Об универсальных объектах в некоторых классах топологических и метрических пространств

Илиадис, Ставрос

Об универсальных объектах в некоторых классах топологических и метрических пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Илиадис, Ставрос АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1993 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.04 КОД ВАК РФ

Автореферат по математике на тему «Об универсальных объектах в некоторых классах топологических и метрических пространств»

Автореферат диссертации на тему "Об универсальных объектах в некоторых классах топологических и метрических пространств"

РГО од

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

ИЛИАДИС Ставрос

УДК 515.12

ОБ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ОБЪЕКТАХ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ И МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРА Т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 1993 г.

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и на математическом факультете Патрасского университета (Греция)

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор СМИРНОВ Юрий Михайлович

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник

ИВАНОВ Александр Александрович

доктор физико-математических наук, профессор ЛИФАНОВ Иван Кузьмич

Ведущая организация: Математический институт

им. В_А. Стеклова РАН

■•/У" 1993 г. в А

Защита диссертации состоится " / ^ " ^' 1993 г. в / ^час.

на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу. 117234, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математического факультет, аудитория 1408.

.,/д .. д-м&йьб,

Автореферат разослан: "' и " /р/)993 г.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Ученый секретарь Специализированного совета, доктор физ.-мат. наук

Чубариков В.Н.

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопросы, связанные с универсальными пространствами, возникают во многих областях общей топологии. Достаточно вспомнить классические результаты П.С. Урысона1' об универсальности гильбертова куба в классе сепарабельных метрпзуемых пространств, А.Н. Тихонова2' об универсальном бикомпакте (тихоновский куб) в классе вполне регулярных пространств данного веса, П.С. Александрова3''4' об универсальном бпкомпакте в классе То-пространств данного веса (куб Александрова) и об универсальном бикомпакте в классе нульмерных пространств данного веса.

Яркие результаты об универсальных пространствах мы находим в теории размерности. В этой теории вопросы существования универсальных пространств возникли параллельно с формированием самого понятия размерности. Размерность, как впрочем и любое топологическое свойство, определяет класс пространств, имеющих данную размерность или, соответственно, обладающих заданным свойством. Естественно возникает вопрос о существовании универсального элемента в этом к.тассе пространств или более общий вопрос о существовании пространства, топологически содержащего все пространства этого класса. Вспомним классические результаты Мекгера5', Нёбелинга6', ГУревича'',8', Куратовского9', Понтрягина-Толстовой10'.

С развитием теории размерности, с перенесением "старых" размерностных инвариантов на более широкие классы пространств (бикомпакты, метризуемые пространства, нормальные пространства а т.д.), с определением новых размерностных инвариантов и с построением теории бесконечномерных пространств теория универсальных пространств получила свое дальнейшее развитие. Здесь мы отметим, уже ставшие классическими, результаты Дж. Нагаты11'1'2''13', Ю.М. Смирнова14', Б.А. Пасынкова15'"16''1'', A.B. Зарелуа13'. Появились некоторые новые общие методы построения универсальных пространств. Это, прежде всего, метод, в котором используется факторпзацнонные теоремы и метод частичных произведений (см. упомянутые работы Б.А. Пасынкова).

Проблемы существования универсальных пространств особо интенсивно рассматривались в последние десять лет. Упомянем только некоторых авторов: R. Pol, Е. Pol, B.R. Wenner, Л.А. Люксембург, И.П. Захаров. Причем многие из полученных результатов относятся к семействам сепарабельных метрпзуемых .и любых метризуемых пространств.

В этот же период получен и ряд результатов, касающихся семейств рациональных пространств. К ним относятся, прежде всего, результаты автора, а также Майера и Ткмчатнна19'

Заметим, что после классических работ П.С. Урысона20' и С. Банаха21' никаких публикаций по изометрически универсальным пространствам вплоть до последнего времени, по-видимому, не было.

Отметим также, что проблема существования универсальных элементов в семействах регулярных или вполне регулярных пространств до настоящей работы

была изучена достаточно слабо.

Цель работы. Целью работы является:

(a) разработка нового метода построения универсальных элементов для различных, естественно определяемых классов пространств, в особенности классов, определяемых размерностнымп инвариантами;

(b) получение при помощи разработанного метода ряда новых результатов, касающихся универсальных элементов для различных классов пространств.

Методы исследования. Основным методом диссертации является метод, разработанный автором, который сочетается с уже известными методами общей топологии и теории размерности.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации:

1) разработан метод построения универсальных элементов для разнообразных классов топологических пространств.

2) Единым методом получены все (исключая случай компактов) хорошо известные результаты об универсальных элементах в семействах сепарабельных метри-зуемых пространств.

3) Доказывается существование изометрически универсальных элементов для всех (исключая случай компактов, где это невозможно) хорошо известных (в теории топологически универсальных пространств) и некоторых новых семейств сепарабельных метршеских пространств.

4) С помощью малой индуктивной размерности в классе регулярных Х[-пространств вводятся семейства, обобщающие (в различных направлениях) хорошо известные (в теории универсальных пространств) семейства сепарабельных мет-ризуемых пространств, и доказывается существование универсальных элементов в этих семействах.

5) Показывается, что все приведенные в диссертации результаты относительно регулярных Гх-пространств справедливы и для вполне регулярных ^-пространств.

6) Доказывается существование универсальных элементов нового типа. Эти элементы строятся для семейств пространств, в каждом из которых задана некоторая система подмножеств. Причем, соответствующие вложения сохраняют эту систему. Все универсальные элементы, указанные в пунктах 2) - 5), являются простейшими частными случаями этих универсальных элементов нового типа.

Приложения. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в общей топологии, в частности, при изучешш раомерностных инвариантов.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны доклады на следующих международных Топологических Конгрессах, Конференциях, Симпозиумах и Митингах: Прага (Чехословакия) - 1981, Ленннград -1982, Эгер (Венгрия) - 1983, Тал-лахасзее (Флорида, США) - 1985, Дубровннк (Югославия) - 1985, Прага (Чехословакия) - 1986, Триест (Италия) - 1986, Баку - 1987, Печ (Венгрия) - 19Э9, Киото (Япония) - 1990, Лечче-Отранто (Италия) - 1990, Дружба (Болгария) - 1990, Цукуба (Япония) - 1990, Париж (Франция) - 1992, Киев - 1992, Прага (Чехослова-

кия) - 1991, Сексард (Венгрия) - 1993. Были сделаны также доклады в университетах следующих городов: Афины, Кс анти, Янин а, Салоники (Греция), София (Болгария), Хьюстон (Техас, США) - 19S3, 1935, Бпрмингэм (Алабама, США) -19S3, 19S5, Майами (Флорида, США) - 19S5, Лексингтон (Кентукп, США) - 19S3, Саскатун (Канада) 19S3, Катовице, Гданьск. Варшава, Вроцлав (Польша) - 19S3, Берлнн, Лейпциг, Дрезден (ГДР) - 19S6, Оксфорд (Англия) - 19SS. По теме диссертации неоднократно делались доклады на многих сени нарах кафедры Общей топологии и геометрии Московского Государственного Университета.

Публикации. По теме диссертации опубликовано десять работ, список которы приведен в конце автореферата. Все работы выполнены беэ соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит ио введения, пяти глав, рао-деленных на 13 параграфов, и списка литературы, включающего/О&наименованнп. Полный объем диссертации ¡20 страниц.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении диссертащш описывается направление общей топологии, которому она принадлежит, приводится соответствующий исторический обзор проблематики и результатов, дается краткое изложение содержания диссертащш с формулировкой основных результатов.

Первая глава состоит ira пяти параграфов. В этой главе развивается новый метод построения универсальных пространств, который в основных чертах можно разделить на четыре этапа. Каждый m первых четырех параграфов посвящен одному из этих этапов. Этот метод применим к регулярным Тг -пространствам (в четвертой главе мы показываем, как надо видоизменить этот метод, чтобы он был применим к вполне регулярным ^-пространствам), поэтому во всей главе рассматриваются именно такие пространства, причем их вес не превосходит фиксированного бесконечного кардинала т.

Основным инструментом нашего метода является обобщенный канторов дисконтинуум V, который рассматривается (в первом параграфе) как множество всех отображений множества г в множество {0,1}. Стандартным базисом пространства Т>т служат множества д = (о 6 VT : а|, = /}, где s 6 Т{т) = {s С г : |s( < и>] и / - некоторое отображение s в {0,1}. Для любого F С Т>т и любого s 6 Tir) мы также полагаем st(i\.s) = U{V£s ^ : V^ ф 0}.

Общая схема построения универсальных пространств состоит в следующем. Сначала каждое пространство данного семейства заменяется на некоторое полунепрерывное сверху разбиение соответствующего подмножества VT. Затем, в семействе этих разбиений определяются отношения эквивалентности в количестве г штук (вес каждого пространства семейства не превосходит г). Рассматривается новое отношение эквивалентности, которое состоит в том, что два разбиения эквивалентны тогда н только тогда, когда они эквивалентны при любом ранее определенном отношении эквивалентности. Каждый класс эквивалентности этого нового отношения эквивалентности определяет подмножество Vr и некоторое новое по-

- S -

лунепрерывное сверху разбиение этого подмножества. Число таких новых разб] ений не превосходит 2Г. В классе всех этих разбиении определяем новые отношен! эквивалентности в количестве т штук. Принимая классы эквивалентности всех этх: отношений за баоис открытых множеств, получаем пространство Ж. Рассматр1 ваем произведение этого пространства с Т>г. Некоторое полунепрерывное свер;; разбиение этого произведения и является искомым универсальным пространство;

Для данного пространства X вводится понятие г-базиснои системы 2 = {a¡ <5 6 г}. Это некоторое упорядоченное множество замкнутых упорядоченных п< крытий <т4 н {А^,^} пространства X, состоящих из двух элементов и таки: что выполнено следующее условие: для любой точки I 6 Л' п любой открыто окрестности х в X существует 6 € г такое, что х £ С С Ы. Заметш

что если В з {L^s : 5 6 т} - некоторый упорядоченный базис пространства ^ то тогда упорядоченное множество £[В) = {сг^ : 5 £ г}, где - упорядочение множество {С1(£/$), является г-базисной системой для X.

В первом параграфе главы I для фиксированной т-базисной системы Е прс странства X строится, стандартным образом, некоторое подмножество 5 канторе ва дисконтинуума Х>г и некоторое полунепрерывное сверху разбиение £> этог множества так, что соответствующее фактор-пространство гомеоморфно, естеа венным образом, пространству X. Пару (5, £>) мы называем г-представление пространства X, соответствующим г-базпеной системе Е. При этом естестве! ным образом определяется совершенное непрерывное отображение д : 5 —> X гомеоморфизм Л : й —> X так, что д = Лор, где р - естественная проекция 5 на 1 В основной лемме этого параграфа (Лемма 1.3), которая представляет и самостс ятельный интерес, даются свойства этих отображении и указывается связь межд заданной г-базисной системой пространства X и стандартным базисом (не зав! сящем от X) пространства Т>т. При этом, пара (5, Д) полностью определяет прс странство X вместе с фиксированной т-базиснох"1 системой. Это позволяет нам дальнейшем заменить каждое пространство соответствующим т-представление: и рассматривать семейства т-представлений вместо семейств топологических прс странств.

Заметим, что П.С. Александров3) по данному (упорядоченому мощности т базису 7о-пространства X строит также некоторое подмножество Z С Т>т и некс торое взаимно-однозначное отображение ф этого множества на пространство Л получая прп этом очень интересные результаты.

При построешш универсальных пространств излагаемым нами методом и< пользуется трансфинитная индукция. Для возможности ее применения во второ: параграфе вводится понятие гармонического семейства относительно некоторо системы. В основной лемме (Лемма 2.4) второго параграфа доказывается, что дл любого семейства Бр пространств веса < т существуют удовлетворяющие опреде ленным условиям системы, относительно которых Эр гармонично.

В третьем параграфе первой главы рассматривается семейство Не всех т представлений. Элементы этого семейства обозначаются через .1 = (S(J),D(J)] Вводится очень важное для всей диссертации понятие «-эквивалентности, где з (

F{r). A именно, если JUJ2 € Пе, Q(Jj) С £>(Л), £ W2) и s Ç ^(г), то бу-

дем говорить, что множества. Q( J\) н Q(J2) являются s-эквпвалентнымн и писать Q{Ji)~ Q(Jï), если для любого элемента d одного ira этих множеств существует такой элемент d' другого, что st (cl, s) = st(d',,s). Мы пишем Jt ~ Л, если D(Ji) ~

Далее рассматривается фиксированное подсемейство 7Z £ Яе мощности < т и в нем рассматриваются некоторые отношения эквивалентности, которые обозначаются через s 6 -^(О- При этом требуется, чтобы выполнялись следующие условия:

(1) каждый классе эквивалентности отношения ~ содержится в некотором классе эквивалентности отношения

(2) если î, 5' 6 ^(т) и s С s', то каждый класс эквивалентности отношения

11 л .,

содержится в некотором классе эквивалентности отношення ~ ,

(3) число классов эквивалентности отношення не превосходит г,

(4) если Ji, Jj Ç Tt п Ji ф Ji, то существует элемент 5 6 для которого элементы /j я J2 принадлежат различным классам эквивалентности отношения

и л »

Заметим, что отношения эквивалентности s £ ^(т), являются одним

из "свободных параметров" полагаемого нами метода построения универсальных пространств. В каждой конкретной ситуации мы выбираем таким образом эти отношения, чтобы построенное универсальное пространство принадлежало заданному семейству пространств.

На множестве 71 рассматриваем топологию, для которой множество классов эквивалентности отношении s g является базисом. В пространстве V х

71 рассматривается подмножество J(VT х 71) S {(a, £ Р' х К : a S •?(/)} и его разбиение Т^) = {d х {J} : d € D(J), J 6 71}. Это разбиение оказывается полунепрерывным сверху, а соответствующее фактор-пространство, также обозначаемое через T(7V), и есть то пространство, которое будет играть роль универсального пространства.

В основной лемме (Лемма 3.8) третьего параграфа доказывается, что если 7Z гармонично относительно системы {{Q{J) '■ J £ 7t], a, v, G), a отношения эквивалентности s Ç ^"(т), удовлетворяют некоторым условиям, то тогда

md(Q(H)) < а, где Q(7Z) = {d х {J} :d 6 Q(J), J £ 1Z}.

Заметим еще раз, что семейство 7Z г-представлений, рассмотренное в третьем параграфе, имеет мощность < 2Г. Это необходимо для существования отношений

эквивалентности s Ç. 3~{т), которые удовлетворяли бы вышеупомянутым ус*

ловлям (3) и (4). Однако это является сильным ограничением, поскольку обычно,

рассматриваемые семейства пространств имеют большую мощность.

Это затруднение преодолевается в четвертом параграфе, где рассматривается семейство Е т-представленпй, любые два элемента которого .«-эквивалентны для любого í € Скачала доказывается, что пара J(Е) г (5(Е), £>(Е)), где 5(Е) =

U{S(J) : J £ Е} и D(E) = U{D(J) : J 6 Е}, является r-представлением. Затем доказывается лемма (Лемма 4.3), аналогичная основной лемме третьего параграфа, а именно: если Е гармонично относительно системы {{Q(J) : .7 6 Е},«,^,^?}, а

>. J и

отношения эквивалентности ~ удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, то тогда семейство {У(Е)} (которое состоит из одного элемента) гармонично относительно системы {{Q(J{ Е)) : J(E) е {/(Е)}}, a, v, G}, где Q(J(E)) = U{Q(J) : JeE}.

Основным результатом первой главы и одним из основных результатов диссертации является Теорема 5.2 пятого параграфа. Для ее формулировки дадим сначала некоторые определения.

Пусть Л° - фиксированное непустое множество и pi - фиксированный бесконечный кардинал. Для любого трансфинита а 6 М+\{0} определяем индуктивно множество Л", считая, что его элементами являются все непустые подмножества множества ЩЛ'' : /3 6 л} мощности < /л, которые не принадлежат самому этому множеству. Мы также полагаем Л = и{Л°;а £ г+}. Подмножество Л С Л называется полным, если из условия А( € А 6 Л вытекает, что А, £ Л. В дальнейшем мы фиксируем некоторое полное подмножество А С А мощности < г. Отображение Ф множества fi+ в множество {0,1} называется направляющим, если Ф(а + 1) = 1 — Ф(а) для любого трансфиннта а 6 Мы также фиксируем некоторое направляющее отображение <5.

Пусть X - некоторое пространство и фх - некоторое отображение множества Л в множество Р(Х) (для любого множеств X, через Р{Х) обозначается множество всех его подмножеств). Это отображение называется операционным, если для любого а 6 р+\{0} и для любого А 6 Ла имеем Фх(^) — U{^>,y(A') : А' 6 А}, если Ф(а) = 0; Фх(^) = П{^>;у(А') ■ -А' £ А}, если Ф(а) = 1. Отображение фх множества А в множество Т'(Х) называется операционным, если существует операционное отображение фд- : Л —> Р(Х) такое, что </>д-|л = Фх- Через SM обозначаем семейство всех пар (X, фх)> гДе X ~ пространство веса < г и фх -операционное отображение множества Л в Р(Х).

Пусть Р - фиксированное множество топологических свойств или относительных свойств, касающихся подмножеств пространства, и пусть р - отображение множества Л в множество V(P). Пусть (Х,фх) £ SM. Будем говорить, что отображение фх определяет на пространстве X р-структуру, если для любого А 6 Л и для любого элемента Р £ р(А) подмножество фх(^) пространства X обладает свойством Р. Через SM(p) обозначим семейство всех элементов (X, фх) £ SM, для которых отображение фх определяет на X р-структуру.

Пусть (Х,фх), (У,Фу) 6 SM(p). Будем говорить, что отображение / пространства X в пространство Y сохраняет (соотв., слабо сохраняет) р-структуру,

если /-'(^W) = ^лг(А) (соотв., если /(>/\v(A)) £ 0у(А) н /(A'\Cl(t¿.v(A))) С К\С1(^у(Л))) для любого Л е Л.

Элемент (Т, фт) £ SM(p) называется универсальным элементом, сохраняющим (соотв., слабо сохраняющим) р-структуру, если для любого элемента (Х,фх) £ SM(p) существует вложение ¿л" пространства X в Т, сохраняющее (соотв., слабо сохраняющее) р-структуру.

Рассмотрим следующие свойства подмножества фх(^) пространства X, где (Х,фх) е SM.

-P(Cl) : "Множество Фх(^) замкнуто в X".

Р(Ор) : "Множество Фх(^) открыто в X".

РМ ■■ -МЛ) = X". Р(0): "\ЫА) = 0".

P(set) : "фх(Х) ~ множество".

Р(Ао,=) : 'Vx(A) = 0Л-(Ао)", где А0 6 Л.

Р(А0,С) : "фх(А) С V.y(Ao)", где А0 £ Л.

P(ind < а) : "Ы(фх(Л)) < а", где а е г+ U {-1}.

Через Р обозначаем множество всех этих семейств.

Будем говорить, что отображение р обладает замкнуто-открытым свойством, если {Р(С1),Р(0р)} Лр(А) ± 0 для каждого элемента А 6 А П Л°.

Сформулируем теперь основную теорему.

5.2. ТЕОРЕМА. Пусть Р - множество, определенное выше, и р : Л —» V(P) -отображение. Тогда в семействе SM(p) существует универсальный элемент, сохраняющий (соотв., слабо сохраняющий) р-структуру, если отображение р обладает замкнуто-открытым свойством (соотв., если Л С А° U А1 и Ф(0) = 1).

Во второй главе диссертации рассматриваются некоторые приложения теоремы об универсальных пространствах, т.е. Теоремы 1.5.2. Все приводимые результаты доказываются с помощью этой георемы. Поскольку сама эта теорема доказывается без использования гильбертова куба, Леммы Урысона и, вообще, понятий, связанных с вполне регулярностью, даже те приводимые, хорошо известные результаты, относящиеся к сепарабедьньм метризуемым пространствам, т.е. к случаю г = и), представляют особый интерес. Как и в Теореме 1.5.2, все пространства, если не оговорено противное, являются регулярными ^-пространствами веса < г. Через (и, -<) обозначается пара, где и - некоторый кардинал такой, что 1<1/<тиЧ - некоторый порядок на множестве v. Если порядок -< тривиален, то вместо (и, -<) пишем просто и, а если он совпадает с естественным порядком, тогда пишем (f, <)• Глава состоит из двух параграфов.

Первый параграф начинается следующим определением. Пусть v - некоторый кардинал. Через Sp(f) обозначается семейство всех упорядоченных множеств ("последовательностей" пространств) (X,Хо, ■ ■ ■ ,X¡,. ■ .)íg„, где X - некоторое пространство веса < т и X¡ - его подмножество. Пусть D С Sp(v). Элемент (Г, Го, •.. ,Т(,.. .){£„ £ D называется универсальным элементом семейства D, сохраняющим (соотв., слабо сохраняющим) структуру, если для любого элемента (X,

Л'о,... ,-Y^,.. .)б£ц ё D существует вложение ¿.\- пространства X в X такое, что ¿~l(T¿) = Xs (соотв., ix(Xs) С Тг и ¿,y(A"\C1(A"5)) С T\C1{TS)) для любого S в и.

Сначала приводятся следующие две теоремы.

ТЕОРЕМА 1.1 (A. Mysior). В семействе Sp всех регулярных Хх-пространств веса < т существует универсальное пространство.

Из этой теоремы, в частности, следует результат П.С. Урысона1', касающийся случая г = и.

ТЕОРЕМА 1.2.1. В семействе Sp(ind < /3) всех регулярных Xt-пространств веса < г, имеющих малую индуктивную размерность < /?, где /3 £ г+, существует универсальное пространство.

Но этой теоремы вытекают результаты Небелннга6) и Р. Поля22'. Интересным является, также, следствие из этой теоремы, касающееся случая, когда ¡3 -целое число.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ -1.3.1. Пусть ф - некоторое отображение множества г/ в г+. Обозначим через (1)

(2) (ф : ч) - т+) - D семейства пространств и через

(3) ^ :(„,-!)-r+)_JD

семейство "последовательностей" пространств, которые определяются следующим образом: пространство X принадлежит семейству (1) (соотв., семейству (2)) тогда и только тогда, когда существует упорядоченное множество (Х0,... ,Xi,.. подмножеств пространства X таких, что: (а) А" = U{ATí : S б у], (Ь) X¡ имеет малую индуктивную размерность (соотв., ind(.Y¿) < ф(6))п (с) X¡ С Хс, если é -< с для любых 6, е € v. Элемент (Х,Хо,..., X¿,.. .)áe„ 6 Sp(f) принадлежит семейству (3) тогда и только тогда, когда: (а) X = U{A"í : S 6 г/}, (b) ind(X{) < i/'(¿) и (с) •Xj Q Хг если 6 •< е для любых S,e € и.

Введенные семейства пространств можно рассматривать как обобщения (в различных направлениях) на регулярные Ti -пространства понятия счетномернос-ти.

ТЕОРЕМА 1.3.2. В семействе пространств (ф : (и, -;) —♦ г+) — D существует универсальное пространство. В семействе (ф : (г/, -<) —► т+) — D существует универсальный элемент, слабо сохраняющий структуру. В семействе т — D существует универсальное пространство (Следствие 1.3.3).

Из этой теоремы вытекает много следствий, которые являются обобщениями на регулярные Ii-пространства различных характеристик счетномерных сепарабельных метрических пространств. Мы приведем некоторые из них.

СЛЕДСТВИЕ 1.3.5. В семействе всех регулярных Xi-пространств веса < г, которые можно представить как объединение v штук своих подпространств, 1 < v < г, каждое из которых имеет малую индуктивную размерность г+,

существует универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 1.3.6. Пусть п - натуральное число. В семействе всех регулярных Tj-пространств X веса < т таких, что АГ = А'о U ... U А'„, где ind(A',) < О,

¿ = 0,... ,п, существует универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 1.3.7 (соотв., 1.3.3). В семействе всех регулярных ^-пространств веса < г, которые можно представить как объединение т штук (соотв., V штук, где ш < V < г) своих подпространств, каждое но которых имеет малую индуктивную размерность < ¡3, где /3 € т+ является предельным трансфинитом (соотв., ¡} 6 г+ является предельным трансфинитом и .множества /? и и имеют конфинальные подмножества одного п того же порядкового типа), существует универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 1.3.11. В семействе всех регулярных ^-пространств X веса < г, которые можно представить в виде объединения возрастающей последовательности Хо С С .,. своих нульмерных (в смысле тс!) подпространств, существует универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 1.3.12. В семействе всех регулярных ^-пространств X веса < г, где ш1 < г, которые можно представить в виде объединения возрастающей трансфинитной последовательности Хо С Х\ С ... С Х( С ...,5 £ ц, своих подпространств таких, что тс^А^) < 0, 8 6 существует универсальное пространство.

Из следствия 1.3.7 нехюсредственно вытекает результат Нагаты11'. Интересным является и следующий результат, который касается сепарабельных метризу-емых п-мерных пространств.

СЛЕДСТВИЕ 1.3.15. Для любого неотрицательного целого числа п существует п-мерное метризуемое пространство X со счетной базой, с фиксированным разложением на нульмерные подмножества То,..., Т„ (т.е. Т = То и ... и Тп) такое, что для любого п-мерного метрнзуемого пространства А' со счетной базой, с данным разложением на нульмерные подмножества Хо, ■ ■ ■, Хп, существует вложение Л пространства Л* в пространство Т, для которого А(А";) С Т; и Л(Л"\С1(А',')) С Т\С1(Г,) для любого г = 0,..., п.

Аналогичный результат множно сформулировать и для счетномерных сепарабельных метрнзуемых пространств.

Предположим теперь, что в определении 1.3.1 все подпространства Х{ замкнуты в пространстве X. Тогда мы получаем новые семейства пространств, которые можно рассматривать как обобщение на регулярные Т\-пространства понятия сильной счетномерности. Эти семейства обозначаются соответственно через С1 - (у, -<) - О, С1 - (ф : {V, -Ч) -» г+) — О и С1 - (ф : {и, <) -> т+) - б.

ТЕОРЕМА 1.4.2. В семействе С1 — (ф : -<) —► т+) — О существует универсальное пространство. В семействе С1 — (ф : (у,-<) —> т+) — И существует универсальный элемент сохраняюдпш структуру.

Предположим, что в определении 1.3.1 все подпространства Х$ открыты в соответствующем пространстве X. Тогда мы опять получаем новые семейства пространств, которые обозначаются соответственно через Ор—(ь>, -<)—Ор—(0 : [и, -<) —> г+) — В и Ор — {ф : (к,-;) —► г+)-£). Эти семейства можно рассматривать как обобщение понятия локальной конечномерности сепарабельных метриоуемых пространств.

ТЕОРЕМА 1.5.2. В семействе Ор — (ф : (1/, -<:) —» т+) — В существует универсальное пространство. В семействе Ор — (ф : (к,-<) —» г+) — £> существует универсальный элемент, сохраняющий структуру.

В диссертации даются различные следствия из Теорем 1.4.2 и 1.5.2, которые аналогичны приведенным выше следствиям из Теоремы 1.3.2. В частности, для случая г = и мы получаем хорошо известные результаты Нагати1", Ю.М. Смирнова14' и Веннера23'.

На регулярные Т\-пространства распространяется понятие Д-размерности, которое ввел Д. Хендерсон24' для метрических пространств. Доказывается, что в семействе Бр(£> < /3) всех регулярных Хх-пространств, имеющих £>-размерность < /?, где 0 € г+, существует универсальное пространство. В частности, для г = ш мы получаем известный результат Л.А. Люксембурга25' (см. также, Л.П. Заха-ров26').

В конце первого параграфа рассматриваются группы семейств пространств: (1) Бр(Ы < 0), 0 6 т+, (2) С! - (ф : (1/,-<) -» т+) - В, (3) Ор - {ф : (|/,-с ) г+) - В, (4) Бр(£) < 0), 0 € г+ и (5) Эр (В < 0), 0 € т+ - предельный трансфинит (это семейство является некоторым подсемейством семейства Эр (В < 0), п доказывается следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.7.1. Пересечение не более чем г штук семейств пространств, которые принадлежат группам (1)-(5) (разные семейства могут принадлежать разным группам), обладает универсальным пространством.

Приводится также некоторые следствия из этой теоремы.

Во втором параграфе второй главы с помощью подмножеств "борелевского типа" определяются новые семейства пространств. Предполагается, что фиксированы множество А0, кардинал кардинал у, для которого 1 < V < г, порядок -< на множестве V I* некоторое отображение ф множества V в т+.

Для любого пространства X и любого а € определим семейства подмножеств В°{С1) и В£(Ор) пространства X следующим образом: подмножество <5 С X принадлежит семейству С1) (соотв., В°(Ор)), если существует операционное отображение фх • А —> 71(Х) н элемент Л 6 А" такой, что ^>д'(А°) С )С(Х) (соотв., фх{А°) С 0(Х)) и Фх(^) — (Через >С(Х) и О(Х) обозначаются множество всех замкнутых н, соответственно, множество всех открытых подмножеств X).

Теперь предположим, что в Определении 1.3.1 все пространства Л"а принадлежат семейству В^(С1) или семейству В°(Ор). Тогда мы получаем новые семейства пространств, которые обозначаются соответственно через В°(С 1) - (у, -<) — В, В;(С1) - (ф : (и, <) т+)-К, В°{С 1) - (ф : („, х) г+) - В » Б°(Ор) - («/, -с) - В, ВЦ Ор) - (0 : (к, -С) - г+) - В, В-(Ор) - {Ф : {и, х) - г+) - б.

Основными результатами второго параграфа являются нижеследующие утверждения.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть ц < г, ц < |А°|, а € и пусть В обозначает одно из семейств В°(С1) или В°ц(Ор). Тогда в семействе пространств В — (ф : (и, -ц) —» т+) — В существует универсальное пространство, а в семействе "последовательнос-

тей" пространств В — (ф : (у, -<) —* г+) - 5 существует универсальный элемент, сохраняющий стуктуру.

СЛЕДСТВИЕ 2.2.1. Пусть а,0 6 и>1. В семействе всех последовательностей (X, Хо,..., X,,.. .),£„ таких, что: (а) А" - метризуемое пространство со счетной базой, (Ь) X,- - борелевское множество пространства А' мультипликативного (соотв., аддитивного) класса а, (с) т<1(Х,') < /? и (¿) X — и {А',- : г 6 о»}, существует элемент (Т, Т0,..., Тг,.. .),£„ такой, что для любого элемента (А', Хо,..., А',-,.. .),£„ этого семейства существует вложение Ь. пространства X в пространство Г, для которого Л~'(Т;) = X; для любого » € и>.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть ц < т, ц < |А°| и а £ Тогда в семействе (Бр, В^(С1)) (соотв., (Эр, В°(Ор))) всех пар (X, ф), где X - регулярное ^-пространство веса < г н ¡5 - элемент семейства В£(С1) (соотв., семейства В°(Ор)) существует такая пара (Т, К), что для любого элемента (Я,Х) 6 (5р,В°(С1)) (соотв., (X, С}) 6 (Зр,В£(Ор))) существует вложение Л пространства X в.пространство Т, для которого Л-1 (К) = <3.

СЛЕДСТВИЕ 2.3.1. В семействе всех пар (X, С?), где X - метризуемое пространство со счетной базой, а. С X - борелевское множество мультипликативного (аддитивного) класса а, существует такая пара (Т, К), что для любой пары (X, С,}) этого семейства существует вложение Л пространства X в пространство Т, для которого к~1{К) = (¡).

В третьей главе диссертации, которая состоит из трех параграфов, рассматриваются сепарабельные метрические пространства. В первом параграфе приводится основная теорема об универсальных пространствах (Теорема 1.5.2) для случая г = и>. В этом случае, конечно, все пространства X, входящие в пары (X, фх) б БМ(р), метризуемы так же, как и пространство Т в универсальной паре (Г, фт)- Оказывается, одако, что мы можем рассматривать не метризуемые пространства, а метрические. При этом в пространстве Т определяется такая метрика, что соответствующие вложения гх оказываются изометрическими.

Таким образом, если предположить, что элементами семейства БМ(р) являются пары (Х,фх), где X - сепарабельное метрическое пространство, а фх - операционное отображение, сохраняющее р-структуру, и рассматривать изометрически универсальные пространства (т.е. универсальные пространства, в определешш которых рассматриваются изометрические вложения), то тогда справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1.1. В семействе БМ(р) существует изометрически универсальный элемент, сохраняющий (соотв., слабо сохраняющий) р-структуру, если отображение р обладает замкнуто-открытым свойством (соотв., если Л С А0 и Л1 и Ф(0) = !)■

Во втором параграфе приводятся "изометрические варианты" всех результатов Главы II, относящиеся к метризуемым пространствам со счетной базой. Здесь мы приведем некоторые из них. Начнем с единственного хорошо известного результата, касающегося изометрически универсальных пространств.

СЛЕДСТВИЕ 2.1 (П.С. Урысон20>, Банах21*). В семействе всех метрических

пространств со счетной базой существует изометрически универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.2. В семействе всех метрических пространств со счетной базой, имеющих малую индуктивныю размерность < где ¡3 € существует изометр1гческл универсальное пространство.

В частности, мы можем рассмотреть случай, когда /3 есть целое число, т.е. /3 е а>.

СЛЕДСТВИЕ 2.3. В семействе всех счетномерных метротеских пространств со счетной базой существует изометрически универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.4. В семействе всех сильно счетномерных метрических пространств со счетной базой существует изометрически универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.5. В семействе всех локально конечномерных метрических пространств со счетной базой существует изометрически ушгверсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.6. В семействе всех метрических пространств со счетной базой, имеющих Р-размерность < /3, где Д 6 иь существует универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.9. Пусть а - счетный трансфинит. В семействе всех пар (А', С}), где X - метрическое пространство со счетной базой, а 5 С Х- борелевское множество мультипликативного (аддитивного) класса а, существует такая пара (Т.К), что для любой пары (X, ¡3) этого семейства, существует изометрическое вложение к пространства А" в пространство Т, для которого И'1 (К) = С}■

В третьем параграфе рассматривается метрическая размерность введенная П.С. Александровым27'. Так как эта размерность не является топологическим инвариантом, то не имеет смысла говорить о (тополопгчески) универсальных пространствах. Однако, имеет место следующая теорема, доказательству которой посвящен третий параграф.

ТЕОРЕМА 3.2. В семействе Бр(^с1щ1 < п) всех метрических пространств со счетной базой, имеющих метрическую размерность < п, п 6 и, существует изометрически универсальное пространство.

В четвертой главе рассматриваются вполне регулярные ^-пространства. Эта глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе мы вновь рассматриваем Теорему 1.5.2. Показываем, что если в ее доказательстве с самого начала рассматривать вполне регулярные ^-пространства, то тогда его можно провести таким образом, чтобы и соответствующее универсальное пространство было вполне регулярным 2х-пространством. Для этого, как и в третьей главе, опять достаточно

» ' и

внести дополнительные условия в определениях отношении эквивалентности ~ и

Эти условия обеспечивают "перенесение" некоторых (разделяющих) функций с пространств на универсальные пространства.

Во втором параграфе переформулируются все результаты Главы II (относящиеся к регулярным Т] пространствам) на случай вполне регулярных ^-пространств.

теп" пространств В — [ф : —» т+) — О существует универсальный элемент,

сохраняющий стуктуру.

СЛЕДСТВИЕ 2.2.1. Пусть от,/? £011. В семействе всех последовательностей (Аг,А'о, ■ ■ •, А';,.. таких, что: (а) А - метрнэуемое пространство со счетной

базой, (Ь) А',- - борелевское множество пространства А' мультипликативного (соотв., аддитивного) класса а, (с) 1П<1(Х() < /3 и (с!) X = и{Х, : ! 6 и>}, существует элемент (Г, То,..., Г;,.. .),еи такой, что для любого элемента (А, Хо, ■ ■ ■, А,-,.. этого семейства существует вложение Л пространства А в пространство X, для которого Л_1(Т,') = А; для любого » 6 ш.

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть /х < г, р < |Л°| и а 6 Тогда в семействе (Эр, В£(С1)) (соотв., (Эр, В^(Ор))) всех пар (X, (5), где X - регулярное Г]-пространство веса < т и <3 - элемент семейства В^(С1) (соотв., семейства Ор)) существует такая пара (Т, К), что для любого элемента (<3,Х) 6 (Бр, .£?°(С1)) (соотв., (А, С}) £ (Бр,5"(0р))) существует вложение Л пространства X в.пространство Т, для которого к~1 (А') = <5.

СЛЕДСТВИЕ 2.3.1. В семействе всех пар (А', ¿?), где А" - метрнзуемое пространство со счетной базой, а ? С А' - борелевское множество мультипликативного (аддитивного) класса а, существует такая пара (Т,К), что для любой пары (X, (5) этого семейства существует вложение Л пространства X в пространство Т, для которого 1г~1(К) = <2В третьей главе диссертации, которая состоит из трех параграфов, рассматриваются сепарабельные метрические пространства. В первом параграфе приводится основная теорема об универсальных пространствах (Теорема 1.5.2) для случая т = ш. В этом случае, конечно, все пространства X, входящие в пары (Х,фх) £ ЭМ(р), метризуемы так же, как и пространство Т в универсальной паре (Т,фт)- Оказывается, одако, что мы можем рассматривать не метрпоуемые пространства, а метрические. При этом в пространстве Т определяется такая метрика, что соответствующие вложения гх оказываются изометрическими.

Таким образом, если предположить, что элементами семейства ЭМ(р) являются пары (Х,фх), где X - сепарабельное метрическое пространство, а фх - операционное отображение, сохраняющее р-структуру, и рассматривать изометрически универсальные пространства (т.е. универсальные пространства, в определении которых рассматриваются изометрические вложения), то тогда справедлива следующая теорема.

СЛЕДСТВИЕ 2.1 (П.С. Урысон20), Банах21'). В семействе всех метрических

пространств со счетной базой существует изометрически универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.2. В семействе всех метрических пространств со счетной базой, имеющих малую индуктивныю размерность < ¡3, где Д 6 Ш], существует изометрически универсальное пространство.

В частности, мы можем рассмотреть случай, когда 0 есть целое число, т.е. ¡3 £ и.

СЛЕДСТВИЕ 2.3. В семействе всех счетномерных метрических пространств со счетной базой существует изометрически универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.5. В семействе всех локально конечномерных метрических пространств со счетной базой существует изометрически универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.6. В семействе всех метрических пространств со счетной базой, имеющих О-размерность < /3, где /3 6 и;, существует универсальное пространство.

СЛЕДСТВИЕ 2.9. Пусть а - счетный трансфинит. В семействе всех пар (А', где X - метрическое пространство со счетной базой, а С) С X - борелевское множество мультипликативного (аддитивного) класса а, существует тахая пара (Т, К), что для любой пары (X, <2) этого семейства, существует изометрическое вложение к пространства А" в пространство Г, для которого к~1(К) = <5В третьем параграфе рассматривается метрическая размерность введенная П.С. Аяексанндровым27'. Так как эта размерность не является топологическим инвариантом, то не имеет смысла говорить о (топологически) универсальных пространствах. Однако, имеет место следующая теорема, доказательству которой посвящен третий параграф.

ТЕОРЕМА 3.2. В семействе Бр(^с11т < п) всех метрических пространств со счетной базой, имеющих метрическую размерность < п, п £ и, существует изометрически универсальное пространство.

В четвертой главе рассматриваются вполне регулярные ^-пространства. Эта глава состоит из двух параграфов. В первом параграфе мы вновь рассматриваем Теорему 1.5.2. Показываем, что если в ее доказательстве с самого начала рассматривать вполне регулярные -пространства, то тогда его можно провести таким образом, чтобы и соответствующее универсальное пространство было вполне регулярным Тг-пространством. Для этого, как и в третьей главе, опять достаточно

ii » 1!

внести дополнительные условия в определениях отношешш эквивалентности ~ и

Во втором параграфе переформулируются все результаты Главы II (относящиеся к регулярным пространствам) на случай вполне регулярных Тг-пространств.

Наконец, в пятой главе дается краткое содержание работ автора, относящихся

к семейству рациональных пространств и к его подсемействам. В этих работах

фактически развивается метод, изложенный в Главе I.

ЛИТЕРАТУРА

1) Урысон П.С., Zum Metrisationsproblem, Math. Ann. 94 (1925), 309-315.

2) Тихонов A.H., Uber die topologishe Erweiterung von Räumen, Math. Ann. 102 (1930), 544-561.

3) Александров П.С. К теории топологических пространств, ДАН СССР 2 (1936), 51-54.

4) Александров П.С. О понятии пространства в топологии, УМН 2, N 1 (1947), 5-57.

5) Menger К., Kurventheorie, Teubner, Berlin-Leipzig, 1932.

6) Nöbeling G., Uber eine n-dimensionale Unirersalmenge im iü2"+1, Math. Ann. 104 (1930), 71-SO.

7) Hurewicz W., Uber das Verhältniss separabler Räume zu kompakten Räumen, Proc. Koninkl. Akad. Amsterdam, Ser. A, 30, N 1 (1927), 425-430.

8) Hurewicz XV., Uber Abbildungen von endlich-dimensionalen Räumen auf Teilmengen Cartesischer Räume, Sitzungsber. Preuss Akad. Wiss. 34 (1933), 754-765.

9) Kuratowski K., Sur les théorèmes du "plongement" dans la theorie de la dimension, Fund. Math. 2S (1937), 336-342.

10) Понтрягнн Л.С., Толстова Г.В., Beweis des Mengerschen Einbettungssatzes, Math. Ann. 105 (1931), 734-747.

11) Nagata J., On the countable sum of zero-dimensional metric spaces, Fund. Math., 48, N 1 (1959), 1-14.

12) Nagata J., On universal n-dimensional set for metric spaces, J. reine angew. Math. 204, N 1-4 (1960), 132-13S.

13) Nagata J., A remark on general imbedding theorems in dimension theory, Proc. Japan Acad. 39, N 4 (1963), 197-199.

14) Смирнов Ю.М., Об универсальных пространствах для некоторых классов пространств, ИАН СССР, сер. матем. 23 (1959), 185-196.

15) Пасынков Б.А., Об универсальных бикомпактах данного веса и данной размерности, ДАН СССР 154, N 5 (1964), 1042-1043.

16) Пасынков Б.А., Частичные топологические произведения, Тр. Моск. матем. о-ва 13 (1965), 136-245.

17) Пасынков Б.А., Об универсальных бикомпактах и метрических пространствах данной размерности, Fund. Math. 60 (1967), 2S5-308.

IS) Зарелуа A.B., Универсальный бикомпакт данного веса и данной размерности, ДАН СССР 154, N 5 (1964).

19) J.C. Mayer and E.D. Tymchatyn, Universal rational spaces, Dissertationes Math-ematicae, ССХСШ, 1990.

20) Urysohn P.S., Sur un espace métrique universel, Bull. Sci. Math. 51 (1927), 43-64, 74-00.

21) S. Banach, Théorie opérations linéaires (Warsaw 1932), p. 1S7.

22) R. Pol, Countable dimensional universal sets, Trans. Amor. Math. Soc. 297 N1 (1986), pp. 255-263.

23) B.R. Wenner, A universal separable metric locally finite-dimensional space, Fund. Math. 80 (1973), pp. 2S3-286.

24) D.W. Henderson, D-dimension I. A new transfinite dimension, Pacific J.Math. vol. 26, N1 (1968), pp. 91-107.

25) Ь.Д. Luxemburg, On universal infinite-dimensional spaces, Fund. Math., 1984, 122, 129-146.

26) И.П. Захаров, Об универсальных бесконечномерных пространствах, У Тнрас-польский симпозиум по общей топологии к ее приложениям. Кишинев, 1985, 99-100.

27) П.С. Александров, Б.А. Пасынков, Введение в теорию размерности, "Наука", Мосхва, 1973.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Iliadis S.D. Universal continuum for the class of completely regular continua, Bull. Acad. Pol. Sci., 2S (1930), 603-607.

2. Iliadis S.D. On rim-type of spaces, Lecture Notes in Mathematics, 1060, 45-54 (Proceeding of the International Topological Conference, Leningrad, 19S2).

3. Iliadis S.D. Rim-finite spaces and the property of universality, Houston J. of Math., Vol. 12, N1, 1986, 55-78.

4. Iliadis S.D. The rim-type of spaces and the property of universality, Houston J. of Math, Vol. 13, N3, 1987, 373-3SS.

5. Iliadis S.D. Rational spaces of a given rim-type and the property of universality, Topology Proceedings, Vol. 11, 1986, 65-113.

6. Iliadis S.D. Rational spaces and the property of universality, Fund. Math. Vol. 131 (19S8), 167-184.

7. Iliadis S.D. Continua that are almost locally a bundle of arcs and the property of universality, General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra VI, Proc. Sixth Prague Topological Symposium 1986, pp. 2S1-290.

8. Iliadis S.D. Universal spaces for some families of rim-scattered spaces, Tsukuba J. of Math., Vol. 16, N1 (1992), 123-159.

9. С-.Д. Илиадис, Некоторые вопросы, касающиеся универсальности в семействах n-мерных рациональных пространств, Исследования по топологии VII, Записки Научных Семинаров, ПОМЫ, 20S (1992), 9S-102.

10. С.Д. Илиадис, Изометрические вложения и универсальность, Успехи матем. наук, 1993,