Применение принципа компактности для приближенного решения интегральных уравнений второго рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

003450190

Исомаддинова Раънохон Мирзохамдамовна

Применение принципа компактности для приближенного решения интегральных уравнений второго рода

01.01.01- математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Душанбе 2008

003450190

Работа выполнена в Худжандском филиале Технологического университета Таджикистана и Таджикском государственном университете права, бизнеса и политики.

Научный руководители:

Официальные опоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор, член корреспондент АН РТ, Мухамадиев Эргашбой, доктор физико-математических наук, профессор Байзаев Саттор. доктор физико-математических наук, академик АН РТ, профессор Усманов Зафар Джураевич, кандидат физико-математических наук, Касымова Мавлюда Джамоловна. Таджикский государственный педагогический университет им. С. Айни.

Защита состоится 10 октября 2008 г. в 11:00 часов на заседании диссертационного совета Д.047.007.01 при Институте математики Академии наук Республики Таджикистан по адресу: 734063, г.Душанбе, ул. Айни 299/1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики АН РТ.

Автореферат разослан "_"_2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Халилов Ш.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений составляют важное .направление в теории приближенных методой решения математических задач. Эти методы приобрели особое значение в связи с возникновением дифференциальных и интегральных уравнений в прикладных задачах: теории упругости, гидро-и аэродинамике, физике элементарных частиц и др.

В общей теории приближенных методов основополагающую роль сыграли фундаментальные работы Л.В.Канторовича, H.H. Боголюбова, Н.М. Крылова, Г.И. Петрова, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского и др.

Одним из самых эффективных методов приближенного решения интегральных уравнений является метод механических квадратур (ММК). Он широко распространен на практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений. Замена интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применялась еще в фундаментальных работах Фредгольма и Гильберта. В 1904 г. Фредгольм используя формулу прямоугольников заменял интегральное уравнение с непрерывным ядром на СЛАУ. Позднее Гильбертом было дано доказательство сходимости решений СЛАУ к решению интегрального уравнения. Использование СЛАУ для приближенного решения интегральных уравнений получило дальнейшее развитие в работах финского математика Нистрчма, который применял и более точные квадратурные формулы.

Созданный А.Н. Тихоновым метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач позволил глубже применять ММК для приближенного решения интегральных уравнений, в частности интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Применению метода регуляризации для интегральных уравнений Фредгольма второго рода посвящены ряд работ Б.Алиева. Разработанный С.М. Никольским простой метод подсчета погрешностей квадратурных формул

3

позволяет находить точные оценки скорости сходимости приближенных решений интегральных уравнений.

Численным методам решений интегральных уравнений с разрывными ядрами, наиболее часто встречающихся в прикладных задачах, посвящены большое количество работ К.И. Бабенко, С.М. Белоцерковского, Б.Г. Габдулхаева, В.В. Иванова, И.К. Лпфанова, А.Ф. Матвеева и др.

Дальнейшее изучение ММ К для приближенного решения интегральных уравнений второго рода остается актуальной и важной как с теоретической, так и с практической точек зрения. Особенно важными являются следующие вопросы: применение ММК к интегральным уравнениям с разрывным ядром, рассмотрение случаев наличия спектра, указание номера, начиная с которого СЛАУ, к которой приведено интегральное уравнение разрешима.

Цель работы. Для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода

ь

Ьи = и(з) - У А'(в, £)«(*)'<Й = /(в), а < в < 6, (1)

а

с непрерывными и слабо сингулярными ядрами на основе ММК и прим-цпиа компактности получить новые утверждения о приближенных решениях, как в случае однозначной разрешимости, так и в случае наличия спектра.

Общие методы исследования. В работе применяются ММК, принцип компактности в пространстве непрерывных на отрезке функций и ряд методов функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Получено новое доказательство разрешимости СЛАУ

Ь(п)и(п) = ум (2)

полученных путем применения ММК к интегральному уравнению (1).

2. Указан номер, начиная с которого СЛАУ (2) разрешима.

3. Получены априорные оценки для приближенных решений (решений СЛАУ (2)) интегрального уравнения (1) как в случае непрерывного, так п в случае слабо сингулярного ядра.

4. Установлены сходимость приближенных решений к точному решению.

5. В случае наличия спектра доказана сходимость приближенных решений к нормальному решению интегрального уравнения.

Теоретическая и практическая ценность диссертации.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- конференция "Математическое моделирование н вычислительный эксперимент" (2002 г., Ташкент);

- международная конференция "Актуальные проблемы математики и ее приложения" (2003 г., Худжанд);

- международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения н смежные вопросы анализа" (2005 г., Душанбе);

- конференция преподавателей Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана;

- семинар Института математики АН Республики Таджикистан;

- семинар кафедры высшей математики и моделирования Таджикского госуниверсигета права, бизнеса и политики;

- семинар кафедры дифференциальных уравнений Худжандского гоеу-цнвереитета им. академика Б.Г.Гафурова;

- семинар кафедры высшей математики и физики Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ. Все результаты диссертации принадлежат лично автору за исключением постановки задач.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, разделенных па параграфы и списка литературы. Текст диссертации насчитывает 98 страниц. В списке литературы 62 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В автореферате будет сохранена нумерация теорем, принятая в параграфах диссертации. Во введении обосновывается актуальность темы, дастся краткий обзор работ, посвященных приближенным методам решения интегрального уравнения (1) и излагаются основные результаты диссертации.

В главе I (§1 - §2) приводятся вспомогательные понятия и факты, используемые в диссертации, а также установлен ряд новых утверждений по сеточным функциям и ММК. Первый параграф посвящен сеточным функциям, а второй - методу механических квадратур. Для формулы механических квадратур па промежутке [а, Ь] с п узлами ^ и коэффициентами :

здесь р(и,п) остаточный член, у(Ь) непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, получено необходимое и достаточное условие сходимости.

Теорема 2.2. Для того чтобы. ММК сходгигся, необходимо и достаточно, чтобы дм любого отрезка [а, /3] с [а, Ь] имело место соотношение

Отметим, что эта теорема отличается от теоремы Сцге и известного критерия сходимости ММК1. Здесь же установлена связь между сходимостью ММК и предельной плотностью сетки.

1 Каппюрочпч Л.В.. Акилои Г.П. Функциональный атыил. М.: Наука, 1977. 7Ц с.

(3)

п —» оо.

Определение. Последовательность сеток шп назовем предельно плотным на отрезке [а, , если, для любой тонки д £ [а, Ь] и любого 6 > 0 существует такой номер ко, чт.о при к > ко найдется, точка ')(к) ^ Шк таКаЯ1 что

|ф> - < *

Справедлива следующая

Лемма 2.1. Пусть ММК сходится. Тогда последовательность сеток ип яв^гяется предельно плотной на отрезке [а, Ь].

Теорема 2.2 и лемма 2.1 играют важную роль в последующих главах.

Далее в §2 рассмотрена теорема Гсльфанда о равномерной сходимости последовательности линейных непрерывных функционалов в банаховом пространстве, которая используется при установлении априорных оценок приближенных решений.

Глава II "Приближенные решения дифференцнапьных и интегральных уравнений в непрерывном случае" состоит из пяти параграфов (§3 -§7). Всюду в этой главе предполагается, что ядро интегрального уравнения (3) непрерывно на квадрате [а, 6] х [а, Ь], а правая часть - на отрезке

М-

В §3 рассмотрен вопрос об эквивалентности метода конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для ряда классов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и метода механических квадратур решения интегрального уравнения, соответствующей данной краевой задаче.

В §4 для случая однозначной разрешимости интегрального уравнения получена априорная оценка приближенных решений. Для функции и(£) € [а, 6], применяя к интегралу формулу механических квадратур (3) и отбрасывая остаток р(К(з,-)и(-),п), от ннтегралыюго уравнения (1) переходим к СЛАУ (2), в которой Ь^—оператор, определенный в пространстве сеточных функций С(и>п) но формуле

¿<ПУП> = (ИЬ «2, ...,«„), 7

vj-^-t (1 < 3 < П), U^ = «(*{»>),

1=1

«<»> = («in), 4'°: .... txír5), /(n) = (ЯЛ /(4'°), M'0))-

Справедлива следующая

Теорема 4.1. Пусть уравнение (1) имеет единственное решение и ММК (3) сходится. Тогда существует пара чисел (M,N) тате, что для любых п> N и любого и'"' G С( о>„) справедливо неравенство

»

< М

L(n)u(n)

(4)

где ||«W|| = max 1<7<п

В монографии2 имеется ниже приводимая теорема. Там же приводится подробное его доказательство с использованием метода Галеркина с возмущениями.

Теорема 4.2. Пусть интегральное уравнение (3) имеет единежвенное решение и* (в) н ММК (5) сходится. Тогда существует такой номер N, что при п > N СЛАУ (4) имеет единственное решение и

справедливо следующее соотношение

max i<j<"

при п —► оо.

В диссертации получено более простое доказательство этой теоремы. Оно основано на априорной оценке (4) и принцип компактности в пространстве непрерывных функций. Для конкретных методов механических квадратур указываются значения N, начиная с которых СЛАУ (2) однозначно разрешима.

~Красиосслъпкий М.А.. Вайпики Г.М.. Забрейко П.П. и др. Приближ.елтое ргшеииг ишртюрпых урататй. М.: Hay ст.. 19G9. 741 г..

В §5 рассматривается случай неоднозначной разрешимости интегрального уравнения (1). Всюду в этом параграфе предполагается, что соответствующее однородное уравнение имеет ненулевое решение и для дайной правой части / € С[а, £>] интегральное уравнение (1) имеет решение и G С[а, 6]. Тогда возникает вопрос. Как определить приближенные решения, сходятся ли они и если сходятся, то к чему? В этом случае использованы идеи теории некорректных задач. Так как СЛАУ, соответствующая интегральному уравнению, может быть неразрешимой или иметь много решений, то вместо СЛАУ рассматриваются системы неравенств, эквивалентные включению вида

Установлено (теорема 5.1), что при г„ > шах \р (A*(s, •)«(■), п)| включе-

S

пне (5) имеет единственное решение v^, минимизирующее функционал

Отметим, что с использованием теоремы Гельфанда показано, что остаток р(К{ь, -)и(-), п) равномерно но в стремится к нулю при п —> оо. Далее в этом параграфе доказано (теорема 5.2), что интегральное уравнение (1) имеет единственное нормальное решение ио(.ч) в пространстве Р--непрерывных на отрезке [я, Ь] функций с нормой

(5)

(6)

«lli = IMIo + NI

где

В шестом параграфе для случая неоднозначной разрешимости интегрального уравнения изучен вопрос о сходимости приближенных решений. В качестве приближений к решению берется решение г^"' включения (5), минимизирующий функционал (6). Для случая, когда ММК - это метод прямоугольников, установлена сходимость приближенных решений к нормальному решению ио(й) интегрального уравнения (теорема 6.1). Отметим, что такое утверждение справедливо и в общем случае.

Теорема 6.1. Пусть и.д1' = 1 и выполнены условия

a) еп > тах|р(А'(й, •)«(•). п)|;

$

b) £п —> 0 п —► 00.

Тогда при достаточно больших значениях п вектор и^ удовлетворяет включению (5) и справедливо предельное соотношение

= 0,

Нт

П—»00

Щ

где ИиМЦ' = р(и<">).

В §7 рассмотрен следующий вопрос: начиная с какого номера N выполняется априорная оценка (4) для любого и^ е С(ып), п > N с постоянной М не зависящей от и^.

Пусть Т11(6),Т12(6)- модули равномерной непрерывности ядра К (я, по переменным ь- и t в квадрате П = [а, Ь] х [а, Ь] соответственно,

ка= тах

В качестве ММК берем метод прямоугольников. Справедлива следующая

Теорема 7.1. Пусть для интегрального вменения (1) справедлива априорная оценка

Н«11см ^ М" 1М1сН1 .

где постоянная Мо не зависит от и. Пусть N такой, что при п > N выполнено неравенство

'Ь — а\ (Ь — а\ 1

(Ь — а) М0 10

Тогда при п > N и любого 6 C(uj„) имеет, место априорная оцткч (d). в которой

М = (3 + 2(6 - а)) А/оХ

х 11 - (6 - а)М0 [(2 + k0(b - а)) т + Ъ ] } ' •

Глава III "Приближенные решения интегральных уравнений с разрывным ядром" состоит из трех параграфов (§8 - §10). В этой главе изучены вопросы о численном решении интегрального уравнения (1) с ядром, имеющем слабую сингулярность, а также вопросы об априорных оценках для приближенных решении и сходимости приближенных решений.

В дальнейшем всюду предполагается, что ядро K(s,t) имеет разрыв только вдоль диагонали s = t квадрата (о, b\ х [в, 6] и удовлетворяет условию слабой сингулярности, т.е. выполняется условие

\K(s,t)\<M\s-tr (7)

при a = t, Щ > 0 и 0 < а < 1/2.

Для замены интегрального уравнения (1) на СЛАУ используются две равномерные сетки

^ = {*1я>,¿=м}и ^ = =

узлы, которых заданы сле;1ующим образом

= а + ih, sf = a + (j + 1/2 )h, где h =

J ¿n + 1

В качестве коэффициентов dj"^ формулы механических квадрату!) выбирается

(„) _ 6-ц "n+l-

При таком выборе ММК е сеткой и>1„, а также с сеткой будет сходящимся. Применив к интегральному уравнению (1) ММК с сеткой ш'п, отбрасывая остаточный член и придавая s значения получим систему п + 1 линейных уравнений с 2п + 2 неизвестными

^1'°) - = /(af). (8)

;=0

Аналогично применяя формулу механических квадратур с сеткой а;;' получим

«(*{П)) - Е 4= Мп)). (9)

£=0

Подставляя в (8) выражение для нз (9), получим систему п + 1

уравнений с п + 1 неизвестными

— о,..., п, (10)

*:=0

где

и}"* = 4П) = "(Л =

»=о

«,<»> = £ ^к^^Щг^) + /(4П)). 1=0

Запишем СЛАУ (10) в форме

М(п)и(п) = <?(п), (И)

где

М^и = К «„...,*„), Ч = - ¿4п)Л<><п),

к=0

= (д(Л 5(4:°)); «(п) = («(Л «(Л Ф^))-

СЛАУ (11) изучается в последующих параграфах. Для ее изучения понадобится одна теорема, которая сформулирована и доказана в §8. В этой теореме установлена связь между коэффициентами СЛАУ (11) и повторным ядром

ь

Яа(М)-= У К{з,т)К{т,Ь)11т.

а

Отметим, что при условии слабой сингулярности (5) функция /^(б1, <) будет непрерывной для всех (в, £) € [а, 6] х [а, 6]. Имеет место следующая

Теорема 8.1. Пусть функция К(з, £) непрерывна в [а, 6] х [а, Ь] за исключением, быть может., диагонали я = £ и удовлетворяет условию слабой сингулярности (7). Тогда справедливо предельное соотношение

max

i=О

О

при п —> оо.

В §9 установлен аналог априорной оценки (4). Наряду с интегральным уравнением (1), рассматривается в пространстве С [а, 6] однородное интегральное уравнение с повторным ядром К^^):

ь

4(з) - J К3(в, = 0, а < я <Ь. (12)

а

Теорема 9.1. Пусть интегральное уравнение (12) в прост^нстве С [о, Ь] не имеет ненулевых решений. Тогда существует пара чисел (К, N) таких, что для любых тг > N и любого и^ € справед-

ливо неравенство

< К

В §10 исследуется СЛЛУ (11) п изучается сходимость приближенных решений интегрального уравнения.

Имеет место следующая

Теорема 10.1. Пусть выполнены условия теоремы 9.1. Пусть функция и*(s) явмется решением интегрального уравнения (1). Тогда при достаточно больших значениях п система уравнений (11) имеет, единственное решение . j = 0, п и шкет место равенство

lim max Ын) - v/tó"1)! - 0. n~>œ 0<j<n I 3 ■> I

Следует отмстить, что при условиях теоремы 10.1 однородное уравнение, соответствующее интегральному уравнению (1) имеет в пространстве С\а, Ь] только нулевое решение.

Л нто]) выражает искреннюю благодари осп. своим научным руководителям профессорам Э. Мухамадиеву н С. Байзаеву за внимание к работе.

Публикации по теме диссертации

1. Исомаддинова P.M. Об одном доказательстве георемы о сходимости метода механических квадратур решений интегральных уравнений •'/ Материалы научно-практ. конф. ХФТУТ. Худжанд. 2001.С. 6-9.

2. Исомаддинова P.M. Об одном применении теоремы Арцела // Материалы научно-практ. конф. ХФТУТ. Худжанд. 2002.С. 8-9.

3. Исомаддинова P.M., Мухамаднев Э. О сходимости метода механических квадратур // Материалы конф. "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент", Ташкент, 2002.С. 55-56.

4. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э., Гуломнабиев С. О численном решении интегрального уравнения Фредгольма с разрывным ядром // Материалы межд. конф. "Актуальные проблемы математики и се приложения", Худжанд. 2003.С. 92-93.

5. Исомаддинова P.M. О численном решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода // Доклады АН РТ. Т.47, №4, 2004. С. 22-26.

6. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э., Байзаев С. О приближенных решениях интегрального уравнения Фредгольма второго рода в случае неоднозначной разрешимости // Материалы межд. конф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа", Душанбе. 8-10 ноября, 2005.С. 103-106.

7. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э., Байзаев С. О приближенных решениях интегрального уравнения Фредгольма второго рода в случае неоднозначной разрешимости // Доклады АН РТ. Т.50, №11-12, 2007. С. 808-811.

Сдано 1.09.08. Подписано в печать 3.09.08. Гарнитура Times Roman. Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60x84. Тираж 100 экз. Заказ № 65 Цена договорная

Отпечатано в типографии ООО «Ховарон».

Введение.

Глава I. Основные понятия и утверждения.

§ 1. Сеточные функции и их свойства.

§ 2. Метод механических квадратур.

Глава II. Приближенные решения дифференциальных и интегральных уравнений в непрерывном случае.

§ 3. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

§ 4. Случай однозначной разрешимости.

§ 5. Случай неоднозначной разрешимости.

§ 6. О сходимости приближенных решений.

§ 7. Априорные оценки приближенных решений.

Глава III. Приближенные решения интегральных уравнений с разрывным ядром.

§ 8. Случай слабо сингулярного ядра.

§ 9. Априорные оценки.

§ 10. Сходимость приближенных решений.

Актуальность темы. Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений составляют важное направление в теории приближенных методов решения математических задач. Эти методы приобрели особое значение в связи с возникновением дифференциальных и интегральных уравнений в прикладных задачах: теории упругости, гидро-и аэродинамике, физике элементарных частиц и др. (см., например, [17, 18, 23, 27, 40, 43, 45, 52, 53, 56] и имеющуюся там библиографию). В общей теории приближенных методов основополагающую роль сыграли фундаментальные работы Л.В.Канторовича, Н.Н.Боголюбова, Н.М.Крылова, Г.И.Петрова, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского и др. (см., например, [36, 37, 41, 42, 48, 51] и имеющуюся там библиографию).

Одним из самых эффективных методов приближенного решения интегральных уравнений является метод механических квадратур (ММК). Он широко распространен на практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений (см., например, [14, 15, 35]). Замена интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применялась еще в фундаментальных работах Фредгольма и Гильберта. В 1904 г. Фредгольм используя формулу прямоугольников заменял интегральное уравнение с непрерывным ядром на СЛАУ. Позднее Гильбертом было дано доказательство сходимости решений СЛАУ к решению интегрального уравнения (см., например, [59]). Использование СЛАУ для приближенного решения интегральных уравнений получило дальнейшее развитие в работах финского математика Нистрёма, который применял и более точные квадратурные формулы (см., например, [61, 62]).

Созданный А.Н.Тихоновым [51] метод регуляризации построения приближенных решений некорректно поставленных задач позволил глубже применять ММК для приближенного решения интегральных уравнений, в частности интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Применению метода регуляризации для интегральных уравнений Фредгольма второго рода посвящены ряд работ Б.Алиева (см., например, [2 - 5]).

Разработанный С.М.Никольским [45] простой метод подсчета погрешностей квадратурных формул позволяет находить точные оценки скорости сходимости приближенных решений интегральных уравнений (см. также [1, 39, 50]). Построению наилучших квадратурных формул посвящены ряд работ М.Шабозова (см., например, [54, 55]).

Численным методам решений интегральных уравнений с разрывными ядрами, наиболее часто встречающихся в прикладных задачах, посвящены большое количество работ К.И.Бабенко, С.М.Белоцерковского, Б.Г.Габдулхаева, В.В.Иванова, И.К.Лифанова, А.Ф.Матвеева и др. (см., например, [6, 7, 11 - 13, 19, 20, 24, 40, 47, 57, 58, 60]).

Дальнейшее изучение ММК для приближенного решения интегральных уравнений второго рода остается актуальной и важной как с теоретической, так и с практической точек зрения. Особенно важными являются следующие вопросы: применение ММК к интегральным уравнениям с разрывным ядром, рассмотрение случаев наличия спектра, указание номера, начиная с которого СЛАУ, к которой приведено интегральное уравнение разрешима.

Цель работы. Для линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода ь

Lu = u(s)~ \K(s,t)u{t)dt = f(s\ a<s <b, (0.1) a с непрерывными и слабо сингулярными ядрами на основе ММК и принципа компактности получить новые утверждения о приближенных решениях, как в случае однозначной разрешимости, так и в случае наличия спектра.

Общие методы исследования. В работе применяются ММК, принцип компактности в пространстве непрерывных на отрезке функций и ряд методов функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации.

1. Получено новое доказательство разрешимости СЛАУ =/<->, (0.2) полученных путем применения ММК к интегральному уравнению (0.1).

2. Указан номер, начиная с которого СЛАУ (0.2) разрешима.

3. Получены априорные оценки для приближенных решений (решений СЛАУ (0.2)) интегрального уравнения (0.1) как в случае непрерывного, так и в случае слабо сингулярного ядра.

4. Установлена сходимость приближенных решений к точному решению.

5. В случае наличия спектра доказана сходимость приближенных решений к нормальному решению интегрального уравнения.

Теоретическая и практическая ценность диссертации. Полученные теоретические результаты могут быть использованы при решении конкретных прикладных задач.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- конференция «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент» (2002 г., Ташкент);

- международная конференция «Актуальные проблемы математики и ее приложения» (2003 г., Худжанд);

- международная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа» (2005 г., Душанбе);

- конференции преподавателей Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана;

- семинар кафедры высшей математики и моделирования Таджикского госуниверситета права, бизнеса и политики;

- семинар кафедры дифференциальных уравнений Худжандского госуниверситета им. академика Б.Г.Гафурова;

- семинар кафедры высшей математики и физики Худжандского филиала Технологического университета Таджикистана.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ (см. [28 -34]). Все результаты диссертации принадлежат лично автору за исключением постановки задач.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Текст диссертации насчитывает 99 страницы. В списке литературы - 62 наименования.

1. Акбергенов И. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма. //Матем. сб. 1936. Т. 42, вып. 6.

2. Алиев Б. Регуляризирующие алгоритмы для устойчивого нормального решения уравнения 2-го рода на спектре. //ЖВМ и МФ. 1970. Т. 10, №3.

3. Алиев Б. Оценка метода регуляризации для интегральных уравнений 2-го рода на спектре. //ЖВМ и МФ. 1971. Т. 1, № 2. С. 505 510.

4. Алиев Б. Построение приближения к нормальному решению уравнения Фредгольма 2-го рода на спектре. //ЖВМ и МФ. 1999. Т. 39, № 7. С. 1087-1092.

5. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 832 с.

6. Артмеладзе Н.А. Труды Математического института АН Гр. ССР. 1944. Т. 13. С. 287-295.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1975. 631 с.

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 600 с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Физматгиз, 1959. Т. 1, 1960. Т. 2.

10. Блатов И.А. Об алгебрах операторов с псевдоразреженными матрицами и их приложениях // Сибирский математический журнал. 1996. Т. 37, № 1.С. 36-59.

11. Блатов И.А., Бубнова Н.В. Об оценках элементов матриц в методе вейвлет-галеркина для сингулярных интегральных уравнений. //Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2004. Специальный выпуск. Вычислительная математика.

12. Бубнова Н.В. Свойства разреженных матриц в методе Бубнова-Галеркина. //В материалах Всероссийской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ — 2004)». 27 — 28 мая 2004 г., Самара. С. 33 -36.

13. Вайникко Г.М. Возмущенный метод Галеркина и общая теория приближенных методов для нелинейных уравнений.//ЖВМ и МФ. 1967. Т. 7, № 4. '

14. Вайникко Г.М. Компактная аппроксимация операторов и приближенное решение уравнений. Тарту. Изд. Тартуского гос. ун-та, 1970.

15. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Изд. МГУ, 1989.

16. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 732 с.

17. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры. М.: Мир, 1977.486 с.

18. Габасов Н.С., Касакина И.П. К численному решению интегральных уравнений второго рода в классе гладких функций. //В материалах Всероссийской конф. «Математическое моделирование и краевые задачи (ММ 2004)». 27 - 28 мая 2004 г., Самара.

19. Габдулхаев Б.Г. Численный анализ сингулярных интегральных уравнений. Избранные главы. Казань. Изд-во Казанского университета. 1995.-230 с.

20. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971.248 с.

21. Гилязов Ф.Г., Морозов В.А. Оптимальная регуляризация некорректных нормально разрешимых операторных уравнений. //ЖВМ и МФ. 1984. Т. 24, № 11. С. 1737 1742.

22. Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

23. Иванов В.В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных уравнений. Киев: Наукова думка. 1968.

24. Иванов В.И., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

25. Ильин А.Н., Емельянов К.В. О числе арифметических действий необходимых для приближенного решения ИУФ второго рода. //ЖВМ и МФ. 1967. Т. 7, № 4. С. 905 910.

26. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. 336 с.

27. Исомаддинова P.M. Об одном доказательстве теоремы о сходимости м.етода механических квадратур решений интегральных уравнений.// Материалы научно-практ. конф. ХФТУТ. Худжанд. 2001г. С. 6-9. •

28. Исомаддинова P.M. Об одном применении теоремы Арцела. // Материалы научно-практ. конф. ХФТУТ. Худжанд. 2002г. С. 8-9.

29. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э. О сходимости метода механических квадратур.// Материалы конф. «Математическое моделирование и вычислительный эксперимент», Ташкент, 2002г. С. 55-56.

30. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э., Гуломнабиев С. О численном решении интегрального уравнения Фредгольма с разрывным ядром.// Материалы межд. конф. «Актуальные проблемы математики и ее приложения», Худжанд. 2003г. С. 92-93.

31. Исомаддинова P.M. О численном решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода.// Доклады АН РТ. Т.47, № 4, 2004г. С. 2226.

32. Исомаддинова P.M., Мухамадиев Э., Байзаев С. О приближенных решениях интегрального уравнения Фредгольма второго рода в случае неоднозначной разрешимости.// Доклады АН РТ. Т.50, № 11-12, 2007г. С. 808-811.

33. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

34. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа." М. Л.: Физматгиз, 1962.

35. Красносельский М.А., Вайнико Г.М., Забрейко П.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 741 с.

36. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука,1967.

37. Крылов А.Н. Лекции о приближенных вычислениях. М.: Гостех-издат, 1954.

38. Матвеев А.Ф. Прямые методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений и их приложение к задачам аэродинамики и физики элементарных частиц. Докторская диссертация. МГУ. 1999.

39. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.

40. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

41. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

42. Неганов В.А., Раевский С.Б., Яровой Г.П. Линейная макроскопическая электродинамика. Т. 1. М.: Радио и связь, 2000. 509 с.

43. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1988. 216 с.

44. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двухмерных задачах дифракции. Киев: Наукова думка, 1984. 344 с.

45. Савченко А.О. Решение линейных уравнений со слабой сингулярностью неявным квадратурным методом высокой точности. //Межд. конф. по вычислительной математике. МКВМ 2002 (24 - 28. 06.02), Новосибирск.

46. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука,1971.

47. СёгеГ. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 550 с.

48. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. , ^ ■ •

49. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 288 с.

50. Уфлянд Я.С. // Журнал технической физики. 1978. Т. 48. Вып. 8. С. 1741-1744.

51. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. М.: Наука, 1977. 220 с.

52. Шабозов М.Ш, Каландаршоев С.С. //Докл. АН ТаджССР. 1988. Т. XLI, №10. С. 69-75.

53. Шабозов М.Ш., Сангмамадов Д. О наилучших квадратурных формулах для интегралов с фиксированной особенностью.//Труды межд. конф. по диф. и интег. ур-ям с сингулярными коэффициентами. Душанбе. 25 28 октября 2003 г. С. 22 - 26.

54. Шушкевич Г.Ч. Электростатическое поле тонкой незамкнутой сферической оболочки и тора. //Журнал технической физики. 1998. Т. 68, №7. С. 1 6.

55. Beylkin G., Coifman R., Rochlin V. Fast wavelet transforms and numerical algorithms //Comm. Pure. Appl. Math. 1991. Vol. 44. P. 141 183.

56. Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets // Comm. Pure. Appl. Math. 1988. Vol. 46. P. 909 996.

57. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integral-gleichungen. Verlag von Teubner. Leipzig und Berlin, 1924.

58. Hildebrand T. Proc. Amer. Ac. Arts. u. Sci. 74. P. 287 295. 1941.

59. Nystrom. Comm. Phys.-Math. Soc. Scient. Fenn., t. IV, № 15. Acta Math. t. 54. 1930.

60. Nystrom. Acta Math. t. 76. P. 157 184. 1945.У