Вопросы приближенного решения функциональных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДАХ

§ I. Оценки погрешности метода Ритца

§ 2. Оценки погрешности метода Бубнова-Галеркина

§ 3. Оценки погрешности метода наименьших квадратов.

§ 4. Оценки погрешности одного варианта метода

Галеркина-Петрова

§ 5. Сходимость метода Бубнова-Галеркина для одного типа нелинейного уравнения

§ б. Оценки погрешности для нелинейного уравнения

ГЛАВА П. УСТОЙЧИВОСТЬ, В ОПРЕДЕЛЕННОМ ПОНИМАНИИ, ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ

§ I. Устойчивость метода Ритца

§ 2. Устойчивость метода Бубнова-Галеркина

§ 3. Устойчивость метода Галеркина-Петрова

§ 4. Устойчивость методов Бубнова-Галеркина и

Ритца для нелинейного уравнения.

ГЛАВА Ш. ОЦЕНКИ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ

§ I. Оценки в методе конечных элементов

§ 2. Двусторонние оценки в разностных схемах . . ИЗ

ГЛАВА 1У. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ПРОЕКЦИОННЫМ МЕТОДАМ

§ I. О А- полноте системы элементов

§ 2. О приближенном решении уравнений второго рода.

§3.0 необходимом и достаточном условии сходимости невязки к нулю.

ГЛАВА У. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ I. Проекционный метод для сингулярного интегрального уравнения первого рода

§ 2. Проекционный метод для сингулярного интегрального уравнения второго рода

§ 3. Коллокационный метод для сингулярного интегрального уравнения первого рода

§ 4. Коллокационный метод для сингулярного интегрального уравнения второго рода

§ 5. Численный пример.

ГЛАВА У1. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ.

§ I. Периодическая система параллельных трещин

§ 2. Внутренняя трещина в полуплоскости

§ 3. Внутренняя трещина в неоднородной плоскости, состоящей из однородных полуплоскостей . . •

ДОПОЛНЕНИЕ.

Диссертационная работа посвящена вопросам приближенного решения эллиптических краевых задач и определенного класса сингулярных интегральных уравнений. Для эллиптических краевых задач применяются методы Ритца, Бубнова - Галеркина, Галерки-на - Петрова, наименьших квадратов, конечных элементов, конечных разностей, а для сингулярных интегральных уравнений применяются определенные проекционные и коллокационные методы.

В работе, в основном, исследуются проекционные методы, которые берут начало из работ В.Ритца [бо], Б.Г.Галеркина [1б|, И.Г.Бубнова [VJ, Г.И.Петрова [зб^. Проекционные методы получили дальнейшее развитие в работах Н.М.Крылова, К.Фридрихса, Р. Куранта, Л.В.Канторовича, М.В.Келдыша, С.Г.Михлина, Г.М.Вайник-ко, Р.Варга, Г.Стренга и других авторов.

Конечно-разностные и проекционные (вариационные) методы в начале развивались самостоятельно, но, как показывает метод конечных элементов, они тесно связаны. На современном этапе развития математики фундаментально обосновался ее новый раздел — вычислительная математика. В разработке ключевых научных вопросов и в создании монографий по вычислительной математике большой вклад внесли ученые: А.Н.Крылов, А.А.Дородницын, Л.В.Канторович, Л.Коллатц, В.И.Крылов, Ж.Л.Лионе, Г.И.Марчук, С.Г.Михлин, С.М.Никольский, А.А.Самарский, С.Л.Соболев, А.Н.Тихонов, Н.Н. Яненко. В формировании вычислительной математики весомы заслуги А.А.Абрамова, Н.С.Бахвалова, О.М.Белоцерковского, И.С.Березина, Е.А.Волкова, М.К.Гавурина, С.К.Годунова, Н.П.Жидкова, Ш.Е.Мике-ладзе, И.П.Мысовских, В.С.Рябенкого, В.К.Саульева, В.А.Треноги-на, Д.К.Фаддеева, В.Н.Фаддеевой, А.Ф.Филиппова и других советских ученых.

Теория син^лярных интегральных уравнений получила сильное развитие в трудах Н.И.Мусхелишвили, И.Н.Векуа, А.В.Бицадзе, Ф.Д.Гахова, Н.П.Векуа, В.Д.Купрадзе, С.Г.Михлина, Г.Ф.Манджа-видзе, Т.Г.Гегелиа, Б.В.Хведелидзе и их учеников. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений берут основу из работ М.А.Лаврентьева [42], Г.Мультопа [49], А.И.Калан-дия [28.fj. Эти методы получили дальнейшее развитие в работах В.В.Иванова, Ф.Эрдогана, С.Кренка и других авторов.

В диссертационной работе решены определенные актуальные задачи, возникшие при развитии приближенных методов решения функциональных уравнений. Мы особенно отметим следующие два результата:

1) получены качественно новые априорные оценки погрешности, показывающие порядок быстроты сходимости проекционных методов через асимптотику собственных оначений дифференциального оператора,

2) для определенного класса сингулярных интегральных уравнений даны новые и существенно измененные приближенные схемы; доказаны существование единственного решения алгебраической системы для достаточно больших п (для чисто сингулярного уравнения при любом п ) и сходимость процесса.

Работа состоит из шести глав.

В первой главе получены априорные оценки погрешности проекционных методов: Ритца, Бубнова-Галеркина, наименьших квадратов и Галеркина-Петрова. Оценки погрешности показывают порядок бысто-ты сходимости.В наших оценках порядок определяется асимптотикой собственных значений сходного простого оператора. Другой известный путь [31], получения таких оценок, опирается на теоремы теории функций (теоремы Д.Джексона). Нашим подходом выделяется порядок быстроты сходимости б предположении меньшей гладкости функций.

Глава состоит из шести параграфов.

В § I получены оценки погрешности метода Ритца. В оепара-бельном гильбертовом пространстве Н рассматривается уравнение

Au. = -f, u.<r%(A)<=H, (I) где А линейный положительно определенный самосопряженный оператор с дискретным спектром. Предполагается, что известны собственные значения и собственные элементы другого положительно определенного самосопряженного оператора 13 , K-i,*,,. t Об при к~>оо, (Yk-VJ^'SkL » сходного с оператором A j^8*^] » Ф(В)-3)(А) . В качестве координатных элементов в методе Ритца берем - - - • Приближенное решение

•un - aKipK к -1 определяется из алгебраической системы уравнений

Alln-f /f. ) = 0 , i =

Тогда получена следующая оценка погрешности i А4131

Ну, - а """--—П = (2) п it где IL точное решение уравнения (I). О

Оператор д1|3 ограничен, как показано в (48.i], невязка при п-^ос , как показано в [48.2], [*0.2] , поэтому оценка (2) имеет порядок сходимости

- гс|[ - o(ojn) *

В энергетическом пространстве Нд 00 скалярным произведением ju,o"j = (Аи,\f) получена следующая оценка llA^ll^n-fli (з) un - bLlI ^ ' >-— ,

11А

При (Aun->f) г =1,2,,.- » улучшен порядок оценки.

Приведены примеры применения оценок (2), (3).

Пример I. Пусть Н = A u - f (*) ,

0<3C<di u(0)=u(i.) = ()* KM?K0>0 ' ' к' и ^ непрерывны в jb, ij ,

13г(. s - г* " , U.ft?; = li

Ъ Xf t£>К=Я К , ,JfK=ATSinKSr!)C , - . Операторы А и R сходны. Если в качестве координатных элементов в методе Ритца возьмем синусы, то, при условии 0Ценки (2) и (3) дают следующие порядки быстроты сходимости:

Ци„-и.Ц — о(яЬ) , K-li'tf =o(a-L) .

Первая аналогичная оценка была получена Н.М.Крыловым в работе [38j, где для рассматриваемого примера при получена равномерная оценка порядка Q(ja ^ .

Пример 2. Пусть — (.л^, где — w-мерная ограниченная область, функции А^ - А^ удовлетворяют условию эллиптичности и имеют непрерывные производные в , С } О непрерывна в

13u. - A , и О .

Операторы А и В сходны. Пусть известны собственные элементы оператора - д , которые применяются в качестве координатных в методе Ритца при решении уравнения .

Как известно jj40], собственные значения оператора — Д. имеют асимптотику К'"1» поэтому оценки (2) и (3), при ^ 6 Дают следующие порядки сходимости: Ъ

IK""! -о(п." т)

Qtch та I

X,

В § 2 получены оценки погрешности метода Бубнова-Галеркина для уравнения

Аы + Кьи > -м-еФСА), f&W W где оператор А удовлетворяет условиям § I, а оператор К та1 кой, что операторы и ДМ^ являются вполне непрерывными в Н • В качестве координатных элементов при решении уравнения (4) методом Б.-Г. применяются собственные элементы оператора )3 , сходного с Д . В условии существования обратного оператора

4- д^к) 1 , получены следующие оценки погрешности: г1 II И .-it un-u

5) n + i rr rh

Un-U

I."

1*кл')У1(г>А"И)'||1<"6|11ч>1ЧЧ1 4

CO

L. X n + i. П^Пс

6)

Получены оценки при % = .A^+Ku^f.

Приведен пример.

Заметим, что для уравнения (4) сходимость метода Б.-Г. в энергетическом пространстве Нд доказана С.Г.Михлиным [4-8 л] , оценки, аналогичные оценкам (5), (6), при условии когда (Ы >0;5') * получены Г.М.Вайникко JjEO.l] . Оценки погрешности, показывающие порядок быстроты сходимости методов Ритца и Б.-Г., в других предположениях, имеются в [?] ,[l9] ,[2Т| , [зо] , [7б] , оценка для невязки получена в [58].

В § 3 получены оценки погрешности метода наименьших квадратов для уравнения (I). Метод наименьших квадратов дает алгебраическую систему

Aun-|, Alf.) = 0 , L=i.Z,.<<>n. (7)

В качестве координатных применяются собственные элементы оператора 13 . В условиях ji6 Н и = получена оценка где IIAu^-^Ц-^О при п-^оо .

Если и ^(Д^-ФО^) , то справедлива оценка г , наУИЦАЧ-АЦ (9) гДе llA^n-AflkO пРи .

Получена оценка в энергетическом пространстве f-j^ • В § 4 получены оценки погрешности одного варианта метода Галеркина-Петрова для уравнения (4). Приближенное решение un ищется из алгебраической системы

Ku„-f lAf.j^O, (10)

В условиях: Н » 2)(А2')'- ^(В1)и существования обратного оператора получена оценка

При получается оценка порядка о(еГ^). Получена оценка в энергетическом пространстве Ид .

В [8J применены оценки (8), (9), (II) в конкретных эллиптических краевых задачах.

В § 5 исследована сходимость метода Б,-Г. для нелинейного уравнения где оператор Д удовлетворяет условия § I, а р нелинейный непрерывный оператор, имеющий дифференциал Фреше, ^(Aj^tifc) .

Для определения приближенного решения ип метод Б.-Г. дает нелинейную алгебраическую систему

Аипч-Run->f , YiJ-^-O ; i = i,%.<>n> (13)

Если в качестве координатных элементов в методе Б.-Г, взяты собственные элементы оператора )3 » то» в определенных предположениях доказывается что невязка л

STns Au^-t-pUn-^ -- О при •

В § б для уравнения (12) получены следующие оценки погрешности:

IU.-Ц 111|АДВ11 , IgUl ,on (Вд n + 1 Л tfH-A'Fu.lT'fl I А"В t |[ТП|| т ii i iia+^criiiA'Bii , пу ь л n+l 4 n > м о

Во второй главе исследуется устойчивость, в определенном понимании, проекционных методов.

В известных определениях устойчивости , [35] оператор погрешности Г^ —матрица, погрешность свободного члена ^r(n) е — вектор, ct разность решении теоретического и практического приближенных уравнений оценивается в гильбертовых пространствах Н » Н/ и в п-мерном подпространстве ПростА & ранства . Мы обращаем внимание на то, что погрешность, допущенная при составлении алгебраической системы и разность решений оцениваются в метриках разных пространств. Развиваем эту мысль; оператор погрешности конечномерный, действует в подпространстве некоторого гильбертова пространства, погрешность свободного члена— элемент подпространства, а разность решений оценивается, вообще говоря, в другой метрике. Дано определение устойчивости и установлены необходимые и достаточные, иногда только достаточные условия устойчивости, отличающиеся от условий данных в [48.з], [35~]. Например, для устойчивости метода Ритца в on-| ределенном смысле не является необходимой сильная минимальность \ координатной системы. Глава состоит из четырех параграфов.

В § I рассматривается устойчивость метода Ритца для уравнения (I). Алгебраическую систему метода Ритца запишем в виде

1б) где сужение ортопроектора рЦн) = Нл на А(НЙ); подпространство, натянутое на элементы Lp ^ip ,. Если

О ^ учесть, что погрешности ^ . } к,с= .^пропускаются при определении скалярных произведений(Мр^, ^, С5?'^)^ вместо теоретического приближенного уравнения (16), будем иметь практическое приближенное уравнение

А + A(Gn A)]'un - ^ Н- Л(Р^)

17)

Пусть Но( гильбертово пространство со скалярным произведением [к,и] = O^Ui • От координатной системы потребуем, чтобы: 1)^еФ(А) , к = , 2) была линейно независима при любом rt .

Определение. Метод Ритца назовем устойчивым из пространства Н в если существует такое число Т>0 » что при |a(GhA)J ^^"практическое приближенное уравнение (17) имеет единственное решение и справедливо неравенство

K-uJIН 4 с, ilff|HK&„A)i|u+ !|Л(Р„|)|Н (И)

Н Ч" I "'Н для любого VI •

Для устойчивости, по данному определению, необходимо и достаточно, чтобы п^Г1и ^ С, n-i^,

19)

Если в методе Ритца невязка А^уу-^-^О ПРИ для о "L

И » то операторы &п } п ограничены в совокупности. Для сходимости невязки к нулю, как показано в (48.ji], не обязательна сильная минимальность координатной системы. Так что, для устойчивости в смысле данного определения сильная минимальность координатной системы не является необходимой.

С количественной стороны погрешности ||д(&пА)|| и li^On^)! можно связать с погрешностями ^ • ? ^ 7 .; п

У * где наименьшее собственное значение матрицы•

Если рассмотреть устойчивость метода Ритца из энергетического пространства Но,^ (^д) в себе, то для устойчивости необходимо и достаточно: I) Но,т > • , 2) Ч^Ч^» ) была линейно независима в Цс ~ при любом п .

В § 2 рассматривается устойчивость метода Б.-Г. для уравнения (4). Основные условия устойчивости такие-же, какие были для метода Ритца.

В § 3 рассматривается устойчивость метода Г.-П. для уравнения (4). Если координатные системы элементов удовлетсовряют условиям: I) lp а ^(Д) , К = 1Д). - • , 2) LpK£H, < = 1,2,-" , З)1?^." базис * И ос . а 4^,41"" базис в Н , z(»]= т^Н&нАъИ ) 5) оператор КДЧ вполне непрерывен U&Hn; M = i ,1 в И , то метод Г.-П. устойчив из пространства Н в Нс^ .

В § 4 рассматривается устойчивость метода Б.-Г. и Ритца для нелинейного уравнения (12), для которого исследуется устойчивость, как в известном смысле [48.3~|, так и, в некотором смысле, в новом понимании. Приводятся примеры.

В третьей главе получены определенные оценки погрешности для метода конечных элементов и конечно-разностных схем. Глава состоит из двух параграфов.

В § I получены оценки для метода конечных элементов. Рассматривается уравнение вида (I)

Ач = j , и 6 $(л) , f ■е где А —положительно определенный самосопряженный оператор порядка йт , .Л. — Р-мерный единичный куб. Пусть это уравнение решается методом Ритца; в качестве координатных берутся конечные элементы. Известно, что i[i8Aj ,[53] , [7l] , справедлива оценка

II и-и^СуГ^И, , 0 (21) где(к-1) —степень конечных элементов, И —точное, а и — приближенное решение, j| ■ ||Ц • || • ^ г£ \■ , - ' р

Для vn » как указано в [71] (стр.197), не была установлена такая четкая оценка. Мы обобщаем оценку (21) для случая m • Именно, получен следующий результат: Если интерполянт oix удовлетворяет неравенству

22) то для приближенного решения ц."^ , полученного методом Ритца, справедлива оценка

Ih-Vll^* С*4 ~VllK > (23)

Заметим, что известный прием Нитше ^71] дает оценки для производных • Мы показываем, что прием Нитше равносилен самосопряженности ортопроектора в энергетическом пространстве.

Приводятся конкретные примеры применения оценки (23); эрмитовые кубические элементы применяются для краевых задач уравнений второго порядка.

Теория конечных элементов в последнее время сильно развивается. Отметим работы:[20] ,[34] .

В § 2 получены двусторонние оценки в разностных схемах. Разностные операторы Д^ и называем сходными, если их области определения совпадают = и выполняется двойное неравенство

CjB^ll^iA^II^C^II^uJI, Кб2>й, (24) где постоянные Cj и С^ не зависят от шага "fi Рассмотрим уравнение вида (I) и его разностный аналог

А{,Uf, = ft - е ' 6 ■ (25)

Пусть —погрешность аппроксимации, а ^—погрешность решения

A^^'V (26)

Справедливо следующее предложение: если А^ и сходные i-,-1 ' i — -i. разностные операторы и существует , то существует А$х и имеет место следующая двусторонняя оценка jr ii^^i^fmi- (27)

Пусть обратные операторы /3^ ограниченны в совокупности ( по $ )•

Определение. Будем говорить, что последовательность сеточных функций сходится к функции U£1D(A) сильно ( —сходимость), если при yi оо , где б\ эпиморфизму Н"^" Н ^ » введенный в [63].

В конкретных случаях оператор 13 берем простой структуры, а оператор А —сложной. Если мы сможем доказать сходность операторов Д^ и , то результаты, имеющие для оператора 13, будут справедливыми и для оператора А^ . Приводятся примеры.

Пусть

Bus*-Ли. , и.1 =0, (28) область XI. прямоугольник (О^Х'х^-^ , ), tzZ?*^ ' ''л < где функции Кс<(5 ~ Кфч удовлетворяют условию эллиптичности Берем разностные аналоги [бз]:

29) s " Ъ = ~ (u3cLx + U-^xJ > 0 ' (28<)

ACtv=t' (29'> U

- 0

Используем нормы кС=ё (««АЛЛ, к

Доказывается справедливость правой части неравенства (24) для любого , а —левой части при достаточно малых -ft . Получается следующий результат:

Для уравнения (29) при конечно-разностной схеме (291) справедливы следующие оценки:

30) и Ь J- , (31) C-j. " ,у,"Нь ' v ЛСо где с;-= ге + —— * 8

ЗА / . . , с -о

1) ь

1 4V i--- J 1

4 V

Со алк4WT1 , о(,В с1 - ■■ "с. ;

В равномерной метрике получается оценка

Л,.

Л li ф ,) (32) м

Отметим, что априорные оценки погрешности сверху в разностных схемах имеются в [2] , [V] ,[22] , jpzj , [бз], [б 5].

В четвертой главе сделаны некоторые замечания относительно проекционных методов. Глава состоит из цэех параграфов.

§ I касается о А -полноте системы элементов. Пусть Ц сепарабельное гильбертово пространство, А самосопряженный положительно определенный оператор с дискретным спектром5в Н задан ортонормированныи базис ' * f^^M * К=1,а,>"'

Пусть Т7 унитарный оператор, преобразующий собственные элементы оператора А в данный базис. Оператор 13 ФА'Т 1 унитарно-эквивалентный оператору Д .

Доказано следующее: если существуют такие числа ЫА>0 и Ыг>0» что (А) и система элементов А'^) А1^,полна в j-j .

§ 2 касается вопросов сходимости аппроксимирующих операторов и правильности операторов. Пусть в сепарабельном гильбертовом пространстве даны: уравнение lu=>f, и€:Н,$еН, ЯЪ) где li ограниченный оператор, и базис Vx,^,?-'' • п^сть линейное многообразие элементов •• » а Рп ор^опроектор; — n-ij2r.>* Проекционный метод дает приближенное уравнение

Рп1ип = р„4, <ип(ЬНп ■ <»>

В [59] введено понятие правильности оператора ^ ; оператор If называется правильным, если при любом базисе и правой части ^ проекционный метод дает сходящийся процесс, В [п] доказано, что для правильности оператора I необходимо и достаточно, чтобы он допускал представление вида / +£> + 71 » где j|S||<|tf|, а Т —вполне непрерывен.

Мы построили оператор, который не является правильным, но для которого определенный метод Б.-Г. сходится.

Кроме того, доказана сходимость последовательности j Ц P^jjj (j-^tE Д^ любого ограниченного оператора £ при любой базисе Yi/^j

Б § 3 дано определенное доказательство необходимого условия сходимости проекционных методов. Аналогичное доказательство одновременно было опубликовано в (35] .

В пятой главе рассматривается сингулярное интегральное уравнение aip + = (35)

1 <СХ< d. > cl и % вещественные числа, » и у s (z> f(t) d± и |(г.) вещественные функции, X^^L'-1,^] . При а - О имеем уравнение первого рода, а при аФО —уравнение второго рода.

Приближенному решению с.и.у. посвящено много работ. Отметим работы: [в] , [25] , /к] ,/2б] ,/28 л] , /28.2] , /37], fcz], jfcj, [48],[49],[55],[57],/б2],[77].

Мы рассматриваем уравнение (35) в весовых пространствах.

При решении применяем проекционные (разные варианты метода Г.-П.) и коллокационные схемы. В качестве координатных элементов берутся полиномы Чебышева и Якоби. Глава состоит из пяти параграфов.

В § I рассматривается проекционный метод для сингулярного интегрального уравнения первого рода

5ip + Kv = f • (36>

Рассматривается три значения индекса: О .В случае индекса 1 ; = -(pUft) = » берем весовое пространство £-i,ij , = 7 • На ЯДР° K(pCj-t) налагаем условие

Мм;Ых. < + «о.

Однородное уравнение О в пространстве /дд имеет ненулевое решение В пространстве ортонормированы и полны следующие две системы функций: if s^I^TkCk) , K = o,i,.') Ткч к~ 9; ' •* 7 полиномы Чебышева первого рода, И

ГЦ. ц. 0 K=Q}Ly 1 полиномы Чебышева второго рода.

При индексе i дано дополнительное условие 1 j W)dt = Р, где р —заданное число.

Вводим новую неизвестную функцию Р ср^гр- ■ 1 л лЧ^з?

Разложим пространство на ортогональную сумму I» fi —,

-Lo © Lio * гДе нуль-пространсшо оператора $ , а Л7

-бД •ij.j. •O/j. -Zf-i его ортогональное дополнение. Исходное уравнение (36) перепишется в виде

Приближенное решение уравнения (37) ищем в виде алгебраическая система составляется из условий: LS 0, с = "то Дает к=1

Получен следующий результат: если существует обратный оператор (Х-ь отображающий L^p на се<3я, то алгебраическая система (38) для достаточно больших о, имеет единственное решение и последовательность приближенных решений

01) т>) , Р сходится к точному в пространстве .

При индексе ± , d—Л. , , уравнение (36) & рассматривается в весовом пространстве L^ /r^i]» ^

На ядро К , -t) налагается ограничение J К (х ,-Ь) (j i , ^Jax-0 на приближенная схема и доказана сходимость/

Аналогично, приближенная схема дана при индексе О » HI-и доказана сходимость, В § 2 рассматривается проекционный метод для уравнения второго рода cl + S$> 4 k') lf =-f 5 при значениях индекса , соответствующих в весовых пространствах. Применяются схемы, аналогичные § I, но, вместо полиномов Чебышева, надо брать полиномы Якоби.

В § 3 уравнение первого рода (36) решается коллокационным методом. Опять отдельно рассматриваются значения индекса ,>£=1,-1,0 • Приведем схему при .

Приближенное решение ищется в виде

-01) JL i

Метод коллокации J что дает алгебраическую систему

Получен следующий результат: если существует обратный оператор (z+ * отображающий Л^д на себя, и в качестве коллокацйонных узлов берутся корни полинома Чебышева ^^О*1)

COS у j = п> j h-i-i то алгебраическая система (39) для достаточно больших П имеет единственное решение и коллокационный процесс сходится в пространстве ^цуэ •

Если R^dc -£)-()• т0 алгебраическая система (39) для любого 'п имеет единственное решение.

Получены аналогичные результаты при О •

В § 4 коллокационным методом решается уравнение второго рода. Коллокационными узлами берутся корни определенных полиномов Якоби.

В § 5 приводится иллюстративный численный пример.

Существенно новыми в пятой главе мы считаем следующие моменты: I) при значениях индекса = ^ -i точно учитываются дополнительные условия, 2) введением новой неизвестной функции при Ж-J и сужением области определения оператора £ » при f и области значения, , добивается взаимно-однозначность отображения, 3) даны существенно измененные приближенные схемы, 4) доказывается существование единственного решения алгебраической системы при п>Н0(для чисто с.и.у. при любом VI )» 5) доказывается сходимость процесса.

В шестой главе рассматриваются некоторые задачи механики, которые приводятся к сингулярным интегральным уравнениям. Глава состоит из трех параграфов. Точные решения рассматриваемых задач неизвестны. Задачи решаются приближенно на ЭВМ. Полученные численные результаты хорошо отражают физический смысл задач.

В дополнении снимается ограничение, наложенное на ядро V\(x-h) Б случае отрицательного индекса.

1. Абрамов А,А., О влиянии ошибок округления при решении уравнений Лапласа, Вычисл. матем. и вычисл. техн., вып.1, 1953, 37-40.

2. Андреев В.Б., О равномерной сходимости некоторых разностных схем, IBM и МФ, 6, № 2, 1966, 238-250.

3. Бабаев А.А., Садырханов Р.С., Об одном квадратурном процессе особого интеграла и его приложении, Докл. АН СССР, 1974, т.214, № 4, 743-746.

4. Бахвалов Н.С., 0 сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор, ЖВМ и МФ, 6, № 5, 1966, 861-883.

5. Бернштейн С.Н., Собрание сочинений, т.З, изд.АН СССР, М., I960.

6. Березин И.С., Жидков Н.И., Методы вычислений, т.1, М., Физматгиз, 1959.

7. Бертрам Г. QB^-xizaho Q J, fatola6 'lliiz-Ga&cKandt Ve^aixen ёй Ztienwex-lptoL

8. A MM, 13d- Hf f/6 , M-.£of ■

9. Бозиев Л.А., К решению некоторых граничных задач обобщенным методом Бубнова-Галеркина, Учен.зап. КБ1У, вып.36, 1967.

10. Бубнов И.Г., Отзыв о сочинениях проф. Тимощенко, удостоенных премии им.Жуковского, Сб.Ин-та инж,путей сообщения, вып.81, СПБ, 1913.

11. Вайникко Г.М., I) Некоторые оценки погрешности метода Бубно-ва-Галеркина. Асимптотические оценки, Уч.зап. Тартусского Ун-та, 150, 1964.2. 0 сходных операторах, Докл. АН СССР, 179, № 5, 1968, 1029-1031.

12. Вайникко Г.М., Уманский Ю.Б., Правильше операторы, Функц. анализ и его прилож., т.2., вып.2, 1968, 87-88.

13. Вайнберг М.М., Вариационные методы исследования нелинейных операторов, ШТТЛ, М., 1956.

14. Варга Р., Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе, "Миру М., 1977.

15. Габдулхаев Б.Г., Прямые методы решения некоторых операторных уравнений, Изв. ВУЗ, Математика, № II (114), Казань, 197I, 33-44.

16. Гавурин Н.К., Лекции по методам вычислений, "Наука", М., 1971.

17. Галеркин Б.Г., Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластин, Вестн. инженеров, № 19, 1915, 897-908.

18. Годунов С.К., Рябе&ий B.C., Разностные схемы, изд. "Наука", М., 1977.

19. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я., Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов, изд."Штиинцаи, Кишинев, 1973.

20. Даугавет И.К., О быстроте сходимости метода Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений, Изв.вузов, Математика, № 5 (6), 1958, 158-165.

21. Демянович Ю.К., Михлин С.Г., О сеточной апроксимации функции соболевских классов, Зап.научн.семин. ЛОМИ АН СССР, 35, 1973, 6-II.

22. Дородницын А.А., Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного слоя, Журнал прикл.мех. и техн.физ.Д0 3, I960, III-II8.

23. Дьяконов Е.Г., Разностные методы решения краевых задач, Изд. ВЦ МГУ, 197I.

24. Ердоган Ф. ('c'belo^&n F.) ? Арр^охс mctilve ^oPuiLonq^ ^tiem*, o^f 6ce^a-tCon^SI/W, J. Аррй- M^tfti 19<оЭ, \0Ч\ i05S

25. Ердоган Ф», Гупта Г.Д. (t^do^avi питe,tLca£ ^option o^ ^inApp<?. Mzttj } } jsz^j

26. Зерагия Д.П., К вариационной теории нелинейных уравнений, Сообщения АН Груз.ССР, 39, № 2, 1962, 135-142.

27. Иванов В.В., Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений,Киев, "Наукова думка", 1968.

28. Ильин В.П., Оценка погрешности метода Ритцв для обыкновенных дифференциальных уравнений, Тр.матем.ин-та им.В.А.Стек-лова АН СССР, 53, 1959, 43-63.

29. Канторович JI.B., Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, 3, Ш 6, 1948, 89-185.

30. Канторович Л.В. и Крылов В.И., Приближенные методы высшего анализа, ГИФМЛ, М.-Л., 1962.

31. Канторович Л.В., Акилов Г.П., Функциональный анализ, М., "Наука",1977.

32. Качуровский Д.И., Учен.зап. Моск.обл.пед.ин-та им.Н.Н.Крупской, т.СХ, Математика, вып.7, 1962.

33. Келдыш М.В., 0 методе Галеркина для решения краевых задач,Изв. АН СССР, сер.матем, б, 1942 , 309-33 0.

34. Корнеев В.Г,, 0 построении вариационно-разностных схем высокого порядка точности, Вестник ЛГУ, сер.матем.,мех., и астр., 19, 1970.

35. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутиц-кий Я.Б., Стеценко В.Я., Приближенное решение операторных уравнений, "Наука", М., 1969.

36. Кравчук М.Ф. М) ; Svc Wo^itiiov ecpptoc^ee -e^uation^Comft- Acad Sclt- Ft^/jcaiSd, IZS» /919, ЗПУ1. Кренк С. (кхепк Steen) ; On %uac-Lzatute. ^о'ШчвсЦ fat Цп^ивсис Lniegrui^ tLiuabicY)*) o^f lie. -^Mi and bie. Second Kind; diLCLvh. App-Mati; 33, Л 3,

37. Крылов H.M., Le*> me^oded dt Nation appiocJfee da<> vcMtmeb de ee( maite.m<vhil«£. Нем. fCc' maH.CL\t,49t№l- J

38. Крылов В.И., Приближенное вычисление интегралов, Физматгиз,М., 1959.

39. Курант Р. и Гильберт Д., Методы математической физики, Гостехиздат, М., т.1, 1951.

40. Курант (Сои.'илъЬ Ц.), l/atiaiiona^ meido<tl fcctUt ioduiion 0^ of efuidi&ULDV and Ус&вШ?^fate- Amer. M&66- Soc-, *(Э> /Ж

41. Лаврентьев M.A., 0 построении потока, обтекающего дугу заданной формы, Труды ЦАШ, вып.118, 1932, 3-56.

42. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, "Наука", М., 1973.

43. По поводу метода Ритца, Докл. АН СССР, 106, № 3, 1956, 391-394-. 3) Численная реализация вариационных методов, "Наука",М.,1966, b) Arffiox-Lmiion avf d&m Ku&icflen^i--fc ax, BtXski^uWt. Vaiioi^ ami StuijQti ; /9?6<

44. Вариационно-сеточная аппроксимация, зап.науч.сем. ЛОМИ, т.4-8, "Наука", Ленинградское отделение.

45. Мультоп г. (^Mu^iop Н )> е Bt'cccMnun^ dvc A»fitivon Jr&^ia^eEn, lufttAtdjoudun^ Вel • Х\Л Л 4 > 1938, /О - /66 ,

46. Мусхелишвили Н.Й., Сингулярные интегральные уравнения, "Наука",М.,1968.

47. Натансон И.П., Конструктивная теоунш дикции, 1ИТТЛ,М.-Л., 194-9.

48. Нитше И., Нитше К.К. (jlUteie (Ле. С.С)}€ххог •e*>tlrr)crte*> ^оь ifit nnwe'cica^ lotion of е.Щ±1с1eiuaiion^ /lab MeeJ?. ctncl

49. Обен Ж.П., Приближенное решение эллиптических краевых задач, "мир",м.,1977.

50. Оганесян Л. а., Вариационно-разностная схема на регулярной сетке для задач Дирихле, Ы1 и МФ, II, № б, 1971, 1596-I6Q5.

51. Пбртон £.3., Перлин П.И., Интегральные уравнения теории упругости, "Наука", М., 1977.

52. Петров Г.И., Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости, Прикладная матем. и мех., 4, вып.З, 1940, 3-12.

53. Пихтеев Г.Н., 0 вычислении коэффициентов и оценке погрешности интегрирования квадратурными формулами для простейшего интеграла типа Коши и сингулярного интеграла по разомкнутому контуру, ЖиМ и МФ, 12, № 3, 1972.

54. Плеве A.A. (jp£efiu>e Ъетегктпъ euietA-V&cbt von A'V &} iff 6,

55. Польский Н.И., Проекционные методы в прикладной математике, Докл., АН СССР,116, № 5, 1967, 754-757.

56. Ритц Я. (jlltz и/,)> itidY. eihC пене Jitiiolt ife. Sttnb zei&Ltfdt. Hz'iiatlopJ dei. таЫетсе-ЫъсЛе» P-tytLK, j/flf'

57. Рябенький B.C. и Филиппов А.Д., Об устойчивости разностных уравнений, ГИФМЛ, М., 1956.

58. Саникидзе Д.Г., Об аппроксимации сингулярных интегралов Коши и их предельных значений на концах линии интегрирования, Математические заметки, т.15, № 4, 1974, 533-542.

59. Самарский А.А., Теория разностных схем, пНаука",М.,1977.

60. Самарский А.А., Гулин A.jej., Устойчивость разностных схем, "Наука", М., 1973.

61. Самарский А.А., Андреев В.Г., Разностные методы для эллиптических уравнений, "Наука", М., 1976.

62. Самарский А.А., Николаев Е.С., Методы решения сеточных уравнений, "Наука", М., 1978.

63. Саульев В.К., Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток, М., Физматгиз, I960.

64. Сеге Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, М.,1962.

65. Смирнов В.И., Курс высшей математики,, т.5, Физматгиз, М., 1959.

66. Соболев C,JI., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Изд.ЛГУ, I960.

67. Стренг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов, М., "Мир", 1977.

68. Тихонов А.Н., Арсенин в.Я., Методы решения некорректных задач, "Наука", М.,1979.

69. Трикоми Ф.Г. comi F. , On Wu^e-ti ЬтпфьшНоп , йиемЬ • Ml , Mft,

70. Фаддеев Д.К. и Фаддеева B.H., Вычислительные методы линейной алгебры, Физматгиз, М., 1963.ргоёб&мб * f Ш -bHaot-у Ztalblcity and ^г^inei'ua&iy , кпп-МаН- f$**.

71. Харрик И.Ю., Об одной проблеме конструктивной теории функции, связанной с исследованием сходимости вариационных процессов, Докл. АН СССР, 80, № I, 1951, 25-28.

72. Шлаиф М. ^ЛеЩ М.), U£ex. Уе*йшпме^&сгп Ые2АММ, Щ, 1968,78. эрдеш и туран p. and %ь&п Р.)з On Mtlpo&iion

73. Яненко Н.Н., Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики, "Наука", Новосибирск, 1967.Дополнительная литература

74. В.В.Панасюк, М.П.Саврук, А.П.Дацышин, Распределение нацряжений около трещин в пластинах и оболочках, "Наукова думка",Киев,1976.Работы, опубликованные по теме диссертации:81. Джишкариани А.В.

75. О сходимости приближенного метода Ритца, ЖВМ и МФ, т.З, №4, 1963, 654-663.

76. О быстроте сходимости метода Бубнова-Галеркина, ЖВМ и МФ, т.4, № 2, 1964, 343-348.

77. О методах Ритца и Бубнова-Галеркина, Сообщения АН Груз. ССР, т.45, № I, 1967, II-I6.

78. О методах наименьших квадратов и Бубнова-Галеркина, ЖВМ и МФ, т.8, № 5, 1968, IIIO-III6.

79. О методе Ритца для одного нелинейного уравнения, Сообщения АН Груз.ССР, т.51, № I, 1968, 19-24.

80. Некоторые замечания к прямым методам, Сообщения АН Груз.ССР, т.54, № 3, 1969 , 541-544.

81. Некоторые замечания к прямым методам, Тр. Тбилисского матем.ин-та, т.36,1969, 47-56.

82. О приближенном методе Ритца для одного нелинейного уравнения, Тр.Тбилисского матем.ин-та, т.36,1969, 29-46.

83. Устойчивость метода Ритца для одного нелинейного уравнения, ЖВМ и МФ, т.10, № 4, 1970, 840-847.

84. К вопросу устойчивости приближенных методов вариационного типа, ЖВМ и МФ, т.II, № 3, 1971, 569-579.

85. Некоторые замечания об общей теории приближенных проекционных методов, Сооощения АН Груз.ССР,т.69,№2,1973, 273

86. О сходимости метода Бубнова-Галеркина для одного типа нелинейного операторного уравнения, IBM и МФ, т.15, № 2, 1973, 459-464.

87. К вопросу устойчивости метода Галеркина-Петрова, Тр.Тбилисского матем.ин-та, т.44, 1974, 57-66.

88. К приближенному решению интегральных уравнений с сингулярным оператором, Тр.Тбилисского матем.ин-та, т.44, 1974, 67-70.

89. Об устойчивости и сходимости приближенных проекционных методов, Тр.Тбилисского матем.ин-та, т.50,1975, 22-33.

90. К решению сингулярных интегральных уравнений приолиженными проекционными методами, ЖВМ и МФ, т.19, № 5, 1979, 1149-И61.

91. Сходные разностные операторы, Тр.Тбилисского матем.ин-та, T.ZXI/ , 1980, 38-50.

92. О сходимости невязки в методе конечных элементов, доклады АН СССР, том 254, № 5, 1980, 1052-1055.

93. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационны-ми методами, ЖВМ и МФ, т.21, № 2, J98I, 355-362.SO. о nipu%s)U?iC6HH0J<L реъиении ^р<хМнении второго dojcl , JXamty^eLmmec&ujL. j г.