Об индуктивных размерностных инвариантах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение

Глава I. Змеевидные бикомпакты с несовпадающими размерностями.

§ I. Некоторые достаточные условия змеевидности бикомпактов

§ 2. Сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный бикомпакт (1г, Х^ ) С - ) ~

-(ГигС^^Т^) =2 для любой точки

§ 3. Сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный би- • компакт с ^^^(Т1,^) - сГьь-о/ (1 ) = для любой ТОЧКИ Ос ^з)

§ 4. Общая конструкция и первая основная теорема'.

Глава 2. Однородные бикомпакты с несовпадающими размерностями.

§ I. Построение бикомпактов Г), " /г ) А^А

§ 2. Свойства бикомпактов^1^ т^ , /1=2,3,.

§ 3. Однородность бикомпактов (Т^О^А^) } п. - .75 Цитированная литература.

Вопрос о взаимоотношениях между основными размерност-ными инвариантами dim , irtd , Jn.ol является одним из основных вопросов теории размерности. Еще П.С.Урысоном было установлено совпадение всех трех размерностей для метрических компактов. Для неметризуемых бикомпактов X выполняются лишь неравенства dim. X ^ indX 4 ln.o(X и построен длинный ряд примеров / Лунц [4 J, Локуциевский L^J^ Вопенка[18 ], Мардешич[ 17 J, Пасынков[ 5 ]- [ 7 Лифа-нов[ 8 ], Филиппов [ 12 ]-[ 13 J, Федорчук[ 9 ]-[ 10 ], Бобков [2 ]и др. / бикомпактов с несовпадающими размерностями cLim. и Lnci , inol и Jncl , и с различными дополнительными свойствами.В частности Мардешич[17 ]построил змеевидный бикомпакт М с ülc/M-2 . Напомним, что бесконечный бикомпакт называется змеевидным, если в любое его открытое покрытие можно вписать открытое цепное покрытие, то есть такое покрытие }) = (Ui Ji = f » что ^ лЪ¡j Ф-0 тогда и только тогда, когда / c-j / ~ i • К3-®1 нетрудно заметить, змеевидность бикомпакта X » во-первых, гарантирует его связность и одномерность в смысле лебеговой размерности dim и, во-вторых, означает, что с комбинаторной точки зрения среди всех одномерных бикомпактов он устроен максимально простым образом, а именно : для любого своего открытого покрытия CJ он обладает СJ - отображением на отрезок, то есть в топологическом смысле отличается от отрезка сколь угодно мало. В[17 ]Мардешич выразил надежду на существование змеевидных бикомпактов со сколь угодно большой индуктивной размерностью Lad . Основная теорема главы I из § 4 отвечает на предположения Мардешича утвердительно.

Теорема I.4.I. Для любого П - 2, Ъ,. существует сепа-рабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный бикомпакт О- > ^ ) с ¡-IT-d- ^ О З^п. ) ~ ^ ДЛЯ любой rL. / точки осе (J. ) ^ nJ .

Отметим, что впервые змеевидный бикомпакт /Y с 1-ой аксиомой счетности и с игс1 X - 2 был построен Л.Ю.Бобковым [2 ]. Однако и в примере Бобкова, и в примере Мардешича размерность сао/ равнялась 2 не во всех точках соответствующих бикомпактов. Отметим также, что метод построения бикомпактов (J , ) является развитием и специализацией методов вполне замкнутых отображений В.В.Федорчука /[ 9],[ 10 ] и др. / . Напомним, что непрерывнее отображение называется вполне замкнутым, если для любой точки у-^У и любого покрытия cj = 1j £ = / прообраза ^ у точки открытыми в X множествами множество является окрестностью точки ^ . Всякое вполне замкнутое отображение, очевидно, замкнуто и имеет место, используемое в главе 2

Предложение / Федорчук( II ]/. Пусть f- X вполне замкнутое отображение нормального пространства X на паракомпактное пространство У . Тогда dim. X - /^Q-Oc [cLL m. f, cLcm. У].

Бикомпакты из теоремы 1.4.I связаны вполне замкнутыми отображениями Jf^ ■ (I , Г^ ) ? П~ Z, Ъ}.

Взятие предела возникающей обратной последовательности позволяет получить следующее утверждение.

Теорема 2.4.1. Существует сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности змеевидный бикомпакт /V , у которого всякое замкнутое подмножество либо нульмерно, либо не имеет индуктивной размерности 'Сп.с1 . Более того, всякое бесконечное связное замкнутое подмножество бикомпакта Л^ гомеоморфно бикомпакту X^.

Из теоремы 1.4.1 в § 4 главы I легко получается Следствие 3.4.1. Существуют сепарабельные с 1-ой аксиомой счетности змеевидные бикомпакты ^со0 и ^со с 1пс! , спс/Х^^

Заканчивая обзор первой главы, отметим, что во всех перечисленных результатах доказательства змеевидности опираются на достаточные условия, рассмотренные в § I , Параграф 2 этой главы является базисом индукции для теоремы 1.4.1. Параграф 3 - служит лучшему пониманию общей конструкции § 4.

Глава 2 посвящена построению однородных бикомпактов с несовпадающими размерностями. Напомним, что топологическое пространство X называется однородным, если оно обладает следующим свойством: для любой упорядоченной пары точек пространства Л существует такой гомеоморфизм / •• X -* X , что /х = у .

Метод развитый в § 4 главы I и примененный в § I главы 2 позволяет усилить результат В.В.Федорчука [ 10 ] о существовании однородного бикомпакта Ф с <к и с . А именно, имеет место следующая теорема из § 3 главы 2.

Теорема 1.3.2. Для любого 2,5,. существует одномерный в смысле cLim. топологически однородный сепа-рабельный с 1-ой аксиомой счетности бикомпакт((^^ ^ Z ^ j

С са ¿((S^zD^n.

Бикомпакты ((«S1J ^ Т ^ ) , П - 2,3,. из сформулированной теоремы связаны вполне замкнутыми отображениями тг""- ) —>((S 1 т ^ ft. = 2,3,.

Взятие предела возникающей обратной последовательности позволяет полущить следующее утверждение из § 3 главы 2.

Теорема 2.3.2. Существует сепарабельный с 1-ой аксиомой счетности однородный бикомпакт Я*^, , не имеющий индуктивной размерности Lrcci * ditn. Я^ - 1.

Кроме того для перечисленных выше примеров бикомпактов имеют место равенства

Г lnc/(I Vru )= crLadiCS^^Arb , а <Т Lrtcl ^ cjQ = G'in-of ~

Напомним, что индуктивная размерность (У in с/ была определена Б.А.Пасынковым[ 5 ] следующим образом. Тогда и только тогда (Г irtd X = -{ , когда Пусть класс пространств, удовлетворяющих неравенству (ТLh.d X < iL , П^О , уже определен. Положим б"¿notX^fl, если X можно представить в виде счетной суммы замкнутых множеств Fl fi-ijZj. так, чтобы для любой точки ос и любого замкнутого, множества ß непустые пересечения л <\ F^ и Ь л f. можно отделить в F^ перегородкой С размерности (Усп-с/ С < . Всегда б" Lrtcl X ^ с/г с/ X.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по общей топологии в Московском университете. Они опубликова ны в работах ( 14" ]-( I 5 J.

Автор признателен Б.А.Пасынкову за внимание к работе.