Интегральная геометрия на геодезических римановой метрики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

ИНСТИТУТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ГЕОФИЗИКИ

На правах рукописи

ПЕСТОВ Леонид Николаевич

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РИМАНОВОЙ МЕТРИКИ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 2004

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения Российской академии наук.

Официальные доктор физико-математических наук

оппоненты: Н.С. Даирбеков,

доктор физико-математических наук Д.А. Попов,

доктор физико-математических наук, профессор С.Г. Пятков.

Ведущая организация: Математический институт им. В.Л. Стеклова

Санкт-Петербургское отделение.

Защита состоится 22 апреля 2004 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан 3 марта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Под интегральной геометрией понимают область математики, изучающую задачи восстановления функций, определенных на некотором многообразии по интегралам от них, по некоторому семейству подмногообразий меньшей размерности. В диссертации рассматриваются только те задачи, в которых интегрирование проводится вдоль геодезических односвязного компактного риманового многообразия с краем. Совокупность всех интегралов определяет лучевое преобразование функции. При этом интегрируемая функция может зависеть не только от точки многообразия, но и от направления. При известных геодезических задача обращения лучевого преобразования линейна. Если геодезические неизвестны, то возникают нелинейные задачи интегральной геометрии.

Хорошо изученный пример линейной задачи - лучевая задача Радона для евклидова пространства и многообразий постоянной кривизны. Здесь имеется развитая теория, включающая теоремы единственности, существования, формулы обращения и алгоритмы решения практических задач томографии [21, 22, 32]. В.А. Шарафутдиновым в [23] получены аналогичные результаты при интегрировании по прямым функций, зависящих не только от точки, но и от направления. Случай общих римановых многообразий исследован значительно меньше. Первые важные результаты - теоремы единственности в двумерной линейной задаче и обратной кинематической задаче для конформно-евклидовой метрики были получены Р. Г. Мухометовым [12, 13]. В дальнейшем метод Р.Г. Мухометова в работах Р.Г. Мухометова, В.Г. Романова [1416, 19], И.М. Бернштейна, М.Л.Гервера [7, 8] был распространен на случай компактных римановых и финслеровых многообразий с краем произвольной размерности. Линейные задачи, которые изучались в этих работах, касались случая, когда искомая функция зависела только от точки многообразия. Первый результат в задаче, когда искомая функция "линейно" зависит от направления £, был получен Ю.Е. Аниконовым [1] (в двумерном случае) и Ю.Е. Аниконовым и В.Г. Романовым [6] (для произвольной размерности). В этих работах было показано, что линейная форма определяется своим лучевым

преобразованием с точностью до потенциальной формы (V/i(x),f) с постоянным потенциалом h на краю многообразия. Естественное обобщение задачи, когда интегрируется однородный полином /т относительно порожденный симметричным тензорным полем / степени т, не удавалось исследовать методом, который использовался в этих работах.

Перечисленные результаты касались проблемы единственности в задачах интегральной геометрии тензорных полей. Разрешимость для общих римановых многообразий исследована незначительно. Сложность проблемы разрешимости связана в первую очередь с переопределенностью задач, которая имеет место даже в размерности 2 [35]. В случае аналитической метрики и искомой функции необходимые и достаточные условия разрешимости двумерной скалярной задачи (m = 0) приведены в [1]. Для задачи в круге в случае кривых, достаточно близких к прямым, в работах Д.А. Попова [17,18] приведены формулы обращения и дано описание образа лучевого преобразования.

Среди нелинейных задач интегральной геометрии важное значение имеет обратная кинематическая задача, изучавшаяся в работах Ю.Е.Аниконова, Р.Г.Мухометова, В.Г.Романова [2, 3, б, 1316, 20], И.М. Бернштейна, МЛ.Гервера [7, 8], Г.Я. Бейлькина [9]. В монографии А.Л. Бухгейма [10] доказана теорема разрешимости многомерной обратной кинематической задачи в классе аналитических функций. Отметим также исследования, тесно связанной с этой задачей проблемы граничной жесткости римановых многообразий, представленных в работах С.В. Croke, R. Michel, Н.СДаирбекова, В.А. Шарафутдинова [26-28, 31].

В части диссертации, посвященной линейным задачам, изучаются вопросы единственности, устойчивости и разрешимости задач интегральной геометрии тензорных полей на компактном римановом многообразии с краем. Это задачи, в которых интегрируемая функция - однородный полином относительно единичного вектора скорости геодезической, порожденный симметричным тензорным полем произвольной степени.

В диссертации изучаются также нелинейные задачи. Пусть (M, g) - компактное риманово многообразие с краем дМ, da(x,y) - геодезическое расстояние между точками М. В работе рассматри-

вается задача об определении метрики g по известным граничным расстояниям <1а{х,у), х,у Е дМ. Здесь возникает два вопроса. Первый - известная в геометрии проблема граничной жесткости римано-вых многообразий — состоит в гипотезе о том, что если две метрики на М имеют одинаковые функции граничных расстояний, то они изометричны с изометрией, тождественной на краю. Второй вопрос состоит в конструктивном построении метрики, отвечающей заданной функции граничных расстояний. В диссертации решаются оба вопроса для компактных двумерных многообразий со строго выпуклым краем, любые две точки которых соединяет одна геодезическая.

Задачи, рассмотренные в диссертации возникают как при исследовании обратных задач для гиперболических уравнений и систем при помощи метода выделения особенностей [20, 33], так и непосредственно в приложениях при диагностике неоднородных сред (ультразвуковая томография в медицине, обратная кинематическая задача сейсмики в геофизике и т.д.). Отметим проблему граничной жесткости римановых многообразий, возникшую в геометрии. Поэтому изучение рассматриваемых в диссертации задач важно как с точки зрения непосредственных приложений, так и с точки зрения теории обратных задач для дифференциальных уравнений и геометрии ри-мановых многообразий.

Цель работы

Цель работы состоит в изучении линейных и нелинейных задач интегральной геометрии на компактном римановом многообразии с краем.

Научная новизна

Все основные результаты, приведенные в диссертации являются новыми:

♦ Получена теорема единственности и устойчивости в задаче интегральной геометрии симметричных тензорных полей произвольной степени, обобщающая ранее известные результаты.

♦ Доказаны теоремы сюръекции для естественного сопряженного лучевого оператора в скалярной и векторной задачах. Изуче-

ние сопряженного оператора оказывается важным для исследования нелинейных задач и вопросов разрешимости линейных задач интегральной геометрии.

♦ Получены необходимые и достаточные условия разрешимости скалярной и векторной задач для простого двумерного многообразия.

♦ Доказана граничная жесткость простых двумерных многообразий.

♦ Получен линейный метод реконструкции двумерной конформно-евклидовой метрики по функции граничных расстояний простого многообразия. Этот метод может быть реализован в ультразвуковой томографии для вычисления скорости распространения волн, а также в геофизике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре Отдела математических задач геофизики-Института вычислительной математики и математической геофизики под руководством академика А.С. Алексеева, семинарах Института математики им. С.Л. Соболева под руководством академика М.М. Лаврентьева, академика Р. Г. Ре-шетняка, чл.-корр. В.Г.Романова, д.ф.-м.н. Ю.Б.Аниконова, профессора G.Uhlmann (University of Washington, Seattle, USA)? на международных конференциях:. "Dinamic Inverse Problems, 1998", St. Petersburg, Russia, 1998 г., "Dinamic Inverse Problems, 2001*', St. Petersburg, Russia, 2001 г., "Geometric Methods in Inverse Problems and PDE Control", IMA, University of Minnesota, Minneapolis, Minnesota, USA, 2001.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах и 2 монографиях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.

Содержание работы

В введении дан краткий обзор истории и современного состояния предмета диссертации, а также представлены основные результаты работы.

Глава 1. Приведены некоторые результаты из дифференциальной геометрии векторных расслоений над римановым многообразием. Основная цель главы - дать удобный аналитический аппарат для исследования задач интегральной геометрии.

В §1 дается известная конструкция горизонтальной и вертикальной производной гладкого отображения, определенного на пространстве векторного расслоения со связностью и на его подмногообразиях [11,29].

Пусть - гладкое вещественное векторное расслое-

ние ранга т над п-мерным многообразием М. Точки многообразия Е будем обозначать парами (х, £), г дф - вектор с л оД,.н ад точкой х 6 М. Пусть те : Т(Е) -> Е - касательное пространство над Е, и К: Т(Е) —> /: - отображение линейной связности. Касательное пространство над точкой разлагается

в прямую сумму горизонтального и вертикального подпространств: = НЫ) 8 У(1,0) где

НЫ) = КехК\(хЛ), У(1,£) = Кег

Подпространства и отождествляются, соответственно, с касательным пространством (М) и слоем с помощью изоморфизмов.

Производная : Tf^г¡¿)(N) определяет горизон-

тальную (Ул/)(х, £) и вертикальную (Уи/)(х,^) производные отображения /: М -> N в точке

V*/ (*,О = /'(»,0 о : Т, (М) ->

В частном случае, когда N = Я, горизонтальную и вертикальную производные можно интерпретировать как послойные отображения над МЕ Т* (М) и Е Е* соответственно.

С помощью сужения определяются горизонтальные и вертикальные производные отображения - гладкое вложенное подмногообразие. Основные примеры, используемые в работе, это, когда

Е = П(М) = У П¿(М), ПХ(М) = {£ € Тх: |(| = 1},

- расслоение единичных сфер над римановым многообразием (М, и

2 = *Г1(Г) = {{х,0-зег,£€ пх(М)}, 7П = *|о(ло,

- поднятие гладкой гиперповерхности Г С М.

В §2 дается определение горизонтальных тензорных полей и их горизонтальных и вертикальных производных. Послойное отображение и: Е Т/(М), где Т/(М) - тензорное расслоение типа (г, з) над М, называем горизонтальным тензорным полем типа (г, л) на Е. Произвольное тензорное поле типа на многообразии М определяет по формуле и о тг горизонтальное поле на Е. Отображение и иотг отождествляет тензорные поля на М и ^-постоянные горизонтальные поля.

Наибольший интерес представляет случай, когда Е - касательное расслоение над римановым многообразием (Е = Т(М), Е = П(М) и связность согласована с метрикой. При этом метрика позволяет отождествить расслоения Т#р и Отождествим горизонтальное поле и типа (0,т) с полиномом и(го) (х, т}) = ии (х, Олщ»• • •» Чтт) I Щк) 6 Ох- Тогда горизонтальная Т7и и вертикальная производные поля « будут горизонтальными полями типа (0, т + 1) и определяются равенствами

Аналогично определяются производные в случае замены Т(М) на и для их степеней

В §3 приводятся основные дифференциальные и интегральные равенства, связанные с горизонтальными полями, которые составляют основной аппарат исследования задач интегральной геометрии. Тождественное отображение Т (М) Т(М) по определению является горизонтальным векторным полем на Т(М), которое будем обозначать Так же будем обозначать и его ограничение на П(М), предполагая ясным из контекста, о каком поле идет речь. Из определения горизонтальной и вертикальной производных на П (М) вытекают равенства

где V - горизонтальная производная, д - вертикальная производная на П(М), Я = (Дун) - тензор кривизны метр И7,к<5|1 - символ Кронекера. В последней формуле и - скаляр.

Введем обозначения дивергенций бив горизонтального тензорного поля на

Приведем интегральные формулы. Следующая формула легко выводится с помощью продолжения по однородности

где и - горизонтальное векторное поле.

Пусть и — горизонтальное тензорное поле намногообразии ПТ{М). Интеграл

У «(«. €(1)----- £(г-1), Г))(1ПХ (т})

п.

действует послойно, и потому определяет горизонтальное тензорное поле на Пг_1 Важное значение имеет тот факт, что горизонтальная производная коммутирует со взятием интеграла.

Лемма 1.1. Для любого г > 1 и любого гладкого горизонтального поля и на Пг (М) имеет место равенство

V У и^ЬгйЮ. (Ч) = I Уф.^сЮ* (ч) о. п.

где £ = (£(1), • • •, £(г_1)) и оператор V под интегралом - горизонтальная производная на Пг (М).

Отметим формулу типа Гаусса-Остроградского в случае компактного многообразия с краем:

В формулах (1.4), (1.5) ¿ЩМ), сЕ - формы объема сферы Пх, многообразия ЩМ) и края д(1(М), индуцированные метрикой g, соответственно. Через ёМ и dT будем обозначать форму объема многообразия М и его края.

Пусть ЛУ,^ - полное риманово многообразие. Обозначим через 7(х, £) геодезическую, выходящую из точки х в направлении вектора £ б П„(5). При любых (г, £) € П (5) и £ е Д вектор скорости геодезической 7(1, Ь) — единичный, ру (7) 7*7* = 1 и траектория (7(г,£,4),7(:п,£,£)) целиком принадлежит П(5). Семейство отображений^: П(5) -+ 0(5), <рг{х,£) = (7(®»£>*)> 70е. £.*))> t е Д, образует однопараметрическую группу преобразований многообразия ЩБ) и называется геодезическим потоком многообразия П(5). Введем также отображение <р: П(5) ХЙ4 = Через Н будем обозначать векторное поле, касательное геодезическому пото-

Я = £)4у»<|1=о,

где £>1 = д/дЬ. Поле Н можно отождествить с производной

где и - произвольная гладкая функция на многообразии П (5).

Из уравнений геодезических 7* + 1^(7)7*7* = 0 следует представление поля Н через горизонтальную производную:

Естественно расширить область определения оператора Н на горизонтальные тензорные поля, полагая Н = (£, V).

Пусть (М, g) - компактное риманово многообразие с краем дМ. Можно считать, что оно вложено в компактное риманово многообразие (5, д) той же размерности без края. Пусть каждая максимальная геодезическая многообразия (М, g) конечна. Обозначим через т(х,£) длину отрезка геодезического луча 7(x,£,t), (х,£) £ П(М), t > 0, до пересечения с дМ.Функция т гладка всюду вне точек которые задают лучи, касающиеся края.

Напомним, что векторное поле X на геодезической 7(t) называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби

D^X + RjX = О,

где

(Äy-ХГ) i W = Щи (7(0) ¥{t)Xk (t) 7f(i).

Основная цель §4 - доказательство того, что на любом интервале геодезической t), (х,£) е ii(M), t в (~т(х, -() ,г (х,()), век-:

торное поле

Z(x,(,t) = (0г)Ы®,{)) -t)

является полем Якоби, где <pt - геодезический поток на П (S). Этот факт используется в § 4 гл. 3.

Глава 2. Исследуется вопрос о единственности определения симметричного тензорного поля / произвольной степени ш на компактном римановом многообразии. (М, g) с краем дМ по интегралам вдоль геодезических от соответствующего однородного полинома fm (значения тензорного поля на векторе скорости геодезической). Произвольное достаточно гладкое симметричное тензорное поле однозначно представимо в виде суммы соленоидальной части (с нулевой дивергенцией) и потенциальной, с нулевым потенциалом на краю. Лучевое преобразование потенциальной части равно тождественно нулю. Поэтому естественно поставить вопрос о единственности определения соленоидальной части.

В §1 дается определение лучевого преобразования симметричного тензорного поля, формулируется задача его обращения как линейная

обратная задача для уравнения переноса, доказываются основные свойства функции длины луча на рассеивающем строго выпуклом многообразии. Пусть (M,g) - компактное риманово многообразие размерности п > 2 с краем дМ, 0(М) - пространство расслоения единичных сфер над М. Тогда П(М) - компактное (2п — 1)-мерное многообразие с краем.

9il(М) = {(х,0: х € дМ, £ 6 П,(М)},

который можно представить в виде объединения двух его подмногообразий "входящих" и "выходящих" векторов:

d±Sl(M) = {(*,£) € дЩМ), ± &!/(*)) > 0},

где v - единичный вектор внутренней нормали к краю дМ. Подмногообразия 3+П(М), 0_П(М) имеют общий к р ас^Й(М),т о я щ и й из касательных к дМ векторов. Для скалярного произведения (£, v) введем специальное обозначение

Будем использовать следующую терминологию. Компактное риманово многообразие (М, g) с краем дМ называется рассеивающим, если каждая его максимальная геодезическая конечна. Бели, кроме того, край строго выпуклый, то такое многообразие будем называть строго выпуклым рассеивающим многообразием. Строгая выпуклость края означает положительность второй фундаментальной формы края В: ЗоП(М) R,

В (х, = V ¡uj.

Односвязное компактное многообразие (М, g) с краем дМ называется простым, если:

1) край строго выпуклый,

2) любые две точки соединяет единственная геодезическая.

Пусть (М, g) - рассеивающее многообразие. Тогда для любой гладкой функции / на ii (М) и любой точки (х, £) g fl (М) определен интеграл

Здесь 7(х, ¿), —т (х, —£) < 4 < г (х, £) - геодезическая, определенная начальными условиями 7(х, 0) = х, 7(2, 0) = г (х, £) - длина луча 7(х, t > 0. Естественно положить т|э_п(М) = 0. Тогда

След

/Л ^ «Л|в+п(м)

будем называть лучевым преобразованием функции Л, а оператор I -оператором лучевого преобразования. Ясно, что И, вообще говоря, не определяется лучевым преобразованием, поскольку она определена на многообразии большей размерности, чем 1к. Мы будем, в основном, рассматривать случай, когда к = /т - однородный полином по порожденный симметричным тензорным полем / степени т > 0,

Функция 1т/, определенная равенством

— I/т>

называется лучевым преобразованием поля /.

При гладкой функции h гладкость Ш определяется только гладкостью функции т. В следующей теореме собраны свойства функции т на строго выпуклом рассеивающем многообразии. В теореме использованы следующие обозначения: т° = 7"|а+п(м)| т£ - нечетное продолжение функции т° относительно £ ва 9П(М); У"г - горизонтальная производная на где

- гладкая гиперповерхность при всех достаточно, малых а. Слой

в котором функция гладка, назовем

регулярным.

Теорема 2.1. Пусть М - строго выпуклое рассеивающее многообразие. Тогда

1. т е (п(м)\а0п(м)).

2. т£ 6 С°°(дП(М)) и, вчастности, т° € С°°(д+П(М)).

3. Отношения р/т0 ограничены на с?+П(Л/).

4. Производные дт и У"т ограничены в П(.ЛТв), где Иа - регулярный слой.

5. Имеет место рае V

,?т|а_п(м)\а-П(лг) =

г(«,{)

Фу™* «*(»,*)= I НЫх,0)<И, (х,$еП(М), о

удовлетворяет тождеству

Таким образом, задачу интегральной геометрии можно сформулировать как обратную задачу для уравнения переноса: требуется определить правую часть уравнения

в по однородному краевому условию на

= О

и заданной функции

1Н = «|е+о(м)

на другой части края. Для задачи интегральной геометрии тензорного поля Н = /т, /Л = /т/.

На строго выпуклом рассеивающем многообразии оператор / преобразует гладкие функции на П (М) в гладкие функции на д+И (М). Его можно продолжить и на более общие функциональные пространства, например, /: Яа(П(М)) -> Я1 (д+П (М)). Отметим формулу Ньютона-Лейбница:

ЦНН) (х, £) = Л (рг(х,{) (X, 0) - Ь (X, 0 , (х, О € 3+П (М). (2.1)

Пусть р - симметричное тензорное поле степени т > 0. Имеет место равенство

Ярт = (¿р)т+1,

где ^ = (гУ - симметричная часть ковариантной производной. Тогда, если р|вм = 0, то 1т+1 (е(р) = 1Нрт = 0, т.е. оператор /т, т > 1,

имеет нетривиальное ядро, которое содержит потенциальные поля (т-е. поля вида / = ¿р) с нулевым потенциалом на краю. С другой стороны, имеет место следующая теорема декомпозиции:

Теорема 2.2 (В.А. Шарафутдинов [23]). Пусть - компакт-

ное многообразие с краем дМ. Тогда для любого целого к > 1 и любого поля / € Нк(М,Зт(М)), т > 1, существует и единственно разложение на потенциальную и соленоидалъную части:

Н € Я*(М,5т(М)), р € Нк~1(М, 5го_г(М)).

Поскольку лучевое преобразование аннулирует потенциальную часть поля, естественно, поставить вопрос об инъективности оператора 1т на соленоидальных полях.

В §2 доказываются дифференциальные тождества и неравенства, которые играют ключевую роль при доказательстве теорем единственности. Они, в свою очередь, являются простыми следствиями формул (1.1)-( 1.3). Напомним обозначение вертикальной дивергенции на П (М), вХ = ф-Х"1 и оператора "кривизны"

(ДХУ{хЛ)=Щы{х)&Х*е.

Лемма 2.1. Для любой гладкой функции и на многообразии П (М) имеет место тождество

\нди\2 - (Иди, ди) + в (ЧиНи) = 5 (диНи - £ (V«, ди)) + \дНи\2.

Лемма 2.2. Для любой гладкой функции и на многообразии П(М) имеет место тождество

]Уи|2 - (Ни)2 - (ДЭи, ди) + в {ЧиНи)

= 6 (диНи - £ (V«, ди)) + 2 (Уи, дНи).

Обозначим через С°° (М,5т(М)) пространство гладких симметричных тензорных полей на М, где 5т (М) - расслоение симметричных тензоров над М. (в случае т = О С°° (М,5о(М)) = С°° (М)). Его подпространство, состоящее из соленоидальных полей, 5/ = О, обозначим (М, 5ТО(М)). Следующее неравенство лежит в основе доказательства иньективности оператора 1т на соленоидальных полях произвольной степени т > 1.

Лемма 2.3. Пусть М - строго выпуклое рассеивающее многообразие. Тогда на П(М)\ЗоП(М) для любого поля / € С^[ (М, 5т(М)),

т> 1, и любого числа д 6 (0,1] имеет место неравенство

д\Нди\2 - (Яди, ди) + (дт2 - 2дт + 2т) /2 + 0 (УиЯм) < дт2|.Р|2 + 5 [ЗиЯи - £ (Уи, Зи) - 2дтиР],

где

Напомним, что векторное поле X на геодезической 7 называется полем Якоби, если оно удовлетворяет уравнению Якоби

п$х + щх = о,

где

(<) = СИ'«-

Условие простоты метрики означает отсутствие сопряженных точек у уравнения Якоби на любой геодезической. В диссертации (при т > 0) на метрику накладывается более жесткое условие, чем простота, причем это условие зависит от т. Оно состоит в отсутствии сопряженных точек у уравнения типа Якоби

(Df + aRjX = О,

(2.2)

где число о- зависит от m,

то2 + тп.

2т + п - 1'

В §3 вводится определение <7-простой метрики, а > 1 (при которой уравнение (2.2) не имеет сопряженных точек) и выводится оценка функционала энергии, для которого это уравнение являются уравнением Лагранжа-Эйлера. Заметим, что о\ = 1 и если метрика а-простая, то онаи ст'-простая для любого а' € [1,ст]. Строго выпуклое многообразие с <г-простой метрикой будем называть <7-простым.

В §4 доказываются теоремы единственности. Прежде всего с помощью леммы 1 доказывается известный результат [8] в скалярной задаче с весом. Рассмотрим скалярную задачу интегральной геометрии с весом: требуется найти функцию / (г) по лучевому преобразованию I(wf), где w - заданная функция.

Теорема 2.3. Пусть М - простое n-мерное многообразие, w, -гладкая функция нОЦМ), такая, что

Тогда для любой функции f б НХ{М) имеетместонеравенство

где постоянная с не зависит от /.

Пусть теперь т > 1. Теорема 2.4.

1. Пусть. М - сг-простое многообразие, а 6 (<гт>оо), т > 1. Тогда для любого соленоидалъного поля / € Н1 (М, 5т(М)) имеет место оценка

П,

Шщм) ^ сН/(ш/)|1яМв+П(М)) .

где Р] (х, £) — /,1..,{т_1 ^ (г) .. • и постоянная с не зависит от /.

2. /:Ъш М - <тт -простое многообразию, > 1, то оператор 1т: С°° (М,5т(М)) С°° (д+ЩМ)) инъективен.

Как заметил Ю.Е. Аниконов [4], единственность в задаче интегральной геометрии может иметь место и для функций общего вида, если они лежат в ядре некоторого дифференциального оператора. Введем оператор

О,-8д + зН.

Напомним, что многообразие (М,§) называется многообразием неположительной кривизны, если в любой точке х Е М для любых векторов г] е

Яцм (х)£»У£У<0.

Теорема 2.5. Пусть М - компактное односвязное'многообразие неположительной кривизны со строго выпуклым краем. Тогда для любой функции / € Н2 (П (М)), удовлетворяющейусловиюС= О, з > (1 — п)/2, имеет место неравенство

Заметим, что при целом положительном т уравнению (}т11 =0 удовлетворяет полином /т, порожденный соленоидальным тензорным полем степени

Глава 3. Оператор 1т отображает симметричные тензорные поля в функции на З+П (М), причем он аннулирует потенциальную часть поля. Естественный сопряженный оператор который, будет определен ниже, переводит функции на в симметричные соленоидальные тензорные поля на многообразии М. Основная задача, которая изучается в этой главе, - это вопрос о разрешимости уравнения

для т = 0 и т = 1.

Главный результат в скалярном случае состоит в том, что если многообразие М простое, то оператор 7ц : (0+П (М)) —> С°° (П (М)) сюръективен, где (9+П (М)) - некоторое подпространство пространства С°° (9+П (М)). В векторном случае доказан более слабый результат: любое гладкое соленоидальное векторное поле к на простом многообразии может быть представлено в виде

К = + Ур,

где р - гармоническая функция, ш 6 С7£° (0+ П (М)).

Эти результаты существенно используются в главе 4 при описании образов лучевого преобразования и решении нелинейной задачи.

В §5 приводятся также теоремы, дающие в терминах годографа необходимые и достаточные условия выполнения определенных дифференциальных соотношений на метрику.

В §1 вводятся понятия углового годографа и вводится оператор

Пусть М - строго выпуклое рассеивающее многообразие. Отображение

будем называть угловым годографом многообразия М (или метрики g). Он отображает входящие векторы в выходящие и, наоборот, а (Э+П (М)) = (М), а (9_П (М)) = Э+П (М). В силу теоремы 2.1 функцият£ гладка и, следовательно, угловой годограф - диффеоморфизм. Заметим также, что а - инволюция, а2 = причем до(1{М) - гиперповерхность ее неподвижных точек.

Определим вещественное гильбертово пространство (М))

скалярным произведением

(«.«)= /

¡ту <1Е.

д+ЩМ)

Оператор лучевого преобразования продолжается до ограниченного оператора из Ь2 (П (М)) в 1Л (9+П (М)) . Определим

вещественное

гильбертово пространство I? (М, 5т (М)) симметричных тензорных полей степени т с помощью скалярного произведения

где под интегралом (/,Л) означает скалярное произведение тензорных полей

Норма поля / в I? (М, 5ТО (М)) эквивалентна норме полинома fm в 1? (П (М)). Тем самым получаем ограниченность оператора 1т :

I2 (м,зт(м))^ь1(д+п(м)).

Введем отображение П (М) —> д-И (М),

+ (*, £) = <Рт{х,с («, О, (®, О € П (М),

где, напомним, : П (5) —¥ П (5) - геодезический- поток на П (5) (ЛТ С 5). Решение краевой задачи

записывается в виде

и = щ V) оао ф.

Тогда сопряженный оператор : (9+ О (М)) ^ Ь2 (М,5™(М) действует по формуле

(/»'I-'- (х) = ^ (¡с,

В §2 доказывается, что в случае простого многообразия оператор — псевдодифференциальныи оператор степени —1 и подсчиты-вается его главный символ.

Лемма 3.1. Пусть (М&) - простое многообразие. Тогда -

псевдодифференциальный оператор порядка —1 с главным символом

Заметим, что оператор /р/0-эллиптический, а (/¿/о) = 2 (27г)п |£|-1.

В §3 доказаны теоремы сюръекции в скалярной и векторной задачах. Прежде чем их сформулировать определим подпространство (3+П (ЛГ)) С С°° (З+П (М)). Для произвольной функции ш е С°° (З+П (М)) функция у!^ не будет, вообще говоря, гладкой на всем многообразии П (М). Можно лишь утверждать, что тиф £ С°° (О (М) \30П (М)). Определим подпространство С" (З+П (М)) С С°° (З+П (М)) условием гладкости к/у, на всем многообразии П (М),

(З+П (М)) = {щ € (З+П (М)): ^ € С°° (П (М)) }.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 3.1. Пусть (Mg) - простое многообразие. Тогда оператор Ц: С£°(Э+П(М)) С°°(М) сюръективен.

Теорема 3.2. Пусть (Mg) - простое многообразие. Тогда для любого гладкого соленоидального векторного поля V на М существует функция V} 6 Са,{д+ЩМ)) и гармоническая функция К € С°°[М), такие, что

V = /¿г» + УЛ.

В §4 доказывается результат, позволяющий описать пространство С£°(3+П(М)) в терминах углового годографа. Для любой функции V] € (З+П (Л/)) ее четное продолжение относительно инволюции а гладко на ЗП (М) в силу р а в ъА+'ш — а -зывается верно и обратное.

Теорема 3.3. Пусть М - строго выпуклое рассеивающее многообразие. Функиияги 6 (З+П (М)) тогда и только тогда, когда

а+ю е с°° (да (м)).

Функция и (х, 01 удовлетворяющая равенству Ни = О, - первый интеграл уравнений геодезических. Равенство Н/т = 0 , ш > 1, равносильно = 0 и влечет равенство на краю:

Как было показано в работах Ю.Е. Аниконова [2,3], свойство геодезических конформно-евкщцовой метрики допускать первый интеграл, линейный или квадратичный по определяется по годографу при условии нормальной выпуклости многообразия. В §5 доказываются аналогичные утверждения для произвольной римановой метрики неположительной кривизны и первых интегралов вида однородных полиномов произвольной степени.

Теорема 3.4. Пусть М - компактное многообразие неположительной кривизны со строго выпуклым краем дМ, £ С°°(дМ, 5т (М)), т > 1. Равенство (3.1) имеет место тогда и только тогда, когда поле /0 продолжается до/ С С°°(М,5т) такого, что

Пусть теперь / - гладкое поле нечетной валентности, / 6 С°° (М,52т-1(М)), т > 1, такое, что

<*/ = дт = <т(д®...®д)

- т-я симметричная степень метрического тензора. Тогда Я/гт-г = = 1, что приводит к соотношению

Теорема 3.5. Пусть М - компактное многообразие неположительной кривизны со строго выпуклым краем дМ, б С°°(дМ, ^гт-х); ТП> 1. Равенство (3.2) имеет место тогда и только тогда, когдаполе продолжается до поля / € С°° (М, 52771-1) такого, что — дт.

Глава 4. Рассматриваются двумерные линейные и нелинейные задачи интегральной геометрии. Исследуется разрешимость скалярной и векторной задач, проблема граничной жесткости, а также приводится решение обратной кинематической задачи для конформно-евклидовой метрики. Кроме размерности эти задачи объединяют

применяемые методы. В первую очередь это преобразование Гильберта на единичной окружности в касательном пространстве.

Пусть М - ориентированное двумерное риманово многообразие. Произвольному вектору £ € Та поставим в соответствие вектор € Тх, (^)^х) = 0, который получается из £ поворотом на прямой угол в фиксированном "положительном" направлении. Определим интегральное преобразование функции равенством

где интеграл понимается в смысле главного значения. Переходя к угловым переменным, нетрудно убедиться, что это преобразование Гильберта. Будем • использовать для него также обозначение Н, Ни = й.

В §1 выводится формула коммутации преобразования Гильберта и геодезического векторного поля, которая лежит в основе нашего подхода. Введем обозначение Но (ж) для среднего значения функции и(х,£), взятое по окружности Пх,

и° ^ ~ ¿/"('»О«*0»!

И Ях = (£х,У).

Теорема 4.1. Имеет место тождество

Таким образом, преобразование Гильберта и геодезическое векторное поле коммутируют с точностью до двух слагаемых, одно из которых - функция, не зависящая от а другое - 1-форма по причем эта форма соленоидальна.

В дается описание образов лучевого преобразования в скалярной и векторной задачах.

Пусть А± - операторы четного (нечетного) продолжения относительно инволюции а с д+П (М) на дП (М):

А± - ограниченные операторы, действующие из (9+П (М)) в вещественное гильбертово пространство Ь^ (9П (М)), определенное скалярным произведением

= / ы

XIV сЕ.

0П(М)

Сопряженные операторы А± : Ь^ (дП (М)) -у (д+П (М)) действуют по формуле

А*±и = (и±а*и)\а+щм). Введем оператор 6±: С°° (М,Т(М)) ->■ С°° (М),

¿х« = -

Тогда

¿хУх/ = ¿У/ = Д/, ¿хУ/ = -ЛУх/ = 0.. С помощью операторов Ух, тождество (4.1), примененное

к функции £ С™ (д+И (М)), записывается в виде

ННхоф = + •

(4.2)

Заметим, что оператор Н меняет четность по £ на противоположную. Поэтому (4.2) дает равенства

НН-Юф = —6±1¡ги, НН+ ыф = ¿(¿,Ух«.

(4.3)

(4.4)

где Н± - четная (нечетная) часть оператора Н:

п.

Используя оператор А*_, формулу (2.1) можно записать в виде

Тогда," поскольку = интегрирование (4.3), (4.4) при-

водит к следующим тождествам:

Подчеркнем, что операторы.А*_Н±А+ определяются только угловым годографом. Очевидно, А*_Н±А+: (д+П (М)) -»• С°° (0+0 (М)).

Возникает вопрос: имеют ли дефект операторы

^/Г:С~(0+П(М))->£7ОО(М),

Важное следствие теорем сюрьекции главы 3 состоит в том, что в случае простого многообразия дефекта нет. Это приводит к возможности описания образов лучевого преобразования в скалярной и векторной задачах только в терминах углового годографа, "не покидая" край многообразия М.

Теорема 4.2. Пусть (М^) - простое двумерное многообразие. Тогда:

1. Отображения

6±Г1:С^(д+П(М))^С^ (М),

: (7~(3+П(М)) -> С%(М,Т(М))

сюръектив мы.

2. Функция и € С°° (0+0 (М)) принадлежит образу лучевого преобразования /о: С°° (М) —> С°° (3+0 (М)) тогда и только тогда, когда и = А*_Н-А+и>, (0+0 (М)).

3. Функция и € С°° (0+0 (М)) принадлежит образу лучевого преобразования : С°°(АГ,Т(М)) С°°(0+О(М)) тогда и только тогда, когда и = А*_Н+А+ы, го 6 (0+0 (М)).

В §3 мы иллюстрируем наш подход на примере двумерных многообразий постоянной гауссовой кривизны. В этом случае получаются явные формулы обращения в скалярной и векторной задач. Кроме того выводятся интегральные уравнения Фредгольма второго рода для скалярной и векторной задачи в случае простой метрики общего вида.

Определим оператор ТУ: Сц0 (М) -4 С°° (М) равенством

И7 = (Ях«') 0.

Можно показать, что его можно записать в виде интегрального оператора с гладким ядром

\У/(х)=1 \У (х, у) / (у) <1МУ

и, следовательно, - продолжить до сглаживающего оператора IV : Ь2 (М) —► С°° (М). Основные результаты параграфа сформулированы в следующей теореме, в которой IV* - оператор, сопряженный к \¥ в Ь2 (М), а и^ означает четное (нечетное) продолжение по £ функции и, определенной на д+И(М) на весь край сШ(М). '

Теорема 4.3. Пусть (М,д) - простое двумерное многообразие. Имеют место тождества

Л + 0Г)2 к = ±Г0У>, 10 = ¿Я(ЛЯХЛ)+Ь+П(М), Л € Яо1 (М),

где \У*: Ь2 (М) С°° (М). В случае многообразия постоянной гауссовой кривизны W = 0, УТ* = 0 .

Пусть (М^) - компактное многообразие с краем. Рассмотрим задачу определения метрики g по функции граничного расстояния

Как показано в [23] проблему граничной жесткости можно сформулировать, как вопрос об инъек-тивности отображения по модулю диффеоморфизмов

■ф-.М^М, i>\dM = id, ip'\dM = id. (4.8)

Мы будем рассматривать класс простых многообразий (M, g). В этом случае отображение (<^,<7|ам) сха взаимно-однозначно [31]. Итак, мы можем переформулировать задачу следующим равносильным образом: определить метрику д простого многообразия (M, g) по его угловому годографу аа. В §3 доказывается, что угловой годограф определяет метрику с точностью до диффеоморфизма (4.8). Другими словами, справедлива

Теорема 4.4. Простое двумерное многообразие гранично жестко.

Доказательство основано на том, что, как оказывается, угловой годограф однозначно определяет DN-отображение (Dirichlet-to-Neumann). Напомним определение DN-отображения. Рассмотрим задачу Дирихле

Д9и = 0 в Int(M),

«IЬМ = /ес°°(дм),

где А3 - оператор Лапласа-Бельтрами метрики g. ZW-отображени-ем называется оператор определенный

равенством

лз (/) (v,Vu)\eM.

Будем называть метрики g\t 52 конформно-эквивалентными, если существует диффеоморфизм M —¥ M, ЩвМ — id и положительная функция (Зес°° (ам), /3|вм = 1» такая, что

92 = 0^*91-

Если метрики <71, (fe конформно-эквивалентны, то соответствующие DN-отображения совпадают: Aai = Afla. Оказывается, обратное тоже верно:. DN-отображение определяет метрику с точностью до конформной эквивалентности. Этот факт был установлен М. Lassas и G.Uhlmann в [30] и, независимо, М.И. Белишевым [25].

Теорема 4.5. Пусть (M,<fr), i — 1,2, - простые многообразия и aai = а92. Тогда Ла, = Адз.

Приведем схему доказательства.

Пусть Л, Н, - пара гладких гармонически сопряженных функций на многообразии М:

УЛ = Vj.fl, =» \7НФ = -УхЛ-

В силу теоремы 3.1 существует функция V) € такая,

что /¿гу = Л. Поскольку 1Н±к = 1Нк„ = —где Л® = Л*|вм> в

силу (4.7) имеем

Если (4.9) рассматривать как уравнение относительно зд, то оно эквивалентно уравнению 1*м) — Л. Точнее, имеет место

Теорема 4.6.. Пусть М - двумерное простое многообразие. Пусть VI £ С£°(0+П(М)) И Л» - гармоническое продолжение на М функции Л® € С°° (дМ). Тогда равенство (4.9) имеет место тогда и только тогда, когда функции к = 1дШ и Н, гармонически сопряжены.

Это утверждение дает следующий (подчеркнем, линейный) способ вычисления БТ^-отображения через угловой годограф. Для произвольно заданной гладкой функции Л® на дМ найдем решение V} £ С^(д+П(М)) уравнения (4.9). Очевидно равенство

2тг(Л+и;)о = Ци\дм,

где, напомним, Щ означает среднее значение по касательной окружности). Тогда функции Л0 = 2тг(.А4.и))о и Л® - следы пары гармонически сопряженных функций. В результате получаем DN - отобра-

(ииУ7Ч°) = {у,Ы.)\ом = АЛ®.

В частности, отсюда получаем утверждение теоремы 4.5. Теорема 4.4 следует теперь из следующих импликаций:

= ^а а91 ~ а32 = Ла, =»52 = РФ*91 у

где = Р £ С°°(дМ), р\ОМ " = 1- Но метрики 51 и

эквиваленты, ^ = и, следова т^^ а к и м

образом, приходим к равенству

~ ^92/fi'

По теореме Р.Г. Мухометова [15] отсюда вытекает /3 = 1, т.е. <7г =

Пусть (М,д) - простая область на плоскости R2 с границей Г и гладкой конформно-евклидовой метрикой gу = р<$у, где ¿у -символ Кронекера. По теореме Р. Г. Мухометова функция граничных расстояний dP(x,y), х,у G Г, однозначно и устойчиво определяет функцию р. В §5 предлагается простой метод восстановления р через угловой годограф. Метод близок к В С (boundary соп1го1)-методу М.И. Белишева, используемого при решении обратных задач для гиперболических уравнений [24].

Рассмотрим векторное поле мерном римановом многообра-

зии, такое, что соответствующий тензор деформаций пропорционален метрике, или в координатах:

i(Vj«j + Vjut) = -ffijSu. & ft

(4.10)

Траектории такого поля локально • задают однопараметрическую группу конформных преобразований метрики. В случае конформно-евклидовой метрики эта группа совпадает с группой конформных преобразований евклидова пространства Дп. При п = 2 она определяется векторным полем Коши-Римана (и1,«2),

ди1 ди2 дх1 ~ Зх2'

В нашем случае система (4.10) равносильна системе уравнений Коши-Римана. Векторное полей замечательно также тем, что производная Н (и, £) не зависит от

ди1 ди2 дх2 + дх1 ~

Я( «,0 = (du,Q = -Su.

Вернемся теперь к оператору По определению, fl^wdM = (/o/.w),

(4.11)

/■

м

где скобки в правой части означают скалярное произведение Шд+ЩМ)). Полагая / = ¿и, получим

в

J= -(10{5и),ы) + 2х У (и, 1/)(Л+и»)0 ¿Г.

Интеграл /о(£и) ввиду (4.5), (4.11) вычисляется в явном виде

10(6и) = -пА1Х, \(х,0 = (и(х),$.

Выберем произвольную гармоническую функцию Л. (Гармоничность в смысле оператора Лапласа-Бельтрами и гармоничность в смысле оператора Лапласа совпадают в нашем случае двумерной конформно-евклидовой метрики.) Обозначим через го*1 £ С%?{д+И(М)) решение уравнения (4.9), в котором - след на дМ сопряженной гармонической, функции Л». Тогда в силу теоремы 4.6 к = Цюн. В результате имеем равенство

У (и, ЧЬ)<1М = -2(Л1А,™Л) + 2тг У (и,1/)(АЬ11»Л)оЛ,>

правая часть которого вычисляется через угловой годограф для любого заданного поля Коши-Римана и и любой заданной гармонической функции к. Обозначим ее через ¿>и,/»[/>]- Поскольку йМ = рйх, то

5„,л[р] = I {и,ЧК)р<1х. м

Подберем и1, и2, Н так, чтобы свести дело к преобразованию Фурье от функции р. Положим

и1 = р2 ехр^х1 + Р2Х2), и2 = Р1 ехр^х1 + р2х2), Л = ехр(?1хг + д2®2)

с комплексными векторами р, д:

р = а_1_ + га,. д = -Ь± + гЬ, о,Ь€Д2, И = Ы, |ь| = |бх|.

Здесь знак ± означает поворот на прямой угол в Я2. Тогда

(Р2«1 +Р1Я2)

м

Устремляя Ь а, получаем преобразование Фурье функции умноженной на характеристическую функцию области М,

Тем самым задача восстановления р решена. Подчеркнем, что предлагаемая процедура решения нелинейной задачи сводится к двум линейным задачам: решению уравнения (4.9) и обращению преобразования Фурье.

[1] Аниконов Ю.Б. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1978.

[2] Аниконов Ю.Б. Формулы и неравенства в обратной кинематической задаче сейсмики // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 245, № 3. - С. 521-523.

[3] Аниконов Ю.Б. Обратная кинематическая задача сейсмики и. некоторые вопросы звездной динамики // Докл. АН СССР. -1980. - Т. 252, № 1. - С. 14-17.

[4] Аниконов Ю.Б. О классах единственности решения задач интегральной геометрии // Методы исследования некоторых задач математической физики. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1983. - С. 16,17.

[5] Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. - Новосибирск: Изд. НГУ, 1990.

[6] Аниконов Ю.Е., Романов В.Г. Об однозначности определения формы первого порядка ее интегралами по геодезическим // Некоторые математические задачи и проблемы геофизики. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1976. - С. 22-27.

м

Литература

[7] Бернштейн И.М., Гервер М.Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 243, № 2.

- С. 302-305.

[8] Бернштейн И.М., Гервер М.Л. Условия различимости метрик по годографам // Методы и алгоритмы интерпретации сейсмологических данных. Вычислительная сейсмология. - М.: Наука. - 1980. - Вып. 13. - С. 50-73.

[9] Бейлькин Г.Я. Единственность и устойчивость решения обратной кинематической задачи сейсмики // Краевые задачи

, математической физики и смежные вопросы теории функций. -Л.: Наука.-1979. - № 11. - С. 3-6 (Зап. науч. семинаров Ленин-гр. отдел. Мат. ин-та АН СССР, Т. 84).

[10] Бухгеим А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. -Новосибирск: Наука, 1983.

[11] Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. - М.: Мир, 1982.

[12] Мухометов Р.Г. О задаче интегральной геометрии // Математические проблемы геофизики. - 1975. - Вып. 6, ч. 2. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР. - С. 212-242.

[13] Мухометов Р.Г. Обратная кинематическая задача сейсмики // Математические проблемы геофизики. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР. - 1975. - Вып 6, ч. 2. - С. 243-252.

[14] Мухометов Р.Г. Задача восстановления двумерной римановой метрики и интегральная геометрия // Докл. АН СССР. - 1977.

- Т. 232, № 1. - С. 32-35.

[15] Мухометов Р.Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики // Сиб. мат. журн. - 1981. - Т. 22, № 3. - С. 119-135.

[16] Мухометов Р.Г., Романов В.Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в п-мерном пространстве // Докл. АН СССР. - 1978. - Т. 243, № 1. - С. 41-44.

[17] Попов Д.А. Обобщенное преобразование Радона на плоскости, его обращение и условия Кавальери // Функц. анализ и его прил.

- 2001. - Т. 35, вып. 4. - С. 38-53.

[18] Попов Д.А. Теорема Пэли-Винера для обобщенного преобразования Радона на плоскости // Функц. анализ и его прил. - 2003.

- Т. 37, вып. 3. - С. 65-72.

[19] Романов В.Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики // Докл. АН СССР. -1978. - Т. 241, № 2. - С: 290-293.

[20] Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. - М.: Наука, 1984.

[21] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. - М.: Наука, 1987.

[22] Хелгасон-С. Преобразование Радона. - М.: Мир, 1983.

[23] Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей. - Новосибирск: Наука, 1993.

[24] Belishev M.I. Topical review. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the ВС-method) // Inverse Problems. -

' 1997.'- Vol. 13. - P. 1-45.

[25] Belishev M.I. The Calderon problem for two-dimensional man' i'folds by the ВС-method // SIAM J. Math. Analysis. - 2003. -Vol. 35, № 1. - P. 172-182.

[26] Croke C.B. Rigidity for surfaces of non-positive curvature // Comment. Math. Helv. - 1990. - Vol. 65. - P. 150-169.

[27] Croke C.B. Rigidity and the distance between boundary points // J. Differential Geom. - 1991. - Vol. 33. - P. 445-464.

[28] Croke СВ., Dairbekov N.S., Sharafutdinov V.A. Local boundary rigidity of a compact Riemannian manifold with curvature bounded above // Trahs. Amer. Math. Soc. - 2000. - Vol. 352.

- P. 3937-3956.

[29] Elliasson H. Geometry of manifolds of maps // J. Differential Geom. - 1967. - Vol. 1, № 2. - P. 169-194.

[30] Lassas M., Uhlmann G. On determining a Riemannian manifold from the Dirichlet-to-Neumann map // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.

- 2001. - № 34. - P. 771-787.

[31] Michel R. Sur la rigidite imposee par lar longueur des geode-siques // Invent. Math. - 1981. - Vol. 65. - P. 71-83.

[32] Natterer F. A Sobolev spaces analysis of picture reconstraction // SIAM J. Appl. Math. - 1980. - Vol. 39. - P. 402-411.

[33] Rachele L. Uniqueness of the density in an inverse problem for isotropic elastodynamics // Trans. Amer. Math. Soc. - 2003. -№ 355. - P. 4781-4806.

Публикации автора

[34] Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Интегральная геометрия и структура римановых пространств // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 307, № 3. - С. 90-93.

[35] Аниконов Ю.Е., Пестов Л.Н. Формулы в линейных и нелинейных задачах томографии. - Новосибирск: Изд. НГУ, 1990.

[36] Пестов Л.Н. Первые интегралы геодезических конформной метрики и обратная кинематическая задача сейсмики // Вопросы корректности обратных задач математической физики. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1982. - С. 109-119.

[37] Пестов Л.Н. Задача интегральной геометрии для тензорных полей на геодезических римановой метрики // Методы исследования неклас -сических задач математической физики. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1985. - С. 90-94.

[38] Пестов Л.Н. Об определении одного свойства метрики по ее годографу // Вопросы корректности и методы исследования обратных задач.

- Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССР, 1986. - С. 103-106.

[39] Пестов Л.Н. О разрешимости задачи интегральной геометрии в круге // Методы исследований неклассических задач математической физики. - Новосибирск: Изд. ВЦ СО АН СССРу 1987;-С 99-105.

[40] Пестов Л.Н. Теоремы единственности в задаче лучевой томографии тензорных полей // Обратные задачи и информационные технологии.

- 2002. - Т. 1, № 1.'- С. 73-96.

[41] Пестов Л.Н. Вопросы корректности задач лучевой томографии. -Новосибирск: Сибирское научное изд-во, 2003.

[42] Пестов Л.Н., Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей на многообразии отрицательной кривизны // Докл. АН СССР. - 1987. - Т. 295, № 6. - С. 1318-1320.

[43] Пестов Л.Н., Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тензорных полей на многообразии отрицательной кривизны // Сиб. мат. журнал. - 1988. - Т. 29, № 3. - С. 114-130.

[44] Anikonov Ju.E., Pestov L.N. Integral geometry and structure of Riemannian spaces // J. Inv. Ш-Posed Problems. - 1993. - Vol. 1, <№ 3.

- P. 177-192.

[45] Pestov L.N., Uhlmann G. Two dimensional compact simple Riemannian manifolds are boundary distance rigid. - Berkeley, California, 2003.

- (Preprint / Math. Sci. Res. Inst., № 2003-006).

ПЕСТОВ Леонид Николаевич

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ РИМАНОВОЙ МЕТРИКИ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Лицензия № 020888 от 15.05.1995 г. Подписано в печать 02.02.2004 г.

Формат бумаги 60 х 841/1в Объем 2,0п. л., 2,2уч.-изд. п. Тираж 90 экз. Заказ №

Издательский центр ИВТ СО РАН Новосибирск-90, пр. Лаврентьева, 6

»- А539

Введение

Глава 1. Некоторые предварительные результаты из дифференциальной геометрии

1. Горизонтальная и вертикальная производные И

2. Горизонтальные тензорные поля

3. Дифференциальные и интегральные равенства

4. Геодезический поток и поля Якоби

Глава 2. Интегральная геометрия тензорных полей, вопросы единственности

1. Лучевое преобразование

2. Дифференциальные тождества и неравенства

3. и - простые метрики

4. Теоремы единственности

Глава 3. Сопряженное уравнение и угловой годограф

1. Угловой годограф и оператор

2. Символ оператора 1^1т

3. Теоремы сюръекции

4. Пространство C™(d+Q(M)) и теорема о складке

5. Угловой годограф и первые интегралы геодезических

Глава 4. Двумерные задачи 105 1. Геодезическое векторное поле и преобразование

Гильберта

2. О разрешимости скалярной и векторной задачи

3. Формулы обращения и уравнения Фредгольма

4. Граничная жесткость

5. Обратная кинематическая задача Список литературы

Интегральная геометрия - дисциплина, в которой изучаются вопросы восстановления функции, определенной на некотором многообразии по интегралам от нее но некоторому семейству подмногообразий меньшей размерности. В диссертации рассматриваются только те задачи интегральной геометрии, в которых интегрирование проводится вдоль геодезических некоторого односвязного компактного риманова многообразия с краем. Совокупность всех интегралов определяет лучевое преобразование функции. При этом интегрируемая функция может зависеть не только от точки многообразия, но и определенным образом от направления.

Рассматриваемые в диссертации задачи имеют важное значение как в приложениях, так и во внутриматематических вопросах. Они возникают в диагностике неоднородных сред (ультразвуковая томография в медицине, обратная кинематическая задача сейсмики в геофизике и т.д.), в теории обратных задач (например, при исследовании обратных задач для гиперболических уравнений и систем методом разделения особенностей [42], [68]). Отметим также проблему граничной жесткости римановых многообразий, возникающей в геометрии и имеющую тесные связи с задачами интегральной геометрии [58]-[60], [64], [66].

Если метрика задана, и, следовательно, геодезические известны, задачи интегральной геометрии линейны. При неизвестной метрике возникают нелинейные задачи. Наиболее важный пример - задача определения метрики д риманова многообразия (М,д) с краем дМ по расстояниям dg (х,у), х,у Е дМ между точками края. В случае, когда М - односвязная компактная область в а метрика конформно-евклидова, g{j = Sij/c2 эта задача известна как обратная кинематическая задача, возникающая в геофизике [42]. Здесь S{j - символ Кро-некера, с - скорость распространения упругих волн. В геофизике функцию dg(x,y), х,у 6 дМ (время распространения волн) называют годографом. В случае общей метрики мы также будет следовать этой терминологии и называть функцию dg (х,у), х,у 6 дМ годографом метрики g, а задачу опреде-* ления метрики g обратной кинематической задачей.

Хорошо изученный пример линейной задачи интегральной геометрии - лучевая задача Радона для евклидова пространства и многообразий постоянной кривизны. Здесь имеется развитая теория, включающая теоремы единственности, существования, формулы обращения и алгоритмы решения практических задач [44], [48],[65]. В. А. Шарафутдиновым [52] были получены аналогичные результаты при интегрировании по прямым функций, зависящих не только от точки, но от направления (в виде однородного полинома).

Случай общих римановых многообразий исследован значительно меньше. Первые важные результаты - теоремы един* ственности в двумерной линейной задаче и обратной кинематической задаче для конформно-евклидовой метрики были получены Р. Г. Мухометовым [23],[24],[25]. В дальнейшем метод Р. Г. Мухометова был распространен в работах Р. Г. Мухоме-това, В. Г. Романова [26],[27],[41], И. М. Бернштейна, М. Л. Гервера [11],[12] на случай компактных римановых и финсле-ровых многообразий с краем произвольной размерности. Линейные задачи, которые изучались в этих работах, касались случая, когда искомая функция зависела только от точки многообразия. Первый результат в задаче, когда искомая функция "линейно" зависит от направления £ был получен Ю. Е. Аниконовым [2] (в двумерном случае) и Ю. Е. Аниконовым и В. Г. Романовым [8] (для произвольной размерности). В этих работах было показано, что линейная форма fi определяется своим лучевым преобразованием с точностью до потенциальной формы (Vh (х) ,£) с постоянным потенциалом h на краю многообразия. Используемое во всех этих работах условие нормальной выпуклости многообразия, когда любые его две точки соединяет единственная геодезическая, до сих пор не удается ослабить.

Линейные задачи интегральной геометрии, рассматриваемые в диссертации, касаются случая, когда интегрируется функция /т, зависящая от пары (#,£), где х - точка пространства, £ - направление (единичный вектор скорости геодезической в точке ж), причем зависимость от £ выбирается в виде однородного полинома произвольной степени т > 0. Каждый такой полином порождается симметричным тензорным полем / той же степени. Множество всех интегралов (т.е. лучевое преобразование функции fm) определяет лучевое преобразование Imf поля /.

Задача об обращении лучевого преобразования симметричного тензорного ноля произвольной степени на многообразии неположительной кривизны впервые была рассмотрена в статье автора [29], где была приведена схема ее исследования. Затем в работе JI. Н. Пестова и В. А. Шарафутдинова [35] была доказана теорема о разложении симметричного тензорного поля на потенциальную и соленоидальную часть и получена оценка устойчивости соленоидальной части поля через его лучевое преобразование (также в случае многообразия неположительной кривизны). Потенциальная часть с постоянным потенциалом на краю многообразия аннулируется лучевым преобразованием. Позже этот результат был усилен в [51], где условие неположительности кривизны было заменено на некоторое условие интегрального характера на секционные кривизны.

Перечисленные результаты касались проблемы единственности в задачах интегральной геометрии тензорных полей. Вопросы разрешимости для общих римановых многообразий исследованы значительно меньше. В случае аналитической метрики и аналитической искомой функции необходимые и достаточные условия разрешимости двумерной скалярной задачи (т = 0) приведены в [2]. Для задачи в круге в случае кривых, достаточно близких к прямым в работах Д. А. Попова [36],[37] приведены формулы обращения и дано описание образа лучевого преобразования. Сложность проблемы разрешимости связана в первую очередь с переопределенностью задач, которая имеет место даже в размерности 2 [7]. С целью избавиться от переопределенности Ю. Е. Аниконовым было предложено рассмотреть более широкий класс искомых функций. Естественные расширения совпадают с ядром некоторого дифференциального оператора второго порядка Qmi т Е R [7],[54]. В частности, полином /ш, порожденный соленоидаль-ным тензорным полем, принадлежит KerQm при целом т. При таком расширении А. X. Амировым была доказана разрешимость задачи интегральной геометрии на многообразии неположительной кривизны [1].

Из нелинейных задач интегральной геометрии в диссертации рассматривается обратная кинематическая задача на двумерном римановом многообразии. Метрика д, вообще говоря, не определяется своим годографом dg (х,у), х,у G дМ. Известный пример неединственности решения обратной кинематической задачи строится с помощью произвольного диффеоморфизма tp : (М, g) —>■ (М, <р*д), тождественного на краю, (р\дм = id. Диффеоморфизм ip порождает новую метрику <р*д, изометричную д, т.е. он сохраняет расстояния dg (х,у) = dip*g (р (х) 7 У (?/)) между любыми точками ж, у G М. В частности, годографы обеих метрик совпадают. Вопрос о том, определяет ли годограф метрику с точностью до указанного диффеоморфизма составляет, так называемую, проблему граничной жесткости. Многообразие называется гранично жестким, если годограф определяет метрику с точностью до изомет-рии, тождественной на краю. Легко видеть, что это не единственный пример неединственности решения обратной кинематической задачи. А именно, можно построить такую метрику д и указать такую точку xq £ М, что d(xo,dM) > SUPх,уедм dg (х, у). Тогда годограф не изменится при изменении метрики g в окрестности точки xq. Поэтому необходимы дополнительные условия на метрику. Одно из таких условий состоит в том, что любые две точки многообразия М соединяет единственная геодезическая и край дМ - строго выпуклый относительно геодезических. Такое многообразие (метрика) называется простым (простой). Р. Мишелем (R. Michel) в [64] была высказана гипотеза о граничной жесткости простых многообразий. Известны следующие случаи решения проблемы граничной жесткости. Если одна из метрик плоская и годографы обеих метрик совпадают, то метрики изометричны [62]. Двумерное многообразие неположительной кривизны гранично жестко [58]. Если две метрики, удовлетворяющие некоторому условию на секционные кривизны, достаточно близки в классе С2 и имеют одинаковые годографы, то они изометрич-ны [60].

Как было доказано Р. Г. Мухометовым [24] в двумерном случае две простые конформно-евклидовы метрики совпадают, если они имеют одинаковые годографы. Позже им был установлен общий результат [26]: если (М, #г ), г = 1,2 - два простых многообразия и метрики pj, д<± из одного конформного класса (т.е. д\ — рд^ с положительной гладкой функцией р) имеют одинаковые годографы, то д\ — дТ.е. в этом случае диффеоморфизм (р тождествен. Другие результаты с помощью близких методов были получены в [10],[12],[15]. В монографии A. JL Бухгейма [13] доказана теорема разрешимости многомерной обратной кинематической задачи в классе аналитических функций.

Первая глава диссертации содержит краткое изложение основных сведений из дифференциальной геометрии векторных расслоений над римановым многообразием. В ней также развиваются основы теории горизонтальных тензорных полей на расслоении (произведении расслоений) единичных сфер над римановым многообразием, которая дает удобный аналитический аппарат для исследования задач интегральной геометрии.

Вторая глава посвящена вопросам единственности обращения лучевого преобразования симметричных тензорных полей. Она содержит как новые доказательства результатов работ [8],[12] (для скаляров и векторных полей), так и новые теоремы единственности для произвольной степени тензорного поля.

В третьей главе рассматривается вопрос о сюръективно-сти естественного сопряженного оператора Доказывается сюръективность в скалярной задаче (ш = 0) и аналогичный более слабый результат в векторном случае (m = 1). Эти результаты имеют важное значение при изучении вопросов разрешимости задач интегральной геометрии и исследовании обратной кинематической задачи.

В четвертой главе рассматриваются задачи интегральной геометрии на двумерном многообразии. Главным инструментом исследования здесь оказывается интегральное преобразование Гильберта на единичной окружности Qx С Тх касательного пространства в точке х. В случае евклидовой метрики метод преобразования Гильберта был использован в [31] и уже тогда была ясна его важная роль в изучении двумерных задач для римановой метрики. Но получение конкретных результатов упиралось в отсутствие теорем сюрьекции главы 3. Эффективность метода демонстрируется как в линейных, так и нелинейной задачах. Доказываются теоремы разрешимости для скалярной и векторной линейных задач. В случае двумерных многообразий постоянной гауссовой кривизны приводятся формулы обращения в скалярной и векторной задаче. Кроме того доказывается граничная жесткость простых двумерных многообразий. Для простого многообразия с конформно-евклидовой метрикой предлагается линейный метод решения обратной кинематической задачи, близкий к известному в теории обратных задач методу граничого управления М.И. Бе-лишева [55].

Ссылка в тексте типа (1.2.3) указывает на формулу (2.3) (а также лемму, теорему) главы 1, параграфа 2. Ссылка (2.3) означает то же для текущей главы.

1. Аниконов Ю. Е., Пестов Л. Н. Формгулы в линейных и нелинейных задачах томографии. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990.

2. Аниконов Ю. Е., Романов В. Г. Об однозначности определения формы первого порядка ее интегралами по геодезическим // Некоторые математическиезадачи и ириблемы геофизики. Новосибирск: Вычисл. центр СО АН СССР, 1976, с. 22-27.

3. АРНОЛЬД В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

4. БбрНШТЕЙН И. М., Гервер М. Л. О задаче интегральной геометрии для семейства геодезических и об обратной кинематической задаче сейсмики // Докл. АН СССР, 1978, Т. 243, № 2, с. 302-305.

5. БернштеЙИ И. М., Гервер М. Л. Условия различимости метрик по годографам // Методы и алгоритмы интерпретации сесмологических данных. Вычислительная сейсмология. М.: Наука, 1980, Вып. 13, с. 50-73.

6. БУХГЕЙМ А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи Новосибирск: Наука, 1983.

7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М: Физматгиз, 1958.

8. Гервер М. Л., Надирашвили Н. С. Условие изо-метричности римановых метрик в круге // Докл. АН СССР, 1984, Т. 275, № 2, с. 289-293.

9. ГРОМОЛ Д., КЛИНГЕНБЕРГ В., МЕЙЕР В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.

10. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.18. кирейтов в. р. Обратные задачи фотометрии. Новосибирск: Вычислит, центр СО АН СССР, 1983.19. клингенберг в. Лекции о замкнутых геодезических. М.: Мир, 1982.

11. Лионе Ж.-Л. МАДЖЕНИС Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

12. МУХОМЕТОВ Р. Г. Об одной задаче восстановления римановой метрики // Сиб. мат. журн., 1981, Т. 22, N5 3, с. 119-135.

13. Мухометов Р. Г., Романов В. Г. К задаче отыскания изотропной римановой метрики в п мерном пространстве // ДАН СССР, 1978, Т. 243, № 1, с. 4144.

14. ПЕСТОВ JI. Н. Первые интегралы геодезических конформной метрики и обратная кинематическая задача сейсмики // Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск: Вычисл. центр СО АН СССР, 1982, с. 109-119.

15. Пестов Л. Н., Шарафутдинов В. А. Интегральная геометрия тензорных полей на многообразии отрицательной кривизны // Сиб. мат. журнал, 1988, Т. 29, № 3, с. 114-130.

16. ПОПОВ Д. А. Обобщенное преобразование Радона на плоскости, его обращение и условия Кавальери // Функц. анализ и его прил., 2001, Т. 35, вып. 4, с. 38-53.

17. ПОПОВ Д. А. Теорема Пэли-Винера для обобщенного преобразования Радона на плоскости // Функц. анализ и его прил., 2003, Т. 37, вып. 3, с. 65-72.

18. Постников М. М. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971.

19. ПОСТНИКОВ М. М. Лекции по геометрии. Семестр

20. Гладкие многообразия. М.: Наука, 1987.

21. ПОСТНИКОВ М. М. Лекции по геометрии. Семестр

22. Дифференциальная геометрия. М.: Наука, 1988.41. романов В. Г. Интегральная геометрия на геодезических изотропной римановой метрики // Докл. АН СССР, 1978, Т. 241, № 2, с. 290-293.42. романов В. Г. Обратимые задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

23. ТЕЙЛОР М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.

24. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Тимонов А. А.Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.

25. ТРЕВ Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Т. 1. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1984.46. уорнер ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. М.: Мир, 1987.

26. XAPTMAH Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

27. ШАРАФУТДИНОВ В. А. Интегральная геометрия тензорных полей. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма, 1993.

28. ЭЙЗЕНХАРТ Л. П. Риманова геометрия. М.: Изд-во иностр. лит., 1948.

29. Anikonov J и. Е., Pestov L. N. Integral geometry and structure of Riemannian spaces //J. Inv. Ill-Posed Problems, 1993, V. 1 , № 3, p. 177-192.

30. BELISHEV M. I. Topical review. Boundary control in reconstruction of manifolds and metrics (the BC-method) // Inverse Problems, 1997, V. 13, p. 1-45.

31. BELISHEV M. I. The Calderon problem for two-dimensional manifolds by the ВС-method // SIAM J. Math. Analysis, 2003, V. 35 № 1, p. 172-182.

32. CALDERON A. P. On an inverse boundary value problem: Seminar on numerical analysis and its applications to continuum physics. Rio de Janeiro: Soc. Brasileira de Matematica, 1980, p. 65-73.

33. CROKE С. B. Rigidity for surfaces of non-positive curvature. // Comment. Math. Helv., 1990, V. 65, p. 150169.

34. CROKE С. B. Rigidity and the distance between boundary points // J. Differential Geom., 1991, V. 33, p. 445-464.

35. LASSAS M., UHLMANN G. On determining a Riemannian manifold from the Dirichlet-to-Neumann map // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 2001, № 34, p. 771-787.

36. MICHEL R. Sur la rigidite imposee par lar longueur des geodesiques // Invent. Math., 1981, V. 65, p. 71-83.

37. Pestov L. N., Uhlmann G. Two dimensional compact simple Riemannian manifolds are boundary distance rigid. Berkeley, California, 2003. (Prepr. / Math. Sci. Res. Inst., № 2003-006).

38. Stefanov P., Uhlmann G. Rigidity for metrics with the same lengths of geodesies // Math. Res. Lett., 1998, V. 5, № 1/2, p. 83-96.

39. UHLMANN G. Harmonic Analysis and Partial Differential Equations. Chicago: Univ. of Chicago Press, 1999, p. 295345.