Интегральные операторы в пространствах функций на однородных группах и на областях Rn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГ6 од

1 8 АПР Wh

? ö С С Y. 'Л С К А Я А К АДЕ i¿ К

MA 1 Kiv'ATî. г j S « JIhC-Г..УГ ~ :

-Aги; САБ-?С£}:Ч

KHIZTPAÍbHbE GEPATOPÏ В ПРОСТРАНСТВАХ «i"Hr2Ki НА ОДНОРОДНЫХ ГРУША! 7. НА ОБЛАСТЯХ R*

01.01.01 - .'/.at s;'.ату-че ск?.и анаиз

КОС »SA - 1934

Работа зьдгслнена в С "еле теории функции Математического :::-:с"гуг£ . Б.А.Стег.тсза РАР и Бакинском Гссукпверсптете им.

с.Р^Зу-^ЗЭ.

¡.■¿тематически: наук,

прсфессср С.Р.Бесов;

дскгор физико-математических наук,

профессор С.Е.УспенскпГ;

дскгор физико-математических наук,

профессор С.К.Водопьянов

Ведуиая организация - Ростовски: Государственный университет

Защита диссертации состойся "_" _ 19Э4 г.

■в часов яа заседании специализированного совета Д0023803 по задите докторских диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук б Математическом институте им. Б.А.Стеклова АН России. Адрес совета 117966,Москва, ул. Равпяова 42.

Защита будет происходить по адресу: 117966, Москва,

С лгссертацпе£ мсенс ознакомиться з библиотеке Г.'атематпчес кого института им. Р.А.Стеклова по адресу: 1179££,Пссква,

Автореферат разослан " " 1934 г.

7чены£ секретарь совета^ А.СЛодево

— О -

сещая характерно-разок

АКТ'/АЛКЧССТЬ ТВЪ'. Одно дз основндх дсстд.-.ендд последндх

I

десятилетий, повл7.явд~'.х на обЛ7Д-: гар:'.:эндчес:-:сго акглдза, состоит з успехкс;.; привлечен?.?. длэгс 2 техндкд теогди сднгулярных интегральных операторов тдда дотенддала. Зт;: ддег. г ;,:етоды применяются в теоркл уравнений с часткктл продззодны.\д:, тео-2?.7. фуккдик, <рункгп:оналБЯС?.; аналдзе, таорпд вероятностей, задачах теории приближений, гармоническом анализе на однородных группах I: других разделах ¡.'-атэ!,:атнки.

Ксслбдоданг.я, представленные в дг.ссэдтадд;:, посвяпены проблемам теории интегральных операторов типа потенциала ?. сингулярных интегральных операторов ка однородных группах 2 на областях Я . На основании полученных результатов ус.-тановлекы теорегш злояенкя (з том числе е весснне) для бана-хозо-зкачных анизотропных пространств типа Соболева, Бесова, Соболеза-Лиузилля и 1изор:-зна-7рибеля.

Теория вложения классов дтнкдпй .-¿ногих действительных по^лд'.^о ^^Сг^-г-—'о интетс-са с точки здения теории ;г.уккгд:й, дкеег огочло,:л элективные применения з теории ддэгерегдтиальных уравнений в частных производ-

НЬ'Х.

Начало классической теодии вло.:'.5ннй классов дуЛсеренни-руеккх ?узкдх!й :.'-ног7.х переменных дслонеко в таютах С..".СсСо-лева 5С-х годов в связи. с редениэм ряда задач математической фазахи. С.Л.Соболев рассматривал классы дункдг.й Й/, (£<0 . заданных на области С /? и и-'.'.еюсих на все обоб-

щенные частные производные и ■ " сс (ы<>-

порядка 7: = с/, + .с(„ , интегрируемые з р -он степени

и < р < со ) на ^' . При этом доказательство теорем зло:?внхя для классов Мр ( ^ ) базировалось ка введенном г." интегральном представлен?.?, ауннддд ^ € (£2) . Сле-гукдим этаг.ои в развдтдд теории вложения исследования С .^.Никольского (1547-1951), провэденнне им для пространства Нр гункддй со свойство:.: обобщенной гэлъдерозостя. е..Никольским былд разработакн новые хетодн, оснозаднке на теории прд-;ли.~.енд::, с поггодью которкх построена завершенная система теорем вловандя для семейства пространств 00 »

~г> С ). 3 дальнейшем 0.5. Бесов (1561) построил аналогичную •теорию влояендя введенных ?л более! общих пространств В>ре С К -( ^ ^ р, & < со ). Исследования многих г/лтематикоз в этом направлении отражены в монографии 0.Б.Басова, В.П.Ильина и С.М.Никольского (19-75).

В связи с исследованием краевых задач для зкроядакижхся уравнении эллиптического типа в конце 50-х годов началось дзучендз нэооваХ пространств дшсрререшируеькх функндй. Глубокие результаты и пегвое систематическое изложение этой тзо-прднадлэ-ндт л.а.^дрявдезу (1555).

Дзльн-з/пне ¿укдамекталькке продвижения теории злохекия туккциональнкх пространств прдкадтг:-:.ит С.л.Соболеву, 0.:.».. нсльскжу, л.£.Кудрявцеву, 0.Б.Бесову, З.ПЛльдну, П.Л.Лд-зоркику, С.В./спенско.\:у д др.

В консгра&гк З.Г.'^азьл (1554) годрэбко изложены современные достижения автора д других ¡¿атематиксв з тесрдд влсже-

кия этнкциснальнкх поостсгнств. Раззитие теории вложения, в " 1 -

трудах зарубежных ученых, достаточно полно отражено з монографиях Н.Л.Лдонса, .Э.Малзэнзса, ХЛрибэля и др,.

; - 5 -

Развале нового направления э теории Ело-гендХ - зло.-ендя пространств аСстрактЕкх фуюсл?.?. заложено в работах С.Л.Соболева г л.Л.Лгснсг. Далькейше иролБЕ:?.ен7.л з этом направлен?.?, прднадле.гат В.Ь.Кэротяозу, А.Н.Гугдезу, X.П.Гдльдерлгану, 7. наград ту, Г..::.л23оркдну, Б.Б.ьажурсзу, А.Б.Будзялсзу и др.

Еолг для пространств £> -значках функий онлц гслучены теорему влечения для "непредельного показателя", то з случаях "предельного показателя" удалось получить (Я.-Б.Бухзалоз) тэорекк злокення лишь гля изотропных пространств иМХ> -значнкх хуккпг.2. Основных препятствием для дальнейшего развития теории вложения анизотропных пространств В -зкачных |ункдгй являлось отсутствие (даяе для (//"/£) -значках функций) свойства ограниченности анизотропных сингулярных интегральных операторов з Ар 2 теоремы об 1_р -мультипликаторах. Это препятствие преодолено в данной диссерталин для пространств Е> , являющихся (УМЪ -репетками.

ЕШЬ РАВНЫ - исследование интегральных операторов типа потенпгала и сингулярных интегральных операторов ка однородных группах и на сЗластях Р

НАГ-ШАЯ НОВИЗНА. Основные результаты писоертагп'Н состоят з слздуисе::: '

I. Для г/онотокннх радиальных весов найдены необходимые и достаточнее условия (критерий) справедливости двухвесэзых ¿.р -нэравенстз .для ннтегратоз типа потенциала на однородных группах.

Получены достаточные условия на монотонные радиальные вэса.лри котором справедливы двухзесозыэ 1-р -неравенства для сингулярных интегралов на^руппе Гейз.евберга ив

- с -

^ с обобщенней дклатацией.

2. Обнаружены весовое "эффекту" ¿ля интегральных операторов (б том числе и сингулярных), возндкаюоие в теоремам злэзения ддя облаете? з Р , Б частности, установлено двухвесовое неравенство ддч возраставших радиальных весов зкепонендиального роста, На его основе получены зесовке тео-

вложения для весоз экспоненциального роста. Б ряде случаев долучены весовые теореул1 влонэния с произвол ьны;«:и всзрас-гаиша весами.

3. Установлены двухзесовыё ¿.р -неравенства для пара-1длдческого (сингулярного) интегрального оператора для весов

Со более пирокого класса. В частности, для убываниях радиальных весов экспоненциального вида ■ доказано двухвесовое неравенство для параболических (в том числе, и сингулярных) интегралов. В ряде случаев получены неравенства с произвольно тбкБагтами весами.

4. Построены весовые обобщенные гельдерозы пространства, з кот""-:х ограниченно действует сингулярный интегральныд сгедагор на группе Гедзенберга Ж"

5. ¿>я сун:-с1Р± со зкачендя'.з из (УЛ72) - ранетки доказана ограниченность в Ар , а также в весовых [_р -~рос-транстзах анизотропных сингулярных интегральных операторов в

ß^л _

. получены теорэкы о мультипликаторах интегралов ;трье в пространствах О?"; Ь) , р- [Ръ р„) , :< Р^ ОО , , где В - (/МЯ -редетка. На

основании этих результатов доказаны теоремы елс.жеяил для пространств В -злачных функций типа пространств Соболева, Басова,-;Соболева-1гз^ЕЛЛя е Лизоркава-Трибеля, а такхе г ве-

- 7 -

совых пространств Соболева (являвшиеся новьао: да~з для весовых пространств Соболева числовых функции).

I

5ЕТ0ДУ ИССЛЕДОВАНИЯ. 3 раготе используются как обдне методы теории функций вещественной переу.еннои, теории потенциала, гармонического анализа, теории функциональных пространств, так и специальные (гармонический акатпз на нпльпэтэнтных группах Ди, векторное интегрирование).

АПРОБАЦИЯ РАБОГз. Результата диссертации докладывались на Международной летней сколе "функциональные пространства, Дифферекгшатькые операторы и нелинейный анализ" (Германия, Фридрихрода - 1992), на Всесоюзных конференциях по теории функций (Баку - 1983, Грозный - 1969), на Всесоюзной зимней школе "Теории функций г приближений" (Саратов - 1983, 1990), а такие на семинарах СНикольского и Л.Д.Кудрявцева, Е.И.Ли-зоркила и О.В.Бесова (ШГАН) , X .Три б эля (Йенский университет), А.А.Бабаева (Азгосукпзерситет), В.К.Бтренкова (УДН); Б.И.Ко-килагвили (Кат.ик-т И1.'..А.Д.?аз;ладзе), А.Д.Дзабраилоза (АзИСИ).

ДУБ£':1А1ЛД'. Оснозкке результаты диссертации опубликованы з раоотах [- - 13 ] . список которых приведен в ненце автореферата.

СТРУКТУРА Д^ССЕРТАДНИ. Диссертационная работа состоит пз зведекия, четырех глаз и списка литературы, содержащего наименований. Общий об"ем диссертации - 35.3 страниц.

СОДЕР^А-ББ ДИССЕРТАЦИИ

Во зведении приведены основные определения и сфориулиро-занк основные утверждения диссертационной работы; даны необходимые пояснения к комментарии.

- 8 -

Нумерация.теорем в утверждении в автореферате совпадает с соответствующей нумехацией, приведенной в диссертация.

В первой глазе доказывается аналог теорем Соболева на однородных группах Су в пространствах Ыоррг. [_ ^ ^ ( С-) , а оенно, показано, что интегральный оператор типа потекцда-ла £ -> , где

1= ] гсау*1/'^;^ (1.2.2) б- '

при условиях О ± <3 , О оС < -р- , -р

огракгленно действует из пространства 1_? л ( в ^ (60 , 7. с х .) - норма однородной грущы. ' ~ * _

- "Далее, доказывается,-, что'интегральный оператор К

, где &

ограниченно действует из в ВГЛО пра

0< . Показано, что дал оператора аналогич-

ный результат не имеет место. Кроме того, в первой глазе, в тешинах характеристик

Нр

хА^х) Ц?-} > т

г ( 5

я*«, О = ( 1 1Ь«1Р«/*)

получены оценки для интеграла типа потенциала £ 4 (1.2.2) на однородных грушах (х , а гакзе для сингулярного ен-теграла / / Еа группе Гейзенберга и сингулярного интеграла .Я .с обобщенной далатацией' (растяжение с'

Брацением). В терминах характеристик г) , ({, т)

¡~ *

взедэны пространства I р& С С, г) , Гр& ( С, ^ крс «=,

которые кат: показано в §1.3, при 9= р совпадают с кекото-

зесовкл! дм стран отвал: С О) с конечно:; нс>-

г,Си{.гч>)

\'р

НИ -С ] , 1-рс^

¿о г

где вес является монотонно;; функцией, зазпеялэл ст

тех) .

— _

Пространство I р^ССь , I 'р) изучено в §1.3

относительно интегрального оператора типа потенциала на & , а в § 1.4, 1.5 относительно сингулярного интегрального оператора на группе Гейзенберга и в с обобщенной дилаталией.

Отметим, что использование хатзактеокстик бесет

. Р

начало с работ С.К.Абдуллаева, А.А.Бабаева-' при изучении одномерного сингулярного интеграпа с суммируемой плотностью по интервалу .

В пного;.:ерно:/. случае эти исследования продолжены г.Ь.Шалаевым, С.К.Абдуллаезк;.-. к Е.Г.Тусе^ногк;/..

3 §1.3 оденет ^((Г^т) и ^¿Ч^г) да-ся в следующих теорэ.мах.

ТЕОРИИ 1.2.2. Пусть {■ г.з.'.-.ернх.ая на С гу:-д-пд'^ и сю го<о(<(3 . Тогда при сходимости интеграла

I) Абдуллаев С.К., Бабаев А.А. п.?:-:о?эрне о::энки для особого интеграла с суммируемой плотностью // ДН СССР, 1559, т.188, с.263-265.

- 1С -

Г

J tp'

0

справедливо неравенство __ > <?

где постоянная С не зависит ст 7 , р р' _ Е

J. S г — Р " 1 О- •

ТЕ0Р2ЛА 1.3.3. Пусть 4 измеримая на G функция,

крс^.с», 0<.*L<Q_.Z

Тогда при сходимости интеграл

• jV*" д;if,-»Л 1 '

справедливо неравенство

<5? 00 *

j" i *

где постоянная С не зазиепт с: +

Если монотонная функция восстанавливается через сзою дроизводнуэ, то следствия I.S.I и 1.3.2 дазт условия на производные функции Cj и Ц для справедливости неравенства

IR'ill, if:1iclli"; со (I-3-s>

с достоянной £ , не завдсялей ст функции f .

СЛЕДЗТБИЕ 1.3Л. Пусть додазтельнке функции Ч* , % суилируемы на каждом промежутке с С 01ой) и f Р< <

0<cL< Q ^ ~ - ~

лсли

р/9 t , , J"'

WlC г) Г ^ d~ J ( j ПГ) Г </rj<<», t»<3 ^ о •

то для интеграла типа лотенппача R на однородной группе

G (1.2.2) имеет 1.:есто неравенство (1.3.8), где t -t

a 0

СЛЗДЗТЗйВ 1.3.2. Пусть поло.-птелькке функции ^ , fa. суммируемы на каждом промежутке =®) С оо^ и 1<р><<х> ,

0<d< а и X _ f - *

р t- а

Если

sup ( JwiiOt"^) ( W r '

О t

то для интеграла типа погекпнала / имеет место неравен-

ство (1.3.8), где

aa

Со

U"> = JVtrPch: , CJ.U)- j

t

Б §1.4 для анизотропного сингулярного интеграна в R с Tf(x)lXC:Rn!WncF. оценки 5plTl,t) и ¿3p4Tfr).

ГЕОРЕАЗА 1.4.2. Пусть / < р< », ядра К сингулярного интеграла / удовлетворяет условп-'- Бпнл п нулевое с;

нее значение на единичной ciepe и | пз:.:ери''ач на/? фуакшк. Тогда при сходимости пнтеграпа

j t 'О

сингулярный интеграл / /(зО существует дочти везде в R и икеет место нешвенство

5p(Tí r) ¿ce J i P ¿¿MaIcH,

' Oj r

ríe С не зависит от f и T .

TE0FEL1A 1.4,3. Пусть j<p<oo f ядро К сингулярного интеграла / / удовлетворяет условиям теоре;.;ы 1.4.2 к на к пункция. Тогда при сходимости интеграла

1 i'^jGpCí.-1)^ i

сингулярный интеграл

существует почти всюду в К и кшет место неравенство а

'а!ст(,т) - ст* I '^"а;им*,

г Т

тхз постоянная С Ее зависит от { и Т ,

А также для монотонных функций восстанавливающимися-через свою производную, следствия I.4.I и 1.4.2 дают условия на прог.ззодныэ аункдил С^ и для справедливости неравенства для сингуллоного иятеграча

II Tí II - С И II. . {1.4. IX)

с постоянной С , не зависящей от функции |

СЛЕДСТВИЕ 1.4.1. Пусть I < f> < °о и положительные сункцни Y , сушшруемы на каждом промежутке

Св. г) с Со, . Х

Если

- 1С -

¿3 ^ о

то для сингулярного интеграла хеРшлеет .место неравенство (1.4.П), где

■ь 1

о о

СЛЕДСТВИЕ 1.4.2. Пусть {< р<; ^ и положительные функции Ч7 . % суммируемы на каздом промежутке (ТГ.^о) С (о, о°) . Если

\Viir) Тс(т)( )ПтУ Т Ыт)

то дня сингулярного интеграла7?Ьо г£/?имеет место неравенство (1.4.11), где

О0 СХ5

i -6 В §1.5 для сингулярного интеграла Т4 на группе Гей-зенберга также дактся .£2р("П,т) и ( Т/, Т.)

Содесхание главк I частично опубликовано е / ¿з3 [4]

[5].

Исследование неравенства (1.3.8) и (1.4.11) с произвольными монотонными Функциями проведено в глазе 2.

В §2.1 доказываются необходимое и достаточные условия кгя справедливости неравенств (1.3.8). В основном, используется аппарат предыдущей главы.

В связи с результатам §2.1 для "радиальных" весовых пар (£0,0;,") - введем условие

(Ю .

т*

— 1<» —

ОДРЕДЕЖЗЕ 2.1.1. Пусть ¿о С О , Ц положительные функции на (0, •э°") , } <"р ^ ^ ^ оо , ¿>< £

| Множество пар весовых функций (ОА-О, Со, ^-Ы,) , удовлетворяющих условия:,:

, ? и-^-иМ, г М'1 г-', \м

^Ч ат) \ }Ит) Т (2.1.2)

г о

/ г «"»Л? <+*>Г'*Г',/ Г

^р(\ЩГ)Г ¿Г) ( \iotr) Г с*т]<ъо } (2.1.3)

о _ г - .

обозначим через . = *

ТЕОРША 2.1.4. Пусть О < <* < <2 ,

г Си*.-О , монотонные функции на {о, со) .

Тогда для справедливости неравенства (1.3.8) необходимо

и достаточно, чтобы о,) <г ,5 С Я).

Р1 л

В §2.2 доказывается достаточные условия для справедливости неравенств (1.4.11) для сингулярного интеграла

в с обобщенной дилатацией и для сингулярного

интеграла 7"У Н5- группе Гейзенберга %" .

Т20РЕ.1А 2.2.1. Пусть 1< Р< ^ , ядро К удовлетворяет услс вл!1 Дики и имеет нулевое среднее значение на единичной сфере п монотонная весовая пара (о;, с^) <с 5р (2>г + 2.) •

Тогда при ¿-р ^ ^ сингулярный интеграл

существует почти при всех х е ЗС и имеет место неравенство (2.2.1).

, (2.2.1)

г

где постоянная С', не зависит от f

С темп ~е методам такде доказывается аналог теоре:.:ы (2.2.1) для сингулярного интеграла 7~/ в /? с обобщенно?: дилатгцие:Г:.

TE0P3.1À 2.2.5. Дусть 1<р< оо , .ядро сингуляр-

ного интеграла удовлетворяет условиям теоремы 1.4.2

и весовая пара (сu, îjj.) <= ( О.) .

Тогда при | £ iLp(ta(_pUl) ( R ^ сингулярны" интеграл 7~f(x) почти при всех Х6 существует п имеет место неравенство (1.4.II).

В § 2.3 получены весовые "эффекты" для интегральных операторов, возникающих на основе интегрального представления В.П.Ильина, О.В.Бесова для областей в , удовлетворяющих { -рогу.

Как показано (см. теорему 2.3.2), эти интегральные операторы обладают некоторыми дополнительны!,ж свойствами в весовых -пространствах по сравнению с общими (сингулярными) интегральны,;и операторами. Эти дополнительные свойства (весовые "эффекты") заключаются в toi/;, что возраставшие и убывающие веса требуют различного подхода. В предшестзуших работах изучались в основном степенные веса. I,îh изучаем произвольные всзрасташие ' веса, в том числе и возрастающие веса экспоненциального роста.

Отметим, что упомянутые "зффекты" в случае степенного веса

-п

появились в работе С.В.Успенского з случае сингулярного интеграла (при получении весовые теоремы влодения областей в R,П ).

I) Успенский C.B. О смешанных производных функций суммируе.-'-ых с весом //Лифференц. уравнения, IS67, т.З, Гг I, C.I3S-I54.

ТЕОРЗМ 2.3.2. Пустьт:.ает вдц й = { эс^ (*',*„); x'¿Rn'\ ¡ X^W) } f (2.3.1)

нкция Y удовлетворяет "анизотоопному" устов'пэ

гельнне) Кр^.о, , ot = |8r|(¿-, п весовая пара

пистонных функций (CJU\ U'itt)) удовлетворяет условию а), лдбс б):

^ <*J - возрастакцая функция не {О, ос) н _ р/Й

dC>a7 vi е íoroo). cjru-)~-r--¿ с o/u) й СО - убыващая функция на '{О, °о) ж

>>о 0 > '

. " t

Л ' £ Z

Тогда оператор í -ну Kiz f ,

i~í ' £ * sEzeer огрыичензое огоОранение Lpí¡ 13) в (Д) _ Езетя,

(Як í

^ ^ (2.3.6)

где постоянная С не зависит от i , € п 7

СЛЕДСТВИЕ 2.3.2. Пусть _Q имеет гад (2.3.1), í< ps г

y i>° . ¿>¿> .

р р

Тогда при -— < р> $ р I — < оо справедливо неравенство (2.3.С). |

С.ТЕХСТКГБ 2.3.2. Пусть О жеет вид (2.3.1) ,Кр< <. с*.

(.7-у) , циЬ^(М).

р

Гсгда прд £?<■ ^ < р, < ее дг,;еег ;.:естс неравенство (2.3.7):

( ^ I (С^ I г е*р ( й, ) %

9

дце О^'Е< 1 $ оо > постоянная С не зависит от £ , Ь , 1 .

С13ДСТБ1Ш 2.3.3. Пусть & имеет вид

И Си и), 1 ? с любая зезраотагдея пслс^тель-

ная функция на (о,00) .

Тогда для интеграла К£г { (А), з: € справедливо

неравенство

( 5 íketM ^(я^3^) ^) *

-Q !

<С ( \ IÍCx)lPCd )'/Р

q ' > (2.3.6)

где О i í < 1 < t постоянная С не зависит от / , £ , 1

Б § 2.4 д: лучены зесоЕые "эффекты" другого типа для параболических синдуляокых интервалов Не í к папабслическнх потекци-адез HJ.

T30P3.IA 2.4.1. Пусть 1 < р < х> , ядро (((7,0 имеет нулевое среднее значение.на.еднаичной_".параболЕческоЁ" сфере и удовлетворяет некоторым условиям весовой суммируемости градиента, - -i-e

* R"

д весовая пара удовлетворяет условиям а ¡), либо б i):

a-)6J _ везраоташая функция ка (.0,°°) и

оо t , р -1

Step (_ J oj. С?) Т ~Ро( т J ( jan т)1'РЛт) < ,

t>¿> ¿ <5

Су) Cu - убывгщая функция на «О и

J С >о VÍ € (О, ы) ; Cdj Ы £ С Со it) .

Тогда неравенство

Р,

\ Ж U*.t)| UJjUnMt * С jlíu-i)/ (2.4.3)

КГ ° V 4

справедливо с постоянной , не зависящей от f

СЛЩСТЕЕ 2.4.1. Пусть i<p< о? , ядре К(*Л) удсплетвсря-ет условиям теореш 2.4.1. Пусть так:-::е со1~ Со € ^ £ - _ - ; со 1J Г ^ } г С < р, < р - 1 ', .-ибо ^ = с^ е /\ а =

] , р < О . Тогда для параболического сингулярного интеграла Ял £ неравенство (2.4.3) справедливо.

СЛЕДСТВИЕ 2.4.2. Пусть 1< р< , ядро /чС*,0 удсзлетзс-ряет условия:.: теоремы 2.4.1.

Если со1 - льхЗач убнзащад ¿уккпид на {о> оо) , то для интеграла неравенстве (2.4.3) справедливо.

ТЕОРША 2.4.3. Пусть * < р < ^ , ---~ ^

и весовая пара (си ц) удовлетворяет услоыпэ либо а?),либо 62):

£2) ^ - возрастающая Хункцпя на ^ к

/ Т -1-9//, г с* «-Р* . \р_1

(СО^Т)? с/ту ( ] С*>Ю ¿1) < оо

t УО \ О

62) Си - убыващая функция кг (о, со) и

ЗС>0 , с^и) - С С^Ц) .

Тогда для параболического потенциала

справедливо 4 % с ? \'//3

5.4.4)

(2.4.5)

СППдСТБИЕ 2.4.3. Пусть с^Ш = 1.1 и) = г»*-*

<

п + Д

1

С* ' Р ^ * + *

Тогда при - оо <^ << р -1 справедливо неравенство

(2.4.5)

| - 20 -СП&ткз. 2.4.5. Оператор 4 — Н* 4 , действует ограниченно из ^ ич0 в ¿.^ С К ')

для лю'ых убывавших функций Со и") , 1> О « гда 1 < р< Л15 ± - Л. .

Содержание главк 2 опубликовано в

,Ы ,[12].

Б третьей главе сингулярный интеграл / / на группе Гейзенберга изучается в классах непрерывных функций в терликах локального максимума С г) и локального модуля непрерывности Си^ (5, т) . Введены банахо'ьк пространства функций на группе Гейзенберга с помощью локальных характеристик , инвариантные относительно сингулярного интегрального оператора на группе Гейзенберга, а затем дано весозое описание этих пространств, которое приводит к обобщенным пространствам Гельдера.с весом.

Б §3.1 вводятся следующие'характеристики:

* хеАт

О, = § -Ь- Ы, (4>т\ 0< * иъ *

где

СО, (Л,т)- su? { !{(*>-Ат , ]

Здесь ге доказана теорема о существовании сингулярного интеграта 7~/(аг; ,

ТЕ0Р2Й. 3.1.1. Пус^ь сходятся интегралы

- 21 -с о

Тогда существует сингулярный интеграл о) (1.3.3) для .табого осе X" и V ^ С С

А также в §3.1 получены оценки, связывающие характеристики образа 7У= V ( , ) с те:,л: же характеристиками прообтаза ( (т) > Со, {¿,Т) ).

0Г£РЕдЕШЕШ1Е 3.1.1. Скакэ;л, что пара (Уст), Ч'Сь, 0<Т± 1, г > О принадлежит классу ЯР , если функпии Ус?), V(¿,тг) положительны, являются не убывающими как го Т , так и по 5 , кроме того Н'СЪ, т) почти убывает по £ равномерно по Т (т.е. существует постоянная С>0 такая, что для любых $г > <5 Л } О < С ¿,/Г)) ,, -

и* 4>с&>1) - о, = 0(<еп>) .

3 §3.2 веодятся пространства

н,т и-; --¡и ссхъ ^

где С</>, с?Далее выделяется пространства Н^ч- {Ж ) инвариантные относительно оператора /—* / ^ . Обозначим

I 1

о О

Зведем множество 73 Н^ пар оункций С^, в , таких, что

- 22 -i

■ + = OCfcrt),

о T j

§ i/r

<J S i

s с ^ст) •= f ■

Пространства Htfy. (JR*) , а такяе класс пар функций 'РИ„ был введен В.В.Салаевым1^ при исследовании сингулярного интеграла Кальдерона-Зшжунда.

Обозначил: Cd^ (*> = *? [ ¡Mi)-К(»>1; ) •

ТЕОРЕМА 3.2,3. Пусть С V, V) <? "Р^а

Т> f = ' £ г •

-огда для сингулярного интеграла

л: с-

игле е г

^:есто неравенство

с постоянной , не зависящей от £ .

Б §3.3 сингулярный интегральный оператор на группе JC изучается в зесОЕых обобщенно-гельдеровых пространствах.

Пусть Cu{ - стандартный модуль непрерывности первого попядка, т.е. Go возрастает, ¿tV* СоС£)~ О }

5 ->>о+

( ЬО £ CJ (5,1 Si) .

СЕЕЭДЕЖНИЕ 3.3.1. Обозначим через И^ С#Лиохестэо

Т)Салаев В.З. Об одном обобщении теореет С.Г.Михлпна о поведе-Ш1и многомерных сингулярных операторов в классах// Уч.за-

• писка ВУЗов Аз.ССР, iS7o.v Ш.

- 23 -

£ £ С0 (X ") - [£€ С №); = о } удовлетво-

ри,-» оо

ряюцтдс условии::

3 С, > *, V*. * £ /**> - | < о Со (- ^^^ ч ) . 1

Пусть Щ " класс поло.тительных, непрерывных функций /Чт) , определенных при Гз 1 и таких, что /'»(Яг)^/1^), т.е. с,^ (Г) 5 /(¿т) £ С4/ЧТ) .

СШОДЕЕ1НКЕ 3.3.2. Скаке;.:, что | 6 С С принадлежит

Й^К^ - если О Ноо •

Зо определенна, ("со, р) £ А( , если Си - стандартны:? иоду.дь непрерывности, ??£ > Ои(Г)//*(*/т) возрастает

и при некоторой постоянной С >■ О

ОДО-ЧХ!*)"1)/ . ,1 / ^"Ч*

при ."Йй , для которых 7 ,

< 1+ ■ л р

Пространства Н^. ( ^ ^ , таккэ класс пар фупкцт: был введен С.Гя.Абдуллаезьс.:"^ пр:: исследовании сингулярного интеграла Кальдерона-Знгмунда. Доказана следующая

Г30ЕЕ.1А 3.3.4. Пусть £ М и выполнены условия:

Т 4

^ + Т 5 С-чО ~ - ОЫт>) , 0<т± 1 ,

^ V л»

I) Абдуллаев С.К. !.!ного1.:еоный спнгулятжый опесатоэ в прост-

ранствах Гельдера с веЪо'л// 3 кн. "Соврел:эняые пробле.ет

теооии йункций".У1атеп5алы Всесоюзной школы по теории стан-

ций". Баку, 21 ькя-1 июня, х977г.,Кзд-во АГ7, 1930,с. 43-48.

- 24 -1

Г алО

Если

Чт

то оператор {действует в ¡-{^ ) и ограничен.

ТЕОРЕМА 3.3.5. Пусть 0< 1 5 0< < & , г для любых

Если

1) есгм. с- & ,

2) >

то У обладает свойством I) и

2') |(Н1Х1Х)КТ*(*> - и+МъТ | £

-II01

и

£ С-Са

, Л

где О - постоянная, независящая от ^

Содержание главы 3 опубликовано в [е] , [з ] . Глава 4 посвящена доследованию пространства функций со значениями в банаховом пространстве В

..... Пусть. Со, . положительная измеримая функция, заданная

| - 25 -

' л

в области С , ^ ; В) - птостг^анство сильно измеримых в функций со значениями в £> с (конечной)

нормой

р \'р

Щ го ю = ( I М(*>ив

(при р- ос подразумевается обычная модификация). Полоним

Норму будем обозначать через /] • ]| ^ (фб") (соответственно через || • I! р^ ^ ). ^ 9

данное Буркхольдером описание класса банаховых пространств Б , для которых оператор Гильберта

4и-г) .

- г

I Т1 > £

остается ограниченным в пространстве является значительным событием в анадизе и уже порадело многочисленные исследования. Такие пространства В> полностью (т.е. и в необходимую и з достаточную сторону) характеризуются свойством 5 - вь"ду:-;лости: (й) На пространстве S существует бивыпуклая функция 5 : & * В R такая, что 5(0 О) > «з л {) £ il /Ч iHb при II ?UB = HIIB' i •

В литературе банахово пространство Б удоЕлэтзоряясзе условию (к) часто называют (УЛ12) -пространством и пидут В £ ип 3 . Если 8 -банахова репетка и 8 <? О'/43 , то будем писать В £ С/Чл) . Ктасс С/'ivl3) - пространств хотя и не очень широк, но содэрзз'.т ватные з анализе простран-

- 26 -

едва ¿.^ [К,, ^ , ^ 7 гильбертова простран-

ства г др., что позволяет существенное его использование в дрплезэнкях (напри]/,ер в теории злокекий, в теории краевых задач и пр.).

Наряду с пространства.*,® числовых аункпии е главе 4 исследуется пространства функции со значения:,сг. в банаховом пространстве В .В качестве Б> рассматривается обдие банахевь' пространства, С/^Ч - пространства и С/Л12) -

—ДПОРЭТ

В §4.1 получены ограниченность в Lp , , а такяе в весовых Lp и (R^ &) пространствах анизотрепкых сингулярных интегральных операторов ^МЪ - значных функ-

ций. ■ . •

Ф

ТЕОРИЙ. 4.1.3. Пусть 2) , К />< а> Е ядро

удовлетворяет условиям теоремы 1.4.2.

Тогда продолжение оператора "['■ i Т£ на Ё> -значнне функции ограничено в (R*1, В) .

С.1Е^ТЗ;!Е 4,1.1. Пусть функция удовлетворяет ус-

ловия.: теоре:,н 1.4.2 . Тогда при ¡< |Ч эс для анизотропного сингулярного ннтегвата Т"^ справедливо неравенство

где постоянная С не зависит от \ - { fjlj.,

TZOrZLiA. 4.1.Пусть В € С М"2>* . р<--°° и ядро Kix) сингулярного интеграла \/ / удовлетворяет условиям ?еозеьэ 1.4.2. '

Есле весовая natra С^ со0 € 5^(1 л|) , го анизотропной

сингулярный оператор 7~* / —* ~Т4 ограниченно действует из

в

ТЕОРЕМА 4.1.6. Пусть В ее/ Л/ (<р<м_>

имеет вид (2.3.1) и весовая дара .монотонных сунг-тл'-й с^,) удовлетворяет условию теоремы 2.3.2.

Тогда ё> -значное продолжение оператора ¡^ действует ограниченно из 1~р ^^^ЭЛ)) ^ в

&) , причем

5 ¡¡к'г * с

6

с постоянной С , не зависящей от £ , Ь и 1

ГЕОРЕМА 4.1.7. Пусть В € С/МЪ*, , ядро

К С*, удовлетворяет условиям теоремы 2.4.1.

Если весовая пара С удовлетворяет условиям тео-

ремы 2.4.1, В -значное продолжение оператора \-\д (2,4.2) ограниченно действует из и? ^се) причем

С 1 о""

ГС ^ ,

с постоянной С • не зависящей от \

Б §4.2 получены теоремы о мультипликаторах Зурье в пространствах ^ (£"; 8) , (Я* В) для иПЪ -репеток. СЛЕДЛЗПЕ 4.2.1. (В -значный аналог признак Лдзоркдна

о /.ультипликэторах уурье). Пусть функция 7>(Л) непрерывка вместе с производной 3 3и всеми гюедаествущими ей производными вне

координатных плоскостей (т.е. . при и ). Если

ТТ7ТСТ

5 упомянутых производных при некоторой постоянной

м

к

ЭЛ, ' - и 1

и

где k: j принимает значение С иди I, 21 tcj - 0,1,.,

— *1

дри В <= (У/М 2) оператор 7" » определяемое равенством

■то

FfTf]- 7 -2.34)

является ограниченным преобразованием в L^

[< р < оо , с нормой £ СЛ1 , где С не зазисит от 9""* Z { .

При доказательстве следствия 4.2.1 большую роль играет векторнозначнкй аналог теоремы Диттлвуда-Лэли.

ТЕОРЕМА 4.2.10. Пусть £><? С//43* , ¡f 6 Lp B)5-i<p«*> (т.е. i< Pf ¿-i, и )

__, , ДГ и /л,-I я,. С

= i 2 s Mil <* л ; ,

^ = С/и,, ..., ... .

Обозначит»; через -Х-? (./О характеристическую кук::цию

' ' Г*4 ~

¡1^ . и пололи:.:

¿с-«- f'fvi"

Тогда

где постоянное (Гр>0 не зависит от -f , )- | обозначает модуль элемента из банахова решетки Ё>

.'* Следствие 4.2.1 в случае В= В - гильбертово простран-

- 29 - ;

сгзо доказана П.П.Лнзор^'.ным и она является 6> -зкачным аналоге;.: пззестного признака Лкзоркнна с мультипликаторах Фурье. Более общий признак типа !.;арппккевича в банахово-знач-нсм случае тлеет вид:

ТЕОРЗЛА 4.2.12. Пусть в качдой пачке П„, числовая функция ф (/1) представляется в виде

Фи) - 5 5 с/го , ^6 '

- г» - =»

где ^ - конечные меры равномерно ограниченно;": полкой вариации

^- 5 ^ ^ .

Тогда, если В <= С//42) , то оператор / (4.2.34) непрерывно действует из и справедлива оценка

¡1 Т? II 1 с М 1\ 1 \\. '

где постоянная С не зависит от { и Ф .

Б §4.2 такхсе показано, что теорема 4.С. 12 действует в- . • пространствах более сбдих, чем ^

при условии Ь € и /4 2) .

ОПРЕДЕЛЕН2. Замыкание множеств- гладких финитных £> -значнь'Х функций по норме

Ир

е\г/*Ир

-р,е «■ • - - В

1 Р,е о" °

ч \

называется пространством ^ С^ ; -

■ • При Б - & , т.е. в скалярнозначном случае пространст-

А!

но / (К?) было заедено и изучено П.Л.Лдзоокины;.'., Р,в у

V.з теорем 4.2.-2 о векторнозначном аналоге теоремы Питтлзуда-Пэли следует, что при условии В £ (УМ2) пространство 5 Ь) совпадает с точностью до эквивадент-ности норм с .

В §4.3 подучены теорем вложения для изотропных и анизотропных весовых пространств Соболева -зкачнкх функле?..

ТЕОРЕМА 4.3.3. Пусть имеет вид (2.3.1), весовые

пары (С^у С*), Со ) ¿с, удовлетворяют условиям тес-ремы 2.3.2.

Тогда при -1с = (к-,, . к„) , - ■ ■ , 7

и ддя любого банахово пространства Б имеет место непрерывное вложение

" (£;Ь) С, (Я'В) (4.3.5)

Еслк к тому :::е (УМЗ , то злокенпг- (4.3.5)

справедливо тадзе нги 1 < р = е] х , (^, ) — 1 . Более того, справедливо неравенство

с постоянной, независящей от }

СЛЕДСТВИЕ 4.3.4. Пусть | < р £ <| < =о , ^ 1 ,

+ - 1 (в случае , е-е предполо-

ким, что 3 бС/^З* )\ Пусть такне - любая возрас-

тающая аункция, Тогда шге-ез место оценка.

— С±. —

112Ч

ТЕ0РП.1А 4.3.4. Пусть В - банахово пэостианстзо, к. = (кг, к.)

' у

, Ы, (¡"-¡Г'-; , ,

К р £ 03 , и весовые функпии со,; зави-

сят только от р- Л | 1 . Пусть так.-.е весовые лары

С~ I

(Со - , 0>) £ 5р ^ (/^-1).Тогда при ^ 1 ш.-еет .',:ес-то непрерывное злонение

Если к тому ке В иМ.7) , то влозенне (4.3.6) справедливо такзе и при 1 < р - % < 00 , = I .

Отметим, что для изотропных весовых -зкачных пространств Соболева ^ • ^ 2

- • / о ч

иам^га иииилваа су-, 1-э'-, «-»у | ь у теоге.'.гы 4

р, С^», о,

4.3.4 справедливы такле и для предельного показателя при условии В (г С/Л 2 (с:/, следствия 4.3.с, 4.3.5).

Б §4.4 определяется бакахсво-значное пространство Бесова (Т) В) в яериодическо:.: случае. Первоначальное ол-

эС

ределекие пространств Вр^ СТ>Ю , ¿>о , 1<р,%±со , дается в терминах поведения разносте". Б "4.4 доказано, что это определение в случае 8 6 1//Ч2> эквивалентно сл&"г:е:.:у. .

ТЕСРБ;.1А 4.4.3. Пусть Вес' /ЧИ , /< р < ос, 1 £ 5 а=/ ¿> о . Г-уннппя / ( Т, б) лринадпеяс.т пространству Врв В) в тоу. и только в том случае, когда

(

- 32 --í. 0 v ^

iL H. Il, _ . ) < - . (4.4.15) '

Lp( i ' I

3 sïo:>: .~e параграфе так^э изучается класс ß •)

аналитических ß -зыачнкх аунклий ЬТ в единично:.- круге ■J- jz~ZeL\ Z=l2\<-i"i . Полученные результаты да~с необходимые достаточные'условия, связываюппе аналитические в круге (_/ ß> -значных функций с их граничными значениям на торе

т .

Одним из основных результатов в §4.4 является теорема TZOPSIA А. Пусть В £ иМЪ , i < р< «í % d е R . Для того, чтобы голоморфная В -значная функция wlz') принадлежала пространству ((Л В) необходимо и достаточно, чтобы граничное значение f Ц) , i G I функции luCZ) » понимаемое в га.исле

z-> i

прцкадлет-ала пространству Dp^Ct »ß) к имело неотрицательный спектр (т.е. с коэ;ф.~<ента!.-х Оурье ix , обрат,а.>-•дГтП'-СЯ в коль при к< о ).

'у'етод доказательства приведенной теоремы имеет независимый интерес. Она оснозана на оценках, так или иначе связанных с ядром Пуассона г на использовании теории вег.торнс—значных ^льтипликаторах í-урье.

§4.5 посвящен теореме злсгення для банахово-значкых

г

IDO CT

гтранстз Соболэва-ЛиуБилля L-p е Лпзоркнка-

Трибеля ¿I *

Г,О #

Как показано в случае ß<F С/М и при целых Zj = Cç

- со -

пространства Z.Í'( Б) , < ^ скапает с

пространством W -с (R г В) следствие 4.о----

г Г

TZC?Z:;A 4.5.I. Пусть Вео'/ЧЗГ ? р < и,,

i - Í w'' '

Тогда существует еме:::аккад производная: "Zj f <? Z_p (R";ñ)

z справедлива оценка

*cHjLl (R*¡ Б) |j Í4.C.S)

CJZ^IZ 4.5.3. Бели В f 6 L ? О?"; В) ,

1 < р ¿ , ;• = Ui, . », ^ * £ , ТО

КтЛ ¡ Í С гз) СО И (Г; В) ||

4.5,3 . (теорема : Пусть

Bé (УМ í< р < , 1 < 6> < сад , Г

г. :: - ijlO -

ДЛЛ iÑQTOporC # = t-z 4h jtr '"■b "i"-**. ; ^ Z

; - 34 -

Основные результаты диссертации опубликованы з работах:

1. Гулдез B.C. Об огардченностк параболического сингулярного интеграла оператора в весовых Lp -пространствах//

2. Гулдез B.C. Параболические сикгуллрные интегральные олгра-тслн в пространствах сужгвуешх оункцдй// В ci."0'/:~:r, и;-:т. операторы", IS37, с.54-59.

с. Гуддзв B.C. днухзесозыэ неравенства для ларабслгческих сингулярных интегралов// Сарат.зигн.аколы по теории функ-и приближений. Саратов, 1988.

4. Гтлаез B.C. Весовые теоремы вложения для некоторых областей// 3 сб."Сингулярные операторы", Баку, ISS9, с.25-35.

5. Гулиев B.C. О некоторых классах анизотропных интегральных операторов и весовых теореках вложения в области с негладкой границей.// ДАН СССР, 1989,. т.304, JS, с.1239-1293.

5. Гулпез B.C. дьухвесозые Lp -неравенства для сингулярных интегралов да однородяь*х группах// Тезисы .-складов Северо-Кавказской регионально" контрено.: и,

~ Гтдгез B.C. днуозесозые / _ -оценки л.ля некоторых " Р

операторов на однородных группах Ли/'/ Б кн. "Севременные проблемы функций". Материалы Всесодзной жколы по теории •*ун-:цп£. Баку, I9-2S мал, I9S9, Пзд-зо ЛГУ, 1955, с.33-34.

5. Гулиез B.C. 05 сгранйчзлноста сингулярны:*: интегральных олератороз на группе Гейзенберга в весовых обобденно-гельдерозых и весовых^ Lp -пространствах // ^Н СССР, ISSI, т.315, Ш, с.274-278. ^

- со -

9. Гулиев B.C. Анизотропна сгл-цулярный оператор в пространствах неирерквнкх -1ункпг.й// 3 сб."Сгкг.ннт.опер.",Б2?у, ISSI.

11. Гулпев B.C. Теоремы вломэнкя дак весовых пространств Соболева В -знатных ¿ункцпй.// докпелк ?А_~, 1993.

12. Гулпев B.C. Дзухзеоовкх /.р -оценки интегральных операторов и их прило~:екпя. // Трудк .'".РАК, IS93, Т.2С4, с.113-136.

13. Гулиев B.C. Теоремы влозеяия для пространства УМЪ -значннх Функций.// Доклады РАН, -993, T.32S, ГА, с.4С8-410.