значения индекса г множество Хг замкнуто в пространстве X и trind X, = А(а)

Воспользовавшись Следствием 12 1, получаем

Предложение 3.4.2 Пусть X есть оптимально А(а) -разложимое в смысле функции trind пространство с trlndX = а > lü0 Тогда tnndX <

2iL Luxemburg, On compact metric spaces with noncomcidmg trans&ute dimensions, Pacific J Math 93 (1981) 339-386

trind Sa < A(q) + [n(°^+2] < Q,

2m - 1

trind X <

f «2 \ а 2

c*2 , если A(ai) < A(a2),

а2 + п(а1) + 1 , если A(ai) = А(аг)

Л (а) + m, где m есть любое целое число, удовлетворяющее условию 0 < п(а) <2т-1

В частности, trindX < trlndX для всякого целого п(а) > 3

Следующее утверждение является источником примеров метризуемых компактов с различающимися размерностями trind, trlnd и D

Теорема 3.4 4 Для всякого порядкового числа и>0 < а < компакт Смирнова Sa оптимально \{си)-разложим в смысле размерности trlnd, то есть Sа = где для каждого значения индекса г множество

Z1 замкнуто в компакте Sa и trlnd Zx = А (а)

На примере оптимального разложения компакта Смирнова Su0+3 =: XlUX2UX3U ХА

легко увидеть преимущество Теоремы 1.2.1 над упомянутой ранее оценкой Хараламбуса (Charalambous)

Действительно, положим Ух = Xi U Х2 и Y2 = Х3 U Х4 Заметим, что trind = trlnd У, = 1 для каждого г Применяя теперь частный случай Теоремы 12 1 для размерности trind, получаем результат Люксембурга-

trind SUa+3 < (wQ +1) + 1 < w0 + 2 Оценка же Хараламбуса (Charalambous) не дает ничего нового trind <w0 + l + l-fl<Wo + 3 — trlnd 5^0+3

Наконец в Следствии 3 3 2с помощью понятия ординального произведения, обобщающего конструкцию компактов Смирнова, доказывается, что

(I) d (Sa х S0) = а ®P, где d есть trlnd, D,

(II) trind (Sa x S0) = trind Sael}

(здесь a (B@ есть натуральная сумма ординальных чисел а, /3)

Четвёртая глава.

Здесь исследуется поведение функции стр в конечномерных сепарабельных меризуемых пространствах В доказательствах утверждений используется Теорема 1 2 1, а также методы специальных и оптимальных разложений из главы 3

Напомним, что сразу после определения функций cmp, Стр, def де Гроот (de Groot) высказал гипотезу об их совпадении для всякого сепарабельного метризуемого пространства

В 1982 году эта гипотеза была опровергнута Р Полем (R Pol)27, построившим пространство Р С I4, для которого cmpP — 1, a defP = Стр Р = 2 Позднее Кимура (Kimura)28 предложил пример пространства К С TZ4 с Стр К = 1, a def К = 2 или 3 Этот результат был улучшен Левиным (Levin) и Сигалом (Segal)29, относительно недавно построившим пространство Е С R3, для которого Cmp Е = 1, a défi? = 2

Однако задолго до этого (в 1960 году) де Гроот (de Groot) сам предложил последовательность пространств Zn, п > 1, в качестве источника возможных контрпримеров к своей гипотезе

Zn получается из замкнутого (п + 1)-мерного куба In+l выбрасыванием комбинаторной внутренности одной из его n-мерных граней

Почти сразу же было доказано, что def Zn = Cmp Zn = n для всех n > 1, и cmp Zn = n для n < 2 Поэтому де Гроот (de Groot) поставил вопрос о справедливости равенства cmp Zn = п для всякого п > 3

Этот вопрос был повторен другими топологами, в частности, Исбэллом (Isbell)30 и Р Полем (R Pol) 31

Глава 4 начинается с доказательства теоремы сложения для функции Стр для замкнутых множеств

Теорема 4 11 Пусть X ~ Xi U Х2 есть нормальное пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Х„г = 1,2 Тогда СтрХ < СтрХг + СтрХ2 + 1

По аналогии с главой 3 эта теорема мотивирует следующее определение

Пространство X с Cmp X = к > 0 назовем оптимально 0-разложимым в смысле функции Стр, если X = Ují/X,, где для каждого индекса г множество Хг замкнуто в пространстве X и Cmp X, = 0

Воспользовавшись Следствием 12 1 для функции стр, получаем

Предложение 4 11 Пусть X есть оптимально 0-разложимое в смысле функции Стр пространство с СтрХ = п > 0 Тогда стрХ < т, где m есть любое целое число, удовлетворяющее условию n < 2т — 1

В частности, стрХ < СтрХ для всякого целого п > 3

Пусть {а;,}^! есть такая последовательность действительных чисел, что 0 < xl+i < xl < 1 для всех г и lim,-,«^, = 0

27R Pol, A counterexample to J de Groot's conjecture cmp = def, Bull Acad Polon Sei 30 (1982) 461-464

28T Kimura, A separable metnzable space X for which CmpX ф defX, Bull Acad Polon Sei 37(1989) 487-495

29M Levin, J Segal, A subspace of R3 for which Cmp ф def, Topol Appl 95 (1999) 165-168

30J R Isbell, Umform spaces, Mathematical Surveys, vol 12, Amer Math Soc Providence, RI, 1964

3lR Pol, Questions m dimension theory, in J van Mill and G M Reed (eds ), Open Problems in Topology, North-Holland, Amsterdam, 1990, 279-291

Положим

С" = (Bd7n X {0}) U и^-Г" X [хг,, £2i-I]) С In+\ п > 1 Методом специальных разложений, разработанным в главе 3, доказывается Теорема 4 1.2 Для всякого целого числа п > 1 справедливо следующее

(г) существуют такие замкнутые подмножества Xi, Х2,. , Хп+\ пространства С", что С" — U 1t\Xk и CmpXk — 0 для всякого к,

(гг) СтрСп = п,

то есть пространство Сп является оптимально 0-разложимым в смысле функции Стр

Эта теорема вместе с Предложением 4 11 предлагает последовательность относительно несложных пространств с несовпадающими функциями стр и Стр, на которой разность (Стр — стр ) стремится к бесконечности

Легко видеть, что для всякого п > 1 пространство Zn можно представить в виде объединения двух замкнутых подпространств гомеоморфных пространству

Сп

Используя Теорему 12 1 для функции стр и Предложение 411, получаем ответ на вопрос де Гроота (de Groot) для п > 5, а именно cmp Zn<n

Далее с помощью лебеговых замощений пространств RJ1 и упомянутого выше метода специальных разложений доказывается утверждение, закрывающее с помощью Предложения 4 11 случаи п = 4 (независимо доказано Нишиурой (Nishiura) 32) и п — 3

Теорема 4.2.2 Для всякого целого числа п > 1 пространство Zn оптимально 0-разложимо в смысле функции Стр, а именно Zn = U^X,, где для каждого г множество X, замкнуто в Zn и Стр Хх < 0

Из этой теоремы вытекает, что стр ^<4и стр Z¿ = 2 Отметим, что точное значение cmp Zn для п > 4 пока не известно

В 1985 году Харт (Hart) 33 обобщил упомянутый ранее пример Р Поля (R Pol), построив для всякого целого числа п > 3 такое пространство Н„ С 12п, что стр #„ = 1, a def Я„ > Стр Я„ > п.

Используя свои пространства, Харт (Hart) показал, что разность (def—стр) на сепарабельных метризуемых пространствах может быть произвольно большой

Аналогичный результат независимо был получен Кимурой (Kimura)34

S2T Nishiura, On the Chatyrko-Hatton solution of the de Groot's question, Topol Appl 152 (2005) 310-316

»KP Hart, A space X with cmp A" - -1 and def X - - oo, preliminary report

3iT Kimura, The gap between cmpj and defX can be arbitrarily large, Proc Amer Math Soc 102

(1988) 1077-1080

Глава 4 завершается следующим утверждением, предлагающим усиленную версию примеров Харта (Hart)

Теорема 4.3.1 Для любой пары положительных целых чисел ките условием к <т существует такое пространство X(k,m), что

стрХ(к,т) = к и СтрХ(к,т) = defX(k,m) = т

Эта теорема дает положительный ответ на проблему, поставленную Аартсом (Aarts) и Нишиурой (Nishiura) из их общей книги

Отметим, что неметризуемые счетно компактные вполне регулярные пространства с размерностными свойствами как в Теореме 4 3 1 были впервые построены Кимурой (Kimura)35

Пятая глава.

Здесь обсуждается следующий общий вопрос

Пусть размерность пространства известна, а само пространство можно представить в виде конечного объединения замкнутых подмножеств меньшей размерности Что можно сказать о количестве элементов такого представления9

Далее d есть размерностная функция, а ß < а порядковые числа

Пространство X назовем ß-разложимым в смысле размерности d, если его можно представить в виде конечного объединения замкнутых подмножеств размерности d < ß Для такого пространства X определяется целое число

т(Х, d ,/?) = inm{/c X = Ux=1Xt, где для каждого значения индекса г множество Xt замкнуто в пространстве X и d X, < ß]

Пусть К. - класс топологических пространств, тогда /C(d, /?, а) есть подкласс класса К., состоящий из пространств размерности d = а, которые /3-разложимымы в смысле размерности d

Если К(d,/?, а) т^ 0, тогда положим

m^(d ,ß,a)= тт{т(Х, d,ß) X € fC( d,ß, а)},

MK{d ,ß,a) = sup{m(X, d, ß) X € K(d, ß, a)}

Пусть С - класс метризуемых компактов, V класс сепарабельных метризуемых полной метрикой пространств, а

qA(ß, а) = тт{к е2.к>

35Т Kimura, Gaps between compactness degree and compactness deficiency for Tychonoff spaces, Tsukuba J Math 10, 2 (1986) 263-268

(здесь Z есть множество целых чисел)

В главе 5 изучается поведение функций тк.(d, /3, a), Mjt(d, /3, а) Широко используются оптимально О-разложимые в смысле функции Сшр пространства Сп с Crap Сп — п,п > 1, из главы 4, а также оптимально А(а)-разложимые в смысле функции trlnd компакты Sa с trlnd S" = а, а > и>д, из главы 3

В частности, с помощью введенной операции удвоения пространства с модификациями доказываются следующие два утверждения

Теорема 5.2.1

(г) Пусть 0 < т < к есть целые числа Тогда

т-р(Стр,т, к) = qA(m, к) и Мр(Стр,т, к) = оо (гг) Пусть /3 < а есть бесконечные порядковые числа Тогда

если А(/3) = А(а), в противном случае

если А(/3) — А (а), в противном случае

Теорема 5.3.1

(г) Пусть 0 < п < к есть целые числа Тогда

тр(Стри, п, к) = Мр(Стри,п, к) = дл(п, к)

(гг) Пусть /3 < а есть порядковые числа Тогда

тс(&1пс1и,/3,а) — Мс{Мпйи,/3,а) =

Г 9л(Р,о0, если А(/3) = А(а),

[ не существует, в противном случае

Здесь Стр и и 1;г11к1 и есть две новые индуктивные размерностные функции, исследованием которых завершается глава 5

Пользуясь случаем хочу выразить глубокую благодарность своему бывшему научному руководителю и нынешнему научному консультанту профессору

mc(trlnd,/3,a) = { <м(М>

ч~> > 1 не существует,

(,13,а) = |

Mc(trlnd,t3,a) = { LV / 'не существует,

Пасынкову Борису Алексеевичу, а также моим соавторам профессорам Федорчуку Виталию Витальевичу, Хаттори Ясунао, Хараламбусу Майклу, доценту Козлову Константину Леонидовичу за всевозможную помощь и сотрудничество

Основные публикации автора по теме диссертации

(из официального Перечня ВАК)

1 Об индуктивных размерностях, Вестн Моек у-та, Сер 1, Мат Мех 2 (1983) 7-10

2 О змеевидных бикомпактах, Вестн Моек у-та, Сер 1, Мат Мех 4 (1984) 15-18

3 О змеевидных и однородных бикомпактах с несовпадающими размерностями, УМН 39 (3) (1984) 247-248

4 Аналоги канторовых многообразий для трансфинитных размерностей, Мат Заметки, 42 (1) (1987) 115-119

5 Слабо бесконечномерные пространства, УМН 46 3 (1991) 162-177

6 О топологических произведениях и размерности, Вестн Моек у-та, Сер 1, Мат Мех 3 (1993) 22-25 (соавтор Б А Пасынков)

7 Аксиоматика размерности D в классе слабо бесконечномерных пространств, Мат замет 60 6 (1996) 912-918

8 О размерности произведений бесконечномерных компактов, Сиб мат ж-л 38 4 (1997) 932-942

9 Об одном вопросе де Гроота, Вест Моек Ун-та Сер 1, Мат Мех 6 (2004) 50-52 (соавтор В В Федорчук)

(прочие)

10 Некоторые достаточные условия змеевидности бикомпактов и их применение, Общая топология Пространства и отображения, Под ред В В Федорчука и др - М Изд-во Моек у-та (1989) 129-140

11 О бикомпактах с несовпадающими размерностями, Труды Моек Мат Общ 53 (1990) 192-228

12 Ordinal products of topological spaces, Fund Math 144 (1994) 95-117

13 On finite sum theorems for transfimte inductive dimensions, Fund Math 162 (1999) 91-98

14 On (transfimte) small inductive dimension of products, Comment Math Umv Carolmae 41,3 (2000) 597-603 (соавтор К Л Козлов)

15 On an approach to constructing compacta with different dimensions dim and md, Topology Appl 107 (2000) 39-55 (соавторы Б А Пасынков и К Л Козлов)

16 Estimations of small transfinite dimension in separable metnzable spaces, Tsukuba J Math 25, 2 (2001) 221-228 (соавтор Я Хаттори (Y Hattori))

17 On a question of de Groot and Nishiura, Fund Math 172(2002) 107-115 (соавтор Я Хаттори (Y Hattori))

18 On Dimensional Properties of Order Totally Paracompact Spaces, Bull Pol Acad Sci 50,3 (2002) 255 - 265 (соавтор Я Хаттори (Y Hattori))

19 Around the equality md X = Ind X towards to a unifying theorem, Topol Appl 131 (2003) 295-302 (соавтор Я Хаттори (Y Hattori))

20 The behavior of dimension functions on unions of closed subsets, J Math Soc Japan 56 (2004) N 2, 489-501 (соавторы M Хараламбус (M Char-alambous) и Я Хаттори (Y Hattori))

21 Some estimates of the inductive dimensions of the union of two sets, Topology Appl 146-147 (2005) 227-238 (соавтор M Хараламбус (M Char-alambous))

22 On the relationship between cmp and def for separable metnzable spaces, Topol Appl 152 (2005) 269-274

Издательство ЦПИ при механико-магематическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 22.03.07 Формат 60x90 1/16 Уел печ л Тираж /0Оэкз Заказ /<5*

0.1 Введение.

1 Размерность V-'md (P-trind) и ее частные случаи

1.1 Определения и взаимоотношения.

1.2 Теорема сложения для замкнутых множеств.

1.3 Неограниченность функций trcmp и tried в метризуемых'пространствах

2 Размерность ind (trind) в общих пространствах

2.1 Теоремы сложения.

2.2 Теоремы произведения.

2.3 Вопросы Энгелькинга (Engelking) о совпадении размерностей ind и Ind

2.4 Неравенство Урысона и размерность ind о.

3 Размерность trind в сепарабельных метризуемых пространствах

3.1 Размерность trind у специальных объединений.

3.2 Размерность trind у специальных произведений.

3.3 Ординальные произведения.

3.4 Размерностные свойства компактов Смирнова.

4 Функция сшр в сепарабельных метризуемых пространствах

4.1 Функции Стр, Сотр и def.

4.2 Проблема де Гроота (de Groot).

4.3 Проблема Аартса (Aarts) и Нишиуры

Nishiura).

5 Мощность объединения замкнутых множеств и размерность

5.1 Функции мощности rrijc(d ,(3, а) и Mjc(d,/?, а)

5.2 Вычисление функций мощности.

5.3 Аддитивные размерностные функции.

Одной из основных функций классической теории размерности является малая индуктивная размерность ind, независимо определенная Урысоном и Менгером (Menger) в начале 1920'х годов.

Пусть X есть регулярное Т\-пространство, а п целое число > — 1. Тогда i) indX — — 1 тогда и только тогда, когда X = 0; ii) indX < п > 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с indBdV < п — 1 здесь BdA обозначает границу мноо/сества А в пространстве X).

Альтернативно в определении размерности ind вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими.

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств размерность ind совпадает с двумя другими известными функциями, лебеговой размерностью dim и большой индуктивной размерностью Ind. Поэтому в случае сепарабельных метризуемых пространств в классической теории размерности говорят просто о размерности пространства.

Вне класса сепарабельных метризуемых пространств функции ind, Ind и dim вообще говоря различны. К примеру, широко известно, что для всякого нормального Ti-пространства X справедливы неравенства indX < IndX, dimX < IndX, и для любых трех целых чисел l,m,n : п > I > 0, п > т > 0, а также для п — т = I — 0, существует такое нормальное Ti-пространство L(l, т, п), что ind L(l, m, п) — I, dim L(l, m, n) = m, Ind L(l, m,n) = n (см. [6]) напомним, что если dimX = 0 для нормального Ti-пространства X, тогда IndX — 0).

Поведение размерности в сепарабельных метризуемых пространствах описано в литературе очень хорошо, как и поведение лебеговой размерности dim и большой индуктивной размерности Ind в нормальных Ti-пространствах (см. например, [1], [73] или [51]). Что касается малой индуктивной размерности ind, то обычно она находилась при обсуждении "в тени", после dim и Ind.

В этой работе мы сделаем наоборот и больше внимания уделим результатам именно о размерности ind и ее "родственницах".

Одной из последних является малая индуктивная степень компактности cmp, рассмотренная де Гроотом (de Groot) в [54]. Ее определение можно получить из определения размерности ind заменой в пункте (i) условия: X = 0, на условие: пространство X компактно.

Появление функции стр было стимулировано приведенным ниже результатом де Гроота (de Groot) от 1942 года, который дает внутреннюю харак-теризацию сепарабельного метризуемого пространства, имеющего метризуе-мую компактификацию с размерностью нароста < 0, и последующей попыткой его обобщения.

А именно:

Пространство X имеет метризуемую компактификацию с размерностью нароста < 0 тогда и только тогда, когда для каждой точки р £ X и для каждого замкнутого множества А С X, не содержащего р, в пространстве X между точкой р и мнооюеством А найдется компактная перегородка.

Другая функция, участвовавшая в обобщении, есть дефект компактности def, определяемый равенством defX = min{dim(y \ X) : Y метризуемая компактификация X}, для всякого сепарабельного метризуемого пространства X.

Следуя классической теории размерности, де Гроот (de Groot) определил также с помощью перегородок между дизъюнктными замкнутыми множествами аналог размерности Ind, большую индуктивную степень компактности Сшр, при следующем базисе индукции: СтрХ = п, п = -1,0 тогда и только тогда, когда стрХ = п.

Хорошо известно (см. [26]), что стрХ < СтрХ < defX < indX для всякого сепарабельного метризуемого пространства X (отметим, что условие cmp X = 0 влечет равенство def X = 0), и имеются примеры таких подмножеств У, Z евклидова пространства R4, что cmp Y < Cinp Y и Cmp Z < def Z.

В [66] Лелек (Lelek) предложил обобщить определения малой индуктивной размерности ind и малой индуктивной степени компактности cmp.

Напомним его подход.

Пусть X есть регулярное Т\-пространство, п целое число > —1, а V непустой класс топологических пространств, содержащий любое пространство гомеоморфное всякому замкнутому подмножеству любого из своих элементов (пустое множество является элементом V по определению).

Тогда малая индуктивная размерность по модулю V V-indX пространства X определяется так. i) V-indX = — 1 тогда и только тогда, когда X G V; ii) V-indX < п > 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с V-indBdV < п — 1.

Альтернативно в определении размерности Т^-ind вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими.

Легко видеть, что если V = {0}, тогда P-indX = indX, а если V есть класс всех компактных пространств, тогда V-'mdX = cmpX.

Другие частные случаи функции P-ind обсуждаются в [26].

Также в начале 1920'х годов Урысон заметил, что можно рассмотреть естественное трансфинитное продолжение размерности ind, трансфинитную малую индуктивную размерность trind. (Формальное определение функции trind было дано Гуревичем (Hurewicz) в [59].)

Размерность trind является одной из основных функций трансфинитной теории размерности.

Напомним, что большая индуктивная размерность Ind также может быть естественно продолжена на трансфинитные числа. Трансфинитная большая индуктивная размерность trind является другой популярной функцией трансфинитной теории размерности.

Хорошо известно (см. [51]), что trindX < trindX для всякого нормального Ti-пространства X, и существуют метризуемые компакты, для которых trind ф trind.

Отметим, что размерность dim продолжается на трансфиниты различными способами. Обычно используется какая-либо характеризация размерности dim, которую можно естественным образом продолжить на ординальные числа (см. например, [28], [29]).

По аналогии с размерностью ind малая индуктивная степень компактности сшр допускает естественное трансфинитное продолжение, трансфинитную малую индуктивную степень компактности trcmp.

Первый результат о функции trcmp был получен Э. Пол (Е. Pol) в [78].

Большая индуктивная степень компактности Стр также естественно продолжается на трансфиниты, причем для всякого нормального Ti-пространства X имеет место неравенство trcmp X < trCmp X.

Дефект компактности def продолжается на ординальные числа различными способами.

В [33] Хараламбус (Charalambous) рассмотрел естественное трансфинитное продолжение размерностной функции P-ind, трансфинитную малую индуктивную размерность по модулю V "P-trind.

Заметим, что если Р = {0}, тогда P-trindX = trindX, а если V есть класс всех компактных пространств, тогда P-trind X = trcmpX.

Другие частные случаи функции P-trind можно найти в [33] и [45].

Все перечисленные функции будем называть размерностными функциями.

Напомним, что результат дающий оценку размерностной функции от объединения множеств (произведения пространств) в терминах этой размерностной функции от участвующих в операции множеств (пространств) называется теоремой сложения (произведения).

Можно говорить о конечных, счетных и других теоремах сложения в зависимости от типа объединения.

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств X — UjZiXi, Y и Z справедливы следующие теоремы сложения и произведения для размерности, выписанные здесь с использованием функции ind:

1) indX = sup{indXj}, если все мноэюества X.-L замкнуты в пространстве X счетная теорема слооюения для размерности для замкнутых множеств);

2) тах{гЫУ, indZ} < ind(Y х Z) < indY + indZ.

Вне класса сепарабельных метризуемых пространств аналоги этих утверждений для размерности ind (Ind) вообще говоря не верны. Уже в классе компактных пространств известны примеры таких пространств L = L\ U L2 (пример Локуциевского [7]) и F\,F2 (пример Филиппова [15]), что

3) indL — 2 IndL), причем для каждого значения индекса г множество Li замкнуто в пространстве L и ind Li = 1 (= Ind Li);

4) ind{Fi x F2) > 4, mdFx = 1 (= IndF{) и indF2 = 2 (= IndF2).

Отметим, что для функции cmp (Cmp) аналогов утверждений (1), (2) не существует. К примеру,

5) пространство являющееся объединением на евклидовой плоскости R2 двумерного открытого диска и одной точки из его границы, имеет стр Щ = 1 и Mooicem быть представлено в виде объединения двух замкнутых подмножеств, имеющих стр — 0 (= Стр), см. [26, Пример 1.5.10.f].

Кроме того (см. также [26]),

6) для всякого целого числа п > 1 имеем cmp(Q xln) = n (= Cmp(Q х Г)), где Q есть пространство рациональных чисел (стр Q — 0 (= Стр Q)), а 1п n-мерный куб (cmpl71 = —1 (= CmpI11)).

Напомним также результат Левшенко [5], утверждающий, что

7) компакт Смирнова 5Wo+1; являющийся произведением отрезка и одноточечной компактификации топологической суммы всех конечномерных кубов и имеющий trindSШо+1 =и0 + 1(= trlndS^1), может быть представлен в виде объединения двух замкнутых под-мноэюеств, имеющих размерность trind (trlnd) равную щ каждое.

То есть аналог утверждения (1) для трансфинитной размерности trind (trlnd) также не верен.

Заметим однако, что как для размерности ind и ее трансфинитного продолжения trind (см. [51]), так и для функции стр (см. [55]) хорошо известны конечные теоремы сложения для замкнутых множеств в общих пространствах, предлагающие верхние оценки.

Эти результаты были обобщены Хараламбусом (Charalambous) в [33] следующим образом.

Пусть X = Х\ UX2 есть регулярное Т\-пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Xi,i = 1,2, aV допустимый класс топологических пространств. Если 012 есть ординальные числа >0 и V-trind Х{ < di для каждого г — 1,2, тогда

V-trindX < { max{aь^г} , если A(<*i) ф А(а2), ^ max{ai, с^} + + ^(^2) + 1 , если A(c*i) = А^).

Напомним, что каждое порядковое число а можно представить в виде суммы а = А(а) + 7г(а), где А (а) есть предельное число или 0, а п{а) целое число >0.)

Однако это неравенство не является, как будет показано ниже во введении, рабочим, а значит удовлетворительным.

Данная работа основана на новой теореме сложения для размерностной функции V-tfmd для замкнутых множеств в классе регулярных Ti-пространств, предлагающей верхнюю оценку для функции "P-trind от конечного объединения более эффективную, чем оценка Хараламбуса (Charalambous).

Теорема получена путем аккуратного выбора перегородок между точками и замкнутыми множествами, их не содержащими, с последующей комбинацией свойств монотоности размерностной функции P-trind с теоремой сложения для открытых подмножеств.

Частные случаи этой теоремы для размерностей ind (trind), cmp (trcmp) хорошо согласуется с упомянутыми выше примерами (3), (5), (7). Эти утверждения широко применяются в диссертации при доказательствах различных теорем сложения (для указанных размерностных функций), произведения (случай размерности ind (trind)), а также для построения пространств с различающимися размерностными функциями trind и trind , cmp и Cmp.

Распределение результатов по 5 главам следующее.

Основным результатом 1ой главы является упомянутая выше теорема сложения для размерностной функции P-trind.

Теорема 1.2.1 Пусть X = Х\ U Х2 есть регулярное ТУ-пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Х^г — 1,2. i) ((40]) Если п есть целое число > 0 и V-indXi < п для каэ/сдого i — 1,2, тогда V-indX <п-Ь 1.

И) Если ai,cn2 есть ординальные числа > 0 и V-trindXi < oci для каждого г — 1,2, тогда

Продолжение теоремы сложения на случай конечного числа слагаемых звучит так.

Следствие 1.2.1 Пусть X = есть регулярное Т\-пространство, являющееся объединением своих замкнутых подмножеств X^i = 1, .,п + 1, п > О, и т такое целое число, что п < 2т — 1. г) (Ц0]) Если q есть целое число > 0 и max{V-indXk} < q, тогда V-indX <

И) Если а есть ординальное число > и тах{Р-trind Xk} < а, тогда V-trindX < а + т.

Теоремы сложения для замкнутых множеств для размерностей ind (trind) ([37], [46]) и cmp (trcmp) ([40]) получаются простой заменой 7^-ind (TMrind) в указанных выше результатах на соответствующую пару. если A(ai) ф А(о;2), , если A(ai) = A(q;2). q + m.

Напомним, что эти утверждения существенно улучшают известные ранее соответствующие теоремы сложения для ind, trind , cmp из [51], [26].

Отметим (см. [45]), что даже в классе сепарабельных метризуемых пространств существует cji-штук различных частных случаев трансфинитной малой индуктивной размерности по модулю V P-trind.

Мотивацией присутствия произвольного ординального числа а в теореме сложения для замкнутых множеств для размерности trind является существование пространств (даже метризуемых) размерности trind = а (доказано независимо Пасынковым [75] и Хаттори (Hattori) [56]).

Следующее утверждение из главы 1 усиливает этот результат и одновременно дает аналогичную мотивацию для функций trcmp и tried (другой частный случай "P-trind, когда V есть класс пространств метризуемых полной метрикой).

Теорема 1.3.1 ([43]) Для всякого порядкового числа а существует такие метризгуемые пространства Ya и Za, что trcmp Ya = tried Za = a, a trind Ya, trind Za Ф oo.

Заметим, что неравенства tried X < trcmp X < trind X верны для любого метризуемого пространства X.

В главе 2 рассматриваются различные теоремы сложения и произведения для размерности ind в общих пространствах. Аккуратный выбор перегородок между точками и замкнутыми множествами, их не содержащими, важен и здесь.

Хорошо известно (см. [51]), что

8) ind(X 1UX2) < indXi + indX2 + 1, если пространство Х\ {JX2 наследственно нормально; кроме того, для всякого целого числа п > 1 и любых целых чисел p,q > О с условием р + q + 1 = п можно найти такие подмножества А, В евклидова пространства %п, что 1Zn = A U В и ind А = р, ind В = q.

Заметим, что утверждение (8) не имеет аналога для функции cmp (к примеру, пространство из утверждения (5) имеет значение cmp = 1 и одновременно является дизъюнктным объединением компактного (cmp = —1) и локально компактного (cmp = 0) подпространств).

Естественно попытаться понять, что можно сказать о размерности ind от объединения X1UX2, не являющегося наследственно нормальным пространством.

Пусть d есть размерностная функция, монотонная по замкнутым подмножествам. Говорят, что в пространстве X имеет место конечная теорема суммы для d в размерности к > 0 (кратко, KTC(d, к)), если для любой пары замкнутых подмножеств F\, F2 пространства X с d F\, d F2 < к справедливо d (Fi U F2) < к.

Если в пространстве X КТС(d, к) имеет место для каждого к > 0, тогда говорят, что в X имеет место конечная теорема суммы для размерности d (кратко, KTC(d)).

Одной из доказанных в главе 2 теорем сложения, имеющей также трансфинитный аналог, является

Теорема 2.1.1 ([44]) Пусть регулярное Ту-пространство X есть объединение двух непустых множеств Х\ и Х2 с IndX\ = п и IndX2 = т, где п,т есть целые числа > 0. Тогда г) indX < 2(п + т + 1); и более того, ii) indX < п + m + 1, если в пространстве X имеет место КТС (ind).

Пока не известно можно ли заменить в указанном выше результате у слагаемых Х\ и Х2 размерность Ind на размерность ind.

Отметим, что для "родственницы" размерности ind, индуктивной размерности ind о, введенной независимо Филипповым (см. [3]) и Хараламбусом (Charalambous) [31] и совпадающей с размерностью ind в классе совершенно нормальных пространств, в главе 2 строится такое компактное и наследственно нормальное пространство S, что indoS1 = 00, и одновременно пространство S есть объединение двух всюду плотных дизъюнктных подмножеств с ind о = 0 (см. Следствие 2.4.5).

Заметим также, что для размерности ind подобный результат невозможен, так как имеет место

Теорема 2.1.4 ([34]) Если регулярное Т\-пространство X есть объединение Х\ U . U Хп+1, где для каэюдого г = l,.,n+ 1 подмножество X-t или всюду плотно в пространстве X и имеет размерность indXi = 0, или дискретно в себе, тогда indX < п.

Напомним также, что в [84] Церетели построил пример вполне регулярного, ненормального пространства Т с IndT > 2, являющегося объединением двух своих подмножеств Т\, Т2 с Ind 7] = 0 для каждого % — 1,2. Причем множество Т\ всюду плотно в Т, а множество Т2 дискретно в себе.

Хорошо известно, что

9) если в пространствах X и У имеет место KTC(ind), тогда ind(X xY) < indX + indY доказано Пасынковым [10] для вполне регулярных пространств и Басмановым [2] для регулярных Ту-пространств)

Положим для каждого пространства X

Наиболее общая теорема произведения из главы 2 звучит так

Теорема 2.2.2 ([44]) Пусть X uY есть непустые топологические пространства с indX = п и indY = т. Пусть также

Заметим, что значение к — 0 в этой теореме соответствует случаю общих пространств (утверждение имеет трансфинитный аналог, [46]), значение к = 1 покрывает ситуацию, когда сомножители являются компактами (в этом случае утверждение хорошо согласуется с утверждением (4)) ([46]), значение к — оо соответствует утверждению (9).

Далее в главе 2 обсуждается вопрос, когда выполнение KTC(ind) в пространстве гарантирует совпадение размерностей ind и Ind. В частности, дается положительный ответ (см. Следствие 2.3.4) на вопрос поставленный Эп-гелькингом (Engelking) [51, стр. 165]. Напомним его.

Хорошо известно, что indX = IndX, если X е К, ПМ, где К. есть класс компактных пространств, а М класс метризуемых пространств.

Дальнейшие усиления этого утверждения были связаны с расширениями классов К и М. Так Мизоками (Mizokami) в [70] доказал совпадение ind и Ind для пары: (порядково тотально паракомпактные пространства и тотально нормальные пространства), а Энгелькинг (Engelking) в [51] для пары: (а-тотально паракомпактные пространства и сильно наследственно нормальные пространства).

Напомним (см. [51]), что cr-тотально паракомпактные пространства являются порядково тотально паракомпактными, а тотально нормальные пространства являются сильно наследственно нормальными.

КТС (d,X) оо, если KTC(d) имеет место в пространстве X; minjfc > 0 : KTC(d , к) не имеет места в X}, иначе.

KTC(ind,X), KTC{ind,Y) > к для некоторого к = 0,1,. или оо. Тогда если 71 — 0, или m = 0, или п,т < к, иначе.

Энгелькинг (Engelking) спрашивал будет ли справедливо равенство ind X — Ind X для всякого порядково тотально паракомпактного сильно наследственно нормального пространства X.

В главе 3 рассматривается поведение размерности trind в классе сепарабельных метризуемых пространств, при этом в доказательствах утверждений наряду с частным случаем Теоремы 1.2.1 для размерности trind используются развитые здесь методы специальных и оптимальных разложений.

Хорошо известно (см. [51]), что для всякого порядкового числа а < соi существуют такие метризуемые компакты Ха. Ya, что

XQ = иZiXa,i, Ya = ии trind XQ = trind yQ = a, где подмножества компактны и конечномерны для каждого значения индекса г.

Это утверждение показывает, что для трансфинитных размерностей trind и trind в классе метризуемых компактов в общем случае нет счетной теоремы сложения для замкнутых множеств.

Однако когда счетные объединения замкнутых множеств имеют особый вид, удовлетворительные счетные теоремы сложения для размерностей trind и trind существуют.

Разложение X = FU Ц^Д метрического пространства X на дизъюнктные множества называется А-специальным (В-специальным), если множества Ei открыто-замкнуты в пространстве X ( Ei открыто-замкнуты в X и Ишп-юо S(Ei) = 0, где 6(A) есть диаметер множества А).

Первая теорема сложения для Б-специальных разложений для размерностей trind и trind из главы 3 звучит так.

Теорема 3.1.1 ([37]) Пусть а есть ординальное число > 0, а

X = FUUZlEi

В-специальное разложение метрического пространства X. Тогда (г) trindX < а, если sup{trindF, trindE.j} < a; ii) trlndX < a, если sup {trind F, trind E{} < а, а пространство X есть метрический компакт.

Следующее утверждение связывает указанные типы специальных разложений.

Лемма 3.1.1 ([37]) Пусть X есть компактное метрическое пространство и X = F U U^Ei есть А-специальное разложение пространства X на дизъюнктные непустые подмножества, причем dimF — п > 0. Тогда X = Uгде каждое множество Zk замкнуто в пространстве X и допускает В-специальное разложение Zk = FUU^Ej с условием: включение Е* С Ei имеет место лишь для конечного числа индексов j при каждом г.

Теорема 3.1.1 вместе с Леммой 3.1.1 и частным случаем Теоремы 1.2.1 для размерности trind позволяет доказать следующую теорему сложения для А-специальных разложений для размерности trind.

Теорема 3.1.2 ([37]) Пусть X есть компактное метрическое пространство и а ординальное число > щ. Тогда справедливо следующее. i) Если X — FUD^Ei есть такое А-специальное разложение пространства X, что dim F = п > 0, sup {trind Ef} <аип< 2m - 1 для некоторого целого числа т, тогда trindX < а + т. и) Если F есть такое замкнутое подмножество пространства X, что dim F = п > 0, sup {trindxX :xeX\F}<aun< 2т - I для некоторого целого числа т, тогда trindX < а + т + 1.

Приведенные выше теоремы сложения для специальных объединений можно использовать при построении примеров пространств с различающимися размерностями trind, trind и D (размерность Хендерсона (Hendersson), [58]) ([37], [39], [35]), для доказательства любопытных теорем произведения ([39]) и многого другого.

Например, хорошо известно (см. [51]), что dim(X х Ih) — dimX 4- к для всякого нормального пространства X. Однако для трансфинитной размерности trind, как было впервые показано Люксембургом [8] на примере пространства SWo+3 = 0+2 х / (определение см. ниже), такого равенства быть не может. (Напомним, что trind SWo+3 — trind 5Wo+2 = ljq + 2.)

В диссертации предлагается более сильный результат.

Теорема 3.2.2 ([39]) Пусть X есть компактное метризуемое пространство и trind X = а> шо. Пусть также подпространство F =

X \ {х е X : существует такая открытая окрестность Ох точки х, что trind Ox < A(a)} пространства X конечномерно. Тогда найдется такое целое число ^(dimF), что trind (X х Y) < trind X + dim У для всякого конечномерного сепарабельного метризуемого пространства Y с dimF > fc(dimF).

Другим приложением специальных теорем сложения является результаты о размерностных свойствах компактов Смирнова, являющихся источником всевозможных примеров в трансфинитной теории размерности.

Напомним ([13]), что компакты Смирнова 5°, S1,., Sa,., а < loi, определяются следующим образом трансфинитной индукцией: i) S° есть одноточечное пространство, ii) Sa = S13 х /, если а = /? + 1, и iii) если а есть предельное порядковое число > и/о, тогда Ы U ®(3<aS^ есть одноточечная компактификация свободной суммы всех предшествующих компактов Смирнова S13, (3 < а, где *Q есть компактифицирующая точка.

Очевидно, каждый компакт Смирнова Sa, где а > ujq, допускает такое А-специальное разложение Sa = F U U^Ei, что dimF = п(а) > 0 и для каждого значения индекса г множество Ei гомеоморфно компакту при некотором (3 < \(а).

Хорошо известно (см. [51]), что trlnd Sn = а для любого ординального числа а < ш\ и sup{trind : а < =

Однако чему равно точное значение trind Sa для всякого числа а < до сих пор неизвестно.

В [67] Люксембург доказал, что для каждого < а < с п(а) > 3 имеет место неравенство trind Sa < А (а) + [П(^+2] < а,

Lj где [х] обозначает целую часть действительного числа х. В частности, trind = ш0 + 2.

Последний результат интересен тем, что это первый пример метризуемого компакта с различающимися трансфинитными индуктивными размерностями trind и trind ([8]).

Напомним, что trind Sw° = trind Su° = uj0 и trind S^0*1 = trind 5Wo+1 = щ +1.)

В главе 3 приводится существенное усиление результата Люксембурга, полученное с помощью Теоремы 3.1.2. А именно:

Теорема 3.4.1 ([37]) Пусть а есть ординальное число > щ. Тогда trind Sa < А(а) + m, где т есть любое целое число, удовлетворяющее неравенству п(а) < 2т—1.

Напомним теорему Хаттори (Hattori) (см. [51]), утверждающую, что

10) для всякого нормального Т\-пространства X, являющегося объединением двух своих замкнутых подмноэюеств Х\ и Х2 с trindXi < аг-, г = 1,2, и а2 > ах > 0; справедливо неравенство trlndX <(<*2 , , '6СЛИ I а2 + щаi) + 1 , если A(ai) = А(си2).

Это утверждение мотивирует следующее определение.

Пространство X с trind X = а > щ назовем оптимально Х(а)-разлоэ1симым в смысле размерности trind, если X = где для каждого значения индекса г множество X; замкнуто в пространстве X и trind Xj = A(a).

Очевидно, если пространство X с trind X = а оптимально А(а)-разложимо в смысле размерности trind и! = где для каждого значения индекса i множество Xj замкнуто в пространстве X и trind Xi — А (а), то всякое объединение U = U^/Xj, где 0 < k < n(a), оптимально А(а)-разложимо в смысле размерности trind и имеет trind U = A(a) + к.

Воспользовавшись частным случаем Следствия 1.2.1 для размерности trind, получаем

Предложение 3.4.2 Пусть X есть оптимально А (а) -разложимое в смысле функции trind пространство с trlndX = а > uq. Тогда trindX < А (а) + т, где т есть любое целое число, удовлетворяющее условию: 0 < п(а) <2т-1.

В частности, trindX < trlndX для всякого целого п(а) > 3.

Следующая теорема, уточняет Теорему 3.4.1 по модулю Предложения 3.4.2, обобщает утверждение (7), показывает неулучшаемость утверждения

10) (даже для сепарабельных метризуемых компактов), является источником многочисленных примеров метризуемых компактов с различающимися размерностями trind, trlnd и D.

Теорема 3.4.4 ([37]) Для всякого порядкового числа щ < а < компакт Смирнова S01 оптимально Х(а)-разложим в смысле размерности trlnd, то есть Sa = U7^+lZi, где для каждого значения индекса г множество Z{ замктуто в компакте S01 и trlndZt — \{а) моэюно считать, что множества Zi,i — 1 ,.,n + 1, не имеют изолированных точек, если п(а) > I).

На примере оптимального разложения компакта Смирнова о+з = Xi\JX2UX3UX4 легко увидеть преимущество Теоремы 1.2.1 над упомянутой ранее оценкой Хараламбуса (Charalambous).

Действительно, положим Y\ = Х\ U Х2 и У2 = -^з U Хь Заметим, что trind Y{ — trlnd Y{ = и + 1 для каждого i. Применяя теперь частный случай Теоремы 1.2.1 для размерности trind, получаем результат Люксембурга: trind SWfl+3 < (и0 + 1) + 1 < ш0 + 2. Оценка же Хараламбуса (Charalambous) не дает ничего нового: trind Sw+3 <о;0 + 1 + 1 + 1<о;0 + 3 = trlnd 5Шо+3.

Наконец в главе 3 с помощью понятия ординального произведения, обобщающего конструкцию компактов Смирнова, доказывается (см. Следствие 3.3.2 [36]), что i) d (Sa х S13) = a® f3, где d есть trlnd , D; ii) trind {Sa x SP) = trind S01®^ здесь a © (5 есть натуральная сумма ординальных чисел а, (5 ([65])).

Глава 4 посвящена главным образом поведению функции стр в конечномерных сепарабельных меризуемых пространствах. В доказательствах предложенных утверждений широко используется частный случай Теоремы 1.2.1 для функции стр, а также методы специальных и оптимальных разложений из главы 3.

Напомним (см. [26]), что после определения функций cmp,Cmp,def де Гроот (de Groot) в духе теории размерности высказал гипотезу, что cmp X — СтрХ = def-X для всякого сепарабельного метризуемого пространства X.

Эта гипотеза была опровергнута Р. Полем (R. Pol) [79], построившим пространство Р С /4, для которого cmp Р = 1, a defP = CmpP = 2.

Позднее Кимура (Kimura) [64] предложил пример пространства К С 7ZA с Cmp К = 1, a def К = 2 или 3. Этот результат был улучшен Левиным (Levin) и Сигалом (Segal) в [68], где они построили пространство Е С Rz, для которого Cmp Е — 1, a def Е = 2.

Однако задолго до этого (в 1960 г.) де Гроот (de Groot) сам предложил последовательность пространств Zn, п> 1, в качестве источника возможных контрпримеров к своей гипотезе. А именно: для всякого целого числа п > 1 пространство Zn получается из замкнутого (п + 1 )-мерного куба In+1 выбрасыванием комбинаторной внутренности одной из его n-мерных граней.

Почти сразу же было доказано (см. [55]), что def Zn = Cmp Zn = n для всех n > 1, и cmp Zn = n для n < 2.

Поэтому де Гроот (de Groot) поставил вопрос о справедливости равенства cmp Zn = п для всякого п > 3.

Этот вопрос был повторен, в частности, Исбэллом (Isbell) [60], Р. Полем (R. Pol) [81], Аартсом (Aarts) и Нишиурой (Nishiura) [26] (см. также [55]).

Глава 4 начинается с доказательства теоремы сложения для функции Cmp для замкнутых множеств, в которой опять важен аккуратный выбор перегородок.

Теорема 4.1.1 ([40]) Пусть X = Х\ U Х^ есть нормальное пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Xj, i = 1,2. Тогда СтрХ < CmpXl + СтрХ2 + 1.

По аналогии с главой 3 эта теорема мотивирует следующее определение.

Пространство X с Cmp X = к > 0 назовем оптимально 0-разложимым в смысле функции Стр, если X — U^Xi, где для каждого индекса г множество X/ замкнуто в пространстве X и Cmp Х-ь = 0.

Очевидно, если пространство X с CmpX = п является оптимально 0-разложимым в смысле функции Cmp и X = U-'^/Xj, где для каждого г множество Xj замкнуто в пространстве X и Cmp Xj = 0, тогда всякое объединение U = U^/Xj, где 0 < к < п, оптимально 0-разложимымо в смысле функции Cmp и имеет Cmp U = к.

Воспользовавшись частным случаем Следствия 1.2.1 для функции cmp, получаем

Предложение 4.1.1 Пусть X есть оптимально 0-разлоэюимое в смысле функции Стр пространство с СтрХ = п > 0. Тогда crnpX < т, где т есть любое целое число, удовлетворяющее условию: п < 2т — 1.

В частности, стрХ < СтрХ для всякого целого п > 3.

Пусть {з^Ш 1 есть такая последовательность действительных чисел, что О < Xi+i < Xi < 1 для всех г и lim^oo Xi — 0.

Положим

С71 - (Bd Г х {0}) и U?=l(In х [x2ii z2i-i]) С In+\ п > 1.

Методом специальных разложений, разработанным в главе 3, доказывается

Теорема 4.1.2 ([40]) Для всякого целого числа п > 1 справедливо следующее: г) существуют такие замкнутые подмножества Х\, Х2,., Хп+\ пространства Сп, чтоСп = U^JXfc и СтрХ к = 0 (,эквивалентно, cmpXk — 0j для каждого к = 1,2, .,n+ 1 пространства Х\, Х2, Хп+\, можно считать, без изолированных точек);

И) СтрСп — п, то есть пространство Сп является оптимально Q-разлоэюимым в смысле функции Стр.

Эта теорема вместе с Предложением 4.1.1 предлагает последовательность относительно несложных пространств с несовпадающими функциями сшр и Стр, на которой разность (Cmp — стр) стремится к бесконечности.

Кроме того, Теорема 4.1.2 показывает неулучшаемость Теоремы 4.1.1.

Легко видеть, что для всякого п > 1 пространство Zn можно представить в виде объединения двух замкнутых подпространств гомеоморфных пространству Сп.

Используя частный случай Теоремы 1.2.1 для функции стр и Предложение 4.1.1, получаем ответ на вопрос де Гроота (de Groot) для п > 5, а именно: cmp Zn < п.

Далее с помощью лебеговых замощений пространств Rn и упомянутого выше метода специальных разложений доказывается утверждение, закрывающее с помощью Предложения 4.1.1 случаи п = 4 (независимо доказано Нишиурой (Nishiura) в [72]) ип = 3.

Теорема 4.2.2 ([19]) Для всякого целого числа п > 1 пространство Zn оптимально 0-разложимо в смысле функции Стр, а именно: Zn — U^Xi, где для каждого г множество Х{ замкнуто в Zn и СтрХ{ < 0.

Из этой теоремы вытекает, что cmp Z3 = 2.

Отметим, что точное значение cmp Zn для п > 4 пока не известно.

В 1985 Харт (Hart) (см. [26, Пример 1.11.7]) обобщил упомянутый ранее пример Р. Поля (R. Pol), построив для всякого целого числа п > 3 такое пространство Нп С /2п, что cmp#n = 1, a defHn > Стр#п > п.

Используя свои пространства, Харт (Hart) показал, что разность (def — стр) на сепарабельных метризуемых пространствах может быть произвольно большой.

Аналогичный результат независимо был получен Кимурой (Kimura) [62] (см. также замечание сделанное выше после формулировки Теоремы 4.1.2).

Глава 4 завершается следующим утверждением, предлагающим усиленную версию примеров Харта (Hart).

Теорема 4.3.1 ([38]) Для любой пары полоэюительных целых чисел к и т с условием к <т существует такое пространство Х(к,т), что стрХ(к,т) = к и СтрХ(к,т) = defX(k,m) — т.

Эта теорема дает положительный ответ на [26, Проблему 6, р. 71], поставленную Аартсом (Aarts) и Нишиурой (Nishiura).

Отметим, что неметризуемые счетно компактные вполне регулярные пространства с размерностными свойствами как в Теореме 4.3.1 были впервые построены Кимурой ([61]).

В главе 5 обсуждается следующий общий вопрос.

Пусть размерность пространства известна, а само пространство можно представить в виде конечного объединения замкнутых подмножеств меньшей размерности. Что modicho сказать о количестве элементов (-мощности) такого представления?

Далее d есть размерностная функция, а (3 < а порядковые числа.

Пространство X назовем (3-разложимым в смысле размерности d, если его можно представить в виде конечного объединения замкнутых подмножеств размерности d < р. Для такого пространства X определяется целое число т(Х, d ,/?) = min{/c: X = U^X^ где для каждого значения индекса г множество Х{ замкнуто в пространстве X и dXj < /?}.

Пусть К, есть класс топологических пространств, тогда /С(с1 ,Р,а) есть подкласс класса /С, состоящий из пространств размерности d = а, которые /3-разложимымы в смысле размерности d.

Если /C(d , /?, а) ф 0, тогда положим mjc(d, (3, а) = min{m(X, d, (3) : X 6 /C(d, /?, а)},

M^(d,/?,«) = sup{m(X, d,P):X a)}.

Пусть С есть класс метризуемых компактов, V класс сепарабельпых метризуемых полной метрикой пространств, а п{р) + 1 здесь Z есть множество целых чисел).

В главе 5 изучается поведение функций d, a),Mjc(d ,(3,а). Широко используются оптимально О-разложимые в смысле функции Сшр пространства Сп с CmpCn = n, п > 1, из главы 4, а также оптимально А(а)-разложимые в смысле функции trind компакты Sa с trind Sa = а, а > и>о, из главы 3.

В частности, с помощью введенной операции удвоения пространства с модификациями доказываются следующие два утверждения.

Теорема 5.2.1 ([35]) i) Пусть 0 < т < к есть целые числа. Тогда тр(Стр,т,к) = qA(m,k) и Мр(Стр,т,к) = оо. и) Пусть (3 < а есть бесконечные порядковые числа. Тогда mc(trlnd,f),ci) = ( Ча{М' еыи т = Х{а)' v у I не существует, в противном случае

Mc(trlnd,i3,a) = { e"U = Х(-а)'

4 " ' / ^ ие существует, в противном случае

Теорема 5.3.1 ([35]) (i) Пусть 0 < п < к есть целые числа. Тогда mpiCmpu, п, к) = Мр(Стрц, п, к) = к).

И) Пусть (5 < а есть порядковые числа. Тогда mc(trlnd\j, (3, а) = Mcitrlndu, (5, а) =

Г qA((3,oc), если \(/3) = \(а), не существует, в противном случае.

Здесь Стр и и trlnd и есть две новые индуктивные размерностные функции, исследованием которых завершается глава 5.

1. П. С. Александров, Б. А. Пасынков, Введение в теорию размерности, М: Наука, 1973

2. В. Н. Басманов, Об индуктивных размерностях произведений пространств, Вестник МГУ, сер. Мат. Мех. 1 (1981) 17-20

3. А. В. Иванов, О размерности не совершенно нормальных пространств, Вестник МГУ, сер. Мат. Мех. 31: 4 (1976) 21-27

4. С. В. Коткин, О теореме суммы для индуктивных размерностей, Математические заметки, 52: 3 (1992) 89-95

5. Б. Т. Левшенко, Пространства трансфинитной размерности, Мат. Сб. 67 (1965) 286-289

6. И. К. Лифанов, Размерность нормальных пространств, ДАН СССР .209 (1973) 291-294

7. О. В. Локуциевский, О размерности бикомпактов, ДАН СССР 67 (1949) 217-219

8. Л. А. Люксембург, О компактах с несовпадающими транстфинитными размерностями, ДАН СССР 212 (1973) 1297-1300

9. Б. А. Пасынков, О змеевидных бикомпактах, Чехословацкий мат. журн. 13 (88) (1963) 473-476

10. Б. А. Пасынков, Об индуктивных размерностях, ДАН СССР 189 (1969) 254-257

11. Б. А. Пасынков, О размерности прямоугольных произведений, ДАН СССР 221 (1975) 291-294

12. Е. Г. Скляренко, Бикомпактные расширения и размерность, Труды Тбилисского Мат. Института, 27 (1960) 113-11414