Интегральные тороидальные множества одного класса систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

If

КИЕВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ТАРАСА ШЕВЧЕНКО

„ п г-'ГЦ '«ОПЬ.

i Л 11 " ' ' ' 11а правах рукописи

АСРОРОВ ФАРХОД АНВАРОВИЧ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ТОРОИДАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ОДНОГО КЛАССА СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фиоико-иатешпнчеяих науж

Киев - 1994

Работа выполнена на кафедре интегральных н дифференциальных уравнении механико-математического факультета Киевского университета имени ТЬраса Шевченко.

Научный руководитель - доктор фиоико-матеыати-

ческих наук, профессор Н. А. ПЕРЕСТЮК Официальные оппоненты - доктор фионко-ыатемати-

ческих наук, профессор Д. И. МАРТЫНЮК кандидат фиаию-матеыати-ческих наук, доцент О. В. ВЫШЕНСКАЯ Ведущая организация - Институт математики

HAH Украины

Защита состоится" " ОС/ 1994 г. в ^^ часов

на заседании специализированного совета К 01.01.14 по присуждению ученой .степени кандидата фиоико-математических наук в Киевском университете им. Ibpaca Шевченко по адресу, 252127, г. Киев, просп. академика Гпушкова, в, ыехапико-математический факультет.

С диссертацией можно оонакоынться в библиотеке университета.

Автореферат разослан » ОХ -1994 г.

Ученый секретарь _ специализированного совета

А. А. Курченко.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическими моделями многих оа-дач физики, техники, биологии служат нелинейные дифференциальные уравнения, решения которых обладают нежоторьшн свойствами периодичности.

Одним ио важнейших методов исследования таких уравнений есть метод интегральных многообразий.

Истоками теории интегральных многообразий являются труды А. Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений, А. М. Ляпунова по теории устойчивости движения я Н. Н. Боголюбова по развитию асимптотических методов нелинейной механики.

Следуя идеям Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова для раоличиых классов уравнении, устанавливалось существование интегральных многообразий, исследовалась их гладкость, устойчивость, поведение траекторий как на многообразии, так и в его окрестности.

Эффективным в втои направлении оказался метод функции Грина, предложенный А. М. Саыойдепко для исследования инвариантных тороидальных шюгсюбрааи». Все указанные выше вопросы согласно этому методу сравнительно просто решаются с помощью функции Грнпа.

Однако исследовались в основном автономные системы, хотя на практике довольно часто возникают системы неавтономных уравнений. Поэтому исследования интегральных множеств неавтономных систем с помощью функции Грина - Самойлепко представляют весьма важный как научный, так и практический интерес.

Цель работы. Исследование интегральных множеств нелнней-

ных дифференциальных уравнений. Получение необходимых, а также достаточных условий их существования, исследования их устойчивости и поведения решений в их окрестности.

Методы исследованиж. В работе испольоуются идеи метода интегральных шюгообраоий, метода палого параметра, метода функции Грина - Самонлснко.

Научная новизна работы:

- установлены необходимые условия существования интегральных тороидальных множеств систем неавтономных дифференциальных уравнении;

- построена функция Г^жла - Самойлешо для оадачи об интегральных множествах системы дифференциальных уравнений и неучены ее свойства;

- в терминах функции Г^ииа - Самойленко получены достаточные условия существования интегральных множеств систем дифференциальных уравнений;

- исследован вопрос о существовании асимптотически устойчивых интегральных тороидальных множеств систем дифференциальных уравнений;

- исследовано поведение решений системы в окрестности интегрального множества.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты могут быть применены для исследования реальных колебательных процессов, воонякахяцнх во многих практических оа-дачал.

Апробацмж работы. Основные реоулътаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры интег-

ралышх и дифференциальных уравнений мехашыо-математвчес-кого факультета Киевского университета, на конференциях "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической фпаикн — вторые богодюбовскне чтения" (г. Киев, 1993 г.), "Моделирование и исследование устойчивости систем" (г. Киев, 1993 г.), на Всеукранпской конференции молодых ученых в Киевском университете им. Тараса Шевченхо (г. Киев, 1994 г.), а тахже опубликованы в работах [3-6].

Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ, в которых отражено ее основное содержание.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит но введения, двух глав и содержит 97 страниц машинописного текста. Библиографический список включает 111 наименований литературных источников.

Содержание работы

Во введения приводится краткий обоор работ по теме диссертации, обоснована актуальность проблемы, сформулировала цель исследования, кратко положены основные научные положения и содержание работы по главам, а также перечислены основные результаты работы.

В первой главе диссертации исследуются необходимые условия существования интегрального тороидального множества для системы уравнений вида

= «(«.¥>), ^=P(UV>)* + f{i,V>). (1)

В §1 вводится пространство C(R х Тт) функция f{t,<p) = = (/l(t.v). ••• ,/n(t,¥>» - переменных t € Я и <р = (<ри прнтшакмцих оначепм в Л", равномерно прн t £ Я непрерывных, ограниченных, периодических по каждой но переменных <ра (ft = 1, ... ,тп) с периодом In н таких, -что существует конечное среднее оначсние

1+Т 1ж Зт

j lèrJ - J = T

too

равноиерно относительно i 6 R.

Это пространство превращается в полное нормированное введением нормы

||/||в = sup max ||/(t,v>)||, ten

где

y/ir=Êi/»r i-1

— евклидова норма J(t,<p) в пространстве Я*.

Даже, с помощью тригонометрических по <р полиномов P(t,<p) но C{R х Tm), аналоппно [87], строится цепочжа гильбертовых пространств

Я(Л х Тш) = Л°(Л х Гт) Э Я^Л х Tm) Э ...

... э г(йхгт)э ... Э Я°°(Л х Тт),

где Я»(Л х Ти) = Пг°1о * Я»)-

4

Определение 1. Множество точек (t, tp, z), определенное уравнением

x = u{t,y>), teR, (2)

будем называть интегральным множеством системы (I), если для любого решения первого уравнеми х = «((, <рг(г,<р))

является решением системы

dx

Прн условии непрерывной днфферешщруеыостн u(i, <р) вопросы существовал ил интегральных множеств снстеиы (1) саяовны с разрешимостью следующего уравнения в частных прошзводных

P(t,p)b + f(t^)t (3)

где P(t,<p) = -6(i,V>).

В §§ 2, 3 приведены необходимые условия существования интегрального тороидального множества в терминах раореппшости уравнения

^ + ~ a(t, = P(t, <р)и + /(t, v). Для отои цели рассмотрена однородная система уравнений

= ^ = (4)

и по ней построен оператор L : х Тп) —► H(R х Тт), положив

Lu = ^ + Y^a^ip)— + b(t,ip)ut

:г-'М/р?/

где (a^t.v), ... = a(t,ip), b(t,<p) = -P(t,<p).

Для оператора L введен формально-сопряженный оператор L* : Hl{R x Tm) —♦ H (it x Tn), определяемый выражением

L*u = - (ж + + -

где Ь*(<, р) — сопряженная ж b(t,ip) матрица, а

По оператору L", аналогично оператору L, построена сопряженная ж (4) система уравнений

~ = ^ = V) + М*,¥>)]*• (5)

В § 2 дохаоал а следующая лемма.

Лемма 9. Для любых функций u, v € C(R х Тп) справедливо равенство

(Lu, и)о = (и, L'v)0.

Испольоуя ее, получено следующее утверждение. Лемма 4. Пусть система уравнений (1) имеет интегральное множество

x = u(t,ip), 16 Я, <р£Тт. (в)

Тогда иеС(ЛхТт)и Lu(t, <р) = f(t, tp).

Следствием приведенных выше лемм является следующая теорема.

Теорема 1.2. Для того чтобы система уравнений (1) имела

интегральное множество, необходимо, чтобы выполнялось равенство

(/,«)»= 0 (7)

для любых функций V, определяющих интегральное множество х ■ <р), 1 6 Я, 1р € Тт, сопряженной системы уравнений (5).

Полученные в § 2 результаты иснольоуются для дожаоатеяьства необходнмых условий существования интегральных множеств линейной системы с произвольной неоднородностью.

Имеет место следующая теорема § 3.

Теорема 1.3. Для того чтобы система уравнений (1) имела интегральное множество для произвольной функции / е С(НхТт), необходимо, чтобы однородная система уравнений (4) не имела невырожденных интегральных множеств, а сопряженная система уравнений (5) ке ил ел а отличных от тривиального х = О, 1 € Я, >р € Тт, интегральных множеств.

В § 4 рассмотрены достаточные условия существования интегральных множеств линейных расширений неавтономных уравнений вида (1) с пспольоовадиеы функции Грина - Самоплешсо.

Рассматривается система уравнений

<1х

— =Р(*. м(т,<р))х, , (8)

где уэ((г, уз) — решение, принимающее при 1 = г оначение у>, и по ней строится функция Грина - Самойленхо следующего

вида:

удовлетворяющая условию

оо

J \\G(t,s,v)\\ds<k<00 (10)

-со

при всей t 6 Л в <р € 7^,. Здесь — матрицант системы

уравнений (8).

Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1) функции a(t,ip), f(i,ip) и P(t,ip) непрерывные по i € R, <р 6 Тт1 ограниченные при всех t € R, <р 6 Tm, 2jr-nej>tio<iu4ectftte no <p,, v = 1, ... ,m, a также функция a(t, ip) удовлетворяет условию Липшица no <p равномерно относительно t 6 Л. Пусть также для системы (\) существует функция Грина. - Самойленко <?({,«, удовлетворяющая неравенству (10). Тогда система уравнений (1) имеет интегральное множество

оо

¡E = u(f,¥>)= J G(t,8,v>)f(8,ipt(Uip))d»t teR, ipeTn,

причем

sup max ||u(t,v)|| < А" вир max ||/(t,v>)||. ten veTm n vtTm

С использованием теоремы 1 приведены условия асимптотической устойчивости интегрального множества системы (1). Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Предположим, что система уравнений (1) удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть также матрицант системы (4) U',(T,ip) удовлетворяет неравенству

1|Ф(т,<р)|| < для t>s€R.

Тогда система уравнений (4) имеет интегральное множество 1

x = u(t,ip)= J G(t,s,<p)f{s,ip,{t,<p))ds, teR, y>eTm,

—oo

t( это множество является асимптотически устойчивым.

Во второй главе положенные в главе 1 результаты существования интегральных ыпожеств для лилейных расширений испольоу-ются для исследования интегральных множеств нейииейлых систем уравнений вида

^ = a(t,<p,x)y ^ = ?(«,¥>.»), (11)

правая часть которой определена и непрерывна по i, <р, г в области

||ar||<d, уз€Тт, (12)

и является периодической по <р„ (»/ = 1, ... , т) с периодом 2*.

В § 1 приведен один во процессов линеаризации, позволяющий отыскивать интегральную поверхность (б) системы (11). Для этого выделено ио второго уравнения системы (11) "линейные" члены, оаписав оту систему уравнений в виде

^ = «(!,*,*), ^ = --'(13)

f(t,v) = F(t,V, 0), l

P(t,<?,*) = j

dF^Tyx)dr

a(r:r)

0

Реализация приведенного процесса шшеардаацнн требует выяснения условии, при которых система уравнений

dtp

Л = 0(£,v3) + ai(t,v>),

^ = (РИМ + Pi(t, ¥>))* + /(«,*>)

(14)

ииеет интегральное множество

г = гея, <реТт. (15)

Определение 1. Функцию Грина - Самойленко (7(<, з,<р) системы (4) будем называть грубой, если найдется постоянная 6 > 0 такая, что система уравнений

¿Ю ¿X •

— = а(1,<р)+ — = Р(1,<р)х (16)

всякий раз, когда в! 6 С'(Дх Тт) и

М1 < (")

имеет функцию Грина - Самойленко ¿'(<,з,у>), для которой

|G(l,3>V>)f{t, Vt{r>V>))|i < Ke~*-'l\f\u- ' (18)

10

где f — произвольная функция из C'(R х Тт), Vi(T>Ч>) — решение первого из уравнений (16), К и у — положительные постоянные, не зависящие от t, ip, 6 и /.

Существование интегрального множества для грубой функции Грина - Самойяенко обосновывает следующая лемма.

Лемма 1.2. Пусть система уравнений (4) имеет грубую функцию Грина - Самойленко G(t, я,<р). Тогда можно указать такое р = > 0, р(6) —у 0 при 6 —* 0, что для любых a¡ 6 Cl{R х Тт), Р\ 6 C'(ñ х Тт), удовлетворяющих условию

Ы«'+|Я|.<Л (19)

и произвольной функции f 6 Cl{R х Тт) система уравнений (14) имеет интегральное множество (15), удовлетворяющее условию

lull < т\и (20)

где K¡ — положительная постоянная, не зависящая от puf.

В § 2 докаоанные в § 1 леммы испольоуются для установления существования интегрального множества системы уравнений

dtp

= a(t,tp,x,e),

(21)

dx

— = P(t,<p,x,c)x + f{t,<p,e),

где о^,^,!^), P(i,ip,x,e), f(t,ip,e) — периодические no ipv, v = 1,... ,m, периода 2jt функции, определенные в непрерывные

по всей переменный t, <р, де, е в области

11*11 < teR, ч>етту с е [о, ¿о]

и такие, что

/(<,¥>, 0) = О, teR, <реТт. (22)

Условие (22) гарантирует существование тривиального интегрального множества

х = о, teR, ч>е7т (23)

системы (22) при с — 0.

Запишем уравнение в вариациях, соответствующее множеству (23). Оно имеет вид

^ = «.(*,Р), ^=Po(t,<p)x, (24)

где обооначено

ao(i,vO = e(i,^,0,0), P0(t,ip) = P(t>ip, 0,0).

Имеет место следуюпщв основной результат §2. Теорема 1. Пусть функции а, Р, / имеют непрерывные по <р, х, е из области (1В) частные производные. Предположим, что система (£4) имеет грубую функцию Грина - Самойленка. Тогда можно указагпь достаточно малое ео такое, что для любого с 6 [0, ео) система уравнений (S1) имеет интегральное множество

х = u(t,y>,e), teR, <реТп

с функций и, принадлежащей пространству C°(R х Тт) и удовлетворяющей неравенству

М«,и,<ед. (25)

где К — положительная постоянная, не зависящая от е.

В оаллючнтельном параграфе приведены достаточные условия экспоненциальной устойчивости интегрального множества исследуемой системы (1.2).

Польоуясь вооможностыо, автор выражает сердечную благодарность научному руководителю доктору фиоико-математических наук, профессору Н. А. Перестюку оа постановку оадачи, постоянную поддержку и внимание я работе, а также оа полозное обсуждение результатов.

Осповные реоультаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Асроров Ф. А. Существование интегральных множеств дифференциальных уравнений. - К., 1993. - 11 с. - Деп. в ГНТБ Украины; 02.07.93, N 1337-Ук93.

2. Асроров Ф. А. Пространства функций C{RnTm) и E(RxTm). Необходимые условия существования интегрального множества линейной системы с пронавольнон неоднородностью. - К., 1994. -13 с. - Деп. в ГНТБ Украины; 06.04.94, N 639-Ук94. ,

3. Асроров Ф. А. Необходимые условия существования интегрального множества линейной системы с произвольной неоднородностью. - К., 1994. - 11 с. - Деп. в ГНТБ Украины; 21.06.94, N 1218-Ук94.

5.

Асроров Ф. А., Перестюк Н. А. Функция Гарина - Самой-ленко и существование интегральных множеств линейных расширений неавтономных уравнений // Ухр. мат. журн. -1994. - 46, N 8. - С. 1067-1071.

Перестюк Н. А., Асроров Ф. А. Функция Грина - Са-мойленхо оадачи об интегральных множествах линейного расширения дифференциальных уравнений // Конференция "Моделирование и исследование устойчивости систем". Tee. докл. - Киев: Киев, ун-т, 1993. - С. 17-18.