Интегральные метрики и проекционные методы аппроксимации решений задач динамики тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. M.B. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

УДК 531: 519.6 + 534.0 + 517.5

РГБ ОД

Косенко Иван Иванович 'р '? 4

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТРИКИ И ПРОЕКЦИОННЫЕ МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

w\

Москва-2000

Работа выполнена на кафедре математического моделирования Московской государственной академии приборостроения и информатики

Научный консультант:

Доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Тхай

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

профессор Ю. Ф. Голубев

Доктор физико-математических наук,

профессор А. П. Иванов

Доктор физико-математических наук,

профессор А. П. Маркеев

Ведущее предприятие: Вычислительный центр РАН

Защита диссертации состоится " ОуР^о к _ 2000 г.

в 1600 час. на заседании диссертационного Совета по механике Д 053.05.01 в МГУ по адресу: 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан "¿-б " О. _ 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета Д 053.05.01 в МГУ доктор физико-математических наук

Д. В. Трещев

£Л3 6* Зе*?</,ОЛ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена применению интегральных метрик для описания решений задач динамики. Выполнено обоснование предложенных методов аппроксимации движений. В связи с применением интегральных метрик появилась возможность систематического использования для построения движений метода Ньютона. Итерационные процессы позволяют строить разнообразные семейства решений в неаналитических задачах, задачах с разрывными правыми частями, сингулярно возмущенных задачах, задачах, сводящихся к интегро-дифференци-альным уравнениям. Проведено исследование ряда конкретных задач механики.

Актуальность темы. Традиционно интегральные метрики в классической динамике применяются в контексте метода Галеркина для аппроксимации решений динамических задач, допускающих вариационную формулировку. В качестве базисных функций применяются тригонометрические функции, ортогональные полиномы, финитные функции метода конечных элементов (О. P. Agrawal, S. N. Atluri, С. D. Bailey, G. L. Chiringhelli, M. Baruch, M. Borri, D. L. Hitzl, M. Lanz, P. Mantegazza, F. J. Mello, R. Riff, S. Saigal, Т. E. Simkins). При этом вопросы сходимости приближений к точным решениям оставались не рассмотренными. Применялись интегральные метрики, обеспечивающие сходимость в среднем квадратичном.

В диссертации предложен метод редукции к конечномерным аппроксимациям для динамических систем общего вида. Строго обоснована сходимость решений систем Галеркина к точным решениям. При этом структура интегральных метрик обеспечивает равномерную сходимость в фазовом пространстве. Более того, можно обеспечить равномерную сходимость и для производных до заданного порядка включительно.

Метрики удается строить с учетом особенностей конкретных задач. Одновременно появляется возможность применения метода Ньютона для вычисления решений в возмущенных задачах. Итерационный процесс Ньютона допускает высокоэффективную численную реализацию.

Применение интегральных метрик позволяет при анализе свойств динамической системы избежать трудностей, возникающих из-за локальных нерегу-лярностей различной природы. Охватываются случаи неаналитичности в правых частях дифференциальных уравнений, допускаются разрывы первого и второго рода. Сюда относятся, в частности, системы с ударными взаимодействиями. Наконец, этим же методом можно воспользоваться и в случае динамики, описываемой интегро-дифференциальными уравнениями.

В упомянутых ситуациях применение методик, основанных на локальных свойствах решений, либо невозможно, либо затруднено. Поэтому возможность анализа динамической системы с единых позиций в задачах, допускающих нерегулярности различной природы, представляется актуальной.

Цель работы состоит в разработке метода аппроксимации решений задач динамики с применением интегральных метрик, обосновании этого метода и его применении в ряде конкретных задач.

Методы исследования. В теоретической части диссертации используются результаты М. А. Красносельского и др. о сходимости конечномерных аппроксимаций в методе Галеркина для нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве. Применяются стандартные методы функционального анализа, в особенности - различные формы теоремы о неявной функции. В прикладной части используются методы анализа устойчивости неавтономных линейных систем дифференциальных уравнений, методы гамильтоновой механики, вычислительные методы.

Научная новизна. Впервые предложена методика применения интегральных метрик для описания решений задач динамики. Интегральные метрики, использованные в данной работе, для аппроксимации движений в задачах классической динамики ранее не применялись. Метрики обеспечивают равномерную сходимость любого заданного порядка гладкости. В этой связи предложена методика построения конечномерных аппроксимаций решений задач динамики при помощи итерационного процесса Ньютона и интегральных метрик.

Также впервые проведено строгое обоснование методик конечномерной аппроксимации решений задач динамики при помощи интегральных метрик.

Предложена методика вычисления периодических решений с использованием интегральных метрик. Поставлена и решена задача о непрерывном продолжении колебательных движений спутника на эллиптической орбите по параметру эксцентриситета в предельном, сингулярно возмущенном, случае. Проведена регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом сил светового давления. Решена задача о непрерывном продолжении колебательных движений спутника на эллиптической орбите по параметру эксцентриситета в предельном, сингулярно возмущенном, случае с учетом сил светового давления. Проведено продолжение семейств симметричных периодических решений задачи о колебаниях спутника с учетом сил светового давления по параметру эксцентриситета вплоть до предельного значения.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов и согласованием выводов с известными результатами для ранее рассмотренных частных и предельных случаев.

Теоретическая и практическая ценность. Проведенное в диссертации обоснование сходимости приближенных решений к точным обеспечивает общую схему анализа решений динамических систем при помощи интегральных метрик. Теоретическая ценность состоит в активном использовании теоремы о неявной функции, точнее ее важнейших условий - невырожденности и непрерывности производной Фреше - для регуляризации процедур построения решений в подходящих пространствах функций при помощи метода Ньютона. Регулярность достигается ослаблением метрических свойств пространства. В этом случае остается возможность построения семейств решений, обладающих заданными свойствами, в зависимости от параметра возмущения.

В работе даны рекомендации по реализации алгоритмов построения семейств решений, зависящих от одного или нескольких параметров. Учитываются различные случаи нерегулярности. Показано, как следует подбирать функциональный базис, обеспечивающий регулярность итерационного процесса

Ньютона. Методика применения интегральных метрик для анализа динамических систем продемонстрирована на нескольких механических примерах: уравнении Матье, задаче Кеплера, задаче о колебаниях спутника на эллиптической орбите, задаче о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом момента сил светового давления (помимо гравитационного).

Результаты диссертация можно использовать в аналитической механике, теории колебаний, динамике полета, небесной механике для построения семейств решений, зависящих от параметра, и для анализа их свойств в неаналитических задачах, в задачах с разрывными правыми частями, сингулярно возмущенных задачах, задачах, сводящихся к интегро-дифференциальным уравнениям.

Основные результаты могут быть включены в руководства по теоретической механике, нелинейным колебаниям, динамике полета, небесной механике.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XIV научных чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С. П. Королева и других советских ученых - пионеров освоения космического пространства (Москва, 1990), на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики - 95" (Санкт-Петербург, 1995), на Втором симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, 1996), на Всероссийской конференции с международным участием "Компьютерные методы небесной механики - 97" (Санкт-Петербург, 1997), на Третьем международном симпозиуме по классической и небесной механике (Великие Луки, 1998), на семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям (руководители: проф. Дубинский Ю. А., проф. Амосов А. А., 1998), на VII международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецк, 1999), на XXIV академических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С. П. Королева и других выдающихся отечественных ученых - пионеров освоения космического пространства (Москва, 2000), на Вторых Поляхов-ских чтениях (Санкт-Петербург, 2000). Результаты также докладывались на семинарах в МГУ им. М. В. Ломоносова:

по аналитической механике и теории устойчивости (руководители: акад. В. В. Румянцев, чл.-корр. РАН В. В. Белецкий, проф. А. В. Карапе-тян; 1993 - 1999);

по динамике относительного движения (руководители: чл.-корр. РАН В. В. Белецкий, проф. Ю. Ф. Голубев, доц. К. Е. Якимова; 1997 - 1999);

по динамическим системам классической механики (руководители: чл.-корр. РАН В. В. Козлов, доц. С. В. Болотин; 1995, 1999);

по механике космического полета (руководители: проф. В. А. Егоров, чл.-корр. РАН В. В. Белецкий, доц. К. Г. Григорьев, проф. В. В. Сазонов; 1997 - 1999);

по вычислительной математике (руководители: акад. Н. С. Бахвалов, проф. Г. В. Кобельков; 1994).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Первые три главы составляют теоретическую часть работы, в остальных главах исследуются конкретные задачи. Работа изложена на 215 страницах, содержит 9 рисунков, список литературы состоит из 38 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении, помимо краткого обзора содержания диссертации, перечислены работы, ставшие исходной точкой диссертационных исследований. Внимание автора привлекло стремление механиков использовать при вычислении решений динамических задач проекционные методы по независимой переменной (времени). Иногда сами эти динамические задачи возникают как приближенные конечномерные описания континуальных пространственно распределенных систем.

Проекционные методы чаще всего применяются в контексте вариационных формулировок. Вопросы сходимости получающихся решений к точному обычно не рассматриваются. Достаточным оказывается сближение последова-

тельных итераций. Рассмотренные в перечисленных статьях методики реально обеспечивают сходимость в среднем квадратичном. Поэтому некоторые авторы были вынуждены перейти к слабой (weak) формулировке динамики. При этом одновременно с потерей равномерности аппроксимаций приобретаются выгоды от применения интегральных метрик, позволяющие "сглаживать" некоторые локальные нерегулярности.

Во введении представлено также краткое описание методов преодоления перечисленных проблем: обеспечение равномерности аппроксимации по фазовым переменным с сохранением интегральной структуры метрик, полное формальное обоснование предлагаемых методик.

В главе 1 рассмотрена первая модель трансформации задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) общего вида

x = X(f,x), х(/0) = х0 (1)

к нелинейному функциональному уравнению вида

У = Цу). (2)

Фазовая переменная х может меняться в области Q с R". Независимая переменная задается при помощи параметра f е [fo.fi]- Новое уравнение (2) имеет интегральный вид

у(/)= }х(г,х0 + у(г)Уг. (3)

'о

В качестве пространства решений уравнения (3) рассматривается подпространство Нхй функций пространства Соболева W/2'([f0,f1],R'1) = #1([/0,f1],R'1), удовлетворяющее условию y(fo) = 0. В этих условиях от функции правой части системы (1) достаточно потребовать лишь интегрируемости по Лебегу по независимой переменной. Интегральная метрика, задаваемая при помощи формулы

MS (4)

V'o 'о

определяет на пространстве решений гильбертову структуру. Сходимость в этой метрике автоматически обеспечивает равномерную сходимость в фазовом пространстве.

В главе 1 проверяются условия выполнимости теоремы М. А. Красносельского и др.1 об аппроксимации точного решения уравнения вида (2) в гильбертовом пространстве при помощи решений конечномерных систем Галеркина. Таким образом, обеспечивается формальное обоснование методик равномерной аппроксимации решения задачи Коши при помощи метрики вида (4).

В первом параграфе вводятся необходимые в дальнейшем понятия и проводится редукция к системе вида (2).

Во втором параграфе проверяются необходимые в дальнейшем некоторые факты из функционального анализа. Эти факты касаются свойств рассматриваемых пространств.

В третьем параграфе строится пример базиса пространства решений, ор-тонормированного в пространстве Соболева. Этот базис строится при помощи тригонометрических функций. Рассматривается также базис, состоящий из полиномов Чебышева первого рода. В этом случае полиномы второго рода обеспечивают аппроксимацию для производных от фазовых переменных.

В четвертом параграфе строятся операторы Рп : #¿ -> Л"* конечномерного проектирования, при помощи которых составляются системы уравнений Галеркина. В случае первой модели, рассматриваемой в главе 1, эти операторы обеспечивают косоугольное проектирование, сохраняющее свойство у(/о) = 0 для решений приближенных уравнений.

В пятом параграфе проверяется, что нелинейный оператор 1Ху) правой части уравнения (2) непрерывно дифференцируем по Фреше в своей области определения. Здесь для производной Фреше Т\у) выписывается явная формула, применяемая затем в вычислительных алгоритмах. Непрерывная обратимость

1 Красносельский М. А., Вайннюсо Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М: Наука, 1969.

оператора / - Г(у) проверяется при помощи свойств резольвенты для системы уравнений в вариациях, построенной на точном решении исходной системы (1).

Наконец, в шестом параграфе проверяются собственно условия аппроксимации, обеспечивающие выполнение используемой автором теоремы М. А. Красносельского. Наибольшую трудность при этой проверке вызывает условие аппроксимации для проекции производной Фреше на проекции точного решения задачи Коши. Это условие удается проверить при помощи известного свойства компактности оператора 7"(у) (и его производной Фреше Г(у)) и теоремы Банаха-Штейнгауза о равномерной сходимости последовательности линейных операторов. Таким образом, завершается доказательство следующего утверждения.

Теорема. Уравнение (2) имеет единственное решение у в пространстве Нд, если на отрезке существует единственное решение задачи Коши для уравнения (1).

Кроме того, существует такое £ > 0 и целое N. что при любом т > N уравнение Галеркина

У = РМ

имеет в шаре ||у — У111 5 £ единственное решение и справедлива оценка скорости сходимости

Ну- - У|Г * НУ-Л.УП1 + Ну.-^-уИ1 0 (и со)

Причем, при некоторых с\, с2 > 0 имеет место также двусторонняя оценка

с. ||ЛЛЛоО-АЛу)11' * Цут-Ллу1|' £ ||ллл,у) -ЛЛу)11'-

В седьмом параграфе рассматривается методика применения метода Ньютона для вычисления приближенных решений уравнения (2). Получены общие формулы для ньютоновского итерационного процесса в случае применения тригонометрического базиса. На каждом шаге задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений конечного порядка вида {1-РаТ\Г)){ур*1-Г) = -{1-РтТ\ур))

относительно вектора У*' {р + 1)-го приближения при известном векторе урр-го приближения.

В восьмом параграфе обсуждается способ вычисления вектора у0 начального приближения для "запуска" процесса Ньютона. Оказывается, что в типичной для механики ситуации теории возмущений это всегда возможно сделать. Упомянутый вектор вычисляется при помощи укорачивания разложения решения соответствующей невозмущенной задачи по функциям выбранного базиса. В параграфе рассмотрен вопрос оценки скорости сходимости итерационного процесса Ньютона, когда возмущение зависит от параметра /у (скалярного или векторного). В этом случае вместо уравнения (2) фактически рассматривается уравнение вида

зависящее от параметра, и его конечномерный вариант

у = РтТ{у,М).

Даются оценки скорости сходимости. Рассматривается случай аналитической зависимости оператора правой части от своих аргументов. Доказывается, что при достаточно малом /л сходимость галеркинских приближений к точному решению будет равномерной по этому параметру в метрике пространства .

В девятом параграфе показано, как можно использовать проекционный метод, если в возмущенной задаче предварительно сделать преобразование к стандартной по Н. Н. Боголюбову форме. Для вычисления решения преобразованной системы можно использовать метод простой итерации. В качестве примера рассмотрен случай гамильтоновой системы.

В главе 2 рассмотрена вторая модель редукции задачи Коши для системы ОДУ вида (1) к нелинейному функциональному уравнению вида (2). Переход осуществляется в пространство производных от фазовых переменных. Уравнение (2) принимает вид

у(0 = Х(Г,х0+ |у(гУг). (5)

'о

Отличие от методики главы 1 состоит в том, что при этом используется метрика

пространства = ¿,2([г0,Г1],11л). При последующем переходе к первообразным снова обеспечивается равномерная сходимость.

Легко видеть, что подходы главы 1 и главы 2 различаются в представлении оператора Т(у). В первом случае - сначала применяется нелинейный оператор правой части ОДУ, а затем - интегральный оператор. Во втором случае порядок действия этих операторов инвертирован. Использование такого подхода приносит определенные удобства, состоящие в том, что в пространстве Ьг достаточно просто строить различные ортогональные функциональные базисы. Для таких пространств хорошо развита теория суммирования рядов Фурье, применяемая в итерационных алгоритмах вычисления решения уравнения (5).

В первом параграфе обсуждается методика перехода в пространство производных от фазовых переменных. Если в качестве пространства решений использовать ¿2. то функции фазовых переменных окажутся в линейном подпространстве пространства абсолютно непрерывных функций.

Во втором параграфе рассматривается методика построения системы Га-леркина при помощи соответствующих операторов ортогонального проектирования Р„:1*2 —> И™ - в отличие от первой главы, где используется косоугольное проектирование. Строится область определения оператора правой части уравнения (5) в пространстве решений ¿2-

В третьем параграфе проверяется непрерывная дифференцируемость по Фреше в своей области определения нелинейного оператора 7Ху) правой части уравнения (5). Для производной Фреше Г(у) выписывается явная формула. Непрерывная обратимость оператора I - Т(у) проверяется так же, как и в главе 1, при помощи свойств резольвенты для системы уравнений в вариациях, построенной на точном решении исходной системы (1).

В четвертом параграфе проверяются условия аппроксимации, обеспечивающие выполнение упомянутой выше теоремы М. А. Красносельского. В данном случае оператор производной Фреше является оператором Гильберта-Шмидта и, следовательно, как и в главе 1, компактен. В дальнейшем изложение этого параграфа аналогично изложению шестого параграфа предыдущей главы. Теорема об аппроксимации формулируется аналогично приведенной выше. В ней нужно лишь пространство решений Н\ заменить на Li, а его норму ||-||' на норму Ц-Цг пространства Ьг. Следует заметить, что при внешней схожести методик обоснования подходов к аппроксимации решений системы (1) различия в алгоритмической реализации этих подходов оказываются значительными. Подход, описанный в главе 2 более прост, в частности, в адаптации к задачам с сингулярными возмущениями.

В пятом параграфе на основе полученных во второй главе результатов строится корректная методика проекционной аппроксимации решений задач с начальными данными в голономных механических системах. В этой связи обсуждаются работы О. P. Agrawal'a, S. A. Saigal'a, С. D. Bailey и D. L. Hitzl'a. Рассматриваются уравнения Лагранжа второго рода и система Гамильтона, связанные друг с другом при помощи преобразования Лежандра. Показано, что для обеспечения равномерной аппроксимации функций обобщенных координат q,{t) (/' = 1,...,л) и обобщенных скоростей qt(t) (/ = 1,...,л), с сохранением свойства связи между ними q,(t) = dq,{t)ldt, наилучшим образом подходят системы классических ортогональных многочленов. В достаточно простом и в то же время распространенном случае, когда матрица кинетической энергии состоит из постоянных элементов, доказано, что в случае выбора базиса из классических ортогональных многочленов системы Галеркина, составленные для ОДУ Лагранжа второго рода и Гамильтона, переходят друг в друга под действием преобразования Лежандра - как и их точные оригиналы. Некоторые из упомянутых авторов также применяют классические ортогональные многочлены - смещенные полиномы Лежандра.

В первых двух главах работы проекционный метод применялся главным образом для дифференциальных уравнений движения, разрешенных относительно старших производных. Приближения строились для решения задачи Ко-ши. В главе 3 в том же контексте проводится обоснование применимости проекционного метода для построения движения в лагранжевой механике. Никаких предположений о малости тех или иных функций не делается. Схема Галеркина для траектории в конфигурационном пространстве строится при помощи вариационного принципа Гамильтона. Класс допустимых путей, для которых рассматривается принцип, состоит из движений с фиксированными начальными и конечными положениями.

В первом параграфе проводится подготовка к дальнейшему изложению. Кинетическая энергия считается достаточно гладкой функцией своих

аргументов. Вектор-функция обобщенных сил может по переменной

времени быть лишь квадратично интегрируемой. Система уравнений Лагранжа

^„-т^д

приводится к эквивалентному вариационному виду

ДГ4(г,ч'(0,ч(/))- 1(гч (г, Ч(0,4(0) + (2(г, Ч(г), <,(г))>г, = О, (6) 'о\ 'о /

используемому в дальнейшем.

Во втором параграфе строится функциональное пространство путей. Для этого в конфигурационном пространстве выполняется преобразование я -> г, задаваемое по формуле

где - некоторый "невозмущенный" путь, считающийся известной функцией времени. Это может быть как решение краевой невозмущенной задачи так и искусственно построенная кривая или ломаная. Таким образом, пространство решений Я1 = Нх(00>'[]>К")строится как гильбертово пространство путей г : [fo.ii] И", удовлетворяющих краевым условиям

2(Го) = 2(Го) = о, , (7)

с метрикой, задаваемой при помощи нормы

Эта метрика так же, как и метрика, рассмотренная в главе 1, гарантирует абсолютную непрерывность функций из пространства решений. На самом деле

мы в приближенной схеме рассматриваем не все пространство Я1, а его подмножество П, состоящее из всех путей, образы которых лежат в заданной области В с Я" конфигурационного пространства. Множество О также является областью.

При помощи теоремы Рисса о представлении линейных непрерывных функционалов исходную краевую задачу удается привести к уже знакомому виду

г = г(г), (8)

где нелинейный оператор Z :0.-> Н1 задается при помощи матрицы кинетической энергии, ее производной по времени, вектора коэффициентов ее линейной части и вектора обобщенных сил.

В третьем параграфе рассматривается вопрос об ортогональном базисе в пространстве решений. Приводится пример полной тригонометрической системы, состоящей из одних синусов. Задаются соответствующие ортогональные проекторы на конечномерные подпространства.

В четвертом параграфе проверяется непрерывная дифференцируемость по Фреше оператора 2{г). Процесс проверки оказался достаточно трудоемким. Потребовались многочисленные оценки для остаточных членов в конечных разностях, задающих формулы для производных (самого оператора и его производных).

В пятом параграфе доказывается непрерывная обратимость оператора производной Фреше

в « -»Я1,

вычисленной на точном решении краевой задачи. Априори предполагается, что это точное решение существует и единственно. Задача свелась к проверке вопроса существования и единственности решения линейного интегрального уравнения, соответствующего системе в вариациях для уравнений Лагранжа второго рода, вычисленной на точном решении. Оказалось, что для обратимости достаточно выполнения следующего условия невырожденности: уравнение Фред-гольма второго рода

должно иметь в ¿2([/0,/1],R") только тривиальное решение v(/) а 0. Здесь a(t) является матрицей кинетической энергии, вычисленной на аппроксимируемом решении. Ясно, что в задачах теории возмущений это условие вполне поддается проверке.

В шестом параграфе проверяются условия аппроксимации, обеспечивающие выполнимость теоремы М. А. Красносельского. Наибольшую трудность здесь составляет проверка компактности оператора производной Фреше Z(z). При этом используются результаты предыдущего параграфа. Далее, как и в главе 1, при помощи теоремы Банаха-Штейнгауза проверяется условие аппроксимации для производной в операторной норме. Подводя итоги третьей главы, можно сформулировать следующий результат.

Теорема. Пусть на отрезке [г0,/|] существует и единственно решение q(0 краевой задачи для уравнения (6). Тогда, если q°(f) - путь в конфигурационном пространстве, соединяющий за время t\ - /о точки qo и qt, то уравнение (6) относительно функции q(/) эквивалентно уравнению (8) относительно функции г(/) = q(/) — q°(/)> удовлетворяющей условию (7).

Кроме того, если на аппроксимируемом решении z(f) выполнены условия невырожденности и непрерывной обратимости для уравнения (8), то существуют £> 0 и целое N такие, что при любом m > N уравнение Галеркина

'о

z = P„Z(z)

имеет е шаре ||г — г||° < е единственное решение гт, и справедлива оценка скорости сходимости

||2„, - г||° < \\г - Ртг ||° + - Ря 2||° -> О (м-* со)

Причем, при некоторых С\, С2> О имеет место также двухсторонняя оценка

Н^, -Ртг||° <с2 Дт (Д„ = \\Р„Ъ(Рпг)~ЛпВД||°).

В конце параграфа обсуждается методика реализации вычислений для приближенного построения решения краевой задачи в лагранжевой механике.

В главе 4 рассматриваются некоторые примеры приложений методов, развитых в трех предыдущих главах. В первом параграфе в качестве простейшего рассматривается пример уравнения Матье. Здесь применяется формализм аппроксимаций, описанный в главе 1. Проведена полная редукция задачи к конечномерной системе уравнений Галеркина. Характерной особенностью решений этой задачи является наложение колебаний с различными частотами: долгопе-риодической "зыби" и короткопериодической "ряби". Описанное поведение обнаруживается на больших временах эволюции. Применение точных численных методов, основанных на локальном представлении решения, здесь практически невозможно из-за требующихся значительных вычислительных ресурсов. Обычно в подобных ситуациях применяются комбинированные методики. Вначале исходная система "усредняется" в определенной области фазового пространства. Это позволяет построить долгопериодическую компоненту точного решения. Высокочастотные колебания затем вновь требуют использования численных методов.

С другой стороны, алгоритмы, основанные на применении интегральных метрик, позволяют, вне зависимости от области фазового пространства и точности выполнения резонансных соотношений, при определенном порядке аппроксимации получить приближенное решение. Вначале такой алгоритм "учтет" низкочастотные колебания, а затем, с ростом размерности аппроксимации будет все более точно приближать гармоники высших порядков.

Во втором параграфе рассмотрен пример плоской задачи Кеплера. Здесь главной целью было продолжение решений по параметру эксцентриситета при помощи подходящего варьирования начальных данных. Оказалось, что применение метода Ньютона для такого продолжения в пространствах с интегральными метриками нечувствительно к прохождению через предел Лапласа. Скорость сходимости итерационного процесса и точность приближения решения при этом не ухудшаются. Дело в том, что указанная методика не опирается на свойства аналитичности решений по параметру эксцентриситета. Для нормальной работы алгоритмов вполне достаточно непрерывности производной Фреше. Более того, применение метрик с весовыми функциями позволяет сохранить сходимость итерационного процесса и для случая сильно эллиптических орбит, вплоть до предельного случая, соответствующего траектории столкновения с гравитирую-щим центром.

В третьем параграфе предложена методика вычисления периодических решений динамических систем с использованием результатов главы 2. Эту методику удобно применять совместно с методом Ньютона для построения семейств периодических решений, зависящих от параметра. Использование интегральной метрики позволяет автоматически получать условия периодичности в результате итерационного процесса.

В четвертом параграфе рассмотрена аналогичная задача для случая ла-гранжевой механической системы. При этом используются результаты главы 3. Условия периодичности в конфигурационном пространстве обеспечиваются совмещением начальной и конечной точек траектории. В пространстве скоростей эти условия вычисляются из разложений Фурье с использованием интегральных метрик и соответствуют исчезновению коэффициентов с нулевыми номерами гармоник в упомянутых разложениях.

Глава 5 целиком посвящена решению одной задачи: поиску интегральной метрики, обеспечивающей непрерывное продолжение колебательных (и вращательных) движений спутника, центр масс которого движется по эллиптической орбите, по параметру эксцентриситета этой орбиты. По сути дела задача свелась

к проверке условий теоремы о неявной функции в специально подобранном нормированном пространстве при нулевом значении параметра е, связанном с эксцентриситетом формулой е = 1 - г2. В результате упомянутого подбора метрики удалось обеспечить регулярность итерационного процесса Ньютона при вычислении решений вплоть до предельного значения е - 1. В предельном случае обеспечиваемая алгоритмом сходимость будет автоматически равномерной на любом отрезке, не содержащем точки сингулярности.

В первом параграфе рассматривается постановка задачи. В конце параграфа уравнение плоских колебаний спутника приводится к виду

(l-ecosf)5-(esin/)ij + //cos2v(f)sin5-//sin2v(f)cosJ = 0, где t е [0,2/т] - эксцентрическая аномалия, используемая в качестве независимой переменной, 5 - удвоенный угол поворота спутника, отсчитываемый от направления на перицентр.

Во втором параграфе проводится подбор интегральной метрики, обеспечивающей в дальнейшем регулярность процедуры продолжения решений до предельного случая. Вначале задача приводится к системе ОДУ вида (1) в форме Коши

= хг

-(esinf)^-^cos2v(i)sin*| +//sin2v(f)cosx, ~ -

1 - е cos f

Затем в соответствии с методикой главы 2 эта система приводится к виду (5). Пространство решений строится в виде множества

Y = [0,2tt]x [0,2л-], где весовые функции подбираются при помощи формул: W](t) = 1 - cos f, 02(f) = (1-cosf)2.

Центральным результатом параграфа является следующее утверждение.

Теорема. Пространство Y инвариантно относительно действия оператора правой части уравнения (5) при любом фиксированном значении параметра е е [-1,1].

В третьем параграфе проверяются свойства непрерывности этого оператора. В четвертом параграфе проверяется его дифференцируемость по Фреше. Отдельно, в пятом параграфе, исследуется непрерывность этой производной. Оказывается, производная в операторной норме, построенной на пространстве У, непрерывной не является. Однако непрерывность имеет место в более слабой топологии пространства Фреше, построенной при помощи бесконечной системы преднорм на отрезках, компактно включенных в интервал (0,2л-).

В шестом параграфе проверяется непрерывная обратимость оператора I -Т(у), вычисленного на продолжаемом по параметру эксцентриситета решении. Задача сводится к исследованию уравнения в вариациях для исходной системы ОДУ. Точнее следует исследовать асимптотические свойства решений системы в вариациях с неоднородным членом при приближении к особой точке. Применяя специальным образом подобранное преобразование, удается получить равномерную оценку для решений линейной системы, обеспечивающую существование обратного к / — Т\у) оператора и его непрерывность. На этом проверка условий теоремы о неявной функции заканчивается.

В главе 6 рассмотрена более трудная, чем в предыдущей главе, задача. Предполагается, что на спутник кроме гравитационного момента действует момент от сил давления параллельного светового потока. При этом мы имеем неаналитические правые части системы ОДУ, и известные методы анализа предельных случаев, опирающиеся на аналитические свойства правых частей, здесь не работают. В данной главе проведена регуляризация предельной задачи, соответствующей параболической орбите центра масс. Подобраны интегральные метрики, обеспечивающие непрерывность при продолжении решений по параметру эксцентриситета орбиты е при е —> 1. Известные семейства симметричных периодических решений продолжены до предельного случая. Найдены соответствующие предельные двояко асимптотические решения.

В первом параграфе, как и в предыдущей главе, проводится анализ уравнений движения. Исследование начинается с уравнения В. В. Белецкого, в пра-

вой части которого добавлен член, возникающий вследствие наличия момента от светового потока

(1 + ecosv)S" - (2esinv)S' + psiu(S - 2v) = c(l + e)3 д$ _ 2(p),

(l + ecosv)

где v € [~тг,я] - истинная аномалия, используемая в качестве независимой переменной, S- удвоенный угол поворота спутника, отсчитываемый от направления на перицентр, ср - азимут источника света, отсчитываемый от направления на перицентр, с - безразмерная характеристика отражательных свойств спутника. Вклад светового давления учитывается при помощи один раз непрерывно дифференцируемой функции

1-cosa при siny>0

. • а л"

-1 + C0SG при sin—<0

Для реализации программы анализа задачи, аналогичной проведенной в предыдущей главе, следует изучить свойства предельной задачи, соответствующей случаю е=\. Оказалось, что предельную задачу удобнее всего изучать, используя "регулярную" независимую переменную - исходное физическое время. Соответствующая динамическая система имеет третий порядок

8 9 (у)

V = 2~3/2(1 + созу)3 Во втором параграфе проведен полный динамический анализ предельной задачи (когда е = 1). В этом случае исследована автономная система с одной степенью свободы, соответствующая вращению спутника в апоцентре. Она получается из (9) при V -> л. Фазовый портрет аналогичен портрету для маятника. Для исследования системы (9) она формально расширяется до гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при помощи процедуры Лиувилля. Полученная каноническая система автономна и имеет интеграл энергии. Оказалось, что этот интеграл можно использовать для доказательства того, что все фазовое пространство системы (9) расслаивается на инвариантные поверхности, заполнен-

ные траекториями, асимптотически приближающимися к соответствующим траекториям автономной при v= л-системе с одной степенью свободы. Причем указанная сходимость равномерна. Ее скорость оценена.

В третьем параграфе проводится редукция, аналогичная редукции, выполненной в предыдущей главе. Подбирается интегральная метрика пространства решений Y = L^ [-л-.я^х/.®2 [-т.я1], обеспечивающая возможность продолжения решений по параметру эксцентриситета (точнее по s = ±Vl - е). Оказалось, что соответствующие проверки будут выполняться, если положить, что весовые функции выбраны в виде a>\(t) = (1 + cos v)7, a>i(J) = (1 + cos v)8.

В четвертом параграфе рассматривается частный случай обратимости динамической системы в данной задаче. При этом параметр <р— 0, и источник светового потока лежит в точности на линии перицентра. Известные семейства симметричных периодических решений, соответствующих колебаниям спутника, продолжаются вплоть до предельного значения параметра s = 0. При этом периодическое решение переходит в пределе в двояко асимптотическое решение, соответствующее сепаратрисе предельной системы, когда v = яг. Дано качественное описание эволюции периодических решений из строящегося семейства при £-> 0.

АВТОР ВЫНОСИТ НА ЗАЩИТУ СЛЕДУЮЩИЕ НАУЧНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

I. Методика применения интегральных метрик для описания решений задач динамики.

В метриках используются производные от фазовых переменных, что обеспечивает равномерную сходимость в фазовом пространстве. Более того, такие метрики позволяют добиться равномерной сходимости любого заданного порядка гладкости. Одновременно обеспечивается возможность автоматически учитывать наличие локальных нерегулярностей различной природы: разрывов первого и второго рода по фазовым переменным и времени в правых частях

дифференциальных уравнений. Методика позволяет строить решения интегро-дифференциальных уравнений. ,.,,.

II. Методика построения конечномерных аппроксимаций решений задач динамики при помощи итерационного процесса Ньютона и интегральных метрик.

Применение интегральных метрик позволяет использовать метод Ньютона для вычисления решений при помощи продолжения этих решений по параметру возмущения. В качестве параметров можно, в частности, использовать величины начальных данных. Для практических целей итерационный процесс Ньютона применяется к конечномерной системе уравнений Галеркина, соответствующей точному нелинейному уравнению в пространстве с интегральной метрикой.

III. Строгое обоснование методик конечномерной аппроксимации решений задач динамики при помощи интегральных метрик.

Доказана сходимость решений конечномерных систем Галеркина к точным решениям динамических задач. Использованы результаты М. А. Красносельского и др. о сходимости конечномерных аппроксимаций в методе Галеркина для нелинейных уравнений в гильбертовом пространстве. Получено формальное обоснование применимости проекционных методов для широкого класса задач динамики.

IV. Методика вычисления периодических решений с использованием интегральных метрик.

Эту методику удобно применять совместно с методом Ньютона для построения семейств периодических решений, зависящих от параметра. Использование интегральной метрики позволяет автоматически получать условия периодичности в результате итерационного процесса - среднее значение производной от фазовой переменной является одновременно коэффициентом с нулевым номеров в разложении Фурье для этой производной.

V. Решение задачи о непрерывном продолжении колебательных движений спутника на эллиптической орбите по параметру эксцентриситета в предельном, сингулярно возмущенном, случае.

С использованием весовых функций найдена интегральная метрика, обеспечивающая регулярное поведение метода Ньютона при продолжении решений по параметру эксцентриситета вплоть до предельного значения, равного единице.

VI. Регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на эллиптической орбите с учетом сил светового давления.

Регуляризация проведена для уравнения В. В. Белецкого, дополненного членом, возникающим вследствие момента от светового потока. Дополнительное слагаемое не является функцией, аналитической по фазовым переменным. Полностью изучена структура фазового пространства неавтономной задачи.

VII. Решение задачи о непрерывном продолжении колебательных движений спутника на эллиптической орбите по параметру эксцентриситета в предельном, сингулярно возмущенном, случае с учетом сил светового давления.

Подобраны весовые функции, обеспечивающие регулярное поведение метода Ньютона при продолжении решений по параметру эксцентриситета вплоть до предельного значения, соответствующего параболической орбите спутника.

VIII. Продолжение семейств симметричных периодических решений задачи о колебаниях спутника с учетом сил светового давления по параметру эксцентриситета вплоть до предельного значения.

Задача решена в частном случае обратимости динамической системы. При этом источник светового потока лежит в точности на линии перицентра. Известные семейства симметричных периодических решений, соответствующих колебаниям спутника, продолжаются вплоть до предельного значения эксцентриситета, равного единице. При этом периодическое решение переходит в пределе в двояко асимптотическое решение.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. О построении фазовых траекторий гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия. // ПММ, т. 53, Вып. 4, 1989, с. 531 - 538.

2. О применении многочленов Чебышева для построения траектории возмущенного движения в нелинейной механике. // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 1. С. 32-38.

3. О методе Галеркина в нелинейной механике. // ДАН. 1994. Т. 335. № 5. С. 586-588.

4. О применении метода Галеркина в динамике Лагранжа. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. I.e. 10-20.

5. Аппроксимация решений в краевых задачах лагранжевой механики. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. с. 540 - 552.

6. Метод Галеркина для аппроксимации решений в задачах небесной механики. // Космич. исслед. 1997. Т. 35. N. 4. с. 487-494.

7. Проекционный метод вычисления периодических решений в возмущенных задачах механики. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: Вычислительный центр РАН, 2000, с. 51-60.

8. О выполнимости условий теоремы о неявной функции в предельной задаче для уравнения колебаний спутника на эллиптической орбите. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 2. М.: Вычислительный центр РАН, 2000, (принято в печать).

9. Регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на кеплеро-вой орбите с учетом светового давления. // Вторые Поляховские чтения. Избранные труды. Под ред. С. К. Матвеева. Санкт-Петербург: 2000, (принято в печать).

Введение 1

1 Теорема об аппроксимации. Модель 1. 9

§1 Предварительные замечания.9

§2 Функциональная модель.11

§3 Построение функционального базиса.16

§4 Схема Галеркина.20

§5 Леммы о дифференцируемости и непрерывной обратимости.22

§6 Проверка условий теоремы.26

§7 Метод Ньютона.28

§8 Теория возмущений.35

§9 Теория возмущений. Преобразование переменных. 43

2 Теорема об аппроксимации. Модель 2. 51

§1 Редукция в пространство производных.51

§2 Функциональная модель.55

§3 Леммы о дифференцируемости и непрерывной обратимости.57

§4 Проверка условий аппроксимации.60

§5 Метод Галеркина в динамике Гамильтона и Лагранжа.63

3 Двухточечная краевая задача в динамике Ла-гранжа. 77

§1 Формулировка задачи.77

§2 Функциональная модель.79

§3 Функциональный базис.84

§4 Дифференцируемость.86

§5 Непрерывная обратимость. 104

§6 Условия аппроксимации.115

Известны различные методы приближенного построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Из них можно выделить два класса: численные и аналитические. К первым относится методика представления функций "по точкам" — в виде дискретного набора значений решения и дискретного набора значений аргумента — "времени". Эта методика аппроксимации получила значительное распространение на практике. В настоящее время имеются высокоэффективные численные методы построения решений дифференциальных уравнений. Все они восходят к так называемому методу ломаных Эйлера.

В численных методах имеется недостаток, создающий неудобства в задачах динамики — при изменении начальных условий траекторию следует строить заново. Таким образом, в решении, заданном таблично и построенном численно, отсутствует качественная информация о свойствах динамической системы. Кроме того, в этом случае всегда имеется неизбежное "расползание" от точки к точке строящегося решения от точного вследствие накопления ошибок.

В определенном смысле альтернативный подход доставляют аналитические методы получившие широкое распространение в динамике. Здесь точное решение аппроксимируется сразу на всем отрезке времени с использованием аналитических свойств того или иного класса функций. Эти функции обычно являются решениями задачи, близкой к исследуемой и наследуют определенную информацию о динамической системе "в целом". Начальные условия при этом играют роль параметров в процедурах аналитического построения приближений.

В рамках декларированных свойств метод Галеркина следует отнести к классу аналитических методов. Здесь решение аппроксимируется сразу на всем отрезке своего определения с использованием функций, составляющих базис в гильбертовом пространстве с подходящей метрикой. При этом можно использовать нелинейное интегральное уравнение вида уМ = /У(т,у(т))А- (1) 0 эквивалентное задаче Коши для дифференциального уране-ния у = У(*,у), у(*0) = 0

Метод Галеркина допускает простую численно-аналитическую реализацию. Соответствующие алгоритмы имеют достаточно гибкую структуру. Можно варьировать различные функциональные базисы, подбирать интегральные метрики, обеспечивающие наилучшее качество используемых итерационных процессов.

Вектор начальных условий Хо исходной задачи Коши х = Х(*,х), х(г0)=х0 (2) является параметром уравнения (1) у) = Х(£,хо + у)).

Для решения уравнения (1) можно применить метод Пика-ра, являющийся в этом случае методом простой итерации. Тогда, однако, сходимость, обеспечиваемая сжимаемостью оператора правой части (1), гарантируется лишь локально, для достаточно малых отрезков времени. Для построения решения на всем отрезке [¿о, ¿1] его определения требуется очевидным образом "склеивать" локальные аппроксимации. Тем самым задача аналитического построения решения сразу на всем отрезке [¿о, tl] не может быть достигнута.

Трудности могут быть преодолены, если мы рассмотрим решение в подходящей гильбертовой метрике для функций, определенных на отрезке [¿о?^]- В этом случае оператор правой части (1) определен в целой области соответствующего функционального пространства, содержащей точное искомое решение. Далее следует уравнение (1) представить в операторном виде

Ну) = о (3) где

Пу) = У - Т( у), (Г(у))(*) = / У (г, у(т))е1т (4) 0 и применить для решения (3) метод Ньютона в упомянутой функциональной метрике.

На самом деле, вместо решения (3) в бесконечномерном функциональном пространстве нужно в соответствии с методом Галеркина решать проекцию (3) на конечномерное пространство.

Начальное приближение для метода Ньютона обеспечивается в рамках теории возмущений при помощи разложения по базисным функциям решения невозмущенной задачи (предполагаемого известным).

В главе 1 рассматривается метрика пространства Соболева где п — размерность вектора у(£).

Сходимость в такой метрике приводит к равномерной сходимости по фазовым переменным. При этом для производных получим среднеквадратичную сходимость.

Удобство предлагаемого подхода состоит в том, что на каждом шаге итерационного процесса Ньютона следует вычислять решение системы линейных уравнений, получаемой в виде конечномерной проекции системы ОДУ в вариациях. Алгоритм приобретает прозрачную форму, легко реализуемую в рамках систем компьютерной аналитики.

В данной главе рассмотрены оценки скорости сходимости итерационного процесса Ньютона при построении семейств решений, зависящих от параметра (параметров) задачи. Установлены условия равномерности по параметру для сходимости конечномерных приближений к точному решению. Рассмотрен случай аналитичности оператора правой части в пространстве с интегральной метрикой.

В главе 2 рассмотрен аналогичный подход к уравнению, получаемому из (2) при помощи перехода в пространство производных и имеющему вид г у(*) = Х(*,хо + /у(г)А-) (5) о

Отличие от методики главы 1 состоит в том, что при этом используется метрика пространства ¿2 ([¿о? ¿х], К"). При последующем переходе к первообразным снова получаем равномерную сходимость. В отличие от (4) оператор левой части (3) имеет вид

Пу) = У - Г(у)> (Т(у)Ш = Х(<, х0 + 1 у(т)йт) (6) и

Легко видеть, что подходы главы 1 и главы 2 различаются в представлении оператора Т{у). В первом случае сначала применяется нелинейный оператор правой части ОДУ, а затем — интегральный оператор. Во втором случае порядок действия этих операторов инвертирован. Использование такого подхода доставляет определенные удобства, состоящие в том, что в пространстве ¿2 ([¿о, , К") достаточно просто строить различные ортогональные функциональные базисы. Для таких пространств хорошо развита теория суммирования рядов Фурье, применяемая в итерационных алгоритмах вычисления решения уравнения (3).

В конце главы 2 рассмотрены вопросы применения интегральных метрик для приближенного вычисления движений механических систем в рамках лагранжевой и гамильтоновой динамики.

В главе 3 описанный формализм применяется к задаче приближенного построения решения двухточечной краевой задачи в механике Лагранжа. Вначале применяется стандартное представление принципа Гамильтона. Затем условия экстремальности функционала действия на решении преобразуются к системе интегральных уравнений, сводящихся в итоге к нелинейному функциональному уравнению вида (3), где

Р(у)ХО = (ВС1(у))(*), (ВСх)(<) = и(т)йт

1(у ))(*) = Тф у(*),уМ)-<0

-/ (Ту (г, у(т),у(т)) + (2 (г, у(г),у(т))) ¿т где Т(£, у, у) — кинетическая энергия, у, у) — вектор обобщенных сил. В случае лагранжевой системы вектор неизвестной функции у(1) имеет размерность конфигурационного пространства задачи. Краевые условия редуцированы к виду у (к) = у (к) = о

Метрика цу||° = (]ыт**

Чо о пространства решений Н1 ([¿о, ¿1], К-") задает на нем гильбертову структуру. Сходимость в этой метрике достаточна для равномерной сходимости функций обощенных координат у(£) на отрезке [¿о?^]- При этом обобщенные скорости будут сходиться в среднем квадратическом.

Оказалось, что для сходимости конечномерных аппроксимаций Галеркина к точному решению краевой задачи достаточно выполнимости следующего условия невырожденности: уравнение Фредгольма второго рода у(«)-/а(<)(й-1(г))У(г)<гг = 0 (7) 0 должно иметь в £2 ([¿о? ¿1] > только тривиальное решение = 0. Здесь а(£) является матрицей кинетической энергии, вычисленной на аппроксимируемом решении. Ясно, что в задачах теории возмущений условие (7) вполне поддается проверке.

В главе 4 рассматриваются некоторые примеры приложений методов, развитых в первых трех главах. В качестве простейшего рассматривается пример уравнения Матье. Здесь применяется формализм аппроксимаций, описанный в главе 1. Проведена полная редукция задачи к конечномерной системе уравнений Галеркина. Характерной особенностью решений этой задачи является наложение колебанний с различными частотами: долгопериодической "зыби" и короткопери-одической "ряби". Описанное поведение обнаруживается на больших временах эволюции. Применение точных численных методов, основанных на локальном представлении решения, здесь практически невозможно из-за требующихся значительных вычислительных ресурсов. Обычно в подобных ситуациях применяются комбинированные методики. Вначале исходная система "усредняется" в определенной области фазового пространства. Это позволяет построить долгопериодическую компоненту точного решения. Высокочастотные колебания затем вновь требуют использования численных методов.

С другой стороны, алгоритмы, основанные на применении интегральных метрик позволяют вне зависимости от области фазового пространства и точности выполнения резонансных соотношений при определенном порядке аппроксимации получить приближенное решение. Вначале такой алгоритм "учтет" низкочастотные колебания, а затем, с ростом размерности аппроксимации будет все более точно приближать гармоники высших порядков.

Во втором параграфе рассмотрен пример плоской задачи Кеплера. Здесь главной целью было продолжение решений по параметру эксцентриситета при помощи подходящего варьирования начальных данных. Оказалось, что применение метода Ньютона для такого продолжения в пространствах с интегральными метриками нечувствительно к прохождению через предел Лапласа. Скорость сходимости итерационного процесса и точность приближения решения при этом не ухудшаются. Дело в том, что указанная методика не опирается на свойства аналитичности решений по параметру эксцентриситета. Для нормальной работы алгоритмов вполне достаточно непрерывности производной Фреше. Более того, применение метрик с весовыми функциями позволяет сохранить сходимость итерационного процесса и для случая сильно эллиптических орбит, вплоть до предельного случая, соответствующего траектории столкновения с гравитирующим центром.

В §3 главы 4 предложена методика вычисления периодических решений динамических систем с использованием результатов главы 2. Эту методику удобно применять совместно с методом Ньютона для построения семейств периодических решений, зависящих от параметра. Использование интегральной метрики позволяет автоматически получать условия периодичности в результате итерационного процесса. В §4 рассмотрена аналогичная задача для случая лагранжевой механической системы. При этом используются результаты главы 3. Условия периодичности в конфигурационном пространстве обеспечиваются совмещением начальной и конечной точек траектории. В пространстве скоростекй эти условия вычисляются из разложений Фурье с использованием интергаль-ных метрик и соответствуют исчезновению коэффициентов с нулевыми номерами гармоник в упомянутых разложениях.

Глава 5 целиком посвящена решению одной задачи: поиску интегральной метрики, обеспечивающей непрерывное продолжение колебателных (и вращательных) движений спутника, центр масс которого движется по эллиптической орбите, по параметру эксцентриситета этой орбиты. По сути дела задача свелась к проверке условий теоремы о неявной функции в специально подобранном нормированном пространстве при нулевом значении параметра е, связанном с эксцентриситетом по формуле е = 1 — е2. В результате упомянутого подбора метрики удалось обеспечить регулярность итерационного процесса Ньютона при вычислении решений вплоть до предельного значения е = 1. В предельном случае обеспечиваемая алгоритмом сходимость будет автоматически равномерной на любом отрезке, не содержащем точки сингулярности.

В главе б рассмотрена более трудная, чем в предыдущей главе задача. Предполагается, что на спутник кроме гравитационного момента действует момент от сил давления параллельного светового потока. При этом мы имеем неаналитические правые части системы ОДУ, и известные методы анализа предельных случаев, опирающиеся на аналитические свойства правых частей здесь не работают. В данной главе проведена регуляризация предельной задачи, соответствующей параболической орбите центра масс. Подобраны интегральные метрики, обеспечивающие непрерывность при продолжении решений по параметру эксцентриситета орбиты е при е —> 1. Известные семейства симметричных периодических решений продолжены до предельного случая. Найдены соответствующие предельные двоякоасимптотические решения.

Подходы к приближенному построению движений при помощи конечномерных галеркинских приближений в различных задачах механики рассматривались в работах [32, 33, 34, 38]. Интегральные метрики, использованные в данной работе, для аппроксимации движений в задачах классической динамики ранее не применялись. Впервые дано строгое обоснование корректности соответсвующих методов построения решений. В связи с применением интегральных метрик появилась возможность систематического использования для построения движений метода Ньютона. Такая техника позволяет строить разнообразные семейства решений в неаналитических задачах, задачах с разрывными правыми частями, сингулярно возмущенных задачах, задачах, сводящихся к интегро-дифференциальным уравнениям.

1. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. // В кн. Совр. пробл. мат. Фундаментальные направления. Т. 3. — М.: ВИНИТИ, 1985. 304 стр.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилинра, ортогональные многочлены. М: Наука,-1966, — 296с.

3. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. — М: Наука, 1965. — 416с.

4. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. — М: Изд-во Моск. ун-та, 1975. — 308с.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М: Наука, 1967. — 472с.

6. Демин В. Г., Косенко И. И., Красильников П. С., Фур-та С. Д. Избранные задачи небесной механики. — Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999. — 210с.

7. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. — М: Наука, 1968. — 800с.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М: Наука, 1972. — 496с.

9. Косенко И. И. О построении фазовых траекторий гамиль-тоновой системы в окрестности положения равновесия. // ПММ, т. 53, Вып. 4, 1989, с. 531—538.

10. Косенко И. И. О применении многочленов Чебышева для построения траектории возмущенного движения в нелинейной механике. // ПММ. 1991. Т. 55. Вып. 1. С. 32—38.

11. Косенко И. И. О методе Галеркина в нелинейной механике. // ДАН. 1994. Т. 335. N. 5. С. 586—588.

12. Косенко И. И. О применении метода Галеркина в динамике Лагранжа. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 1. с. 10—20.

13. Косенко И. И. Аппроксимация решений в краевых задачах лагранжевой механики. // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 4. с. 540—552.

14. Косенко И. И. Метод Галеркина для аппроксимации решений в задачах небесной механики. // Космич. исслед. 1997. Т. 35. N. 4. с. 487—494.

15. Косенко И. И. Проекционный метод вычисления периодических решений в возмущенных задачах механики. // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. Часть 1. М.: Вычислительный центр РАН, 2000, с. 51—60.

16. Косенко И. И. Регуляризация предельной задачи о колебаниях спутника на кеплеровой орбите с учетом светового давления. // Вторые Поляховские чтения. Избранныетруды. Под ред. С. К. Матвеева. Санкт-Петербург: 2000, (принято в печать).

17. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. — М: Наука, 1969. — 456с.

18. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. — М: Наука, 1986. — 232с.

19. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа. — М: Высш. школа, 1982. — 271с.

20. Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. — М: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985. — 416с.

21. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М: Изд-во Моск. ун-та, 1984. — 136с.

22. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М: Наука, 1970. — 332с.

23. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Том I. Новые методы небесной механики. — М: Наука, 1971. — 771с.

24. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М: Мир, 1979. — 589с.

25. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М: Наука, 1980. — 496с.

26. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М: Наука 1985. — 224с.

27. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М: Наука, 1969. — 576с.

28. Шварц Л. Анализ. Т.1. — М: Мир, 1972. — 824с.

29. Шварц Л. Анализ. Т.2. — М: Мир, 1972. — 528с.

30. Agrawal О. P., Saigal S. A novel, computationally efficient, approach for Hamilton's law of varying action. // International journal of mechanical sciences. Vol. 26, No. 4, 1986, pp. 285—292.

31. Bailey C. D. A new look at Hamilton's Principle. // Foundations of physics. Vol. 5, No. 3, 1975, pp. 433—451.

32. Bailey C. D. On a more precise statment of Hamilton's principle. // Foundations of physics. Vol. 11, Nos. 3/4, 1981, pp. 279—296.

33. Bruno A. D., Varin V. P. The Limit Problems for the Equation of Oscillations of a Satellite. // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. Vol. 67, 1997, pp. 1—40.

34. Flanagan R. C., Modi V. J. Attitude Dynamics of a Gravity Orientated Satellite under the Influence of Solar Radiation Pressure. // The Aeronautical Journal of the Royal Aeronautical Society. Vol. 74, No. 718, 1970, pp. 835—841.

35. Heinbokel J. H., Struble R. A. Periodic Solutions for Differential Systems with Symmetries. //J. Soc. Indust. Appl. Math. Vol. 13, No. 2, 1965, pp. 425—440.

36. Hitzl D. L. Implementing Hamilton's law of varying action with shifted Legendre polynomials. // Journal of computational physics. Vol. 38, 1980, pp. 185—211.